ESCUELA NORMAL SUPERIOR

Nº6VICENTE LÓPEZ Y PLANES

Matemática 4FÍSICO-MATEMÁTICO

AÑO 2015

PROFESOR : Javier Córdoba

1

ESCUELA NORMAL SUPERIOR Nº6 “Vicente López y Planes”

MATEMÁTICA 4TO. AÑO.2015

Para lograr la aprobación de la materia es necesario un trabajo significativo durante

el año.

Teniendo en cuenta ese objetivo, se establecen las siguientes pautas de trabajo y

modalidades de evaluación:

Los alumnos deberán traer los necesarios útiles escolares y  contar con los siguientes materiales de trabajo: guías de ejercicios y/o material teórico, calculadora (cuando sea solicitada), elementos de geometría, folios.

A lo largo del ciclo lectivo, deberán ir construyendo una carpeta completa, ordenada y prolija que deberán traer todas las clases.

Cabe destacar que no se permite el uso de celulares (que no pueden reemplazar a la calculadora) ni de reproductores personales de audio durante la clase. Esto puede exceptuarse cuando el docente lo establezca con fines exclusivamente pedagógicos. 

        

Se evaluará al alumno en sus competencias orales y escritas. Para dicha evaluación

se tendrá en cuenta:

La participación en clase y la contribución a un clima de respeto. La asistencia con el material pedido y las tareas realizadas. Estos aspectos recibirán una nota numérica conceptual. Cabe destacar que la recurrencia en los incumplimientos disminuirá notablemente la mencionada calificación.

El desempeño en las evaluaciones escritas (en sus distintas modalidades),  lecciones orales, trabajo en clase y presentación de trabajo domiciliario. 

La ausencia a una evaluación avisada deberá ser justificada, para poder ser evaluado en clases subsiguientes. En este nuevo temario se incorporarán los contenidos dados hasta la nueva fecha examen.

La entrega de trabajos en tiempo y forma. De no ser así, el docente podrá contemplar una nueva fecha, pero los trabajos presentados fuera de la primera instancia verán disminuida la calificación.

La presentación, la legibilidad y la ortografía de las evaluaciones incidirá en la nota final de las mismas

La calificación final de cada trimestre será una suma porcentual de cada una de las anteriores. Las evaluaciones corresponderán al cincuenta por ciento de la calificación final, los trabajos prácticos y actividades de clase corresponderán a un treinta por ciento de la calificación, mientras que las actitudes y concepto corresponderá el veinte porciento restante.

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Considerando actitudes: Participación en clase, demostración de interés, respeto por diversidad de

ideas, cumplimiento de tareas en tiempo y forma y confección de carpeta sobre temas tratados en clase y a los que se le solicita como tareas. Será tenido en cuenta: prolijidad, presentación y correlatividad de los temas tratados.

Capacidad de pensamiento de reflexión lógica que permita descubrir errores e implementar técnicas necesarias para corregirlas.

Capacidad de pensar y elegir alternativas para situaciones planteadas. Desarrollo de competencias exigidas por el mundo que los rodea.

Considerando contenidos: Incorporación de los nuevos contenidos del programa, uso de vocabulario

específico, presentación y manejo del material solicitado para trabajar. Los ejercicios, evaluaciones y referencias deben realizarse en tinta. Sólo se pueden realizar en lápiz cálculos auxiliares y rayado de hojas. Cada alumno deberá proveerse de los materiales y herramientas de trabajo de cada asignatura.

Considerando instrumentos: Evaluación oral, escrita, trabajos prácticos y de investigación.

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PROGRAMA ANUAL DE MATEMÁTICA

UNIDAD 1

NÚMEROS REALES

NUMERO IRRACIONAL. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. NUMEROS REALES PROPIEDADES DE LOS RADICALES SIMPLIFICACION. EXTRACCION DE FACTORES FUERA DEL RADICAL. INTRODUCCION DENTRO DEL RADICAL RADICALES SEMEJANTES. OPERACIONES: ADICION, SUSTRACCION, MULTIPLICACION, DIVISION Y

POTENCIACION. EJERCICIOS COMBINADOS CON RADICALES ECUACIONES CON IRRACIONALES. RACIONALIZACION DE DENOMINADORES. POTENCIAS CON EXPONENTE RACIONAL. EJERCICIOS APLICANDO REGLAS DE LA POTENCIACION. ACTIVIDADES INTEGRADORAS

UNIDAD 2

FUNCION CUADRATICA

DEFINICION. INFLUENCIA DE A, H Y K. FORMA CANONICA Y POLINOMICA. PASAJES DE LA FORMA CANONICA A LA POLINOMICA Y VICEVERSA EJE DE SIMETRIA. INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO D E LA PARABOLA. MAXIMOS Y MINIMOS. CEROS O RAICES DE LA FUNCION. PROPIEDADES DE LAS RAICES. ECUACION DE SEGUNDO GRADO. RESOLUCION DE ECUACIONES RACIONALES. SITUACIOENES PROBLEMATICAS APLICANDO ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ECUACION BICUADRADA ACTIVIDADES INTEGRADORAS.

