implementação computacional para análise dinâmica plana e

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

CIVIL

IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE

DINÂMICA PLANA E ESPACIAL DE PONTES FERROVIÁRIAS

CONSIDERANDO INTERAÇÃO VEÍCULO-ESTRUTURA

ERIC LUIS BARROSO CAVALCANTE

Belém/PA

2010



PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

CIVIL

IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DINÂMICA

PLANA E ESPACIAL DE PONTES FERROVIÁRIAS CONSIDERANDO

INTERAÇÃO VEÍCULO-ESTRUTURA


Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Civil da

Universidade Federal do Pará, como

requisito parcial para obtenção do título de

Mestre em Engenharia Civil

Orientador: Regina Augusta Campos Sampaio

Co-orientador: Remo Magalhães de Souza

Belém/PA

2010



PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DINÂMICA PLANA E

ESPACIAL DE PONTES FERROVIÁRIAS CONSIDERANDO INTERAÇÃO VEÍCULO-

ESTRUTURA


Aprovado em .......................de ........................de ..............

BANCA EXAMINADORA

__________________________________________________________

Prof. D.Sc. Regina Augusta Campos Sampaio (Orientador)

__________________________________________________________

Prof. Ph.D. Remo Magalhães de Souza (Co-orientador)

_________________________________________________________

Prof. D.Sc. Ronaldson José de França Mendes Carneiro (Examinador Interno)

_________________________________________________________

Prof. D.Sc. Denílson José Ribeiro Sodré (Examinador Externo)

________________________________________________________

Prof. D.Sc. Newton Sure Soeiro (Examinador Externo)

________________________________________________________

Prof. D.Sc. Andreia Abreu Diniz de Almeida (Examinador Externo)

Belém/PA

2010

4

Resumo

Eric Cavalcante. Implementação Computacional para Análise Dinâmica Plana e

Espacial de Pontes Ferroviários Considerando Interação Veículo-Estrutura. Belém,

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal do Pará, 2010

133 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil).

Este trabalho apresenta implementação computacional para a análise estrutural

dinâmica plana e espacial de pontes ferroviárias, considerando a interação entre

estrutura e veículo ferroviário. Mostram-se as deduções para obter as equações de

movimento do veículo, considerando desde modelos de representação mais simples, tais

como os representados por cargas móveis concentradas, até os que apresentam interação

mais detalhada (com a modelagem da caixa e dos truques separadamente, com inércia

rotacional em torno dos eixos transversal e longitudinal). Apresenta-se o método da

rigidez direta, de acordo com a teoria de vigas de Euler-Bernoulli, para se obter a matriz

de rigidez dos elementos de pórtico plano e espacial, bem como a forma de obtenção

das matrizes de massa consistente e amortecimento destes elementos. A partir das

matrizes de rigidez, massa e amortecimento dos elementos de pórtico plano e espacial

expõe-se a metodologia para se obter as matrizes de rigidez, massa e amortecimento da

estrutura plana e espacial. Foi desenvolvida a equação diferencial de movimento que

descreve o comportamento do sistema veículo-estrutura. O método utilizado para a

integração numérica desta equação diferencial foi o de Newmark. Realizam-se testes de

validação do algoritmo implementado na plataforma Matlab, para as análises bi e

tridimensional e apresentam-se exemplos de aplicação concernentes ao tipo dos

modelos tridimensionais de veículo utilizados, à influência na resposta da irregularidade

longitudinal na via, e à ocorrência de efeitos de ressonância na estrutura.

Palavras-Chave: Ponte ferroviária; Análise dinâmica; Interação veículo-estrutura.

5

Abstract

Eric Cavalcante. Computer Implementation for plane and space dynamic analysis of rail

bridges considering the vehicle-structure interaction. Belém, Faculty of Civil

Engineering, Federal University of Pará, 2010. 133 p. Master Thesis (Master Degree in

Civil Engineering).

This work presents the computer implementation for plane and space dynamic

structural analysis of railways bridges, considering the interaction between structure and

vehicle. The work presents the derivations of the vehicle equations of motion,

considering from moving point loads models representing the axles loads to a refined

mass-springer-damper model with various degrees of freedom. In order to obtain the

plane and space bar finite element elastic-stiffness matrix, the direct stiffness method is

presented, according to linear elastic Bernoulli-Euler beams theory. Furthermore the

method to achieve the plane and space bar finite element consistent mass and dumping

matrices is presented. It is shown how to build the structure elastic-stiffness, consistent

mass e dumping matrices utilizing the bar finite element matrices. The resolution of the

equation of motion for the freely vibrating undamped structure allows the identification

of the structure’s natural vibration frequencies. It is also developed the equation which

describes the vehicle-structure equation of motion. This equation could be solved by

Newmark method of numerical integration. Validation tests of the numeric

computacional implementation are developed. It is presented application examples

concerning the quality of the tree-dimensional vehicle models, the influence of track

irregularity on the response, and the appearance of resonance on the structure, are also

presented.

Keywords: Railway bridge; Dynamic analysis; interaction vehicle-structure.

6

Sumário

1 Introdução ............................................................................................................ 18

1.1 Tema e Motivação ....................................................................................... 18

1.2 Objetivos ..................................................................................................... 20

2 Revisão bibliográfica ............................................................................................ 21

3 Modelagem de veículos ferroviários ..................................................................... 26

3.1 Descrição dos elementos dos veículos ferroviários ....................................... 26

3.2 Formulação matemática básica do movimento dos veículos ......................... 27

3.3 Modelos de veículo bidimensionais ............................................................. 28

3.3.1 Modelo de veículo simulado por carga móvel concentrada ....................... 28

3.3.2 Modelo de veículo constituído apenas de massa ....................................... 29

3.3.3 Modelo de veículo de interação simplificada ............................................ 30

3.3.4 Modelo de veículo de interação completa ................................................ 32

3.4 Modelos de veículo tridimensionais ............................................................. 36

3.4.1 Modelo de veículo simulado por carga móvel concentrada ....................... 36

3.4.2 Modelo de veículo constituído apenas de massa ....................................... 37

3.4.3 Modelo de veículo de interação simplificada ............................................ 38

3.4.4 Modelo de veículo de interação completa ................................................ 40

4 Modelagem bidimensional da ponte ...................................................................... 50

4.1 Formulação do Elemento de pórtico plano, utilizando-se a teoria de vigas de

Euler-Bernoulli, com linearidade geométrica ........................................................... 56

4.2 Matrizes do elemento no sistema local ......................................................... 59

4.3 Matrizes do elemento no sistema global ....................................................... 63

4.4 Matrizes da estrutura ................................................................................... 65

5 Modelagem da ponte em 3D ................................................................................. 68

5.1 Formulação do Elemento de pórtico espacial, utilizando-se a teoria de vigas

de Euler-Bernoulli, com linearidade geométrica ....................................................... 76

5.2 Matrizes do elemento no sistema local ......................................................... 78

5.3 Matrizes do elemento no sistema global ....................................................... 82

5.4 Matrizes da estrutura ................................................................................... 85

6 Modelagem do sistema veículo-estrutura .............................................................. 87

6.1 Irregularidade Longitudinal ......................................................................... 91

7 Testes de validação ............................................................................................... 92

7.1 Testes Bidimensionais ................................................................................. 92

7.1.1 Teste bidimensional 1 .............................................................................. 92



7.2 Testes tridimensionais ................................................................................. 96

8 Exemplos de Aplicação ...................................................................................... 107

8.1 Análise do Efeito da Modelagem da Estrutura e do Veículo Ferroviário

Tridimensionais. .................................................................................................... 107

8.2 Análise do Efeito da Irregularidade Longitudinal ....................................... 116

8.3 Análise do Efeito de Ressonância .............................................................. 120

9 Conclusões e Sugestões ...................................................................................... 123

10 Referências bibliográficas ............................................................................. 125

Anexo Algoritmo da Implementação Computacional Tridimensional......................128

7

Lista de Figuras

Figura 3.1 - Locomotiva Diesel-elétrica. .................................................................... 26

Figura 3.2 - Rodeiro de truque.................................................................................... 27

Figura 3.3– Truque para vagão de transporte de carga. ................................................ 27

Figura 3.4– Modelo de veículo 2D simulado por carga móvel concentrada.................. 29

Figura 3.5 – Modelo de veículo 2D constituído de massa. ........................................... 29

Figura 3.6 – Modelo de veículo 2D simplificado. ........................................................ 31

Figura 3.7 – Deslocamento generalizado e graus de liberdade do modelo simplificado

2D. .............................................................................................................................. 31

Figura 3.8 – Modelo de veículo 2D completo. ............................................................. 33

Figura 3.9 – Deslocamentos generalizados e graus de liberdade do modelo completo 2D.

................................................................................................................................... 34

Figura 3.10 – Modelo de veículo 3D constituído de massas. ........................................ 37

Figura 3.11 – Modelo de veículo 3D simplificado. ...................................................... 38

Figura 3.12 – Deslocamentos generalizados e graus de liberdade do modelo

simplificado 3D. ......................................................................................................... 39

Figura 3.13 – Modelo de veículo 3D completo. ........................................................... 41

Figura 3.14 – Deslocamentos generalizados e graus de liberdade do modelo completo

3D. .............................................................................................................................. 42

Figura 4.1 – Ponte ferroviária. ..................................................................................... 50

Figura 4.2 – Modelo bidimensional de ponte ferroviária. ............................................. 50

Figura 4.3 – Viga simplesmente apoiada submetida a carregamentos distribuídos no

plano xy . .................................................................................................................... 53

Figura 4.4 – Elemento infinitesimal de viga com carregamentos distribuídos no plano

xy . ............................................................................................................................. 54

Figura 4.5 – Deslocamentos e forças nodais locais de um elemento de barra no plano

xy . ............................................................................................................................. 57

Figura 4.6 – Deslocamentos e forças nodais no sistema local e global do elemento de

pórtico plano. .............................................................................................................. 63

Figura 4.7 – Deslocamentos globais no plano, de um elemento e da estrutura. ............. 65

Figura 5.1- Modelo tridimensional de ponte ferroviária. .............................................. 68

Figura 5.2 – Elemento finito de pórtico espacial submetido a carregamentos

distribuídos. ................................................................................................................ 72

Figura 5.3 – Elemento infinitesimal de pórtico espacial com carregamentos distribuídos.

................................................................................................................................... 72

Figura 5.4 – Deslocamentos e forças nodais locais de um elemento de barra no espaço.

................................................................................................................................... 76

Figura 5.5 – Deslocamentos e forças nodais no sistema local e global do elemento de

pórtico espacial. .......................................................................................................... 83

Figura 5.6 – Deslocamentos globais no espaço, de um elemento e da estrutura. ........... 86

Figura 7.1 – Modelo bidimensional de ponte – viga bi-apoiada com 15 m de vão. ....... 92

Figura 7.2 – Resposta vertical no meio da ponte em função do tempo, obtida

numericamente através dos dados de Goicolea et al. (2002), para uma carga concentrada

2D, no passo de tempo 0,01 s. ..................................................................................... 93

Figura 7.3 – Resposta vertical no meio da ponte em função do tempo, obtida

numericamente através dos dados de Goicolea et al. (2002), para um veículo de carga

concentrada 2D, no passo de tempo 0,01 s. ................................................................. 94

Figura 7.4 – Respostas verticais no meio da ponte em função do tempo, obtidas analítica

e numericamente – Teste bidimensional 3, passo de tempo t = 0,1 s. ....................... 96

8

Figura 7.5 – Respostas verticais no meio da ponte em função do tempo, obtidas analítica

e numericamente – Teste bidimensional 3, passo de tempo t = 0,01 s. ..................... 96

Figura 7.6 – Modelo tridimensional de ponte implementado. ...................................... 97

Figura 7.7 – Carga aplicada na ponte tridimensional para a análise estática. ................ 98

Figura 7.8 – Primeiro modo de vibração natural da estrutura tridimensional. ............. 100

Figura 7.9 – Segundo modo de vibração natural da estrutura tridimensional. ............. 101

Figura 7.10 – Terceiro modo de vibração natural da estrutura tridimensional. ........... 101

Figura 7.11 – Quarto modo de vibração natural da estrutura tridimensional. .............. 102

Figura 7.12 – Quinto modo de vibração natural da estrutura tridimensional. .............. 102

Figura 7.13 – Modelo tridimensional de ponte implementado, contendo a numeração

dos nós. ..................................................................................................................... 103

Figura 7.14 – Resposta vertical no nó 6 em função do tempo, numericamente obtida

através da implementação numérico-computacional, para um eixo de carga concentrada

3D, no passo Δt = 0,01 s............................................................................................ 103


através da implementação numérico-computacional, para um eixo de carga concentrada

3D, no passo Δt = 0,01 s............................................................................................ 104


através do SAP2000, para um eixo de carga concentrada 3D, no passo Δt = 0,01 s. ... 104


através do SAP2000, para um eixo de carga concentrada 3D, no passo Δt = 0,01 s. ... 105

Figura 8.1 – Histórico de resposta vertical nos nós centrais 6 e 17, para os modelos

tridimensionais de estrutura e veículo de carga concentrada, sem irregularidade, no

passo Δt = 0,01 s e v = 129 km/h. .............................................................................. 109


tridimensionais de estrutura e veículo de massa, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01

s e v = 129 km/h........................................................................................................ 109


tridimensionais de estrutura e veículo simplificado, sem irregularidade, no passo Δt =

0,01 s e v = 129 km/h. ............................................................................................... 110


tridimensionais de estrutura e veículo completo, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01

s e v = 129 km/h........................................................................................................ 110

Figura 8.5 – Deslocamentos verticais no meio da ponte para os modelos de veículo

tridimensionais, v = 129 km/h e sem irregularidade na estrutura. ............................... 111


tridimensionais de estrutura e veículo de carga concentrada, sem irregularidade, no

passo Δt = 0,01 s e v = 207 km/h. .............................................................................. 112


tridimensionais de estrutura e veículo de massa, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01

s e v = 207 km/h........................................................................................................ 113


tridimensionais de estrutura e veículo simplificado, sem irregularidade, no passo Δt =

0,01 s e v = 207 km/h. ............................................................................................... 113


tridimensionais de estrutura e veículo completo, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01

s e v = 207 km/h........................................................................................................ 114




tridimensionais de estrutura e veículo de carga concentrada, com irregularidade, no

passo Δt = 0,01 s e v = 207 km/h. .............................................................................. 116

9


tridimensionais de estrutura e veículo de massa, com irregularidade, no passo Δt = 0,01

s e v = 207 km/h........................................................................................................ 117


tridimensionais de estrutura e veículo simplificado, com irregularidade, no passo Δt =

0,01 s e v = 207 km/h. ............................................................................................... 117


tridimensionais de estrutura e veículo completo, com irregularidade, no passo Δt = 0,01

s e v = 207 km/h........................................................................................................ 118


tridimensionais, v = 207 km/h e com irregularidade na estrutura. .............................. 119

Figura 8.16 – Máximo deslocamento vertical no nó 6 em valor absoluto, em função da

velocidade, para os modelos tridimensionais de estrutura e veículo de carga

concentrada. .............................................................................................................. 121

Figura 8.17 – Máximo deslocamento vertical no nó 6 em valor absoluto, em função da

velocidade, para os modelos tridimensionais de estrutura e veículo simplificado. ...... 121

10

Lista de tabelas

Tabela 7.1 – Deslocamentos em dois nós da estrutura tridimensional. ......................... 98

Tabela 7.2 – Frequências naturais de vibração da estrutura tridimensional................... 99

Tabela 7.3 – Máximo deslocamento vertical em dez nós da estrutura tridimensional. 105

Tabela 8.1 – Propriedades mecânicas da composição veicular 3D (unidades do SI). .. 107

Tabela 8.2 – Propriedades geométricas da composição veicular 3D (unidades do SI). 108

Tabela 8.3 – Máximos deslocamentos verticais no meio da ponte para os modelos de

veículo tridimensionais, v = 129 km/h e sem irregularidade na estrutura. .................. 111

Tabela 8.4 – Respostas verticais no meio da ponte para os modelos de veículo


Tabela 8.5 – Deslocamentos verticais no meio da ponte para os modelos de veículo

tridimensionais, v = 207 km/h e com irregularidade na estrutura. .............................. 118

11

Lista de símbolos

i I-ésimo deslocamento relativo entre os centros de gravidade de

massas de um veículo.

v Rotação da caixa de um veículo em torno do seu eixo transversal.

v Rotação da caixa de um veículo em torno do seu eixo longitudinal.

si Rotação do i-ésimo truque de um veículo em torno do seu eixo

transversal.

si Rotação do i-ésimo truque de um veículo em torno do seu eixo

longitudinal.

xx , yy

, zz ,

xy, xz

e yz

Componentes da deformação de um ponto qualquer de uma barra.

Rotação de um ponto de uma barra em torno do seu eixo axial (eixo

x local).

0 Deformação axial no eixo de referência de uma seção transversal de

uma barra.

y Curvatura em torno do eixo y local de uma seção transversal de

uma barra.

z Curvatura em torno do eixo z local de uma seção transversal de

uma barra.

x Rotação por unidade de comprimento em torno do eixo x local de

uma seção transversal de uma barra.

xx Componente de tensão de um ponto no plano cuja normal é o eixo

x local, na direção do mesmo eixo.

yy Componente de tensão de um ponto no plano cuja normal é o eixo

y local, na direção do mesmo eixo.

zz Componente de tensão de um ponto no plano cuja normal é o eixo

z local, na direção do mesmo eixo.

xy Componente de tensão de um ponto no plano cuja normal é o eixo

x local e na direção do eixo y local.

xz Componente de tensão de um ponto no plano cuja normal é o eixo

x local e na direção do eixo z local.

Coeficiente de Poisson do material da barra.

2 ( )D x Vetor de deformações generalizadas de uma seção de um elemento

de pórtico plano.

3 ( )D x Vetor de deformações generalizadas de uma seção de um elemento

de pórtico espacial.

2D Operador diferencial para elementos de pórtico plano utilizando-se a

teoria de vigas de Euler-Bernoulli.

12

3D Operador diferencial para elementos de pórtico espacial utilizando-

se a teoria de vigas de Euler-Bernoulli.

2D Vetor de coeficientes de integração para elementos de pórtico plano

utilizando-se a teoria de vigas de Euler-Bernoulli.

3D Vetor de coeficientes de integração para elementos de pórtico

espacial utilizando-se a teoria de vigas de Euler-Bernoulli.

2D Vetor de deformações generalizadas virtuais de uma seção de um

elemento de pórtico plano.

3D Vetor de deformações generalizadas virtuais de uma seção de um

elemento de pórtico espacial.

e

Coeficientes dependentes do fator de amortecimento e de duas

frequências naturais de vibração da estrutura.

Massa por unidade de comprimento de um elemento de barra.

Matriz que possibilita o cálculo das frequências naturais de vibração

da estrutura.

T Energia cinética de um veículo.

V Energia potencial de um veículo.

R Energia de dissipação de um veículo.

L Lagrangeano de um veículo.

iq I-ésimo grau de liberdade de um veículo.

vvM , rrM Submatrizes de massa de um veículo (massas suspensas e rodas).

vvC , vrC , rvC ,

rrC

Submatrizes de amortecimento de um veículo (massas suspensas e

rodas).

vvK , vrK , rvK ,

rrK

Submatrizes de rigidez de um veículo (massas suspensas e rodas).

vu

Vetor de deslocamentos dos graus de liberdade das massas

suspensas de um veículo.

ru

Vetor de deslocamentos dos graus de liberdade das massas

acopladas de um veículo.

vu

Vetor de velocidades dos graus de liberdade das massas suspensas

de um veículo.

ru

Vetor de velocidades dos graus de liberdade das massas acopladas

de um veículo.

vu

Vetor de acelerações dos graus de liberade das massas suspensas de

um veículo.

ru

Vetor de acelerações dos graus de liberdade das massas acopladas

de um veículo.

vm Massa da caixa de um veículo.

vI Momento de inércia da caixa de um veículo em torno do seu eixo

13

transversal.

vJ

Momento de inércia da caixa de um veículo em torno do seu eixo

longitudinal.

sim Massa do i-ésimo truque de um veículo.

siI

Momento de inércia do i-ésimo truque de um veículo em torno do

seu eixo transversal.

siJ

Momento de inércia do i-ésimo truque de um veículo em torno do

seu eixo longitudinal.

rim Massa da i-ésima roda de um veículo.

ik Rigidez da i-ésima suspensão de um veículo.

ic Amortecimento da i-ésima suspensão de um veículo.

vy

Deslocamento vertical do centro de gravidade da caixa de um

veículo.

siy

Deslocamento vertical do centro de gravidade do i-ésimo truque de

um veículo.

riy

Deslocamento vertical do centro de gravidade da i-ésima roda de

um veículo.

f

Distância do centro da caixa ao dos truques, no plano cuja normal é

transversal ao veículo.

d

Distância do centro dos truques ao rodeiro, no plano cuja normal é

transversal ao veículo.

s

Distância do centro da caixa ao eixo da suspensão secundária, no

plano cuja normal é longitudinal ao veículo.

e

Distância do centro dos truques ao centro das rodas, no plano cuja

normal é longitudinal ao veículo.

xu , yu e zu

Componentes do deslocamento de um ponto qualquer de uma barra.

u

Deslocamento de um ponto de uma barra na direção do seu eixo

axial (eixo x local), localizado sobre a linha neutra.

xv

Deslocamento de um ponto de uma barra na direção do eixo y

local, localizado sobre a linha neutra.

xw Deslocamento de um ponto de uma barra na direção do eixo z

local, localizado sobre a linha neutra.

E

Módulo de elasticidade longitudinal do material da barra.

G

Módulo de deformação de cisalhamento transversal do material da

barra.

xN

Esforço normal na direção do eixo x local, numa seção transversal

de uma barra.

yQ

Esforço cortante na direção do eixo y local, numa seção transversal

de uma barra.

14

zQ

Esforço cortante na direção do eixo z local, numa seção transversal

de uma barra.

yM

Momento fletor em torno do eixo y local, numa seção transversal

de uma barra.

zM

Momento fletor em torno do eixo z local, numa seção transversal

de uma barra.

xT

Momento torsor em torno do eixo x local, numa seção transversal

de uma barra.

xq , yq , zq e xm

Carregamentos externos distribuídos por unidade de comprimento.

A

Área da seção transversal.

yI Momento de inércia da seção transversal em torno do eixo y local.

zI Momento de inércia da seção transversal em torno do eixo z local.

xJ

Momento de inércia polar da seção transversal circular ou anelar de

um elemento de barra.

l

Comprimento do elemento de barra.

2

el

DU

Vetor de deslocamentos de um ponto de uma seção de um elemento

de pórtico plano no seu eixo de referência.

3

el

DU

Vetor de deslocamentos de um ponto de uma seção de um elemento

de pórtico espacial no seu eixo de referência.

2DS

Vetor de esforços ou forças internas de uma seção de um elemento

de pórtico plano.

3DS

Vetor de esforços ou forças internas de uma seção de um elemento

de pórtico espacial.

2

s

Dk

Matriz de rigidez de seção transversal de um elemento de pórtico

plano.

3

s

Dk

Matriz de rigidez de seção transversal de um elemento de pórtico

espacial.

2DX

Matriz de polinôminos elementares para elementos de pórtico plano


3DX

Matriz de polinôminos elementares para elementos de pórtico

espacial utilizando-se a teoria de vigas de Euler-Bernoulli.

