Hidrostática de Navios - fenix.tecnico.ulisboa.pt · • A obtenção de fórmulas analíticas para calcular propriedades relativas à linha de água do navio será exemplificada

Hidrostática de Navios


Capítulo 1 – Conceitos Básicos de Hidrostática


Hipóteses Básicas

• No estudo da Hidrostática do Navio é costume fazer um conjunto desimplificações com fundamento físico.

• As simplificações adoptadas, quanto ao meio físico onde o navio se encontrasão:

• A superfície do mar é assumida como sendo um plano e a curvatura daTerra é desprezada.

• A água do mar é assumida homogénea e incompressível e as correntese os vórtices desta são desprezados.

• O atrito entre a água do mar e o casco do navio é desprezado.

• As ondas geradas pela oscilação ou movimento do casco do navio sãoignoradas.


Conceito de Fluido• Um fluido quando sujeito à acção de uma tensão de corte sofre uma

deformação na direcção da tensão aplicada. Pelo que um fluido em repousoterá uma tensão de corte nula (condição hidrostática).


Partícula Fluída e Massa Fluída

• Partícula fluída é o equivalente ao conceito de ponto material utilizado namecânica dos sólidos

• Consiste numa porção de fluido suficientemente pequena para que sejapossível considerar que as suas partes possuem propriedades idênticas.

• Massa líquida é definida como um conjunto de partículas fluidas delimitadaspor uma superfície de fronteira.

• As forças exteriores que actuam numa massa líquida são:

• O seu peso próprio, que é proporcional ao seu peso específico (),

• As forças de contacto que actuam na superfície de fronteira da massalíquida sob a forma de pressão, ou seja, força por unidade de área.


Forças de Contacto

• A força de contacto, que actua numa área infinitesimal da superfície defronteira de uma massa líquida, tal como qualquer força, pode representar-sepor componentes cartesianas.

dAdFp n /

dF

dAt

• No âmbito da Hidrostática, estuda-se os líquidos em repouso.• A tensão tangencial é sempre nula pois em caso contrário haveria um

escoamento do líquido tangencialmente ao contorno da massa líquidaconsiderada.


Pressão Hidrostática - 1• Além do peso (P) do elemento, numa massa líquida em repouso actuam

também as forças de contacto, que se resumem a uma pressão (p),chamada pressão hidrostática, normal à superfície de contacto.

P dx dy 1

2

sin 0

cos 02

x x s

y y s

F p dy p ds

dx dyF p dx p ds

cos

sin

dx ds

dy ds


Pressão Hidrostática - 2

cos

sin

dx ds

dy ds

02

0

dydxdxpdxp

dypdyp

sy

sx

p p px y s

• A pressão hidrostática num dado ponto do fluido é igual em todas asdirecções (isotrópica).


Lei Fundamental da Hidrostática - 1• O valor da pressão hidrostática num determinado ponto de uma massa

líquida determina-se a partir da aplicação da condição geral de equilíbrio.

• Esta implica que o sistema de forças exteriores que actua na massa temuma resultante nula.

dv p dAAV

0

( ) ( )Ah p p As i

( ) ( )p p h z zi s s i

asas ppApp 0)(

( )z z p ps i i a

p p z zi a s i ( )


Lei Fundamental da Hidrostática - 2

• Definindo a origem das coordenadas na superfície livre, vem:

p p zi a i

• É costume denominar este último resultado por Lei de Stevin-Pascalou Lei Fundamental de Hidrostática.

Simon Stevin (1548-1620) Blaise Pascal (1623-1662)


Impulsão Hidrostática

• A força resultante de um sistema de pressões hidrostáticas que actuamnuma superfície denomina-se impulsão hidrostática ou, simplesmente,impulsão.

dF h dA

sinh x

sinA A A

I dF h dA x dA

.g Ax A x dA

singI x A

g gI h A p A


Centro de Impulsão Hidrostática• O ponto de aplicação da Impulsão Hidrostática costuma-se chamar centro

de pressão ou centro de impulsão.

• As coordenadas deste ponto obtêm-se a partir dos momentos das forçasrelativamente aos eixos coordenados:

2sin siny yA AM x dF x dA I

.siny y yI

g g

M I Ix

I h A x A

I I A xy G g 2

x xI

A xI gG

g

x AI

g

x y dAMy

I x A

yI

x AI

xy

g

AM x y dA

x


Impulsão Hidrostática com Desnível de Fluído• Quando uma superfície plana está imersa em fluido nas suas duas faces,

existe uma distribuição de pressão em cada face.

• As coordenadas do centro de impulsão de cada face obtêm-se a partir dosmomentos das forças relativamente aos eixos coordenados, cuja origem é asuperfície livre de cada face da superfície plana.