UNIDAD 3

CONJUNTO DE NUMEROS COMPLEJOS

NUMERO IMAGINARIO. DEFINICION REPRESENTACION GRAFICA DEL COMPLEJO. POTENCIAS SUCESIVAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA. OPERACIONES FUNDAMENTALES: ADICION, SUSTRACCION, MULTIPLICACION Y

DIVISION. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO ECUACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS ACTIVIDADES INTEGRADORAS

UNIDAD 4

4

FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

FUNCION EXPONENCIAL: REPRESENTACION, DOMINIO Y CODOMINIO FUNCION LOGARITMICA: REPRESENTACION, DOMINIO Y CODOMINIO ANALISIS Y CARACTERISTICAS DE LA FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA. LOGARITMOS. DEFINICION PROPIEDADES FUNDAMENTALES. LOGARITMOS DECIAMALES Y NATURALES. CAMBIO DE BASE. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. SISTEMAS DE ECUACIONES. ACTIVIDADES INTEGRADORAS

UNIDAD 5

Unidad: 1Números Reales

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SUCESIONES Y SERIES FÓRMULA DEL ENÉSIMO TÉRMINO SUCESIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES SUCESIONES ALTERNADAS LÍMITE DE UNA SUCESIÓN LÍMITES INFINITOS SUCESIONES REALES Y SUS APLICACIONES SERIES

Radicales

Ejercitación

Indicar con una cruz de qué tipo de número se trata:

Número N0 Z Q I R

-125

0,14

57-22,5

Potenciaciónsi n 0 Ejemplo:

n veces

si a 0 Ejemplo:

si a 0 Ejemplo:

Propiedades de la potenciación 1. Ej:

2. Ej:

3. Ej:

6

1,2,3,4,…N

-1,-2,-3,-4,… Z

0N0

0,25 Q

I

R

4. La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación y la división. Ej:

con Ej:

5. La potenciación NO es distributiva respecto de la suma y de la resta.

Recordamos

1.

Ejemplos:

2.Ejemplo:

3.Diferencia de cuadrados: Ejemplos:

Ejercitación1) Resolver indicando qué propiedad se aplica en cada caso.

a)

b)

c)

2) Resolver aplicando las propiedades de la potenciación.a)b)c)d)e)

f)

g)h)i)

j)k)

3) Resolver de dos formas distintas.a) b)

c)

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4) Buscar el error y resolver correctamente.

Radicación

porque con y

Ejemplos: porque y porque no tiene solución en R

Recordar: por ejemplo

Propiedades de la radicación

1. La radicación NO es distributiva respecto de la suma y de la resta.Ejemplos:

2. La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y la división.

Multiplicación:

Ejemplo:

Propiedad recíproca

Ejemplo:

División

Ejemplo:

Propiedad recíproca

Ejemplo:

3.Ejemplo:

8

4. Ejemplo:

5. Ejemplos:

Ejercitación

1) Indicar V o F. Justificar.a)b)c)d)

e)f)

2) Aplicando las propiedades correspondientes hallar.a)b)

c)d)

3) Resolver indicando qué propiedad se aplica en cada caso.

a)

b)c)

d)

e)

4) Resolver de dos formas distintas.

5) Buscar el error y resolver correctamente.

6) Resolvera)

b)

c)

Extraer factores del radical

Ejemplos: = =

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Ejercitación

Extraer factores del radicala)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)j)

Introducir factores en el radical

Ejemplos:

Ejercitación

1) Introducir factores en el radical.a)b)c)d)

e)

f)

g)

2) Indicar V o F. Justificar.a)b)c)

d)

e)

Operaciones con radicales

Adición y sustracción

Para sumar o restar dos términos que tienen como factor el mismo radical, extraemos dicho radical como factor común.

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Ejemplos

Ejercitación

Efectuar las siguientes operaciones.

a) Rta.

b) Rta.

c) Rta.

d) Rta.

e) Rta.

f) Rta.

g) Rta. h) Rta.

i) Rta.

j) Rta.

k) Rta.

l) Rta.

m) Rta.

n)Rta.

o) Rta.

Multiplicación y división

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Pueden presentarse dos casos:

1. Los radicales tienen el mismo índice.

Ejemplos

2. Los radicales tienen distinto índice.

Ejemplos

(hallamos un múltiplo común de los índices y utilizando las propiedades de la radicación, reducimos los radicales a común índice).

