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INSTITUTO POLITECNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
Departamento Matematica Disciplina Matematica I
Curso Gestao de Empresas Ano 1o
Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1o
Apontamentos Teoricos: Determinantes
Autores:
Maria Cristina Peixoto Matos
Nuno Conceicao
Joana Fialho
Paula Sarabando
1
4. Determinantes
4.1. Definicao e Propriedades
Definicao 1 O determinate de uma matriz quadrada A de ordem 2 e, por
definicao, a aplicacao
det : M2×2(IR) → IR
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
→ det(A) =
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12
a21 a22
∣
∣
∣
∣
∣
= a11a22 − a21a12
Exemplo 1:
A =
[
3 5
−2 −1
]
⇒ det(A) =
∣
∣
∣
∣
∣
3 5
−2 −1
∣
∣
∣
∣
∣
= 3 × (−1) − (−2) × 5 = 7
Definicao 2 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 e
por definicao a aplicacao
det : M3×3(IR) → IR
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
→ det(A) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
= +a11
∣
∣
∣
∣
∣
a22 a23
a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
− a12
∣
∣
∣
∣
∣
a21 a23
a31 a33
∣
∣
∣
∣
∣
+ a13
∣
∣
∣
∣
∣
a21 a22
a31 a32
∣
∣
∣
∣
∣
=
= a11det (A11) − a12det (A12) + a13det (A13)
onde Aij e a matriz obtida de A por eliminacao da linha i e da coluna j.
2
Exemplo 2:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 1 0
1 1 4
−3 2 5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 2
∣
∣
∣
∣
∣
1 4
2 5
∣
∣
∣
∣
∣
−1
∣
∣
∣
∣
∣
1 4
−3 5
∣
∣
∣
∣
∣
+0
∣
∣
∣
∣
∣
1 1
−3 2
∣
∣
∣
∣
∣
=
= 2(5 − 8) − (5 + 12) = −23
Definicao 3 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n e
por definicao a aplicacao
det : Mn×n(IR) → IR
A → det(A) = a11det (A11) − a12det (A12) + ... + (−1)n+1a1ndet (A1n)
onde Aij e a matriz obtida de A por eliminacao da linha i e da coluna j.
Exemplo 3:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 1 0
1 2 3 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 0
0 1 0
1 3 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 1
0 1 1
1 2 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
= −1 × 1
∣
∣
∣
∣
∣
1 0
3 4
∣
∣
∣
∣
∣
−1 × 1
∣
∣
∣
∣
∣
1 1
2 3
∣
∣
∣
∣
∣
−1 ×∣
∣
∣
∣
∣
0 1
1 2
∣
∣
∣
∣
∣
=
= −(4 − 0) − (3 − 2) − (0 − 1) = 4 − 1 + 1 = −4
3
Exercıcio 2: Calcule
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0 −1 0
2 1 −1 0
0 3 0 1
0 3 −2 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Propriedades dos Determinantes
• Se A e uma matriz quadrada com pelo menos uma coluna ou uma
linha nulas, entao det(A) = 0.
• Para qualquer matriz quadrada A, temos que det(A) = det(AT ).
• O determinante de uma matriz triangular (inferior ou superior) e igual
ao produto dos elementos da diagonal principal.
• O determinante da matriz identidade e igual a 1.
• Se B e uma matriz quadrada obtida de A por meio de troca de duas
linha (ou duas colunas) entre si, entao det(B) = −det(A).
• Se B e uma matriz quadrada que se obtem de A multiplicando-se uma
sua linha (ou coluna) por α ∈ IR, entao det(B) = α det(A).
• Se B e uma matriz quadrada que se obtem de A substituindo-se uma
sua linha (ou coluna) pela que dela se obtem adicionando-lhe um
multiplo escalar de outra, entao det(B) = det(A).
• Se B e uma matriz quadrada que se obtem da soma da linha i (co-
luna j) da matriz A′ com a linha i (coluna j) da matriz A′′, sendo
as restantes linhas (colunas) das matrizes A′, A′′ e B iguais, entao
det(B) = det(A′) + det(A′′)
Nota: Em geral, para A, B ∈ Mn×n(IR), temos:
• det(A + B) 6= det(A) + det(B).