2

l

Dd , 2

l

Dd e 2

l

Dd

Vetores de deslocamentos, velocidades e acelerações nodais de um

elemento de pórtico plano no sistema local de coordenadas.

3

l

Dd , 3

l

Dd e 3

l

Dd

Vetores de deslocamentos, velocidades e acelerações nodais de um

elemento de pórtico espacial no sistema local de coordenadas.

2DG

Matriz de coeficientes para elementos de pórtico plano utilizando-se

a teoria da vigas de Euler-Bernoulli.

3DG

Matriz de coeficientes para elementos de pórtico espacial

utilizando-se a teoria da vigas de Euler-Bernoulli.

2DN Matriz de funções de forma para elementos de pórtico plano

15


3DN

Matriz de funções de forma para elementos de pórtico espacial


2DB

Matriz que relaciona as deformações generalizadas numa seção

transversal de um elemento de pórtico plano com os deslocamentos

nodais do elemento no sistema local.

3DB

Matriz que relaciona as deformações generalizadas numa seção

transversal de um elemento de pórtico espacial com os

deslocamentos nodais do elemento no sistema local.

2

l

Dd

Vetor de deslocamentos nodais de um elemento de pórtico plano no

sistema local.

3

l

Dd

Vetor de deslocamentos nodais de um elemento de pórtico espacial

no sistema local.

2

l

Dp

Vetor de forças nodais de um elemento de pórtico plano no sistema

local.

3

l

Dp

Vetor de forças nodais de um elemento de pórtico espacial no

sistema local.

2

el

DU

Vetor de deslocamentos virtuais de um elemento de pórtico plano

no sistema local.

3

el

DU

Vetor de deslocamentos virtuais de um elemento de pórtico espacial

no sistema local.

2Dq

Vetor de carregamentos distribuídos sobre um elemento de pórtico

plano.

3Dq

Vetor de carregamentos distribuídos sobre um elemento de pórtico

espacial.

2

l

Dk , 2

l

Dm e 2

l

Dc

Matrizes de rigidez, massa consistente e amortecimento de um

elemento de pórtico plano no sistema local.

3

l

Dk , 3

l

Dm e 3

l

Dc


elemento de pórtico espacial no sistema local.

2

l

Dpeq

Vetor de forças nodais equivalentes às cargas distribuídas num


3

l

Dpeq

Vetor de forças nodais equivalentes às cargas distribuídas num

elemento de pórtico espacial no sistema local.

2

s

Dm

Matriz de massa de uma seção de um elemento de pórtico plano no

sistema local.

3

s

Dm

Matriz de massa de uma seção de um elemento de pórtico espacial

no sistema local.

2

l

Df

Vetor de forças externas em um elemento de pórtico plano no

sistema local.

3

l

Df

Vetor de forças externas em um elemento de pórtico espacial no

sistema local.

2DR

Matriz de rotação bidimensional do sistema global para o sistema

local de coordenadas.

16

3DR

Matriz de rotação tridimensional do sistema global para o sistema


3 3xA

Matriz quadrada 3 x 3 em que cada linha representa um dos vetores

base do sistema local ( lx , ly e lz ) expresso em coordenadas do

sistema global (gx ,

gy e gz ).

3 30 x Matriz nula quadrada 3 x 3.

xzv

Vetor em coordenadas globais de um elemento de pórtico espacial,

contido no plano local l lx z e não paralelo a lx , definido pelo

usuário da rotina computacional.

2

g

Dp

Vetor de forças nodais de um elemento de pórtico plano no sistema

global.

3

g

Dp

Vetor de forças nodais de um elemento de pórtico espacial no

sistema global.

2

g

Dd , 2

g

Dd e 2

g

Dd

Vetor de deslocamentos, velocidades e acelerações nodais de um

elemento de pórtico plano no sistema global de coordenadas.

3

g

Dd , 3

g

Dd e 3

g

Dd

Vetor de deslocamentos, velocidades e acelerações nodais de um

elemento de pórtico espacial no sistema global de coordenadas.

2

g

Dk , 2

g

Dm e 2

g

Dc


elemento de pórtico plano no sistema global.

3

g

Dk , 3

g

Dm e 3

g

Dc


elemento de pórtico espacial no sistema global.

2

g

Df

Vetor de forças externas em um elemento de pórtico plano no

sistema global.

3

g

Df

Vetor de forças externas em um elemento de pórtico espacial no

sistema global.

D , D e D

Vetor de deslocamentos, velocidades e acelerações da estrutura.

iH

Matriz de incidência cinemática do i-ésimo elemento de barra.

P

Vetor de forças externas na estrutura.

n

Número de elementos finitos da estrutura.

eK , eM e eC

Matrizes de rigidez, massa consistente e amortecimento da

estrutura.

cf Escalar de força de contato de uma roda de um veículo e um

elemento de passagem de carga.

wf Peso do veículo transferido a uma roda.

cf Escalar da variação da força de contato entre uma roda de um

veículo e um elemento de passagem de carga.

g Aceleração da gravidade.

17

pu , pu e

pu

Vetores de deslocamentos, velocidades, acelerações nodais de um

elemento da estrutura de passagem de carga.

v

Velocidade do veículo cuja roda está em contato com um elemento

de passagem de carga.

cN Vetor de funções hermitianas cúbicas.

,c xN

Vetor da primeira derivada em relação a x das funções hermitianas

cúbicas.

,c xxN

Vetor da segunda derivada em relação a x das funções hermitianas

cúbicas.

cr Escalar de irregularidade, no ponto de contato de uma roda com um

elemento estrutural de passagem de carga.

,c xr

Escalar da primeira derivada em relação a x da irregularidade, no

ponto de contato de uma roda com um elemento estrutural de

passagem de carga.

,c xxr

Escalar da segunda derivada em relação a x da irregularidade, no

ponto de contato de uma roda com um elemento estrutural de

passagem de carga.

pm , pc

e

pk

Matrizes de massa consistente, amortecimento e rigidez de um

elemento da estrutura de passagem de carga no sistema local de

coordenadas.

M , C e K

Matrizes de massa consistente, amortecimento e rigidez do sistema

veículo-estrutura.

F Vetor de carregamento global do sistema veículo-estrutura.

wF

Peso de um veículo.

pk Rigidez da suspensão primária de um veículo.

pc Amortecimento da suspensão primária de um veículo.

sk Rigidez da suspensão secundária de umveículo.

sc Amortecimento da suspensão secundária de um veículo.

18

1 Introdução

1.1 Tema e Motivação

A forte atividade de mineração realizada no Estado do Pará promove a extração

de minérios de ferro, ouro, manganês, bauxita, cobre e chumbo.

A Serra do Carajás, localizada no sudeste do Estado, abriga umas das mais

importantes jazidas minerais do mundo, cujo potencial foi descoberto em 1967,

passando a ser explorada desde a década de oitenta pela Companhia Vale do Rio Doce.

Em 2005, a produção de minério de ferro em Carajás foi de 72,5 milhões de

toneladas, com aumento de 4,5% frente ao ano anterior. Cerca de 20% do minério de

ferro extraído no País provem da Serra do Carajás.

A companhia Vale do Rio Doce iniciou suas atividades como empresa

mineradora e o minério de ferro é, até hoje, o principal produto desta empresa. A

empresa ocupa a posição de maior exportadora de minério de ferro, comercializando seu

produto para indústrias siderúrgicas do mundo inteiro.

O minério de ferro extraído pela empresa também é comercializado com

empresas localizadas ao longo da Estrada de Ferro Carajás (EFC) ainda no Estado do

Pará, tais como Cosipar, Ibérica, Usimar, entre outras, as quais utilizam o minério de

ferro como matéria-prima para a fabricação de ferro-gusa, que é exportado, em parte,

pelo Porto de Vila do Conde localizado na foz dos rios Tocantins e Amazonas.

No Brasil, a empresa Vale do Rio Doce explora o minério de ferro em três

sistemas integrados, cada um formado por mina, ferrovia, pelotização e terminal

marítimo. Um desses sistemas é o sistema Norte, o qual engloba as atividades de

extração, beneficiamento, expedição, pelotização, estocagem e embarque de minérios de

ferro em Ponta da Madeira (São Luís/MA).

O sistema Norte é composto pelo Complexo Minerador da Serra dos Carajás e o

Terminal Marítimo de Ponta da Madeira (TMPM). A essas atividades está integrado o

transporte de minério através da EFC (Estrada de Ferro Carajás).

A EFC conecta a Serra dos Carajás ao Terminal Marítimo de Ponta da Madeira,

com extensão de 892 Km. Sua construção teve início em 1982 e a ferrovia entrou em

operação em 1985.

O sistema ferroviário brasileiro totaliza 29.706 quilômetros, concentrando-se nas

regiões Sul, Sudeste e Nordeste, atendendo parte do Centro-Oeste e Norte do País. O

setor ferroviário participou na matriz de transporte de carga no Brasil com o percentual

19

de 20,86% em 2000, considerando o total de carga transportada no País (Fonte:

GEIPOT).

O modal de transporte ferroviário caracteriza-se, especialmente, por sua

capacidade de transportar grandes volumes, com elevada eficiência energética,

principalmente em casos de deslocamentos a médias e grandes distâncias. Apresenta

também algumas vantagens em relação aos modais rodoviário e aéreo. Essas vantagens

estão relacionadas com a maior capacidade do veículo de transporte, menores custos de

transporte, redução de gastos energéticos, menor impacto ambiental, devido às baixas

emissões de gases nocivos para a atmosfera, e ao pequeno número de acidentes.

O sistema ferroviário brasileiro é o maior da América Latina, no que diz respeito

à carga transportada, atingindo 162,2 bilhões de tku (tonelada kilômetro útil) em 2001

(Fonte: ANTT).

As ferrovias necessitam vencer obstáculos provocados por acidentes

geográficos, ou mesmo transpor rios, lagos e baías. Além disso, o fato deste tipo de via

não permitir curvas horizontais com raio diminuto, intensifica a necessidade de obras de

arte especiais para transpor esses obstáculos.

Em decorrência deste fato, ao longo da EFC estão dispostas várias pontes e

viadutos. O comportamento estrutural das pontes e viadutos é bastante complexo. Estas

construções são solicitadas por cargas móveis que induzem efeitos dinâmicos na

estrutura que são função de vários fatores, tais como do tipo e velocidade do veículo,

irregularidades na via permanente ou trilho, propriedades do lastro, do dormente e

características dinâmicas da estrutura (freqüências naturais, modos de vibração e taxas

de amortecimento).

No Brasil, apesar de sua enorme bacia hidrográfica, que demanda por inúmeras

pontes para integrar ferrovias e rodovias, as pesquisas sobre pontes são ainda escassas.

Cabe destacar que a região Norte do Brasil, reconhecidamente rica em recursos

naturais, mas ainda carente em termos de desenvolvimento social, desenvolvimento

tecnológico e investimentos em pesquisa, necessita de ações imediatas direcionadas

para a solução de seus problemas.

Assim, torna-se necessário gerar conhecimento local sobre o complexo

comportamento estrutural de pontes e viadutos submetidos a cargas dinâmicas devido a

passagem de trens, fornecendo subsídios para o projeto e a avaliação estrutural de

pontes e viadutos, e fazendo com que a Região Norte e, consequentemente, o País

avancem no conhecimento do comportamento destas obras de arte especiais quando

submetidas a cargas dinâmicas, devidas ao tráfego de trens.

20

1.2 Objetivos

A presente dissertação tem como objetivo geral realizar uma implementação

computacional para análise dinâmica plana e espacial de pontes submetidas a cargas

dinâmicas de veículos, considerando inclusive interação entre veículo e estrutura.

Este trabalho faz parte dos trabalhos do grupo de pesquisa NICAE da Faculdade

de Engenharia Civil da UFPA e tem como inovação a análise dinâmica espacial do

sistema veículo-estrutura, constituindo-se em generalização do trabalho de análise

dinâmica plana elaborado por Montoya (2009).

Os objetivos específicos podem ser discriminados como:

a) Traduzir, para a linguagem computacional do software MatLab, a parte de

análise dinâmica do programa computacional de análise dinâmica bidimensional

de pontes desenvolvido em linguagem Visual Basic por Montoya (2009);

b) Implementar computacionalmente uma análise estática, modal e dinâmica de

pontes bi e tridimensionais sujeitas a modelos de veículo bi e tridimensionais,

respectivamente;

c) Inclusão de função de irregularidade longitudinal senoidal nos elementos de

barra de passagem da carga dinâmica;

d) Estudar exemplos simples para validação/comparação com a literatura e com o

programa comercial SAP 2000;

e) Avaliar exemplo simplificado de ponte real mediante análise dinâmica

tridimensional;

f) Avaliar as formas de interação entre o veículo e a estrutura tridimensional,

considerando os quatro modelos de veículo; e

g) Avaliar efeitos de ressonância na estrutura tridimensional.

21

2 Revisão bibliográfica

A necessidade de se utilizar o modal ferroviário para o transporte de carga e

passageiros fez com que surgisse a preocupação com um aspecto estrutural associado ao

projeto de pontes e viadutos em ferrovias: os efeitos dinâmicos devido à carga dinâmica

gerada pelo tráfego de trens. A relevância deste fenômeno físico motivou os primeiros

estudos e continua a ser assunto de grande interesse dos engenheiros estruturais.

Apresenta-se a seguir uma breve descrição de alguns trabalhos sobre o

comportamento de pontes e viadutos, principalmente, em ferrovias.

As contribuições iniciais sobre o assunto datam de meados do século XIX com

os trabalhos de Willis (1849) e Stokes (1849).

Nos primeiros estudos do século XX, a ponte foi modelada como uma estrutura

de viga e o veículo como uma carga concentrada em movimento ou como uma massa

em movimento, como visto em Timoshenko (1922), Jeffcott (1929) e Lowan (1935).

Maunder (1960) trata do paradoxo de Timoshenko, que surge ao se comprovar

que o trabalho líquido realizado por uma força ao atravessar uma viga é nulo, apesar de

a viga ficar em estado de vibração livre (e, portanto, com certa energia cinética) quando

a carga já a abandonou. Ele explica o paradoxo imaginando um pequeno disco de massa

desprezível que transmite força a uma viga.

Ainda na década de 60, Bolotin (1964) estudou uma viga submetida a uma

seqüência infinita de carregamentos idênticos e igualmente espaçados d e com

velocidade constante v . Neste estudo, o período d v dos carregamentos em movimento

foi identificado como um parâmetro importante.

Frýba (1972) apresentou a solução analítica de problemas de vibração de vigas

devido à passagem de diversos modelos representando os veículos e concluiu, para o

mesmo problema de Bolotin, que a resposta do regime permanente em decorrência da

vibração forçada atingirá seu máximo quando o intervalo de tempo entre dois

carregamentos sucessivos for igual a alguns períodos da viga em vibração livre ou a um

múltiplo destes períodos.

Vu-Quoc e Olsson (1989) mostram uma formulação extensa e rigorosa das

equações de movimento do sistema veículo-estrutura e propõem um algoritmo

computacional eficiente para a análise da interação entre trens de alta velocidade e

estruturas flexíveis. Em contradição com as abordagens tradicionais do problema, neste

caso a velocidade nominal do veículo é considerada como uma variável desconhecida.

22

O algoritmo proposto leva a resultados precisos que satisfazem essencialmente o

balanço de energia do sistema. A presente formulação realmente resolve o paradoxo de

Timoshenko relativo a problemas de carga em movimento.

Olsson (1991) apresenta o desenvolvimento do problema da carga móvel. O

modelo utilizado para a estrutura é a viga de Euller-Bernoulli, e por isso a relação

altura/comprimento da viga deve ser pequena. Ademais, se despreza a inércia à rotação

no desenvolvimento da equação de equilíbrio porque se supõe que os modos superiores

não se excitam significativamente. O autor indica que esta última hipótese apenas se

verifica se a velocidade de passo não é excessivamente elevada, mas não dá limites

indicativos para a mesma. Uma das conclusões obtidas mais interessante e intuitiva é o

feito de que, quando uma determinada velocidade adimensional é maior do que um, a

máxima resposta se produz quando a carga deixa a ponte, já que esta se assemelha a um

impacto.

Yang et al. (1997) estudaram a vibração de vigas simplesmente apoiadas

submetidas a trens em alta velocidade. O trem foi modelado como dois sub-sistemas de

cargas de roda espaçados em intervalos constantes. Através de uma abordagem analítica

que considera a inércia dos sub-sistemas em movimento e sua interação com a estrutura,

os principais parâmetros que governam a resposta dinâmica da viga são determinados.

Para a avaliação do efeito de inércia mencionado foram obtidas soluções numéricas

valendo-se do método de Newmark. Baseado na condição de ressonância e no

cancelamento das ondas geradas pelo contínuo movimento das cargas na viga, critérios

de projeto ótimos para suprimir a resposta ressonante são propostos. Neste estudo se

concluiu que: a primeira ressonância representa a condição mais crítica e deveria ser

evitada em projetos reais; o efeito da inércia dos veículos em movimento tende a

aumentar o período de vibração da viga, fazendo com que os picos de ressonância

cambiem para velocidades menores; quanto menor o vão da viga maior será o fator de

impacto para o deslocamento da viga; e quando a razão do vão pelo comprimento do

veículo iguala 1,5 não haverá resposta ressonante induzida na viga, desde que a primeira

ressonância tenha sido suprimida.

Henchi e Fafard (1999) mostram um modelo numérico avançado para a análise

dinâmica das pontes. A deformada da estrutura é aproximada mediante uma combinação

de funções de forma trigonométricas e hiperbólicas, obtendo-se uma matriz de rigidez

dinâmica que permite a obtenção das frequências exatas da ponte com um único

elemento.

23

Frýba (2001) investigou vibrações de ressonância em pontes ferroviárias sujeitas

a trens de alta velocidade. Um modelo teórico de ponte foi estudado fornecendo a

estimativa das amplitudes em vibração livre. Além disso, a análise fornece as

velocidades críticas nas quais a vibração de ressonância pode ocorrer. Conclui que a

vibração de ressonância ocorre por duas razões: ações repetidas de eixos de carga e a

velocidade em si. Aponta também que as máximas amplitudes de vibração de

ressonância aparecem no momento em que o último eixo deixa a ponte.

Expressões analíticas do fator de amplificação dinâmica e do espectro de

resposta característico foram obtidos por Savin (2001) para vigas fracamente

amortecidas, com várias condições de contorno, e sujeitas a carregamentos pontuais se

movendo a uma velocidade constante. Esses coeficientes são dados como função do

comprimento de onda do carregamento e do quociente do comprimento do vão pelo

comprimento de onda do carregamento. Esses resultados são particularmente úteis no

pré-projeto de pontes ferroviárias e na avaliação dos níveis máximos de vibração

esperados em decorrência da passagem de trens de alta velocidade.

Cheng et al. (2001) propõem um novo elemento denominado ponte-trilho-

veículo para realizar a investigação entre um trem em movimento e o trilho e a ponte

que o suportam. O trem é modelado com dois graus de liberdade como uma série de

sistemas massa-mola-amortecedor, localizados no eixo do veículo. O elemento ponte-

trilho-veículo consiste de veículos modelados como sistemas massa-mola-amortecedor,

um elemento de viga superior para modelar o trilho e um elemento de viga inferior para

modelar a ponte. Os dois elementos de viga são conectados por uma série de molas e

amortecedores para modelar o lastro. Os resultados mostram que os efeitos do trilho na

resposta dinâmica da ponte é insignificante. Por outro lado, o efeito da ponte na resposta

dinâmica do trilho é significativa.

Goicolea et al. (2002) apontaram que o projeto de pontes ferroviárias para trens

de alta velocidade, em decorrência da real possibilidade de ressonância, requer a

consideração de vibração sobre carregamentos móveis. Com esse intuito diversos

modelos de análise são descritos neste artigo, de menor ou maior complexidade.

Afirmam também que é importante aplicar estes métodos de análise para desenvolver

métodos de projeto e normas que sejam suficientemente práticas, seguras e simples de

se usar. A versão não final das normas IAPF e a versão final da norma Eurocode 1 de

ações em pontes cobrem adequadamente esta necessidade de análise dinâmica para

linhas de alta velocidade.

24

Romero (2002) apresentou diversos aspectos do comportamento dinâmico de

pontes isostáticas ferroviárias para trens de alta velocidade. Nesta tese, foram estudados

os fatores mais importantes para a predição das respostas dinâmicas das pontes, quais

sejam os modos e os modelos de veículos que são considerados. A principal conclusão

deste trabalho é a importância de se ter em conta os fenômenos de ressonância na

análise dinâmica de pontes isostáticas, assim como, a conveniência de se empregar

modelos de interação.

Correa (2003) estudou as vibrações em pontes ferroviárias produzidas pela

passagem de um trem elétrico típico utilizado nas vias férreas urbanas brasileiras. Os

modelos de trem vão desde forças concentradas até sistema massa-mola-amortecedor

com seis graus de liberdade. É também considerada a interação trem-trilhos-ponte,

considerando irregularidade nos trilhos e rodas e lastro granular e elastomérico. O

sistema trem-trilhos-ponte é discretizado em elementos finitos e as equações integrais

de movimento são integradas numericamente pelo método de Newmark.

Yang et al. (2005) estudaram novamente a interação dinâmica de um veículo em

movimento e a ponte que o suporta. Desta vez, através do método da superposição

modal, soluções exatas foram obtidas para a resposta vertical tanto da ponte quanto do

veículo, assumindo que a razão da massa do veículo pela da ponte é pequena.

Yau e Frýba (2007) estudaram a vibração de uma ponte suspensa sujeita à carga

móvel eqüidistante e de mesmo valor e a deslocamentos decorrentes de terremoto,

enquanto Xia et al. (2008) estabeleceram um modelo dinâmico de vento-trem-ponte e

concluíram que o vento tem grande influência no sistema trem-ponte.

Correa (2008) estudou o problema de vibração induzida em estruturas de aço de

pontes ferroviárias devido a passagem de trens, juntamente com sistemas alternativos

para atenuação da vibração por meio de dispositivos de controle passivo. As cargas

dinâmicas dos trens são descritas por um modelo mecânico-analítico com nove graus de

liberdade. A modelagem numérica tridimensional do sistema mecânico-estrutural de

uma ponte ferroviária é feita pelo Método dos Elementos Finitos, levando em

consideração a interação trem-trilhos-dormentes-estrutura e as irregularidades

geométricas, determinísticas e aleatórias, nas rodas e nos trilhos.

Em trabalho desenvolvido no NICAE, no âmbito de um projeto de pesquisa em

convênio com a companhia mineradora Vale S/A, Montoya (2009) realizou a análise

dinâmica de pontes sujeitas à passagem de veículos, através da utilização do método dos

elementos finitos para a modelagem bidimensional da ponte e a integração numérica da

equação diferencial do modelo dinâmico veículo-estrutura valendo-se do método de

25

Newmark. Houve consideração de interação veículo-estrutura, sendo o veículo

modelado com vários graus de liberdade. Foi construído algoritmo computacional em

linguagem Visual Basic para implementação da análise numérica.

O Trabalho desenvolvido nesta dissertação baseia-se nos trabalhos de Cheng et

al. (2001), Romero (2002), Correa (2003) e Montoya (2009). Todos esses trabalhos

tratam de análise dinâmica bidimensional de pontes.

A implementação computacional desenvolvida abrange tanto análise bi quanto

tridimensional de estruturas (formadas por elementos de barra) sujeitas à carga dinâmica

de veículo ferroviário.

