EDITORIAL V o l v e m o s a h a c e r n o s l a p r e g u n t a d e le d i t o r i a l a n t e r i o r : “ E n e l p r e g r a d o ,¿ c u á l e s e l n i v e l q u e d e b e t e n e r e lc o n o c i m i e n t o u n i v e r s i t a r i o ? ” . É s t an o s l a s h i c i m o s a l c o n s i d e r a r q u e u nd o c e n t e u n i v e r s i t a r i o “ N o p u e d ep e n s a r q u e s u f u n c i ó n e s ú n i c a m e n t ea p o r t a r h e r r a m i e n t a s p a r a q u e e le g r e s a d o s e d e s e n v u e l v a ” e n l o sn i v e l e s d e b á s i c a , m e d i a yd i v e r s i f i c a d a , h a c i e n d o r e f e r e n c i a a lh e c h o q u e u n d o c e n t e e n p a r t i c u l a rs ó l o s e l i m i t a b a a l a f o r m a c i ó na c a d é m i c a d e l o s e s t u d i a n t e s p a r ae j e r c e r l a d o c e n c i a e n l o s c o n t e n i d o sa t r a b a j a r e n l o s n i v e l e s c i t a d o s .R e f l e x i o n a n d o , a f i r m a m o s e n e s ao p o r t u n i d a d q u e “ E l a p o r t e a d a rd e b e s e r e l m á x i m o y e l m e j o r q u ee x i s t e . S e r á e l e g r e s a d o q u i e n a lh a c e r l a t r a n s p o s i c i ó n d i d á c t i c a ,a d a p t e e l c o n t e n i d o a l n i v e le d u c a t i v o d o n d e s e d e s e n v u e l v a ” . Aé s t a n u e s t r a o p i n i ó n , u n r e f u e r z o a l am i s m a l o d i o e l D o c t o r C l a u d i oB i f a n o , P r o f e s o r T i t u l a r d e l a U . C . V . ,P r e s i d e n t e d e l a A c a d e m i a d eC i e n c i a s N a t u r a l e s y M a t e m á t i c a , yE x - p r e s i d e n t e d e l C o n s e j oC o n s u l t i v o N a c i o n a l d e P o s t g r a d o ,q u i e n e n s u i n t e r v e n c i ó n d u r a n t e e l“ I I S e m i n a r i o I n t e r n a c i o n a l d eI n t e r d i s c i p l i n a r i e d a d y P o s t g r a d o ”s o b r e “ I n v e s t i g a c i ó ni n t e r d i s c i p l i n a r i a y p o s t g r a d o :E x p e r i e n c i a s y a p o r t e s a l a s o c i e d a dd e l o s s a b e r e s ( 1 5 , 1 6 y 1 7 d e J u n i o2 0 0 9 , A u d i t o r i o “ T o b í a s L a s e r ” ,F a c u l t a d d e C i e n c i a s , U . C . V . ) a f i r m ó :“ L a u n i v e r s i d a d s e r á l o q u e s u sp r o f e s o r e s q u i e r a n q u e s e a ” . E sd e c i r , c r e c e r á e n e x c e l e n c i a s i s u sp r o f e s o r e s l o h a c e n t a m b i é n , p e r o s eh u n d i r á e n l a m e d i o c r i d a d a c a d é m i c as i s u s p r o f e s o r e s s o n i n c a p a c e s d ec r e c e r . S a b i o j u i c i o d e u n r e c o n o c i d om a e s t r o d e l a e n s e ñ a n z au n i v e r s i t a r i a .

REFLEXIONES

“Somos lo que hacemos día a día, de modo que el éxito no es un acto, sino un hábito”.

Aristóteles

RReevviissttaa HHOOMMOOTTEECCIIAA PPuubblliiccaaddoo ppoorr::

CCÁÁTTEEDDRRAA DDEE CCÁÁLLCCUULLOO

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA YY FFÍÍSSIICCAA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD DE CARABOBO

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN

Prof. Rafael Ascanio H. Prof. Próspero González M.

FFaammiilliiaa BBeerrnnoouullllii Los Bernoulli (o Bernouilli) conformaron una familia de matemáticos y físicos suizos procedentes de la ciudad de Basilea, que irrumpió en el mundo científico a finales del siglo XVII.

El fundador de esta familia fue Jacob el viejo, nacido en Amberes (Bélgica), un hugonote que se trasladó a Basilea en 1622 por motivos de persecución religiosa. Se casó tres veces y sólo tuvo un hijo, Nicolau. Éste se casó y tuvo una docena, de los cuales cuatro llegaron a edad adulta; dos de ellos se convirtieron en matemáticos de primer orden: Jacob, nacido en 1654, y Johann, nacido en 1667. Ambos estudiaron la teoría del cálculo infinitesimal de Leibniz y desarrollaron aplicaciones de la misma.

PARTE ÁRBOL GENEALÓGICO FAMILIA BERNOULLI

Tomado de: Wikipedia® Wikimedia Foundation, Inc.

20 Diciembre 2008

LLAASS IIDDEEAASS YY OOPPIINNIIOONNEESS DDEE LLOOSS AAUUTTOORREESS DDEE LLOOSS AARRTTÍÍCCUULLOOSS QQUUEE PPUUBBLLIICCAAMMOOSS EENN HHOOMMOOTTEECCIIAA SSOONN RREESSPPOONNSSAABBIILLIIDDAADD DDEE LLOOSS MMIISSMMOOSS.. SSII AALLGGÚÚNN LLEECCTTOORR TTIIEENNEE OOBBJJEECCIIOONNEESS SSOOBBRREE EESSTTAASS IIDDEEAASS YY OOPPIINNIIOONNEESS PPLLAANNTTEEAADDAASS,, AAGGRRAADDEECCEEMMOOSS NNOOSS HHAAGGAA LLLLEEGGAARR AA TTRRAAVVÉÉSS DDEE NNUUEESSTTRRAA DDIIRREECCCCIIÓÓNN EELLEECCTTRRÓÓNNIICCAA,, hhoommootteecciiaa@@hhoottmmaaiill..ccoomm,, SSUUSS CCOOMMEENNTTAARRIIOOSS..

HHOOMMOOTTEECCIIAA Tiraje: 100 ejemplares CÁTEDRA DE CÁLCULO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA - FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - UNIVERSIDAD DE CARABOBO

Publicación Periódica Nº 7 - AÑO 7 e-mail: homotecia@hotmail.com © Rafael Ascanio H. – 2009. Hecho el Depósito de Ley. Depósito Legal: PP200902CA3088 - Valencia, 1º de Julio de 2009

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

2

CCÁÁLLCCUULLOO IINNTTEEGGRRAALL

LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA

TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL.-

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS UTILIZANDO EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL.-

1.- Dada 2)( xxf = , determinar un valor de [ ]3,1∈c con un error de aproximación por defecto menor a una centésima (eA<0,01)

tal que )13()()(3

1−⋅=∫ cfdxxf .

Solución:

Calculando la integral:

667,83

26

3

127

3

1

3

3

3)(

333

1

33

1

2 ==−

=−=

== ∫∫x

dxxdxxfb

a

Luego:

08,2333,4333,4)(2

667,8)(667,82)(667,8)13()( 2 ±=⇒=⇒=⇒=⇒=⋅⇒=−⋅ cccfcfcfcf

El valor –2,08 se rechaza porque no está en [1,3]; por lo tanto: 08,2=c

2.- Dada la siguiente función, 3)( xxf = , aplique el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral para determinar un valor de

[ ]2,1∈c con un error de aproximación por defecto menor a una milésima (eA<0,001).

Solución:

Calculando la integral: 75,34

15

4

116

4

1

4

2

4

442

1

42

1

3 ==−

=−=

=∫x

dxx

Luego: [ ]2,1553,1553,175,375,375,3)(75,31)(667,8)12()( 33 ∈=⇒==⇒=⇒=⇒=⋅⇒=−⋅ ccccfcfcf

3.- Halle un valor c para xSenxf =)( definida en [ ]π,0 con eA<0,0001.

Solución:

Aplicando Teorema del Valor Medio: πππ

⋅=−⋅=∫ )()0()(0

cfcfdxSenx

Luego: [ ] 21)1(000

=+−−=+−=−=∫ CosCosCoscdxSenx πππ

De aquí que: )6366,0(6366,06366,0)(2

)(2)( arcSenccSencfcfcf =⇒=⇒=⇒=⇒=⋅π

π

Como el Seno es positivo en el Primer y Segundo cuadrantes del Círculo Trigonométrico, entonces se obtienen dos posibles soluciones para c:

=⇒=−=∈

=⇒===∈ −

)(4515,24515,26901,0:

)(6901,06900,0)6366,0()6366,0(:1

radianesenccIIc

radianesencSenarcSencIc

c

c

π

Ambos resultados se aceptan porque pertenecen al intervalo [ ]π,0 .

En el próximo número trataremos del Valor Medio de una función.

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

3

Aprendizaje Cooperativo - Evaluación Cooperativa Por: Rafael Ascanio H.