• det(αA) 6= αdet(A); de facto, det(αA) = αndet(A).
4
Exercıcio 3:
Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as propriedades:
3.1.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a b c
c a b
b c a
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3.2.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a b c d
a −b −c −d
a b −c −d
a b c −d
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Exercıcio 4: Sem calcular o valor dos determinantes, demonstre a igualdade:∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 4
2 4 8 15
3 9 27 40
4 16 64 85
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 1
2 4 8 1
3 9 27 1
4 16 64 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
4.2. Tecnicas para o calculo de Determinantes
4.2.1. Regra de Sarrus
O determinante de uma matriz de terceira ordem pode ser calculado utilizando
uma regra conhecida por Regra de Sarrus.
Os “termos positivos” de uma matriz A de terceira ordem obtem-se multipli-
cando os elementos da diagonal principal e multiplicando os vertices que se podem
construir de base paralela a diagonal principal:
5
Assim, segundo o esquema de cima, os “termos positivos” sao:
a11a22a33, a12a23a31, a21a13a32
Os “termos negativos” da matriz A obtem-se multiplicando os elementos da
diagonal secundaria e multiplicando os vertices dos triangulos que se podem con-
struir de base paralela a diagonal secundaria:
Assim, segundo o esquema de cima, os “termos negativos” sao:
a13a22a31, a21a12a33, a11a23a32
Subtraindo a soma dos “termos negativos” a soma dos “termos positivos”, obte-
mos o valor do determinante de A. Ou seja,
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a13a32 − a13a22a31 − a21a12a33 − a11a23a32
Exemplo 4:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 1 2
−1 0 1
1 −1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=(0 + 1 + 2) − (0 − 2 − 1) = 6
Exercıcio 5: Calcule os seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus:
3.1.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −1 3
−2 4 2
1 2 −3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3.2.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−2 1 3
1 1 −2
0 0 −4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6
4.2.2. Eliminacao de Gauss
Consiste em transformar uma matriz quadrada de ordem n numa matriz trian-
gular aplicando algumas das propriedades enunciadas anteriormente.
Exemplo 5:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 2 3
1/3 2/3 1
4 5 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=L1↔L2
−
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1/3 2/3 1
0 2 3
4 5 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=L3−4L1
−1
3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 3
0 2 3
0 −3 −6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
L3+
3
2L2
−1
3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 3
0 2 3
0 0 −3/2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −1
3× 1 × 2 ×
(
−3
2
)
= 1
Exercıcio 6: Calcule
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 2 0 0 2
1 0 1 0 1
0 3 0 3 0
0 0 4 0 0
2 0 0 2 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
, usando a eliminacao de Gauss.
4.2.3. Formula de Laplace
Por definicao, o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n e calcu-
lado usando o desenvolvimento segundo a primeira linha. Este, no entanto, pode
ser calculado usando o desenvolvimento de qualquer linha i ou qualquer coluna j
do seguinte modo:
Formula de Laplace segundo a linha i:
det(A) = (−1)i+1ai1det(Ai1) + (−1)i+2ai2det(Ai2) + ... + (−1)i+naindet(Ain)
7
Formula de Laplace segundo a coluna j:
det(A) = (−1)1+ja1jdet(A1j) + (−1)2+ja2jdet(A2j) + ... + (−1)n+janjdet(Anj)
onde Aij e a matriz de ordem n − 1 obtida por A por eliminacao da linha i e da
coluna j e os sinais (−1)i+j podem ser obtidos da seguinte matriz de sinais:2666664 + − + ...
− + − ...
+ − + ...
.
.
.
3777775Exercıcio 7: Calcule o valor de
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
7.1. segundo a 4a linha; 7.2. segundo a 2a coluna.
4.3. Menores, Menores Complementares e Complementos Algebricos
Definicao 4 Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, chama-se sub-
matriz quadrada de A de ordem m a matriz formada pelos elementos comuns a
m linhas e m colunas (m ≤ n).
Chama-se menor de ordem m ao determinante de uma submatriz de ordem m.
Dois menores dizem-se complementares sempre que em cada um deles estao
representadas as linhas e as colunas que nao figuram no outro.
Chama-se complemento algebrico de um menor ao produto do seu menor com-
plementar por (−1)s, onde s e a soma das ordens das linhas e das colunas en-
volvidas no menor complementar.