Impulsão em Superfícies Curvas - 1• A componente vertical da impulsão hidrostática que actua numa superfície

curva qualquer é igual ao peso do volume de líquido delimitado pelasuperfície considerada e pelas projectantes verticais tiradas docontorno da superfície para a superfície livre do líquido (AB e CD).

• A linha de acção da impulsão vertical passa pelo centro de gravidade dovolume assim definido.

dF dF h dAz cos cos

dF h dAz z

dF h dAz z

.z zAF hdA V


Impulsão em Superfícies Curvas - 2

.sinhdF dF

sinhdF h dA

hh hdAdF

h hAF hdA

• A componente horizontal da impulsão hidrostática é igual à impulsãoque actuaria numa superfície plana vertical igual à projecção dasuperfície curva num plano vertical.

• A linha de acção da impulsão horizontal passa pelo centro de impulsão dadita superfície plana vertical.


Método de Integração da Pressão

• O método baseia-se no princípio de que as propriedades hidrostáticas donavio podem ser calculadas através da integração da pressão hidrostáticasobre a sua superfície molhada. Contudo, torna-se necessário discretizá-laem pequenos painéis planos poligonais. Sobre cada um destes painéispode então aplicar-se o Teorema de Green para transformar o integral desuperfície num integral de linha em torno do contorno do painel:

Onde:

P e Q são funções reais;

A é a superfície do painel; e

A é o contorno do painel.

AAQdyPdxdxdy

x

Q

y

P

)(



• Dependendo das funções P e Q que sejam escolhidas, podem calcular-sediferentes propriedades hidrostáticas.

• A obtenção de fórmulas analíticas para calcular propriedades relativas àlinha de água do navio será exemplificada para o caso da área da figura deflutuação.

• A contribuição de cada painel para essa área, AFj, é dada por, utilizando oTeorema de Green:

(1)

Onde:

Aj é a projecção do painel na linha de água; e

Aj representa o contorno do painel.

AjAj ijF ydxdAAj



• Como este contorno é composto de p segmentos de recta, o segmento derecta k pode ser representado como: y=x+: (2)

com: ;

• onde:

(3)

• Substituindo (2) e (3) em (1), a fórmula analítica que dá a contribuição decada painel para a área da figura de flutuação é:

• A área da figura de flutuação do navio será então obtida por soma dascontribuições obtidas para os NP painéis:

NP

jFF j

AA1

1

1

2

2

1

k

k

j

x

x

p

kF xxA

kxx

yy

k

kk

1

1 kk xy

1; kk xxx 1; kk yyy



• Quando se pretendem calcular as propriedades hidrostáticas relacionadascom a querena do navio é necessário utilizar três sistemas de coordenadas,conforme se mostra na Figura. O primeiro sistema de coordenadas (X,Y,Z)baseia-se na superfície do mar, com o eixo Z orientado na vertical comdirecção ascendente. O segundo (Xp,Yp,Zp) baseia-se num dos vérticesdo painel em questão com o eixo Xp perpendicular ao plano do painel. Osistema de coordenadas (Xi,Yi,Zi) é o sistema utilizado nos ficheiros dedados.



• Para obter as coordenadas dos pontos que constituem os vértices dospainéis no sistema de coordenadas do painel é necessário aplicar umatransformação de coordenadas.

• Essa transformação corresponde à inversa da seguinte transformação,que permite calcular as coordenadas no sistema de coordenadas do marsabendo as coordenadas no sistema do painel:

(4)

onde = nx, ny, nz representa a normal ao painel. painel.

p

p

p

zz

z

zy

yx

xy

z

zx

yx

yx

z

y

x

nn

n

nn

nn

nn

n

nn

nn

nn

z

y

x

z

y

x

2

222

222

0

0

0

10

1

1

n



• Para exemplificar o processo de cálculo irá obter-se a expressão analíticapara o cálculo da força hidrostática. Esta pode ser obtida através daintegração da pressão hidrostática sobre a superfície do casco:

• Uma vez que a superfície dos compartimentos está discretizada em NPpainéis, a força hidrostática resultante é dada por:

(5)

onde Aj é a superfície de cada painel.

jAj

NP

jij

Hi gzdAnF

1

S

iH

i dSgznF



• A força hidrostática em cada painel é dada por:

• Por outro lado, da expressão (4) pode concluir-se que:

• Uma vez que z é uma função de zp, o integral de superfície tem de serconvertido do sistema de coordenadas global para o sistema decoordenadas do painel utilizando-se para tal o Jacobiano J. Pode provar-seque o Jacobiano J é unitário, pelo que usando (5), a força hidrostática emcada painel pode ser reescrita como:

(6)

onde:

jA

jijH

ij gzdAnF

pz znzz )1( 20

jij A

ppzpH dyznzzgF

22

0 12

1

pp yz

kk

kk

pp

pp

yy

zz

1

1 kk pp yz



• Substituindo estas duas utlimas expressões em zp, zp na expressão (6) ecalculando o integral, obtem-se uma fórmula analítica para a forçahidrostática dada por:

onde:

• De uma forma análoga, podem ser obtidas expressões analíticas quepermitam calcular os momentos das forças hidrostáticas, em relação aum determinado eixo...

p

kpppzpp

Hij yyynyyzgF

1

2232220 )

3

1(1

2

1)

2

1(

npk

np

ny kp

yy 1


Princípio de Arquimedes• A impulsão a que está sujeito um corpo flutuante é dada pelo Princípio de

Arquimedes.

