PROGRAMA DE ENSINO

GUIA DO EDUCADOR

CADERNO 1

INTRODUÇÃO 22

PROGRAMA DE ENSINO

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CADERNO 1

O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA DO EDUCADOR

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A Abordagem do Círculo da Matemática do Brasil Uma abordagem é sempre algo difícilde transmitir, pois ela demanda umaapropriação que, na maior parte dasvezes, somente vem com a prática. De qualquer modo, apresentamosuma lista de lembretes, agrupados em oito conjuntos de questões, sobrea abordagem apresentada pelosProfessores Bob e Ellen Kaplan,discutidas pelos educadores do Círculo da Matemática do Brasil.

“Diga-me e eu esquecerei. Pergunte-me e eu descobrirei.”Bob e Ellen Kaplan

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O perguntar incessante1.Nunca diga imediatamente as respostas aosestudantes. Faça o possível para que elescheguem as suas próprias respostas. Continueperguntando. A beleza de ensinar é colocar apergunta certa na hora certa aos seus alunos.Algumas vezes faça algumas questõesambíguas: metade do caminho da matemáticaconsiste em adivinhar como responder a umaquestão que pode ser respondida.

2. Seja paciente. As crianças precisam de tempopara pensar e para responder. Não apresse osresultados. Dê tempo às crianças.

3. As questões devem estimular as crianças aexpor suas ideias. Pense: como fazer perguntasestimulantes? Não há receita, depende docontexto.

4. Chame as crianças pelo nome. O perguntarincessante antes de tudo reconhece aindividualidade das crianças. As criançasgostam de números, mas não são números,precisam ser tratadas como pessoas.

5. Existe uma ‘coreografia do ensino’, própria aoCírculo da Matemática. Acelere até chegar aoclímax e então pause. Use a linguagem:

3“O que você acha disso?”

3“Que ideia bacana!” (sem ser excessivamente entusiasta)

3“Eu acho que você pode estar certo”

3“Eu também não sei” (mesmo que você saiba, apenas como sinal de empatia).

6.O perguntar deve promover a interaçãoestratégica entre as crianças. Quando umacriança erra a resposta, pergunte o que o/acolega acha. Pergunte também quando elaacerta. Promova a interação, deixe a eles aautoridade do responder na prática.

7. As questões devem ser simples. Você nãoprecisa usar ‘linguagem de bebê’, mas eladeve ser clara e simples. Muitas vezes, noentanto, os alunos não entendem. Não háproblema, siga refraseando até que o que está sendo dito fique claro para todos (issotambém é um modo de ampliar o vocabuláriomatemático dos alunos/as).

Ouvir de verdade8. Muitas vezes os/as professores/as podemestar bem dispostos para ouvir os alunos, masnão conseguem dar materialidade a essaação. Para que isso aconteça, registre noquadro todos os tipos de respostas, incluindo,principalmente, as erradas. Não é porque oaluno/a errou que ele ou ela é menosimportante. Todas as respostas devem serescutadas e registradas.

9. Desconstrua para construir. Não se preocupedemasiadamente com o tempo e com asmetas (não que elas não sejam importantes,mas não devem ser atingidas apenasformalmente), o foco deve ser na qualidadedo processo que você está construindo.

10. Seja um bom ou boa ‘escutador/a’. Muitasvezes, ensinar é confundido com falar,quando escutar é tão ou mais importante.

11. Simplifique tanto quanto possível questõescomplexas. Traduza pensamentoscomplexos em pensamentos simples. Ajudeseus alunos/as a entender os problemasdando a eles uma ponte de acesso amaneiras mais simples de pensar.

12. Traduza as respostas em uma linguagem quetenha um equivalente matemático, assimfica mais fácil registrar a participação dascrianças em termos concretos e é um modode incluí-las.

13. Não elogie diretamente as crianças quandoelas acertam. Elogie sua participação. Elogiequando o resultado certo é atingido. Exemplo:“Muito bom, então, o que isso sugere?”.

A organização do quadro

14. Dê flexibilidade ao seu quadro, mantenha o raciocínio principal auxiliado por outraspartes do quadro. Não subdivida o seuquadro, dê organicidade a ele.

15. Não esqueça de registrar todas as respostasdas crianças no quadro, pois o quadrotambém é das crianças.

16. Deixe alguns resultados certos no quadroquando estiver perguntando, de tal modoque as crianças possam responder suasquestões buscando-os no quadro. O seuquadro pode parecer bagunçado, mas eledeve ter uma lógica.

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O erro17. O erro é bom. Respostas erradas são muito

bem-vindas. Registre todas as respostaserradas como seu ponto de partida paraorganizar o pensamento, o seu e o da classe,em direção à resposta correta.

18. Use o erro pedagogicamente para organizaro pensamento de seus estudantes.Respostas muito erradas são muito boascomo úteis pontos de partida.

19. Não tenha medo de errar – de fato, façaalguns erros intencionais, pois isso poderevelar o entendimento dos estudantes e relaxar o clima.

Estratégias inclusivas20. Se você escutar, registrar as respostas,

receber bem os erros, isso vai ajudar muitona inclusão dos alunos/as. Mas se osestudantes não participarem, tente cativá-los,fazendo perguntas mais gerais a eles, do tipo“qual é o seu número favorito?”, “qual a corque você quer que usemos para pintar... algo no quadro?”, e assim por diante.

21. Respeite a diversidade. Cada criança deveavançar dentro de seu próprio ritmo. Mas não tolere mau comportamento, oucomportamento rude, exibido. Não promovaum ambiente competitivo permitindocomportamentos não-cívicos das crianças.

22. Diversifique os problemas e as questões. Se você vê que um problema é muito difícil,tente um outro diferente e retorne aoproblema mais difícil mais tarde (o uso da“máquina de funções” é sempre uma boaalternativa para dar uma quebra com umaregra fácil e recuperar as crianças “perdidas”).

23. Se o ambiente for hostil, introduza questõesbem gentis, para mostrar que a conversa nãoé “perigosa”, do tipo “como devemos chamaro personagem nessa atividade?”.

O fim24. Quando você se aproximar do fim, retome

o caminho lógico que vocês seguiram parachegar ao resultado. Enfatize os pontosimportantes.

25. Simplesmente chegar aos resultadoscorretos não é o fim, ou objetivo, de tudo. O segredo está na construção do processo.Brinque com o resultado. Não termine oproblema com a resposta certa, extrapole,invente, aplique o resultado. Pergunte seexistem outras formas de se chegar aomesmo resultado. Tente terminar em umanota alta com uma questão aberta: “Vamos imaginar o que pode ser feito comesse resultado na próxima aula”.

Os nãos26. Não se deve focar a aula como sessões de

cópia do quadro, sem o devido pensar. Ascrianças devem focar o pensar, não o copiar.

27. Não seja escravo/a dos conteúdos.Simplesmente “passar” pelo material nãodeve ser nossa prioridade (ver ponto 9). A nossa prioridade deve ser estimular ointeresse das crianças em pensarmatematicamente.

As sutilezas28. A maior ênfase deve ser na promoção da

imaginação das crianças e daquilo que elasestão sentindo. Por isso é importante saberquais são os pontos difíceis e os pontos deacesso à matemática para cada criança.

29. Quando formalizar? No momento em quevocê julgue que sem o rigor a discussãoficará muito solta – mas não quando o rigorpuder matar a discussão.

30. Você precisa julgar quando você passou porum ponto sem haver sido entendido portodos, ao mesmo tempo em que você nãodeseja que ele se torne repetitivo a ponto deficar chato para todos.

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Uma olhada no Math CircleBob & Ellen Kaplan, Blog “Oxford University Press”

Quando eu entrei na sala de aula de Harvard, cerca deoito estudantes já estavam lá, como eu esperava. Masas pessoas que passavam por ali estavam surpresas emvê-los – não porque existe alguma coisa anormal emchegar cedo no início de um semestre, mas peloaspecto desses estudantes: sentados em suas cadeiras,com suas pequenas pernas esticando para a frente.Eles todos tinham em torno de cinco anos de idade.Esta era a primeira aula para estes novos membros doCírculo da Matemática. Os pais, sentados no fundo dasala de aula, pode ser que estivessem nervosos, massuas crianças não estavam, porque isto erasimplesmente a próxima coisa a acontecer em umavida ainda imprevisível.“Olá”, eu disse. “Existem números entre números?”“Eu não sei do que você está falando”, disse Dora, naprimeira fileira.“Bem, você está certa – Eu também não tenho certeza”.Eu desenhei uma longa linha no quadro negro ecoloque um 0 em uma ponta e, um 1 próximo a outraponta. “Existe alguma coisa aqui?”

Sam pulou para cima e para baixo. “Não, não existenada de nada aí”, ele exclamou, “com exceção, é claro,de uma metade.” Isto não foi uma observação tãosurpreendente como você poderia imaginar, já queSam tinha acabado de fazer importantes cinco anos emeio.“Certo,” eu disse, e fiz uma marca bem próximo ao 0 ecuidadosamente nomeie-a ½.

“Ele não vai aí!” disse Sonya, sentada próximo a Dora.“Sério? Porque não?”“Ele vai no meio”.“Porque?”“Porque é isso que uma metade significa!.”Eu apaguei minha marca, mostrando relutância,mudei o ½ para o meio, agindo agora como não maisque o secretário de Sonya.“Bem”, eu disse, “existe mais alguma coisa aqui?”Silêncio... cinco segundos de silêncio, o que em umasala de aula pode parecer cinco minutos. Dezsegundos. Tom, ao fundo, levantou e começou acolocar sua jaqueta, pois estava claro que o cursotinha acabado: nós tínhamos descoberto tudo o quepoderia ser encontrado entre 0 e 1.“Eu acho que é apenas um deserto,” eu dissefinalmente, “ com talvez um camelo ou uma palmeira

ou duas,” e comecei a desenhar uma palmeira na linhados números.

