hidrograma unitario

CAPITULO 3

ELEMENTOS PARA EL DISEÑO DE OBRAS

HIDRAULICAS Cuarta parte

CURSO HIDROLOGÍA E HIDRÁULICA APLICADAS

UdelaR – FI – IMFIA – 2014 1

3.1 ANALISIS Y DISEÑO HIDROLÓGICO 3.1.6. METODO DEL NRCS (ex SCS)

HIDROGRAMA UNITARIO 1

Propuesto por primera vez por Sherman (1932), el hidrograma unitario de una cuenca, se define como el hidrograma de escorrentía directa resultante de una unidad (1 cm, 1 mm, 1 pulgada, etc) de exceso de lluvia (precipitación efectiva) generado uniformemente sobre el área de la cuenca a una tasa constante a lo largo de una duración efectiva.

En otras palabras, si en una cuenca ocurre una precipitación extrema de intensidad constante en la duración y uniforme en el área, y que luego de descontar las abstracciones esta precipitación se transforma en precipitación efectiva de duración D y magnitud una unidad (1 mm por ejemplo), el hidrograma de salida de la cuenca asociado a esa precipitación efectiva se denomina hidrograma unitario.

El hidrograma unitario es un modelo lineal simple que puede usarse para deducir el hidrograma resultante de cualquier cantidad de exceso de lluvia, y tiene las siguientes hipótesis básicas:

1.- La precipitación efectiva tiene una intensidad constante dentro de la duración efectiva.

2.- La precipitación efectiva está uniformemente distribuida a través de toda el área de drenaje.

3.- El tiempo base del hidrograma de escorrentía directa (HED) resultante de un exceso de lluvia de una duración dada es constante.

4.- Las ordenadas de todos los HED de una base de tiempo común son

directamente proporcionales a la cantidad total de escorrentía directa representada por cada hidrograma.

5.- Para una cuenca dada, el hidrograma resultante de un exceso de lluvia dado refleja las características no cambiantes de la cuenca.

1 Texto de referencia: Chow (1994). Capítulo 7.


UdelaR – FI – IMFIA – 2014

Agregado a estas hipótesis básicas, la teoría del hidrogramaprincipios básicos: a) Linealidad: Las ordenadas homólogas de hidrogramas correspondientes a lluvias unitarias de distinta magnitud son directamente proporcionales a los valores de precipitación efectivas que la generan:

Figura 3.1.23: Principio de linealidad

En particular, si P1 es la precipitación efectiva unitaria y Q1 es el hidrograma asociado (hidrograma unitario), dada cualquier otra magnitud de precipefectiva diferente a la unidad, el hidrograma correspondiente tiene ordenadas que son proporcionales a las del unitario y la razón de proporcionalidad es la magnitud de la precipitación efectiva sobre la precipitación efectiva del hidrograma unitar(que vale 1 unidad). b) Superposición: el hidrograma originado por una lluvia de duración superior a la duración efectiva, se puede obtener mediante la suma de una sucesión consecutiva de hidrogramas (parciales) correspondientes a precipitaciones efeaplicadas al hidrograma unitario (valiéndose de la teoría de linealidad). Se encuentra el hidrograma global (o total) por adición de ordenadas de los hidrogramas parciales:

Figura 1: Principio de Superposición


Agregado a estas hipótesis básicas, la teoría del hidrograma unitario se rige por

Las ordenadas homólogas de hidrogramas correspondientes a lluvias unitarias de distinta magnitud son directamente proporcionales a los valores de precipitación efectivas que la generan:

Figura 3.1.23: Principio de linealidad. Teoría del hidrograma unitario. Fuente: Orsolini et. al (2000).

En particular, si P1 es la precipitación efectiva unitaria y Q1 es el hidrograma asociado (hidrograma unitario), dada cualquier otra magnitud de precip

la unidad, el hidrograma correspondiente tiene ordenadas que son proporcionales a las del unitario y la razón de proporcionalidad es la magnitud de la precipitación efectiva sobre la precipitación efectiva del hidrograma unitar

: el hidrograma originado por una lluvia de duración superior a la efectiva, se puede obtener mediante la suma de una sucesión consecutiva

de hidrogramas (parciales) correspondientes a precipitaciones efeaplicadas al hidrograma unitario (valiéndose de la teoría de linealidad). Se encuentra el hidrograma global (o total) por adición de ordenadas de los hidrogramas parciales:

: Principio de Superposición de efectos. Teoría del hidrograma unitario. Fuente: Orsolini et. al (2000)

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unitario se rige por tres

Las ordenadas homólogas de hidrogramas correspondientes a lluvias unitarias de distinta magnitud son directamente proporcionales a los valores de

eoría del hidrograma unitario. Fuente: Orsolini et. al (2000).