26

3 Modelagem de veículos ferroviários

3.1 Descrição dos elementos dos veículos ferroviários

Em razão da presente dissertação fazer parte dos trabalhos do projeto de

pesquisa em pontes ferroviárias sujeitas a passagem de trens de carga (em convênio com

a Vale S/A), discorrer-se-á brevemente sobre os componentes do trem de carga.

Entretanto, o programa computacional desenvolvido nesta dissertação aplica-se tanto a

pontes ferroviárias como rodoviárias e, consequentemente a veículos ferroviários (de

carga e passageiros) e rodoviários.

Os trens destinados ao transporte de carga são constituídos por uma locomotiva,

sendo a mais usual a Diesel-elétrica, e uma grande quantidade de vagões (Figura 3.1).

Figura 3.1 - Locomotiva Diesel-elétrica.

A locomotiva Diesel-elétrica possui sua fonte de energia motora. Esta energia é

usualmente provida por motores de tração elétricos que acionam os eixos. Vagões são a

parte do material rodante que é rebocado e também responsável pela movimentação da

carga (Correa, 2008).

As rodas são fabricadas com aço manganês e são conectadas aos eixos formando

o rodeiro (Figura 3.2), que recebe as cargas oriundas das caixas do veículo (locomotiva

ou vagão) através dos mancais.

Dois conjuntos de rodeiros e mais o sistema de suspensão formam os truques

(Figura 3.3), sobre os quais repousa, no caso do trem de cargas, a locomotiva e os

vagões. Os truques têm como vantagem a redução da base rígida dos veículos, assim

como diminuição das vibrações transmitidas, devido às imperfeições existentes nas vias

férreas.

27

Os truques são constituídos, basicamente por duas suspensões, uma primária,

composta por molas helicoidais; e outra secundária, formada por bolsas de ar fixadas

entre caixa do veículo e chassi do truque (Correa, 2003).

Figura 3.2 - Rodeiro de truque. Figura 3.3– Truque para vagão de transporte

de carga.

3.2 Formulação matemática básica do movimento dos veículos

Os trens são sistemas mecânicos com vários graus de liberdade, com molas de

comportamento linear e não-linear e, também, amortecimento, que pode ser hidráulico e

pneumático. Durante a passagem do trem sobre uma estrutura de ponte, o seu peso

próprio combinado com a inércia de sua massa pode causar vibrações que afetam a

integridade estrutural da ponte. Numa análise dinâmica, estes sistemas são comumente

simplificados, dependendo do tipo de análise, bidimensional ou tridimensional, que se

propõe realizar (Battista, 1995, apud Correa, 2008).

Os modelos dos veículos, integrantes do trem, podem ser obtidos tanto a partir

do princípio de D’Alembert (equilíbrio dinâmico de forças) quanto a partir das equações

de Euler-Lagrange (equilíbrio em termos de energia). Esta última forma foi utilizada

para o desenvolvimento das equações de movimento que serão apresentadas nas duas

seções seguintes.

Foram consideradas certas hipóteses para a análise de um veículo: as molas de

suspensão se comportam linearmente; os deslocamentos angulares são pequenos e por

isso o seno e a tangente de um ângulo de giro são considerados iguais ao próprio

ângulo; todos os componentes do veículo movem-se na mesma velocidade; e é

considerado que não ocorre descontinuidade entre a roda e a ponte, ou seja, que a roda

não se separa do elemento da estrutura sobre o qual ela se movimenta.

A equação de Euler-Lagrange apresenta o seguinte formato:

28

( ) ( )

0j j

d T V T V

dt q q (3.1)

onde:

T é a energia cinética do sistema;

V é a energia potencial do sistema; e

jq representa o j-ésimo grau de liberdade do sistema.

Denomina-se Lagrangeano L T V à diferença da energia cinética menos a

energia potencial de um sistema. A Equação (3.1) foi desenvolvida independentemente

por Euler e Lagrange, daí ser denominada equação de Euler-Lagrange. Para descrever

todo o movimento do sistema, deve-se escrever esta equação para cada um dos graus de

liberdade do sistema.

A Equação (3.1) descreve o movimento de um sistema de forma estática, de

forma similar ao Princípio de D’Alembert, mas em termos de energia. É possível

escrever várias formas de funções dissipativas, quando o sistema não for conservativo.

Quando parte da energia do sistema for dissipada por elementos submetidos a forças

que sejam proporcionais a sua velocidade, é possível acrescentar uma parcela à equação

de Euler-Lagrange utilizando uma função dissipativa, aqui denominada R (Barbosa,

1999, apud Montoya, 2009):

0j j j

d L L R

dt q q q

(3.2)

3.3 Modelos de veículo bidimensionais

3.3.1 Modelo de veículo simulado por carga móvel concentrada

Nos casos em que o efeito da inércia do veículo for muito menor que o efeito do

seu peso próprio, podendo assim ser desprezada, o modelo mais simples é o de cargas

verticais móveis aplicadas nos pontos de contato das rodas com os trilhos. As

magnitudes dessas forças são iguais às forças estáticas e se movimentam com

velocidade constante sobre a estrutura. Não existe interação entre veículo e estrutura

neste modelo.

29

Figura 3.4– Modelo de veículo 2D simulado por carga móvel concentrada.

3.3.2 Modelo de veículo constituído apenas de massa

O modelo com elemento de massa é o modelo de interação mais simples, pois a

massa total do veículo é considerada como um elemento externo à estrutura e será

acoplada convenientemente à matriz de massa da estrutura. Entretanto, este modelo não

possui rigidez nem amortecimento.

Figura 3.5 – Modelo de veículo 2D constituído de massa.

Os símbolos empregados na Figura 3.5 têm o seguinte significado:

ry é o deslocamento vertical do centro de gravidade da roda de um veículo; e

rm é a massa total de um veículo (caixa + truques + rodas).

De uma forma geral, as equações de equilíbrio para qualquer tipo de veículo em

vibração livre que irá interagir com a estrutura pode ser escrita como (Romero, 2002):

0 0

. . .0 0

v v vvv vr vv vrvv

rv rr rv rrrr r r r

u u uC C K KM

C C K KM u u u (3.3)

onde:

vvM , rrM são sub-matrizes de massa de um veículo (massas suspensas e rodas);

vvC , vrC , rvC , rrC são sub-matrizes de amortecimento de um veículo (massas suspensas

e rodas);

vvK , vrK , rvK , rrK são sub-matrizes de rigidez de um veículo (massas suspensas e

rodas);

30

vu , vu e vu são vetores de deslocamentos, velocidades e acelerações dos graus de

liberdade das massas suspensas (caixa e truques) de um veículo; e

ru , ru e ru são vetores de deslocamentos, velocidades e acelerações dos graus de

liberdade das massas acopladas (rodas) de um veículo.

No caso do modelo de massa para o veículo mostrado na Figura 3.5, o

deslocamento generalizado é representado pelo único grau de liberdade do veículo ry . A

equação de Euler-Lagrange que define o equilíbrio dinâmico deste veículo é:

0r r r

d L L R

dt y y y (3.5)

O Lagrangeano do sistema é dado por:

2 21 1( ) 0 ( )

2 2r r r rL m y m y (3.6)

A função de dissipação de energia R do sistema é nula. Assim, a equação de

movimento do veículo com um grau de liberdade é dada por:

0r rm y (3.7)

Os termos integrantes da Equação (3.3), tendo-se como referência a Equação

(3.7), são assim identificados:

0vvM rr rM m

0vv rv vr rrC C C C

0vv rv vr rrK K K K

0vu r ru y (3.8)

3.3.3 Modelo de veículo de interação simplificada

Este modelo é o mais simples que considera interação do veículo com a matriz

de massa, amortecimento e rigidez da estrutura.

31

Figura 3.6 – Modelo de veículo 2D simplificado.


vy é o deslocamento vertical do centro de gravidade da massa total suspensa de um

veículo;

ry é o deslocamento vertical do centro de gravidade da roda de um veículo;

vm é massa total suspensa de um veículo (caixa + truques);

rm é a massa total das rodas de um veículo;

1k é a rigidez total da suspensão (primária e secundária) de um veículo; e

1c é o amortecimento total da suspensão (primária e secundária) de um veículo.

A Figura 3.7 ilustra os 2 graus de liberdade deste modelo de veículo e o seu

único deslocamento generalizado, representado pelo deslocamento relativo entre a

massa suspensa e a não suspensa.

Figura 3.7 – Deslocamento generalizado e graus de liberdade do modelo simplificado 2D.

Neste modelo de veículo, tem-se 2 graus de liberdade e, portanto, existem duas

equações de Euler-Lagrange. O único deslocamento generalizado é dado por:

1 ( )v ry y (3.9)

32

As equações de Euler-Lagrange que definem o equilíbrio dinâmico deste modelo

de veículo são:

0v v v

d L L R

dt y y y 0

r r r

d L L R

dt y y y (3.10)

O Lagrangeano do veículo é a diferença da energia cinética pela energia

potencial, sendo dado por:

2 2 2

1 1

1 1 1( ) ( ) ( )

2 2 2v v r rL m y m y k (3.11)

A função de dissipação de energia do veículo é dada por:

2

1 1

1( )

2R c (3.12)

Desenvolvendo cada um dos termos das Equações (3.10), valendo-se das

Equações (3.11) e (3.12), tem-se as equações de movimento para o veículo com dois

graus de liberdade:

1 1( ) ( ) 0v v v r v rm y c y y k y y

1 1( ) ( ) 0r r v r v rm y c y y k y y (3.13)

Os termos integrantes da Equação (3.3), tendo-se como referência as Equações


vv vM m rr rM m

1vv rrC C c 1rv vrC C c

1vv rrK K k 1rv vrK K k

v vu y r ru y (3.14)

3.3.4 Modelo de veículo de interação completa

Neste modelo, um veículo é modelado com 10 (dez) graus de liberdade. São

modeladas a massa da caixa, a massa dos truques, traseiro e dianteiro, e as massas das

rodas dos quatro eixos. As massas da caixa e dos truques têm as propriedades de

deslocar-se verticalmente e girar ao redor de seu próprio eixo. Também é modelado o

sistema de suspensão, primário e secundário, para os quais são definidas as propriedades

de rigidez e amortecimento.

33

Figura 3.8 – Modelo de veículo 2D completo.

Os símbolos empregados na Figura 3.8 têm os seguintes significados:

vy é o deslocamento vertical do centro de gravidade da caixa de um veículo;

v é a rotação da caixa de um veículo em torno do seu eixo transversal;

siy é o deslocamento vertical do centro de gravidade do i-ésimo truque de um veículo;

si é a rotação do i-ésimo truque de um veículo em torno do seu eixo transversal;

riy é o deslocamento vertical do centro de gravidade da i-ésima roda de um veículo;

f é a distância do centro da caixa ao centro dos truques, no plano cuja normal é

transversal ao veículo;

d é a distância do centro dos truques ao rodeiro, no plano cuja normal é transversal ao

veículo;

vm é a massa da caixa de um veículo;

vI é o momento de inércia da caixa de um veículo em torno do seu eixo transversal;

sim é a massa do i-ésimo truque de um veículo;

siI é o momento de inércia do i-ésimo truque de um veículo em torno do seu eixo

transversal;

rm é a massa das duas rodas de um rodeiro de um veículo;

ik é o dobro da rigidez das suspensões primária ou secundária de um veículo; e

ic é o dobro do amortecimento das suspensões primária ou secundária de um veículo.

A Figura 3.9 ilustra os 10 graus de liberdade deste modelo de veículo e os seus 6

deslocamentos generalizados:

34


Os deslocamentos generalizados são dados por:

1 1( )v v sy f y 2 2( )v v sy f y

3 1 1 1( )s s ry d y 4 1 1 2( )s s ry d y

5 2 2 3( )s s ry d y 6 2 2 4( )s s ry d y (3.15)


de veículo são:

0v v v

d L L R

dt y y y 0

v v v

d L L R

dt

1 1 1

0s s s

d L L R

dt y y y

1 1 1

0s s s

d L L R

dt

2 2 2

0s s s

d L L R

dt y y y

2 2 2

0s s s

d L L R

dt

1 1 1

0r r r

d L L R

dt y y y

2 2 2

0r r r

d L L R

dt y y y

3 3 3

0r r r

d L L R

dt y y y

4 4 4

0r r r

d L L R

dt y y y (3.16)

O Lagrangeano deste modelo de veículo é dado por:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2

2 2 2 2 2

2 2 1 1 2 2 3 3 4 4

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]2 2 2 2 2 2

v v v v s s s s s s

s s r r r r r r r r

L m y I m y I m y

I m y m y m y m y

k k k k k k

(3.17)


35

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2R c c c c c c (3.18)


Equações (3.17) e (3.18), tem-se as equações de movimento para o veículo com 10

graus de liberdade:

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0v v v v s v v s v v s v v sm y c y f y c y f y k y f y k y f y

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) 0

v v v v s v v s

v v s v v s

I c y f y f c y f y f

k y f y f k y f y f

1 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 2

1 1 3 1 1 1 4 1 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

s s v v s s s r s s r

v v s s s r s s r

m y c y f y c y d y c y d y

k y f y k y d y k y d y

1 1 3 1 1 1 4 1 1 2

3 1 1 1 4 1 1 2

( ) ( )

( ) ( ) 0

s s s s r s s r

s s r s s r

I c y d y d c y d y d

k y d y d k y d y d

2 2 2 2 5 2 2 3 6 2 2 4

2 2 5 2 2 3 6 2 2 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

s s v v s s s r s s r

v v s s s r s s r

m y c y f y c y d y c y d y

k y f y k y d y k y d y

2 2 5 2 2 3 6 2 2 4

5 2 2 3 6 2 2 4

( ) ( )

( ) ( ) 0

s s s s r s s r

s s r s s r

I c y d y d c y d y d

k y d y d k y d y d

1 1 3 1 1 1 3 1 1 1( ) ( ) 0r r s s r s s rm y c y d y k y d y



4 4 6 2 2 4 6 2 2 4( ) ( ) 0r r s s r s s rm y c y d y k y d y (3.19)



1

1

2

2

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

v

v

s

vv

s

s

s

m

J

mM

J

m

J

0 0 0

0 0 0

00 0

00 0

r

r

rr

r

r

m

mM

m

m

36

1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 3 4 3 4

2

3 4 3 4

2 2 2 5 6 5 6

2

5 6 5 6

( ) 0 0

( ) ( ) 0 0

( ) 0 0

0 0 ( ) ( ) 0 0

0 0 ( )

0 0 0 0 ( ) ( )

vv

c c c c f c c

c c f c c f c f c f

c c f c c c c c dC

c c d c c d

c c f c c c c c d

c c d c c d

3 4

3 4

5 6

5 6

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

vr

c cC

c d c d

c c

c d c d

T

rv vrC C

3

4

5

6

0 0 0

0 0 0

00 0

00 0

rr

c

cC

c

c

1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 3 4 3 4

2

3 4 3 4

2 2 2 5 6 5 6

2

5 6 5 6

( ) 0 0

( ) ( ) 0 0

( ) 0 0

0 0 ( ) ( ) 0 0

0 0 ( )

0 0 0 0 ( ) ( )

vv

k k k k f k k

k k f k k f k f k f

k k f k k k k k dK

k k d k k d

k k f k k k k k d

k k d k k d

3 4

3 4

5 6

5 6

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

vr

k kK

k d k d

k k

k d k d

T

rv vrK K

3

4

5

6

0 0 0

0 0 0

00 0

00 0

rr

k

kK

k

k

1

1

2

2

v

v

s

v

s

s

s

y

yu

y

1

2

3

4

r

r

r

r

r

y

yu

y

y

(3.20)

3.4 Modelos de veículo tridimensionais

3.4.1 Modelo de veículo simulado por carga móvel concentrada

Este modelo considera que cada rodeiro de veículo é representado por uma força

concentrada. Esse modelo é similar ao bidimensional, com a particularidade de que essa

37

força se divide igualmente entre dois elementos finitos paralelos da estrutura

tridimensional.

3.4.2 Modelo de veículo constituído apenas de massa

Considera-se a massa do veículo como um elemento externo à estrutura e

composta da massa da caixa, dos truques e das rodas. Esta massa conjunta será acoplada

ao sistema convenientemente e aplicará uma força de interação à estrutura

correspondente ao peso do veículo. Este modelo de veículo não possui rigidez e

amortecimento.

Figura 3.10 – Modelo de veículo 3D constituído de massas.

Os símbolos empregados na Figura 3.10 possuem o seguinte significado:

riy é o deslocamento vertical do centro de gravidade da i-ésima roda de um veículo; e

rm é a metade da massa total de um veículo (caixa + truques + rodas).


de veículo são:

1 1 1

0r r r

d L L R

dt y y y

2 2 2

0r r r

d L L R

dt y y y (3.21)

O Lagrangeano e a função de dissipação do veículo são dados por:

2 2

1 2

1 1( ) ( )

2 2r r r rL m y m y

0R (3.22)


Equações (3.22), têm-se as equações de movimento para o veículo com 2 graus de

liberdade:

1 0r rm y 2 0r rm y (3.23)



0vvM 0

0

r

rr

r

mM

m

0vv rv vr rrC C C C

38

0vv rv vr rrK K K K

0vu 1

2

r

r

r

yu

y (3.24)

3.4.3 Modelo de veículo de interação simplificada

Neste modelo, as massas da caixa e dos truques são consideradas conjuntamente,

enquanto a massa das duas rodas é considerada como acoplada à estrutura, existindo 4

graus de liberdade ( vy , v , 1ry e 2ry ). Considera-se assim a inércia rotacional da massa

suspensa do veículo em torno do seu eixo longitudinal.

Figura 3.11 – Modelo de veículo 3D simplificado.


vy é o deslocamento vertical do centro de gravidade da massa total suspensa de um

veículo;

v é a rotação da massa suspensa total de um veículo em torno do seu eixo longitudinal;


e é a distância do centro da massa suspensa total ao eixo das rodas, no plano cuja

normal é longitudinal ao veículo;

vm é massa total suspensa de um veículo (caixa + truques);

vJ é o momento de inércia da massa suspensa total de um veículo em torno do seu eixo

longitudinal;

rm é a metade da massa total das rodas de um veículo;

ik é a metade da rigidez total da suspensão (primária e secundária) de um veículo; e

ic é a metade do amortecimento total da suspensão (primária e secundária) de um

veículo.

39

A Figura 3.12 ilustra os 4 graus de liberdade deste modelo de veículo e os seus 2

deslocamentos generalizados:

Figura 3.12 – Deslocamentos generalizados e graus de liberdade do modelo simplificado 3D.


1 1( )v v ry e y 2 2( )v v ry e y (3.25)


de veículo são:

0v v v

d L L R

dt y y y 0

v v v

d L L R

dt

1 1 1

0r r r

d L L R

dt y y y

2 2 2

0r r r

d L L R

dt y y y (3.26)


2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]

2 2 2 2 2 2v v v v r r r rL m y J m y m y k k (3.27)


2 2

1 1 2 2

1 1( ) ( )

2 2R c c (3.28)


Equações (3.27) e (3.28), tem-se as equações de movimento para o veículo com 4 graus

de liberdade:

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0v v v v r v v r v v r v v rm y c y e y c y e y k y e y k y e y

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) 0

v v v v r v v r

v v r v v r

J c y e y e c y e y e

k y e y e k y e y e

40

1 1 1 1 1 1( ) ( ) 0r r v v r v v rm y c y e y k y e y

2 2 2 2 2 2( ) ( ) 0r r v v r v v rm y c y e y k y e y (3.29)

Os termos integrantes da Equação (3.3), tendo-se como referência a Equação


0

0

v

vv

v

mM

J

0

0

r

rr

r

mM

m

1 2 1 2

2

1 2 1 2

( )

( ) ( )vv

c c c c eC

c c e c c e

1 2

1 2

vr

c cC

c e c e T

rv vrC C 1

2

0

0rr

cC

c

1 2 1 2

2

1 2 1 2

( )

( ) ( )vv

k k k k eK

k k e k k e

1 2

1 2

vr

k kK

k e k e T

rv vrK K 1

2

0

0rr

kK

k

v

v

v

yu

1

2

r

r

r

yu

y (3.30)

3.4.4 Modelo de veículo de interação completa

O modelo completo tridimensional de um veículo, mostrado na Figura 3.13,

contém 17 graus de liberdade. Este modelo permite a modelagem da caixa do veículo e

os truques, dianteiro e traseiro, com seus movimentos translacional vertical e

rotacionais, em torno dos eixos longitudinal e transversal.

41

Figura 3.13 – Modelo de veículo 3D completo.

Os símbolos empregados na Figura 3.13 têm os seguintes significados:

vy é o deslocamento vertical do centro de gravidade da caixa de um veículo;

v é a rotação da caixa de um veículo em torno do seu eixo transversal;

v é a rotação da caixa de um veículo em torno do seu eixo longitudinal;

siy é o deslocamento vertical do centro de gravidade do i-ésimo truque de um veículo;

si é a rotação do i-ésimo truque de um veículo em torno do seu eixo transversal;

si é a rotação do i-ésimo truque de um veículo em torno do seu eixo longitudinal;


f é a distância do centro da caixa ao dos truques, no plano cuja normal é transversal ao

veículo;

d é a distância do centro dos truques ao rodeiro, no plano cuja normal é transversal ao

veículo;

s é a distância do centro da caixa ao eixo da suspensão secundária, no plano cuja

normal é longitudinal ao veículo;

e é a distância do centro dos truques ao centro das rodas, no plano cuja normal é

longitudinal ao veículo;

vm é a massa da caixa de um veículo;

vI é o momento de inércia da caixa de um veículo em torno do seu eixo transversal;

vJ é o momento de inércia da caixa de um veículo em torno do seu eixo longitudinal;

sim é a massa suspensa do i-ésimo truque de um veículo;

42

siI é o momento de inércia do i-ésimo truque de um veículo em torno do seu eixo

transversal;

siJ é o momento de inércia do i-ésimo truque de um veículo em torno do seu eixo

longitudinal;

rm é a massa de cada roda de um veículo;

ik é a rigidez das suspensões primária ou secundária de um veículo; e

ic é o amortecimento das suspensões primária ou secundária de um veículo.

