Grandezas lineares e angulares

Da definição de radiano (unidade natural de medida de ângulos) obtemos a relação entre o arco e o raio. Como vemos na figura, o ângulo é obtido dividindo o comprimento do arco pelo seu raio

Derivando s=r  em relação ao tempo, obtemos a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular

A direção da velocidade é tangente a trajetória circular, sendo, perpendicular a direção radial

Aceleração tangencial

Derivando esta última em relação ao tempo obtemos a relação entre a aceleração tangencial at e a aceleração angular.

Um móvel tem aceleração tangencial, sempre que o módulo de sua velocidade varie com o tempo.

Aceleração normal

O cálculo da componente normal da aceleração é algo mais complicado. A aceleração normal está relacionada com a variação da direção da velocidade com o tempo. Em um movimento circular uniforme não existe aceleração tangencial já que o módulo da velocidade não varia com o tempo, somente varia sua direção e por tanto, tem aceleração normal.

Suponhamos um móvel que descreve um movimento circular uniforme.

No instante t a velocidade do móvel é v, cujo módulo é v, e cuja direção é tangente a circunferência.

No instante t' a velocidade do móvel v', que tem o mesmo módulo v, porém sua direção tenha variado.

Calculemos a variação de velocidade v=v’-v que experimenta o móvel entre os instantes t e t', tal como se vê na figura. O vetor v tem direção radial e sentido dirigido para o centro da circunferência. Os triângulos de cor vermelha e de cor azul da figura são isósceles e semelhantes e podemos estabelecer a seguinte relação

Onde a corda Δs é o módulo do vetor deslocamento entre os instantes t e t'

Dividindo ambos os membros pelo intervalo de tempo t=t'-t

Quando o intervalo de tempo t tende a zero, a corda s se aproxima do arco, e o quociente ds/dt nos dá o módulo da velocidade v do móvel,

A aceleração normal an tem direção radial e sentido dirigido para o centro da circunferência que descreve o móvel e seu módulo é dado por uma ou outra das expressões seguintes:

Esta é a dedução mais elementar da fórmula da aceleração normal que se baseia na identificação do comprimento do arco entre dois pontos da circunferência com a corda que passa por estes pontos, quando ambos os pontos estão muito próximos entre se. Uma dedução alternativa é proporcionada na página titulada "Dedução alternativa das fórmulas da aceleração tangencial e normal"

Resumindo

A direção da velocidade de um móvel em movimento circular é tangente a circunferência que descreve.

Um móvel tem aceleração tangencial at sempre que varia o módulo da velocidade com o tempo. O sentido da aceleração tangencial é o mesmo que o da velocidade se o móvel acelera e é de sentido contrário, se freia. Um móvel que descreve um movimento circular uniforme não tem aceleração tangencial.

Um móvel que descreve um movimento circular sempre tem aceleração normal, an já que varia a direção da velocidade com o tempo. A aceleração normal tem direção radial e sentido dirigido para o centro da circunferência que descreve.

A aceleração do móvel é obtida somando vetorialmente ambas componentes da aceleração.

Exemplo

Uma roda de r=0.1 m de raio está girando com uma velocidade de ω0=4π rad/s, é aplicado os freios e este para em 4s. Calcular

A aceleração angular

ω=ω0+αt

No instante t=4 s a velocidade angular ω=0

α=-π rad/s2

O ângulo girado nestes instante é

No instante t=1 s, a posição e a velocidade angular do móvel é

θ=7π/2=2π+3π/2 rad

ω=4π+(-π)·1=3π rad/s

A velocidade linear

v=ω·r     v=0.3π m/s

A componente tangencial da aceleração é

at=α·r      at=-0.1π m/s2

A componente normal da aceleração é

an=v2/r    an=0.9π2 m/s2

 

Movimento de uma bicicleta

Uma bicicleta de corrida dispõe de três rodas dentadas na dianteira e sete catracas na traseira de distintos raios que proporciona 21 variações de marcha ao ciclista.

Suponhamos que o ciclista faz girar o roda dentada com velocidade angular constante 1. Qual é a velocidade v que adquire o ciclista sobre a bicicleta?.