En particular, si P1 es la precipitación efectiva unitaria y Q1 es el hidrograma asociado (hidrograma unitario), dada cualquier otra magnitud de precipitación

la unidad, el hidrograma correspondiente tiene ordenadas que son proporcionales a las del unitario y la razón de proporcionalidad es la magnitud de la precipitación efectiva sobre la precipitación efectiva del hidrograma unitario

: el hidrograma originado por una lluvia de duración superior a la efectiva, se puede obtener mediante la suma de una sucesión consecutiva

de hidrogramas (parciales) correspondientes a precipitaciones efectivas sucesivas aplicadas al hidrograma unitario (valiéndose de la teoría de linealidad). Se encuentra el hidrograma global (o total) por adición de ordenadas de los hidrogramas parciales:

de efectos. Teoría del hidrograma unitario. Fuente: Orsolini et. al (2000)



c) Invariancia temporal: Dada una cuenca, el hidrograma unitario se considera único e invariable respecto al tiempo. ALGUNOS COMENTARIOS Con relación a la hipótesis 2, el área de la cuenca no puede ser muy grande, ya que de lo contrario no es razonable admitir que la precipitación es uniforme en el área de la cuenca. Algunos manuales limitan el área por esta hipótesis en 25Km2. Sin embargo, en muchas cuencas de área superior los resultados son igualmente admisibles. En aquellos casos donde las áreas de las cuencas superen los cientos de Km2 , se recomienda realizar una sub-división en cuencas de tamaños inferiores donde en cada una pueda asumirse uniformidad de precipitación en toda el área. La condición de linealidad está dada en la hipótesis 4 y estrictamente incluye a la hipótesis 3, ésta última en realidad es una restricción respecto a la aplicabilidad del hidrograma unitario utilizado. Para que el tiempo de vaciado de la cuenca (tiempo base) sea el mismo para cualquier precipitación efectiva, el hidrograma unitario debe ser aplicado para tormentas de características semejantes a las que lo determinaron, dado que si los volúmenes de escorrentía son muy diferentes no es razonable esperar que la hipótesis 3 se cumpla. Respecto a la hipótesis quinta, el hidrograma unitario se considera único para una cuenca dada e invariable con el tiempo. Los principios de linealidad y superposición de efectos, no son absolutamente válidos en la práctica. Sin embargo, la mayor parte de las veces, construir el hidrograma total aplicando los principios de superposición y linealidad devuelve muy buenas aproximaciones. El principio de invariancia temporal es válido en la medida que no cambien aspectos morfológicos de la cuenca, en particular el tiempo de concentración de la misma. Un ejemplo de posibles variaciones es cuando en una cuenca se construyen embalses o tajamares para almacenamiento de agua. Otro ejemplo es si se realiza una canalización significativa en la cuenca ó se realiza un trasvase de cuenca (pasaje artificial de una cuenca a otra vecina). En base a la teoría recién expuesta y la definición de Hidrograma Unitario, sería posible resolver dos problemas diferentes: a) deducir el hidrograma unitario para una cuenca en función de información observada de precipitación y caudal; b) calcular el hidrograma total en el cierre de una cuenca en base a la precipitación de un evento y conociendo el hidrograma unitario de la cuenca.



A) DEDUCCION DEL HIDROGRAMA UNITARIO

Asumiendo que se dispone de una serie de datos observados de precipitaciones extremas y caudales extremos correspondientes (medidos en el punto de cierre de una cuenca particular), es posible deducir el hidrograma unitario de la cuenca. Dado un evento, el primer paso es obtener en base a la precipitación, cual es la precipitación efectiva. Una vez que se dispone de los pulsos (o incrementos) de precipitación efectiva asociado a un evento particular, se aplica la siguiente ecuación, que vincula el hidrograma unitario con la precipitación efectiva y el hidrograma total (por definición de hidrograma unitario y aplicación de principios e hipótesis) :

donde Pm son los incrementos de precipitación efectiva (desde 1 hasta m), Qn son las ordenadas del hidrograma total de salida correspondiente al evento discretizado en n intervalos, con n> m y Un-m+1, son las ordenadas del hidrograma unitario.

