INCERTEZA_CORRELACIONADAS

Maio, Maio, Maio, Maio, 2011201120112011

Prof. Antnio F M SantosProf. Antnio F M SantosProf. Antnio F M SantosProf. Antnio F M Santos

ProfaProfaProfaProfa. . . . RosendaRosendaRosendaRosenda ValdsValdsValdsValds ArencibiaArencibiaArencibiaArencibia

Sexo: Masculino, Feminino

Calvcie: Calvo, No calvo

A associao entre duas ou mais variveis implicaque o conhecimento de uma altera a probabilidade deque o conhecimento de uma altera a probabilidade dealgum resultado da outra.

Por exemplo, se uma pessoa calva, sabemos que,provavelmente, esta pessoa um homem.

Assim, as variveis sexo e calvcie encontram-seassociadas.

Crditos: UFSC

O fato de duas variveis estarem associadas no

implica que uma delas seja a causa da outra.

Pode existir outra(s) varivel(is) influenciando asduas.

Crditos: UFSC

Como estimar a incertezado valor de umagrandeza que calculadaatravs de operaesmatemticas em funo

b u(b)

u

(

c

)

matemticas em funode variveiscorrelacionadas?

Metodologia.

c

A = b . c

u(A) = ?

u

(

c

Incerteza Erro

VVC - medio de Resultado Erro

Quando se relata o resultado de medio de uma

grandeza fsica, obrigatrio que seja dada

alguma indicao quantitativa da qualidade do

resultado, de forma tal que aqueles que o utilizam

possam avaliar sua confiabilidade.

Exemplo

Dimetro = 89,5 0,2 mm

Temperatura = 20,0 0,9 C

Incerteza de medio

Segundo o VIM (2009)

Parmetro no negativo que caracteriza a

disperso dos valores atribudos a umdisperso dos valores atribudos a um

mensurando, com base nas informaes

utilizadas.

Sistemticos Aleatrios

Classificao dos erros

Permanecem constantes

ou variam de acordo com

uma lei definida. Podem

ser corrigidos. Correo

no perfeita deixando

uma

dvida

No repetitivos, imprevisveis,

diferem a cada leitura, s podem

ser avaliados estatisticamente,

apenas podem ser conhecidos

seus limites, sempre esto

presentes.

Tambm haver uma dvida

INCERTEZA

A incerteza do resultado de uma medio reflete

a falta de conhecimento exato do valor do

mensurando.

A Incerteza de Medio indicador do

desempenho do instrumento e da qualidade da

medio.

Incerteza de Medio

q Somente em 1993 com a publicao do

ISO GUM foi possvel chegar-se a um

consenso mundial sobre como estimar aconsenso mundial sobre como estimar a

incerteza de medio.

q O ISO GUM foi traduzido em 1997 para o

portugus sob o ttulo

Guia para expresso da incerteza de

medio

http://www.inmetro.gov.brhttp://www.inmetro.gov.brhttp://www.inmetro.gov.brhttp://www.inmetro.gov.br

Para estimar a incerteza:

1. Amplos conhecimentos sobre o sistema

e o processo de medio.e o processo de medio.

2. Amplos conhecimentos sobre estatstica.

PassosPassosPassosPassos nananana avaliaoavaliaoavaliaoavaliao eeee expressoexpressoexpressoexpresso dadadada incertezaincertezaincertezaincerteza

ExpressarExpressarExpressarExpressar oooo mensurandomensurandomensurandomensurando emememem funofunofunofuno dasdasdasdas grandezasgrandezasgrandezasgrandezasXXXXiiii (escrever(escrever(escrever(escrever oooo modelomodelomodelomodelo matemtico)matemtico)matemtico)matemtico)....

DeterminarDeterminarDeterminarDeterminar xxxxiiii estatisticamenteestatisticamenteestatisticamenteestatisticamente ouououou porporporpor outrosoutrosoutrosoutros meiosmeiosmeiosmeios....

ClassificarClassificarClassificarClassificar cadacadacadacada estimativaestimativaestimativaestimativa emememem tipotipotipotipo AAAA ouououou BBBB eeee estimarestimarestimarestimaraaaa incertezaincertezaincertezaincerteza padropadropadropadro....

DeterminarDeterminarDeterminarDeterminar aaaa incertezaincertezaincertezaincerteza padropadropadropadro combinadacombinadacombinadacombinada....

