Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos

Esfera e cubo

Esfera e cilindro

Esfera e cone reto

Cilindro e cone reto

Introdução

� Nosso último estudo em Geometria serádestinado aos sólidos inscritos e circunscritos.

� Existem numerosas relações entre dois sólido quando construímos um deles dentro do outro.

� São algumas dessas relações que estudaremos a partir de agora.

Esfera e cubo

� Considere uma esfera cujo o raio mede R inscrita em um cubo cujas arestas têm medida a.

� Existe uma relação entre as medidas das arestas do cubo e do raio da esfera.

� Como a superfície esférica intersecta o cubo em seis pontos, localizados nos centros das faces, temos três pares de pontos diametralmente opostos.

� Assim, a medida de cada aresta do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera.

Ra .2=

Esfera e cubo

� Considere um cubo cujas arestas medem A, inscrito em uma esfera cujo o raio tem medida R:

� Observe que os vértices do cubo pertencem à superfície esférica.

� Assim, a medida da diagonal do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera.

RDcubo .2=

Ra .23. =

Esfera e cuboPara você fazer – p. 34

1) Uma esfera está inscrita em um cubo cujo o volume é igual a 64 dm³. Calcule o volume da esfera.

4dma64dma que temos cubo, do arestas das medida a a"" Sendo 3

=

→=

32.

3

4

π

π

34 V

:então, Vigual é volume seu e dm, 2 R portanto, 2.R, a é esfera da raio do medida a Assim,

esfera

3esfera

=

=

==

R

3

3

32dm

π=esferaV

Esfera e cuboPara você fazer – p. 34

2) Uma esfera, cuja área da superfície mede 192πcm², circunscreve um cubo. Calcule o volume desse cubo.

cmR 34192 =→= ππ 2.R4 que temos esfera, da raio do medida a R Sendo8cma34.23a temos cubo, do arestas das medida a a"" Sendo =→=

3512cm=38 a igual é cubo do volume o Assim,

Esfera e cilindro

� Considere uma esfera cujo raio mede R inscrita em um cilindro reto.

� Como a superfície intersecta as bases do cilindro nos seus centros, e o círculo máximo da esfera écongruente às bases do cilindro, então as medidas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja o cilindro éequilátero.

Esfera e cilindro

� Nesse caso como podemos estabelecer uma relação entre as medidas do raio da esfera, do raio do cilindro e da altura do cilindro?

� Observe a figura a seguir:

� No triângulo retângulo, de catetos medindo h e 2r, onde h e r são as medidas da altura e do raio do cilindro, e da hipotenusa medindo 2R, podemos escrever:

( ) ( ) 222

2 hr +=2R

22244 hrR +=

2Rh

2r

Esfera e cilindroPara você fazer – p. 35

1) Uma esfera está inscrita em um cilindro cuja altura mede 10cm. Calcule o volume compreendido entre o cilindro e a esfera.

Resposta:

� Se a altura do cilindro mede 10cm, então o raio da base desse cilindro e o raio da esfera medem 5 cm.

� Assim, o volume compreendido entre o cilindro e a esfera éigual a

3

5002505..

3

410.5.

32 ππππ −=−

− cilindroesfera VV3

3

250cmVt

π=

Esfera e cilindroPara você fazer – p. 35

2) Em uma esfera, está inscrita um cilindro reto cuja altura mede 20 cm e cujo raio da base mede 8cm. Calcule a área da superfície dessa esfera.

( ) ( ).412

1642564004162022222

cmR

RR

2R que temos figura, Na

=→

=→+=→+=

( ) 22

656412 cm .4 a igual é esfera da superfície da área A ππ =

Esfera e cone reto

� Da mesma forma como o cubo e o cilindro, em uma cone também é possível inscrever ou circunscrever uma esfera.

� Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h.

� Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma semelhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção

g

rh

R

r −=

Esfera e cone reto

� Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção anterior.

� Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual 1/3 da medida da altura do cone, ou seja, h = 3r

� Assim, por meio do Teorema de Pitágoras, temos:

( ) ( )

22

222

222

93

94

32

rR

rRR

rRR

=→

+=→

+=

3rR=

Esfera e cone reto

� Agora, considere uma esfera de raio R, circunscrevendo um cone de raio r e altura h.