De esta forma, conocidos los incrementos de lluvia efectiva P1 hasta Pm y el hidrograma total, es decir todas las ordenadas Q1 hasta Qn , es posible deducir las ordenadas de U (hidrograma unitario) aplicando la formulación antes expuesta. En la Tabla 3.1.8 se presentan las ecuaciones que surgen de la aplicación de la ecuación. Dichas ecuaciones tienen como incógnitas los valores de U, que se resuelven de manera sucesiva desde la primer ecuación hasta la última presentadas en la Tabla 3.1.8. La ecuación presentada, se denomina ecuación de convolución discreta. Si esta se utiliza (como en este caso) para la deducción del hidrograma unitario, el proceso se denomina deconvolución.

∑<

=+−=

Mn

mmnmn UPQ

11



∑<

=+−=

Mn

mmnmn UPQ

11

Tabla 3.1.8: Conjunto de ecuaciones de convolución discreta. Fuente: Chow, 1994.

B) APLICACIÓN DEL HIDROGRAMA UNITARIO

El problema de determinar el hidrograma unitario en una cuenca, no es el más frecuente, ya que implica el conocimiento de información de precipitación y caudal en la cuenca. Por el contrario, usualmente el problema que se presenta es determinar el hidrograma de crecida de una cuenca a partir de un hietograma de precipitación efectiva. Asumiendo que se conoce el hidrograma unitario de una cuenca, la ecuación de convolución discreta permite el cálculo del caudal Qn dado un exceso de lluvia Pm y el hidrograma unitario Un-m+1

Esta ecuación expresa que si U es el hidrograma unitario y en la cuenca ocurre una precipitación efectiva de magnitud P concentrada en un intervalo D, entonces el hidrograma de escorrentía directa generado por P será el producto de P.U. Ahora bien, si la precipitación efectiva en lugar de estar concentrada en un único intervalo D, es un hietograma de m intervalos de igual duración, cuya magnitud en cada intervalo es Pm, es necesario conocer la contribución de cada Pm y superponer los efectos de cada uno (considerando el tiempo de ocurrencia de los mismos) para determinar el hidrograma total de escorrentía directa generado por Pm.

En la Figura 3.1.24 se establece un esquema de cálculo para el hidrograma total de caudal en función del hietograma de precipitación efectiva, aplicando la teoría del hidrograma unitario. Se asume que se conoce el hidrograma unitario de la cuenca.



Figura 3.1.24: Aplicación del hidrograma unitario para un hietograma de precipitación efectiva dado.


Aplicación del hidrograma unitario para un hietograma de precipitación efectiva dado.

Chow (2004).

6

Aplicación del hidrograma unitario para un hietograma de precipitación efectiva dado. Fuente :



HIDROGRAMAS UNITARIOS SINTÉTICOS

La deducción del hidrograma unitario presentada en el punto A) requiere información de precipitación y caudales para eventos extremos que usualmente en cuencas pequeñas y medianas no se dispone. Además, el hidrograma unitario deducido según lo presentado en A), resulta válido solamente para esa cuenca y para el punto de cierre donde se dispone de información de caudal.

Los procedimientos de hidrogramas unitarios sintéticos, se utilizan para desarrollar hidrogramas unitarios en otros puntos de una misma cuenca, o en cuencas no aforadas de características similares a las que se dedujo el hidrograma unitario.

Existen tres tipos de hidrogramas unitarios sintéticos (HUS)

1) Los basados en hidrogramas unitarios adimensionales (NRCS, 1972) 2) Los que relacionan las características del hidrograma con las características

de la cuenca. (NRCS, 1972; Synder, 1938; Gray, 1961) 3) Los basados en modelos de almacenamiento en la cuenca (Clark, 1943).

En Uruguay, la experimentación en cuencas pequeñas y medianas aún es muy reducida, consiguiendo pocos datos experimentales para determinar un hidrograma unitario representativo de cuencas en Uruguay. Sin embargo, los pocos datos disponibles permiten establecer que el hidrograma unitario triangular propuesto por el NRCS (que está en la categoría 2 de los hidrogramas unitarios sintéticos) presenta resultados satisfactorios para el diseño de obras hidráulicas en pequeñas cuencas.

HIDROGRAMA UNITARIO TRIANGULAR del NRCS

Este tipo de hidrograma unitario es del tipo 2), ya que incorpora el tiempo de concentración y área de la cuenca de estudio en los parámetros que lo definen. Este hidrograma triangular es el más utilizado en la práctica profesional tanto a nivel nacional como internacional, para los problemas de estimación de hidrogramas en cuencas no aforadas.