DeterminarDeterminarDeterminarDeterminar aaaa incertezaincertezaincertezaincerteza expandidaexpandidaexpandidaexpandida....---- EstimarEstimarEstimarEstimar oooo graugraugraugrau dededede liberdadeliberdadeliberdadeliberdade efetivoefetivoefetivoefetivo---- DefinirDefinirDefinirDefinir oooo valorvalorvalorvalor dededede kkkk---- DefinirDefinirDefinirDefinir oooo valorvalorvalorvalor dededede kkkk

RelatarRelatarRelatarRelatar oooo resultadoresultadoresultadoresultado dadadada mediomediomediomedio conjuntamenteconjuntamenteconjuntamenteconjuntamente comcomcomcomaaaa incertezaincertezaincertezaincerteza expandida,expandida,expandida,expandida, oooo valorvalorvalorvalor dededede kkkk eeee aaaa probabilidadeprobabilidadeprobabilidadeprobabilidadedededede abrangnciaabrangnciaabrangnciaabrangncia....

A incerteza de medio pode ser dividida emA incerteza de medio pode ser dividida emA incerteza de medio pode ser dividida emA incerteza de medio pode ser dividida em

Incerteza padroIncerteza padroIncerteza padroIncerteza padro Incerteza expandidaIncerteza expandidaIncerteza expandidaIncerteza expandidaIncerteza padroIncerteza padroIncerteza padroIncerteza padro

u u u u

Incerteza padro combinadaIncerteza padro combinadaIncerteza padro combinadaIncerteza padro combinada

uuuucccc

Incerteza expandidaIncerteza expandidaIncerteza expandidaIncerteza expandida

UUUUPPPP

Mtodo de avaliao da incerteza padro

Avaliao Tipo A

ou incerteza padro

do Tipo A

Avaliao Tipo B

ou incerteza padro

do Tipo B

Avaliao Tipo B

Obtida estatisticamente, a Estimada a partir de

Avaliao Tipo A

Obtida estatisticamente, a

partir de n medies ou

observaes repetidas de

uma dada grandeza,

assumindo uma distribuio

normal ou outra qualquer.

Estimada a partir de

consideraes de efeitos

fsicos que afetam os

resultados.

Incerteza padro do Tipo A

Para n observaes repetitivas do mensurando

nxxx L++

11

2

-

-

n

xxxs

n

ii

n

xxxx n21

L++

n

xsxsxu

n

xsxsxu

Incerteza padro do Tipo A

n

xsxu

Para n medies a incerteza padro

corresponde ao desvio padro da mdia.

Estimar a incerteza padro associada medio

do comprimento, com micrmetro, na oficina (T =

26 C).

Operador

93,168 mm

93,168 mm

93,170 mm93,170 mm

93,172 mm

93,161 mm mm 00415,0s

mm 16780,93x

0,00415

50,001855 0,002

s x mmu x

nmm mm

Incerteza tipo B

H vrias situaes onde no prtico ou

possvel usar procedimentos estatsticos para

estimar o desvio padro experimental associado a

uma fonte de incertezas. Outras informaes

Ex. Resoluo da trena: 0,5 mm.

Ex. Incerteza calibrao da trena: 1 mm.

Ex. Resoluo do paqumetro: 0,02 mm.

Ex. Incerteza calibrao do paqumetro: 0,05 mm.


devem ser usadas.

Incerteza tipo B

H vrias situaes onde no prtico ou

possvel usar procedimentos estatsticos para

estimar o desvio padro experimental associado a


A incerteza tipo B estimada a partir de um

julgamento cientfico, baseada nas informaes

relevantes sobre o instrumento e o processo de

medio.


devem ser usadas.

O conjunto de informaes pode incluir:

Dados de medies prvias.

Experincia ou conhecimento geral do

Incerteza tipo B

Experincia ou conhecimento geral do

comportamento e propriedades de materiais e

instrumentos relevantes.

Especificaes do fabricante.

Dados fornecidos em certificados de calibraes

ou outros certificados.

Incertezas relacionadas a dados de referncias

extrados de manuais.

1- Quando possvel estimar

somente fronteiras (limite

superior e inferior) para xipara reafirmar que a

probabilidade de xi estar

dentro do intervalo (a- ; a+)

Incerteza tipo B

a a a a

dentro do intervalo (a- ; a+)

1 e fora zero.