Suponha que conhecemos os dados relativos a bicicleta:

Raio da roda dentada selecionado, r1

Raio da catraca selecionado, r2

Raio da roda traseira, ra

Raio da roda dianteira, rb

Entretanto na maior parte das bicicletas os raios de ambas rodas são iguais, em algumas como as de competição contra-relógio são diferentes como na simulação mais abaixo.

A figura representa um roda dentada e uma catraca unidos por uma corrente. Não é necessário saber Cinemática para estabelecer uma relação entre suas respectivas velocidades angulares, e concluir que as velocidades angulares são inversamente proporcionais a seus raios respectivos.

A velocidade da corrente vc é a mesma que a velocidade de um dente da roda dentada

vc=1·r1

A velocidade da corrente vc é a mesma que a velocidade de um dente da catraca

vc=2·r2

Temos deste modo, a relação entre as velocidades angulares 1 e 2

2·r2=1·r1

No tempo t um gomo da corrente se move de A a B. Um dente da roda dentada gira um ângulo 1 e um da catraca gira um ângulo 2. Temos então a seguinte relação

2·r2= 1·r1

Agora nos fixaremos na roda traseira. Se supormos que a catraca é fixa, a velocidade angular da catraca 2 é a mesma que a velocidade angular da roda traseira.

De modo que, a velocidade va de um ponto da periferia desta roda é

va= 2·ra

Esta é a velocidade v com que se move o ciclista sobre a bicicleta.

No capítulo sólido rígido estudaremos com mais detalhes a relação entre a velocidade de translação e a velocidade de rotação de um sólido que roda sem deslizar.

O ângulo girado por esta roda no tempo t será

 a== 2·t

O eixo da roda dianteira está unido ao eixo da roda traseira mediante a estrutura rígida de tubos da bicicleta. A velocidade de translação da roda dianteira é a mesma que a da roda traseira. A velocidade angular da roda dianteira será

v=  b·rb

O ângulo girado por esta roda no tempo t

 b=  b·t

Exemplo:

Os dados seguintes estão fixados no programa interativo

O raio da roda traseira, ra=30 cm O raio da roda dianteira, rb=20 cm Velocidade angular da roda dentada, 1=1.0 rad/s

Os raios da catraca e da roda dentada podemos variar

Raio da roda dentada selecionado, r1=7.0 cm Raio da catraca selecionado, r2=3.5 cm

Velocidades

Velocidade angular da catraca:  3.5·2=1.0·7.0       2=2 rad/s

Esta é também a velocidade angular da roda traseira.

Velocidade do ciclista sobre a bicicleta:  v=2·30=60 cm/s=0.6 m/s

Velocidade angular da roda dianteira:   60=  b·20       b=3 rad/s

Deslocamentos

No tempo de t=1.0 s

A bicicleta se desloca: x=v·t=60·1.0=60 cm=0.6 m

O ângulo girado pela roda dentada:   1= 1·t=1.0·1.0=1.0 rad.

O ângulo girado pela roda traseira:   a= 2·t=2.0·1.0=2.0 rad.

O ângulo girado pela roda dianteira:   b=  b·t=3·1.0=3 rad

Para trabalhar com o programa interativo

Selecionar o raio da roda dentada, no controle de seleção Raio da roda dentada

Selecionar o raio da catraca, no controle de seleção Raio da catraca

Os dados seguintes estão fixados no programa interativo

O raio da roda traseira, ra=30 cm O raio da roda dianteira, rb=20 cm Velocidade angular da roda dentada, 1=1.0 rad/s

Observamos o movimento das duas rodas da bicicleta, da roda dentada e da catraca

Na parte superior da simulação são mostrados os dados relativos a

O tempo A velocidade angular da roda dentada, e o ângulo girado neste tempo A velocidade da bicicleta O deslocamento da bicicleta, que podemos ver na escala graduada

situada na parte inferior da simulação O raio da roda dianteira, e o ângulo girado por esta roda O raio da roda traseira, e o ângulo girado por esta roda

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