• Este teorema pode enunciar-se da seguinte forma:

“Um corpo imerso, em repouso numa dada massa líquida, sofre umaimpulsão vertical, dirigida de baixo para cima, que passa pelo centrogeométrico do volume imerso e é igual ao peso da massa líquidadeslocada pelo corpo imerso.”

0I

Arquimedes (287-212 a.C.)


Carena e Centro de Carena

• Sendo a impulsão hidrostática que actua num corpo flutuante igual ao pesodo volume de líquido deslocado pelo corpo, o seu ponto de aplicaçãocoincidirá com o centro do volume submerso.

• No caso de um navio, ao seu volume submerso chama-se carena (ouquerena) e ao centro geométrico da carena chama-se centro de carena (oucentro de querena).

• Abaixo mostram-se algumas carenas para vários tipos de navios eembarcações, sendo a carena a porção do casco abaixo da linha de água.


Reserva de Flutuabilidade

• Por reserva de flutuabilidade entende-se o volume dos espaçosfechados e estanques existentes acima do plano de flutuação e mede-se,geralmente, em percentagem do volume de carena.

• A reserva de flutuabilidade mede a capacidade de um navio resistir aavarias que envolvam rombos ou outra forma de embarque de água nacarena do navio.

• As figuras abaixo mostram a tracejado os volumes que contam para areserva de flutuabilidade de dois navios com e sem superestrutura.

• O Princípio de Arquimedes é responsável pela faculdade de o navio semanter à superfície da água, que se chama flutuabilidade, e é uma dasqualidades náuticas do navio.


Flutuabilidade do Submarino• Submarino ou submersível é um navio capaz de perder de forma controlada

e, subsequentemente, recuperar, a sua flutuabilidade, por meio do embarquede água em tanques apropriados.

Imersão Emersão


Equilíbrio Vertical do Navio - 1

• É comum considerar-se que um navio abandonado livremente num líquidoem repouso procuraria a sua posição de equilíbrio em duas fases distintas.

• Primeiro satisfaria a condição de equilíbrio à translação vertical procurando aposição em que o seu peso iguale a impulsão.

• Segundo, rodaria sem alterar o volume da carena (inclinação isocarénica)até que satisfizesse a condição de equilíbrio à rotação.

• A satisfação da condição de equilíbrio vertical consiste na procura daposição correspondente a um volume de carena igual ao cociente do pesodo navio pelo peso específico do líquido em consideração.

• Essa posição é procurada através da variação da sua imersão.

P

V 0


• A posição de equilíbrio vertical do navio depende do seu deslocamento e dadensidade do líquido.

• Assim, esta posição será alterada sempre que qualquer destas duasgrandezas mude.

• Havendo uma variação de peso haverá um novo volume de carena:

• O volume de carena antigo será:

• Assim, a variação do volume de carena será dada por:


P

V 0

PP

V

1

P

V



• Se o navio for posto a flutuar num líquido com um peso específico diferente(1), assumirá também uma nova posição de equilíbrio em que o volumede carena é:

VP

V11

00

1

V V V V

1 0 0

0

1

1

• A variação do volume de carena nesta última situação é dada por:


Equilíbrio Vertical do Navio - 4• Quando as variações do volume de carena deste são pequenas é apropriado

considerar-se que a figura de flutuação se mantém inalterada.

• Neste caso, as variações do volume de carena representam volumes comaltura e área constante AF:i

iAV F .

iAVD F ..

100

. Fu

AD

• A variação de deslocamento que corresponde a uma variação da imersãode 1 cm chama-se deslocamento unitário e pode calcular-se usando aseguinte expressão:



• As variações de imersão correspondentes a uma variação de peso:

• Na passagem de água salgada para a água doce:

• As variações de imersão correspondentes a uma variação de peso específicodo líquido:

uuu DDDDDDi 40//025.0)1000.1/025.1(/

1

1

0

uD

D

A

Vi

uD

Pi



• As variações de imersão correspondentes a uma variação de peso:

• Na passagem de água salgada para a água doce:

• As variações de imersão correspondentes a uma variação de peso específicodo líquido:

uuu DDDDDDi 40//025.0)1000.1/025.1(/

1

1

0

uD

D

A

Vi

uD

Pi

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