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Ejercitación

1) Efectuar las siguientes operaciones.a) Rta. b) Rta. c) Rta. d) Rta. e) Rta. f) Rta. g) Rta. h) Rta.

i) Rta.

j) Rta.

k) Rta.

l) Rta.

m) Rta.

n) Rta. o) Rta.

2) Resolver las siguientes operaciones combinadas.a) Rta. b) Rta.

c) Rta.

d) Rta.

Racionalización del divisor

En aquellos casos en que el divisor de un cociente es un número o una expresión irracional, resulta conveniente transformar a este cociente en otro equivalente de manera tal que el divisor sea racional.

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Ejemplos

Ejercitación

Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones.

a) Rta.

b) Rta.

c) Rta.

d) Rta.

e) Rta.

f) Rta.

g) Rta.

h) Rta.

i) = Rta.

j) Rta.

k) Rta.

l) Rta.

m) Rta.

n) Rta.

o) Rta.

p) Rta.

Potencias de exponente fraccionario

Definición

Ejercitación

1) Expresar como potencia de exponente fraccionario:

a) b) c) d) e) f)

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2) Expresar en forma radical

a) b) c) d) x = e) z = f) a

=

3) Calcular:

a) b) c)

d) e) f)

g)

Respuestas:

a) b) c) 2 d) e) f) g)

Ecuaciones

1) Resolver las siguientes ecuaciones.a)

b)

c)

d)

e)

2) Hallar x, indicar a qué conjunto numérico pertenece.a)b)

c)

d)

e)

3) Hallar x:

a) b) c) d)

e) f) g)

h) i) j)

k) l) m)

15

Respuestas:

a) x =16 b) x =2 c) x =36 d) x =3 e) x = f) x =25 g) x =4

h) x = i) x = j) x = k) x =5 l) x =27 m) x =5

Números complejos . Concepto de número complejo

No tiene solución en R.

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La imposibilidad de resolver ecuaciones como ésta, crea la necesidad de extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de números reales, mediante la introducción de los números complejos.

Ejemplos

Forma binómica de un número complejo

a + b i a es la parte real y b es la parte imaginaria

Ejemplos

2 + 3i i (unidad imaginaria) -4i 3 -0,5 +

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Operaciones con números complejos

Suma

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Ejemplo

Resta

(a + bi) - (c + di) = a + bi – c – di = (a – c) + (b – d) i

Ejemplo

(3 – 2 i) – (-6 + 4i) = 3 – 2i + 6 – 4i = (3 + 6) (- 2 - 4) i = 9 – 6 i

Ejercitación

1) Resolver las siguientes operaciones si z1 = 9 + 18 i, z2 = 8 + 2 i, z3 = - 8 + 9 i y z4 = - 5 + i a) z1 + z2 = b) z3 – z4 = c) z3 – z2 = d) z1 + z4 =

2) Resolver cada una de las operaciones combinadasa) 2 i + 8 i + (- 3 i)=

b) 5 i + 1 - i – 5 + 2 i =

c)(3 – i) – (4 + 3 i) + (1 – 2 i) =

d) + - =

e) (1 – 3 i) - + =

f) - - (3 + i) =

Multiplicación

(a + bi) . (c + di) = ac + ad i + bc i + bd i2 = ac + ad i + bc i – bd = (ac – bd) + (ad + bc) i

Ejemplos

(5 + 2i) . (3 + 4i) = 15 + 20i + 6i + 8 i2 =15 + 20i + 6i -8 = (15-8) + (20+6)i = 7 + 26i

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Ejercitación

1) Resolver las siguientes multiplicaciones

a) (- 3 + 2 i) . (- 3 – 2 i) = b)

c) (8 + 2 i). (-3 + i) d) ( + i) . (2 + 4i) =

2) Calcular las siguientes potenciasa) (2 – 6i)2 = b) (1 + i)2 = c) (4 + 2i)3 =

División

Complejos conjugados

Dado el número complejo Z = a + bi se llama conjugado de Z al número complejo = a - bi

Para calcular el cociente entre dos números complejos, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Ejemplo

Ejercitación

1) Halla el conjugado de los siguientes números complejosa) z1 = 12 + 5i b) z2 = - 4 – 2 i c) z3 = 7 – 3 i

2) Resuelve las siguientes divisiones

a) b) c) d)

3) Resuelve los siguientes cálculos combinados

a) b)

c) d)

Funciones cuadráticas

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Se dice que f es una función de A en B y se denota f: A → B si a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota f(a) = b.

El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Se denota Dom f.

El conjunto imagen está formado por los valores que alcanza la función. Se denota Im f.