A Figura 3.14 ilustra graus de liberdade deste modelo de veículo (no total de 17)

e seus deslocamentos generalizados (no total de 12):



1 1 1( )v v v s sy f s s y 2 2 2( )v v v s sy f s s y

43

3 1 1( )v v v s sy f s s y 4 2 2( )v v v s sy f s s y

5 1 1 1 1( )s s s ry d b y 6 1 1 1 2( )s s s ry d b y



11 2 2 2 7( )s s s ry d b y 12 2 2 2 8( )s s s ry d b y (3.31)


de veículo são:

0v v v

d L L R

dt y y y 0

v v v

d L L R

dt 0

v v v

d L L R

dt

1 1 1

0s s s

d L L R

dt y y y

1 1 1

0s s s

d L L R

dt

1 1 1

0s s s

d L L R

dt

2 2 2

0s s s

d L L R

dt y y y

2 2 2

0s s s

d L L R

dt

2 2 2

0s s s

d L L R

dt

1 1 1

0r r r

d L L R

dt y y y

2 2 2

0r r r

d L L R

dt y y y

3 3 3

0r r r

d L L R

dt y y y

4 4 4

0r r r

d L L R

dt y y y

5 5 5

0r r r

d L L R

dt y y y

6 6 6

0r r r

d L L R

dt y y y

7 7 7

0r r r

d L L R

dt y y y 8 8 8

0r r r

d L L R

dt y y y (3.32)


2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3

2 2 2

4 4 5 5 6 6 7

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( ) (

2 2 2 2

v v v v v v s s s s s s

s s s s s s r r r r r r

r r r r r r r r

L m y I J m y I J

m y I J m y m y m y

m y m y m y m y 2 2 2

7 8 8 1 1

2 2 2 2 2 2 2

2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8

2 2 2 2

9 9 10 10 11 11 12 12

1 1) ( ) [ ( )

2 2

1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ]

2 2 2 2

r rm y k

k k k k k k k

k k k k

3.33)


2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

2 2 2 2 2 2

7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

R c c c c c c

c c c c c c

(3.34)

44


Equações (3.33) e (3.34), tem-se as equações de movimento para o veículo com 17

graus de liberdade:

1 1 1 2 2 2

3 1 1 4 2 2

1 1 1 2 2 2

3 1 1 4

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

v v v v v s s v v v s s

v v v s s v v v s s

v v v s s v v v s s

v v v s s v

m y c y f s s y c y f s s y

c y f s s y c y f s s y

k y f s s y k y f s s y

k y f s s y k y 2 2 ) 0v v s sf s s y

1 1 1 2 2 2

3 1 1 4 2 2

1 1 1 2 2 2

3 1 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )


v v v s s v v v s s

v v v s s v v v s s

v v v s s

I c y f s s y f c y f s s y f

c y f s s y f c y f s s y f

k y f s s y f k y f s s y f

k y f s s y 4 2 2( ) 0v v v s sf k y f s s y f

1 1 1 2 2 2

3 1 1 4 2 2

1 1 1 2 2 2

3 1 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )


v v v s s v v v s s

v v v s s v v v s s

v v v s s

J c y f s s y s c y f s s y s

c y f s s y s c y f s s y s

k y f s s y s k y f s s y s

k y f s s y 4 2 2( ) 0v v v s ss k y f s s y s

1 1 1 1 1 3 1 1

5 1 1 1 1 6 1 1 1 2

7 1 1 1 3 8 1 1 1 4

1 1 1 3

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

s s v v v s s v v v s s

s s s r s s s r

s s s r s s s r

v v v s s v


c y d e y c y d e y

c y d e y c y d e y

k y f s s y k y 1 1

5 1 1 1 1 6 1 1 1 2

7 1 1 1 3 8 1 1 1 4

)

( ) ( )

( ) ( ) 0

v v s s

s s s r s s s r

s s s r s s s r

f s s y

k y d e y k y d e y

k y d e y k y d e y

1 1 5 1 1 1 1 6 1 1 1 2

7 1 1 1 3 8 1 1 1 4

5 1 1 1 1 6 1 1 1 2

7 1 1 1 3 8 1 1

( ). ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

s s s s s r s s s r

s s s r s s s r

s s s r s s s r

s s s r s s

I c y d e y d c y d e y d

c y d e y d c y d e y d

k y d e y d k y d e y d

k y d e y d k y d 1 4 ) 0s re y d

1 1 1 1 1 3 1 1

5 1 1 1 1 6 1 1 1 2

7 1 1 1 3 8 1 1 1 4

1 1 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )


s s s r s s s r

s s s r s s s r

v v v s s


c y d e y e c y d e y e


k y f s s y 3 1 1

5 1 1 1 1 6 1 1 1 2

7 1 1 1 3 8 1 1 1 4

( )

( ) ( )

( ) ( ) 0

v v v s s

s s s r s s s r

s s s r s s s r

s k y f s s y s

k y d e y e k y d e y e


45

2 2 2 2 2 4 2 2

9 2 2 2 5 10 2 2 2 6

11 2 2 2 7 12 2 2 2 8

2 2 2 4

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )


s s s r s s s r

s s s r s s s r

v v v s s


c y d e y c y d e y

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9 2 2 2 5 10 2 2 2 6

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11 2 2 2 7 12 2 2 2 8

9 2 2 2 5 10 2 2 2 6

11 2 2 2 7 12 2

( ) ( )

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2 2 2 2 2 4 2 2

9 2 2 2 5 10 2 2 2 6

11 2 2 2 7 12 2 2 2 8

2 2

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(


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9 2 2 2 5 10 2 2 2 6

11 2 2 2 7 12 2 2 2 8

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( ) ( ) 0

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1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 1 1( ) ( ) 0r r s s s r s s s rm y c y d e y k y d e y







8 8 12 2 2 2 8 12 2 2 2 8( ) ( ) 0r r s s s r s s s rm y c y d e y k y d e y (3.35)



46

1

1

1

2

2

2

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

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m

m

m

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21 22 32 42 62 72 92

31 32 33 43 63 73 93

41 42 43 44 54 64

54 55 65

61 62 63 64 65 66

71 72 73 77 78 79

78 88 89

91 92 93 79 89 99

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

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c c c c c c c

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c c c c c c

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5 6 7 8

5 6 7 8

5 6 7 8

9 10 11 12

9 10 11 12

9 10 11 12

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

. . . . 0 0 0 0

. . . . 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 . . . .

0 0 0 0 . . . .

vr

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C c d c d c d c d

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c d c d c d c d

c e c e c e c e

T

rv vrC C

47

5

6

7

8

9

10

11

12

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

rr

c

c

c

cC

c

c

c

c

11 21 31 41 61 71 91

21 22 32 42 62 72 92

31 32 33 43 63 73 93

41 42 43 44 54 64

54 55 65

61 62 63 64 65 66

71 72 73 77 78 79

78 88 89

91 92 93 79 89 99

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

vv

k k k k k k k

k k k k k k k

k k k k k k k

k k k k k k

K k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k

k k k k k k

5 6 7 8

5 6 7 8

5 6 7 8

9 10 11 12

9 10 11 12

9 10 11 12

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

. . . . 0 0 0 0

. . . . 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 . . . .

0 0 0 0 . . . .

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k k k k

K k d k d k d k d

k e k e k e k e

k k k k

k d k d k d k d

k e k e k e k e

T

rv vrK K

5

6

7

8

9

10

11

12

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

rr

k

k

k

kK

k

k

k

k

48

1

1

1

2

2

2

v

v

v

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v s

s

s

s

s

y

y

u

y

1

2

3

4

5

6

7

8

r

r

r

r

r

r

r

r

r

y

y

y

yu

y

y

y

y

(3.36)

onde:

11 1 2 3 4c c c c c ; 2

22 1 2 3 4( )c c c c c f ; 2

33 1 2 3 4( )c c c c c s ;

44 1 3 5 6 7 8c c c c c c c ; 2

55 5 6 7 8( )c c c c c d ;

2 2

66 1 3 5 6 7 8( ) ( )c c c s c c c c e ; 77 2 4 9 10 11 12c c c c c c c ;

2

88 9 10 11 12( )c c c c c d ; 2 2

99 2 4 9 10 11 12( ) ( )c c c s c c c c e ;

21 1 2 3 4( )c c c c c f ; 31 1 2 3 4( )c c c c c s ; 41 1 3( )c c c ;

61 1 3( )c c c s ; 71 2 4( )c c c ; 91 2 4( )c c c s ; 32 1 2 3 4( )c c c c c fs ;

42 1 3( )c c c f ; 62 1 3( )c c c fs ; 72 2 4( )c c c f ; 92 2 4( )c c c fs ;

43 1 3( )c c c s ; 2

63 1 3( )c c c s ; 73 2 4( )c c c s ; 2

93 2 4( )c c c s ;

54 5 6 7 8( )c c c c c d ; 64 1 3 5 6 7 8( ) ( )c c c s c c c c e ;

65 5 6 7 8( )c c c c c de ; 87 9 10 11 12( )c c c c c d ;

97 2 4 9 10 11 12( ) ( )c c c s c c c c e ; 98 9 10 11 12( )c c c c c de ;

11 1 2 3 4k k k k k ; 2

22 1 2 3 4( )k k k k k f ; 2

33 1 2 3 4( )k k k k k s ;

44 1 3 5 6 7 8k k k k k k k ; 2

55 5 6 7 8( )k k k k k d ;

2 2

66 1 3 5 6 7 8( ) ( )k k k s k k k k e ; 77 2 4 9 10 11 12k k k k k k k ;

2

88 9 10 11 12( )k k k k k d ; 2 2

99 2 4 9 10 11 12( ) ( )k k k s k k k k e ;

21 1 2 3 4( )k k k k k f ; 31 1 2 3 4( )k k k k k s ; 41 1 3( )k k k ;

61 1 3( )k k k s ; 71 2 4( )k k k ; 91 2 4( )k k k s ; 32 1 2 3 4( )k k k k k fs ;

42 1 3( )k k k f ; 62 1 3( )k k k fs ; 72 2 4( )k k k f ; 92 2 4( )k k k fs ;

43 1 3( )k k k s ; 2

63 1 3( )k k k s ; 73 2 4( )k k k s ; 2

93 2 4( )k k k s ;

54 5 6 7 8( )k k k k k d ; 64 1 3 5 6 7 8( ) ( )k k k s k k k k e ;

65 5 6 7 8( )k k k k k de ; 87 9 10 11 12( )k k k k k d ;

49

97 2 4 9 10 11 12( ) ( )k k k s k k k k e ; e 98 9 10 11 12( )k k k k k de .

50

4 Modelagem bidimensional da ponte

A ponte é normalmente constituída da laje que recebe diretamente os esforços do

peso da via (trilhos, dormentes e lastro) e indiretamente as ações estática e dinâmica dos

veículos. A laje da ponte geralmente se apóia nas transversinas e as transversinas se

sustentam estritamente nas longarinas, que, por sua vez, se apóiam nos pilares.

Este trabalho considera que o veículo se move sobre as longarinas da ponte e

que estas são simplesmente apoiadas nos pilares.

A Figura 4.1 é um exemplo de ponte ferroviária existente no Brasil.

Figura 4.1 – Ponte ferroviária.

A ponte em duas dimensões pode ser descrita, por exemplo, como uma viga

simplesmente apoiada, conforme Figura 4.2.

Figura 4.2 – Modelo bidimensional de ponte ferroviária.

Os desenvolvimentos analíticos seguintes aplicam-se a qualquer modelo de

barras bidimensional.

O apoio da esquerda é considerado como de segundo gênero e o da direita de

primeiro gênero. Em termos práticos, poder-se-ia considerar que os dois apoios são de

segundo gênero, pois é suposto que o veículo não aplica esforços na estrutura na direção

do eixo x , o que é uma simplificação.

51

Na mecânica das estruturas recorrem-se, por uma questão de simplicidade, a

teorias de vigas para descrever o comportamento das barras. São teorias que

unidimensionalizam a teoria geral da mecânica dos sólidos, viabilizadas pelo fato de ser

o comprimento das barras bem maior do que as dimensões de uma seção transversal. A

teoria de vigas mais conhecida de todas é a teoria de vigas de Euler-Bernoulli. A outra,

um pouco menos restritiva, é a teoria de vigas de Timoshenko (Lucena Neto, 2009).

Sejam xu , yu e zu as componentes do deslocamento de um ponto qualquer da

viga da Figura 4.2, referidas ao sistema de coordenadas cartesianas discriminado. É

possível mostrar, de acordo com a teoria da elasticidade, que as componentes da

deformação deste ponto são dadas por (Lucena Neto, 2009):

xxx

u

x

y

yy

u

y z

zz

u

z

yx

xy

uu

y x x z

xz

u u

z x

y zyz

u u

z y (4.1)

Considerando que a viga da Figura 4.2 tem sua deformação restrita ao plano xy .

Nessas condições, xu e yu independem de z e 0zu .

A hipótese de Euler-Bernoulli admite que uma seção plana e normal ao eixo da

viga antes da deformação permanece após a deformação: 1. plana; 2. normal ao eixo

deformado; e 3. indeformada (seção infinitamente rígida) (Lucena Neto, 2009).

A suposição 3 é traduzida por:

0 0y

yy

u

y (4.2)

Portanto, yu independe de y e pode ser escrita como:

( , ) ( )y xu x y v x (4.3)

onde:

( )xv x é o deslocamento de um ponto de uma barra na direção do eixo y local,

localizado sobre a linha neutra.

A suposição 1 implica considerar xy

constante ao longo da altura. A suposição

2 força essa constante ser nula. Assim, das suposições 1 e 2 e considerando a

Equação (4.3):

( )

0 0 ( , ) ( )yx x

xy x

uu dv xu x y y f x

y x dx (4.4)

52

onde ( )f x é a função de integração. Definindo-se ( ) ( ,0)xu x u x , a componente xu no

eixo de referência, veremos que ( ) ( )f x u x :

( )

( , ) ( ) xx

dv xu x y u x y

dx (4.5)

Assim, o campo de deformações na teoria de vigas de Euler-Bernoulli (no plano)

é dado por (relações deformação-deslocamento):

( ) ( )xxx x

uu x yv x

x ( ( )) 0

y

yy x

uv x

y y (0) 0z

zz

u

z z

( ) ( )

0yx x x

xy

uu dv x dv x

y x dx dx

( , )(0) 0x xz

xz

u u x yu

z x z x

( , )

(0) 0y yz

yz

u u x yu

z y z y (4.6)

A deformação xx pode ser escrita da seguinte forma:

0( , ) ( ) ( )xx zx y x y x (4.7)

onde:

0 ( ) ( )x u x é a deformação axial no eixo de referência de uma seção transversal de

uma barra;

( ) ( )z xx v x é a curvatura em torno do eixo z local de uma seção transversal de uma

barra; e

0 e z são as deformações generalizadas da seção transversal, pois não variam em y .

Considerando que o material da ponte seja homogêneo, isotrópico e elástico

linear, a única componente não nula da deformação na teoria de vigas de Euler-

Bernoulli se relaciona com as componentes de tensão por meio de:

1

[ ( )]xx xx yy zzE

(4.8)

onde:

xx é a componente de deformação no plano cuja normal é o eixo x local na direção do

mesmo eixo;

xx é a componente de tensão no plano cuja normal é o eixo x local na direção do

mesmo eixo;

yy é a componente de tensão no plano cuja normal é o eixo y local na direção do

mesmo eixo;

53

zz é a componente de tensão no plano cuja normal é o eixo z local na direção do

mesmo eixo;

E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; e

é o coeficiente de Poisson.

Desprezando-se na Equação (4.8) a contribuição de yy

e zz em relação à

contribuição de xx :

xx xxE (4.9)

A tensão xx , que atua em cada ponto da seção transversal da viga (cuja normal é

o eixo x ), pode, na teoria de vigas de Euler-Bernoulli, ser associada a dois esforços

internos:

( , )x xxN x y dA

( , )z xxM x y y dA (4.10)

Substituindo a Equação (4.7) na Equação (4.9) e, em seguida, esta nas Equações

(4.10), e considerando que o eixo de referência x passe pelo centróide da seção

transversal, pode-se demonstrar que:

0( , ) ( ) ( ) ( )x xN x y N x EA x x

( , ) ( ) ( ) ( )z z zM x y M x EI x x (4.11)

onde:

( )A x é a área da seção transversal; e

( )zI x é o momento de inércia da seção transversal em torno do eixo z local.

A Figura 4.3 mostra a mesma viga da Figura 4.2, porém submetida a

carregamentos distribuídos xq e yq e um elemento infinitesimal de comprimento dx .

Figura 4.3 – Viga simplesmente apoiada submetida a carregamentos distribuídos no plano xy .

A Figura 4.4 mostra o diagrama de corpo livre do elemento infinitesimal

submetido aos carregamentos externos e aos esforços internos que estes carregamentos

geram no elemento:

54

Figura 4.4 – Elemento infinitesimal de viga com carregamentos distribuídos no plano xy .

onde:

xN é o esforço normal na direção do eixo x local, numa seção transversal de uma

barra;

zM é o momento fletor em torno do eixo z local, numa seção transversal de uma barra;

e

yQ é o esforço cortante na direção do eixo y local, numa seção transversal de uma

barra.

Do equilíbrio de translação do elemento de viga na direção do eixo x , tem-se:

0 0xx x x x x

dNN q dx N dN q

dx (4.12)

Do equilíbrio de translação na direção do eixo y , tem-se:

. 0 0y

y y y y y

dQQ q dx Q dQ q

dx (4.13)

Do equilíbrio de rotação em torno de um eixo paralelo a z , passando pela

extremidade esquerda do elemento, tem-se:

( ) 0 02

zz z z y y y y

dMdxM dM M Q dQ dx q dx Q

dx 4.14)

onde se despreza o termo 2

y

dxq , por ser infinitésimo de ordem superior, assim como

qualquer possível contribuição de xq .

Na teoria de Euler-Bernoulli, por não haver deformação de cisalhamento

transversal, é comum eliminar yQ das Equações (4.13) e (4.14). Substituindo-se a

Equação (4.14) na Equação (4.13) e ainda considerando a Equação (4.12), obtém-se as

seguintes equações de equilíbrio:

55

( )0x

x

dN xq

dx

2

2

( )0z

y

d M xq

dx (4.15)

Assim, as Equações (4.6) e sua substitutiva, a Equação (4.7), a Equação (4.9) e

sua substitutiva, a Equação (4.11), as Equações (4.12), (4.13) e (4.14), e sua

substitutiva, as Equações (4.15), são as equações deformação-deslocamento,

constitutivas e de equilíbrio, respectivamente, constituindo-se nas equações no nível da

seção de um problema da teoria da elasticidade.

As deformações generalizadas da seção expressas na Equação (4.7) podem ser

colocadas na forma matricial como:

2 2( ) ( )el

D Dx U x (4.16)

onde:

0

2

( )( )

( )D

z

xx

x é o vetor de deformações generalizadas de uma seção de um elemento

de pórtico plano;

2 2 2

0

0D

d dx

d dx é um operador diferencial para elementos de pórtico plano

utilizando-se a teoria de vigas de Euler-Bernoulli; e

2

( )( )

( )

el

D

x

u xU x

v x é o vetor de deslocamentos de um ponto de uma seção de um

elemento de pórtico plano no seu eixo de referência.

Escrevendo-se a Equação (4.11) em forma matricial e considerando-se seção

transversal constante, tem-se:

2 2 2( ) ( )s

D D DS x k x (4.17)

onde:

2

( )( )

( )

x

D

z

N xS x

M x é o vetor de esforços ou forças internas de uma seção de um

elemento de pórtico plano; e

2

0

0

s

D

z

EAk

EI é a matriz de rigidez de seção transversal de um elemento de pórtico

plano no sistema local.

56

Substituindo-se a Equação (4.16) na Equação (4.17) e, em seguida, esta nas

Equações (4.15), e considerando-se o caso particular em que xq e yq são iguais a zero,

tem-se:

2

2( ( )) 0 ( ) 0

d dEAu x u x

dx dx

2 4

2 4( ( )) 0 ( ) 0z x x

d dEI v x v x

dx dx (4.18)

Integrando a primeira das Equações (4.18) 2 vezes e a segunda das Equações

(4.18) 4 vezes, tem-se:

0 1( )u x a a x

2 3

0 1 2 3( )xv x b b x b x b x (4.19)

onde 0a , 1a , 0b , 1b , 2b , 3b são constantes de integração a serem determinadas mediante

as condições de contorno do problema.

As Equações (4.19) podem ser organizadas em forma matricial:

2 2 2( ) ( )el

D D DU x X x (4.20)

onde:

2 2 3

1 0 0 0 0( )

0 0 1D

xX x

x x x e

0

1

0

2

1

2

3

D

a

a

b

b

b

b

.

4.1 Formulação do Elemento de pórtico plano, utilizando-se a

teoria de vigas de Euler-Bernoulli, com linearidade

geométrica

A Figura 4.5 mostra um elemento extraído de um pórtico plano qualquer que

sofreu deformação, com suas componentes de forças e deslocamentos nodais, em

relação ao sistema de coordenadas cartesianas local deste elemento.

57

Figura 4.5 – Deslocamentos e forças nodais locais de um elemento de barra no plano xy .

Tendo em vista que os deslocamentos e forças nodais são definidos em relação

ao eixo de referência x , o campo de deslocamentos xu e yu da teoria de vigas de Euler-

Bernoulli é simplificado para as seguintes relações:

( )

( ,0) ( ) 0 ( )xx

dv xu x u x u x

dx

( ,0) ( )y xu x v x (4.21)

Dessa forma, pode-se definir as condições de contorno geométricas da seguinte

maneira:

1(0)u d 4( )u l d 2(0)xv d 5( )xv l d 3(0)xv d

6( )xv l d (4.22)

Valendo-se das Equações (4.19) e das Equações (4.22), tem-se:

1 0 1(0) 0u d a a 4 0 1( )u l d a a l

2 3

2 0 1 2 3(0) 0 0 0xv d b b b b 2 3

5 0 1 2 3( )xv l d b b l b l b l

2

3 1 2 3(0) 2 0 3 0xv d b b b 2

6 1 2 3( ) 2 3xv l d b b l b l (4.23)

As Equações (4.23) podem ser escritas em forma matricial:

2 2 2

l

D D Dd G (4.24)

onde:

1

2

3

2

4

5

6

l

D

d

d

dd

d

d

d

é o vetor de deslocamentos nodais de um elemento de pórtico plano no

sistema local de coordenadas; e

58

2

2 3

2

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 1

0 0 0 1 2 3

DGl

l l l

l l

.

. A Equação (4.24) pode ser escrita da seguinte forma:

1

2 2 2

l

D D DG d (4.25)

Substituindo-se a Equação (4.25) na Equação (4.20), tem-se:

1

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )el l el l

D D D D D D DU x X x G d U x N x d (4.26)

onde:

1

2 2 2( ) ( )D D DN x X x G é a matriz de funções de forma do elemento de pórtico plano, que

permite a determinação dos deslocamentos 2 ( )el

DU x no interior do elemento, a partir dos

deslocamentos nodais 2

l

Dd do elemento (no sistema local de coordenadas).

Desenvolvendo a Equação (4.26), a matriz das funções de forma do elemento de

pórtico plano, utilizando-se a teoria de Euler-Bernoulli e considerando pequenos

deslocamentos, é dada por:

2 3 3 22 3 2 2 3

2 3 23 2 2

0 01 0 0

( ) 3 22 3 2

0 1 0

D

x x

l lN x x x x x

x x x xx l l l l

l l l l

(4.27)


2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ))

( ) ( )

el l l

D D D D D D D D D

l

D D D

x U x N x d N x d

x B x d (4.28)

onde:

2

3 2 2 2 3 2

1/ 0 0 1/ 0 0

( ) 12 6 4 6 6 12 6 20 0

D

l l

B x x x x x

l l l l l l l l

é a matriz que relaciona

as deformações generalizadas na seção transversal com os deslocamentos nodais do


59

4.2 Matrizes do elemento no sistema local

As condições de contorno mecânicas do elemento da Figura 4.5 são dadas por:

1(0)xN p 4( )xN l p

2

(0)(0) z

y

dMQ p

dx

5

( )( ) z

y

dM lQ l p

dx

3(0)zM p 6( )zM l p (4.29)

Consideremos agora o mesmo elemento da Figura 4.5, porém submetido a

cargas externas distribuídas xq e yq (com valores no sistema local de coordenadas), tal

como a viga da Figura 4.3.

As equações de equilíbrio, Equações (4.15), e as condições de contorno

mecânicas, Equações (4.29), podem ser expressas numa forma integral usando o

princípio dos deslocamentos virtuais. As demais equações da mecânica dos sólidos

(relações deformação-deslocamento, equações constitutivas e condições de contorno

geométricas) acham também formas integrais equivalentes em outros princípios

(Washizu, 1975; Pilkey e Wunderlich, 1994; Reddy, 2002, apud Lucena Neto, 2007).