Se no h conhecimento

sobre os valores de xi dentro

do intervalo assume-se

distribuio retangular.

a/2

mmmmt

a-

a+

a/2

mmmmt

a-

a+

1- A incerteza padro tipo B dada por:

Incerteza tipo B

3)(

Valorxu

3Exemplos de variveis

Gradientes de temperatura, diferenas de temperatura

com relao a 200C, resoluo do instrumento se

analgico, histerese, etc.

1- Para a distribuio retangular

Incerteza tipo B

Nmero de graus de liberdade:

(infinito) (infinito)

Porque dentro do intervalo a estimativa pode

assumir qualquer valor.

1- Clculo da incerteza padro associada

resoluo de um micrmetro analgico milesimal.

Informao

R= 0,001 mm

Incerteza tipo B

R= 0,001 mm

Avaliao do Tipo B.

Distribuio retangular.

- graus de liberdade.

.

Re 0,001 0,000577

3 3 3Microm

Valor soluo mmR mm

Incerteza tipo B

2- Em muitos casos mais realista esperar que

valores perto dos limites sejam menos provveis

do que os valores que estejam perto do ponto

mdio. Ento assume-se distribuio triangularmdio. Ento assume-se distribuio triangular

simtrica.

1/a

mmmmt

a-

a+

a a

1/a

mmmmt

a-

a+

a a

2- Incerteza padro para distribuio triangular.

6a)x(u

Incerteza tipo B

6a)x(u

Exemplos: Desvio de planeza das superfcies de

medio de um micrmetro, paralelismo entre as

superfcies de medio para externos do

paqumetro, etc.

Estimadas as incertezas padro para cada fonte

de incertezas, estas devem ser combinadas.

Incerteza padro combinada (uc)


N21 X,X,XfY L

)jx,ix(rjxuixu 1N

1i

N

1ij jx

f

ix

f2 )ix(

2u N

1i

2

ix

f)y(2cu

-

+

+


Quando r = 0 no h correlao entre as

variveis e o segundo termo da equao

desaparece.

)x(u x

f)y(u i

2N

1i

2

i

2c


Quando r 0 h correlao entre as variveis.


Quando r = +1 h correlao direta perfeita entre

as variveis.

Neste caso, aplica-se a seguinte equao,

segundo o ISO GUM.segundo o ISO GUM.

)()()( 22

22

2 cuc

Abu

b

AAuc

+

)()()( 22222 cubbucAuc +

Consiste na descrio da incerteza de medio

atravs de intervalos que representam os valores

esperados para os erros de medio, com uma

probabilidade conhecida.

Incerteza Expandida UP

probabilidade conhecida.

cp ukU

k fator de abrangncia

uc Incerteza padro combinada

O fator de abrangncia k escolhido em funo

do nvel de abrangncia especificado.

(Distribuio normal).

k = 2 para 95,5 %k = 2 para 95,5 %

k = 3 para 99,7 %

Quando a amostra for pequena n < 30 utiliza-se o

teorema do valor central junto com a t-student

para fornecer um fator de abrangncia.

i

i4i

4c

efetivo

v

)x(u

)y(uv

Quanto mais ingredientes diferentes forem

misturados mesma sopa, mais e mais o seu

gosto se aproximar do gosto nico, tpico e

inconfundvel do "sopo.

Crditos: UFSC

QuantoQuantoQuantoQuanto maismaismaismais variveisvariveisvariveisvariveis aleatriasaleatriasaleatriasaleatrias foremforemforemforemcombinadas,combinadas,combinadas,combinadas, tantotantotantotanto maismaismaismais oooo comportamentocomportamentocomportamentocomportamento dadadadacombinaocombinaocombinaocombinao sesesese aproximaraproximaraproximaraproximar dodododo comportamentocomportamentocomportamentocomportamentodededede umaumaumauma distribuiodistribuiodistribuiodistribuio normalnormalnormalnormal (ou(ou(ou(ou gaussiana)gaussiana)gaussiana)gaussiana)....dededede umaumaumauma distribuiodistribuiodistribuiodistribuio normalnormalnormalnormal (ou(ou(ou(ou gaussiana)gaussiana)gaussiana)gaussiana)....

YX.

)Y,Xcov()Y,X(

ssr

Onde:Onde:

rrrr(X,Y) o coeficiente de correlao entre X e Y.

cov(X, Y) a covarincia entre X e Y.