“Isto é ridículo!” disse Dora, “não pode ter nenhumapalmeira aí!”“Porque não?”“Porque não é este o tipo de coisa!” Este é um insightcom o qual muitos filósofos já se debateram.Obedientemente eu comecei a apagar minhapalmeira, quando eu senti uma mão agarrando o gizde mim. Era Eric, que não tinha dito nada até aqueleponto. Ele começou a fazer marcas sobre toda a linhade números – a maioria deles entre 0 e 1. “Existem tropecentos números aqui!” ele gritou.“Tropecentos é um número?” Sonya perguntou –e aíarrancamos.Ao longo das 10 aulas de uma hora no semestre, estascrianças inventaram frações (e suas próprias notaçõespara elas), descobriram como compará-las – comotambém adicionar, subtrair, multiplicar e dividi-las; ecom umas poucas questões direcionadoras feitas pormim, os tornaram decimais. Na penúltima aula, elesdescobriram que a forma decimal de uma fraçãosempre se repete – e durante a última aula, vieramcom um decimal que não tinha um equivalentefracionário, uma vez que a maneira como oconstruíram garantiu que não se repetiria(0.12345678910111213...).As conversações envolveram todo mundo, até um oudois pais, que tiveram que ser contidos. Arrogâncias ehumilhações foram rapidamente deixadas de lado(isto não era esse tipo de coisa), e um intenso eagradável vai e volta tomou o seu lugar...... Você provavelmente pensa que era uma classe dejovens gênios, escolhidos a dedo para treinamentoespecial. De fato era como qualquer outra classe doMath Circle: nós aceitamos qualquer um que venha –amantes da matemática e aqueles que odeiam amatemática; nós não fazemos propaganda, masconfiamos no boca a boca. É verdade que esta é a áreade Boston, com seu alto percentual de famíliasacadêmicas e profissionais, mas nós temos tido omesmo tipo de aulas com crianças carentes,adolescentes de classe media, estudantesuniversitários e aposentados - de costa a costa, emLondres e Edimburgo, e (em alemão!) em Zurique eBerlim. O potencial humano para a construção dematemática, com prazer, é tão grande como o é parabrincadeiras criativas com a própria língua materna:porque a matemática é a nossa outra língua materna.

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A Grande ConversaBob & Ellen Kaplan

Ellen: Somos sobrecarregados no mundo damatemática por dois mitos: o mito de que amatemática é chata (vocês todos sabem o quantoisso é falso, ainda que isso seja tão difícil de dissipar), e o mito do talento. Mas este é um mito com o qual a maioria de nós vivemos. Ele afeta como pensamossobre a matemática e sobre os nossos estudantes, e isso afeta a forma como ensinamos.Uma vez que a matemática é nossa língua maternaperdida, não há mais talento para ela do que há para a leitura – mas a adoração heroica de uns e o amoregoísta e infantil de outros mantêm o mito vivo. Vamos olhá-lo de frente. “Especialistas são criados, não nascem [especialistas]”,diz Philip Ross em seu artigo de agosto de 2006 naScientific American, A Mente Especializada. “Leva-seaproximadamente uma década de trabalho duro paradominar qualquer campo”, ele escreve. Pesquisadoresda mente especializada usam o xadrez a fim dequantificar seus resultados, e alguns de vocês podempensar que a natureza combinatória do xadrez confirmatais resultados para a matemática. Outros pensam em uma matemática muito mais ampla do que acombinatória – mas as conclusões ainda se aplicam, poiso que ele relata faz muito sentido em qualquer campo.Se, como parece provável, podemos manipular emanter em nossas mentes apenas cerca de seteparcelas de informação por vez, o domínio só pode virde um armazenamento de hierarquias cada vezmaiores nesses poucos pacotes compactos – e dezanos de um esforço enorme em qualquer campo faráisso. ‘Estudo esforçado’ é como eles chamam isto:“enfrentar continuamente desafios que estão umpouco além de sua competência”. Especialistas-em-treinamento, ele conclui, “mantêm a tampa da caixa de suas mentes aberta o tempo todo, para que possaminspecionar, criticar e aumentar seus conteúdos e,desse modo, alcançar o padrão estabelecido peloslíderes nos seus campos de estudo.”O que isso significa para nossa abordagem incomumde ensinar matemática no Círculo da Matemática –cujo espírito, assim esperamos, captura um pouco domaravilhoso calor humano e generosidade de AndreyKolmogorov? De início, isso significa que nósaceitamos quem quer que se candidate – nenhumexame de entrada, nenhuma separação de umasuposta nata de qualquer grupo. Nosso único critério é que o estudante tenha que querer estar aqui – sejaporque ele já ama matemática – seja talvez porque eleesteja assustado com ela, mas tenha ouvido quenossas aulas são divertidas. Curiosidade é passaportesuficiente para entrar na República da Matemática.Lembre-se do que Cantor disse uma centena de anosatrás: “Matemática é liberdade!” O que nós queremos é o que todos nós queremos: expandir a entrada livre a essa república, dar cidadania da matemática a tantas

pessoas quanto possível: pois nela mentes encontrammentes em igualdade de condições e podemlivremente inventar o seu caminho em direção àcompreensão da bela estrutura das coisas.Expandindo o acesso: isso pode apenas ser realizadofora das escolas, em círculos de matemática? Por queisso não pode acontecer nas escolas, onde professorespodem ter com uma turma inteira as experiênciasagradáveis que eles lembram de ter tido apenas comum ou outro estudante? Uma vez que o mito dotalento é explodido, professores não terão mais que se esconder atrás da desculpa de que as falhas nãoeram sua culpa (“Você nunca viu um grupo tão semremédio!”) – ao invés disso, eles podem tornar amatemática tão atraente como todas aquelasdisciplinas cuja popularidade é superior – ciência,história, literatura – ao humanizá-la.Isso não somente significa mostrar os contextoshistóricos e biográficos sobre os quais repousa amatemática que eles estão estudando, mas realmentetrabalhar nisso em conjunto: permitir que seusestudantes sintam a satisfação de mini descobertas, ao menos. Não falar a eles de um pedestal a ladainhasem sentido de que a x b = b x a, mas deixá-losdescobrir por si mesmos a excepcional economia de trabalho resultante do ardil de dobrar sua tabela de multiplicação na diagonal.Será que isso demoraria muito em um mundoengrenado com o Massachusetts ComprehensiveAssessment System (MCAS)? O que se inicialentamente se acelera mais rápido do que minutosalucinados jamais conseguiriam e, além disso, deixauma trilha na mente na qual se pode viajar novamente.Pois nossa espécie vive de curiosidade e floresce nainventividade. Nós subestimamos as crianças sepensamos que elas são feitas para a MTV ou parahistórias obscenas; nós subestimamos a matemática se pensamos que qualquer recompensa vale mais doque suas próprias revelações.Assim, em nosso Círculo da Matemática, nós nãofazemos perguntas difíceis, nem colocamos osestudantes a competir uns contra os outros a fim deconseguir um vencedor pomposo e uma sala inteira de perdedores. Nós visamos deixar sua curiosidadelivre em um mistério acessível – com uma daquelasquestões que estão apenas um pouquinho além desuas competências, de modo que eles mergulhemnelas juntos, em um tom de conversa, tentandodiferentes abordagens, redesenhando a questão,testando uma conjectura, refinando seus termos,desistindo de um insight e apre endendo um outro,esforçando-se para provar o mais provável e entãodando um passo atrás para ver o que eles criaram –em resumo, fazendo matemática.Bob: E para onde é que foram a apatia e o enfado?Evaporaram-se no entusiasmo, desapareceram, porque

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não está sendo dito a eles “que é assim ou assado”, mas eles estão criando matemática por eles mesmos –novas trilhas para verdades universais. E você podever bem a sua confiança e a sua competênciacrescendo juntas. É por isso que nós tratamos todas as suas conjecturas como nós tratamos eles próprios:igualmente. Se eles partiram em um caminho errado,eles descobrirão isso em breve por eles mesmos – oucom mínimos empurrõezinhos de nossa parte.Eu estava trabalhando com crianças de quatro anosnesse outono em nosso mistério do semestre: existemnúmeros entre números? Eles haviam conjuntamenteinventado metades e, posteriormente, terços, entãodescobriram como somar metades, e então terços (atéo ponto de somar quatro desses terços, que todos nósconcordamos ser bobagem, pois como poderia serpossível ter mais do que um todo?). Mas,inevitavelmente, eles encontraram-se perguntando:quanto era a soma de uma metade e de uma terçaparte? Esse é um daqueles momentos onde o bote quetransporta a sua autoestima está suscetível de deixar onavio da matemática para sempre. Eles atacaram oproblema, até que muito sen satamente concordaramque a chave de veria estar nos quintos, visto que 2 + 3 = 5; e que a resposta era provavelmente 2/5.Mas, por fim, uma alma valente parou por um instantede empurrar símbolos, o suficiente para perceber que2/5 de uma torta aparentavam ser menos do quemetade de uma torta, e que seria muito engraçado seao final de uma adição acabássemos com menos doque quando iniciamos. Eu sugeri que isso poderia serum problema para além dos poderes humanos, mas,frustrados como eles estavam, eles não compraramessa explicação (crianças de quatro anos não temnenhum senso de tragédia). “Coloquem eles juntos”,alguém disse – a metade e a terça parte. “Separe-os”,falou alguém contrariado. Assim, eles fizeram as duascoisas e a fênix de sextos surgiu das cinzas, ninguémsoube bem ao certo como, e é claro que era 5/6, nãosabíamos disso o tempo todo? Não sabíamos – esabíamos: a experiência particular que nós todostivemos de que o que não podíamos entender umminuto atrás é justamente agora – óbvio.O mito da matemática como sendo chata vem de elater sido enfiada goela abaixo em vocês. Como elapoderia ser chata quando você está se esforçando parafazer Rumpelstiltskin dizer seu nome – e ele finalmenteo diz?Aqui é onde o aspecto mais incomum de nossaabordagem inicia: não dizer nada a ninguém. No início,colocamos uma questão que parece inofensiva edestinada a ser respondida nos próximos cincominutos, mas que curiosamente se estende mais emais, até que, no curso de um semestre, nosencontramos sobre uma fronteira. Existem númerosentre números? O que é uma prova do teorema dePitágoras – o que é uma outra prova – como pode havermais do que uma prova? Existem menos números paresdo que naturais? Você pode cortar uma ervilha com umnúmero finito de cortes e recompô-la novamente demodo que ela seja maior do que o sol? Quais polígonosvocê pode construir com régua e compasso?Damos um passo atrás e os deixamos ali. Às vezesfazemos o papel de um cético que precisa ser