Optar pelo princípio dos deslocamentos virtuais em lugar de (4.15) e (4.29) não

é equivalente. O uso do princípio é tão crucial na formulação e solução de problemas

que a sua ausência traria sérias limitações à mecânica das estruturas (Lucena Neto,

2007).

As equações de equilíbrio da forma expressa na Equação (4.15) é chamada de

forma forte das equações de equilíbrio de um elemento de viga de Euler-Bernoulli.

A forma fraca dessas equações de equilíbrio é dada por:

2

2

0

( ) ( ){[ ( )] ( ) [ ( )] ( )}

l

x zx y x

dN x d M xq x u x q x v x dx

dx dx (4.30)

onde:

( )u x e ( )xv x são funções de ponderação.

Realizando a integração por partes da Equação (4.30) e definindo

0 ( ) ( )x u x , ( ) ( )z xx v x , 1(0)u d , 4( )u l d , 2(0)xv d ,

5( )xv l d , 3(0)x dv , 6( )xv l d , tem-se:

6

0

1 0 0

[ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )]

l l

i i x y x x z z

i

p d q x u x q x v x dx N x x M x x dx (4.31)

Escrevendo-se a Equação (4.31) em forma matricial, tem-se:

60

2 2 2 2 2 2

0 0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

l lT T Tl l el

D D D D D Dd p U x q x dx x S x dx

(4.32)

onde:

1

2

3

2

4

5

6

l

D

d

d

dd

d

d

d

é o vetor de deslocamentos nodais virtuais de um elemento de

pórtico plano no sistema local;

1

2

3

2

4

5

6

l

D

p

p

pp

p

p

p

é o vetor de forças nodais de um elemento de pórtico plano no sistema

local;

2

( )( )

( )

el

D

x

u xU x

v x é o vetor de deslocamentos virtuais de uma seção de um elemento

de pórtico plano no seu eixo de referência; e

2

( )( )

( )

x

D

y

q xq x

q x é o vetor de carregamentos distribuídos sobre um elemento de pórtico

plano.

Estendendo a idéia de deslocamentos virtuais para a equação (4.28), tem-se que:

2 2 2( ) ( ) l

D D Dx B x d (4.33)

Valendo-se das Equações (4.17), (4.26), (4.28) e (4.33), a Equação (4.32) pode

ser escrita:

2 2 2 2 2

0

2 2 2 2 2

0

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( ) ]

lT T

l l l T

D D D D D

lT

l T s l

D D D D D

d p d N x q x dx

d B x k B x d dx

(4.34)

Como 2

l

Dd é constante e independe de x , tem-se:

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

{ ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] } 0

l lT

l l T T s l

D D D D D D D Dd p N x q x dx B x k B x dx d (4.35)

Como 2

Tl

Dd é arbitrário, tem-se:

61

2 2 2 2

l l l l

D D D Dk d p peq (4.36)

em que:

2 2 2 2

0

( ) ( )

l

l T s

D D D Dk B x k B x dx (4.37)

2 2 2

0

( ) ( )

l

l T

D D Dpeq N x q x dx (4.38)

onde:

2

l

Dk é a matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano no sistema local; e

2

l

Dpeq é o vetor de forças nodais equivalentes às cargas distribuídas num elemento de

pórtico plano no sistema local.

A Equação (4.36) representa o equilíbrio do elemento de pórtico plano para o

caso estático.

Considerando que o elemento de pórtico plano está em movimento acelerado

(com pequenos deslocamentos), pode-se mostrar que as equações diferenciais de

movimento em termos das variáveis nodais são dadas por (Battista, 1995, apud

Correa, 2003):

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )l l l l l l l

D D D D D D Dm d t c d t k d t f t (4.39)

em que:

2 2 2 2

0

( ) ( ) ( )

l

l T s

D D D Dm N x m x N x dx (4.40)

2 2 22 2l l l

D D Dc m k (4.41)

2

0( )

0

s

Dm x (4.42)

onde:

2

l

Dm é a matriz de massa consistente do elemento de pórtico plano no sistema local;

2

l

Dc é a matriz de amortecimento do elemento de pórtico plano no sistema local, a qual é

aqui concebida como proporcional à matriz de massa e/ou rigidez (amortecimento de

Rayleigh);

e são termos que dependem do fator de amortecimento e de duas freqüências

naturais de vibração da estrutura;

2 ( )s

Dm x é a matriz de massa da secção de um elemento de pórtico plano no sistema

local;

62

é o escalar da massa por unidade de comprimento de um elemento de barra;

2 ( )l

Dd t é o vetor de deslocamentos nodais de um elemento de pórtico plano no sistema

local de coordenadas (dependente do tempo);

2 ( )l

Dd t é o vetor de velocidades nodais de um elemento de pórtico plano no sistema


2 ( )l

Dd t é o vetor de acelerações nodais de um elemento de pórtico plano no sistema

local de coordenadas (dependente do tempo); e

2 ( )l

Df t é o vetor de forças externas de um elemento de pórtico plano no sistema local

(dependente do tempo).

A matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano no sistema local,

utilizando-se a teoria de vigas de Euler-Bernoulli com linearidade geométrica (pequenos

deslocamentos), é dada por:

3 2 3 2

2 2

2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

z z z z

z z z z

l

D

z z z z

z z z z

EA EA

l l

EI EI EI EI

l l l l

EI EI EI EI

l l l lk

EA EA

l l

EI EI EI EI

l l l l

EI EI EI EI

l l l l

(4.43)

A matriz de massa consistente de um elemento de pórtico plano no sistema local,

utilizando-se a teoria de vigas de Euler-Bernoulli, é dada por:

63

2 2

2 3 2 3

2

2 2

2 3 2 3

0 0 0 03 6

13 11 9 130 0

35 210 70 420

11 130 0

210 105 420 140

0 0 0 06 3

9 13 13 110 0

70 420 35 210

13 110 0

420 140 210 105

l

D

l l

l l l l

l l l l

ml l

l l l l

l l l l

(4.44)

4.3 Matrizes do elemento no sistema global

As matrizes apresentadas na seção anterior foram formuladas em relação a um

sistema de coordenadas cujo eixo x coincide com o eixo do próprio elemento.

Entretanto, a fim de realizar-se a análise de pórticos planos pelo método da rigidez

direta deve-se conceber outro sistema de coordenadas, denominado sistema global,

comum a todos os elementos da estrutura.

A Figura 4.6 apresenta os sistemas, local e global, de coordenadas para o

elemento de pórtico plano, indicando os deslocamentos nodais em relação a estes dois

sistemas:

Figura 4.6 – Deslocamentos e forças nodais no sistema local e global do elemento de pórtico plano.

A partir da Figura 4.6 e empregando relações trigonométricas elementares se

obtém as expressões que relacionam as forças no sistema global 2

g

Dp com as forças no

sistema local 2

l

Dp :

64

1 1 2cos singp p p

2 1 2sin cosgp p p 3 3gp p

4 4 5cos singp p p

5 4 5sin cosgp p p 6 6gp p (4.45)

onde:

é o ângulo formado entre o eixo x global e o eixo x local que estão indicados na

Figura 4.6 pelo vetor 1gd e 1d , respectivamente.

Estas equações podem ser escritas em forma matricial:

2 2 2

g T l

D D Dp R p (4.46)

onde:

2

cos sin 0 0 0 0

sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos sin 0

0 0 0 sin cos 0

0 0 0 0 0 1

DR

é a matriz de rotação bidimensional do

sistema global para o sistema local de coordenadas. Pode-se verificar que esta matriz é

ortogonal, ou seja, 1

2 2

T

D DR R . Dessa forma:

2 2 2

l g

D D Dp R p (4.47)

De forma análoga, obtém-se as seguintes relações para os deslocamentos:

2 2 2

g T l

D D Dd R d 2 2 2

l g

D D Dd R d (4.48)

Derivando a segunda das Equações (4.48) em relação ao tempo uma e duas

vezes, tem-se:

2 2 2

l g

D D Dd R d 2 2 2

l g

D D Dd R d (4.49)

Substituindo-se as Equações (4.49), a segunda das Equações (4.48) e a Equação

(4.47) na Equação (4.39) e multiplicando todos os termos da Equação (4.39) por TR ,

chega-se à equação geral:

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )g g g g g g g


em que:

2 2 2 2

g T g

D D D Dm R m R (4.51)

2 2 2 2

g T g

D D D Dc R c R (4.52)

2 2 2 2

g T g

D D D Dk R k R (4.53)

2

g

Dm é a matriz de massa consistente de um elemento de pórtico plano no sistema

global;

65

2

g

Dc é a matriz de amortecimento de um elemento de pórtico plano no sistema global;

2

g

Dk é a matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano no sistema global; e

2 ( )g

Df t é o vetor de forças externas de um elemento de pórtico plano no sistema global


4.4 Matrizes da estrutura

A obtenção da matriz de massa, amortecimento e rigidez da estrutura decorre da

relação do vetor de deslocamentos da estrutura com o vetor de deslocamentos dos

elementos em relação ao sistema global. Para isto, devem ser considerados os graus de

liberdade do elemento e da estrutura conforme Figura 4.7.

Figura 4.7 – Deslocamentos globais no plano, de um elemento e da estrutura.

Para relacionar os deslocamentos globais da barra com os deslocamentos da

estrutura, pode-se usar uma matriz de compatibilidade de deslocamentos H formada

por zeros e uns, que permite obter o vetor de deslocamentos globais de um elemento

2

g

Dd a partir dos deslocamentos da estrutura D , de tal modo que o número de linhas da

matriz H é igual ao número de graus de liberdade do elemento de barra e o número de

colunas é igual ao número de graus de liberdade da estrutura:

2

g

Dd HD (4.54)

Derivando-se a Equação (4.54) em relação ao tempo uma e duas vezes, tem-se:

2

g

Dd HD 2

g

Dd HD (4.55)

Utilizando-se o princípio dos deslocamentos virtuais mais uma vez para o caso

estático, tem-se que o trabalho virtual externo e o interno da estrutura são iguais e dados

por:

66

T

extW D P

int

2 21

( )n

g gT

i D i Di

W d p (4.56)

onde:

P é o vetor de forças externas da estrutura plana em coordenadas globais; e

n é o número de elementos de barra da estrutura.

Substituindo-se a Equação (4.54) na segunda das Equações (4.56), igualando os

trabalhos virtuais, externo e interno, e sabendo-se que os deslocamentos devem ser

arbitrários, para que se cumpra o princípio dos deslocamentos virtuais, tem-se:

int

2 2 2 21 1 1

( ) ( ) ( )n n n

g g g gT T T T T

exti ii D i i iD D Di i i

W D P W d p H D p D H p

2 21 1

( ) ( ) 0n n

g gT T T T T T

i ii iD Di i

D P D H p D P D H p

2 21 1

[ ( ) ] 0 ( )n n

g gT T T

i ii iD Di i

D P H p P H p (4.57)

Utilizando-se a Equação (4.50) para o i-ésimo elemento da estrutura, sem fazer

referência à variável independente tempo, e substituindo-se nela as Equações (4.54) e

(4.55), tem-se:

2 2 2 2

g g g g

i i ii i iD D D i D

m H D c H D k H D p (4.58)

Multiplicando-se a Equação (4.58) por ( )T

iH e, em seguida, aplicando-se

somatório para todos os elementos da estrutura, tem-se:

2 2 2 21 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )n n n n

g g g gT T T T

i i i i i i ii i iD D D i Di i i i

H m H D H c H D H k H D H p (4.59)

Substituindo-se a Equação (4.57) na Equação (4.59), chega-se à seguinte

equação geral:

( ) ( ) ( ) ( )e e eM D t C D t K D t P t (4.60)

em que:

21

( )n

gT

ei ii D

i

M H m H

(4.61)

21

( )n

gT

ei ii D

i

C H c H (4.62)

21

( )n

gT

ei ii D

i

K H k H

(4.63)

67

onde:

eM é a matriz de massa consistente da estrutura;

eC é a matriz de amortecimento da estrutura;

eK é a matriz de rigidez da estrutura;

( )D t é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura (dependente do tempo);

( )D t é o vetor de velocidades nodais da estrutura (dependente do tempo);

( )D t é o vetor de acelerações nodais da estrutura (dependente do tempo); e

( )P t é o vetor de forças externas na estrutura (dependente do tempo).

68

5 Modelagem da ponte em 3D

A ponte em três dimensões pode ser descrita, por exemplo, como duas vigas

simplesmente apoiadas conectadas entre si em cada ponto nodal por outros elementos de

barra, conforme Figura 5.1.

Figura 5.1- Modelo tridimensional de ponte ferroviária.

Os desenvolvimentos analíticos seguintes aplicam-se a qualquer modelo de

barras tridimensional.

Os apoios da esquerda são considerados como de segundo gênero e os da direita

de primeiro gênero. Em termos práticos, poder-se-ia considerar que os quatro apoios são

de segundo gênero, pois é suposto que o veículo não aplica esforços na estrutura na

direção do eixo x , o que é uma simplificação.

No caso da ponte 3D também será utilizada a teoria de vigas de Euler-Bernoulli.

Sejam xu , yu e zu as componentes do deslocamento de um ponto qualquer da estrutura

da Figura 5.1, referidas ao sistema de coordenadas cartesianas discriminado. É possível

mostrar que as componentes da deformação deste ponto são dadas pelas

Equações (4.1), conforme já descrito no Capítulo 4:

A hipótese de Euler-Bernoulli admite que uma seção plana e normal ao eixo da

viga antes da deformação permanece após a deformação: 1. plana; 2. normal ao eixo

deformado; e 3. indeformada (seção infinitamente rígida) (Lucena Neto, 2009).

Analogamente ao caso no plano, pode-se demonstrar que o campo de

deslocamentos para a teoria de vigas de Euler-Bernoulli no espaço é dado pelas

Equações (5.1). Pode-se definir as rotações em torno dos três eixos cartesianos x , y

e

z , sendo que na teoria de vigas de Euler-Bernoulli a única rotação independente de u ,

xv e xw é a rotação em torno do eixo x .

( ) ( )

( , , ) ( ) x xx

dv x dw xu x y z u x y z

dx dx

69

( , , ) ( ) ( )y xu x y z v x z x

( , , ) ( ) ( )z xu x y z w x y x

( , , ) ( )x x y z x (5.1)

onde:

( )u x é o deslocamento de um ponto de uma barra na direção do seu eixo axial (eixo x

local), localizado sobre a linha neutra;

( )xv x é o deslocamento de um ponto de uma barra na direção do eixo y local,

localizado sobre a linha neutra;

( )xw x é o deslocamento de um ponto de uma barra na direção do eixo z local,

localizado sobre a linha neutra; e

( )x é a rotação de um ponto de uma barra em torno do seu eixo axial (eixo x local).

Assim, o campo de deformações na teoria de vigas de Euler-Bernoulli (no

espaço) é dado por (relações deformação-deslocamento):

( ) ( ) ( )xxx x x

uu x yv x zw x

x 0

y

yy

u

y 0z

zz

u

z

( ) ( ) ( ) ( )yx

xy x x

uuv x v x z x z x

y x

( ) ( ) ( ) ( )x zxz x x

u uw x w x y x y x

z x

( ) ( ) 0y z

yz

u ux x

z y (5.2)

As deformações xx , xy

e xz podem ser escritas da seguinte forma:

0( , , ) ( ) ( ) ( )xx z yx y z x y x z x

( , , ) ( )xy x y z z x

( , , ) ( )xz x y z y x (5.3)

onde:

0 ( ) ( )x u x é a deformação axial no eixo de referência de uma seção transversal de

uma barra;

( ) ( )y xx w x é a curvatura em torno do eixo y local de uma seção transversal de

uma barra;

( ) ( )z xx v x é a curvatura em torno do eixo z local de uma seção transversal de uma

barra;

70

( ) ( )x x x é a rotação por unidade de comprimento em torno do eixo x local; e

0 , y, z e x são as deformações generalizadas da seção transversal, pois não

variam em y e em z .

Considerando que o material da ponte seja homogêneo, isotrópico e elástico

linear, a única componente não nula de deformação axial na teoria de vigas de Euler-

Bernoulli se relaciona com as componentes de tensão de acordo com a Equação (4.8),

conforme já descrito no Capítulo 4:

1

[ ( )]xx xx yy zzE

onde:

xx é a componente de deformação no plano cuja normal é o eixo x local na direção do

mesmo eixo;

xx é a componente de tensão no plano cuja normal é o eixo x local na direção do

mesmo eixo;

yy é a componente de tensão no plano cuja normal é o eixo y local na direção do

mesmo eixo;

zz é a componente de tensão no plano cuja normal é o eixo z local na direção do

mesmo eixo;

E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; e

é o coeficiente de Poisson do material.

Desprezando-se na Equação (4.8) as componentes yy

e zz em relação à

contribuição da componente xx , tem-se a Equação (4.9), conforme já descrito no

Capítulo 4:

As duas outras relações constitutivas não nulas são de cisalhamento e dadas por:

xy xyG

xz xzG (5.4)

onde:

xy é a componente de tensão no plano cuja normal é o eixo x local e na direção do

eixo y local;

xz é a componente de tensão no plano cuja normal é o eixo x local e na direção do

eixo z local; e

71

2(1 )

EG é o módulo de deformação de cisalhamento transversal do material.

A tensão xx , que atua em cada ponto da seção transversal da viga (cuja normal é

o eixo x ), pode, na teoria de vigas de Euler-Bernoulli, ser associadas a um esforço

normal e dois momentos fletores:

( , , )x xxN x y z dA

( , , )y xxM x y z z dA

( , , )z xxM x y z y dA (5.5)

Substituindo-se a primeira das Equações (5.3) na Equação (4.9) e, em seguida,

esta nas Equações (5.5), e considerando que o eixo de referência x passe pelo centróide

da seção transversal, pode-se demonstrar que:

0( , , ) ( ) ( ) ( )x xN x y z N x EA x x

( , , ) ( ) ( ) ( )y y y yM x y z M x EI x x

( , , ) ( ) ( ) ( )z z z zM x y z M x EI x x (5.6)

onde:

( )A x é a área da seção transversal;

( )yI x é o momento de inércia da seção transversal em torno do do eixo y local; e

( )zI x é o momento de inércia da seção transversal em torno do eixo z local.

As componentes de tensão xy

e xz dão origem no total a dois esforços de

cisalhamento e um de torção. Os esforços de cisalhamento são, por definição, nulos na

teoria de vigas de Euler-Benoulli e, portanto, o único esforço não nulo é o de torção, o

qual é dado por:

( , , ) ( )x xy xzT x y z z y dA (5.7)

Substituindo-se a segunda e a terceira das Equações (5.3) nas Equação (5.4) e,

em seguida, esta na Equação (5.7), tem-se:

2 2( , , ) ( )( )x xT x y z G x z y dA (5.8)

No caso de seções transversais circulares ou anelares, a torção torna-se constante

ao longo de uma mesma secção transversal:

2( ) ( ) ( )x x x xT x G x r dA GJ x (5.9)

onde:

72

2

xJ r dA é o momento de inércia polar da secção transversal circular ou anelar de

uma viga.

Timoshenko (1936) apresenta uma expressão analítica para o cálculo do

momento de inércia polar, no caso de seções retangulares.

A Figura 5.2 mostra um elemento do pórtico espacial da Figura 5.1, porém

submetido a carregamentos distribuídos xq , yq , zq e xm e um elemento infinitesimal de

comprimento dx .

Figura 5.2 – Elemento finito de pórtico espacial submetido a carregamentos distribuídos.

A Figura 5.3 mostra o diagrama de corpo livre do elemento infinitesimal

submetido aos carregamentos externos e aos esforços internos que estes carregamentos

geram no elemento:

Figura 5.3 – Elemento infinitesimal de pórtico espacial com carregamentos distribuídos.

onde:

xN é o esforço normal na direção do eixo x local, numa seção transversal de uma

barra;

yQ é o esforço cortante na direção do eixo y local, numa seção transversal de uma

barra.

73

zQ é o esforço cortante na direção do eixo z local, numa seção transversal de uma

barra;

yM é o momento fletor em torno do eixo y local, numa seção transversal de uma barra;

zM é o momento fletor em torno do eixo z local, numa seção transversal de uma barra;

e

xT é o momento torsor em torno do eixo x local, numa seção transversal de uma barra.

Do equilíbrio de translação do elemento de viga na direção dos eixos x , y e z ,

pode-se demonstrar que:

0xx

dNq

dx 0

y

y

dQq

dx 0z

z

dQq

dx (5.10)

Do equilíbrio de rotação em torno de eixos paralelos aos eixos x , y e z , pode-

se demonstrar também que:

0xx

dTm

dx 0z

y

dMQ

dx 0

y

z

dMQ

dx (5.11)

onde se despreza os termos 2

y

dxq e

2z

dxq , por ser infinitésimo de ordem superior,

assim como qualquer possível contribuição de xq .

Na teoria de Euler-Bernoulli, por não haver deformação de cisalhamento

transversal, é comum eliminar yQ e zQ das Equações (5.10) e (5.11). Substituindo-se, a

segunda e a terceira das Equações (5.11) nas Equações (5.10), obtém-se as seguintes

equações de equilíbrio:

0xx

dNq

dx

2

20z

y

d Mq

dx

2

20

y

z

d Mq

dx 0x

x

dTm

dx (5.12)

Assim, as Equações (5.2) e sua substitutiva, as Equações (5.3), as Equações (4.9)

e (5.4) e suas substitutivas, as Equações (5.6) e (5.9), as Equações (5.10) e (5.11) e suas

substitutivas, as Equações (5.12), são as equações deformação-deslocamento,

constitutivas e de equilíbrio, respectivamente, constituindo-se nas equações a nível da

seção de um problema da teoria da elasticidade.

As deformações generalizadas da seção expressas na Equação (5.3) podem ser

colocadas na forma matricial como:

3 3( ) ( )el

D Dx U x (5.13)

onde:

74

0

3

( )

( )( )

( )

( )

z

D

y

x

x

xx

x

x

é o vetor de deformações generalizadas de uma seção de um elemento

de pórtico espacial;

2 2

3 2 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

D

d dx

d dx

d dx

d dx

é um operador diferencial para elementos de

pórtico espacial utilizando-se a teoria de vigas de Euler-Bernoulli;

3

( )

( )( )

( )

( )

xel

D

x

u x

v xU x

w x

x

é o vetor de deslocamentos de uma seção de um elemento de pórtico

espacial no seu eixo de referência.

Escrevendo-se as Equações (5.6) e (5.9) em forma matricial e considerando-se

seção transversal constante, tem-se:

3 3 3( ) ( )s

D D DS x k x (5.14)

onde:

3

( )

( )( )

( )

( )

x

z

D

y

x

N x

M xS x

M x

T x

é o vetor de esforços ou forças internas de uma seção de um

elemento de pórtico espacial; e

3

0 0 0

0 0 0

00 0

00 0

zs

D

y

x

EA

EIk

EI

GJ

é a matriz de rigidez de seção transversal de um

elemento de pórtico espacial.