Ejemplo

f(x) = x2 y = x2

Para representar esta función construiremos una tabla de valores, mediante la cual obtenemos algunos de los pares ordenados correspondientes a su gráfica.

x y = x2

0 01 12 43 94 16-1 1-2 4-3 9-4 16

Para f(x) = x2 tenemos que Dom f: R.

Como todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo, el conjunto imagen serán los reales positivos incluido el cero. Im f: [0;+ ).

La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola.

Sus dos ramas son simétricas respecto a una recta. En la gráfica construida x=0 es eje de simetría.

Se llama vértice al único punto de intersección de la parábola con su eje de simetría. En el ejemplo el vértice es el punto V = (0;0).

Dado que la función pasa a ser decreciente a creciente en x=0, entonces en este punto hay un mínimo. No tiene máximo.

Ejercitación

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Graficara) g(x) = x2 + 2 b) h(x) = x2 – 1 c) i (x) = x2 + 3d) j (x) = -x2 e) k(x) = -x2 -1

Observamos

f(x) = x2 Vy, la parábola se desplaza sobre el eje y hacia abajo (-Vy) o hacia arriba (+Vy)

Cuando el coeficiente de x2 es positivo, la parábola “mira” hacia arriba, es cóncava hacia arriba. Si el coeficiente de x2 es negativo, la parábola “mira” hacia abajo, es cóncava hacia abajo.

Ejercitación

Representar construyendo las diferentes tablas de valores, en un mismo gráfico, las siguientes funciones:

f(x) = x2 g(x) = (x + 1)2 h(x) = (x – 2)2 i(x) = - (x – 1)2

Observamos

Si f(x) = (x Vx)2 la parábola se desplaza sobre el eje x hacia la derecha (-Vx) o hacia la izquierda (+ Vx).

Vx es el valor sobre el eje x del vértice de la parábola y = (x – Vx)2.

Ejercitación

Representar en un mismo gráfico las siguientes funciones del tipo y = a x2.

f(x) = x2 g(x) = 2 x2 h(x) = x2 i(x) = - 3 x2 j(x) = - 0,75 x2

Completar

Todas las parábolas de la representación gráfica tienen como eje de simetría x = ___

y vértice en V = ( ___ ; ___).

Si a>0 las ramas de la parábola están orientadas hacia ____________.

Si a<0 las ramas de la parábola están orientadas hacia ____________.

A medida que el valor absoluto de a aumenta, la abertura de las ramas de la

parábola __________________.

21

A medida que el valor absoluto de a disminuye, la abertura de las ramas de la

parábola __________________.

Conclusiones

Si a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba. Si a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo.

La abertura de las ramas de la parábola y = a x2, depende del valor absoluto de a. Cuanto mayor es el valor absoluta de a, más cerca del eje de simetría se encuentran las ramas de la parábola.

El vértice y el eje de simetría no dependen del valor de a.

Ejercitación

Expresión canónica

Si aplicamos lo visto hasta el momento al mismo tiempo, tendremos una expresión (llamada canónica) f(x) = a (x + (-Vx))2 + Vy donde el vértice será (Vx;Vy).

a representa la concavidad de la parábola, al ser positiva el vértice es el valor mínimo de la función, si es negativa, la concavidad se invierte y el vértice es el máximo.

La abertura de las ramas de la parábola depende del valor absoluto de a. Cuanto mayor es el valor absoluto, más cera están las ramas de la parábola del eje.

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f(x) = x2

g(x) = 2 x2

h(x) = x2

i(x) = -3 x2

j(x) = - 0,75 x2

Ejemplo: f(x) = (x – 2)2 + 1

Observamos que el vértice es (2;1). a = 1, por lo tanto la parábola es cóncava hacia arriba y su vértice coincide con el mínimo.

Ejercitación

1) Completar la siguiente tabla.Parábola Vértice Eje de

simetríaMínimo Máximo.

y = (x+2)2-3y = -2(x+1)2

y = -(x-1)2-1

y = x2-4

y = 3(x-2)2 +1

y =

Representar aproximadamente las parábolas del cuadro.Sugerencias: Representar el vértice y el eje. Calcular el valor de la función para un valor x a la derecha del eje de simetría y otro para la izquierda del mismo.Indicar dominio e imagen de cada una de las funciones.

2) Indicar dos parábolas para cada uno de los siguientes vértices.a) V1 = (-1;3)

b) V2 =

c)V3 = (-5:-4)d) V4 = (2;-3)

Expresión polinómica

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Otra forma de escribir la función cuadrática es en forma polinómica.

f(x) = a x2 + b x + c a, b y c R a 0

Pasaje de la expresión canónica a la polinómica

Ejemplos

y = 3 (x–1)2 + 2 = 3 (x2 – 2x + 1) + 2 = 3x2 – 6x + 3 + 2 = 3x2 – 6x + 5

Pasaje de la expresión polinómica a la canónica

Dada y = a x2 + b x + c

O sea

Ejercitación

1) Expresar en forma polinómica cada una de las siguientes funciones.a)b)

c)

d)

2) Expresar en forma canónica cada una de las siguientes funciones.

a)

b)

c)

d)e)

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3) Indicar para las funciones de los puntos 1) y 2) dominio, imagen, vértice, eje de simetría, máximo o mínimo y gráfico aproximado.