En la Figura 3.1.25, se presenta un esquema del hidrograma unitario triangular propuesto por el NRCS. Dicho hidrograma tiene forma triangular quedando definido por el caudal pico (qp) que se expresa en m3/s/cm de precipitación efectiva, el tiempo base (tb) que se expresa en horas y el tiempo al pico (Tp) también expresado en horas.



Figura 3.1.25: Hidrograma unitario triangular del NRCS. (Fuente: Chow, 1994).

En base a una revisión de un gran número de hidrogramas unitarisugiere que el tiempo de recesión del hidrograma unitario ( el tiempo desde el pico hasta el tiempo base), resulta 1.67 veces el tiempo pico. Por otra parte, en base a otros estudios experimentales en cuencas rurales se deduce que el tiempo de retardo (tp) resulta 0.6 veces el tiempo de concentracretardo (tp) es el tiempo entre el baricentro del hietograma de precipitación efectiva y el pico del hidrograma.

Si tr es la duración efectiva, entonces:

donde:

Tp = tiempo pico (horas)


cr

p tt

T 6.02

+=

: Hidrograma unitario triangular del NRCS. (Fuente: Chow, 1994).

a una revisión de un gran número de hidrogramas unitarisugiere que el tiempo de recesión del hidrograma unitario ( el tiempo desde el pico hasta el tiempo base), resulta 1.67 veces el tiempo pico. Por otra parte, en base a otros estudios experimentales en cuencas rurales se deduce que el tiempo de

) resulta 0.6 veces el tiempo de concentración de la cuenca. El tiempo de ) es el tiempo entre el baricentro del hietograma de precipitación efectiva y

es la duración efectiva, entonces:

= tiempo pico (horas) del hidrograma unitario triangular

8

: Hidrograma unitario triangular del NRCS. (Fuente: Chow, 1994).

a una revisión de un gran número de hidrogramas unitarios, el NRCS sugiere que el tiempo de recesión del hidrograma unitario ( el tiempo desde el pico hasta el tiempo base), resulta 1.67 veces el tiempo pico. Por otra parte, en base a otros estudios experimentales en cuencas rurales se deduce que el tiempo de

ión de la cuenca. El tiempo de ) es el tiempo entre el baricentro del hietograma de precipitación efectiva y

del hidrograma unitario triangular



pp T

Aq 08.2=

pb Tt 667.2=

tr = intervalo de tiempo de la precipitación efectiva (horas)

tc = tiempo de concentración (horas) de la cuenca

Con ello, el tiempo base (tb) se calcula como:

Como el área bajo el hidrograma triangular unitario debe ser el volumen de escorrentía asociado a una unidad de precipitación efectiva (1 cm) en el área de la cuenca, se cumple que:

donde:

qp = caudal pico (m3/s/cm)

A = área de la cuenca (km2)

La estimación del qp depende del tiempo de concentración, por lo que para una cuenca dada el qp depende del procedimiento para calcular el tc.

A efectos del cálculo, aplicando las propiedades de linealidad y superposición, se multiplica el Hidrograma Unitario Triangular por cada Incremento de escurrimiento y se suman los hidrogramas de cada incremento de escurrimiento, desfasándolos en el tiempo una cantidad D (o tr). De esta manera se obtiene un Hidrograma correspondiente a la tormenta cuya integral en el tiempo es igual al volumen escurrido en dicha tormenta (Volumen escurrido x Área de la cuenca).

EJEMPLO 1:

Determinar el hidrograma unitario triangular del NRCS para una cuenca de 13.0 Km2 y un tiempo de concentración de 1.25 horas. Se podrá considerar la duración efectiva como tc/7.

Solución:

tr= tc/7= 0.179 horas (10.7 minutos)



Tp= 0.179+0.6.(1.25)= 0.93 horas

tb= 2.667.Tp= 2.48 horas

Finalmente qp= 2.08*13/0.93= 29.1 m3/s.cm

EJEMPLO 2:

Un evento extremo ocurrió en una cuenca, generando la distribución de precipitación efectiva en el tiempo indicada en la columna 2 de la Tabla 3.1.9. Si se conoce el hidrograma unitario de la cuenca (columna 3) y el flujo base (columna 5) se pide determinar el hidrograma total asociado al evento.