Substituindo-se a Equação (5.13) na Equação (5.14) e, em seguida, esta nas

Equações (5.12), e considerando-se o caso particular em que xq , yq , zq e xm são iguais

a zero:

2

2( ( )) 0 ( ) 0

d dEAu x u x

dx dx

75

2 4

2 4( ( )) 0 ( ) 0z x x

d dEI v x v x

dx dx

2 4

2 4( ( )) 0 ( ) 0y x x

d dEI w x w x

dx dx

2

2( ( )) 0 ( ) 0x

d dGJ x x

dx dx (5.15)

Integrando a primeira e a quarta das Equações (5.15) duas vezes, a segunda e a

terceira das Equações (5.15) quatro vezes, tem-se:

0 1( )u x a a x

2 3

0 1 2 3( )xv x b b x b x b x

2 3

0 1 2 3( )xw x c c x c x c x

0 1( )x h h x (5.16)

onde 0a , 1a , 0b , 1b , 2b , 3b , 0c , 1c , 2c , 3c , 0h e 1h são 12 constantes de integração a

serem determinadas mediante as condições de contorno do problema.

As Equações (5.16) podem ser organizadas em forma matricial:

3 3 3( ) ( )el

D D DU x X x (5.17)

onde:

2 3

3 2 3

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0( )

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 10 0

D

x

x x xX x

x x x

x

e

0

0

1

1

2

3

3

0

1

2

3

0

1

D

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

h

h

.

76

5.1 Formulação do Elemento de pórtico espacial, utilizando-se a

teoria de vigas de Euler-Bernoulli, com linearidade

geométrica

A Figura 5.4 mostra um elemento extraído de um pórtico espacial qualquer que

sofreu deformação, com suas componentes de forças e deslocamentos nodais, em

relação ao sistema de coordenadas cartesianas local deste elemento.

Figura 5.4 – Deslocamentos e forças nodais locais de um elemento de barra no espaço.

Tendo em vista que os deslocamentos e forças nodais são definidos em relação

ao eixo de referência x , o campo de deslocamentos xu , yu e zu da teoria de vigas de

Euler-Bernoulli é simplificado para as seguintes relações:

( ) ( )

( ,0,0) ( ) 0 0 ( )x xx

dv x dw xu x u x u x

dx dx

( ,0,0) ( ) 0 ( ) ( )y x xu x v x x v x

( ,0,0) ( ) 0 ( ) ( )z x xu x w x x w x

( ,0,0) ( )x x x (5.18)

Dessa forma, pode-se definir as condições de contorno cinemáticas da seguinte

maneira:

1(0)u d 7( )u l d 2(0)xv d 8( )xv l d 3(0)w d 9( )xw l d 4(0) d

10( )l d 5(0)xw d 11( )xw l d 6(0)xv d 12( )xv l d (5.19)

Valendo-se das Equações (5.16) e das Equações (5.19), tem-se:

1 0 1(0) 0u d a a 7 0 1( )u l d a a l

2 3

2 0 1 2 3(0) 0 0 0xv d b b b b 2 3

8 0 1 2 3( )xv l d b b l b l b l

2 3

3 0 1 2 3(0) 0 0 0xw d c c c c 2 3

9 0 1 2 3( )xw l d c c l c l c l

4 0 1(0) 0d h h 10 0 1( )l d h h l

2

5 1 2 3(0) 2 0 3 0xw d c c c 2

11 1 2 3( ) 2 3xw l d c c l c l

77

2

6 1 2 3(0) 2 0 3 0xv d b b b 2

12 1 2 3( ) 2 3xv l d b b l b l (5.20)

As Equações (5.20) podem ser escritas em forma matricial:

3 3 3

l

D D Dd G (5.21)

onde:

3

2 3

2 3

2

2

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1 2. 3. 0 0

0 0 0 1 2. 3. 0 0 0 0 0 0

DGl

l l l

l l l

l

l l

l l

1

2

3

4

5

6

3

7

8

9

10

11

12

l

D

d

d

d

d

d

dd

d

d

d

d

d

d

3

l

Dd

é o vetor de deslocamentos nodais de um elemento de pórtico espacial no sistema


A Equação (5.21) pode ser escrita da seguinte forma:

1

3 3 3

l

D D DG d (5.22)


1

3 3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )el l el l

D D D D D D DU x X x G d U x N x d (5.23)

onde:

1

3 3 3( ) ( )D D DN x X x G é a matriz de funções de forma do elemento de pórtico espacial,

que permite a determinação dos deslocamentos 3 ( )el

DU x no interior do elemento, a partir

dos deslocamentos nodais ld do elemento (no sistema local de coordenadas).

Realizando-se a multiplicação das matrizes 3 ( )DX x e 1

3DG , determina-se então a

matriz das funções de forma do elemento de pórtico espacial 3 ( )DN x , utilizando-se a

teoria de Euler-Bernoulli e considerando pequenos deslocamentos.


3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ))

( ) ( )

el l l

D D D D D D D D D

l

D D D

x U x N x d N x d

x B x d (5.24)

78

onde:

3 3 3( ) ( )D D DB x N x é a matriz que relaciona as deformações generalizadas na seção

transversal com os deslocamentos nodais do elemento de pórtico espacial no sistema

local.

5.2 Matrizes do elemento no sistema local

As condições de contorno estáticas do elemento da Figura 5.4 são dadas por:

1(0)xN p 7( )xN l p

2

(0)(0) z

y

dMQ p

dx

8

( )( ) z

y

dM lQ l p

dx

3

(0)(0)

y

z

dMQ p

dx

9

( )( )

y

z

dM lQ l p

dx

4(0)xT p 10( )xT l p

5(0)yM p

11( )yM l p

6(0)zM p 12( )zM l p (5.25)

Considera-se agora o mesmo elemento da Figura 5.4, porém submetido cargas

externas distribuídas xq , yq , zq e xm (com valores no sistema local de coordenadas),

tal como o elemento da Figura 5.2.

Da mesma forma como no caso no plano, as equações de equilíbrio, Equações

(5.12) e as condições de contorno estáticas, Equações (5.25), podem ser expressas numa

forma integral usando o princípio dos deslocamentos virtuais.

As equações de equilíbrio da forma expressa nas Equações (5.12) é chamada de

forma forte das equações de equilíbrio de um elemento de viga de Euler-Bernoulli. A

forma fraca dessas equações de equilíbrio é dada por:

22

2 2

0

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l

yz

x y z x

x xx x

d M xdN x dT xd M xq x u x q x v x q x w x m x x dx

dx dx dx dx

(5.26)

onde:

( )u x , ( )xv x , ( )xw x e ( )x são funções de ponderação.

Realizando integração por partes da Equação (5.26) e definindo 0 ( ) ( )x u x ,

( ) ( )z xx v x , ( ) ( )y xx w x , ( ) ( )x x x , 1(0)u d , 7( )u l d ,

2(0)xv d , 8( )xv l d , 3(0)xw d , 9( )xw l d , 4(0) d , 10( )l d ,

5(0)xw d , 11( )xw l d , 6(0)xv d , 12( )xv l d , tem-se:

79

12

1 0

. [ ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( )]( ).l

i i x y x z x

i

xp d q x u x q x v x q x w x m x dxx

0

0

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

L

x x xy y z zN x x M x x M x x T x x dx (5.27)

Escrevendo-se a Equação (5.27) em forma matricial, tem-se:

3 3 3 3 3 3

0 0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

l lT T Tl l el

D D D D D Dd p U x q x dx x S x dx (5.28)

onde:

1

2

3

4

5

6

3

7

8

9

10

11

12

l

D

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

;

1

2

3

4

5

6

3

7

8

9

10

11

12

l

D

d

d

d

d

d

dd

d

d

d

d

d

d

; 3

( )

( )( )

( )

( )

xel

D

x

u x

v xU x

w x

x

e 3

( )

( )( )

( )

( )

x

y

D

z

x

q x

q xq x

q x

m x

3

l

Dd é o vetor de deslocamentos nodais virtuais de um elemento de pórtico espacial no

sistema local;

3

l

Dp

é o vetor de forças nodais de um elemento de pórtico espacial no sistema local

3 ( )el

DU x

é o vetor de deslocamentos virtuais de um elemento de pórtico espacial no

sistema local; e

3 ( )Dq x

é o vetor de carregamentos distribuídos sobre um elemento de pórtico espacial.

Estendendo a idéia de deslocamentos virtuais para a Equação (5.24), tem-se que:

3 3 3( ) ( ) l

D D Dx B x d (5.29)

Valendo-se das Equações (5.14), (5.23), (5.24) e (5.30), a Equação (5.28) pode

ser escrita:

80

3 3 3 3 3

0

3 3 3 3 3

0

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( ) ]

lT T

l l l T

D D D D D

lT

l T s l

D D D D D

d p d N x q x dx

d B x k B x d dx

(5.30)

Como 3

l

Dd é constante e independe de x :

3 3 3 3 3 3 3 3

0 0

{ ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] } 0

l lT

l l T T s l

D D D D D D D Dd p N x q x dx B x k B x dx d (5.31)

Como 3

Tl

Dd é arbitrário:

3 3 3 3

l l l l

D D D Dk d p peq (5.32)

em que:

3 3 3 3

0

( ) ( )

l

l T s

D D D Dk B x k B x dx (5.33)

3 3 3

0

( ) ( )

l

l T

D D Dpeq N x q x dx (5.34)

3

l

Dk é a matriz de rigidez de um elemento de pórtico espacial no sistema local;

3

l

Dpeq é o vetor de forças nodais equivalentes às cargas distribuídas num elemento de

pórtico espacial no sistema local.

A Equação (5.32) representa o equilíbrio do elemento de pórtico espacial para o

caso estático.

Considerando que o elemento de pórtico espacial está em movimento acelerado

(com pequenos deslocamentos), pode-se mostrar que as equações diferenciais de

movimento em termos das variáveis nodais são dadas por (Battista, 1995, apud Correa,

2003):

3 3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )l l l l l l l


em que:

3 3 3 3

0

( ) ( ) ( )

l

l T s

D D D Dm N x m x N x dx

(5.36)

3 3 32 2l l l

D D Dc m k (5.37)

3

0 0 0

0 0 0( )

00 0

00 0

s

D

o

m x

J A

(5.38)

81

onde:

3

l

Dm é a matriz de massa consistente do elemento de pórtico espacial no sistema local;

3

l

Dc é a matriz de amortecimento do elemento de pórtico espacial no sistema local, a

qual geralmente é concebida como proporcional à matriz de massa e/ou rigidez;

e são termos que dependem do fator de amortecimento e de duas freqüências

naturais de vibração da estrutura;

3 ( )s

Dm x é a matriz de massa da secção de um elemento de pórtico espacial no sistema

local;

é o escalar da massa por unidade de comprimento de um elemento de barra;

o y zJ I I ;

A é a área da seção transversal;

3 ( )l

Dd t é o vetor de deslocamentos nodais de um elemento de pórtico espacial no

sistema local de coordenadas (dependente do tempo);

3 ( )l

Dd t é o vetor de velocidades nodais de um elemento de pórtico espacial no sistema


3 ( )l

Dd t é o vetor de acelerações nodais de um elemento de pórtico espacial no sistema

local de coordenadas (dependente do tempo); e

3 ( )l

Df t é o vetor de forças externas de um elemento de pórtico espacial no sistema local


A matriz de rigidez de um elemento de pórtico espacial no sistema local,

utilizando-se a teoria de vigas de Euler-Bernoulli com linearidade geométrica (pequenos

deslocamentos), é dada por:

11 11

22 12 22 12

33 21 33 21

44 44

21 55 21 23

12 66 12 32

3

11 11

22 12 22 12

33 21 33 21

21

12

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

l

D

k k

k k k k

k k k k

k k

k k k k

k k k kk

k k

k k k k

k k k k

k

k

32 44

23 21 55

32 12 66

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

k k

k k k

k k k

(5.38)

82

onde:

11

EAk

l;

22 3

12 zEIk

l;

33 3

12 yEIk

l;

44xGJ

kl

; 55

4 yEIk

l;

66

4 zEIk

l;

12 2

6 zEIk

l;

21 2

6 yEIk

l;

23

2 yEIk

l; e

32

2 zEIk

l.

A matriz de massa consistente de um elemento de pórtico espacial no

sistema local, utilizando-se a teoria de vigas de Euler-Bernoulli, é dada por:

11 11

22 12 21 23

22 12 21 23

33 33

12 44 23 32

12 44 23 32

3

11 11

21 23 22 12

21 23 22 12

3

23

23

0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

l

D

m m

m m m m

m m m m

m m

m m m m

m m m mm

m m

m m m m

m m m m

m

m

m

3 33

32 12 44

32 12 44

2 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

m

m m m

m m m

(5.39)

onde:

113

lm ;

22

13

35

lm ;

333

olJm

A;

3

44105

lm ;

2

12

11

210

lm ;

21

9

70

lm ;

2

23

13

420

lm ; e

3

32140

lm .

5.3 Matrizes do elemento no sistema global

As matrizes apresentadas na seção anterior foram formuladas em relação a um

sistema de coordenadas cujo eixo x coincide com o eixo do próprio elemento.

Entretanto, a fim de realizar-se a análise de pórticos espaciais pelo método da rigidez

direta deve-se conceber outro sistema de coordenadas, denominado sistema global,

comum a todos os elementos da estrutura.

A Figura 5.5 apresenta os sistemas, local e global, de coordenadas para o

elemento de pórtico espacial, indicando os deslocamentos nodais em relação a estes dois

sistemas:

83

Figura 5.5 – Deslocamentos e forças nodais no sistema local e global do elemento de pórtico espacial.

A partir do i-ésimo elemento descrito no sistema local, define-se um vetor xzv

(em coordenadas globais) contido no plano l lx z e não paralelo a lx , o qual deverá ser

definido pelo usuário da rotina computacional de cálculo das matrizes de rigidez, massa

e amortecimento da estrutura.

Pode-se mostrar que o sistema ( lx , ly e lz ) será definido através das posições

em coordenadas globais dos nós I e J , e das componentes globais do vetor xzv que

define o plano l lx z .

Pode-se mostrar também que a relação entre os deslocamentos locais (ou forças

locais) atuantes sobre um elemento de pórtico espacial e os deslocamentos globais (ou

forças globais) é dada por:

3 3 3

l g

D D Dd R d

3 3 3

l g

D D Dp R p (5.41)

onde:

84

1

2

3

4

5

6

3

7

8

9

10

11

12

g

g

g

g

g

gg

D

g

g

g

g

g

g

d

d

d

d

d

dd

d

d

d

d

d

d

1

2

3

4

5

6

3

7

8

9

10

11

12

g

g

g

g

g

gg

D

g

g

g

g

g

g

p

p

p

p

p

pp

p

p

p

p

p

p

3

g

Dd é o vetor de deslocamentos nodais de um elemento de pórtico espacial no sistema

global de coordenadas;

3

g

Dp é o vetor de deslocamentos nodais de um elemento de pórtico espacial no sistema

global; e

3DR é a matriz de rotação tridimensional do sistema global para o sistema local de

coordenadas.

A matriz 3DR é dada por:

3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3

3

3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

x x x x

x x x x

D

x x x x

x x x x

A

AR

A

A

(5.42)

onde:

3 3xA é a matriz quadrada 3 x 3 em que cada linha representa um dos vetores base do

sistema local ( lx , ly e lz ) expresso em coordenadas do sistema global gx ,

gy e gz ;

3 30 x é a matriz nula quadrada 3 x 3.

Pode-se verificar que, assim como no caso no plano, a matriz de rotação 3DR é

ortogonal, ou seja, 1

3 3

T

D DR R . Nesse sentido:

3 3

g T l

D Dd R d

3 3

g T l

D Dp R p (5.43)

Derivando-se a primeira das Equações (5.39) com relação ao tempo uma e duas

vezes, tem-se:

85

3 3

l g

D Dd Rd 3 3

l g

D Dd Rd (5.44)

Substituindo-se as Equações (5.43) e (5.44) na Equação (5.35) e multiplicando-

se todos os termos da Equação (5.35) por 3

T

DR , chega-se à equação geral:

3 3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )g g g g g g g


em que:

3 3 3 3

g T l

D D D Dm R m R (5.46)

3 3 3 3

g T l

D D D Dc R c R (5.47)

3 3 3 3

g T l

D D D Dk R k R (5.48)

onde:

3

g

Dm é a matriz de massa consistente de um elemento de pórtico espacial no sistema

global;

3

g

Dc é a matriz de amortecimento de um elemento de pórtico espacial no sistema global;

3

g

Dk é a matriz de rigidez de um elemento de pórtico espacial no sistema global;

3 ( )g

Df t é o vetor de forças externas de um elemento de pórtico espacial no sistema

global (dependente do tempo).

5.4 Matrizes da estrutura

A obtenção da matriz de massa, amortecimento e rigidez da estrutura espacial

também decorre da relação do vetor de deslocamentos da estrutura com o vetor de

deslocamentos dos elementos em relação ao sistema global, como foi mostrado para o

caso plano. Para isto, devem ser considerados os graus de liberdade do elemento e da

estrutura conforme Figura 5.6.

86

Figura 5.6 – Deslocamentos globais no espaço, de um elemento e da estrutura.

Dessa forma, obtém-se equação de equilíbrio para a estrutura tridimensional de

forma idêntica àquela determinada no Capítulo 4:

( ) ( ) ( ) ( )e e eM D t C D t K D t P t (5.49)

87

6 Modelagem do sistema veículo-estrutura

Neste capítulo, expõe-se a metodologia para a construção da equação diferencial

que rege o movimento do sistema veículo-estrutura, bem como se faz menção aos

métodos utilizados para determinar as frequências fundamentais de vibração da

estrutura e para resolver numericamente a equação diferencial do sistema veículo-

estrutura.

A montagem da equação diferencial do sistema veículo-estrutura é obtida a

partir de um elemento de pórtico espacial de Euler-Bernoulli com uma roda de um

veículo de interação completa acoplado a esse elemento.

Nas discussões seguintes, fica limitada a presença de apenas uma roda em cada

elemento.

Como o veículo ferroviário é simétrico em relação ao seu eixo longitudinal,

então uma roda de um rodeiro do veículo está em contato com um elemento de barra de

passagem da carga e a outra roda deste rodeiro está acoplada a outro elemento de barra

da mesma espécie do anterior.

A força de contato cf entre uma roda de veículo em movimento e um dos

elementos de passagem de carga pode ser expressa em termos da força estática de

contato wf e da variação da força de contato cf , da seguinte forma (Cheng et al.,

2001):

c w cf f f (6.1)

em que:

( 4 8)w r s vf m m m g (6.2)

onde:

rm é a massa da roda em contato com o elemento de passagem de carga;

4sm é a porção da massa do truque que é transmitida ao elemento através da roda;

8vm é a porção da massa da caixa do veículo que é transmitida ao elemento através da

roda; e

g é a aceleração devido à gravidade.

A equação de movimento vertical das massas acopladas e desacopladas,

Equação (3.3), pode ser reescrita para a situação com interação como (Romero, 2002):

88

00

0

v v vvv vr vv vrvv

rv rr rv rr crr r r r

u u uC C K KM

C C K K fM u u u (6.3)

Assume-se que as flechas para cima da estrutura são positivas e que elas são

medidas a partir da sua posição de equilíbrio estático vertical.

Um vetor cN de dimensão 4 1 é definido de tal forma que contenha as funções

de interpolação Hermitianas cúbicas para o elemento de viga avaliado no ponto de

contato cx , como segue (Cheng et al., 2001):

2 3

2

2 3

2

1 3( ) 2( )

1 2( ) ( )( )

3( ) 2( )

( ) ( )

c

c

c x x

x x

l x l

x x l x lN N x

l x l

x x l x l

(6.4)

onde l é o comprimento do elemento de viga de passagem de carga.

Seja ( )cr x o escalar de irregularidade longitudinal de um elemento da estrutura

de passagem de carga no ponto de contato cx , o qual é definido como o deslocamento

para cima desde o eixo de referência deste elemento.

As equações de acoplamento nos pontos de contato podem ser escritas para

veículos sem aceleração (Cheng et al., 2001):

T

r c p cu N u r

, ,

T T

r c p c x p c xu N u vN u vr

2 2

, , ,2T T T

r c p c x p c xx p c xxu N u vN u v N u v r (6.5)

onde:

pu é o vetor de deslocamentos nodais de um elemento da estrutura de passagem de

carga;

pu é o vetor de velocidades nodais de um elemento da estrutura de passagem de carga;

pu é o vetor de acelerações nodais de um elemento da estrutura de passagem de carga;

cr é o escalar de irregularidade no ponto de contato de uma roda com um elemento

estrutural de passagem de carga;

,c xr é o escalar da primeira derivada em relação a x da irregularidade, no ponto de

contato de uma roda com um elemento estrutural de passagem de carga;

,c xxr é o escalar da segunda derivada em relação a x da irregularidade, no ponto de

contato de uma roda com um elemento estrutural de passagem de carga;

89

,c xN é o vetor da primeira derivada em relação a x das funções Hermitianas cúbicas;

,c xxN é o vetor da segunda derivada em relação a x das funções Hermitianas cúbicas; e

v é a velocidade do veículo cuja roda está em contato com um elemento de passagem

de carga.

O elemento de viga de passagem de carga está sob a ação da força de contato cf

com uma roda. A equação de movimento para este elemento de viga pode ser assim

expressa (Cheng et al., 2001):

( ) ( ) ( )p p p p p p c cm u t c u t k u t N f (6.6)

onde:

pm é a matriz de massa consistente do elemento da estrutura de passagem de carga no

sistema local;

pc é a matriz de amortecimento do elemento da estrutura de passagem de carga no

sistema local; e

pk é a matriz de rigidez do elemento da estrutura de passagem de carga no sistema

local.

Substituindo-se as Equações (6.5) na Equação (6.3), tem-se uma expressão para

a variação da força de contato cf , a qual, juntamente com a Equação (6.1) pode ser

substituída de volta na Equação (6.6), a fim de encontrar uma outra forma para a

equação de movimento do elemento de barra com interação. Nesta forma, os graus de

liberdade ru são eliminados e a equação de movimento do elemento de barra com

interação pode ser escrita em forma matricial como:

,

2

, ,

,

2

,

0 2

0

T T Tp pp c rr c p c rr c x c rr c c rv

T

vv vr c vvv v

T T Tpp c rr c xx c rr c x c rr c c rv

T T

vr c x vr c vv v

c w rr c rr c x rr

u um N M N c N M vN N C N N C

M C N Cu u

uk N M v N N C vN N K N N K

C vN K N K u

N f K r C vr M v ,

,

c xx

vr c x vr c

r

C vr K r

(6.7)

Se desconsiderarmos a irregularidade longitudinal do elemento de passagem da

carga cr , esses termos desaparecem da Equação (6.7) e obtém-se:

90

,

2

, ,

,

0 2

0

0

T T Tp pp c rr c p c rr c x c rr c c rv

T

vv vr c vvv v

T T Tp c wp c rr c xx c rr c x c rr c c rv

T T

vr c x vr c vv v

u um N M N c N M vN N C N N C

M C N Cu u

u N fk N M v N N C vN N K N N K

C vN K N K u

(6.8)

Repete-se o procedimento anterior para todas as rodas de veículo que estejam em

contato com elementos de passagem de carga, sendo que os graus de liberdade das

massas suspensas de um mesmo veículo apenas podem ser computados uma única vez.

Processos de montagem convencional podem ser empregados para formar a

equação global de movimento para o sistema veículo-estrutura, que tomará o seguinte

formato:

MU CU KU F (6.9)

onde:

M é a matriz de massa global do sistema;

C é a matriz de amortecimento global do sistema;

K é a matriz de rigidez global do sistema; e

F é o vetor de carregamento global do sistema.

O método utilizado para a resolução desta equação diferencial foi o de

integração direta de Newmark.

Outrossim, a obtenção das freqüências naturais de vibração da estrutura é

imprescindível, pois os coeficientes de ponderação das matrizes de massa e rigidez dos

elementos de pórtico plano e espacial ( e ), para a obtenção da matriz de

amortecimento, têm como base essas freqüências e o fator de amortecimento (vide

Equações 4.41 e 5.37).