RESUMEN

La diferencia entre el dominio de conocimientos y habilidades de los graduados de Educación Media y lo requerido por la Educación Superior, se hizo evidente años atrás, al observar los resultados obtenidos por los estudiantes en el aparte razonamiento numérico en cada aplicación de la suprimida Prueba de Aptitud Académica, lo que mostraba una articulación débil entre ambos niveles. Esto se considera consecuencia de que en lo educativo, el siglo pasado estuvo caracterizado por un formalismo que concebía evaluar como medir. Actualmente los teóricos y técnicos educacionales están dando más importancia a lo cognitivo. Se hace conveniente entonces, indagar dos tendencias actuales hacia donde los docentes dirigen sus esfuerzos: Didáctica Centrada en Procesos - Evaluación Centrada en Procesos, y Aprendizaje Cooperativo - Evaluación Cooperativa.

PALABRAS CLAVE: Aprendizaje, Evaluación, Didáctica Centrada en Procesos, Evaluación Centrada en Procesos, Aprendizaje Cooperativo, Evaluación Cooperativa. La educación venezolana se caracterizó en los últimos años del siglo pasado por un formalismo que concebía evaluar como medir. Se dejaba a un lado otros elementos de la formación estudiantil los cuales eran necesarios verificar. Como consecuencia inmediata de este hecho, se produjo una diferencia entre el dominio de conocimientos y habilidades de los graduados de educación media con lo requerido por la educación superior, lo que se evidenciaba con los resultados obtenidos por los estudiantes tras cada aplicación de la conocida Prueba de Aptitud Académica, sobre todo en razonamiento numérico.

Hoy en día se le está dando más importancia a lo cognitivo. Por ésto, se hace interesante y necesario indagar sobre dos tendencias actuales hacia donde los docentes tratan de dirigir sus esfuerzos: Didáctica Centrada en Procesos-Evaluación Centrada en Procesos, y Aprendizaje Cooperativo-Evaluación Cooperativa.

Volviendo al análisis de lo ocurrido previamente, estos preocupantes resultados en matemática de los estudiantes ante las exigencias que se les hacía desde la educación superior, fue el motivo de inquietud que llevó a relacionar el rendimiento con las estrategias de aprendizaje y evaluación utilizadas por el docente, surgiendo así las siguientes interrogantes: ¿existirá una desarticulación entre el trabajo del educador en su esfuerzo por producir aprendizajes en sus alumnos y las estrategias de evaluación que utiliza para determinar los alcances por parte de los mismos en la asignatura?, ¿los niveles de exigencia del docente al evaluar se identifican con el nivel didáctico de su labor?, ¿las estrategias de evaluación del docente realmente permiten determinar cuánto ha aprendido el alumno de los conocimientos matemáticos que le han propuesto aprender?, ¿cómo los ha aprendido?

De estas reflexiones surgió la idea que cualquier innovación en evaluación debe iniciarse primordialmente analizando con mucho detalle el ambiente donde se produce el aprendizaje de la matemática pero indispensablemente tratando de determinar cómo ocurre y qué debe ser lo ideal de la articulación entre los procesos de evaluación y la didáctica de la enseñanza de la matemática.

Por ello, divorciándose de la concepción tradicional de la evaluación como elemento terminal del proceso de enseñanza y aprendizaje, donde el docente decide si un estudiante tiene méritos que indiquen el dominio del contenido de una asignatura (lo aprueba o lo aplaza) y así prosiga la continuidad temática, últimamente se tiende a concebir la evaluación como un proceso productor de información continua que guía la práctica docente: ¿cuáles son las dificultades de aprendizaje?, ¿qué procedimientos de enseñanza facilitan los aprendizajes?, ¿en qué condiciones se producen buenos aprendizajes?, ¿cómo son los estudiantes para los cuales son sumamente efectivos ciertos tipos de aprendizajes?

De esta forma se crea una notable diferencia con lo que se hacía los finales del siglo XX, cuando el evaluar se centró en analizar el rendimiento de los alumnos; situación que probablemente no surgió de la tradición ni de la carencia de recursos metodológicos para realizar una evaluación más diversa sino del seguimiento de posiciones epistemológicas e ideológicas. En lo epistemológico, pudo considerarse que el saber es conocimiento de lo que es, y que aprender es asimilación de un conocimiento dado. En lo ideológico, saber matemática es un poder y esto excluyó de los criterios de evaluación a otros factores involucrados en la situación educativa.

Durante todo el siglo pasado, el formalismo fue lo que predominó en la enseñanza y el aprendizaje, y particularmente en educación en matemática, el conductismo se constituyó en la teoría de aprendizaje dominante, presentando a la matemática como un cuerpo estructurado de conocimientos conformado por los objetos matemáticos, las relaciones entre ellos y los criterios para validar resultados dentro de un marco axiomático – deductivo. Así, la matemática era un objeto de enseñanza transmisible y la didáctica se redujo a un conjunto de técnicas que sirven para la transmisión de determinados contenidos.

El privilegiar la transmisión eficiente de conocimientos condujo a considerar que los buenos resultados en la evaluación se identificaban con la capacidad del discente de reproducir los contenidos presentados por el docente. Esto justifica las innovaciones que se dieron en el campo educativo dentro del formalismo para el mejoramiento de métodos y técnicas. Pero el formalismo ocasionó la disminución del desempeño intelectual del estudiante a medida que alcanzaba niveles más altos de escolaridad, o en su desempeño profesional o familiar, ocasionado por la carencia de habilidades para procesar información, representada en el desarrollo de esquemas que facilitan el almacenamiento, recuperación y uso apropiado del conocimiento.

La evidencia de esta situación abrió camino al surgimiento de la corriente constructivista, para la que es primordial la actividad del sujeto: no hay objeto de enseñanza pero si lo hay de aprendizaje; y hay necesidad de evaluarlo todo porque la evaluación se incluye en el aprendizaje. Además, en la práctica constructivista, el docente-evaluador también aprende. El conocimiento no surge separado del sujeto, por lo que no puede concebirse a la matemática como un cuerpo codificado de conocimientos. En esencia es una actividad. Y lo que se busca es que el estudiante sea poderoso en matemática pero en estas condiciones: que trabaje en grupo o individualmente compartiendo, sugiriendo ideas o escuchando; que desarrolle su comprensión matemática mediante el análisis, la exploración, aclarando ideas, realizando conjeturas, inventando, organizando, prediciendo, etc.; que tenga un propósito en el proceso de comunicación y se caracterice por tener confianza en sí mismo, en indagar, en tener creatividad, en ser persistente e indispensablemente reflexivo. Cuando se evalúa la capacidad de un estudiante de formular preguntas importantes, de hacer conexiones, de aplicar el conocimiento a situaciones nuevas, se trata de determinar su condición mental de predisposición al pensamiento multi direccional en lo reflexivo y lo conclusivo para obtener diversas soluciones a una situación problemática en particular. No basta con recibir información o instrucciones para memorizar lo que el ser humano ha logrado sino que es importante aprender a utilizar la matemática para mejorar la percepción de la realidad y ser agente transformador de la misma, solucionando los problemas a los que se enfrenta cotidianamente.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

4

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

El enfoque constructivista, como consecuencia de las creencias características del género humano, se orienta fundamentalmente a generar diferentes estrategias de evaluación, donde el énfasis se hace en la primacía del significado personal, el papel activo de la persona como co-creador de significados y la naturaleza auto-organizada y de evolución progresiva de las estructuras de conocimiento. La tradición constructivista hace mayor hincapié en los procesos de conocimiento, orientando la evaluación de la utilidad como opuesto a la validez de una visión cerrada del mundo por parte de la persona, por lo que los distintos procesos de cambio distinguen la esencia y el estilo de la evaluación constructivista.

En el sistema educativo venezolano la matemática como asignatura se ha caracterizado por permanecer con un alto porcentaje del mismo contenido aunque se hallan sucedido varias reformas curriculares. Debido a las tradicionales condiciones en las cuales se ha desarrollado el proceso educacional en el país, los docentes siguieron aplicando las mismas estrategias didácticas y de evaluación; y al no innovar en este aspecto, la acción docente produce un desfase entre lo que la escuela oferta al estudiante y las necesidades sociales, culturales y de formación que él exige le satisfagan.

Entonces, se debe cambiar la concepción de la evaluación. Se le debe utilizar para valorar, apreciar y analizar. Se debe relacionar lo que sucede dentro y fuera del aula porque la evaluación debe ir más allá de lo cuantitativo, considerar aspectos cualitativos y tener presente que toda acción de evaluar queda estrechamente ligada a las actividades del ser humano.

La evaluación educativa se debe caracterizar como sistemática, continua, integrada al proceso de aprendizaje como reforzador del mismo, con la finalidad de conocer y mejorar al educando y al proceso educativo. La evaluación debe permitir estudiar y analizar cómo indaga el alumno para procurar su aprendizaje.