convencido; às vezes, uma audiência entusiasmada; e, às vezes, de um explorador companheiro, que podeapontar para uma clareira naquela direção e para areiamovediça nessa – mas eles acertadamente sentem que inventar e descobrir está em suas mãos.Aqui um exemplo de como isso funciona, no curso quemencionei sobre o teorema de Pitágoras. Distribuímosuma prova diferente para cada um dos estudantes naprimeira aula, e os fazemos comparar notas – umacomparação que eles podem continuar por e-mail, seeles quiserem, antes do próximo encontro (sem deverde casa – o envolvimento depende deles; mas acuriosidade inevitavelmente arrasta adiante uma“brincadeira de casa”). Na próxima aula, estamosprontos para nos dedicarmos a quaisquer problemasque uma ou mais dessas provas trouxerem – e podemosperguntar o que significa ter mais de uma prova domesmo teorema – o teorema ainda é o mesmo se seucontexto mudou da geometria para a álgebra?Estamos prontos a abrir portas, caso eles não tenhamaberto, perguntando, por exemplo: você acha que oteorema é verdadeiro em três (ou mais) dimensões?Ou, para outras formas além de quadrados, nos trêslados? Ou (se sentimos uma inclinação neles emdireção à teoria dos números): você acha que podehaver outros trios de números inteiros diferentes doque (3, 4, 5) para os quais o teorema vale? – podemosencontrar (e então provar!) algum padrão geral? Há um análogo, ou generalização, para triângulos não-retângulos? As aberturas são infinitas, poisqualquer coisa leva a tudo.Ellen: O caminho nunca é calmo e suave em um cursodo Círculo da Matemática, porque é tudo improvisação– eis o risco e a emoção. Você tem de ganhá-los de suatimidez, de seu medo de cometer erros, de quererconcordar com o gru po, de buscar apenas satisfazer oprofes sor e de tentar agradar seus pais ansiosos.Mas há, então, os problemas pertencentes à própriaarte – não menos importante, o que acontece quandoeles olham para provas publicadas ou técnicasestabelecidas: todo esse simbolismo repulsivo. Seguiro pensamento de outra pessoa lendo corrido é difícil obastante; agora você precisa catar caracteressubscritos e baixar expoentes e se esgueirar atravésdaqueles sinais de integral parecidos com alquimia, eabrir seu caminho através de uma floresta de símbolos,tropeçando em parênteses, com nenhuma palavra àvista. Mas como dizemos em nosso livro sobre nossoCírculo da Matemática, Fora do Labirinto: Libertando aMatemática (Out of the Labyrinth: Setting MathematicsFree), equações e fórmulas são as últimas frases quevêm ao final da história; você não tem a obrigação decompreendê-las no início.Mas se você mesmo está fazendo os símbolos, pararepresentarem o que você já compreendeu e que vocêgostaria apenas de aludir agora, enquanto leva opensamento adiante, eles não mais barram o caminho,mas auxiliam em seu progresso. É por isso queencorajamos nossos estudantes a inventar seus própriossinais e termos – é bastante fácil, posteriormente,mostrar a eles o que outras pessoas usam.Os símbolos, todavia, são apenas o sinal exterior doque faz a matemática, tal como um diamante, tão duroe tão belo: seu impulso em direção ao que é cada vez

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mais abstrato. Você achava que estava certo lá, junto àrocha da realidade, tentando compreender por quetrês pares de linhas conectando de modo cruzado doistrios de pontos sobre a circunferência de um círculo seencontram em três pontos que estão, miraculosamente,sobre uma linha reta – e resulta que isso era apenasuma instância do que é verdadeiro para uma coleçãomaior de coniformes; e que o lar apropriado destaverdade não é, absolutamente, a Geometria Euclidiana,mas a Geometria Projetiva plana, em que ela éequivalente a seu teorema fundamental; e essaverdade não é outra, de fato, do que a propriedadecomutativa da multiplicação! – E…Não importa onde você esteja na matemática, parecehaver sempre uma sacada sobre você, de cujo pontode vista seus conhecimentos mais gerais se tornamparticulares. Isso é intimidador? Ou isso é outra versãodo que Hilbert chamou do Paraíso cujas portas Cantorabriu para nós? Algumas pessoas dão as costas ebuscam, ao invés disso, escorregadores e escadassobre os quais se lançam de um andar a outro, fazendoda matemática um saco de truques mágicos – como sefosse a idade média e você precisasse de uma frágillista de fórmulas (adicionar zero – ou era a desgraça dolobo? – para curar problemas com seu numerador, e araiz de mandrágora, ou raiz quadrada, para desfazer oQuadrático). Mas não são panaceias caseiras e medicinaimaginária; é imaginação que queremos cultivar.Assim, o que encorajamos, em nosso Círculo daMatemática, é esse tipo de imersão total no problemaem questão que é tudo o que ele é. Esse é o tempopara o atemporal. Agora você pode tomar riscos – etambém lançar a aposta da precisão: pois você jamaispode ser ousado o bastante, tampouco ser cuidadosoo bastante. Aqueles com uma inclinação para o legalsentam próximos dos imaginadores descontrolados, ecada um, idealmente, aprende do outro e vive, a partirde então, com a dupla personalidade de um matemático.Ora, esse tipo de imersão focada carece vitalmente deliberdade das pressões do mundo de testes ecompetição. Quanto mais intenso o pensamento é,mais ele precisa de lazer para apoiá-lo e rodeá-lo.Quem quer brigar com aqueles de quem você podeaprender alguma coisa? Quem quer um triunfo trivialsobre outra pessoa que por acaso está na sala, quandohá a própria matemática para começar a sercompreendida: a conexão profunda escondida sobtantas relações superficiais; os emaranhados quesucumbem à técnica; e as ideias que exigemimaginação para se revelarem.Um espírito de cooperação não apenas deixa amatemática crescer, mas os matemáticos também,mantendo o que é da criança enquanto põe de lado o que é infantil. O que isso significa? Ter um olhoinocente, uma expectativa ilimitada; deixar um espíritodivertido solto e ser um jogo para a invenção maisaudaciosa (uma especialidade para adolescentesrebeldes); estar pronto também para desistir de umapista que se revela não funcionar, uma vez que amatemática, e não seu pequeno ego, importa. Essa é agrande dádiva da infância: flexibilidade.Mas as coisas infantis que queremos que nossosestudantes ponham de lado são o espírito derivalidade e autoenaltecimento, que mancham as

trocas com os colegas e rebaixam seus própriosprazeres à amargura e à rudeza. Esse sufocamento éseguidamente mal interpretado como um realismoadulto, em um mundo visto como uma luta até o fim.Bob: Estudantes inevitavelmente se sentirão frustradosde tempos em tempos: a matemática, como anatureza, adora esconder a si mesma. Eles se sentirãorebaixados pela natureza das coisas, e em um diaescuro vão pensar sobre qual é o sentido disso, ao fimde tudo. Mais do que mudar para problemas de curtoprazo, como aqueles em concursos, que dão umaresposta rápida, ou que saltam com uma soluçãoreconfortante (que levaria o ponto e o prazer embora,assim como sua liberdade: aqui está a resposta,estúpido – você não conseguia vê-la?), daremos umempurrãozinho da forma mais discreta possível, econtaremos com a variedade de perspectivas na salapara alcançar uma nova combinação. Isso mantém atampa da caixa de suas mentes aberta, de modo apoderem inspecionar, e criticar, e rearranjar seusconteúdos – até que uma figura surja de repente.A vantagem de trabalhar cooperativamente não éapenas o suporte psicológico quando as coisas ficamdifíceis. Os pontos de vista também combinam, e naintensidade de toda essa atenção focada, acompreensão amadurece – uma vez que matemática é feita por humanos, para humanos, e descobertasnela sondam as profundezas de nossa língua materna,universal.Essa é a grande conversa que tem ocorrido desdeantes de Euclides, e que continua ininterrupta – umaconversa na qual somos, cada um de nós, tão sortudosem poder aproveitar e contribuir. Os iniciadoresdessas conversas são problemas mal colocados,porque muito do que um matemático faz é retrabalharuma questão até que a mínima abertura de umaresposta começa a abrir-se nela – e queremos quenossos estudantes trabalhem como matemáticos ofazem. Dez anos de imersão para atingir a maestria –talvez esse tempo possa ser abreviado por abordagenscomo essa. Ou ao menos começando com os bemnovos, 6 + 10 é igual a 16, ao invés de 16 + 10 sendo 26.No espírito dessa grande conversa, gostaríamos dedeixá-los com um problema que foi, por duas vezes,tema durante um semestre em um curso do Círculo daMatemática para as idades de 11 a 13 anos. Vocêconsegue ladrilhar um retângulo com quadrados nãocongru entes?O que você quer dizer, ‘ladrilhar’? Ladrilhar fisicamente?Com argamassa? Podemos pôr os ladrilhos de modotorto – ou verticalmente – ou de forma sobreposta?O sentido não é nosso, é de vocês – o que vocêsgostariam?E você quer dizer, ‘um retângulo’? Qual retângulo?Quantos retângulos? Qualquer retângulo? Alguns? Eno que diz respeito aos quadrados?Isso depende de vocês – escolham, e ve jam para ondea escolha leva a conversa.Mas e se alguns dos ladrilhos tiverem área negativa, ipor i? E você não disse quantos ladrilhos – um númeroinfinito?Sua escolha. Matemática é liberdade – a mesmaliberdade que vai alçar isso, e nós, para fora do labirinto.

O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA DO EDUCADOR

A nossa abordagem para tentar que todos seapaixonem de forma recíproca pela matemáticafunciona em todos os níveis da sofisticaçãomatemática. Isso pode ser mais facilmenteobservado olhando para uma turma de crianças de quatro a cinco anos de idade iniciantes no The Math Circle – o nosso Math Circle, isto é, ondeestudantes encontram insights juntos e inventamprovas conversando como colegas, sem um traço de competição no ar que pudesse diminuir aprofundidade desta a maior das artes.

Pule introduções artificiais de "Qual é sua cor favorita"e "Quem é seu herói de beisebol": eles podem ser maisjovens e menores que você, mas esses são seuscolegas em aventuras futuras, então fale desde o iníciocom eles como você falaria com pessoas iguais a vocêe que você admira.

"Oi, meu nome é Leslie, Você tem três amigos em sua casa para brincar e sua mãe fez um deliciososanduíche para vocês dividirem, então ela quer cortarem partes iguais – (pausa, checar se eles chegam a"quatro", apenas para ter certeza de que todosacompanham o raciocínio) – quatro partes iguais.Como ela deve fazer isso?"

Não desenhe um sanduíche ou um quadrado: isso sãopensamentos, não trabalhos manuais, e os desenhosimportantes virão logo. Você deve ter várias sugestõesdas sete ou oito pessoas ali (não muito mais que isso,para uma boa conversa onde vocês todos tomemconhecimento das formas de pensar uns dos outros).Dê as boas vindas a todas as ideias, e agora faça umesquema com todas elas (não em diagramasgeométricos, mas em desenhos que remetam ao pão).

Se a sugestão de cortar o sanduíche em quadradosnão surgir, incentive a conversa em torno disso. Nota importante: nossa abordagem não é a mesma de Sócrates ou de Moore: não busque respostas deacordo com um esquema pré-ordenado, masincentive o livre trânsito da invenção e o livrepensamento, tendo sempre os seus objetivos emmente. (estes podem mudar à medida que a conversatoma voltas inesperadas).