4) Representar gráficamente utilizando tabla de valores las siguientes funciones:a) y = 2 x 2 b) y = - 2x2 c) y = x2 – 1d) y = x2 + 3 e) y = x2 – x f) y = x2 + x

5) Representar gráficamente cada una de las siguientes parábolas y determinar el vértice y la ecuación del eje.a) y = x2 – 2x + 1 b) y = -x2 + 8x – 7c) y = 4 x2 – 20x +25 d) y = 2x2 – 3x + 1

Ceros de la función

También llamadas raíces, representa los valores de x cuya imagen tiene valor cero, (x;0). Al ser cuadrática se obtiene, como máximo, 2 valores, denominados x1 y x2.

Para calcular los ceros de la función a partir de la ecuación polinómica aplicamos

Esta ecuación se denomina ecuación cuadrática.

La ecuación puede tener:

Dos soluciones

Ejemplo

x2 + 6 x – 27 = 0

x1=3

x2=-9 Una solución

Ejemplo

3x2 + 6x + 3 = 0

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x1 = x2 Tiene solución única.

Soluciones imaginarias.

Ejemplo

x2 - 4x + 5 = 0

x1 = 2 + 2i

x2 = 2 – 2i

Ecuaciones bicuadradas

Se llama ecuación bicuadrada a una ecuación de la forma a x4 + b x2 + c = 0 (a 0)

Para resolver una ecuación de este tipo hacemos la siguiente sustitución x2 = z y x4 =

z2 luego, puede escribirse a z2 + bz + c = 0 y resolverse como una ecuación de

segundo grado. Finalmente se vuelve a sustituir z por x.

Ejemplo

Hallar las raíces de la ecuación x4 – 3 x2 + 2 = 0

Sustituimos z = x2 y nos queda

z2 – 3 z + 2 = 0

z1 = 1 x1,22 = 1x1= 1

x2 = -1

z2 = 2 x3,42 = 2x3 =

x4 = -

Factorización del trinomio de segundo grado

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Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación a x2 + b x + c = 0 (a 0) entonces el trinomio de segundo grado puede escribirse

a x2 + b x + c = a (x – x1) (x – x2)

Ejemplo

Factorear el trinomio 4 x2 – 16 x – 48.

1º) Hallamos las raíces

2º) Factoreamos el trinomio teniendo en cuenta que a = 4, x1 = 6 y x2 = -2

4 x2 – 16 x – 48 = 4 . (x-6) (x + 2)

Ejercitación

1) Hallar xa) x2 - 16 = 0b) 2x2 + 30 = 0c)x2 -7x -18 = 0d) 2x2 – 16x + 30 = 0e) 20 x2 = 0f) 6x – 9 = -x2

g) x2 + 8x + 12 = 0h) 4 x4 = 37 x 2 - 9 i) x2 – 1 = 0j) x2 – 9x = 18 xk) x4 – 25 x2 + 4 = 0l) 16 x2 – 50 x + 4 = 0m) x2 – 10 x -25 = 0n) 3 x2 – 5 x = 8o) 4 x4 + 16 x2 = 0

2) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x2 – 2 (x + 4) = 0 b)

c) x (x-1) + 2x = x + 25 d) (x – 1)2 = (x + 3) (x – 1) – 4x2

e) 3 x ( x-1) – 2 (2x2 – 2x) = - 6 f) 7 – 5 x (x – 2) = x (2 – 6x)

g) h) (2x – 1)2 – 9 = 0

i) j)

k) l)

3) Dado x2 – 2x – 1 = 0. Hallar x12 + x2

2

4) La suma de dos números es 4 y su producto es 1 ¿Cuáles son los números?

5) La superficie de un rectángulo es de 48 cm2 y el perímetro es de 28 cm. Calcular la diagonal del rectángulo.

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6) Los lados de un triángulo rectángulo son números consecutivos. Calcular el perímetro del rectángulo.

7) Resolver -x2 - x + 2 m = 0

8) Hallar dos números naturales impares consecutivos tales que su producto sea 255.

9) Si al triple de un número se le suma la mitad de su cuadrado, se obtiene el duplo del mismo número. ¿Cuáles son los números que cumplen esa condición?