Pero de hecho, en Venezuela, la evaluación de los aprendizajes en matemática ha quedado signada por dos formas de actuar de los docentes. La más utilizada es evaluar calificando solo resultados, lo que promueve el éxito estudiantil basado en el memorismo y el mecanicismo, el incremento de la práctica del mínimo esfuerzo, ocasionando la fomentación de sentimientos de decepción, frustración, aumento de la repitencia y la deserción escolar. La segunda actitud, llena de una mayor sensibilidad consecuencia de un mayor respeto por el alumno, tiende a evaluar calificando todo lo que el alumno realiza. Pero sustituir una actitud por otra no ha logrado que el rendimiento académico en matemática mejore significativamente. Existe una falla y su solución entra en una categoría donde proceso y producto convergen y se incluyen.

Esto lleva a suponer que una característica resaltante en el proceso es la desarticulación entre la didáctica de la enseñanza y la evaluación de los aprendizajes en matemática, perdiendo la evaluación su carácter de reforzador educativo, carencia que conduce al deficiente rendimiento estudiantil.

Hay una evidente necesidad de atender dentro del proceso educativo lo referente a la evaluación y ésta se deberá dimensionar entre dos enfoques. El primero busca una valoración cualitativa, permanente, integral, sistemática y formativa, subjetiva e ínter-subjetiva; que analice la práctica del estudiante globalmente y dentro de la dinámica de su proceso. Así se rompería con la escuela tradicional insertando los valores de una educación centrada en el sujeto y en los procesos.

El segundo enfoque, de perspectiva más constructivista, plantea cuán importante es que el docente evalúe todo lo relacionado con el proceso de construcción del conocimiento. El docente al evaluar debe considerar lo que el alumno ha construido apoyado en la ayuda del docente y al manejo de sus propios recursos cognitivos, interpretaciones significativas y valiosas de los contenidos revisados; así como su capacidad para darle un sentido funcional a las interpretaciones constructivistas donde no tienen sentido los aprendizajes de memoria. Establecer actividades para que el alumno evalúe el proceso y el resultado de sus propios aprendizajes, según objetivos propuestos y siguiendo criterios cuyos parámetros surgen de las valoraciones realizadas por el docente, constituye el complemento adecuado.

Es necesario también, comprobar la efectividad de dos tendencias hacia las cuales actualmente algunos docentes tratan de encausar su labor: en primer lugar, articular una Didáctica Centrada en Procesos con una Evaluación Centrada en Procesos, y en segundo lugar, como una extensión de lo anterior, promover el Aprendizaje Cooperativo articulado con la Evaluación Cooperativa. El enunciarlas por separado no conduce a concebirlas como independientes entre sí. Es posible que al establecer estrategias para articular didáctica con evaluación, ambas tendencias estén entremezcladas.

Existe entonces, la posibilidad de diseñar y desarrollar una estrategia de instrucción que permita articular de forma integral, la didáctica de la enseñanza de la matemática con los procesos de evaluación de los aprendizajes, en principio; y luego extenderla más allá, hacia el aprendizaje cooperativo y la evaluación cooperativa.

La forma de alcanzar este objetivo, evidencia que se deben seguir estos pasos: destacar la determinación de los niveles de ocurrencia de la articulación entre la evaluación y la didáctica como punto de inicio de la investigación propuesta, estimar los elementos que proporcionan la factibilidad para una efectiva y positiva articulación entre ambas, identificar algunas estrategias basadas en didácticas centradas en procesos articuladas con estrategias de evaluación centradas en procesos, identificar algunas estrategias basadas en didácticas centradas en aprendizaje cooperativo articuladas con estrategias de evaluación cooperativas, entre otras.

La Evaluación Centrada en Procesos va más allá de la evaluación de procedimientos porque, aun cuando pueden ser reflejos del desarrollo de procesos cognoscitivos, su consideración exclusiva haría caer en el reforzamiento del memorismo y el mecanicismo.

La evaluación se debe considerar como un proceso integrado a la enseñanza y al aprendizaje, en la búsqueda de una valoración cualitativa, permanente, integral, sistemática y una construcción apreciativa y formativa, subjetiva e ínter - subjetiva, analizando la práctica educativa del estudiante en su totalidad y en la dinámica misma de su proceso. La evaluación debe ser un factor de crecimiento y se actúa en dirección a su carácter formativo en lo que respecta a la autoevaluación, co - evaluación y retroalimentación. El analizar los procedimientos que han conducido tanto al éxito como al fracaso, es el vínculo que permite transferir de la situación característica de un problema a otro similar. Como lo que se desea es que toda respuesta sea producto de un razonamiento, el docente debe realizar preguntas que conduzcan a la reflexión, a la revisión de los procesos cognoscitivos, y los alumnos deben hacer formulaciones que den muestra de su crecimiento cognoscitivo.

En cuanto al Aprendizaje Cooperativo puede definirse como una actividad en la cual un grupo de individuos procuran en colaboración, aprender. Dentro del ambiente educativo, necesariamente el docente tiene que dirigir esta actividad y la misma, por necesidad, se debe presentar como un proceso que se confunde como de enseñanza y aprendizaje, y como de evaluación. La primera característica es evidente considerarla y en cuanto al aspecto de evaluación, además del enfoque cualitativo en la cual se debe enmarcar, hay una urgente prioridad de establecer estrategias de evaluación formativa relacionadas con las de evaluación sumativa o acumulativa.

Hay que considerar que el ser humano como ser social, se ha beneficiado del trabajo de otros miembros de la sociedad durante toda su vida, aun desde antes de nacer y con mayor razón a medida que crece y se manifiesta su personalidad, gustos, intereses, ambiciones, necesidades, es decir a medida que va definiendo la dirección de su evolución personal. Surge, entonces, un deber moral de gratitud y un compromiso implícito a contribuir con su trabajo a devolver lo recibido de la sociedad, y en lo posible atendiendo simultáneamente su vocación, la forma propia en la que se siente llamado a concretar su crecimiento, el ejercicio de su libertad, armonizándola con la pertenencia social. Además, esto lleva implícito la tendencia natural de todo ser humano a liderar pero que ésto sea la consecuencia posterior de su hacer y de su trabajo en comunidad, produciéndose una satisfacción emocional, intelectual y hasta física por sus logros y por ser útil, lo que encierra un crecimiento.

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

5

EELL AARRTTÍÍCCUULLOO DDEE OOPPIINNIIÓÓNN

Por Dr. Rafael Gustavo González Pérez - Viernes, 6 de febrero de 2009 rgustavogonzalezp@gmail.com - rgustavogonzalezp@yahoo.com

El artículo de opinión es un escrito breve en el cual el autor o autora emite sus criterios, opiniones o comentarios

sobre un tópico o varios, en el cual demuestra su capacidad de síntesis, el uso preciso y con propiedad del

lenguaje, además del dominio del tema. Como opinión personal el autor o la autora asumen la responsabilidad de

las ideas propias que expone.

Es de versátil publicación. En medios impresos como diarios, revistas, boletines, murales; como apoyo en medios

radiofónicos y televisivos y mas recientemente en las diferentes opciones que ofrecen las redes de información

y/o comunicación. También, se ha incorporado como estrategia de trabajo y evaluación en cursos académicos y

en actividades de investigación.

Escribir un artículo de opinión presupone: dominio del tema tratado, precisión, claridad, sencillez, uso del

lenguaje con propiedad, respeto a la inteligencia del lector, además de reflejar el estilo e ideas propias del autor.

No hay una pauta rígida, cada medio tiene sus normas relacionadas con la extensión, selección de los

colaboradores, temática y uso del lenguaje, todo enmarcado dentro de una línea editorial.

Los temas que se tratan son variados, así podemos apreciar una gran diversidad de campos y especialidades,

objeto de esta modalidad, tales como: científicos, educacionales, costumbristas, históricos, sociales, filosóficos,

culturales, deportivos, lingüísticos, económicos, familiares, comunitarios, humorísticos, para citar algunos.

El título está relacionado con la idea central. Se puede determinar antes de escribir el texto o después, sujeto a la

experiencia, dominio del tema, modo de trabajar de quien escriba. Se recomienda si no se tiene experiencia,

desarrollar primero las ideas y luego según los elementos de más resaltante interés, titular. El título debe ser

atractivo, que atraiga el interés del lector o lectora, que motive a su lectura, que de pistas de su contenido.

¿Cuál es la extensión? El promedio máximo es de dos (2) hojas tamaño carta, denominadas en el argot

periodístico, cuartillas. 28 líneas por cuartilla o menos según sea tabloide o estándar el medio impreso. 60

caracteres por línea. A doble espacio. Si se trabaja con procesadora de palabras un promedio de 1700 caracteres

por cuartilla. Más recientemente, algunos periódicos han pautado como extensión máxima, hasta cincuenta (50)

líneas por artículo. Está sujeta igualmente a la importancia del tema, el tiempo promedio del lector

contemporáneo para la lectura. Pueden ser más extensos de lo ya señalado según la política del medio o el

impacto que pueda generar la opinión; se pueden publicar por entregas.

En el ámbito académico tiene una singular importancia, además de las ya señaladas, es una fuente de

información, es una manera de ejercitar y practicar técnicas de escritura y difusión. Finalmente es una vía de

propagación de avances y resultados de investigaciones, de intercambio de información, de confrontar ideas, de

abrir diálogos y debates. El artículo de opinión es un canal expedito, práctico, sencillo, de hablar por uno mismo,

con voz propia, directa y sin intermediarios.