Agora que você tem seu desenho de um sanduíchecortado em quadrados, pergunte por outras formaspossíveis, estimulando a ideia de cortá-lo em diagonais– se essa ideia ainda não foi dada por ninguém. Umavez que isso surja, desenhe o sanduíche cortado emquadrados e em diagonais mais uma vez, separadosdo resto, mas alinhados entre si, de tamanhos similaresconforme você conseguir, e verifique com os alunos seesses desenhos estão igualmente bons.O momento crítico chegou: desenhe abaixo doprimeiro sua quarta parte em formato de quadrado eabaixo do segundo, um triângulo – com a face maior

embaixo. “ Esse é o tipo de sanduíche que vocêsadoram – qual pedaço vocês gostariam de comer?”Inevitavelmente, o triângulo será escolhido – “porque é maior.” A matemática começa agora.É verdade? Vamos ver – “redesenhe cada formatoabstrato de pão, agora em quadrados e triângulosgeométricos (você pode sussurrar algo como “eu sóestou fazendo isso para visualizar melhor”, mas umadigressão crucial espera pelo momento certo paraacontecer, idealmente quando eles trazem a questão:estamos falando sobre pão ou formatos? Sanduíches de verdade ou de mentira?) Pergunte novamente e provavelmente eles irãoinsistir: o triângulo é “maior”, “obviamente tem maissanduíche nele do que na parte quadrada”. Perguntecomo eles sabem disso e escute bem, registrando(mais para você do que para eles, já que elesprovavelmente ainda não sabem ler) as ideias pordetrás de cada uma das respostas. Do “é apenas óbvio”ao “um dos lados do triângulo é maior”: você estápercebendo como os olhos e a intuição espacialerroneamente generalizam medidas lineares e planas.Atenção, curiosidade e vivacidade são despertadas:como?, perguntam eles, você não enxerga isso? Comopoderia haver dúvidas? Alguns podem se aproximarpara tirar o giz da sua mão, para deixar mais claro.Conduza essa onda de intensidade, tanto ao seguir odeclínio da conversa quanto ao iludi-los nessa direçãoerrônea e frustrante, mas no fim frutífera: “maior”, “maisdo que” – vamos entender do que estamos falando: dêum nome, mas não uma definição, “área”.Incentive a conversação de tal forma a alcançar a ideiade cobrir cada forma com pequenas unidades dequadrados (sugira você mesmo, se eles nãosugerirem): agora um problema geométrico intratáveltornou-se aritmético. É fácil cobrir o quadrado e contaros números, deixando-os tomarem a liderança denovo. Mas e o triângulo? Um quebra-cabeça feio e remendado de quadradostruncados ao longo das diagonais, que luta agora paraque as peças se juntem e para finalizar a contagem. A matemática tem suas glórias, mas também seusdesesperos, e chegamos apenas no primeiro. Talveznão haja esperança; talvez não sejamos hábeis parafazê-lo, talvez nenhum ser humano consiga. Simulaçõesna noção de aproximação, padrões de precisão poucofirmes, voos de fantasia, reluz e passa. Agora elessabem como cada um de nós nos sentimos a meia-noite de um problema.Esse não é um problema de uma hora: não há limitede tempo, e pode continuar durante as próximas dezsemanas do curso, conforme a persistência e a atençãose alongam. Retomem a energia, sacodam a poeiracomecem tudo de novo. Talvez você precise tomar aliderança (ou deliberadamente interpretar mal uma

A Essência do Círculo da MatemáticaDescobertas fortalecem, instruções enfraquecemBob & Ellen Kaplan

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Os jovens têm a tendência a igualar a matemáticaaos cálculos – garotos pequenos estão pensandoque mesmo a geometria não é suficientementeabstrata – e se por acaso você mencionar quepessoas propuseram essas ideias eles irão realmenterecusar: isso é história – confusa e duvidosa,enquanto a matemática é pura e abstrata – corretaou errada, não há opiniões. A Matemática tal como éencontrada na escola primária não traz consigonenhum sentido da mente matemática.Eu poderia fazer todo um discurso apaixonado sobre ametáfora do ensino da música através da prática deescalas, e da literatura por meio da soletração perfeita– e quando você terminasse os 12 anos de tédio, vocêouviria que nunca mais precisaria ler um livro ouescutar música novamente.

Para iniciar uma aula é necessário ter uma energiaimensa para superar a passividade aprendida. Criançasblasés de seis anos de idade: "você é o professor – oseu papel é me dizer o que devo aprender". Não caianessa armadilha, ou na oposta, o jogo do “isto émuito legal, não é?!” (usando tangrans para fazerhomenzinhos com chapéu xinês). Você pode usaristo para atraí-los – mas ter que haver um desafio realpara conseguir engajar os músculos mentais.É crucial estabelecer desde cedo um ambiente bemhumorado, de intensidade – aqui está o que fazemos –vale a pena, e embora difícil, nós podemos fazê-lo seunirmos nossos cérebros. Estabeleça o grupo: fazer achamada no início da aula serve para diferenciar essemomento do resto do dia e também ajuda aqueles commenores aptidões sociais a aprender o nome dos colegas.

A Fala de Ellen‘Math Circle Summer Institute 2008’

sugestão na direção que você quiser): vamos nosdesfazer dessa linha de pensamento e tentar umaoutra. E se nós movermos o quarto do quadrado sobreo triângulo, com as duas bases alinhadas, até que olado vertical direito do quadrado coincida com a alturado triângulo desde sua base? (neste ponto, se parecercerto, você pode até fornecer a eles recortes parabrincar). E agora olhe: porque olhar leva a visualizar.Ah! Agora o quadrado cobre apenas metade dotriângulo, cuja metade direita fica descoberta – ealguém diz: "Eu sei que isto está errado, mas a metadeexposta se encaixa na parte superior vazia em formatotriangular do quadrado". Todos falam de uma vez:corte, gire, levante e coloque lá! Cabe! Isso é loucura, mas há exatamente o mesmo espaço paracada parte! A glória da movimento surge frente àcerteza inicialmente frustrada.Um grande insight – mas não a prova mais elegante.Tradução, dissecação, rotação e tradução novamente:podemos manter a percepção e simplificar o trajeto atéela? Deixe-os experimentarem, descartarem,descobrirem e julgarem quando forem incentivados apensar de acordo com esta abordagem: não seincomode com o quadrado, apenas corte o triângulo aomeio, na reta de sua altitude e gire-o de modo que setransforme em um quadrado! A sofisticação matemáticadeles terá crescido durante todo o seus esforços paraapreciar esta movimento e também para apreciar acomparação subjacente do triângulo para ele mesmo.É agora, se não mais cedo, que a digressão importanteda qual falamos antes pode surgir: ao cortarmos opão, perdemos um pouco dele – quanto mais, alâmina da faca torna-se menos afiada ou larga. Comolevar isso em consideração? Uma conversa agorasobre os objetos reais da matemática, sobre as formasabstratas que deixam o pão para trás, sobre tesourasmais afiadas do que facas, linhas desenhadas maisfinas do que linhas de corte, linhas na mente aindamais finas. Isso será apenas a primeira de muitasconversas desse tipo, um baixo instrumental

imaginário para todas as músicas que vocês tocarãojuntos, então não há necessidade de pressionar paraalém da satisfação presente.Terminamos? Longe disso. Nós partimos da falsa ajudaoferecida pela aritmética para uma geometria cadavez mais pura e estamos convencidos. Ainda assim,uma prova mais contundente, além da geometria, esperapara surgir: uma prova reduzida à lógica transparente.Relembre que sua mãe queria fazer quatro partesiguais para você e seus amigos comerem, e que nósvimos que ela poderia ter fei to isso de duas ou maisformas (talvez cortando em tiras verticais, ou citandoe xemplos sugeridos ao longo do percurso).Se cada uma das maneiras sugeridas resultasse emquatro partes iguais, nenhuma delas teria mais do quea outra, não importando como as quatro partes foramrepartidas? As formas nos distraíram: um quarto dotodo permanece um quarto do todo, independenteda maneira que você reparta.E agora estamos prontos para ir para um grandenúmero de direções: cortes ondulados, de trêsdimensões, de volta para entender a área e coberturacom quadrados unitários, integração... O Teorema deBolyai-Gerwien, o Teorema de Dehn, simetrias emovimentações e grupos de pessoas no horizonte.Dissemos que nossa abordagem não é Socrática,embora tenhamos falado em conversas atrativas,incentivadoras e sugestivas. Os estudantes fazem aescalada, nós, sherpas, damos os suprimentos epodemos alertar para as fendas nos momentosperigosos; não há um método fixo aqui, tudo pode seruma resposta às personalidades e ao caráter doproblema. O grande voo de alguém ocorre, conformeWallace Stevens aponta, quando tem de ocorrer, e não se pode querer determinar o seu rumo. Umcírculo de matemática é um trabalho arriscado, suaúnica rede de proteção é tecida através da confiança e empatia formadas pelas trocas fluidas de ideas.Aventuras!

O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA DO EDUCADOR

A alegria da aprendizagemparticipativa: o Círculo da MatemáticaPeter Flom, Yahoo Network, 23/ago/2009

E se as crianças adorassem aprender?E se, ao final das aulas, quisessem que elas fossemmais longas, e mantivessem o professor no corredorrespondendo perguntas?E se elas aprendessem que aliar suas imaginações aseus poderes de raciocínio lhes daria uma ferramentade poder incrível para explorar o cosmos?E se uma criança de 11 anos de idade ficasse tãoentusiasmada com seu conhecimento que gritasseOH! UAU! Agora eu entendi!E se tudo isso acontecesse na aula de matemática?Suponha que você quisesse aprender a tocar piano, e, na primeira lição, tudo o que você tem a fazer sejatocar o dó central repetidamente, e que, quando vocêperguntasse à professora o que está acontecendo, eladissesse que, por alguns meses iniciais, vocêaprenderia uma nota por semana, então você passariacerca de 10 anos tocando escalas e, depois disso,

talvez uma música?

Você voltaria? E, se alguém FIZESSE você voltar, vocêaprenderia a amar música? Se, após cinco anos nessalabuta, alguém lhe dissesse que tocar piano lhes davaalegria intensa e satisfação, e era um canal tremendopara sua criatividade e espontaneidade, você acreditarianessas pessoas? Ou pensaria que elas são doidas?

Suponha que você fosse a um professor diferente, eque, na primeira aula, você nem mesmo chegasse atocar em um piano, mas simplesmente visse um vídeodos dedos de grandes pianistas. E suponha que ocurrículo exigisse fazer isso por uma década ou duasantes de sentar e tocar. Você aprenderia a tocar?