10) La superficie de un rectángulo es 108 cm2. Sabiendo que uno de sus lados es

igual a del otro. Calcular el perímetro del rectángulo.

11) Un número más su inverso es igual a ¿Cuáles son los números que cumplen esa

condición?

12) Dada la ecuación 5x2 + 6x + 5 = 0 de raíces x1 y x2. Calcular =

13) Dada mx2 + 4x + 4 = 0. Hallar m para que las raíces sean iguales.

14) Resolvera) 4 (x2 – 1)2 + 3x2 – 3 = 0 b) 2 x2 + 4 = - (x2 + 2).(x2 – 2)

15) Factorear

a) x2 – 4x – 5 = b) x2 + 5x + 8 = c) x2 – 6x = d) 9x2 + 6x +1 =

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Ecuaciones irracionales

Inecuaciones de 2do grado

Propiedades de las raíces:

Función exponencial

f: R R+ / f(x) = ax con a R a>0 y a1

Gráficos

f(x) = 2x g(x) =

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f(x) = ax con a>1 f(x) = ax con a<1

ObservamosLa recta de ecuación y=0 (eje x) es asíntota horizontal. No tiene asíntota vertical.

Ejercitación

1) Hacer la gráfica de las siguientes funciones exponenciales.

a) f(x) = 2x b) f(x) = 2x c) f(x) = 3x

g(x) = 3x g(x) = 2x+1 g(x) = 3x – 2 h(x) = 2x-3 h(x) = 3x + 1

Determinar dominio e imagen de cada función.Observar: ¿En qué punto cortan al eje y? ¿Por qué?¿Por qué no cortan al eje x?¿Cuáles de las funciones es creciente? ¿Por qué? ¿Qué relación tiene con las gráficas de las funciones cuadráticas?

2) Sea f (x) = 2 x

a) Hallar la imagen de 3 y la pre-imagen de

b) Hallar x:b1) f (x +2) - f (x-2) = 60 Rta. x = 4

b2) f (x+2) – f (-1) = f (-3) - Rta. x = -5

c)Probar

c1) f (x-3) – f (x+2) = f (x)

c2) f (2) . f (x+1) – f (3) . f (x-1) = 4 f (x)

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Ecuaciones exponenciales

Ejemplos

3 x+2 = 7293x+2 = 36 al tener la misma base, puedo igualar los exponentes.x + 2 = 6x = 6 – 2x = 4

-3x = -6x = (-6) : (-3)x = 2

Ejercitación

1) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

a) 5 x + 1 = 625 Rta. x = 3b) 2.3 x + 3 x + 1 = 45 Rta. x = 2c)5. 2 x + 2 x + 3 =208 Rta. x = 4d) 3 . 5 x + 5 x – 2 = 380 Rta. x = 3

e) 2 x + = 2 x + 3Rta. x = -2

f) Rta. x = -1

g) Rta. x =

h) Rta. x = 3

i) Rta. x=

j) 2 . 3 x – 1 + 3 x + 1 = 297 Rta. x = 4k) 4 . 3 x – 4 = 0 Rta. x = 0l) 2 . 2x – 10 . 2x + 4 = 0 Rta. x = -1

m) 3 x + 1 + 3 x – 1 = 90Rta. x = 3n) 3 x + 9 x = 90 Rta. x =

2o) Rta. x = 3 ó x =

p) Rta. x = 2 ó x =

q) 2 x + 4 x = 72 Rta. x = 3

r) 2 2x + 2 x – 2 = 0 Rta. x = 0

s) 3 x – 12 + 27 . 3 –x = 0 Rta. x = 2 ó x = 1

2) Sea f (x) = . Hallar x:

f (x) + f (2) = f (1) Rta. x = 2

31

3) Sea f(x) = 3x. Hallar x:[f (x)]2 + 9 . f (0) = 10 f (x) Rta. x = 0 ó x = 2

4) Hallar x

Rta. x =

Unidad 5. Función logarítmicaDefinición de logaritmo. Función logarítmica. Gráficos. Ecuaciones logarítmicas. Propiedades de los logaritmos. Ecuaciones logarítmicas utilizando las propiedades. Cambio de base.