¿Y usted, qué opina?

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

6

FUENTE: Vera, Francisco (1961). “20 Matemáticos Célebres”. Buenos Aires: Compañía General Fabril Editora. Preparado por Patricio Barros. www.geocities.com/veintematematicoscelebres

PRESENTACIÓN. Las páginas de este libro exponen en forma clara y didáctica la vida y obra de los matemáticos más célebres, ubicándolos como seres de carne y hueso, buscando en el curso paralelo que siguieron sus trabajos, y en otras el contraste u oposición en que se desarrollaron. De esta manera, el lector logrará una fácil comprensión del valor y las influencias de unas tendencias sobre otras, y de sus puntos de convergencia, a veces aparentemente paradójicos. El profesor Francisco Vera de vasta y reconocida autoridad en la materia, ha escrito “20 matemáticos célebres” con un criterio ágil, a la vez que esclarecedor, que posibilita el acceso de vastos sectores de público a una actividad científica realmente fascinadora.

Capítulo Segundo

DDOOSS AAMMIIGGOOSS DDEE NNAAPPOOLLEEÓÓNN

MMOONNGGEE YY FFOOUURRIIEERR

GASPARD MONGE (1746-1818)

JOSEPH FOURIER (1768-1830)

El parto mellizo del Cálculo Infinitesimal, en la segunda mitad del siglo XVII, produjo tal revolución en el Análisis que todos los matemáticos del XVIII se apercibieron a investigar en la rama analítica, dando de lado a la geométrica que permanecía estacionaria desde Pascal, discípulo de Desargues, que es verdadero precursor de los estudios modernos de la Geometría por la Geometría.

Y cuando el año 1795 inicia Gaspar Monge sus conferencias sobre el sistema diédrico en la Escuela Normal Superior de París, Europa no tiene, en realidad, más que un solo geómetra digno de este nombre: Jorge Juan, a quien sus contemporáneos llamaban "el sabio español" por antonomasia, y cuyo perfil matemático fue dibujado por Antonio Sánchez Pérez en un artículo periodístico, recogido después en sus Actualidades de Antaño, Madrid, 1895.

Dice Sánchez Pérez: "Euler, primer matemático de la humanidad, publicó una notabilísima obra titulada Ciencia Naval en 1749, época en que el sabio había llegado al apogeo de su gloria. Quien sepa que los primeros trabajos que dieron celebridad a Euler versan ya sobre cuestiones navales, comprenderá hasta qué punto se había esmerado en dicha obra y cuántos años de afanes representaba. Ahora bien, en 1771, publica Jorge Juan su Examen marítimo y asombra al mundo. Empieza por observar que los geómetras que le han precedido han admitido con ligereza algunas proposiciones de los nuevos principios de filosofía natural, y los corrige. Necesita más conocimientos de mecánica que los que hay en su época y crea la mayor parte de la mecánica de los sólidos. Corregido Newton, creada así casi por completo la nueva ciencia, empieza a rehacer la ciencia antigua, y tiene que abandonar el camino seguido por sus predecesores. Así llega, por fin, a fórmulas que concuerdan perfectamente con la experiencia. Para probar el rigor de sus teorías crea otra que, si bien carece de importancia práctica, la tiene muy grande para los que aprecian la ciencia por la ciencia: esta es la teoría de los voladores o cometas. La opinión del mundo sabio se había rebelado contra las conclusiones de todos les geómetras. Habla Jorge Juan y la Europa calla. Y, sin embargo, el autor del Examen señala a cada geómetra sus errores; y en cuanto a los de Newton, los hace recaer sobre las Academias que, con su autoridad, sostenían la de Newton. Levésque traduce el Examen al francés y la Academia de París obtiene del Gobierno el privilegio de la publicación."

Después de la obra de Jorge Juan aparecieron: los “Freyen Perspective” de Lambert, Zurich, 1774; los “Eléments de Géométrie” de Legendre, París, 1794, y la “Geometria di compasso” de Mascheroni, Pavía, 1797; pero el progreso máximo de la Geometría corresponde a los últimos años del siglo XVIII y primeros del XIX que llenan tres nombres, franceses los tres, y los tres hijos de la Revolución, que hacen brotar del viejo tronco euclídeo sendas ramas nuevas: Gaspard Monge, varias veces ministro, que da al mundo la Geometría Descriptiva; Lázaro Carnot, llamado con justicia el Organizador de la Victoria, que funda la Geometría de la Posición, y Víctor Poncelet, prisionero de los rusos en Saratov, que crea la Geometría Proyectiva.

Hablemos del primero, que tiene en otro compatriota y coetáneo, Fourier, el complemento de su vida.

Gaspard Monge nació en Beaune, Borgoña, el 10 de mayo de 1746, y fue hijo de un afilador, hombre aficionado a la cultura, que quería que sus retoños llegaran a ocupar la posición social que a él le había sido imposible. Se comprende, pues, la alegría del afilador cuando Gaspard ganó el primer premio en el colegio, al que siguieron después otros muchos, lo que le valió el honroso título de puer aurcus, que fue el orgullo de su padre.

Apenas contaba catorce años cuando inventó una bomba de incendios. Sus conterráneos quedaron maravillados del talento de aquel niño, que contestaba invariablemente a las preguntas que le hacían sobre su invento: "He empleado dos medios infalibles: una tenacidad a toda prueba y mis dedos, que han reproducido mi pensamiento con fidelidad geométrica", palabras que caracterizan el genio de Monge: la perseverancia y la habilidad manual. La primera, de acuerdo con la concepción goethiana, le condujo a dar una nueva dirección a la Geometría, y la segunda le permitió ser ejemplo vivo de los obreros que estuvieron a sus órdenes en uno de los momentos más dramáticos de la historia de Francia.

A los dieciséis años levantó el plano de Beaune, trabajo que fue el origen de su carrera. Sus profesores, que dependen del Oratorio de Lyon, lo propusieron que ingresara en su orden y le recomendaron para que explicara Física en el Colegio Central de la ciudad del Ródano; pero el afilador aconsejó a su hijo que no aceptara porque un oficial de Ingenieros le había indicado que su porvenir estaba en la Escuela Militar de Mezières, y allí acudió el joven Gaspar ignorando que su humilde origen sólo le permitiría entrar en la sección práctica, cuya más importante misión era la de défiler un Port con arreglo a laboriosos métodos tradicionales que Monge no tardó en simplificar; pero su genio inventiva tropezó con la resistencia pasiva de sus superiores cuyo misoneísmo les impedía aceptar novedades.

Sin embargo, Monge era tenaz, y pudo, al fin, imponer sus procedimientos. Entonces le nombraron profesor adjunto, previo juramento de no revelar su secreto. Poco después, cuando sólo tenía veintidós años de edad, realizó algunas investigaciones sobre las propiedades infinitesimales de las curvas y superficies y presentó a la Academia de Ciencias de París, el 11 de enero de 1771, una Mémoire sur les développées, les rayons de courbure et lesdifférents genres d’infléxions des courbes a doble courbure, que tiene excepcional importancia tanto para la Geometría Analítica como para la teoría de curvas alabeadas, y fue nombrado profesor titular de la Escuela: primero de Matemática y luego, además, de Física, lo que le obligaba a un doble trabajo abrumador. Pero esto no le impedía acudir a salones y tertulias. Hijo de su siglo, Monge gustaba del diálogo galante y de la conversación literaria, haciendo compatible la rigidez de su formación científica con la flexibilidad de su espíritu de mosquetero. En una recepción oyó hablar en términos poco correctos de una joven y bella viudita a cierto galán despachado, y, nuevo Quijote, no sólo defendió caballerescamente a la dama, de la que ignoraba hasta el nombre, sino que pasando a vías de hecho dio una descomunal bofetada al galán.

Era inevitable el desafío, y Monge propuso que fuera a muerte nada menos; pero los padrinos pudieron arreglar el asunto por medio de un acta y no se verificó el duelo.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

7

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR) Unos meses después, en otra recepción, le fue presentada una joven de veinte años cuya singular belleza le produjo honda impresión: el consabido flechazo tan a la orden del día en aquella época. La joven era la viudita quien había defendido, y Monge le propuso, sin más preámbulos, casarse inmediatamente. Ella le contestó que tenía que arreglar algunas cuentas pendientes de su esposo antes de decidirse a contraer nuevo matrimonio, a lo que Monge respondió: "No se preocupe por eso. Yo he resuelto muchos problemas más difíciles". Y en efecto, se casó con ella.

Esto ocurría el año 1777, cuando ya su nombre era conocido en los centros científicos de París. Sus trabajos sobre las ecuaciones en derivadas parciales utilizando originales consideraciones geométricas, habían llamado la atención de los matemáticos, y con razón dijo Lagrange: “Avec son aplication de 1'Analyse á la representation des surfaces, ce diable d'homme sera immortel”. Por entonces empezó a bullir en su cerebro la idea de la que con feliz neologismo llamó Geometría Descriptiva; pero la rivalidad entre las Escuelas Militares francesas del antiguo régimen retrasó el conocimiento de sus métodos. Tres años más tarde, Condorcet y D'Alembert aconsejaban al Gobierno la fundación de un Instituto de Hidráulica en el Louvre, y Monge fue llamado a París con la obligación de residir la mitad del año en la capital y la otra mitad en Mezières. Y aquí termina la primera época de la vida de Monge, época dedicada a la enseñanza y a la gestación de su obra inmortal.