Um menor de A diz-se principal se a sua diagonal e totalmente constituıda por
elementos da diagonal principal de A.
8
Nota: Para a formacao do expoente s podemos usar as colunas e as linhas
envolvidas no menor em vez do menor complementar.
Exemplo 6: Para A =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
temos
• Menor:
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a13
a41 a43
∣
∣
∣
∣
∣
;
Menor Complementar:
∣
∣
∣
∣
∣
a22 a24
a32 a34
∣
∣
∣
∣
∣
;
Complemento algebrico: (−1)2+3+2+4
∣
∣
∣
∣
∣
a22 a24
a32 a34
∣
∣
∣
∣
∣
.
• Menor:
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12
a21 a22
∣
∣
∣
∣
∣
;
Menor Complementar:
∣
∣
∣
∣
∣
a33 a34
a43 a44
∣
∣
∣
∣
∣
;
Complemento algebrico: (−1)3+4+3+4
∣
∣
∣
∣
∣
a33 a34
a43 a44
∣
∣
∣
∣
∣
.
• Menor: |a32|;
Menor Complementar:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a13 a14
a21 a23 a24
a41 a43 a44
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
;
Complemento algebrico: (−1)15
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a13 a14
a21 a23 a24
a41 a43 a44
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
9
4.4. Inversa de uma Matriz
4.4.1. Definicao e Propriedades
Definicao 5 Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertıvel se existir
uma matriz B de ordem n tal que AB = BA = I.
A matriz B chama-se inversa de A e representa-se por A−1, isto e, B = A−1.
Exemplo 7: Usando a definicao, a inversa da matriz A =
[
1 2
3 4
]
e tal que:
AX = I ⇔[
1 2
3 4
] [
x11 x12
x21 x22
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
⇔
x11 + 2x21 = 1
x12 + 2x22 = 0
3x11 + 4x21 = 0
3x12 + 4x22 = 1
⇔
1 0 2 0
0 1 0 2
3 0 4 0
0 3 0 4
x11
x12
x21
x22
=
1
0
0
1
Entao, usando o algoritmo de Gauss, vem:
1 0 2 0 1
0 1 0 2 0
3 0 4 0 0
0 3 0 4 1
−−−−−−→L3 − 3L1
1 0 2 0 1
0 1 0 2 0
0 0 −2 0 −3
0 3 0 4 1
−−−−−−→L4 − 3L2
1 0 2 0 1
0 1 0 2 0
0 0 −2 0 −3
0 0 0 −2 1
⇒
x11
x12
x21
x22
=
−2
1
3/2
−1/2
Ou seja,
A−1 =
[
−2 1
3/2 −1/2
]
10
Exemplo 8: A matriz A =
[
1 1
0 0
]
nao e invertıvel, pois nao existe nenhuma
matriz X que verifique o sistema AX = I.
Teorema 1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Entao A e invertıvel
sse car(A)=n (sse A e nao singular), isto e, apos a eliminacao de Gauss, a matriz
em escada de linhas nao tem nenhum zero na diagonal principal.
Propriedades: Sejam A e B matrizes nao singulares de ordem n. Entao:
• A−1 e unica.
• (A−1)−1 = A.
• (AT )−1 = (A−1)T .
• (AB)−1 = B−1A−1.
• Se A e B sao matrizes quadradas tais que AB = I, entao tambem
BA = I e, consequentemente, B = A−1.
• Se A e B sao matrizes quadradas, entao det(A×B) = det(A)×det(B).
Consequentemente, se A e invertıvel entao
det(A−1) = [det(A)]−1 =1
det(A).
• Uma matriz quadrada A de ordem n e invertıvel sse A e nao singular,
isto e, sse car(A) = n, isto e, sse det(A) 6= 0.
Exercıcio 8: Suponha B = P−1AP sendo A, B e P matrizes quadradas de
ordem n. Prove que Bm = P−1AmP, ∀m ∈ Z.
Exercıcio 9: Sejam A e B matrizes de ordem n invertıveis. Mostre que
A−1 + B−1 = A−1(A + B)B−1.
11
4.4.2. Metodo da Adjunta para o Calculo da Matriz Inversa
Definicao 6 Chama-se adjunta de A a matriz que se obtem de AT por
substituicao de cada elemento pelo respectivo complemento algebrico. A adjunta
de A denota-se por Adj(A).
Esta definicao permite o calculo da inversa de uma matriz do seguinte modo:
A → AT → Adj(A) → A−1 =Adj(A)
det(A)
Nota: So podemos calcular a inversa de A se det(A) 6= 0
Exercıcio 10: Calcule a matriz adjunta das matrizes seguintes:
10.1. A =
[
1 3
−2 4
]
10.2. A =
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
Exercıcio 11: Calcule a inversa de cada uma das matrizes usando a matriz
adjunta:
11.1. A =
[
3 4
5 7
]
11.2. A =
2 1 0
3 4 −1
−2 5 4
12
4.5. Resolucao de Sistemas de Equacoes Lineares: Regra de Cramer
Consideremos o sistema de equacoes lineares:
a11x11 + a12x12 + a13x13 = b1
a21x21 + a22x22 + a23x23 = b2
a31x31 + a32x32 + a33x33 = b3
⇔
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
x1
x2
x3
=
b1
b2
b3
⇔
⇔ Ax = b
Suponhamos que det 6= 0; entao existe a inversa A−1 de A. Logo
Ax = b ⇔ A−1Ax = A−1b ⇔ Ix = A−1b ⇔ x = A−1b ⇔
⇔ x =1
det(A)Adj(A)b ⇔
⇔
x1
x2
x3
=1
det(A)
+det(A11) −det(A12) +det(A13)
−det(A21) +det(A22) −det(A23)
+det(A31) −det(A32) +det(A33)
b1
b2
b3
⇔
⇔
x1 =det(A11)b1 − det(A21)b2 + det(A31)b3
det(A)
x2 =det(A12)b1 − det(A22)b2 + det(A32)b3
det(A)
x3 =det(A13)b1 − det(A23)b2 + det(A33)b3
det(A)
onde Aij e a matriz de A por eliminacao da linha i e da coluna j.
Daqui resulta:
13
x1 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
det(A); x2 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
det(A); x3 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
det(A)
Esta propriedade pode ser generalizada atraves da seguinte regra:
Regra de Cramer: Seja A uma matriz quadrada de ordem n nao singular
Entao, o sistema Ax = b tem uma unica solucao dada por xj =det(Cj)
det(A), onde Cj
e a matriz que se obtem de A substituindo a coluna j pela matriz coluna b.
Exercıcio 12: Use a regra de Cramer para resolver os sistemas:
12.1.
{
2x + y = 8
−x + 2y = 712.2.
2x + y − z = 1
−x + 5y − 4z = 0
3x − y + 2z = 2
14
INSTITUTO POLITECNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
Departamento Matematica Disciplina Matematica I
Curso Gestao de Empresas Ano 1o
Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1o
Caderno de Exercıcios: Determinantes
Autores:
Maria Cristina Peixoto Matos
Nuno Conceicao
Joana Fialho
Paula Sarabando
15
1. Calcule os seguintes determinantes:
(a)
∣
∣
∣
∣
∣
1 3
−2 4
∣
∣
∣
∣
∣
; (b)
∣
∣
∣
∣
∣
0 2
−1 4
∣
∣
∣
∣
∣
; (c)
∣
∣
∣
∣
∣
1 −1
−2 2
∣
∣
∣
∣
∣
.
2. Calcule os seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus:
(a)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −1 3
−2 4 2
1 2 −3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; (b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 1 3
1 0 2
1 4 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; (c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 −√
2 5√2
√2 2
1 2 −√
2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
3. Calcule o seguinte determinante, usando a eliminacao de Gauss
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 1
1 1 1 2
1 1 3 1
1 4 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
4. Calcule os seguinte determinantes,
(i) usando a eliminacao de Gauss;
(ii) usando a formula de Laplace.
(a)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 1 3
1 0 2
1 4 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; (b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a 0 0 0
0 0 0 b
0 c 0 0
0 0 d 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; (c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; (d)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 2 0 0 2
1 0 1 0 1
0 3 0 3 0
0 0 4 0 0
2 0 0 2 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; (e)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 −2 0
2 3 −4 1
−1 −2 0 2
0 2 5 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
5. Calcule, da forma que achar mais conveniente (pode evidentemente misturar as tecnicas
aprendidas) os seguintes determinantes:
(a)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−2 1 3
1 1 −2
0 0 −4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; (b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 1 3 2
3 0 1 −2
1 −1 4 3
2 2 −1 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; (c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 2 3
1 0 −2 0
3 −1 1 −2
4 −3 0 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
; (d)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 −1 0 1 2
2 1 0 −2 0 1
0 0 1 2 −1 2
3 −1 2 3 1 2
3 0 3 0 3 0
1 1 1 1 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
6. Sendo A uma matriz de ordem n, calcule, em funcao de det A :
(a) det(2A) (b) det(−A) (c) det(A2)
16
7. (Frequencia, 2006-2007)
Sabendo que
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 3 e utilizando apenas propriedades dos determinantes, calcule:
(a)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 a3 a2
b1 b3 b2
c1 c3 c2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
(b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a1 − 5c1 a2 − 5c2 a3 − 5c3
10b1 10b2 10b3
−c1 −c2 −c3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(c) Enuncie as propriedades que utilizou nas alıneas anteriores.
8. Se A e uma matriz invertıvel de ordem n, mostre que det(A−1) =1
det(A).
9. Relativamente a cada uma das matrizes seguintes, use determinantes para encontrar os valores
dos parametros para os quais a matriz e invertıvel.
(a)
α β 0
1 α β
β 0 0
; (b)
1 0 −1 0
1 λ 1 1
0 0 1 −1
1 λ 1 λ
; (c)
1 0 −1 0
1 α α2 + β αβ
0 1 α β
1 α α2 + β α + αβ
.
10. Duas matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir T invertıvel tal que A = TBT−1.
Prove que se A e B forem semelhantes entao det A = det B.
11. Calcule o determinante
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 2
2 2 3 3
3 4 4 4
5 5 5 6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
17
12. Mostre que a matriz A =
0 1 0
−3 5 −1
3a − 4 0 a + 1
e nao singular, independentemente do valor
de a.
13. considere a funcao f(x) = det
1 1 1
a b x
a2 b2 x2
, com a e b numeros reais distintos.
(a) Mostre que f(x) e uma funcao quadratica, isto e, e dada por um polinomio de grau 2 em
x.
(b) Explique porque e que f(a) = f(b) = 0. Conclua que f(x) = k(x − a)(x − b) para uma
certa constante k. Calcule k.
(c) Para que valores de x e que esta matriz e invertıvel?
14. Resolva as seguintes equacoes:
(a)
∣
∣
∣
∣
∣
x x + 1
−4 x + 1
∣
∣
∣
∣
∣
= 0 (b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x −4 0
1 −x 1
2 x 5
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 2 (c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x + a b c
c x + b a
a b x + c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
15. A matriz B foi obtida a partir da matriz A4×4, atraves das seguintes operacoes elementares:
2L1, L2 ↔ L3 e L4 = L4 + 2L1.
(a) Sabendo que det(A) = 1, calcule det(B).
(b) Se C =
3 10 13 π
0 −1 1
10−5
0 0√
2 −1
0 0 0 −1
, calcule det(B C−1 BT ).
16. Calcule a matriz adjunta de:
(a)
1 2 3
0 1 2
0 0 0
(b)
1 2 3
0 1 2
0 0 1
(c)
5 0 0 2
1 1 0 2
0 0 2 1
1 0 0 1
18
17. Considere as matrizes A =
−1 −2 −2
2 1 −2
2 −2 1
e B =
−4 −3 −3
1 0 1
4 4 3
.
(a) Mostre que Adj(A) = 3AT .
(b) Verifique que Adj(B) = B.
18. Considere as matrizes A =
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
, B =
2 −3 1
3 1 −1
1 −1 −1
e C =
1 1 1
1 2 2
1 2 3
.
(a) Determine a adjunta de cada uma das matrizes.
(b) Calcule o determinante de cada uma das matrizes e a sua inversa.
19. Resolva os seguintes sistemas usando a regra de Cramer:
(a)
{
x1 + 3x2 = 0
2x1 + 4x2 = 6(b)
x1 + 4x2 − x3 = 1
x1 + x2 + x3 = 0
2x1 + 3x3 = 0
(c)
2x1 − 5x2 + 2x3 = 7
x1 + 2x2 − 4x3 = 3
3x1 − 4x2 − 6x3 = 5
20. Considere a equacao matricial AXB−1 =
(
1
4I
)
−1
, onde A e B representam matrizes in-
vertıveis e I representa a matriz identidade.
(a) Explicite X.
(b) Sabendo que A =
1 −1 0
−1 3 2
2 2 5
e B =
1 2 3
0 2 2
3 0 0
, calcule:
(i) Adj(A) (ii) X.
21. (Exame Epoca Especial, 2006-2007)
Considere a matriz A =
x −1 0
−1 0 −1
0 −1 x
, x 6= 0.
(a) Diga o que entende por matriz simetrica e diga se A e simetrica.
(b) Calcule A−1.
19
22. Considere as matrizes A =
α 0 1
2 α −1
−1 0 1
e b =
β
1
0
, com α, β ∈ IR.
(a) Discuta o sistema Ax = b em funcao dos parametros α e β.
(b) Determine os valores do parametro α para os quais a matriz e invertıvel.
(c) Considere α = −2 e β = 2.
i. Determine, usando o metodo da adjunta, a matriz inversa de A.
ii. Calcule, usando as propriedades dos determinantes, det
[
(A−1)2AT
2
]
.
iii. Resolva o sistema Ax = b, usando a regra de Cramer.
23. (Frequencia, 2006-2007)
Considere o conjunto M das matrizes da forma
[
a −b
b a
]
, com a e b ∈ IR. Prove que:
(a) A, B ∈ M ⇒ A.B ∈ M .
(b) Se A 6= 0 ∈ M ⇒ A e invertıvel.
(c) Se A 6= 0 ∈ M ⇒ A−1 ∈ M .
24. (Exame Epoca Normal, 2006-2007)
Considere a funcao h(x) =
−3x2 + 12x − 5, se x < 0;
−5, se x = 0;
g(x), se x > 0.
em que g(x) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x 1 0√x 0 3
2 1
xx2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
(a) Determine a expressao algebrica de g(x).
(b) Estude a continuidade de h(x).
(c) Verifique a existencia de assımptotas da funcao h(x).
(d) Determine se possıvel h′(2), h′(0) e h′(−5).
20
25. Considere as matrizes reais A =
1 1 1
0 2 2
3 0 1
e B =
1 1 1
0 2 2
4 −1 0
.
(a) Determine, a matriz inversa de A.
(b) Utilize o resultado anterior para resolver o sistema
x + y + 3z + w = 3
2y − z + 2w = 4
3x − 2z + w = 4
(c) Mostre, utilizando as propriedades dos determinantes que detB = detA.
26. Uma firma produz dois tipos de produtos A e B. Para a producao de uma unidade de A
usam-se 3 unidades de K (capital) e 2 unidades de L (forca de trabalho) e para a producao
de 1 unidade de B usam-se 2 unidades de K e 3 unidades de L. Sabendo que se encontram
armazenadas 6 000 unidades de K e 6 000 unidades de L.
Determine as quantidades de A e B que se devem produzir, usando dois processos diferentes
da teoria dos determinantes.
27. Considere um conjunto de n indivıduos, cada um dos quais e proprietario de m diferentes
mercadorias. Seja aij o numero de unidades da i-esima mercadoria que possui o j-esimo
indivıduo, onde i = 1, 2, ..., m, enquanto j = 1, 2, ..., n.
(a) O que representa o vector (a1j , a2j, ..., amj)?
(b) Explique por palavras o que expressam as seguintes expressoes a11 + a12 + ... + a1n e
ai1 + ai2 + ... + ain.
(c) Denote por pi o preco por unidade de mercadoria i (i = 1, 2, ..., m). Qual e o valor total
de mercadorias que possui o j-esimo indivıduo?
(d) Considere agora que i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3 e seja A =
5 8 6
3 5 4
2 3 1
a matriz que representa as quantidades das diferentes mercadorias que cada indivıduo
possui.
Sabendo que o vector que representa o valor total das mercadorias e
7
5
2
, calcule,
usando a teoria dos determinantes, o preco por unidade de cada mercadoria.
21