É uma noite de terça-feira em Boston. As crianças decinco anos estão pensando em como encontrar a áreade um círculo (uma delas está fazendo isso sentada nocolo de sua mãe e ocasionalmente chupa seu dedo).As crianças de 7 anos estão explorando bases

O primeiro desafio é fazer com que o grupo trabalhede forma cooperativa – nem passivamente, tampoucocompetitivamente. Tê-los fixos em você é lisonjeiro, eajuda a fazer com que a turma se mova na mesmadireção, mas deixá-los fixos ao problema é o nossoobjetivo. Os estudantes não deveriam sentar eapreciar o seu entusiasmo; eles deveriam estarentusiasmando você.E quando eles estiverem, contenha o impulso de dizer"Isso é brilhante" para um dos alunos, e diga "Ótimo –o que podemos fazer com isso..." para que o clima de otimismo e confiança seja distribuído parao grupo inteiro.A grande tarefa de ensinar é criar uma conexãoininterrupta entre os fins e os meios: mantendo osseus olhos nos princípios por detrás do quebra-cabeça com o qual todos vocês estão envolvidos. Nãobasta que seus alunos achem a matemática divertida –evite que subentendam “a matemática é divertida":sim, nós queremos atraí-los, mas para a coisa deverdade, não para a versão da Disney. Nós precisamosfazer com que eles saibam que existe uma estruturaprofunda e de alto nível na matemática, que elessaibam que estão aprendendo a jogar o mais nobredos jogos.E também o mais vasto – qualquer coisa pode ser ocombustível para alimentar o moinho de uma mentequestionadora: quando os olhos embaçam, umainterrupção intencional daquilo que você estátrabalhando, faz com que o cérebro desperte: é horadas máquinas de função, ou uma discussão sobre seas colunas de números são Dóricas, Jônicas ouCoríntias, de onde o nome zero se origina – usando asmesmas técnicas mentais em um outro tópico.

Por que ensinar no estilo do Círculo de Matemática?A questão mais decepcionante que pode ser feita aum professor de matemática é: "por que estamosestudando isso?" ou "Para quê vou usar isso?"

Em 1969, no Congresso estava ocorrendo umaaudiência sobre porque o governo deveria financiar a construção de um novo acelerador de partículas (o supercondutor superacelerador, uma mini versãodo grande acelerador Hadron do CERN) e o senadorPastore de Rhode Island questionava Robert Wilson, o líder do Fermilab.

Pastore: O acelerador de partículas tem algo a vercom a promoção da segurança do país?

Wilson: Não, senhor, creio que não.

Pastore: Nada mesmo?

Wilson: Nada mesmo.

Pastore: Não há valor algum a respeito disso?

Wilson: Só tem a ver com o respeito que temos unspelos outros, com a dignidade dos homens, com onosso amor pela cul tura... Tem a ver com sermos bonspintores, bons escultores, bons poetas? Falo sobretodas as coisas as quais veneramos no nosso país epelas quais somos verdadeiros patriotas... Não temnada a ver diretamente com defender nosso país, massim de torná-lo merecedor da nossa defesa.

E é essa a resposta que o ensino do Círculo deMatemática dá à questão mortal da vantagem prática:As pessoas nunca perguntam "Para que isto é usado?"ou "Qual o sentido disso?" sobre algo que elasinventam (ou descobrem) por si.

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diferentes. As de nove anos estão fazendo teoria dosgrupos. As crianças grandes (11 anos) estão provandoo teorema de Bolyai-Gerwien (se dois polígonos têm amesma área, um pode ser seccionado por um númerofinito de seções retas e recomposto para formar ooutro). Ninguém está fazendo nenhum exercício,ninguém está ficando entediado, e ninguém estásendo rebaixado por respostas erradas ou suposiçõesruins. Isso é uma aula de matemática, mas Bob e Ellenestão ensinando. E não é parecido com nada que eutenha visto antes.

Quem ensina área a crianças que não sabem comomultiplicar? Quem pensa que você pode ensinarbases para a segunda série? Quem pensa que criançasque provam com sucesso o teorema de Bolyai-Gerwien devem passar para um dos problemas deHilbert? Quem pensa que crianças de 11 anos podemser guiadas através de grandes teoremas namatemática?

O mesmo tipo de pessoa que sabe que você podecantar antes de aprender uma escala (ou mesmo oque é um dó central). O tipo de pessoa que sabe quematemática não é multiplicação e divisão, ou mesmodiferenciação e integração, mas uma das criações maisbelas e interessantes da mente humana. O tipo depessoa que sabe que, uma vez que você ligou umacriança, é melhor sair do caminho, porque elas semovem rápido.

Muitas pessoas odeiam matemática; e quase ninguémfaz matemática apenas por diversão. Depois de umdia duro de trabalho, relaxar tentando provar umteorema de uma nova forma, ou ficar brincando com a conjectura de Goldbach? Não. Pouco provável. E, sevocê é uma das poucas pessoas que fazem esse tipode coisa, você provavelmente fica quieto sobre isso,com receio de que seus amigos pensem que você élouco. Se você toca piano por diversão, você podedizer a seus amigos… eles podem invejá-lo (ou não),ou admirá-lo (ou não), mas eles provavelmente nãovão pensar que você é maluco. Nem mesmo se elesnão gostam de música. Se você diz a eles que pensaque a música de Bach é bela, eles podem nãoconcordar, mas eles não vão olhar para você de umjeito estranho e balançar suas cabeças. E isso éverdade, mesmo se eles souberem que você jamaisdará um recital, muito menos tocará no Carnegie Hall.

Se você joga em uma liga de basquete depois dotrabalho, ninguém espera que você seja MichaelJordan. E se você tem orgulho de si por jogar melhordo que habitualmente, ninguém diz “por que fazerisso? Isso é para profissionais!”

Por que essa diferença? E o que podemos fazer sobreisso? Bob e Ellen Kaplan têm algumas das respostas. E essas respostas envolve mais do que matemática.Elas envolvem raciocínio, aprendizagem, sobre alegria,e, em um sentido real, sobre ser humano. Eles chamam seu grupo de the Math Circle.

Eles aceitam qualquer criança que aparece, mas nemtodo mundo que vem ama matemática no início.Alguns vêm porque têm um amigo tendo aula – e,assim, Bob e Ellen conseguem acender a chama.(Falando com eles, eu penso que eles quaseprefeririam aceitar SOMENTE crianças que pensam

odiar matemática). Enquanto há auto seleção nascrianças para as quais eles ensinam em Boston, elesderam aulas semelhantes em escolas públicas e emoutros países, e pessoas estão agora usando métodossemelhantes em prisões, e logo os utilizarão emCamarões.Bob e Ellen não originaram a ideia de um círculo dematemática. Coisas semelhantes foram feitas por umlongo tempo na Rússia, e, nos Estados Unidos, coisassemelhantes foram feitas por Robert Lee Moore, cercade 100 anos atrás. Mas Moore era um tipo combativo,competitivo, e sua agressividade desinteressou muitagente. Os Kaplans unem algumas das ideias de Moorea uma completa falta de competitividade e umasensibilidade liberal sobre as crianças. Mas a ideiaessencial no método de Moore, e no dos Kaplan, é queas pessoas aprendem fazendo, seja piano oumatemática, e que esse tipo de aprendizado podetrazer alegria a pessoas, mesmo se elas nunca tocaremno Carnegie Hall ou ganharem uma Medalha Fields.Eles vem fazendo isso agora por 14 anos; esse ano,eles têm mais do que 100 estudantes, e, agora, noverão, treinam outros para seguir seus métodos. Elesdetalharam como o fazem, e por que o fazem, em umlivro: Out of the labyrinth: Setting mathematics free.Algo do que eles fazem, é claro, é dependente de suapersonalidade. Mas algo disso, um bocado disso, étransferível; Bob e Ellen têm tido sucesso treinandopessoas que já são professores de matemática, paraque eles saibam o suficiente para ensinar desse modo,e eles têm treinado estudantes graduados emmatemática nos modos como as crianças pensam,assim eles podem ensinar dessa maneira. Muitaspessoas que amam matemática querem compartilharesse amor e espalhar a palavra de que a matemáticanão é um assunto entediante e seco – algumas dessaspessoas podem aprender a fazer isso.Alguns de vocês podem estar dizendo que a ideia detocar escalas por dez anos é facilmente derrubada. É claro que ninguém insiste que um músico pratiqueescalas por 10 anos! Esse é precisamente o pontocentral. DE FATO, insistimos nisso, ou no seuequivalente em matemática. O que músicos fazem?Eles tocam música. O que compositores fazem? Eles escrevem música. O que matemáticos fazem? Elesprovam teoremas. Eles tocam matemática. Mas muitosdos estudantes de matemática não são permitidos de fazer nada disso até chegar à universidade. Elespodem ver uma prova, especialmente em geometria.É como ver Vladimir Horowitz tocar piano. Isso não éruim, mas ninguém aprende a tocar piano apenasolhando. Você aprende a tocar o piano ao tocar – e, noinício, você toca muito mal. Quando uma criança de 5anos supõe (como uma fez quando eu estavaobservando) que 9 x 9 é 25, porque 25 é ‘maior’, elaestá fazendo o que um estudante de primeiro ano depiano faz quando ele destrói uma peça básica. Ambosse tornarão melhores ao praticar, especialmente seessa prática for guiada por um professor.Como nós podemos mudar a educação matemática?Bem, quando o problema 9 x 9 apareceu na classe,uma criancinha de cinco anos disse:Vamos descobrir!

O CÍRCULO DA MATEMÁTICA DO BRASIL – GUIA DO EDUCADOR

Out of the LabyrinthBob & Ellen Kaplan, Oxford University Press Blog

When I walked into the Harvard classroom, abouteight students were already there, as I’d expected.But people passing by were surprised to see them –not because there was anything unusual in earlyarrivals at the beginning of a semester but becauseof what these students looked like: sitting in theirtablet armchairs, their little legs sticking straight outin front of them. They were all about five years old.This was the first class for these new members of The Math Circle. The parents, ranged at the back, may have been nervous but their children weren’t,because it was simply the next thing to happen in astill unpredictable life.“Hello,” I said. “Are there numbers between numbers?”I don’t know what you’re talking about,” said Dora, inthe front row.“Oh – well, you’re right – I’m not too sure myself.” Idrew a long line on the blackboard and put a 0 atone end, a 1 near the other. “Is there anything inthere?”

Sam jumped up and down. “No, there’s nothing thereat all,” he exclaimed, “except of course for one half.”This wasn’t as surprising a remark as you might think,since Sam had just turned an important five and ahalf.“Right,” I said, and made a mark very close to the 0and carefully labeled it 1/2.