La segunda época es dinámica y tumultuosa. Nacido del pueblo, Monge abrazó con entusiasmo los principios de la Revolución; y cuando después de la batalla de Valmy, 20 de septiembre de 1792, que, al decir de Goethe, abrió una nueva era en la Historia, quedó abolida la Monarquía e implantada la República en Francia, la Asamblea Legislativa le nombró ministro de Marina, cargo que desempeñó hasta el 13 de febrero de 1793 en que dimitió porque creyeron que no era suficientemente radical; pero fue reelegido el 18 al convencerse la Convención de que quien iba a producir una revolución en la Geometría era un perfecto revolucionario en el sentido que daban a esta palabra los hombres del 89.

Fue un ministro incorruptible. No ignoraba que su cabeza podía caer en el cesto fatal, pero nunca claudicó ante los ignorantes ni ante los ineptos, y su encendida fe en los destinos de Francia sólo abrigaba un temor que las disensiones internas de su país, que estaba, además, desarmado, facilitaran la ofensiva del extranjero y redujesen a la nada las conquistas de la Revolución.

Con perfecta acuidad política, Monge denunció el peligro; y cuando se produjo la ofensiva, la Convención le autorizó, con fecha 10 de abril de 1793, para poner en práctica sus ideas salvadoras. La primera preocupación de Monge fue abastecer los arsenales que no tenían municiones para hacer a la situación. El cobre y el estaño para fabricar el bronce de los cañones y el salitre indispensable para la pólvora eran de procedencia extranjera. "Dadme salitre y en tres días cargaré los cañones", dijo Monge a la Convención. ¿Y de dónde lo sacaremos?", preguntaron los convencionales. "De los sótanos de las casas", respondió Monge respaldado por Berthollet que, como todos los científicos, se había adherido a la causa de la Revolución.

Toda la nación se puso en pie de guerra. Se movilizó un ejército de novecientos mil hombres para defender el suelo francés y bajo la dirección de Monge, Francia se convirtió en una inmensa fábrica de material bélico. Sólo en París se establecieron doscientas cincuenta y ocho fraguas y quince herrerías que construían mil fusiles diarios, la fábrica de Grenoble puso en práctica los métodos de Berthollet y dio treinta mil libras de pólvora diarias y las fundiciones produjeron al ritmo de siete mil piezas de bronce y trece mil de hierro colado al año. Con una actividad verdaderamente sobrehumana, puestos los ojos en un alto ideal patriótico, Monge inspeccionaba fábricas y arsenales, corregía personalmente los errores cometidos por los obreros, y por la noche, en vez de entregarse a un bien merecido descanso, redactaba circulares relativas a la manera de trabajar con la máxima eficacia en un tiempo mínimo. Su boletín sobre El arte de construir cañones, fue el breviario de todas las fábricas y aún hoy, después de siglo y medio, todavía se puede consultar con provecho. Por una natural reacción biológica, la popularidad del gran matemático trajo como consecuencia la formación de un grupo enemigo, Un día, al salir de su casa, su esposa oyó susurrar misteriosamente a las vecinas que Monge y Berthollet iban a ser denunciados. Loca de terror corrió a las Tullerías, donde encontró al gran químico sentado tranquilamente bajo los castaños. Berthollet, que era un ironista plácido y bonachón, le dijo que, en efecto, la noticia era cierta, pero que tardaría una semana en convertirse en realidad, y con su habitual placidez agregó: "Dentro de unos ocho días su esposo y yo seremos detenidos, interrogados, condenados y ejecutados." La bella viudita recasada, que ya era una noble matrona, hecha y perfecta, vio a su esposo ante la barra, acusado de traidor a la patria, y, luego de una tempestuosa sesión, presidida por jueces parciales, subiría a la carreta trágica para que la hoja de la guillotina realizara la mortal ablación del cuello que tantas veces había ella rodeado con sus brazos. Cuando Monge, al llegar a su casa por la noche, la encontró convertida en un mar de lágrimas y conoció la causa de su inmensa tristeza, le dijo sencillamente: “No sabía nada de eso. Lo único que sé es que mis fábricas marchan estupendamente."

Pero algo había de verdad en el rumor, porque poco después el "ciudadano Gaspard Monge fue denunciado por su portero, lo que le obligó a ausentarse de París hasta que pasara la tormenta, que, afortunadamente, duró poco, y cuyo final coincide con el principio de una nueva etapa de su vida.

El 9 de brumario del año II, 30 de octubre de 1793, "la Convención Nacional, queriendo acelerar la época en que pudiera hacer extender de una manera uniforme en toda la República la instrucción necesaria a los ciudadanos franceses", creó la Escuela Normal, en la que ingresarían “los ciudadanos ya instruidos en las ciencias útiles, para aprender, bajo la dirección de los profesores más hábiles, el arte de enseñar”. Los alumnos eran designados por los municipios a razón de uno por cada veinte mil habitantes; debían tener veinticinco años cumplidos, y "unir a costumbres puras el más probado patriotismo". Cobrarían, además, un sueldo de mil doscientos francos anuales.

La Convención empezaba a poner en práctica el lema: "Después del pan, la educación es la primera necesidad de un hombre", que fue la divisa de Danton, equivalente al "Despensa y escuela" que Joaquín Costa había de defender en la España sin pulso de fines del siglo XIX, después del colapso del 98.

En nombre del Comité de Instrucción Pública, Lakanal redactó el reglamento interior de la Escuela en que, además de las lecciones magistrales, habría conferencias y discusiones en las que tomarían parte maestros y discípulos. Monge fue nombrado profesor de Matemática y se autorizó para explicar públicamente sus nuevas concepciones que cristalizaron en la creación de la Geometría Descriptiva, cuyo tratado no publicó hasta el año 1800. Aunque según su autor, la nueva ciencia tenía por objeto "tirer la nation française de la dépendence oú elle a été jusqu’á présent de l’industrie étrangère”, toda la obra tiene carácter científico puro.

Los dos objetivos que perseguía Monge, eran, según sus propias palabras: "El primero, dar métodos par representar en una hoja de dibujo, que no tiene más que dos dimensiones, largo y ancho, todos los cuerpos del Naturaleza, que tienen tres: longitud, anchura y profundidad, siempre que estos cuerpos se puedan definir rigurosamente. El segundo objeto es proporcionar el medio de reconocer las formas de los cuerpos luego una descripción exacta, y deducir de aquí todas las verdades que resulten en su forma y en sus posiciones respectivas. Además, de igual modo que una vez planteado un problema el Análisis da procedimientos para resolver las ecuaciones y deducir los valores de cada incógnita, en la Geometría Descriptiva existen métodos generales para construir todo lo que resulta de la forma y de la posición de los cuerpos.

Esta comparación de la Geometría Descriptiva con el Álgebra no es gratuita, puesto que ambas ciencias están en íntima relación. No hay ninguna construcción de Geometría Descriptiva que no tenga una traducción analítica, y cuando las cuestiones no tienen más de tres incógnitas, cada operación se puede considerar como la escritura de un espectáculo en Geometría. Sería de desear que estas dos ciencias estudiasen simultáneamente: la Geometría Descriptiva llevaría a las más complicadas operaciones analíticas la evidencia que las caracteriza y, a su vez, el Análisis llevaría a la Geometría la generalidad que le es propia.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

8

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

La idea de Monge, como todas las ideas geniales, es muy sencilla. Supongamos dos planos: uno horizontal otro vertical, en ángulo recto, a la manera de un libro abierto apoyado contra una pared. Si imaginemos cuerpo, un cilindro, por ejemplo, para fijar las idea y lo proyectarnos sobre los dos planos, tendremos, circulo sobre el horizontal y un rectángulo, de igual anchura que el diámetro del círculo, sobre el vertical. Abatiendo ahora este plano sobre aquél, resulta un solo plano, como el libro abierto sobre la mesa, y en él las dos proyecciones, de dos dimensiones, del cilindro, que tiene tres.

Este es un método descriptivo que permite representar sobre una hoja de papel los cuerpos del mundo exterior, y basta un pequeño entrenamiento para leer en el plano con la misma facilidad con que se lee una fotografía aérea. Claro es que la concepción de Monge ha tenido desarrollos posteriores, pero es el genial geómetra francés quien hizo progresar la ingeniería militar, el dibujo de máquinas y los métodos gráficos de construcción, y quien dio forma definitiva a la obra encentada por Vitrubio para la arquitectura en la Roma de Augusto; por Alberto Durero para la pintura en la Alemania luterana y por el polifacético Leonardo da Vinci para ambas artes en la Italia del Renacimiento.