Covarincia de duas variveis aleatrias um parmetro estatstico que

expressa a sua dependncia mtua.

ssssX o desvio padro da varivel aleatria X.

ssssY o desvio padro da varivel aleatria Y.

Correlao positiva

Correlao perfeita (X, Y) = +1,00

Correlao negativa (inversa)

Correlao negativa perfeita (X, Y) = -1,00

Ausncia total de correlao

(X, Y) = 0,00

A rea de um quadro foi calculada a partir da largura e

do comprimento. Ambas variveis foram medidas com

uma trena de ao inox (Faixa nominal de 5,0 m e

Resoluo de 0,5 mm).

A rea de um quadro foi calculada a partir da

largura e do comprimento. Ambas variveis

foram medidas com um paqumetro de ao inox

(Faixa nominal de 600 mm e Resoluo de 0,02

mm).

1) Do certificado de calibrao da trena:

- Incerteza da trena: 1 mm.

- k=2 e 95,45 % de abrangncia.

2) Do certificado de calibrao do paqumetro:2) Do certificado de calibrao do paqumetro:

- Incerteza do paqumetro: 0,05 mm.

- k=2 e 95,45 % de abrangncia.

Modelo matemtico

cbA

ICRLb ++ TbTbTb ICRLb ++

TcTcTc ICRLc ++

Incerteza padro leituras:Cinco leituras (n=5); Tipo A; Distribuio normal;GL n-1

Trenab

300,0 mm

299,5 mm

Trenac

365,5mm

370,0mm

Paqumetrob

299,90

Paqumetroc

369,22mm

mmmm

n

sLu Tb 04403,1

5

33452,2)(

2

299,5 mm

295,5 mm

295,5 mm

295,5 mm

370,0mm

365,5mm

365,5mm

365,5 mm

mmmm

n

sLu Tc 90000,0

5

01246,2)(

2

299,90

mm

298,60

mm

299,10

mm

298,60

mm

298,42

mm

369,22mm

368,20

mm

368,24

mm

368,84

mm

369,42

mm

mmmm

n

sLu Tb 26903,0

5

6016,0)(

2

mmmm

n

sLu Tc 24847,0

5

5556,0)(

2

Incerteza padro resoluoResoluo Trena = 0,5 mmResoluo Paqumetro = 0,02 mm.Tipo BDistribuio retangularInfinitos GL

mmsoluo

Trena

5,0Remm

mmsoluoRu T 28868,0

3

5,0

3

Re)(

mmmmsoluo

Ru

Paqumetro

P 11547,03

02,0

3

Re)(

Incerteza padro calibraoIncerteza calibrao = 1 mmIncerteza calibrao paqumetro = 0,05 mmTipo ADistribuio normalInfinitos GL

Trena

mmmm

k

ICICu

Trena

TT 0,500002

1)(

mmmm

k

ICICu

Paqumetro

PP 0,025002

0,05)(

Incerteza padro dos lados b e c (Trena)

mmbu

mm

uuubu ICRTLc Tb

1,193035)(

1,423333

mm) (0,50000mm) (0,28868mm) (1,04403

)(

2

222

2222

++

++

mmbuc 1,193035)(

mmcu

mm

uuucu

c

ICTRTLcc

1,069268)(

1,143333

mm) (0,50000mm) (0,28868mm) (0,90000

)(

2

222

2222

++

++

Incerteza padro dos lados b e c (Paqumetro)

