2. ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS CONTÍNUOS

2.1. Resposta de um sistema LIT a exponenciais complexas

Função própria de um sistema LIT - sinal que tem como resposta ele próprio,

a menos de uma constante multiplicativa.

Valor próprio de uma função própria - é a constante multiplicativa.

Exemplo: a exponencial complexa

)(.)()()()()( )( sHedehedehdtxhty stsstts ===−= ∫∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

−+∞

∞−τττττττ ττ

Interesse das funções próprias e dos valores próprios:

A resposta de um sistema LIT é facilmente determinada quando:

• A entrada é uma função própria

• A entrada é uma combinação linear de funções próprias (existem muitos

sinais nestas condições)

∑=k

tsk

keatx )( ∑=k

tskk

kesHaty )()(

L I T x(t) = est y(t) = H(s).est

2.2

2.2. Representação de um sinal periódico pelas séries de Fourier

Representação de um sinal periódico x(t) de período T0 através da combinação

linear de exponenciais complexas relacionadas harmonicamente:

x(t) pode ser decomposto na forma

)(0)( Zktjk

kkeatx ∈∑

+∞

−∞=

= ω

LL ++++++++= −−

−−

−−

tjtjtjtjtjtj eaeaeaaeaeaeatx 000000 33

22101

22

33)( ωωωωωω

ak - são os chamados coeficientes de Fourier ou coeficientes espectrais

Estes coeficientes têm valores bem definidos para cada forma de onda

específica.

x(t)

tT0

valor médio

00

2Tπω = é a freq. fundamental do sinal

harmónicos harmónicos

comp. fundamental

comp. DC

(série de Fourier)

2.3

Exemplo 1: )cos(87)( 0ttx ω+=

tjtjtjtj

eeeetx 0000

4742

87)( ωωωω

++=+

+= −−

===

=−+

−=∑

474

onde )( Portanto

1

0

11

1

0

aaa

eatx tjk

kk

ω

Pode-se provar que os coeficientes ak são dados pela expressão

dtetxT

aT tjk

k ∫ −= 00

00

)(1 ω

Vamos confirmar a validade desta expressão, para o exemplo anterior:

( ) ( ) ( ) dttjttT

dtetT

aTT tj ∫∫ +⋅+=⋅+=−

000

0 0000

0 00

1 )(sin)cos()cos(871)cos(871 ωωωω ω

+++= ∫∫∫∫ dtttjdttdttjdtt

TTTTT 0000

0 000 02

0 00 00

)(sin)cos(8)(cos8)(sin7)cos(71 ωωωωω

2)2cos(1)(cos 2 αα +

= )2(sin21)(sin).cos( ααα =

++= ∫∫ dttjdtt

TTT 00

0 00 00

)2(sin4)2cos(441 ωω

=

+= ∫∫ dttdt

TTT 00

0 000

)2(4cos41 ω

4410

0

=⋅= TT

4=

Como e

0 0

0

0

2.4

→= ∫ dttxT

aT0

00

0 )(1

7)cos(871 0

0 00

0 =+= ∫ dttT

aT

ω

( ) 4 modo mesmo do )cos(871 00

0 00

1 ==⋅+= ∫ − LLdtetT

aT tjωω

Exemplo 2: Decomposição da onda quadrada

00

2Tπω = 10 .4quadrada onda TT =⇒

Cálculo dos ak = ?

21211)(1

0

1

0

2/

2/0

01

1

0

0

==== ∫∫ −− TTdt

Tdttx

Ta

T

T

T

T

2 pois )2(sin)(sin2)(sin10

10

00

10 πωππ

πω

ωω

===⋅== Tkk

kTk

TkTkak L

valor médio ou componente DC

x(t)

t

T0

−T0/2 −T1 T1 T0/2

1

2.5

Teremos então:

21

0 =a

π1

11 ==− aa

π31

33 −==− aa

M

0=para

2.6

No decorrer do séc. XIX Dirichlet demonstrou que um sinal periódico x(t) que:

1. Seja absolutamente integrável

∞<∫ dttxT0

)(

2. Tenha um nº finito de máximos e mínimos num período

3. Tenha um nº finito de descontinuidades num período

Se pode escrever:

)(0)( Zktjk

kkeatx ∈∑

+∞

−∞=

= ω

excepto nas descontinuidades de x(t), onde esta série converge para o valor

médio dessas descontinuidades.

Os ak são determinados por:

dtetxT

aT tjk

k ∫ −= 00

00

)(1 ω

Pode demonstrar-se que sendo x(t) real, então ak = a-k* e a série exp. complexa

dá origem à série trigonométrica:

( )∑+∞

=

++=1

00 )arg(cos2)(k

kk atkaatx ω

(eq. síntese)

(eq. análise)

2.7

Demonstra-se ainda que se:

reais são par) (sinal )()( katxtx ⇒=−

simaginário são impar) (sinal )()( katxtx ⇒−=−

Problema:

)(sin)( 0ttx ω=

tjtjtjtj

ej

ejj

eettx 0000

21

21

2)(sin)( 0

ωωωω

ω +−=−

== −−

;10;21;

21 :assim Temos 11 ±≠==−=− ka

ja

ja k

x(t) é real e portanto a1 = a-1*

x(t) é impar e portanto a1 e a-1 são imaginários puros.