A la creación de la Escuela Normal siguió la Central de Trabajos Públicos. El 21 de ventoso año II, 11 de marzo 1794, Barére pidió una Escuela de Ingenieros civiles y militares. El decreto, redactado por Fourcroy, se promulgó el 7 de vendimiarlo año III, 28 de septiembre 1794, y la Escuela se inauguró el 10 de frimario, 30 de noviembre, y el 15 de fructidor siguiente, 1 de septiembre 1795, recibió el nombre de Escuela Politécnica, que conserva todavía. Debía tener cuatrocientos alumnos, elegidos por concurso, y los estudios duraban tres cursos, cobrando los estudiantes mil doscientos francos anuales, como los de la Normal. Monge fue encargado de organizar la Escuela y explicar Matemática.

La Convención, que había modificado por completo el sistema político y social de Francia, no podía negarse a aceptar innovaciones pedagógicas, y puede decirse que, a partir del año 1795, los métodos de enseñanza sufrieron una transformación radical en manos de Monge. Hasta entonces, el sabio propiamente dicho sólo enseñaba rara vez. Era un hombre dedicado a la investigación, mal vestido y peor alimentado, que, por regla general, sabía lo que todo el mundo ignoraba e ignoraba lo que todo el mundo sabía; un hombre al margen de todos los demás, que sólo tenía contacto con sus compañeros de tal o cual sociedad científica, de las que empezaron a crearse a fines del siglo anterior, y que publicaba el resultado de sus meditaciones en alguna de las revistas que ya se editaban y a las que se debe la iniciación del intercambio intelectual que es hoy una necesidad imperativa y sólo era entonces un balbuceo.

Pero a partir de Monge, el sabio no profesor es una excepción. Creció de manera sorprendente el número de vocaciones científicas y, en particular, las matemáticas, y más en particular las geométricas. Monge formó una verdadera escuela de geómetras que ilustran los nombres de Lacroix, Hachette, Dupin, Briachon y Gaultier de Tours, para no citar más que a sus discípulos inmediatos, quienes introdujeron en la Geometría métodos demostrativos que habrían rechazado los antiguos como una licencia incompatible con su concepción matemática del rigor, pero que en manos de los geómetras de la escuela de Monge condujeron a resultados felices.

La Politécnica ejerció una influencia decisiva en la enseñanza de la Matemática, a pesar de sus dos defectos originales: el sistema centralizador, característica, por otra parte, de la política francesa, que hizo crecer demasiado el número de alumnos, y el criterio de los tribunales examinadores que juzgaban por las esperanzas de los candidatos, lo que trajo como consecuencia ciertos lamentables fracasos, como el de Galois; pero hay que hacer a la Convención la justicia de declarar que no sólo supo dirigir el patriotismo y la abnegación de los franceses del período revolucionario, sino que su a veces exagerada neofilia fue fecunda en materia de pedagogía matemática mediante la creación de las escuelas Normal y Politécnica en las que dejó imborrable huella de león uno de los más grandes geómetras de la Historia.

No hay que olvidar tampoco al ya citado Lakanal, que fundó las Escuelas Centrales cuyos becarios ostentaban el título de "Discípulos de la Patria", ni a Condorcet, que creó la Sociedad Nacional de Ciencias y Artes, el 5 de fructidor del año III, 22 de agosto 1795, lo que le acarreó no pocos disgustos y sinsabores una vez apagado el fermento revolucionario.

Y llegamos ya al último período de la vida de Monge, que empieza el año 1796 con una carta de Napoleón en la que el militar decía al matemático: "Permítame que le agradezca la acogida que el ministro de Marina de 1792 dispensó en cierta ocasión a un joven oficial de Artillería, desconocido y un poco en desgracia. El oscuro oficial de entonces es hoy el general del Ejército de Italia y tiene el honor de tenderle una mano agradecida y amiga." Esa carta fue el origen de la amistad entre Monge y Napoleón, amistad desinteresada por parte de ambos, lo que no tiene nada de particular respecto de Monge, que era noble, pero sí respecto de Napoleón, que era un ambicioso y nada sensible a los afectos. Comentando esta amistad, el astrónomo Arago pone en boca de Bonaparte esta frase: "Monge me adora como a una amante."

Napoleón no olvidó que Monge, siendo ministro de Marina, le había ayudado en su carrera, y su gratitud se tradujo por el nombramiento, juntamente con Berthollet, de comisario del Directorio para seleccionar las obras de arte "regaladas" por los italianos como aportación voluntaria" para contribuir a los gastos de guerra. Estos regalos y aportaciones voluntarias son eufemismos napoleónicos que hoy no nos sorprenden. Comparado con los dictadores actuales, Napoleón resulta un ingenuo en el arte de desvalijar; pero tuvo en cuenta la opinión de Monge cuando éste le aconsejó moderación.

Al año siguiente de su viaje a Italia como perito de arte, Monge hubo de hacer otro como miembro de la comisión nombrada para depurar responsabilidades con motivo del asesinato del general Duphot. A la comisión se le ocurrió la "luminosa" idea de proponer el establecimiento de una República de tipo francés, a lo que se opuso sensatamente cierto diplomático diciendo que había que poner un límite a todo, incluso a los derechos de conquista. Los hechos le dieron la razón ocho meses después cuando, proclamada la República en Italia, se encontró en un aprieto Napoleón, entonces en El Cairo, y con é, Monge, que era una de las pocas personas que conocían el plan de invasión a Egipto.

Y en este momento entra en escena Fourier, el creador de la Física matemática moderna, con su Teoría analítica del calor, obra calificada por lord Kelvin de gran poema matemático, a pesar de su evidente falta de rigor desde el punto de vista de la Matemática pura. José Fourier había nacido en Auxerre el 21 de mayo de 1768. Tenía, pues, treinta años cuando conoció a Napoleón personalmente. Siendo un niño de ocho años murió su padre, que era un modesto sastre, y el huerfanito fue recomendado al obispo de Auxerre por una dama caritativa. El prelado lo internó en la Escuela Militar de la ciudad, que regentaban los benedictinos, donde no tardó en destacarse por su talento. A los doce años escribía sermones para los signatarios de la Iglesia, quienes se los aprendían de memoria y los lanzaban desde el púlpito como piezas oratorias originales.

Los benedictinos le aconsejaron que ingresara en su orden, y Fourier, que sabía que la Escuela Militar no podía conceder el título de oficial al hijo de un sastre, decidió meterse a fraile, a cuyo efecto hizo el noviciado en la abadía de Saint Benoit; pero antes de pronunciar los votos estalló la Revolución y Fourier cambió la vida silenciosa de la celda conventual por la vida agitada del París de 1789, decidido a tomar parte en las revueltas callejeras y dedicarse a la Matemática, ciencia con la que había trabado conocimiento en la Escuela Militar de Auxerre.

Su inclinación natural le guió hacia el estudio de las ecuaciones numéricas, y el 9 de diciembre de aquel año glorioso presentó a la Academia de Ciencias una memoria que causó gran sensación en el mundo matemático, y fue nombrado alumno de la Escuela Normal. Allí conoció a Monge y al poco tiempo llegó a "maître de conférences", pasando luego a la Politécnica, donde afirmó su amistad con el creador de la Geometría Descriptiva.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

9

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

El año 1798 ambos fueron nombrados, con Berthollet, miembros de la Legión de Cultura que Napoleón llevó consigo a Egipto "para tender una mano segura a los pueblos desgraciados y libertarlos del yugo brutal bajo el cual gimen desde hace siglos, a fin de hacerles gozar sin retraso de los beneficios de la civilización europea", palabras que no son de un político, sino de un astrónomo, Arago que explicaba, en 1883, las razones que movieron a Napoleón para llevar a cabo la campaña de Egipto.

La flota francesa, que se componía de quinientos barcos, llegó a Malta el 8 de junio, y tres días después los gruñones tomaban la plaza, Como primera medida civilizadora, Monge creó quince escuelas elementales y una Superior calcada sobre el molde de la Politécnica. A los pocos días, el Oriente, que llevaba el pabellón napoleónico y a cuyo bordo iban los tres mosqueteros de la cultura europea: Monge, Fourier y Berthollet, zarpó rumbo a Egipto.

Durante la travesía, Napoleón trazaba todas las mañanas el plan de la tertulia nocturna para después de cenar. Eran charlas de tipo científico y los asuntos que más preocupaban al corso y que sometía constantemente a discusión eran: la edad de la Tierra, su posible destrucción por el agua o por el fuego y la pluralidad de mundos habitados. Este último tema demuestra que los delirios de Napoleón superaban a los de Alejandro. El capitán macedonio soñaba modestamente con conquistar el mundo entonces conocido, mientras que Napoleón hacía planes subconscientes para invadir los planetas del sistema solar, porque el globo terráqueo, incluida América, de la que también pensó adueñarse, era pequeño para su ambición teratológica. Si viviera hoy diría que su espacio vital empezaba en la Luna.

