Instituto de Física USP

Física Moderna

Aula 27 Professora: Mazé Bechara

Aula 27 – A equação de Schroedinger para estados estacionários não ligados. Aplicações.

1. Uma ”barreira” de potencial. As posições e energias da partícula

na Física Clássica. A solução das auto-funções de energia na

mecânica de Schroedinger. A densidade de probabilidade e a

comparação com resultado da Física Clássica - o efeito túnel. As

características das densidades de probabilidades e a condição

inicial da partícula.

(a) Os fluxos de incidência, reflexão e transmissão e a equação da

conservação da partícula.

(b) Os coeficientes de reflexão e transmissão da partícula pela

barreira e a relação da conservação da partícula.

2. A possibilidade da existência de núcleos (átomos) instáveis

na natureza – efeito túnel na variável distância ao centro do

núcleo.

3. Comparação das densidades lineares de probabilidades de

estados ligados e não ligados em movimentos unidimensionais .

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara

Barreira de potencial

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara

Física Clássica Quântica

• Para T=E-V(x)>0 E>V(x) para todo x

• 0<E<Vo Física Clássica: 0<x ou x>a dependendo

das condições iniciais trajetórias finitas

o Em Quântica são estados não ligados: as densidades de

probabilidades expressam a probabilidade de transmissão e

de reflexão da partícula na barreira. Como veremos há

probabilidade de transmissão da partícula sob a barreira –

daí o nome efeito túnel

• E>Vo Física Clássica - <x<+ trajetórias

infinitas

o Em Quântica são estados não ligados; as densidades de

probabilidades expressam a probabilidade de transmissão e de

reflexão da partícula na barreira.

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara

Solução da barreira na mecânica

de Schroedinger: E<Vo As funções de onda nas várias regiões do espaço:

•

• instante inicial na região de x<- : BIII=0 (não tem

mudança no potencial em x>a que permita a

reflexão da onda da partícula nesta região).

• instante inicial na região de x>+ : AI=0 (não

haveria em x<0 variação de potencial que

refletisse a onda na região)

xik

I

xik

IIII eBeAx )0(

xk

II

xk

IIIIIIII eBeAax )0(

xik

III

xik

IIIIIIII eBeAax )(

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara

02

2

2

mEkI

0)(2

2

2

EVmk o

II

02

2

22

mEkk IIII

Soluções da barreira

Continuidade das funções de onda deslocadas para -a/2 para

ficar com o potencial simético:

• Continuidade das derivadas das funções de onda:

Física Moderna I - Professora: Mazé Bechara

)0()0( xx III

)()( axax IIIII

)0()0( ´´ xxIII

)()( ´´ axaxIIIII

Funções de onda não normalizáveis e

a conservação da partícula O fluxo de partícula incidente (olha o singular):

• Assim o fluxo de reflexão:

•

• Fluxo de transmissão:

• A conservação da partícula

• Observe que se a função de onda for real os fluxos são nulos. É o

caso dos estados ligados.

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara

TRinc SSS

xxm

iS inc

incinc

incinc

**

2

xxm

iS

refle

refle

refle

reflrefl

*

*

2

xxm

iS transm

transmtransm

transmtranm

**

2

Coeficientes de reflexão e transmissão

Coeficiente de reflexão da partícula

• Coeficiente de transmissão da partícula:

• A conservação da partícula:

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara

TR1

inc

refl

S

SR

inc

transm

S

ST

Solução da barreira na mecânica de

Schroedinger: E<Vo O coeficiente de reflexão quando a incidência é no

sentido positivo de x (em t=0 na região de x

negativo):

• O coeficiente de transmissão quando a incidência

é no sentido positivo de x (região de x negativo):

• A conservação da partícula incidente: 1=R+T ou

• Fluxo de incidência = fluxo de

reflexão + fluxo de transmissão

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara

2

2

2

2

II

II

II

II

inc

refl

Ak

Bk

Av

Bv

S

SR

2

2

2

2

II

IIIIII

II

IIIIII

inc

transm

Ak

Ak

Av

Av

S

ST

TRinc SSS

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara Figura do Tipler & Lle wellyn

A barreira de potencial e a função

de onda incidindo de x=- e E< Vo

Parte real da função

de onda incidente + parte real da função

refletida de onda transmitida

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara Figura do R. Eisberg e R. Resnick

A densidade de probabilidade e o

coeficiente de transmissão (inc.- e E< Vo)

•

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara Figura do Thornton & Rex

Alfa no interior do núcleo: potencial nuclear

atrativo (poço) + coulombiano repulsivo

Física Moderna I- Professora: Mazé Bechara

Figura do Eisberg

Localize nos potenciais ao lado quais permitem estados NÃO ligados e para que valores de energia. Observe as características das densidades de probabilidade destes potenciais, em particular na região de incidência e de transmissão. Todos os estados NÃO ligados têm funções de onda NÃO normalizáveis e imaginárias nas regiões de reflexão e de transmissão. A conservação da partícula vem da relação: 1=R+T. As energias NÃO são quantizadas.