“It doesn’t go there!” said Sonya, sitting next to Dora.“Really? Why not?”“It goes in the middle.”“Why?”“Because that’s what one half means!”I erased my mark and, with a show of reluctance,moved 1/2 to the middle, acting now as no morethan Sonya’s secretary.“Well,” I said, “is there anything else in there?”Silence…five seconds of silence, which in a classroomcan seem like five minutes. Ten seconds. Tom, at theback, got up and began to put on his jacket, becauseclearly the course was over: we’d found all there wasto find between 0 and 1.“I guess it’s just a desert,” I said at last, “with maybe acamel or a palm tree or two,” and began sketching ina palm tree on the number line.

“Now that’s ridiculous!” said Dora, “there can’t be anypalm trees there!”“Why not?”

“Because it isn’t that sort of thing!” This is an insightmany a philosopher has struggled over.Obediently I began erasing my palm tree, when I felta hand grabbing the chalk from mine. It was Eric, whohadn’t said anything up to this point. He startedmaking marks all over the number line – most ofthem between 0 and 1 but a fair number beyondeach.“There are kazillions of numbers in here!” he shouted.“Is kazillion a number?” Sonya asked – and we werefully launched.In the course of the semester’s ten one-hour classes,these children invented fractions (and their ownnotation for them), figured out how to comparethem – as well as adding, subtracting, multiplying,and dividing them; and with a few leading questionsfrom me, turned them into decimals. In the next tolast class they discovered that the decimal form of afraction always repeats – and in the last class of all,came up with a decimal that had no fractionalequivalent, since they made it guaranteed that itwouldn’t repeat (0.12345678910111213…)The conversations involved everyone, even a parentor two, who had to be restrained. Boasting and put-downs were quickly turned aside (this wasn’t thatsort of thing), and an intense and delightful back-and-forth took their place……You probably think this was a class of younggeniuses, hand picked for special training. In fact itwas like any other Math Circle class: we take whoevercomes – math lovers and math loathers; we don’tadvertise but rely on word of mouth. True, this is theBoston area, with its high percentage of academicand professional families, but we’ve had the samesort of classes with inner-city kids, suburbanteenagers, college students, and retirees – from coastto coast, in London, Edinburgh, and (in German!) inZurich and Berlin. The human potential for devisingmath, with pleasure, is as great as it is for creative playwith one’s native language: becausemathematics is our other native language.

The Great ConversationBob & Ellen Kaplan

Ellen:We’re burdened in the math world by twomyths: the myth that mathematics is dreary (you allknow how false this is, yet how hard to dispel), andthe myth of talent. But this is a myth most of us liveby. It affects how we think about math and about ourstudents, and it affects how we teach.Since math is our lost native language, there’s nomore a talent for it than there is for reading – butromantic hero-worship by some and childish self-love by others keep the myth alive. Let’s look at itsquarely.“Experts are made, not born,” says Philip Ross in hisAugust 2006 Scientific American article, The ExpertMind. “It takes approximately a decade of heavy laborto master any field,” he writes. Expert-mindexperimenters use chess in order to quantify theirresults, and some of you may think that the

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TEXTOS ORIGINAIS 19

combinatorial nature of chess confirms these resultsfor math. Others think math much broader thancombinatorics – but the conclusions still apply, forwhat he reports makes very good sense in any field.If, as seems likely, we can only manipulate and hold inour minds seven or so chunks of information at atime, mastery comes from packaging greater andgreater hierarchies into these few compact bundles –and ten years of enormous effort in any field will doit. ‘Effortful Study’ is how they put it: “Continuallytackling challenges that lie just beyond one’scompetence.” Experts-in-training, he concludes, “keepthe lid on their mind’s box open all the time, so thatthey can inspect, criticize and augment its contentsand thereby approach the standard set by leaders intheir field.”What does this mean for our unusual approach toteaching math in The Math Circle – whose spirit, wehope, captures some of the wonderful humanwarmth and generosity of Andrey Kolmogorov? For astart, it means we take whoever applies - no entranceexam, no skimming off the supposed cream of anycrop. Our only criterion is that the student has towant to be there – either because she already lovesmath - or perhaps he’s scared of it, but has heard thatour classes are fun. Curiosity is passport enough toenter the Republic of Mathematics. Remember whatCantor said a hundred years ago: “Mathematics isfreedom!” What we want is what all of us want: toextend the franchise to this republic, to give citizenshipin it to as many people as possible: for in it minds meetminds on equal terms and freely invent their waytoward understanding the beautiful structure of things.Extending the franchise: can this only be doneoutside of schools, in math circles? Why can’t ithappen in schools, where teachers can have with awhole class the delightful experiences theyremember having had with one or two? Once themyth of talent is exploded, teachers will no longerhave to hide behind the excuse that failures weren’ttheir fault (“You never saw such a hopeless lot!”) –instead, they can make math as attractive as all thosesubjects that popularly outrank it – science, history,literature – by humanizing it.This doesn’t only mean showing the historical andbiographical contexts that the math they’re workingon together lie in, but actually working on ittogether: letting their students feel the exhilarationof mini-discoveries, at least. Not telling them from onhigh some meaningless rigmarole that a x b = b x a,but having them discover for themselves theexcellent labor-saving dodge of folding their timestables down the main diagonal. Will this take too long, in a world geared to theMCAS? What starts slowly accelerates faster than madminutes ever do, and leave a path in the mind that itcan travel again. For our species lives by curiosity, andthrives on ingenuity. We sell kids short if we thinkthey’re for MTV or a tale of bawdry; we sell mathshort if we think any prize is worth more than its ownrevelations. So in our Math Circle, we don’t ask tricky questionsand set students to racing against each other to getone puffed-up winner and a roomful of losers. We

aim to let their curiosity loose on an accessiblemystery – one of those questions that lie just beyondtheir competence, so that they will plunge into ittogether, conversationally, trying differentapproaches, re-shaping the question, testing aconjecture, refining their terms, giving up one insightand seizing on another, struggling to prove thelikeliest and then stepping back to see what it wasthey had created - in short, doing mathematics. Bob: And where has the dreariness gone to?Evaporated in enthusiasm; vanished, because they’renot being told what’s so or isn’t so, but are creatingmath themselves – new paths to universal truths.And you can just watch their confidence and theircompetence increasing together. This is why we treatall of their conjectures as we treat them: equally. Ifthey’ve gone off on a wrong track, they’ll discoverthis for themselves soon enough – or with the leastbit of nudging from us. I was working with four-year-olds this fall on oursemester-long mystery: are there numbers betweennumbers? They had invented halves, and later thirds,and figured out how to add halves together, andthen thirds (even to the extent of adding up four ofthese thirds, which we all agreed was silly, becausehow could you ever have more than a whole?) Butinevitably they found themselves asking: how muchwas a half and a third? This is one of those placeswhere the boat carrying your self-esteem is likely toleave the ship of mathematics forever. They tuggedand tore at it, and quite sensibly agreed that fifthswere the key, since 2 + 3 = 5; and that the answer wasprobably 2/5. But at last one brave soul stopped pushing symbolsaround long enough to notice that 2/5 of a pielooked like less than half a pie, and it would be apretty funny sort of adding that ended up with lessthan we’d started with. I suggested that this might bea problem beyond human power, but frustrated asthey were, they weren’t buying that (four-year-oldshave no sense of tragedy). “Push them together,”somebody said – the half and the third. “Split themup,” said the class contrarian. So they did both, andthe phoenix of sixths rose from the ashes, no onequite knew how, and of course it was 5/6, didn’t weknow that all along? We didn’t – and did: the peculiarexperience we’ve all had that what we couldn’tunderstand at all a minute ago is now just – obvious.That myth of math being dreary comes from havingit crammed down your throat. How could it possiblybe dreary when you’re struggling together to makeRumpelstiltskin say his name – and at last he does?This is where the most unusual aspect of ourapproach comes in: not telling anyone anything. Atthe outset we pose a question that looks harmlessand bound to be answered inthe next five minutes or so, but oddly enough leadson and on, until, in the course of a semester, we findourselves on the frontier. Are there numbersbetween numbers? What’s a proof of thePythagorean Theorem – what’s another - how canthere be more than one proof? Are there fewer evennumbers than natural numbers? Can you cut up a

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pea with a finite number of cuts and put it togetheragain to be larger than the sun? Which polygons canyou construct with straightedge and compass?We step back and let them at it. At times we play therole of a skeptic who needs to be convinced; at times,an appreciative audience; and at times, a fellowexplorer, who may point out a clearing in that directionand quicksand in this – but they rightly soon sensethat the inventing and discovering are in their hands.Here’s an example of how that works, in the course Imentioned on the Pythagorean Theorem. We’ll handout a different proof to each of the students at thefirst class, and have them compare notes – acomparison that can continue by e-mail, if they wish,before the next meeting (no homework - theinvolvement is up to them; but curiosity inevitablytugs homeplay onward). In the next class, we’re readyto take up whatever issues one or more of theseproofs have brought up – and may ask, what does itmean to have more than one proof of the sametheorem – is the theorem really still the same if itscontext has changed from geometry to algebra?We’re ready to open doors should they not, byasking, for example: do you think the theorem is truein three (or more) dimensions? Or for shapes otherthan squares on the three sides? Or (if we sense aninclination among them toward number theory): doyou think there might be other triples of integersthan (3, 4, 5) for which the theorem holds – can wefind (and then prove!) some general pattern? Is therean analogue, or generalization, to non-righttriangles? The openings are endless, becauseanything leads to everything.Ellen: The path is never smooth in a Math Circlecourse, because it’s all improvisation – there’s the riskand the thrill. You have to cajole them out of shynessand fear of making mistakes, and wanting to agreewith the group and trying to read you and to pleasetheir anxious parents.But then there are the problems belonging to thecraft itself - not the least, what happens when theylook at published proofs or established techniques:all that off-putting symbolism. Following a train ofsomeone else’s thought by reading straight throughit is hard enough, now you have to scoop upsubscripts and haul down exponents and try toscramble over those alchemical-looking integralsigns, and make your way through a forest ofsymbols, tripping on the brackets, with never a wordin sight. But as we say in our book about our MathCircle, Out of the Labyrinth: Setting MathematicsFree, equations and formulas are the punch-lines thatcome at the end of the story; you’re not meant tounderstand them at the beginning.But if you’re making up the symbols yourself, to standfor what you’ve already figured out and would justlike to allude to now, while driving thought forward,they no longer bar the way but aid your progress.That’s why we encourage our students to devise theirown signs and terms – it’s easy enough to show themafterward what other people use.The symbols, though, are only the outward sign ofwhat makes math, like a diamond, so hard and so