El 1 de julio llegó la flota francesa a Alejandría, y Monge, Fourier y Berthollet desembarcaron inmediatamente, apercibiéndose a remontar el Nilo hasta El Cairo, lo que si bien les impidió presenciar el asalto de la ciudad a los acordes de la Marsellesa, les puso a cubierto de una posible emboscada. Napoleón era previsor; pero un día se llevó un susto descomunal al oír un formidable cañoneo procedente del río. Temiendo por la suerte de los miembros de la Legión de Cultura, abandonó el campo de batalla y corrió al galope de su caballo hacia el sitio de donde procedían los cañonazos. El barco fluvial de los intelectuales había varado en un banco de arena y era objeto de un ataque. Monge servía la pieza como un consumado artillero e intentaba rechazar en vano a los asaltantes, quienes, al divisar el famoso sombrero bicorne de Napoleón, se dieron a la fuga.

Después de la batalla de las Pirámides, 20 de julio, el ejército francés entró en El Cairo cantando a grito pelado "Allons, enfants de la patrie", y los egipcios, que no entendían una palabra, protestaban a su manera por la noche: rebanando todos los cuellos franceses que podían, al amparo de la oscuridad.

Estos atentados preocupaban a Napoleón; pero como le preocupaban más las noticias de París, decidió regresar secretamente a Francia con Monge y Berthollet, dejando a Fourier en El Cairo para que continuara su labor cultural. El viaje de vuelta no fue tan agradable como el de ida. Evidentemente, el corso había desertado ante el enemigo y en vez de pensar en invadir los planetas pensaba en su suerte si lo atrapaban los ingleses. Como todos los dictadores que en el mundo han sido -y son- gustaba de los efectos teatrales y no se resignaba a morir de una manera vulgar. ¡Qué lejos estaba entonces de pensar que iba a acabar vulgarmente en un peñasco perdido en medio del Atlántico! Encargó a Monge nada menos que hiciese volar el barco si era atacado por los ingleses.

Justamente al otro día apareció una silueta sospechosa en el horizonte y todo el mundo se apercibió a rechazar el ataque; pero resultó que el barco era francés. Cuando se le pasó el susto, Napoleón preguntó por Monge y grande fue su inquietud al no aparecer éste por parte alguna.

Luego de un minucioso registro, lo encontraron en el polvorín con una mecha encendida en la mano, y costó no poco trabajo convencerle de que aquello era una barbaridad. Monge y Berthollet llegaron a París en lamentable estado. No se habían mudado de ropa durante toda la travesía. A Monge, en particular, no le conoció su portero -¡tan sucio iba!- y se negaba a dejarlo entrar en su casa.

El 2 de enero de 1802 regresó Fourier. Había estado en El Cairo hasta que los franceses, después de Trafalgar, se convencieron de que era a los ingleses a quienes correspondía civilizar a Egipto. Fourier fue nombrado prefecto del Isère con residencia en Grenoble, donde tuvo que resolver no pocos problemas de orden público. La región estaba agitada por las cuestiones religiosas que recientes descubrimientos arqueológicos hacían incompatibles con la cronología bíblica; pero Fourier consiguió la tranquilidad desempolvando los huesos de un tío abuelo: el bienaventurado Pedro Fourier, y los grenobleses se olvidaron de la Biblia para cantar alabanzas en loor de su coterráneo, tregua que aprovechó Fourier para realizar grandes trabajos públicos: la desecación de las marismas, entre ellos, que beneficiaron al departamento. Durante su estancia en Grenoble redactó la Teoría analítica del calor, cuya primera memoria presentó a la Academia de Ciencias el año 1807, obteniendo tal éxito que los académicos propusieron este tema para el Gran Premio de 1812, al que concurrió Fourier y se lo llevó, a pesar de las reservas que hicieron Laplace, Lagrange y Legendre sobre el rigor de ciertas proposiciones.

En esto radica precisamente la diferencia entre el matemático puro y el físico-matemático. El matemático puro, el matemático a secas, sólo dispone de las leyes de la Lógica como garantía de sus descubrimientos, mientras que el físico tiene al alcance de la mano la realidad del Universo para comprobar experimentalmente las deducciones de aquél. El matemático se mueve en la serena región del pensamiento, mientras que el físico actúa en la región tumultuosa del mundo exterior. El primero; se da por satisfecho cuando sus teoremas no tienen contradicciones internas ni están en oposición con proposiciones ya demostradas o admitidas, mientras que el segundo exige el acuerdo entre la teoría y la práctica, y cuando falla este acuerdo le vuelve la espalda a los teoremas "demostrados", con gran indignación del matemático que quiere ver el Universo como un sistema de ecuaciones diferenciales con arreglo a un fanatismo que hinca sus raíces en el determinismo newtoniano, y para quien la falta de un parámetro en una fórmula es tan irritante como la falta de un acento para un helenista en un texto de Platón; pero a veces se da el caso –tal el de Fourier- de que, despreciando la meticulosidad lógica, el físico construye un monumento matemático imperecedero. La Física no toma una ecuación como, por ejemplo, la de Laplace relativa al movimiento de un fluido y la tira contra la cabeza del matemático para que le dé una solución general, sino que, las más veces, le pide algo mucho más difícil: una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dependientes del problema que quiere resolver.

Análoga a la aludida ecuación de Laplace es la que encontró Fourier para el movimiento térmico de un conductor y, mediante sucesivas experimentaciones con varillas metálicas, creó la teoría de los valores-fronteras adaptando las soluciones de las ecuaciones diferenciales a las condiciones iniciales dadas, y demostrando que toda función física se puede desarrollar en serie trigonométrica bajo ciertas condiciones que, afortunadamente, no tienen importancia desde el punto de vista práctico, y que toda curva periódica, sin ordenadas infinitas, es descomponible en un cierto número de curvas armónicas de períodos conmensurables, lo que dio origen al invento de las máquinas llamadas analizadores armónicos, que permiten determinar mecánicamente las amplitudes correspondientes a los períodos necesarios para construir una curva periódica dada.

El año 1812, en que Fourier ganó el Gran Premio de la Academia de Ciencias, anunciado como el año de la victoria, fue el de la retirada de Rusia. Monge no había ido a la campaña porque era demasiado viejo. Tenía sesenta y seis años, y cuando el famoso Boletín XXIX anunció la derrota del ejército francés y su literatura fue como el canto de cisne del imperio napoleónico, Monge recibió tal impresión que sufrió un ataque de apoplejía. Su amor a Francia era grande, como también era grande su afecto a Napoleón, lo que no le impedía decirle a veces verdades como puños.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

10

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Por ejemplo: cuando Bonaparte se coronó emperador, los alumnos de la Escuela Politécnica promovieron un alboroto que llegó a oídos del flamante césar, quien se quejó a Monge preguntándole si los politécnicos se habían declarado enemigos suyos, y Monge le contestó tranquilamente: "Es natural. Me costó mucho trabajo hacerlos republicanos y, como usted ha cambiado de casaca tan bruscamente, no he tenido tiempo todavía de hacerlos imperialistas."

La amistad de Fourier, en cambio, se enfrió, y Luis XVIII lo respetó en el cargo de prefecto del Isère. Por cierto que cuando el 19 de mayo de 1815 Napoleón volvió de Elba, Fourier, que estaba en Grenoble, marchó a Lyon para prevenir al rey de lo que sucedía y el rey, con su borbónica cerrazón mental, no le hizo caso. La consecuencia es demasiado conocida para recordarla. Lo que sí diremos es que Fourier fue detenido y conducido a Bourgoin ante Napoleón, que consultaba un mapa con un compás en la mano en el momento en que Fourier entró en su despacho.

-¿Qué hay, prefecto? -le dijo Napoleón sin levantar la vista del mapa-. ¿Me ha declarado usted la guerra? -Señor -respondió Fourier-, mi deber... -¿Su deber? ¿Es usted tan ciego que no ve que nadie comparte su opinión? Lo único que siento es que usted, un egipcio, un hombre que ha compartido conmigo el pan del vivac, un viejo amigo, figure hoy en las filas de mis adversarios. Seguramente olvida lo que yo hice por usted en El Cairo.

Fourier no quiso recoger la última frase. Era demasiado bueno para recordar a Napoleón su huída.

Dos días después éste volvió a llamarle para darle cuenta de su plan.

-¿Qué le parece? -le preguntó. -Un disparate condenado al fracaso -le respondió Fourier sin inmutarse.

Y agregó:

-Se puede usted encontrar con un fanático que le desbarate sus proyectos.

-Los Borbones no cuentan ni siquiera con un fanático.

Y cambiando el tema de la conversación, añadió:

-Ya habrá leído que me han declarado fuera de ley. Yo seré más indulgente. Me limitaré a expulsarlos de las Tullerías.

Cuando, en efecto, volvió a instalarse en las Tullerías, Napoleón, aparte de sus proyectos bélicos, empezó a preocuparse de la cultura con más intensidad que antes. Al fin y al cabo era hijo del siglo XVIII y discípulo de la Enciclopedia, y, con su natural visión de la realidad, comprendió que los ideólogos vencidos el 18 de brumarlo empezaban a dar señales de descontento.