O problema da identificação das freqüências naturais de vibração de um

determinado sistema é resolvido com base na análise do movimento de vibrações livres

(com excitação nula) e sem amortecimento. Neste sentido, a equação de equilíbrio

dinâmico da estrutura adota o seguinte formato (Chopra, 1995):

0e eM D K D (6.10)

Resolver o problema de autovalor associado à matriz 1

e eK M significa

encontrar as freqüências naturais de vibração desta estrutura. O cálculo destes

autovalores foi realizado através de uma rotina contida no próprio software MatLab,

descrita por eig( ).

91

Ainda de acordo com Chopra (1995), os valores de e são assim definidos

(assumindo-se idêntico fator de amortecimento para todos os modos de vibração da

estrutura):

i j

i j

1

i j

(6.11)

onde:

é o fator de amortecimento da estrutura;

i é a freqüência natural de vibração do i-ésimo modo; e

j é a freqüência natural de vibração do j-ésimo modo.

6.1 Irregularidade Longitudinal

A irregularidade longitudinal ( )cr x ocorre normalmente na superfície de

rodagem do trilho. Quando o trilho está submetido à ação da temperatura, se o conjunto

dormente-lastro não estiver perfeitamente ancorado a fim de garantir uma resistência à

força de retração ou dilatação dos trilhos, a via pode sofrer deformação no seu plano

vertical (Correa 2003).

Uma forma matemática de representar a irregularidade no plano vertical é

através de uma função senoidal, uma função em co-seno ou uma série de Fourier

completa. A Equação (6.12) é uma expressão em seno que representa este tipo de

irregularidade.

( )c n

t

n xr x A sen

L (6.12)

onde:

nA é a amplitude da irregularidade;

n é o número de meias ondas em tL ;

x é a distância horizontal entre a origem e a irregularidade; e

tL é o comprimento da ponte.

Os parâmetros nA , n , x e tL podem ser adotados também em relação ao

elemento finito de passagem da carga.

92

7 Testes de validação

Realizar-se-á neste capítulo a exposição de exemplos numéricos de casos

bidimensional e tridimensional, a fim de validar a implementação numérico-

computacional desenvolvida.

7.1 Testes Bidimensionais

A fim de mostrar a validade do programa computacional desenvolvido para a

análise de pontes em 2 (duas) dimensões, utilizou-se como exemplo uma viga bi-

apoiada com vão de 15 m de comprimento (Figura 7.1).

x

z

15 m

Figura 7.1 – Modelo bidimensional de ponte – viga bi-apoiada com 15 m de vão.

7.1.1 Teste bidimensional 1

Considera-se o caso de um único carregamento pontual de magnitude 195 kN,

correspondendo ao rodeiro de um trem de alta velocidade (constante), atravessando a

ponte da Figura 7.1. Os parâmetros mecânicos restantes da ponte são massa por unidade

de comprimento = 15.000 kg/m, módulo de elasticidade longitudinal E = 1,539

x 109 N/m2, momento de inércia à flexão transversal

yI = 5 m4, freqüência fundamental

0f = 5 Hz e fator de amortecimento = 2 %. Este exemplo foi também implementado

por Goicolea et al (2002) com o qual será comparado.

Determinou-se as freqüências naturais de vibração da estrutura, conforme

explanado no Capítulo 6. O valor encontrado para a frequência circular fundamental 1

foi de 31,416 rad/s e para a segunda frequência natural de vibração 2 foi 125,65 rad/s.

A frequência fundamental é equivalente à obtida por Goicolea et al (2002), não havendo

informação no trabalho a respeito de outras freqüências naturais.

Para o cálculo da matriz de amortecimento da estrutura plana deste teste,

consideramos a Equação 4.41, definida no Capítulo 4 (2 2 22 2l l l

D D Dc m k ). Neste

93

caso os coeficientes e foram calculados, valendo-se das freqüências 1 e 2

(Equação 6.11).

Goicolea et al. (2002) realizaram análise dinâmica deste exemplo com a carga de

195 kN à velocidade constante v = 220 km/h e obteve o máximo deslocamento vertical

no centro da ponte de 2,80 mm. Não há informação precisas de como Goicolea et al.

(2002) obtiveram a matriz de amortecimento da estrutura.

O resultado obtido utilizando-se o software de análise estrutural SAP2000

correspondeu a 2,814 mm.

Os resultados obtidos numericamente com o uso da implementação

computacional desenvolvida (modelo de veículo: carga concentrada) estão apresentados

na Figura 7.2. Considerou-se a ponte composta por 10 (dez) elementos finitos de barra e

o passo de tempo t = 0,01 s. Esta resposta é quase idêntica à obtida por Goicolea et al.

(2002) e à obtida com o uso do programa SAP2000.

0 1 2 3 4 5 6 7-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-3

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

o m

eio

da v

iga

(m)

Figura 7.2 – Resposta vertical no meio da ponte em função do tempo, obtida numericamente através dos

dados de Goicolea et al. (2002), para uma carga concentrada 2D, no passo de tempo 0,01 s.

O valor máximo do deslocamento vertical no meio da ponte, com o passo de

tempo de 0,01 s, foi de aproximadamente 2,8114 mm. Esse valor possui uma diferença

de 0,41% em relação ao valor obtido por Goicolea et al. (2002) de 2,80 mm e uma

diferença de 0,09% em relação ao obtido com o uso do programa SAP2000. Assim,

considerando o passo de tempo t = 0,01 s, a resposta obtida com a presente

94

implementação numérico-computacional está bem próxima da obtida por Goicolea et al.

(2002), assim como acom a resposta obtida com o uso do programa SAP2000.


Considera-se agora o caso de um carregamento de trem movendo-se a uma

velocidade de 288 km/h, consistindo de 10 (dez) rodeiros de valor igual ao considerado

no teste anterior com uma separação uniforme de 16 m, atravessando a ponte

simplesmente de 15 m de comprimento. Os parâmetros mecânicos restantes da estrutura

são também idênticos ao do teste anterior. Este exemplo também foi avaliado por

Goicolea et al (2002), com o qual será comparado.

O máximo deslocamento vertical no meio da ponte obtido por Goicolea et al.

(2002) foi de aproximadamente 0,015 m.

O histórico de deslocamento máximo no meio da ponte, obtido com o uso da

implementação computacional desenvolvida (modelo de veículo: carga concentrada),

considerando 10 elementos finitos e passo de 0,01 s, estão apresentados na Figura 7.3.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

o m

eio

da v

iga

(m)

Figura 7.3 – Resposta vertical no meio da ponte em função do tempo, obtida numericamente através dos

dados de Goicolea et al. (2002), para um veículo de carga concentrada 2D, no passo de tempo 0,01 s.

O gráfico da Figura 7.3 é quase idêntico ao obtido por Goicolea et al. (2002) e o

valor máximo do deslocamento vertical no meio da ponte, com o passo de tempo de

95

0,01 s, foi de aproximadamente 1,5196 x 10-2

m, possuindo uma diferença de 1,31% em

relação ao obtido por Goicolea et al. (2002) de 0,015 m.


O terceiro teste foi analisado por Chopra (1995). Neste considera-se uma ponte

simplesmente apoiada com comprimento de 200 pés (60,96 m), módulo de elasticidade

longitudinal de 576.000 klbf/pés2 (2,81 x 10

4 N/m

2), momento de inércia de secção de

700 pés4 (6,042 m

4), densidade linear de 11 klbf/g.pés (353,87 x 10

3 lb/pés =

2755,9 x 103

kg/m), sem amortecimento, submetida a uma única carga de 2.400 klbf

(106,75 x105 N) movendo-se a velocidade de 80,67 pés/s (24,59 m/s).

A resposta analítica para este problema (deslocamento vertical no meio da

ponte) foi obtida por Chopra e está representada graficamente pelas curvas em vermelho

na Figura 7.4. e Figura 7.5

Na análise numérica a ponte é composta por 10 elementos finitos e passos de

tempo iguais a 0,1 s e 0,01 s A resposta numérica (deslocamento vertical no meio da

ponte) está representada pelas curvas em azul na Figura 7.4.e na Figura 7.5.

Com o passo de tempo de 0,1 s as respostas, numérica e analítica, coincidem

aproximadamente até o instante t = 0,5 s.(Figura 7.4). Diminuindo-se o passo de tempo

para 0,01 s observa-se que o programa está convergindo para o resultado analítico, ou

seja, as curvas coincidem em todo o intervalo de tempo de passagem da carga sobre a

estrutura (Figura 7.5).

96

Figura 7.4 – Respostas verticais no meio da ponte em função do tempo, obtidas analítica e numericamente

– Teste bidimensional 3, passo de tempo t = 0,1 s.

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

o m

eio

da v

iga

(pés

)

Figura 7.5 – Respostas verticais no meio da ponte em função do tempo, obtidas analítica e numericamente

– Teste bidimensional 3, passo de tempo t = 0,01 s.

7.2 Testes tridimensionais

A fim de mostrar a validade da implementação computacional desenvolvida para

a análise de pontes em 3 (três) dimensões, implementou-se o exemplo da Figura 7.6. O

97

contato da carga dinâmica (trem) com a estrutura se dá através das linhas de barras em

cores azul e lilás.

Figura 7.6 – Modelo tridimensional de ponte implementado.

O comprimento total da ponte é de 15 m e a sua altura é de 3 m. Utilizou-se na

análise 144 elementos. Os elementos contidos no plano xy e na direção do eixo x

possuem 1,5 m de comprimento. Os elementos contidos no mesmo plano, mas na

direção do eixo y , possuem comprimentos de 0,5 m, 1 m e 0,5 m, respectivamente,

quando se distancia da origem do eixo y . Os elementos contidos no plano zx ou yz na

direção do eixo z possuem comprimento igual à altura da ponte.

Todos os elementos finitos foram tomados como possuindo as mesmas

propriedades geométricas de secção e mecânicas: massa por unidade de comprimento

= 7.500 kg/m, módulo de elasticidade longitudinal E = 1,539 x 109 N/m

2, área da

secção transversal quadrada A = 1 m2, momentos de inércia à flexão

yI = 0,083 m4 e

zI = 0,083 m4, constante de torção xJ = 0,142 m

4, coeficiente de Poisson = 0,2 e

fator de amortecimento = 2 %.

98

7.2.1 Teste tridimensional 1

O exemplo utilizado como teste de validação para a análise estática consistiu de

uma carga de 200 kN aplicada no nó 6 que eqüidista dos extremos da ponte, como

mostra a Figura 7.7. Desconsiderou-se o peso próprio da estrutura.

Figura 7.7 – Carga aplicada na ponte tridimensional para a análise estática.

Tabela 7.1 – Deslocamentos em dois nós da estrutura tridimensional.

Nó Deslocamento Implementação (m) SAP2000 (m) Diferença (%)

6

xU 8,356 x 10-6

8,356 x 10-6

0,00

yU 3,894 x 10-5

3,900 x 10-5

-0,15

zU -1,023 x 10-3

-1,024 x 10-3

-0,10

x 1,109 x 10-4

1,110 x 10-4

-0,09

y -2,111 x 10

-5 -2,100 x 10

-5 0,52

z 1,272 x 10-6

1,272 x 10-6

0,00

12

xU -4,006 x 10-6

-4,006 x 10-6

0,00

yU 4,512 x 10-7

4,512 x 10-7

0,00

zU -1,947 x 10-6

-1,947 x 10-6

0,00

x -2,315 x 10-6

-2,315 x 10-6

0,00

y 1,499 x 10

-4 1,500 x 10

-4 -0,07

z -3,944 x 10-6

-3,944 x 10-6

0,00

99

A Tabela 7.1 contém os valores dos deslocamentos nos nós 6 e 12 (escolhidos

aleatoriamente) em decorrência da força de 200 kN aplicada no nó 6 na direção

contrária ao eixo z global, fazendo uso da implementação numérico-computacional e

do programa SAP2000.

Observa-se que os deslocamentos nos nós 6 e 12, utilizando-se a implementação

numérico-computacional desenvolvida, possuem uma diferença percentual inferior a

0,53% em relação aos obtidos com o uso do software SAP2000, satisfazendo assim o

teste de validação para a análise estática.


Este teste consiste na análise modal da estrutura da Figura 7.6. A Tabela 7.2

contém os valores das frequências naturais de vibração da estrutura obtidas com o uso

da implementação computacional desenvolvida e as obtidas com o uso do software SAP

2000.

Tabela 7.2 – Frequências naturais de vibração da estrutura tridimensional.

Modo de vibração Implementação

(rad/s)

Implementação (Hz) SAP2000

(rad/s)

SAP2000

(Hz)

Diferença (%)

1 10,327 1,6436 10,327 1,6436 0,00

2 14,075 2,2401 14,075 2,2401 0,00

3 20,406 3,2477 20,406 3,2477 0,00

4 25,324 4,0305 25,324 4,0305 0,00

5 34,634 5,5121 34,634 5,5121 0,00

6 41,675 6,6327 41,675 6,6327 0,00

7 50,383 8,0187 50,383 8,0187 0,00

8 54,306 8,6431 54,306 8,6431 0,00

9 62,736 9,9848 62,736 9,9848 0,00

10 77,848 12,332 77,848 12,332 0,00

11 80,035 12,738 80,035 12,738 0,00

12 85,544 13,615 85,544 13,615 0,00

Pode-se observar que as doze frequências de vibração da estrutura determinadas

numericamente são idênticas às obtidas com o uso do software comercial, satisfazendo

assim o teste de validação para a análise modal.

É oportuno destacar que, para efeito de comparação com o SAP2000, utilizou-se

matriz de massa concentrada ao invés de matriz de massa consistente. A matriz de

massa concentrada do elemento de pórtico espacial utilizada corresponde a:

100

3

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 02

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

l

D

lmc

Da Figura 7.8 a Figura 7.12 têm-se os cinco primeiros modos de vibração da

estrutura e foram obtidas com o uso do software SAP2000.

Figura 7.8 – Primeiro modo de vibração natural da estrutura tridimensional.

101

Figura 7.9 – Segundo modo de vibração natural da estrutura tridimensional.

Figura 7.10 – Terceiro modo de vibração natural da estrutura tridimensional.

102

Figura 7.11 – Quarto modo de vibração natural da estrutura tridimensional.

Figura 7.12 – Quinto modo de vibração natural da estrutura tridimensional.


Neste teste realiza-se a análise dinâmica da estrutura da Figura 7.6 submetida à

passagem de uma carga de 200 kN correspondendo a um rodeiro de um trem movendo-

se a velocidade constante de 180 km/h. O modelo de veículo utilizado é o de carga

concentrada tridimensional, pois é o único que o software SAP2000 é capaz de modelar,

tornando possível a comparação com os resultados numéricos aqui obtidos.

Como o contato da carga dinâmica (trem) com a estrutura se dá através das

linhas de barras em cores azul (nó 1 ao nó 11) e lilás (nó 12 ao nó 22), então cada linha

suporta metade da carga dinâmica, isto é, 100 kN.

Para o cálculo da matriz de amortecimento da estrutura espacial deste teste,

consideramos a Equação (5.37), definida no Capítulo 5 (3 3 32 2l l l

D D Dc m k ). Neste

caso os coeficientes e foram calculados (Equação 6.11), valendo-se das

freqüências 2 e 5 (vide Tabela 7.1), sendo estas as primeiras frequências

relacionadas aos modos de vibração de flexão na direção do eixo global z, conforme se

depreende das Figura 7.8 a Figura 7.12.

A Figura 7.13 contém a estrutura da Figura 7.6, porém com a numeração adotada

para os seus nós.

103

Figura 7.13 – Modelo tridimensional de ponte implementado, contendo a numeração dos nós.

A Figura 7.14 e a Figura 7.15 contêm os gráficos do deslocamento vertical nos

nós 6 e 17, em função do tempo, obtidos mediante o uso da implementação

computacional desenvolvida.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-3

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ó 6

(m)

Figura 7.14 – Resposta vertical no nó 6 em função do tempo, numericamente obtida através da

implementação numérico-computacional, para um eixo de carga concentrada 3D, no passo Δt = 0,01 s.

104

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-3

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ó 17

(m

)

Figura 7.15 – Resposta vertical no nó 17 em função do tempo, numericamente obtida através da

implementação numérico-computacional, para um eixo de carga concentrada 3D, no passo Δt = 0,01 s.

A Figura 7.16 e a Figura 7.17 contêm os gráficos do deslocamento vertical nos

nós 6 e 17, em função do tempo, obtidos mediante o uso do programa SAP2000.

Figura 7.16 – Resposta vertical no nó 6 em função do tempo, numericamente obtida através do SAP2000,

para um eixo de carga concentrada 3D, no passo Δt = 0,01 s.

105

Figura 7.17 – Resposta vertical no nó 17 em função do tempo, numericamente obtida através do

SAP2000, para um eixo de carga concentrada 3D, no passo Δt = 0,01 s.

Comparando-se os gráficos da Figura 7.14 e da Figura 7.16 e os da Figura 7.15 e

da Figura 7.17 verifica-se a identidade entre eles.

A Tabela 7.3 contém os valores do máximo deslocamento vertical nos nós

indicados (escolhidos aleatoriamente), fazendo uso da implementação computacional e

do programa SAP 2000.

Tabela 7.3 – Máximo deslocamento vertical em dez nós da estrutura tridimensional.

Nó Programa implementado (m) SAP2000 (m) Diferença (%)

3 9,638 x 10-4

9,691 x 10-4

-0,55

15 1,185 x 10-3

1,186 x 10-3

-0,08

6 1,398 x 10-3

1,402 x 10-3

-0,29

17 1,392 x 10-3

1,397 x 10-3

-0,36

24 5,707 x 10-4

5,588 x 10-4

2,13

35 5,673 x 10-4

5,531 x 10-4

2,57

45 8,721 x 10-4

8,836 x 10-4

-1,30

52 8,944 x 10-4

8,833 x 10-4

1,26

48 1,371 x 10-3

1,368 x 10-3

0,22

55 1,352 x 10-3

1,356 x 10-3

-0,29

Observa-se que as máximas respostas verticais nos nós 3, 15, 6, 17, 48 e 55,

obtidas com a utilização da implementação numérico-computacional desenvolvida,

possuem diferença percentual inferior a 0,56% em relação àquelas obtidas com o uso do

106

SAP2000; nos nós 45 e 52 essa diferença é inferior a 1,31% e nos nós 24 e 35 inferior a

2,58%, satisfazendo assim o teste de validação para a análise dinâmica.

A diferença de ordem de grandeza das diferenças percentuais de resposta vertical

nos distintos nós deve decorrer do fato de que o programa SAP2000 faz uso de matriz

de massa concentrada e nesta análise numérica utilizou-se matriz de massa consistente.

107

8 Exemplos de Aplicação

8.1 Análise do Efeito da Modelagem da Estrutura e do Veículo

Ferroviário Tridimensionais.

Este exemplo de aplicação consiste de um carregamento de trem movendo-se a

uma velocidade de 129 km/h, consistindo de 10 (dez) veículos com uma separação

uniforme de 16 m, atravessando a ponte da Figura 7.6.

Para o modelo de veículo completo, a distância de 16 m corresponde à distância

entre o primeiro rodeiro de cada um dos 10 veículos-tipo, sendo que cada veículo

completo possui 4 rodeiros.

A velocidade de 129 km/h, juntamente com o espaçamento entre rodeiros de

16 m, faz com que a freqüência de aplicação da carga coincida com a segunda

freqüência natural de vibração da estrutura 2 = 14,075 rad/s (vide Tabela 7.2).

A segunda freqüência desta estrutura é a primeira freqüência natural associada à

flexão na direção do eixo global z , que corresponde à direção de transmissão de força

entre veículo e estrutura.

Para o cálculo da matriz de amortecimento da estrutura espacial deste teste,

consideramos a Equação (5.37), definida no Capítulo 5 (3 3 32 2l l l

D D Dc m k ). Neste

caso, os coeficientes e também foram calculados valendo-se das freqüências 2 e

5 (vide Tabela 7.2).

Os dados hipotéticos dos modelos de veículo estão representados nas duas

tabelas abaixo:

Tabela 8.1 – Propriedades mecânicas da composição veicular 3D (unidades do SI).

Modelo 3D wF vm pk

pc sk sc rm tm vJ vI sJ sI

Concentrado -170.184 - - - - - - - - - - -

Massa -170.184 - - - - - 8.674 - - - - -

Simplificado -170.184 12.144 900.000 300.000 - - 2.602 - 64.000 - - -

Completo -170.184 8.000 150.000 50.000 150.000 50.000 650 2.072 30.000 67.000 7.000 16.750

108

Tabela 8.2 – Propriedades geométricas da composição veicular 3D (unidades do SI).

Modelo 3D l d s e

Concentrado - - - -

Massa - - - -

Simplificado - - - 0,5

Completo 3,0 1,0 1,5 0,5

onde:

wF é o peso de um veículo;

pk é a rigidez da suspensão primária de um veículo;

pc é o amortecimento da suspensão primária de um veículo;

sk é a rigidez da suspensão secundária de um veículo; e

sc é o amortecimento da suspensão secundária de um veículo.

Nesta seção serão apresentadas respostas dinâmicas para a estrutura levando-se

em conta os 4 (quatro) modelos de veículo apresentados no Capítulo 4, sem

irregularidade na estrutura.

Da Figura 8.1 a Figura 8.4 têm-se as curvas representativas do deslocamento

vertical nos nós centrais, 6 (cor vermelha) e 17 (cor azul), em função do tempo, para os

quatro modelos de veículo tridimensional e sem a consideração de irregularidade na

estrutura. As curvas dos nós 6 e 17 foram plotadas conjuntamente, e, em razão da baixa

assimetria longitudinal, essas curvas são quase sempre coincidentes.

109

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-3

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)

Figura 8.1 – Histórico de resposta vertical nos nós centrais 6 e 17, para os modelos tridimensionais de

estrutura e veículo de carga concentrada, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 129 km/h.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-3

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo de massa, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 129 km/h.

110

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-3

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo simplificado, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 129 km/h.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo completo, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 129 km/h.

111

A Tabela 8.3 e a Figura 8.5 mostram os valores do máximo deslocamento

vertical, de acordo com os 4 (quatro) gráficos anteriormente mostrados.

Tabela 8.3 – Máximos deslocamentos verticais no meio da ponte para os modelos de veículo

tridimensionais, v = 129 km/h e sem irregularidade na estrutura.

Modelo 3D Máximo deslocamento vertical - Nó 6 (m) Máximo deslocamento vertical - Nó 17 (m)

Concentrado 5,9610 x 10-3

5,9580 x 10-3

Massa 5,9520 x 10-3

5,9488 x 10-3

Simplificado 5,5208 x 10-3

5,5190 x 10-3

Completo 2,5847 x 10-3

2,5828 x 10-3

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

Con

cent

rado

Mas

sas

Simplifica

do

Com

plet

o

Máximo deslocamentovertical nó 6


Figura 8.5 – Deslocamentos verticais no meio da ponte para os modelos de veículo tridimensionais,

v = 129 km/h e sem irregularidade na estrutura.

As máximas respostas verticais nos nós centrais (6 e 17) decrescem quando se

considera os modelos com interação: massa, simplificado e completo, nessa ordem.

Os gráficos para os modelos de carga concentrada e de massa também são

bastante similares, porém a máxima resposta vertical no modelo com interação de massa

é cerca de 0,15% inferior ao de carga concentrada, nos nós centrais.

