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Resolução de Equações Diferenciais

versão 0.6 - 22 de Abril de 2000

A presente versão é a segunda versão provisória destes apontamentos. Os cálculos

foram revistos e agora não há erros de calculo importantes. Foi adicionada matéria à

versão anterior. Vão ser lançadas novas versões no futuro, com correcções e com

matéria adicional. Entretanto qualquer dúvida ou correcção deve ser enviada para

[email protected]. Também pode colocar dúvidas sobre equações

diferenciais ou qualquer outra matéria no forum:

http://www.explicacoes.com/forum.htm

Indice

1. Conceitos Básicos......................................................................................................32 Equações Diferenciais de 1ª ordem...........................................................................5

2.1 separação de variáveis...........................................................................................5

2.2 Equações do tipo .....................................................................7

2.3 Equações Homogéneas..........................................................................................82.4 Equações lineares de primeira ordem..................................................................10

3 Equações lineares de segunda ordem......................................................................133.1 Homogéneas de Coeficientes Constantes............................................................13


2


1. Conceitos Básicos

Ao longo destes apontamentos trabalha-se sempre com a função y(x). As derivadas de y

representam-se por:

y' - primeira derivada

y'' - segunda derivada

y'''- terceira derivada

yiv - quarta derivada

yv - quinta derivada

yn - derivada de ordem n

Exemplo:

y(x)= x4

y'=4x3

y''=12x2

Variável dependente: a variável que representa a função, no nosso caso y

Variável independente: a variável da qual depende a função, no nosso caso x

Equação diferencial: equação em que a incógnita é uma função (y) e em que essa

função aparece na equação sob a forma de pelo menos uma das suas derivadas. A

função propriamente e a variável independente (x) podem ou não aparecer na equação.

exemplo 1 -

esta é uma equação diferencial porque aparece a segunda derivada de y, que é a função.

exemplo 2 -

Esta é uma equação diferencial em que aparece a variável independente (x), a variável

dependente (ou função) e a segunda derivada da função.


3


Ordem de uma equação diferencial: a ordem de uma equação de uma equação

diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que contém.

Exemplo: A derivada de maior ordem desta equação é y'', que é de

segunda ordem, logo a equação também é de segunda ordem.

Equações diferenciais não lineares: Uma equação diferencial diz-se não linear

quando se verifica pelo menos uma das seguintes condições:

i) y aparece sob a forma de uma potência ou de uma raiz

exemplo1: - não linear por causa de

exemplo2: - não linear por causa de

ii) y aparece multiplicado por uma das suas derivadas

exemplo: - não linear por causa de

iii) duas derivadas de y aparecem multiplicadas um apela outra


Equação diferencial linear: equação diferencial em que não se verifica nenhuma das 3

condições anteriores.


Coeficientes: são os termos que, nas equações lineares, aparecem a multiplicar pela

função ou pelas suas derivadas.

exemplo: Neste caso há dois coeficientes: 1 que multiplica por y'' e x que

multiplica por y

Coeficientes variáveis: quando os coeficientes são função de x

Coeficientes constantes: quando os coeficientes não dependem de x

exemplo: 3 é um coeficiente constante e (x+2) é um coeficiente

variável.


4


2 Equações Diferenciais de 1ª ordem

2.1 separação de variáveis

As equações do tipo y'=f(x,y) pode ser escrita da forma:

dy e dx podem ser manipulados com base nas regras da álgebra. Assim:

exemplo:

y'=xy -x

Uma equação de variáveis separáveis é uma equação que pode ser escrita sob a forma:

Este tipo de equações resolve-se integrando os dois lados da equação:

Exemplo 1:

é uma equação de variáveis separáveis

Por integração dos dois lados:


5


Esta é a solução da equação diferencial.

Exemplo 2:

Esta equação ainda não tem as variáveis separadas. Para as separar coloca-se dx de um

lado e dy de outro:

Em seguida tenta-se colocar todas as funções de x do lado de dx e todas as funções de y

do lado de dy:

integrando:

EMBED Equation.3 cyx 21ln21ln

esta é a solução da equação.