Logaritmo

f(x) = x2 f(x) = x y x y

1 34

0,01 4f-1(x) = f-1(x) = x2

f(x) = 2x

x Y28

1f-1(x) = log2 x

log2 2 = 1 21 = 2

log2 8 = 3 23 = 8

log2 = -1 2-1 =

log2 1 = 0 20 = 1

32

Función logarítmica

Es la función inversa a la función exponencialf: R R+ / f(x) = ax (a>0 y a1) Función exponencial

f-1: R+ R / f-1(x) = log a x (a>0 y a1) es la función logarítmica de base a donde

loga x = y ay = x

Ejemplos

log3 9 = 2 32 = 9 log25 1 = 0 250 = 1

log2 1 = -2 2-2 =

Ejercitación

1) Resolver aplicando la definición de logaritmoa) log2 32 = b) log3 81 = c)log5 125 = d) log8 4096 = e) log13 1 = f) log3 243 =

g) log5 =

h) 49 =

i) Log4 64 = j) 2 = k) log2 0,25 = l) log13 169 = m) log2 512 =

n) m-3 =

o) Log16 =

p) Loga =

q) Log11 11 =

r) log2a 16ª4 =

s)log2 =

33

2) Graficar en un mismo par de ejes cartesianosa) f(x) = 2x b) f(x) = log2 x

g(x) = g(x) =

3) Calcular.

a) Rta. -2

b) Rta.

c) Rta. 4

d) Rta.

e) Rta.

f) Rta.

Ecuaciones logarítmicas

Ejemplo

log5 (x – 2) = 0 aplicando la definición de logaritmos es 50 = x – 21 = x – 2x = 3

EjercitaciónHallar x.

a) Rta. x=25

b) Rta. x=125

c) Rta.

d) Rta.

e) Rta.

f) Rta.

g) Rta.

h) Rta.

i) Rta.

j) Rta.

k) Rta.

l) Rta.

m) Rta.

n) Rta.

o) Rta.

p) Rta.

q) Rta.

Propiedades de los logaritmos1) logb x.y = logb x + logb y2) logb x:y = logb x - logb y3) logb xy = y . logb x

4) logb = logb = logb x

Ejemplos log2 32 = log2 4.8 = log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5 log3 9 = log3 27:3 = log3 27 – log3 3 = 3 – 1 = 2 log5 625 = log5 252 = 2. log5 25 = 2.2 = 4 Dado log2 3 = 1,58 y log2 5 = 2,32

log2 12 = log2 3.4 = log2 3 + log2 4 = 1,58 + 2 = 3,58log2 45 = log2 5.32 = log2 5 + 2. log2 3 = 2,32 + 3,16 = 5,48

Ejercitación

1) Resolver sin aplicar las propiedades de los logaritmos, y luego aplicandolas.a) Rta. b) Rta. x=2 ó x=-4

2) Dado y . Calcular aplicando las propiedades de los logaritmos.a) Rta. 3,1 b) Rta. 2,8 c) Rta. 5,6

3) Si . Hallar . Rta. 1,864) Si . Hallar . Rta. 2,125) Dado y . Hallar aplicando las propiedades de los logaritmos.

a) Rta. 1,3 b) Rta. 0,15 c) Rta. 10,8

6) Dado log 2 = 0,30 y log 3 = 0,47. Calcular aplicando propiedades de los logaritmos.

a) log 27 Rta. 1,41b) log 32 Rta. 1,5c) log 6 Rta. 0,77d) log 5 Rta. 0,7e) log 0,008 Rta. -2,1

f) log Rta. 0,535g) log 300 Rta. 2,47

h) log Rta.

7) Hallar xa) log4 x + 3 log4 x = 2 Rta. x = 2

b) log3 2 (x+1) – log3 (-x + 2) – 2 = 0 Rta.

c) log (x + 3) + log (2x - 1) = log 2 (x2 + 4) Rta.

d) loga x + loga x3 = -1 Rta.

Cambio de base

log b x = y

por definición de logaritmo

by = x

aplico logaritmo en la nueva base que quiero utilizar a ambos miembros

logn by = logn x

por propiedad de los logaritmos

y.lognb = logn x

Luego

log b x =

Ejemplo

Ejercitación

1) Calcular en base 10 (utilizar cambio de base).a) =b) =c)d) =

2) Dado y . Hallar:

a)b)

3) Hallar xa) Rta. x = 9

b) Rta. x = 64

Unidad 5: SUCESIONESSucesiones aritméticas y geométricas. .Aplicaciones del concepto de sucesión, deducciones de fórmulas.

Sucesión numérica:Es un conjunto de números ordenados de forma tal que se puede indicar cuál es el primero, cuál es el segundo, y así sucesivamente. Pueden ser finitas o infinitas.

: primer término

: segundo término…..

: enésimo término

Sucesiones aritméticas: (o progresiones aritméticas): cada término se obtiene sumándole al anterior un valor constante "d" llamado diferencia (o razón).d>0 => sucesión creciente d<0 => sucesión decreciente

Término enésimo:

Suma de los términos de una sucesión aritmética:

Ejercicios:1. Escribir en cada caso los cinco primeros términos de una sucesión aritmética,

siendo:a)

b)

c)

2. Completar:a)

b)

c)

d)

e)

f)

3. Obtener el término general de una sucesión aritmética siendo:

a)

b)

4. Calcular la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética de

quinto término -2 y diferencia .