beautiful: its impulse toward the ever more abstract.You thought you were right there, at the rockface ofreality, trying to figure out why the three pairs of linescross-connecting two triples of points on a circle’scircumference meet in three points that lie,miraculously, on a straight line – and it turns out thiswas only an instance of what’s true for the largercollection of conics; and that truth’s proper homeisn’t Euclidean Geometry at all, but plane ProjectiveGeometry, where it is equivalent to its fundamentaltheorem; and this truth is in fact none other than thecommutative property of multiplication! – And… No matter where you stand in math, there seemsalways to be a balcony above you, from whosehigher standpoint your most general insightsbecome particulars. Is this daunting? Or is thisanother version of what Hilbert called the Paradisewhose doors Cantor opened for us? Some peopleturn away and look instead for chutes and ladders on which to dart from one floor to another, makingmath into a bag of magic tricks – as if this were themiddle ages, and you needed a brittle formulary ofsimples (adding zero – or was it wolf’s bane? – to cureproblems with your numerator, and mandrake root,or square root, to undo the Quadratic). But it isn’thomely nostrums and imaginary medicine; it’simagination we want to cultivate. So what we encourage, in our Math Circle, is that kindof utter immersion in the problem at hand thatmakes it all there is. This is the time for the timeless.Now you can take risks – yet also raise the ante ofprecision: for you can never be daring enough, norever careful enough. Those with a leaning toward thelegal sit next to wild imaginers, and each, ideally,learns from the other and lives from then on with a mathematician’s split personality. Now this sort of focused immersion vitally needsfreedom from the worldly pressures of tests andcompetition. The more intense the thought, the more leisure it needs to support and surround it. Whowants to battle with those from whom you mightlearn something? Who wants a trivial triumph oversome other person who happens to be in the room,when there’s the math itself to come to grips with: thedeep connection hidden below so many surfacerelations; the tangles that succumb to technique, andthe ideas that it takes imagination to reveal. A collegial spirit not only lets the math grow, but themathematicians too, keeping what is childlike whileputting away the childish. What does this mean?Having an innocent eye, and unboundedexpectation; letting a playful spirit loose and beinggame for the most audacious inventing (a specialtyof rebellious adolescents); being ready as well to giveup on a lead of yours that turns out not to work, sincethe math, not your little ego, matters. That’s the greatgift of childhood: flexibility. But the childish things we want our students to putby are the spirit of rivalry and self-trumpeting, whichtarnish exchanges with colleagues and narrow yourown pleasures down to the bitter and the abrasive.This stiffening is often mistaken for adult realism, in a world read as a fight to the finish.

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Bob: Inevitably students will feel frustrated from timeto time: mathematics, like nature, loves to hide itself.They’ll feel put down by the nature of things, and ona dark day wonder what the point of it is, after all.Rather than switch to short-term problems, like thosein contests, that give a quick fix, or leap in with asoothing solution (which would indeed take thepoint and the pleasure away, and their freedom aswell: here’s the answer, stupid – couldn’t you see it?),we’ll nudge as unobtrusively as possible, and counton the variety of outlooks in the room to hit on a newcombination. This keeps the lid on their mind’s boxesopen, so that they can inspect, and criticize, andrearrange its contents – until a shape all at onceemerges.The advantage of working collegially isn’t onlypsychological support when the going gets tough.The points of view combine as well, and in theintensity of all that focused attention, insight matures– since math is made by humans, for humans, anddiscoveries in it troll in the depths of our native,universal language.This is the great conversation that has been going onsince before Euclid, and which continues unbroken –a conversation we’re each so lucky to enjoy andcontribute to. The starters of such conversations areill-posed problems, because much of what amathematician does is to rework a question until theleast aperture of an answer begins to open in it – andwe want our students to work as mathematicians do.Ten years of immersion to achieve mastery – perhapsthat time can be shortened by approaches such asthis. Or at least by starting it with the very young, 6 +10 equals 16, rather that 16 + 10 being 26.In the spirit of this great conversation, we’d like toleave you with a problem which has twice been thesemester-long subject of a Math Circle course for 11-to 13-year olds. Can you tile a rectangle with non-congruent squares?What do you mean, ‘tile’ - physical tiling? With grout?Can we put the tiles in crookedly – or vertically - oroverlapping? The meaning isn’t ours, it’s yours – what would you like?And what do you mean, ‘a rectangle’? Whichrectangle? How many rectangles? Any rectangle?Some? What about squares?That’s up to you – choose, and see where the choicetakes the conversation.But what about some of the tiles having negativearea, i by i? And you didn’t say how many tiles – aninfinite number?Your choice. Mathematics is freedom – the veryfreedom which will lift it, and us, out of the labyrinth.

Essence of the Math CircleDiscovery strengthens, instruction weakens.Bob & Ellen Kaplan

How we aim to have everyone fall in reciprocated lovewith math works at every level of mathematicalsophistication, so can be most clearly shown if welook at a classroom of four- to five-year-olds, new toThe Math Circle – our Math Circle, that is, where

students come up with insights together and inventproofs in collegial conversation, not a hint ofcompetition in the air to cheapen the profundity ofthis greatest of the arts.Skip artificial introductions of “What’s your favoritecolor” and “Who’s your baseball hero”: they may beyounger and shorter than you, but these are yourcolleagues in the adventures ahead, so talk from thefirst with them as you would to admired equals.“Hello, my name is Leslie. You have three friends overto play and your mother has made a delicioussandwich for all of you to share, so she wants to cut itinto equal parts – (pause, to check if they come upwith ‘four’, just to make sure what page you’re all on) –four equal parts. How should she do it?”No drawing of a sandwich or of a square: this is minds,not hands on, and the important drawings will comesoon. You should get a lot of suggestions from theseven or eight people there (not too many more, for agood conversation where you all get to know oneanother’s ways of thought). Welcome all offers, and nowlightly sketch each (not geometric diagrams, but bread-like approximates). If cutting into squares doesn’t comeup, nudge the conversation toward it. Important note:our approach isn’t that of Socrates or Moore: noeliciting of answers according to pre-ordainedschema, but the free flow of invention and zaniness,with goals of your own kept in mind (these maychange as the conversation takes unexpected turns). Now that you have your drawing of a sandwich cut insquares, ask for other possible ways, aiming forquartering on the diagonals — if this hasn’t alreadycome up. Once it has, draw the square and diagonalcut sandwiches again, away from the rest but lined upnear each other, as alike in size as you can casuallymanage, and check with them that these are equallygood drawings.The critical moment has arrived: draw below the first a quarter square extracted from it, below the seconda triangle – long side at the bottom. “This is the kindof sandwich you love – which piece would you ratherhave?” Almost inevitably, the triangle will be chosen –“because it’s bigger.” Math has now begun.“Really? Let’s see –“ redraw each abstracted from thebread shape, now as geometric square and triangle(you could mumble something about “I’m just doingthis to see it more clearly”, but a crucial digression iswaiting for the right moment to happen, ideally whenthey bring the issue up: are we talking about bread orshape, real or pretend sandwiches?) Ask again, and likely they’ll stick to their guns: thetriangle is “bigger”, “there’s more of the sandwichthere, obviously, than in the quarter square.” Ask howthey know and then listen closely, writing up (morefor yourself than them, since they likely can’t yet read)the idea behind each answer. From “it’s just obvious”to “the triangle’s side is longer”: you’re hearing howthe eye, and spatial intuition, wrongly generalize fromlinear to planar measure. Attention, curiosity and feistiness are aroused: how,they ask, could you not see it? How could there beany doubt? Some come up to take the chalk fromyour hand, to make it clear. Riding this wave of

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intensity, either follow the conversation’s fall-line, orPied Piper beckon them in this wrong, frustrating, butin the end very fruitful direction: “bigger”, “more of” –let’s figure out what we’re talking about: give it aname but not a definition, ‘area’. Encourage the conversation to come up with tilingeach shape with small unit squares (suggest ityourself, if they don’t): now an intractable geometricproblem has been made arithmetic. Easy to tile thesquare and count the number, letting them take thelead again. But the triangle? A hideous jig-saw puzzleof truncated squares along the diagonals, scramblingnow to piece them together into makeshift squares tofinish the counting. Math has its glories but also itsdespairs, and we’re just reached one. Perhaps it’shopeless; perhaps we won’t be able to do it, perhapsno human could. Feints at the notion ofapproximation, slackened standards of accuracy,flights of fantasy, glimmer and pass. They now knowwhat each of us has felt at a problem’s midnight.This isn’t an hour’s problem: it has no time limit, andmay go on over the whole ten weeks of the course, asdoggedness and attention-spans lengthen. Pickyourselves up, dust yourselves off, start all over again.You may need to take the lead (or willfullymisinterpret a suggestion in the direction you want):let’s scrap that line of thought and try another. What ifwe slide the quarter square over the triangle, basealong base, until the square’s right-hand vertical edgecoincides with the triangle’s altitude to its long base?(At this point, if it seems right, you might even handthem cut-outs to play with.) And now look: for lookingleads to seeing.Ah! The square now covers only half of the triangle,whose right-hand half lies exposed – and someonesays: “I know this is wrong, but that exposed halfmatches the upper, empty triangle half of the square.”Everyone talks at once: cut it off, rotate it, lift it up andput it there! It fits! This is crazy, but there’s exactly asmuch of each! The glory of the move makes up for thedashed original certainty.A great insight – but not the most elegant proof.Translation, dissection, rotation and translation again:can we keep the insight and simplify the road to it?Let them experiment, discard, discover, and judgewhen to nudge them toward this approach: don’tbother with the square, just cut the triangle along itsaltitude, and rotate to turn it into a square! Theirmathematical sophistication will have grown duringall their labors to appreciate this move, and theunderlying comparing of the triangle to itself.It’s now, if not earlier, that the important digressionwe spoke of before may come up: slicing the breadloses some of it – the more, the duller or wider theknife-blade. How take this into account? Aconversation now about the real objects of math,about abstracted shapes that leave the doughbehind, about scissors sharper than knives, drawnlines thinner than cut lines, lines in the mind thinner yet.This will be only the first of many such conversations, afigured bass to all the music you will play together, sono need to press beyond present satisfaction.Are we done? Far from it. We’ve gone from the false

help offered by arithmetic to the more and morepurely geometric, and are convinced. Yet a deeperproof, beyond the geometric, lies waiting to be born:a proof reduced to transparent logic. Recall that yourmother wanted to make four equal parts for you andyour friends to eat, and we’ve seen that she couldhave done this in two or more ways (perhaps verticalstrips, or example, had come up in the course ofsuggestions). If each way ended with four equal parts,mustn’t any one of them have as much in it as anyother, no matter how the quarter-parts were made?Shape distracted us: a fourth of the whole remains afourth of the whole, no matter how you slice it.And now we’re ready to go on in any of a number ofdirections: wavy cuts, three dimensions, back tounderstand area and tiling with unit squares,integration… the Bolyai-Gerwien Theorem, Dehn’sTheorem, symmetries and motions and groupssparkle on the horizon. We’ve said our approach isn’t Socratic, yet time andagain have spoken of enticing, suggesting, nudgingthe conversation. The students do the climbing, wesherpas bring up the supplies and may at dangerousmoments point out crevasses; there is no fixedmethod here, all’s a response to personalities and thecharacter of the problem. One’s grand flights, one’stootings at the weddings of the soul, occur, WallaceStevens pointed out, when they occur, and can’t belegislated for. A Math Circle is a high-wire act, its onlysafety net that woven by the trust and empathyforming from fluid exchanges.Adventure!