:escrever podemos destaque, em retângulo triângulo No

( )22 rhr −+=2R

Esfera e cone reto

� Existem outras relações entre as medidas do raio da esfera da base do cone, da altura e da geratriz do cone.

� Porém, não existe necessidade de conhecê-las, pois, por meio da relação anterior, podemos obter quaisquer outras medidas.

� Se o cone é equilátero, a media do raio é igual a 2/3 da medida da altura do cone, ou seja, h = 3R/2.

� Logo, por meio do Teorema de Pitágoras, temos:

( )

4

3

4

93

4

94

2

3

2

2

2

2

2

22

2

2

Rr

Rr

Rrr

Rr

=

=

+=

+=22r

2

3Rr =

Esfera e cone retoPara você fazer – p. 36

1) Uma esfera está inscrita em um cone reto cuja altura mede 8cm e cujo raio da base mede 6cm. Calcule o volume dessa esfera.

10cmg86g que temos cone, do geratriz da medida a g Sendo 222 =→+=

3cmR6R4810R10R8

6R

:que ,triângulos desemelhança uma de meio por temos, esfera, da raio do medida a R Sendo

=→−=→−

=

33 cm 36334 a igual é esfera da volume o Assim, ππ =..

Esfera e cone retoPara você fazer – p. 36

2) Em um cone equilátero, cujo volume é igual 72π√3 cm³, inscreve-se uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera.

raio. domedia da dobro ao igual é geratriz da medida a ,equilátero cone um Em

( ) 3222

RhhR =→+=2R:que temos cone, do altura da medida a h sendo Assim,

cmRRRR

cm

62163...3

1 32

3

=→=→= ππ

π

372:temos ,372 a igual é cone do volume o Como

32 medeesfera da raio o cone, do altura da medida da parte terça a igual é esfera da

raio do medida a como e, cm 36 é cone do altura da medida a Assim,

( ) 32

48 cmππ =32.4 a igual é esférica superfície da área A

Esfera e cone retoPara você fazer – p. 36

3) Um cone equilátero está inscrito em uma esfera cujo volume mede 288π m³. Calcule a área lateral desse cone.

cmRRR 6216288..33 =→=→= ππ3

4 temos esfera, da raio do medida a R Sendo

mhhh 93

26 =→=→= 3

2R temos cone, do altura da medida a h Sendo( )

( ) mrrr

hR

332792222

222

=→=→+=

+=

2.62R então ,equilátero cone base da raio do medida a r Sendo

25436.33. m .r.g a igual é cone do lateral área a Assim, πππ ==

Cilindro e cone retos

� Considere um cilindro de altura h e raio da base R.

� Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura:

� Note que o vértice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro, e a base do cone coincide com a outra base do cilindro.

� Assim, os raios das bases do cone e do cilindro são, evidentemente, congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas.

Cilindro e cone retos

� Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base R e altura H.

Cilindro e cone retos

H

G

g

G - g

R

r

r R - r

H -h

h h

Cilindro e cone retos

� Pela semelhança existente entre três triângulos da figura, podemos escrever as seguintes proporções:

G

g

H

rH=

−=R

rtemos I, e II Tomando

I

II

III

gG

g

h

rH

−=

−=r-R

rtemos III, e II Tomando

G

gG

H

h −==R

r-Rtemos I, e III Tomando

Cilindro e cone retosPara você fazer – p. 37

� Se um cilindro cuja altura mede 10cm está inscrito em cone reto cuja geratriz mede 25 e com raio da base medindo 20 cm, calcule o volume desse cilindro.

hR ..2π=cilindroV

:temos volume, o calcular Para

cmhh 152022 =→+=225

:que temos cone, do altura da medida a h Sendo

cmrH

rH

3

20

15

1015=→

−=→

−= 20

rRr

:podemos triângulo, de semelhança uma de meio Por

9

400010.

3

20...

2

2 πππ =

== hRcilindroV

:temos volume, o Assim3

9

4000cm

π=cilindroV

Resolução de Atividades

� Página 37 e 38

� Nota livre - Vestibulares

Parabéns, chegamos ao fim da Geometria