mmbu

mm

uuubu ICPTLc Pb

0,270434)(

0,073134

mm) (0,02500mm) (0,01155mm) (0,26903

)(

2

222

2222

++

++

mmbuc 0,270434)(

mmcu

mm

uuucu

c

ICPRPLc c

0,249989)(

0,062494

mm) (0,02500mm) (0,01155mm) (0,24847

)(

2

222

2222

++

++

Incerteza padro combinada da rea

2

4

2222

22222

538,497547)(

289979,608

mm) 1,069268 ( mm) (295,50000 mm) (1,193035 mm) (365,5000

)()()(

mmAu

mm

cubbucAu

TRENA

c

c

+

+

2

4

2222

22222

124,5854)(

mm 815521,5273

mm) 0,249989 ( mm) (298,6000 mm) (0,270434 mm) (368,8400

)()()(

mmAu

cubbucAu

PAQUMETRO

c

c

+

+

Incerteza expandida

2

2

124,5854)(

538,497547)(

mmAu

PAQUMETRO

mmAu

TRENA

c

c

124,5854)( mmAuc

cukUp

i

i4i

4c

efetivo

v

)x(u

)y(uv

Incerteza expandida

3,05947 )(

)(4

4

iic

efetivoxu

yuv

TRENA

3,19623 )(

)(

)(

4

4

i

ii

cefetivo

i

ii

vxu

yuv

PAQUMETRO

vxu

Interpolao95,45 %

Determina-se kDetermina-se k

Incerteza expandida reaTRENATRENATRENATRENA

2

) 2538,497547(3,28

ukUp c

211768,33545 mm

% 64,1

3,768.13,005.108 2

mmA

Incerteza expandida reaPAQUMETROPAQUMETROPAQUMETROPAQUMETRO

) 124,585422(3,22

ukUp c

2401,6209 mm

% 36,0

401,62 58,140.110 2

mmA

Tabela . Incerteza associada medio de reaTrena

Grandeza

Estimativa

Distribuio

probabilidade

Coeficiente de

sensibilidade

Graus de liberdade

Incerteza padro

b 2,33452 mm

Normal 1 4 1,193035mm

c 2,01246 mm

Normal 1 4 1,0692mmmm mm

Incerteza padro combinada (uc) da rea em mm2538,5

Grau de liberdade efetivo (veff)3,06

Fator de abrangncia (95,45 %) k= 3,28

Incerteza expandida (Up) em mm21768,3

Incerteza expandida em relao a rea mdia 1,64 %

Tabela . Incerteza associada medio de reaPaqumetro

Grandeza Estimativa Distribuio

probabilidade

Coeficiente de

sensibilidade

Graus de liberdade

Incerteza padro

b0,6016 mm

Normal 1 4 0,270434 mm

c0,5556 mm

Normal 1 4 0,24998mm

Incerteza padro combinada (uc) da rea em mm2

124,59

Grau de liberdade efetivo (veff)3,20

Fator de abrangncia (95,45 %) k= 3,22

Incerteza expandida (Up) em mm2

401,62

Incerteza expandida em relao a rea mdia4,5 vezes menor que a Trena

0,36%

Apresentao dos resultadosTRENATRENATRENATRENA

A= 108.005,3 1.768,3 mm2

Up = 1,64 % em relao rea mdia.Up = 1,64 % em relao rea mdia.

Para k=3,28 e 95,45 % de abrangncia.

PAQUMETROPAQUMETROPAQUMETROPAQUMETRO

A= 110.140,58 401,62 mm2

Up = 0,36 % em relao rea mdia.

Para k=3,22 e 95,45 % de abrangncia.

- GuiaGuiaGuiaGuia paraparaparapara aaaa ExpressoExpressoExpressoExpresso dadadada IncertezaIncertezaIncertezaIncerteza dedededeMedioMedioMedioMedio.... TerceiraTerceiraTerceiraTerceira edioedioedioedio brasileirabrasileirabrasileirabrasileira emememem lngualngualngualnguaportuguesaportuguesaportuguesaportuguesa ---- RioRioRioRio dededede JaneiroJaneiroJaneiroJaneiro:::: ABNT,ABNT,ABNT,ABNT,INMETRO,INMETRO,INMETRO,INMETRO, 2003200320032003....

- LinkLinkLinkLink WWWW.... MetrologiaMetrologiaMetrologiaMetrologia MecnicaMecnicaMecnicaMecnica.... ExpressoExpressoExpressoExpresso dadadada- LinkLinkLinkLink WWWW.... MetrologiaMetrologiaMetrologiaMetrologia MecnicaMecnicaMecnicaMecnica.... ExpressoExpressoExpressoExpresso dadadadaincertezaincertezaincertezaincerteza dededede mediomediomediomedio.... 2222dadadada edioedioedioedio.... 1999199919991999....

- VIM,VIM,VIM,VIM, 2009200920092009 VocabulrioVocabulrioVocabulrioVocabulrio internacionalinternacionalinternacionalinternacional dedededetermostermostermostermos fundamentaisfundamentaisfundamentaisfundamentais eeee geraisgeraisgeraisgerais dededede metrologiametrologiametrologiametrologia INMETROINMETROINMETROINMETRO....

3 Seminrio de Metrologia

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