Ellen’s TalkMath Circle Summer Institute 2008

The young have a tendency to equate math withcalculation – little boys thinking that even geometryis not abstract enough – and if you happen tomention that people came up with these ideas theyreally balk: that's history - messy and unreliable, whilemath is pure and abstract - right or wrong, noopinions. Math as one encounters it in elementaryschool brings with it no sense of the mathematicalmind.I could give a whole impassioned talk on themetaphor of teaching music by practicing of scales,and of literature by perfecting spelling - and whenyou'd finished 12 years of boredom you'd be told youneed never read a book or listen to music ever again.Starting a class takes immense energy to overcomelearned passivity: Blasé six year old: "you're theteacher - your job is to tell me what to learn". Don'tfall into that trap, or its dual, the "isn't this neat!" play(making little men with coolie hats out of tangrams).You can use that to lure them in - but there has to bea real challenge to engage the mental muscles.It is crucial to establish early the context of highhumor, intensity – here’s what we’re doing – it isworthwhile, and though difficult, we can do it if wepool our brains. Establish the cohort: takingattendance at the start of class both serves to draw

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the line between this and the rest of the day, and is away for the less socially adept to learn the names ofother kids. The first challenge is to get the group workingcollegially - neither passively nor competitively.Having them fixed on you is flattering, and doesserve to get the class moving in the samedirection, but fixed on the problem is what we areaiming for. The students shouldn’t be sittingenjoying your excitement; they should be excitingyou. And when they do, restrain the impulse to say“That’s brilliant!” to an individual, replacing it by“Great – what can we do with that...”, so that themood of optimism and confidence is distributed tothe whole group.The big job of teaching is creating a seamlessconnection between Ends and Means: keeping youreye on the principle behind the local puzzle you’reall involved in. It's not enough that your kids thinkmath is fun - avoid the implication of ‘fun math’: yes,we want to lure them in, but into the real thing, notthe Disney version. We need to let them know thereis a high line and a deep structure in math, that theyare learning to play the noblest game. And also the widest ranging - anything can be gristfor the mill of a questioning mind: when the eyeglazes an intentional interruption of what you areworking on joggles the brain awake: that's the timefor function machines, or a discussion of whetherthe columns of numbers are Doric, Ionian, orCorinthian, where the name zero comes from –using the same mental techniques on another topic.

Why teach in the Math Circle Style? The most disheartening question a math teacher isever asked is "Why are we learning this?" and itsvariant "What'll I need this for?"In 1969 Congress was running a hearing on why thegovernment should fund the building of a newcollider (the superconducting supercollider, a tinyversion of CERN's large Hadron collider) and SenatorPastore from Rhode Island was questioning RobertWilson, the head of Fermilab.Pastore: Has the collider anything to do withpromoting the security of the country?Wilson: No sir, I don’t believe so.Pastore: Nothing at all?Wilson: Nothing at all.Pastore: It has no value in that respect?Wilson: It only has to do with the respect with whichwe regard one another, the dignity of men, our loveof culture… It has to do with are we good painters,good sculptors, good poets? I mean all the things wereally venerate in our country and are patrioticabout… It has nothing to do directly with defendingour country except to make it worth defending.And that is the answer Math Circle teaching gives tothe deadly question of practical advantage: Peoplenever ask ”What’s this used for?” or “What’s the pointof this?” about something they invent (or discover)themselves

The Joy of ParticipatoryLearning: The Math CirclePeter Flom, Yahoo! Contributor Network, Aug 2009

What if kids loved to learn?What if at the end of class, they wanted it to belonger, and kept the teacher in the hallwayanswering questions?What if they learned that coupling their imaginationsto their powers of reasoning would give them a toolof awesome power for exploring the cosmos?What if an 11 year old got so excited by his insightsthat he yelled outOH WOW! I get this now!What if all this happened in math class?Suppose you wanted to learn to play the piano, and,at the first lesson, all you got to do was repeatedlytap middle C, and that, when you asked the teacherwhat was going on, she said that, for the first fewmonths, you would learn one note a week, thenyou'd spend 10 years or so playing scales, and, afterthat, maybe a song?Would you go back? And, if someone MADE you goback, would you learn to love music? If, five years intothis drudgery, someone told you that playing thepiano gave them intense joy and satisfaction, andwas a tremendous outlet for their creativity andspontaneity, would you believe them? Or would youthink they were crazy?Suppose you went to a different teacher, and, at thefirst class, you didn't even get to touch a piano, butsimply to watch video of the fingers of great pianists.And suppose the curriculum called for doing this fora decade or two before ever sitting down andplaying. Would you learn to play?It's a Tuesday evening in Boston. The five year oldsare figuring out how to find the area of a circle (oneof them is doing this sitting on her mother's lap andoccasionally sucking her thumb). The 7 year olds areexploring different bases. The nine year olds aredoing group theory. The big kids (11 year olds) areproving the Bolyai-Gerwien theorem (if two polygonshave the same area, one can be cut up with a finitenumber of straight cuts and reassembled to form theother). No one is doing any drills, no one is gettingbored, and no one is getting put down for wronganswers or bad guesses. This is math class, but Boband Ellen are teaching. And it's not like anything I'veseen before.Who teaches area to kids who don't know how tomultiply? Who thinks you can teach bases to 2dgraders? Who thinks that kids who successfully provethe Bolyai-Gerwien theorem should go on to one ofthe Hilbert Problems? Who thinks 11 year olds can beguided through great theorems in math?The same sort of people who know you can singbefore you learn a scale (or even what middle C is).The sort of people who know that math isn'tmultiplication and division, or even differentiationand integration, but one of the most beautiful and

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PROGRAMA DE ENSINOGUIA DO EDUCADOR – CADERNO 1

Coordenação EditorialAngels Varea

FotosRogério Vieira

TextosBob Kaplan, Ellen Kaplan, Peter Flom

TraduçãoGabriel Goldmeier e Elena Schuck

RevisãoSílvia Santos, Joyce Tognola e Aladya Porto

Projeto Gráfico e PaginaçãoMauro O. Lima / Comdesenho

Impressão e AcabamentoAmber Gráfica

Todos os direitos reservados. É proibida areprodução total ou parcial, por quaisquer meios,sem permissão por escrito dos autores.

Foto capa: educadora Manoela Franco e seusalunos da Escola Bosque de Belém.

interesting creations of the human mind. The sort ofpeople who know that once you turn a kid on, youhad better get out of the way, because they move fast.A lot of people hate math; and almost no one doesmath just for fun. After a hard day's work, relax bytrying to prove a theorem in a new way; or playaround with Goldbach's conjecture? No. Not likely.And, if you're one of the few people who do that sortof thing, you probably keep quiet about it, lest yourfriends think you mad. If you play the piano for fun,you can tell your friends... they may envy you (or not),or admire you (or not), but they won't likely think youcrazy. Not even if they don't like music. If you tellthem you think Bach's music is beautiful, they makenot agree, but they won't look at you oddly and shaketheir heads. And that's true, even if they know you willnever give a recital, much less play Carnegie Hall.If you play in an after-work basketball league, no oneexpects you to be Michael Jordan. And if you'reproud of yourself for playing better than usual, noone says "why do that? That's for professionals!"Why this difference? And what can we do about it?Bob and Ellen Kaplan have some of the answers. Andthose answers are about more than math. They'reabout reasoning, about learning, about joy, and, in areal sense, about being human. They call their groupthe Math CircleThey take any kid who comes, but not everyone whocomes loves math at the start. Some come becausethey have a friend taking the class - and, so, Bob andEllen get to light fires. (Talking with them, I thinkthey'd almost prefer to take ONLY kids who thinkthey hate math). While there is self-selection in thekids they teach in Boston, they've done similarclasses in public schools and in other countries, andpeople are now using similar methods in prisons, andwill soon be using them in Cameroon.Bob and Ellen didn't originate the idea of a mathcircle. Similar things have been done for a long timein Russia, and, in the United States, similar thingswere done by Robert Lee Moore, about 100 yearsago. But Moore was a combative, competitive type,and his aggressiveness turned a lot of people off. TheKaplans marry some of Moore's ideas to an utter lackof competitiveness and a liberal sensibility aboutkids. But the essential idea in the Moore method, andin the Kaplans', is that people learn by doing, whetherit's piano or math, and that this sort of learning canbring joy to people, even if they will never playCarnegie Hall or win a Fields Medal.They've been doing this now for 14 years; this year,they have more than 100 students, and, now, in thesummers, they train others to follow their methods.They've detailed how they do it, and why they do it,in a book: Out of the labyrinth: Setting mathematicsfree.Some of what they do is, of course, dependent upontheir personality. But some of it, quite a bit of it, istransferable. Bob and Ellen have had success trainingpeople to do what they do; they've trained peoplewho are already teachers in math, so that they knowenough to teach this way, and they've trainedgraduate students in math in the ways kids think, so

that they can teach this way. Many people who lovemath want to share that love, and spread the wordthat math is not a boring, dry subject - some of thosepeople can learn to do this.Some of you may be saying that the idea of playingscales for ten years is a straw man. Of course no oneinsists that a musician practice scales for ten years!That's precisely the point. We DO insist on that, or itsequivalent in math. What do musicians do? They playmusic. What do composers do? They write music.What do mathematicians do? They prove theorems.They play math. But many students of math don't getto do any of this until college. They may see a proof,especially in geometry. That's like watching VladimirHorowitz play piano. It's not bad, but no one everlearned to play the piano by watching. You learn toplay the piano by playing - and, at first, you playbadly. When a 5 year old guesses (as one did while I was watching) that 9 x 9 is 25, because 25 is 'big', he is doing what a first year piano student does whenhe butchers a basic piece. Both will get better bypracticing, especially if that practicing is guided by a teacher.How can we change math education?Well, when that 9 x 9 problem came up in class, oneof the five year olds saidLet's figure it out!