Era ya demasiada la sangre vertida y Francia se veía complicada en nuevas guerras. Los esfuerzos militares afectaban profundamente la economía nacional, y aunque el bloqueo aduanero y la exclusión de las manufacturas inglesas favorecían la industria francesa, hasta el punto de que en Italia sólo se permitía la importación de productos textiles fabricados en Francia, la patria de Watt seguía siendo insustituible, gracias al maquinismo que había tomado formidable impulso en Inglaterra en el último tercio del siglo XVIII. En Francia faltaban especialmente el algodón y los productos coloniales: especias, café y, sobre todo, azúcar. Por cierto que la falta de azúcar dio origen a una nueva industria. La Química había descubierto la existencia de azúcar en la remolacha, y dos alemanes, Marggraff y Achard, consiguieron extraerla; Napoleón, que carecía de escrúpulos, se aprovechó de este descubrimiento.

Por aquellos días empezó la decidida protección a los sabios. Humboldt, Volta, Ampére, Gay-Lussac y otros supieron de su liberalidad, y alguno también de su ingratitud. En materia de enseñanza reorganizó las escuelas Normal y Politécnica, dándoles un acentuado matiz uniforme, centralista y utilitario. Napoleón sólo consideraba la Ciencia por sus aplicaciones prácticas y siempre prefirió las escuelas profesionales a las universidades, porque ignoraba que las ideas son tanto más fecundas cuanto más abstractas y que los grandes progresos industriales se gestan en el silencio fecundo del laboratorio. Los últimos años de Fourier fueron tristes. De su estancia en Egipto sacó la peregrina consecuencia de que el calor del desierto es condición indispensable para la salud y se fajaba y forraba como una momia. En su casa hacía siempre un insoportable calor de horno.

Durante la segunda Restauración tuvo que vender sus muebles para mal comer, pero su situación económica mejoró un poco cuando sus amigos consiguieron para él la dirección de la Oficina de Estadística del Sena. La Academia de Ciencias lo llamó a su seno en 1816 y los Borbones no le dejaron sentarse en el codiciado sillón; pero fue reelegido al año siguiente, y desde 1822 desempeñó el cargo de secretario perpetuo hasta su muerte, acaecida en París el 16 de mayo de 1830 a consecuencia de un ataque cardíaco, en los momentos en que corregía las pruebas de imprenta de su obra sobre ecuaciones numéricas, fruto de cuarenta años de estudios y meditaciones.

El final de Monge fue más lento. Aunque apenas se le veía, retirado casi siempre en su casa de campo, no dejó de ejercer influencia sobre Napoleón, a quien siguió admirando -no así Fourier después de Waterloo. La primera Restauración produjo en su imperial amigo un hondo sentimiento de rencor hacia los que habían cambiado de ideario político; pero atendió a los sentimientos de piedad que le invocó Monge, cuya doble carrera de revolucionario y de favorito de Napoleón hizo de su cabeza, en el final de su vida, un objeto codiciado por los Borbones, lo que le obligó a cambiar de domicilio varias veces para huir de los esbirros que lo perseguían. He aludido antes a la idea napoleónica de conquistar América, punto en que parecen estar de acuerdo todos los historiadores. Sin embargo, la referencia de Monge difiere. Su intimidad con Napoleón le presta caracteres de verosimilitud.

Según Monge, además de sus ambiciones de conquistador, Bonaparte tenía ambiciones científicas. Quería ser un segundo Humboldt. -Voy a empezar una nueva etapa en mi vida -le dijo en una ocasión, poco antes de Waterloo- y quiero dejar obras y descubrimientos dignos de mí, para lo cual necesito una persona que primero me ponga al corriente del estado actual de la Ciencia y sea luego mi compañero de viaje al Nuevo Mundo. Ambos recorreremos toda América, desde Alaska al cabo de Hornos para estudiar su fauna y su flora, así como los prodigiosos fenómenos de la Física terrestre acerca de los cuales no han dicho todavía su última palabra los científicos.

-Yo seré ese compañero -repuso Monge que tenía ya cerca de setenta años. -Usted es demasiado viejo. Necesito un hombre joven. Monge pensó en Arago; pero los ingleses interrumpieron las negociaciones metiendo a Napoleón en el Belerophon y mandándolo a Santa Elena.

El gran geómetra murió el 28 de julio de 1818, causando gran consternación en el mundo científico. Los politécnicos pidieron permiso para asistir a su entierro; pero el rencoroso Borbón que detentaba entonces el trono de San Luis, lo negó. Al día siguiente los estudiantes acudieron en masa al cementerio, y sobre la tumba del maestro depositaron una corona de rosas rojas, como la sangre de quien nunca renegó de ser un humilde hijo del pueblo.

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

11

Algunos de los fenómenos naturales extraños del planeta, son extremadamente efímeros y además enormemente localizados y altamente inalcanzables. Estamos presentando desde el Nº 4-2009, de uno en uno, siete de las increíbles anomalías de la naturaleza que han sido observadas.

LLaa ggrraann mmaarreeaa rroojjaa

SU APARICIÓN PROVOCA PÉRDIDAS ECONÓMICAS

La gran marea roja, también llamada floraciones de algas, son en realidad una gran cantidad de algas unicelulares de profuso color rojo que proliferan en las aguas costeras y causan una coloración roja en la superficie acuática. Muchas de estas algas son inocuas, pero lo cierto es que aumentan las sustancias tóxicas en el mar, lo que provoca la muerte de cientos de peces, aves y otros animales mamíferos. Al mismo tiempo, los seres humanos también sufren de forma indirecta este fenómeno, ya que se deteriora el impacto ecológico en las costas y eso se manifiesta en los sectores marítimos y económicos.

HOMOTECIA Nº 7–Año 7 Miércoles, 1º de Julio de 2009

12

GALERIA

ØYSTEIN LINNEBO

Øystein Linnebo (Øystein se lee Oysten) es un filósofo

noruego. Estudió Matemáticas en la Universidad de Bergen,

y, después, en la Universidad de Oslo, Noruega. Se graduó

de Magister en 1995 con la tesis The Number of Genus 2

Degree 5 Curves on Some Calabi-Yau Threefolds.

Posteriormente, prosiguió sus estudios doctorales en

Filosofía en la Universidad Harvard, Estados Unidos. En

2002, obtuvo su doctorado con la disertación Science with

Numbers: A Naturalistic Defense of Mathematical

Platonism, dirigida por Charles Parsons, Richard Heck y

Warren Goldfarb.

Luego, obtuvo una pasantía post-doctoral de un año en la

Universidad de Oxford. Allí, trabajo junto con Timothy

Williamson. Desde 2006, se desempeña como docente en

la Universidad de Bristol, Reino Unido.

Sus principales investigaciones las realiza en filosofía de la

lógica, metafísica, filosofía de la matemática y filosofía del

lenguaje. Está particularmente interesado en las cuestiones

concernientes a la ontología, necesidad, individuación,

esencia, referencia (especialmente a objetos abstractos),

necesidad y conocimiento de verdades necesarias. Aunque

su proceder es a estas cuestiones es ampliamente

fregeano, no se considera partidario de la escuela Neo-

fregeana escocesa, también conocida como

Abstraccionismo.

Artículos

• Plural Quantification Expoused, Noûs, 37:1 (2003), 71-92.

• Frege's Conception of Logic: From Kant to Grundgesetze, Manuscrito 26:2 (2003), 235-252.

Esta edición especial está dedicada a Gottlob Frege y fue

dirigida por Marco Ruffino.

• Predicative Fragments of Frege Arithmetic, Bulletin of Symbolic Logic 10:2 (2004), 153-174.

• Frege's Proof of Referentiality, Notre Dame Journal of Formal Logic 45:2 (2004), 73-98.

• To Be Is to Be an F, Dialectica 59(2): 2005, 201-222.

Esta edición estuvo dedicada al Problema de Julio César

de Frege.

• Epistemological Challenges to Mathematical Platonism, Philosophical Studies 129(3): 2006, 545-574.

• Burgess on Plural Logic and Set Theory, Philosophia Mathematica 15(1): 2007, 79-93.

• Structuralism and the Notion of Dependence, Philosophical Quarterly 58: 2008, 59-79.

• Plural Quantification, en Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2008².

Reseñas y Estudios críticos

• Estudio crítico de Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology de Stewart Shapiro, Philosophia Mathematica, 11:1 (2003), 92-104.

• Mending the Master (Nota crítica de Fixing Frege, de John P. Burgess), Philosophia Mathematica 14(3): 2006, 338-351.

• Reseña de FINE, Kit: The Limits of Abstraction, Australasian Journal of Philosophy 82:4 (2004), 653-6.

• Reseña de FINE, Kit: Modality and Tense, Philosophical Quarterly 57:227 (2007), 294-7.

Tomado de: Wikipedia®Wikimedia Foundation, Inc. Consulta: 22 Diciembre 2008.

NOTA DE CONDOLENCIA

El día jueves 18 de junio de este año, motivado a su delicado estado de salud, dejó de existir en esta ciudad la profesora y amiga

THAYDEE SIMMONS Quien en vida fuera personal adscrito a la cátedra de Lógica y Matemática del Departamento de Matemática y Física de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo. Desde la Coordinación de Publicación de HOMOTECIA manifestamos nuestro más sentido pésame a sus familiares y allegados por tan irremediable pérdida.