Exemplo 3:


6


2.2 Equações do tipo

Neste caso não é possível separar as variáveis

Exemplo:

Não é possível separar o x do y.

Neste caso usa-se uma mudança de variável:

, substituindo y por z. É necessário determinar em função de

Exemplo:


7


2.3 Equações Homogéneas

Noção de função homogénea: uma função f(x,y) diz-se homogénea se f(kx,ky)=knf(x,y)

Exemplo 1: f(x,y)=x2+y2 é homogénea de grau dois porque:

f(kx,ky)=(kx)2+(ky)2=k2(x2+y2)= k2f(x,y)

Exemplo 2: f(x,y)=x2+y não é homogénea porque:

f(kx,ky)=(kx)2+(ky) não sendo possível a partir daqui obter uma relação do tipo

f(kx,ky)=knf(x,y)

Exemplo 3: f(x,y)=4 é homogénea de grau 0 porque:

: f(kx,ky) = 4 = k0f(x,y)

Equações (diferenciais) Homogéneas: equação que pode ser representada na forma


8


em que f(x,y) é uma função homogénea de grau zero.

Exemplo 1: é uma equação homogénea porque f(x,y) é uma função

homogénea de grau zero. De facto:

Exemplo 2: não é uma equação homogénea porque, apesar de

f(x,y) ser uma função homogénea de grau 0 porque nem sequer é uma equação diferencial de ordem um.

Uma equação homogénea pode ser sempre escrita na forma:

Exemplo:

Por divisão de ambos os termos da fracção por x2 obtém-se:

Resolução de uma equação homogénea: uma equação homogénea resolve-se com base

na mudança de variável , substituindo-se a função u pela função y. Para isso

determina-se . Como , . A equação transforma-se na

equação seguinte: . A partir daqui a resolução depende da função

f(x,y) pelo que se ilustra o método com exemplos.

Exemplo 1:


9


Exemplo 2:

2.4 Equações lineares de primeira ordem

A equação do tipo:

é uma equação de primeira ordem porque a derivada de maior ordem que aparece na

equação é y' (que tem ordem 1)

é uma equação linear porque y não aparece a multiplicar por y'


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exemplo:

É uma equação linear de primeira ordem em que p(x)=cos(x) e q(x)=sen(x).

quando q(x) é zero diz-se que a equação é homogénea.

Solução de uma equação linear de primeira ordem homogénea.

Exemplo:

Solução de uma equação linear de primeira ordem não homogénea.


11


Exemplo:


12


3 Equações lineares de segunda ordem

A equação do tipo em que f, g e h são funções apenas de x

diz-se que é uma equação de segunda ordem porque a derivada de maior ordem (y'') tem

ordem 2 ; diz-se que é linear porque y não multiplica por nenhuma das suas derivadas e

nem as derivadas de y não multiplicam entre si.

3.1 Homogéneas de Coeficientes ConstantesSe h(x) for igual a zero então:

e neste caso a equação diz-se homogénea. Às funções f e g chama-se coeficientes da

equação diferencial. Se f e g forem independentes de x, por exemplo f(x)=b e g(x)=c

então:

Neste caso diz-se que a equação é uma equação de coeficientes constantes.

Método de Resolução:

A esta diferencial corresponde a equação algébrica característica

. Para resolver a equação diferencial deve seguir-se os seguintes passos:

- determinação das raizes da equação característica


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- solução da equação

A solução da equação depende do tipo de soluções obtidas. Há quatro tipo de soluções

possíveis.

Tipo 1 - e são números reais diferentes entre si

exemplo:

Tipo 2 - e são números reais e = =

exemplo:


14


Tipo 3 - =0 e real (caso especial do tipo 1)

exemplo:

Tipo 4 - e não são números reais, ou seja

Neste caso a solução da equação característica toma a forma seguinte:

exemplo:


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