5. Calcular la suma de los 12 primeros términos de una sucesión aritmética de

quinto término 5 y decimosegundo término .

6. Calcular la suma de los treinta primeros números naturales.7. Calcular la razón de una sucesión aritmética sabiendo que la suma de los 21

primeros términos es 339 y que el término de orden 21 es 9.8. Verifica si existe una progresión aritmética finita de diferencia 4, cuyo primer

término sea 2 y el último 729. En una progresión aritmética de diferencia 5, el primer término es 6. ¿Qué

lugar ocupa término cuyo valor es 56?10. Calcular el duodécimo término de una progresión aritmética en que

y .

11. Calcular el cuarto término de la siguiente progresión aritmética :

( , , …)

12. Se quieren formar 3003 soldados en triángulo de manera que la primera fila haya uno, dos en la segunda, en la tercera tres y así sucesivamente. ¿Cuántas filas habrá?

13. Calcular la suma de los 15 múltiplos de 11 que siguen a 83.14. Hallar los ángulos de un pentágono, sabiendo que están en progresión

aritmética y que el menos mide .

Sucesiones geométricas: (o progresiones geométricas): cada término se obtiene multiplicando al anterior por un valor constante llamado razón.Término enésimo:

Suma de los términos de una sucesión geométrica:

Ejercicios:1. Escribir los 5 primeros términos de una sucesión geométrica, teniendo en

cuenta los datos:

a)

b)

2. A partir de la fórmula del enésimo término, hallar las fórmulas de , n y q.3. Completar:

a) …

b) …

c) …

d) …

e) …

4. Calcular la suma de los 5 primeros términos de una sucesión geométrica de séptimo y noveno términos -1 y -3 respectivamente.

5. Investiga si existe una progresión geométrica de razón 2, primer término 3 y el último término 1436.

6. Si el tercer término de una progresión geométrica es 10 y el sexto término es 80. ¿Cuál es la razón?

7. Un día un padre decide repartir cierta cantidad de dinero entre sus cinco hijos, dando a cada uno la mitad de lo que le dio al anterior. Sabiendo que el más pequeño recibió $150. ¿Cuánto le correspondió al mayor?

8. Un jugador pierde 6 partidas seguidas de póker, habiendo perdido en la primera de ellas $15. Si triplica la apuesta en cada una de las siguientes partidas. ¿Cuánto perdió en total esa noche?

9. ¿Cuál es el valor de q en una progresión geométrica cuyo primer término es

y su cuarto término es ?

10. ¿Cuál es el número de términos de una progresión geométrica donde

y ?

Sucesiones: Problemas:1. Una bodega ordena los vinos en pilas de igual cantidad de botellas. En la

base de cada pila hay 50 botellas, en la siguiente fila 49, en la siguiente 48, y así sucesivamente hasta la última fila de 20 botellas. ¿Cuántas filas hay en cada pila y cuál es el número de botellas? Rta: 31 filas y 1085 botellas.

2. Escribir los siguientes 5 términos en cada una de las sucesiones.

a)3, 5, 9, 15,…

b)8, -4, 2, 1,…

c)1, 3, 6, 10,…

d)0, 3, 8, 15,…

3. Hallar el valor de x, para que la sucesión 3, x, sea:

a) Geométricab) Aritmética

Rta: a) 5 ó -5 b)

4. Encontrar el término general de las siguientes sucesiones:a) 5, 9, 13, 17, 21.

b)

c)

5. Hallar el valor de y r en cada sucesión aritmética.

a) Rta:

b) Rta:

6. Hallar el valor de y q en cada una de las siguientes sucesiones geométricas:

a) Rta:

b) Rtas:

o

7. Una pelota de tenis se arroja desde un balcón y cada vez que rebota alcanza dos quintos de la altura anterior. En el cuarto rebote alcanzó una altura de 0,512 metros.A) ¿Desde qué altura fue arrojada la pelota?B) ¿Qué distancia recorrió la pelota en esos 5 rebotes?Rta: 20m y 45,984 m.

8. Una empresa quiere $50000 en premios entre sus 8 mejores empleados y en orden de mérito. Si la diferencia entre los premios debe ser la misma y el mejor empleado recibe $8000. ¿Cuánto recibirán los demás?

Rta:

9. Hallar la suma de los 6 primeros términos de una sucesión geométrica

sabiendo que es positivo.

Rta:

10. Calcular el primer término de cada una de las siguientes sucesiones aritméticas:

a)

b)

a) Rta: 3 b) Rta: -10

11. Hallar la suma de los 6 términos de una sucesión geométrica en la cual

.

Rta:

12. Calcular el primer término de una sucesión geométrica en la cual

Rta: 2

13. Dados Calcular

Rta: