instrumentação e análise de sinais

EQUAÇÕES DE TRANSPORTE DE MASSA, QUANTIDADE DE MOVIMENTO E ENERGIA DE UM FLUIDO

SEM0551 Fenômenos de Transporte

Paulo Seleghim Jr.Universidade de São Paulo

Preâmbulo: mecanismos de transferência de calor por convecção...

Calor →

Condução

Convecção →

Radiaçãotransporte de

energia térmica

Acoplamento entre dois fenômenos: escoamento de um fluido e transferência de calor

Escoamento de materiais elásticos e fluidos...

Força

aplicada

material

elástico


Força

aplicada

Reação

= deformação

material

elástico


Força

aplicada

material

fluido


Força

aplicada

Reação

material

fluido

= deformação


Força

aplicada

Reação

material

fluido

= deformação

t=

deformação taxa de deformação


→= t )(F =


→= t )(F =

x

y

alta pressão

baixa pressão


→= t )(F =

x

y

alta pressão

baixa pressão


→= t )(F =

x

y

alta pressão

x

baixa pressão


→= t )(F =

x

y

alta pressão

0yy

u

=

x

baixa pressão


→= t )(F =

x

y

alta pressão

0yy

u

=

x

baixa pressão

0y

hyp

xy

u

=

= Fluido newtoniano

(modelo reológico)

Reômetro rotativo para medição da viscosidade...

controlador de

temperatura

controlador

de rotação

medidor

de torque

amostra

tensão de

cisalhamento

taxa de

deformação

newtonian

Bingham

shear

thinning

shear

thicknning

Newtoniano: água, óleo, glicerina e gases

submetidos a taxas de deformação

moderadas

Bingham: passam a escoar acima de uma

determinada tensão de cisalhamento (tinta

e dentifrício)

Pseudoplástico: (shear-thinning) escoam mais

facilmente sob altas tensões de cisalhamento

Dilatante: (shear thickenning) tornam-se

progressivamente mais resistentes na medida

em que o cisalhamento aumenta (fluidos de acoplamento, água e amido, etc.)

Banzé no

Oeste (1974)

]D~

[fT~=

Equações governantes do movimento

de um fluido...

Equações governantes do movimento de um fluido...

Abordagem euleriana (volume de controle):

1) Inventário de massa

2) Inventário de quantidade de movimento

3) Inventário de energia

campo de escoamento

fluxo líquido de

entrando...

fluxo líquido de

saindo...

taxa de variação

de no VC- =

Expressão geral dos inventários:

Inventário de massa... (incompressível e regime permanente)

x

y

u dxx

uu

+

v

dyy

vv

+

1dydx


x

y

u dxx

uu

+

v

dyy

vv

+

1dydx

++ dxvdyu

0dxdyy

vvdydx

x

uu =

+−

+−


x

y

u dxx

uu

+

v

dyy

vv

+

1dydx

++ dxvdyu

0dxdyy

vvdydx

x

uu =

+−

+−

0y

v

x

u=

+


x

y

u dxx

uu

+

v

dyy

vv

+ ++ dxvdyu

0dxdyy

vvdydx

x

uu =

+−

+−

0y

v

x

u=

+

Considerando 3D...

0z

w

y

v

x

u=

+

+

0U =

Equação da

continuidade,

independente de

coordenadas

1dydx


x

y

u dxx

uu

+

v

dyy

vv

+ ++ dxvdyu

0dxdyy

vvdydx

x

uu =

+−

+−

0y

v

x

u=

+

Considerando 3D, compressível e transiente...

Equação da

continuidade,

independente de

coordenadas

0)U(t

=+

1dydx

Inventário de quantidade de movimento...

x

y

z

P


x

y

z

P

xxxz

xy


x

y

z

P

yx

yy

yz

xxxz

xy


x

y

z

zx

zy

zz

P

yx

yy

yz

xxxz

xy


x

y

z

zx

zy

zz

P

yx

yy

yz

xxxz

xy

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxxdef

T~


xx amF =


xx amF =

dt

dy

y

u

dt

dx

x

u

dt

duax

+

==


xx amF =

dt

dy

y

u

dt

dx

x

u

dt

duax

+

==

y

uv

x

uu

dt

duax

+

==


xx amF =

dt

dy

y

u

dt

dx

x

u

dt

duax

+

==

y

uv

x

uu

dt

duax

+

==


x

y

P dxx

PP

+

dyy

+

1dydx


x

y

P dxx

PP

+

dyy

+

1dydx

dydxx

Pdxdy

yFx

−

=


x

y

P dxx

PP

+

dyy

+

1dydx

dydxx

Pdxdy

yFx

−

=

dxdyx

P

yFx

−

=


x

y

P dxx

PP

+

dyy

+

1dydx

dydxx

Pdxdy

yFx

−

=

dxdyx

P

yFx

−

=

dxdyx

P

y

u

yFx

−

=


x

y

P dxx

PP

+

dyy

+

1dydx

dydxx

Pdxdy

yFx

−

=

dxdyx

P

yFx

−

=

dxdyx

P

y

u

yFx

−

=

dxdyx

P

y

uF

2

2

x

−

=


x

y

P dxx

PP

+

dyy

+

1dydx

dydxx

Pdxdy

yFx

−

=

dxdyx

P

yFx

−

=

dxdyx

P

y

u

yFx

−

=

dxdyx

P

y

uF

2

2

x

−

=

xx amF =

xx amF =

dxdyx

P

y

uF

2

2

x

−

=

xx amF =

y

uv

x

uu

dt

duax

+

==dxdy

x

P

y

uF

2

2

x

−

=

xx amF =

y

uv

x

uu

dt

duax

+

==dxdy

x

P

y

uF

2

2

x

−

=

+

=

−

y

uv

x

uumdxdy

x

P

y

u2

2

xx amF =

y

uv

x

uu

dt

duax

+

==dxdy

x

P

y

uF

2

2

x

−

=

+

=

−

y

uv

x

uumdxdy

x

P

y

u2

2

→= dxdym

xx amF =

y

uv

x

uu

dt

duax

+

==dxdy

x

P

y

uF

2

2

x

−

=

+

=

−

y

uv

x

uumdxdy

x

P

y

u2

2

→= dxdym

2

2

y

u

x

P

y

uv

x

uu

+

−=

+

xx amF =

y

uv

x

uu

dt

duax

+

==dxdy

x

P

y

uF

2

2

x

−

=

+

=

−

y

uv

x

uumdxdy

x

P

y

u2

2

→= dxdym

2

2

y

u

x

P

y

uv

x

uu

+

−=

+

aceleração volume superf.

xx amF =

y

uv

x

uu

dt

duax

+

==dxdy

x

P

y

uF

2

2

x

−

=

+

=

−

y

uv

x

uumdxdy

x

P

y

u2

2

→= dxdym

2

2

y

u

x

P

y

uv

x

uu

+

−=

+

aceleração volume superf.

...FFF x,corx,magx,grav ++++

campo

2

2

y

u

x

P

y

uv

x

uu

+

−=

+

2

2

x

v

y

P

y

vv

x

vu

+

−=

+

++−=

+

D3

2 FuPuut

u

Coord., transiente... →

2( ( ) ( . )

3

TU U U = + −

2

2

y

u

x

P

y

uv

x

uu

+

−=

+

2

2

x

v

y

P

y

vv

x

vu

+

−=

+

++−=

+

D3

2 FuPuut

u

++−=

+

D3FT

~Puu

t

u

Reologia complexa... →

2( ( ) ( . )

3

TU U U = + −


2

2

y

u

x

P

y

uv

x

uu

+

−=

+

2

2

x

v

y

P

y

vv

x

vu

+

−=

+

++−=

+

D3

2 FuPuut

u

aceleração

convectiva

++−=

+

D3FT

~Puu

t

u

Reologia complexa... →

aceleração

transiente

gradiente

de pressão

div . do tensor

de tensões

forças de

campo

2( ( ) ( . )

3

TU U U = + −


Inventário de energia...

massaque sai

massaque entra

sistema

1 → 2calor

trabalhocalortrabalho

energia térmicatrabalho de fluxo


( ) ( ) ++−++=−entra

2kkkk

sai

2kkkk 2/Vgzhm2/VgzhmWQ

Inventário de energia...

massaque sai

massaque entra

sistema

1 → 2calor

trabalhocalortrabalho



( ) ( ) ++−++=−entra

2kkkk

sai

2kkkk 2/Vgzhm2/VgzhmWQ

entrada de calor

saída de trabalhoenergia carreada pelo

fluxo de massa

dt

dEEEEEEE

massasaienttrabalhoentsaicalorsaient =−+−−−

( ) ( ) dxdyx

)uh(dxdy

x

)uh(dxdyuhdxdyuhEE

x,massasaient

−=

+−=−

dxdyx

uT

x

TuCEE Px,massasaient

+

−=−

→= TCh P

dxdyy

Tv

x

TuCEE Pmassasaient

+

−=−

dxdyy

vT

y

TvCEE Py,massasaient

+

−=−

0y

v

x

u=

+

Obs.: a equação da continuidade foi considerada...

dt

dEEEEEEE


dxx

Qdx

x

QQQEE xx

xxx,calorsaient

−=

+−=−

dxdyx

Tkdxdy

x

Tk

xEE

2

2

x,calorsaient

=

−

−=−

dxdyy

Tkdydx

y

Tk

yEE

2

2

y,calorsaient

=

−

−=−

dxdyy

T

x

TkEE

2

2

2

2

calorsaient

+

=−

dt

dEEEEEEE


trabalho de fluxo

u h

D~

:T~

trabalho das forças de campo...

trabalho das forças v iscosas (força

velocidade)...

produto escalar do tensor de

tensões pelo tensor de taxas de deformação...

+

=

+

+

2

2

2

2

Py

T

x

Tk

y

Tv

x

Tu

t

TC

D~

:T~

y

T

x

Tk

y

Tv

x

Tu

t

TC

2

2

2

2

P +

+

=

+

+

D~

:T~

)Tk(Tut

TCP +=

+

)u(D~

:T~ mod

=

Função de dissipação viscosa:

2222222

x

w

z

u

z

v

y

w

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

3

1

z

w

y

v

x

u2

+

+

+

+

+

+

+

+

−

+

+

=

Obs.: a dedução pode ser encontrada em...

“Força deslocamente” (energia

mecânica transformada em energia térmica dev ido à ação

da v iscosidade)

Obs.: significativo a altas velocidades...

Equações governantes:

0)U(t

=+

++−=

+

D3FT

~Puu

t

u

D~

:T~

)Tk(Tut

TCP +=

+

Continuidade (massa) →

Q. de movimento (Navier-Stokes) →

Energia (1ra lei) →

Escalas microscópicas

(Kolmogorov) a escalas sinóticas...

https://saturn.jpl.nasa.gov/

Furacão Andrew 1992

Por que os furacões

no hemisfério norte

giram no sentido

anti-horário e no

hemisfério sul giram

no sentido horário ?

Próxima aula…

www.youtube.com/pseleghim

Exemplo (Çg 6-1): o escoamento de óleo em um mancal de escorregamento pode ser aproximado cf. mostrado na figura abaixo (Couette). A distância entre as placas é de 2mm e sua velocidade relativa é de 12m/s, sendo que, em ambas, a temperatura é mantida em 20°C. Nestas condições calcule a) os campos de velocidade e temperatura e b) a máxima temperatura e o fluxo de calor do óleo para as placas.

0yy

u

=

carga

pressão de

contato

propriedades

do óleo @ 20°C

Exemplo (Çg 6-1): o escoamento de óleo em um mancal de escorregamento pode ser aproximado cf. mostrado na figura abaixo (Couette). A distância entre as placas é de 2mm e sua velocidade relativa é de 12m/s, sendo que, em ambas, a temperatura é mantida em 20°C. Nestas condições calcule a) os campos de velocidade e temperatura e b) a máxima temperatura e o fluxo de calor do óleo para as placas.

0yy

u

=

x

y

L

0

20°C

u(y) T(y)

12m/s

20°C

cargapropriedades

do óleo @ 20°C

Balanço de massa (continuidade):

→= 0U

( ) 0w,v,uz

,y

,x

=


→=

+

+

0

z

w

y

v

x

u

→= 0U

( ) 0w,v,uz

,y

,x

=

)y(uu0x

u=→=


→=

+

+

0

z

w

y

v

x

u

→= 0U

( ) 0w,v,uz

,y

,x

=

)y(uu0x

u=→=

Balanço de qdm (Navier-Stokes):

++−=

+

D3FT

~Puu

t

u


→=

+

+

0

z

w

y

v

x

u

→= 0U

( ) 0w,v,uz

,y

,x

=

)y(uu0x

u=→=


++−=

+

D3FT

~Puu

t

u


→=

+

+

0

z

w

y

v

x

u

→= 0U

( ) 0w,v,uz

,y

,x

=

)y(uu0x

u=→=


2

2

y

u

x

P

y

uv

x

uu

+

−=

+


→=

+

+

0

z

w

y

v

x

u

→= 0U

( ) 0w,v,uz

,y

,x

=

)y(uu0x

u=→=


0dy

ud

y

u

x

P

y

uv

x

uu

2

2

2

2

=→

+

−=

+

212

2

CyC)y(u0dy

ud+=→=

x

y

L

0

20°C

u(y) T(y)

12m/s

20°C

→== V)L(ue0)0(u yL

V)y(u =

212

2

CyC)y(u0dy

ud+=→=

x

y

L

0

20°C

u(y) T(y)

12m/s

20°C

Balanço de energia:

→== V)L(ue0)0(u yL

V)y(u =

212

2

CyC)y(u0dy

ud+=→=

x

y

L

0

20°C

u(y) T(y)

12m/s

20°C

D~

:T~

y

T

x

Tk

y

Tv

x

Tu

t

TC

2

2

2

2

P +

+

=

+

+

0y

u

y

Tk

2

2

2

=

+


D~

:T~

y

T

x

Tk

y

Tv

x

Tu

t

TC

2

2

2

2

P +

+

=

+

+

→== V)L(ue0)0(u yL

V)y(u =

212

2

CyC)y(u0dy

ud+=→=

x

y

L

0

20°C

u(y) T(y)

12m/s

20°C

0y

u

y

Tk

2

2

2

=

+


D~

:T~

y

T

x

Tk

y

Tv

x

Tu

t

TC

2

2

2

2

P +

+

=

+

+

→== V)L(ue0)0(u yL

V)y(u =

212

2

CyC)y(u0dy

ud+=→=

x

y

L

0

20°C

u(y) T(y)

12m/s

20°C

2

2

22

2

2

L

V

y

Tk0

y

u

y

Tk

−=

→=

+


D~

:T~

y

T

x

Tk

y

Tv

x

Tu

t

TC

2

2

2

2

P +

+

=

+

+

→== V)L(ue0)0(u yL

V)y(u =

212

2

CyC)y(u0dy

ud+=→=

x

y

L

0

20°C

u(y) T(y)

12m/s

20°C

2

2

22

2

2

L

V

y

Tk0

y

u

y

Tk

−=

→=

+

→ parabólico em y

2

2

22

2

2

L

V

x

Tk0

y

u

x

Tk

−=

→=

+

→== 0T)L(T)0(T

−

+=

2

22

0L

y

L

y

k2

VT)y(T


2

2

22

2

2

L

V

x

Tk0

y

u

x

Tk

−=

→=

+

→== 0T)L(T)0(T

−

+=

2

22

0L

y

L

y

k2

VT)y(T

→= 0dy/dT2

Ly0

L

y21

k2

V2

2

=→=

−


2

2

22

2

2

L

V

x

Tk0

y

u

x

Tk

−=

→=

+

→== 0T)L(T)0(T

−

+=

2

22

0L

y

L

y

k2

VT)y(T

→= 0dy/dT2

Ly0

L

y21

k2

V2

2

=→=

−

→= 2/Lyk8

VT

L

)2/L(

L

2/L

k2

VTT

2

02

22

0max

+=

−

+=


2

2

22

2

2

L

V

x

Tk0

y

u

x

Tk

−=

→=

+

→== 0T)L(T)0(T

−

+=

2

22

0L

y

L

y

k2

VT)y(T

→= 0dy/dT2

Ly0

L

y21

k2

V2

2

=→=

−

→= 2/Lyk8

VT

L

)2/L(

L

2/L

k2

VTT

2

02

22

0max

+=

−

+=

C119)C/m/W145.0(8

)s/m12)(m/Ns8.0(20T

22

max =

+=


−

+=

2

22

0L

y

L

y

k2

VT)y(T

L2

V....

dy

dTkq

2

0y

0

−==−=

=

222

0 m/kW800.28)m002.0(2

)s/m12)(m/Ns8.0(q −=−=

Observação: as propriedades termofísicas foram avaliadas @ 20°C... Tm = (119+20)/2= 69.5 °C...

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instrumentação e análise de sinais