A máxima resposta no modelo completo tridimensional, sem irregularidade na

estrutura, é: 56,64% menor do que a máxima resposta no modelo de carga concentrada;

56,57% menor do que a máxima resposta no modelo de massa; e 53,18% menor do que

a máxima resposta no modelo simplificado. Considerou-se os máximos do nó 6 por

serem um pouco superiores aos do nó 17.

112

A análise seguinte consiste em averiguar as mesmas diferenças de deslocamento

vertical nos nós centrais, mas com o veículo em velocidade que não gere uma

freqüência de passagem coincidente com alguma freqüência de vibração natural da

estrutura. Para isso, adotou-se a velocidade de 207 km/h.

Da Figura 8.6 a Figura 8.9 têm-se as curvas representativas do deslocamento

vertical nos nós centrais 6 (cor vermelha) e 17 (cor azul), em função do tempo, para os

quatro modelos de veículo tridimensional e sem a consideração de irregularidade na

estrutura.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-4

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo de carga concentrada, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 207 km/h.

113

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-4

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo de massa, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 207 km/h.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo simplificado, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 207 km/h.

114

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo completo, sem irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 207 km/h.



Tabela 8.4 – Respostas verticais no meio da ponte para os modelos de veículo tridimensionais,


Modelo 3D Máximo deslocamento vertical - Nó 6 (m) Máximo deslocamento vertical - Nó 17 (m)


1,1634 x 10-3

Massa 1,2725 x 10-3

1,2672 x 10-3


0,9727 x 10-3


0,8597 x 10-3

115

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0,0014

Con

cent

rado

Mas

sas

Simplifica

do

Com

plet

o





As máximas respostas verticais nos nós centrais (6 e 17) também decrescem

quando se considera os modelos com interação: massa, simplificado e completo, nessa

ordem.

Os gráficos para os modelos de carga concentrada e de massa também são

bastante similares, porém a máxima resposta vertical no modelo com interação de massa

é cerca de 8,91% superior ao de carga concentrada, nos nós centrais.

A máxima resposta no modelo completo tridimensional, sem irregularidade na



a máxima resposta no modelo simplificado. Consideraram-se os máximos do nó 6 por

serem maiores que os do nó 17.

A redução de resposta vertical no modelo completo tridimensional em relação

aos outros modelos tridimensionais é maior para o caso em que a freqüência de

passagem da carga coincide com a segunda freqüência de vibração natural da estrutura,

do que para o caso em que a freqüência de passagem da carga, apesar de maior, não

coincide com alguma freqüência de vibração natural da estrutura.

Comparando-se os gráficos das Figuras 8.1 a 8.4 com os das Figuras 8.6 a 8.9,

respectivamente, verifica-se que na velocidade de 129 km/h a magnitude das respostas

verticais nos nós 6 e 17 corresponde a cerca de 5 vezes a magnitude das respostas na

velocidade de 207 km/h (modelo de veículo simplificado).

116

8.2 Análise do Efeito da Irregularidade Longitudinal

A irregularidade longitudinal tridimensional comporta-se de acordo com a

Equação (6.19), em que, para os parâmetros nA , n e tL , foram adotados os seguintes

valores numéricos: nA = 0,008 m, n = 16, tL = 15 m (linha de barras em cor azul na

Figura 7.6); e '

nA = 0,008 m, 'n = 10, '

tL = 15 m (linha de barras em cor lilás na Figura

7.6). Este exemplo de aplicação consiste do mesmo da Secção 8.1 com o carregamento

de trem movendo-se à velocidade de 207 km/h.

A Figura 8.11 a Figura 8.14 contêm as curvas representativas do deslocamento

vertical nos nós centrais 6 (cor vermelha) e 17 (cor azul), em função do tempo, para os

quatro modelos de veículo tridimensional e com a consideração de irregularidade na

estrutura.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-4

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo de carga concentrada, com irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 207 km/h.

117

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-3

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo de massa, com irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 207 km/h.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo simplificado, com irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 207 km/h.

118

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4

Tempo (s)

Des

loca

men

to v

ertic

al n

ós 6

e 1

7 (m

)


estrutura e veículo completo, com irregularidade, no passo Δt = 0,01 s e v = 207 km/h.



Tabela 8.5 – Deslocamentos verticais no meio da ponte para os modelos de veículo tridimensionais,

v = 207 km/h e com irregularidade na estrutura.

Modelo 3D Máximo deslocamento

vertical - Nó 6 (m)

Máximo deslocamento

vertical - Nó 17 (m)


1,1634 x 10-3

Massa 1,6496 x 10-3

1,6927 x 10-3


1,1166 x 10-3


0,9178 x 10-3

119

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0,0014

0,0016

0,0018

Con

cent

rado

Mas

sas

Simplifica

do

Com

plet

o




v = 207 km/h e com irregularidade na estrutura.

A máxima resposta vertical no meio da ponte para o modelo de veículo de carga

concentrada, com irregularidade, é idêntica ao respectivo da situação sem

irregularidade. Em verdade, os gráficos da resposta vertical no meio da ponte para o

modelo de carga concentrada com e sem irregularidade são idênticos.

As máximas respostas verticais nos nós centrais (6 e 17) também decrescem

quando se considera os modelos com interação: massa, simplificado e completo, nessa

ordem.

A irregularidade longitudinal na estrutura acentua a diferença de resposta

vertical nos nós centrais entre os modelos de interação de massa e o de carga

concentrada, de modo que a máxima resposta vertical no modelo com interação de

massa é cerca de 41,18% superior ao de carga concentrada, nos nós centrais.

A máxima resposta no modelo completo tridimensional, com irregularidade na



a máxima resposta no modelo simplificado. Considerou-se os máximos do nó 6 por

serem maiores que os do nó 17.

A máxima resposta no modelo de massa tridimensional, com irregularidade na

estrutura, é 29,63% superior à máxima resposta no mesmo modelo de veículo e sem

irregularidade (nó 6).

120

A máxima resposta no modelo simplificado tridimensional, com irregularidade

na estrutura, é 12,19% superior à máxima resposta no mesmo modelo de veículo e sem


A máxima resposta no modelo completo tridimensional, com irregularidade na

estrutura, é 9,66% superior à máxima resposta no mesmo modelo de veículo e sem


Assim, em decorrência da irregularidade longitudinal, os modelos de veículo

com interação têm suas respostas verticais aumentadas em relação aos respectivos da

modelagem sem irregularidade.

A diferença de máxima resposta vertical entre o nó 6 e 17 aumenta quando há

irregularidade na via, para um mesmo modelo de veículo com interação.

8.3 Análise do Efeito de Ressonância

Nesta secção analisou-se o mesmo exemplo tridimensional da Secção 8.1. Os

modelos de veículo sem interação (forças concentradas) e simplificado são utilizados

para se avaliar o fenômeno de ressonância nesta estrutura para esta composição. Para

isso, construiu-se um gráfico com a velocidade no eixo das abscissas e o máximo

deslocamento vertical (em valor absoluto) no nó 6, eqüidistante dos extremos da ponte.

0 50 100 150 200 250 300 3500

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3Carga concentrada

Velocidade (km/h)

Máx

imo

desl

ocam

ento

ver

tical

nó

6 (m

)

121

Figura 8.16 – Máximo deslocamento vertical no nó 6 em valor absoluto, em função da velocidade, para os

modelos tridimensionais de estrutura e veículo de carga concentrada.

0 50 100 150 200 250 300 3500.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5x 10

-3Simplificado

Velocidade (km/h)

Máx

imo

desl

ocam

ento

ver

tical

nó

6 (m

)

Figura 8.17 – Máximo deslocamento vertical no nó 6 em valor absoluto, em função da velocidade, para os

modelos tridimensionais de estrutura e veículo simplificado.

Observa-se da Figura 8.16 e Figura 8.17 que, para a velocidade de 130 km/h, a

máxima resposta vertical aumenta cerca de 5 vezes em relação à velocidade de

210 km/h, conforme mencionado na Seção 8.1.

O máximo deslocamento vertical no nó 6, para os pontos de velocidade

considerados, ocorre assim na velocidade de 130 km/h.

Essas evidências sugerem a ocorrência de ressonância nas velocidades próximas

a 130 km/h, como a adotada no exemplo da Seção 8.1.

Isso ocorre pois o carregamento nas proximidades desta velocidade, e espaçado

de 16 m, possui uma freqüência de passagem próxima da segunda freqüência

fundamental de vibração da estrutura (primeira freqüência natural de vibração

relacionada à flexão na direção do eixo global z ).

Para o intervalo de velocidade de 10 a 270 km/h, a máxima resposta vertical no

nó 6 reduz quando se passa da análise dinâmica sem interação para a interação com

modelo de veículo simplificado. Para as velocidades superiores (280 a 340 km/h), a

lógica é invertida, isto é, a máxima resposta vertical no nó 6 passa a ser inferior no

modelo de carga concentrada em relação ao modelo com interação, pela ocorrência, de

122

acordo com a Figura 8.17, nas velocidades próximas a 320 km/h, de um pico na curva,

porém inferior ao registrado nas velocidades próximas de 130 km/h.

O trem atravessando a ponte a uma velocidade de 317 km/h, tendo como

intervalo de distância de aplicação das cargas 16 m, gera uma freqüência de aplicação

da carga que coincide com a quinta freqüência de vibração natural da estrutura (segunda

freqüência natural de vibração relacionada à flexão na direção do eixo global z ).

Vale destacar que a segunda e a quinta freqüência natural de vibração da

estrutura foram utilizadas para se construir a sua matriz de amortecimento.

É oportuno observar que o pico nas velocidades próximas a 320 km/h é

evidenciado apenas no gráfico de análise de ressonância da estrutura com o modelo de

veículo simplificado.

Por fim, para o exemplo considerado, a freqüência de passagem da carga

coincidindo com a segunda ou a quinta freqüência natural de vibração da estrutura

tridimensional, registram a ocorrência de ressonância (velocidades próximas a 130 km/h

e a 320km/h, respectivamente).

123

9 Conclusões e Sugestões

De acordo com os exemplos tridimensionais das Seções 8.1 e 8.2, a máxima

resposta vertical nos nós centrais da ponte decresce quando se considera os modelos de

veículo com interação, na seguinte ordem: de massa, simplificado e completo. Essas

afirmações são válidas, tanto para a estrutura sem a presença de irregularidade

longitudinal, quanto para a estrutura com esse tipo de irregularidade.

Em decorrência da irregularidade longitudinal, os modelos de veículo com

interação têm suas respostas verticais aumentadas em relação aos respectivos da

modelagem sem irregularidade.

As diferenças de resposta no meio da ponte entre um e o outro lado da ponte

(caso tridimensional) devem aumentar conforme se aumente a diferença da

irregularidade entre um e outro lado, a assimetria longitudinal da estrutura e as inércias

translacionais e rotacionais dos veículos.

De todos os modelos de veículo tridimensional utilizados para simular a carga

dinâmica devido à passagem de um trem, o modelo completo tridimensional foi o que

apresentou o resultado menos conservativo, por ser mais refinado e permitir a distinção

entre a carroceria do veículo e os truques, com seus movimentos de translação vertical e

rotação em torno de um e dois eixos, respectivamente. Permite-se, assim, projetos mais

econômicos do que aqueles projetados sem a consideração de interação, ou mesmo,

auxilia de forma mais realista na análise de pontes já existentes.

O efeito da interação veículo-estrutura mostrou-se importante quando da

avaliação do efeito de ressonância. Ao utilizar-se modelo de veículo representado por

cargas concentradas cuja a freqüência de aplicação destas cargas coincide com certa

frequência de vibração natural da estrutura (a menos de um número inteiro), o fenômeno

de ressonância pode ocorrer. No entanto, ao utilizar-se o modelo simplificado, este foi

capaz de identificar o efeito de ressonância também em outra freqüência natural da

estrutura.

O estudo das vibrações em pontes ferroviárias é muito importante para o

conhecimento do comportamento dessas obras de arte especiais, a fim de que se possa

projetar e verificá-las com segurança e economicidade.

Há algumas sugestões interessantes para o complemento deste trabalho, tais

como:

A modelagem do trilho e do lastro tanto para a análise bi quanto tridimensional

tornam a modelagem computacional mais próxima da realidade.

124

O uso da teoria de vigas de Timoshenko ao invés da teoria de vigas de Euler-

Bernoulli também deve levar a resultados mais precisos.

A consideração de irregularidade nas rodas e nos trilhos propriamente também

faria com que o programa computacional desenvolvido fosse mais próximo da

realidade.

A determinação experimental das características mecânicas do trem e dos

elementos da via para uma modelagem mais realista do sistema.

125

10 Referências bibliográficas

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128

Anexo

Algoritmo da Implementação Computacional Tridimensional

1. Na rotina Dados_3D entra-se com dados da estrutura, do trem e os parâmetros de

Newmark:

1.1. Da estrutura:

1.1.1 número de elementos finitos; comprimento total da ponte e outros parâmetros

geométricos da estrutura necessários ao caso concreto; matriz de coordenadas dos

nós da estrutura; matriz de conectividade dos elementos finitos; matriz de

restrições dos graus de liberdade dos nós da estrutura; matriz dos vetores de

coordenadas dos elementos finitos pertencentes ao plano l lz x , porém definido em

coordenadas globais; e fator de amortecimento da estrutura;

1.1.2 vetor de módulo de deformação longitudinal dos materiais dos elementos finitos;

vetor de coeficiente de Poisson dos materiais dos elementos finitos; vetor de área

da seção transversal constante dos elementos finitos; vetor de momento de inércia

em torno do eixo ly dos elementos finitos; vetor de momento de inércia em torno

do eixo lz dos elementos finitos; vetor de momento polar de inércia em torno do

eixo lx dos elementos finitos; e vetor de massa linear dos elementos finitos;

1.1.3 construção de matriz com os dados dos vetores do subitem 1.1.2;

1.1.4 parâmetros de irregularidade dos elementos finitos de passagem de carga;

1.2. Do trem:

1.2.1. vetor com a identificação da distância do primeiro rodeiro de cada veículo ao

início da ponte;

1.2.2. velocidade do trem;

1.2.3. escalares dos parâmetros mecânicos e geométricos de cada modelo de veículo;

1.2.4. modelo de veículo a ser utilizado;

1.3. Do método de Newmark:

1.3.1. passo de tempo, parâmetros gamma e beta de Newmark; e

1.3.2. tempo de análise dinâmica sem trem sobre a estrutura.

2. A rotina Dados_3D chama a rotina AnaliseDinamica_3D que contém como

parâmetros as informações da estrutura e do trem da rotina Dados_3D;

129

3. A rotina AnaliseDinamica_3D chama a rotina Veiculos_3D que organiza em

matrizes de modelo de veículo os dados dos escalares dos parâmetros mecânicos e

geométricos dos modelos de veículos;

4. A rotina AnaliseDinamica_3D chama a rotina ModuloVetoresProprios_3D que

calcula as frequências naturais de vibração da estrutura, utilizando-se o conceito

de matriz de massa concentrada;

5. A rotina AnaliseDinamica_3D calcula os parâmetros e da Equação (6.11);

6. A rotina AnaliseDinamica_3D chama a rotina

MatrizesRigidezMassaAmortEstrut_3D que calcula a matriz de rigidez-

elástica, de massa consistente e de amortecimento de todos os elementos finitos e,

em seguida, estas mesmas matrizes para a estrutura ( eM , eC e eK ) utilizando-se

o conceito de incidência cinemática;

7. A rotina AnaliseDinamica_3D calcula a posição inicial dos rodeiros para cada

veículo do trem, consoante o modelo de veículo definido;

8. A rotina AnaliseDinamica_3D calcula o tempo total de análise ( ct ) que considera

o tempo que o último rodeiro de veículo leva para chegar à ponte e atravessá-la e

o tempo extt de análise sem trem sobre a ponte (vibração livre);

9. A descrição do algoritmo de análise dinâmica implementado na rotina

AnaliseDinamica_3D é realizada a seguir:

1o Passo: definição e inicialização das seguintes variáveis:

(1) 0t

( ,1)U zeros NGLLE numvei nglvt



( , 1)tf zeros NGLEst numvei nglvt np

( , 1)ttf zeros NGLLE numvei nglvt np

onde:

t = tempo;

U = vetor nulo de deslocamentos do sistema estrutura-composição veicular (instante

inicial);

U = vetor nulo de velocidades do sistema estrutura-composição veicular (instante

inicial);

130

U = vetor nulo de acelerações do sistema estrutura-composição veicular (instante

inicial);

tf = matriz das forças de interação com colunas representando os vetores das forças de

interação do sistema nos instantes inicial até 1np e considerando todos os graus de

liberdade da estrutura;

ttf = matriz das forças de interação com colunas representando os vetores das forças de

interação do sistema nos instantes inicial até 1np e considerando apenas os graus de

liberdade livre da estrutura;

NGLEst = total de graus de liberdade da estrutura;

NGLLE = total de graus de liberdade livre da estrutura;

numvei = total de veículos da composição;

nglvt = total de graus de liberdade do veículo-tipo; e

1np = total de instantes de tempo da análise dinâmica.

2o Passo: cálculo do tempo t no 2

o instante de tempo:

( 2) 0t k t t

onde:

t = é o passo de tempo.

3o Passo: definição das matrizes do sistema veículo-estrutura tM , tC e tK , com o total

de graus de liberdade do sistema:

( , )tM zeros NGLEst numvei nglvt NGLEst numvei nglvt

( , )tC zeros NGLEst numvei nglvt NGLEst numvei nglvt

( , )tK zeros NGLEst numvei nglvt NGLEst numvei nglvt

4o Passo: inserção das matrizes da estrutura nas respectivas do sistema considerando

apenas os graus de liberdade livre:

1

1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t e

t e

t e

Para i de até NGLLE

Para j de até NGLLE

M i j M i j

C i j C i j

K i j K i j

Final

Final

5o Passo: cálculo da posição x de cada rodeiro de cada veículo (a origem do eixo de

posição ( 0x ) é a extremidade da ponte por onde adentra o trem); cálculo do número

131

de rodeiros sobre a ponte; cálculo do vetor de identificação do veículo a que pertence

um rodeiro sobre a ponte; cálculo do número de veículos sobre a ponte; cálculo do vetor

de posição dos rodeiros sobre a ponte; cálculo de outro vetor de identificação de veículo

a que pertence um rodeiro sobre a ponte (todos esses cálculos são feitos para o segundo

instante de tempo, isto é, ( 2)t k t ):

1

1

( , , 2) ( 2) ( , )

( , , 2) 0 ( , , 2)

1

( )

( , 2) ( , , 2)

[ 1] [ 2 ( ,1, 2) ] [ 3 ( ,1,

t

t

Para nv de até numvei

Para nr de até nro

x nv nr v t k dant nv nr

Se x nv nr k e x nv nr k L

nrnp nrnp

identvei nrnp nv

xnp nrnp k xu nv nr k

Se nr ou nr e xu nv k L ou nr e xu nv k 2) ( , 2, 2) ]...

[ 4 ( ,1, 2) ( , 2, 2) ( ,3, 2) ]

1

( )

t t

t t t

L e xu nv k L

ou nr e xu nv k L e xu nv k L e xu nv k L

nvnp nvnp

Final

etroda nrnp nvnp

Final

Final

Final

onde:

v = velocidade do trem;

dant = matriz ou vetor de distância inicial, em valor absoluto, de cada rodeiro de cada

veículo em relação a 0x ;

nrnp = número de rodeiros sobre a ponte;

identvei = vetor de identificação do veículo a que pertence um rodeiro sobre a ponte

(utilizado para obtenção dos parâmetros mecânicos e geométricos do veículo);

xnp = vetor de posição dos rodeiros sobre a ponte;

nvnp= número de veículos sobre a ponte; e

etroda = outro vetor de identificação do veículo a que pertence um rodeiro sobre a

ponte (utilizado para a consideração uma única vez dos graus de liberdade das massas

suspensas de um determinado veículo que esteja sobre a ponte).

6o Passo: cálculo das matrizes do sistema ( tM , tC e tK ) e do vetor de forças de

interação tf para o segundo instante de tempo, no caso de haver algum rodeiro sobre a

ponte:

132

1

( , 2)

( , 2)

(

Para nr de até nrnp

rotina de cálculo de irregularidades na posição xup nr k do rodeiro

rotina de determinação dos elementos ou nós de passagem de carga na posição xup nr k do rodeiro

cada rodeiro está em contato com dois elemento )

( , 2)

,t t t

s ou dois nós

Se o rodeiro de posição xup nr k está sobre elementos

rotina de cálculo dos graus de liberdade da estrutura dos dois elementos em contato com o rodeiro

rotina de cálculo das matrizes M C e K e do vetor f para o rodeiro em con

( , 2)

,t t t

tato com os dois elementos

Final

Se o rodeiro de posição xup nr k está sobre nós

rotina de cálculo dos graus de liberdade da estrutura dos dois nós em contato com o rodeiro

rotina de cálculo das matrizes M C e K e do vetor f para o rodeiro em contato com os dois nós

Final

Final

7o Passo: criação de matrizes de massa, amortecimento e rigidez do sistema ( ttM , ttC e

ttK ) e de matriz dos vetores das forças de interação ( ttf ), considerando apenas os graus

de liberdade livre da estrutura e os graus de liberdade dos veículos do trem sobre a

ponte, no segundo instante de tempo:

1 ( )

1 ( )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

1 ( )

( , 2) ( , 2)

tt t

tt t

tt t

tt t

Para i de até NGLLE nvnp nglvt

Para j de até NGLLE nvnp nglvt

M i j M i j

C i j C i j

K i j K i j

Final

Final


f i k f i k

Final

8o Passo: cálculo de coeficientes de auxílio (basta calculá-los uma única vez para passo

de tempo constante):

0 2

1a

t

1at

2

1a

t

3

11

2a

4 1a 5 22

ta 6 1ta 7 ta

onde:

e = são os parâmetros de Newmark e 0,5 e 0,25 .

133

9o Passo: criação da matriz de rigidez efetiva e da sua inversa no segundo instante de

tempo:

0 1

1 ( )

1 ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( )

ef tt tt tt

ef ef


Para j de até NGLLE nvnp nglvt

K a

Final

Final

iK

i j K i j a M i j C i j

inv K

onde:

efK = matriz de rigidez efetiva do sistema no segundo instante de tempo; e

efiK = inversa da matriz de rigidez efetiva do sistema no segundo instante de tempo.

10o Passo: criação do vetor da matriz de força efetiva correspondente ao primeiro passo

de tempo:

0 2 3

1 4 5

1

( , 1) ( , 2) ( , ) ( , 1) ( , 1) ( , 1)

( , ) ( , 1) ( , 1) ( , 1)

...ef tt tt

tt


M

C

f i z f i k i j a U i k a U i k a U i k

i j a U i k a U i k a U i k

Final

11o Passo: cálculo do vetor de deslocamentos do sistema no segundo instante de tempo:

(:, 2) (:, 1)ef efU k iK f z

12o Passo: cálculo dos vetores de velocidade e aceleração no segundo instante de

tempo:

0 2 3

6 7

1

( , 2) ( , 1) ( , 1)

1

( , 2) ( , 1) ( , 1) ( , 2)

( , 2) ( , 1)


U i k a i k a i k


U i k i k a i k a U i k

U i k U i k a U U

Final

U U

Final

13o Passo: repete-se os passos 2

o ao 12

o 1np vezes a fim de realizar-se a análise

dinâmica no tempo total ct .

Documents

implementação computacional para análise dinâmica plana e