Aplicando las hipótesis y principios del hidrograma unitario, se determina el hidrograma de escorrentía directa correspondiente a la precipitación efectiva ocurrida en la hora 1, multiplicando este valor de Pefectiva (15.8 mm) por las ordenadas del hidrograma unitario (columna 3). El resultado se presenta en la columna 4.1. Seguidamente se determina el hidrograma de escorrentía directa correspondiente a la precipitación efectiva ocurrida en la segunda hora, multiplicando este valor (3.6 mm) por el hidrograma unitario (columna 3). El resultado se indica en la columna 4.2. Se hace notar que este hidrograma de escorrentía directa, comienza 1 hora desfasado del anterior, ya que la precipitación efectiva comienza en la segunda hora. Repitiendo el procedimiento se calcula el hidrograma de escorrentía directa de la precipitación efectiva ocurrida en la tercer hora (columna 4.3), desfasando el comienzo en este caso 2 horas. El hidrograma total asociado al evento se determina como la suma (instante a instante) de las ordenadas de los hidrogramas de escorrentía directa asociados a cada ocurrencia de Pefectiva. El hidrograma total indicado en 6, resulta de la suma del hidrograma del evento y el flujo base.

Como puede verse en este ejemplo, a efectos de determinar el caudal máximo asociado a un evento extremo para el diseño de un drenaje, el flujo base no tiene influencia (1% del caudal máximo). Esta situación es la habitual en pequeñas cuencas del Uruguay, donde los caudales asociados a eventos extremos son 2 y hasta 3 órdenes de magnitud superior al caudal base. Por esta razón, comúnmente se asume el hidrograma total igual al hidrograma del evento extremo despreciando el flujo base.



Tabla 3.1.9- Determinación del hidrograma de avenida para una cuenca a partir del hidrograma unitario.

Fuente: Maidment (1993).

1 2 3 4-Hidrograma asociado a Pe en 5 6

Tiempo

Precipitación

Efectiva

Hidrograma

Unitario

Primera

hora

Segunda

hora

Tercera

hora

Flujo

Base

Hidrograma

Total

(hs) (mm) (m3/s/mm) m3/s m3/s m3/s m3/s m3/s

1 15.8 1.89 29.9 4 34

2 3.6 5.87 92.7 6.8 4 104

3 13 10.43 164.8 21.1 24.6 4 214

4 14.45 228.3 37.5 76.3 4 346

5 11.28 178.2 52.0 135.6 4 370

6 7.04 111.2 40.6 187.9 4 344

7 4.39 69.4 25.3 146.6 4 245

8 2.74 43.3 15.8 91.5 4 155

9 1.72 27.2 9.9 57.1 4 98

10 1.07 16.9 6.2 35.6 4 63

11 0.67 10.6 3.9 22.4 4 41

12 0.42 6.6 2.4 13.9 4 27

13 1.5 8.7 4 14

14 5.5 4 9

Figura 3.1.26: Hidrograma Total asociado al evento del ejemplo 2.

0

100

200

300

400

0 5 10 15

Ca

ud

al (

m3

/s)

Tiempo (hs)



SOBRE LA APLICABILIDAD DEL MÉTODO RACIONAL Y EL MÉT ODO DE NRCS

A partir del hidrograma unitario, el cálculo de precipitación efectiva por el método de número de curva y la construcción de la tormenta de diseño, es posible para cuencas no aforadas (pequeñas y medianas) determinar el caudal máximo para un evento de determinado período de retorno. Basta para ello aplicar las tres etapas en forma consecutiva: elaboración de la tormenta de diseño en base al método del bloque alterno, determinación de la precipitación efectiva incremento a incremento correspondiente a la tormenta y determinación del hidrograma total en base a la aplicación del hidrograma unitario a cada incremento de precipitación efectiva superponiendo los efectos.

Respecto a la aplicabilidad del método racional y método del NRCS, es importante destacar que por las hipótesis del método racional, resulta adecuada su aplicación para cuencas con tiempos de concentración inferiores a 20 minutos, siendo inapropiada su aplicación para cuencas con tiempos de concentración superiores a 1 hora. No obstante, para tiempos de concentración mayores a una hora es adecuado aplicar el método de NRCS siempre que los intervalos de discretización de la tormenta no superen 1 hora. Para aquellas cuencas donde el tiempo de concentración está entre 20 minutos y 1 hora, es difícil adelantar cuál de los dos métodos generará un caudal mayor (siendo aplicable ambos), por tanto se recomienda aplicar ambos métodos y diseñar con el caudal resultante mayor.

Ambos métodos establecen que la precipitación de diseño debe ser uniforme en el área de la cuenca, por tanto ambos métodos son aplicables a pequeñas y medianas cuencas en cuanto al área refiere. Cuencas con áreas superiores a cientos de Km2

requerirán una discretización en sub-cuencas para el análisis con la metodología del NRCS, siendo inaplicable el método racional.

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