A série trigonométrica terá neste caso apenas um termo:

;0;º90)arg(;21

21

011 =−=== aaj

a

( ) ( ) )(sinº90cos212)arg(1cos20)( 00101 ttatatx ωωω =−=++=

Problema:

)(cos)( 0ttx ω=

Determinar os coef. ak do sinal

Repetir o problema anterior para o sinal

2.8

2.3. Representação de um sinal não periódico pelo integral de

Fourier

)(0)(~ Zktjk

kkeatx ∈∑

+∞

−∞=

= ω

dtetxT

dtetxT

dtetxT

a tjkT

T

tjkT

T

tjkk ∫∫∫

∞+

∞−

−

−

−

−

− === 00

0

00

0

0 )(1)(1)(~1

0

2

20

2

20

ωωω

)(1 então )()( Definindo 00

ωω ω kXT

adtetxX ktj ⋅== ∫

∞+

∞−

−

Logo:

0000

00 )(21)(1)(~ ωωπ

ω ωω tjk

k

tjk

k

ekXekXT

tx ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

==

)(~ tx

t −T0/2 T0/2

x(t)

t

x(t) - sinal não periódico

)(~ tx - sinal periódico

2.9

→→→

⇒∞→

∫∑0

)()(~

Se 00 ωtxtx

T

E portanto teremos assim:

ωωπ

ω deXtx tj∫∞+

∞−= )(

21)(

dtetxX tj∫+∞

∞−

−= ωω )()(

X(ω) = espectro de x(t) (distribuição de x no domínio da frequência)

x(t) X(ω)

Exemplo:

Determinar a transformada de Fourier do sinal

==⋅= ∫−

−

πω

ωωω ω 1

11

11 sinc2sin21)( 1

1

TTT

TTdteXT

T

tj

Eq. síntese:

Eq. análise:

T. Fourier inversa

T. Fourier directa

transf. directa

transf. inversa

><

=1

1

01

)(TtTt

tx

x(t)

t

1

-T1 T1

2.10

xxx

ππ )(sin)(sinc :Nota =

Problema:

Qual será o sinal x(t) que tem como espectro ?

=⋅=⋅= ∫− πππ

ωπ

ω WtWWt

WtWdetxW

W

tj sincsin121)(

sinc(x)

x

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X(ω)

ω

2T1

2π/T1

x(t)

t

1

-T1 T1

><

=WW

Xωω

ω01

)(

x(t)

t

W/π

2π/W

2.11

Como vimos:

Pulso no tempo sinc na freq.

Pulso na freq. sinc no tempo

Trata-se da Dualidade (propriedade que veremos mais adiante)

Questão: qualquer sinal x(t) tem representação através do integral de Fourier ?

Tem que obedecer às condições de Dirichlet:

1. x(t) é absolutamente integrável;

∞<∫+∞

∞−dttx )(

2. x(t) tem um nº finito de extremos relativos em qualquer intervalo finito;

3. x(t) tem um nº finito de descontinuidades em qualquer intervalo finito.

Exemplo:

O sinal x(t) = 1 "não tem" transf. Fourier, pois não obedece à 1ª condição de

Dirichlet. No entanto, esta questão pode ser ultrapassada recorrendo ao

conceito de impulso:

• Considere-se a função pulso anterior

• Faça-se T1 ∞

• )(2sinc2 que se-Repare 11 ωπδ

πω

→

TT

x(t)

t

1

-T1 T1

2.12

Trata-se pois do espectro do sinal constante x(t) = 1

X(ω) indica-nos que toda a sua energia está concentrada em ω = 0

(o sinal não tem quaisquer oscilações)

X(ω)

ω

2T1

2π/T1

ππ 22221

11

=⋅⋅= TT

área

X(ω)=2πδ(ω)

ω

=∞≠

=000

)(ωω

ωX ∫+∞

∞−= πωω 2)( dX

(área sob o impulso)

x(t)

t

1

2.13

2.4. Transformada de Fourier de sinais periódicos

Tal como no exemplo anterior, as funções periódicas não obedecem à 1ª

condição de Dirichlet e, como tal, só têm transformada de Fourier se

recorrermos ao conceito de impulso.

Exemplo 1:

?)(2)( espectro como temque sinal o Qual 0ωωπδω −=X

ωωωδωωωδωωωπδπ

ωωω dededetx tjtjtj ∫∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−−=−=−= )()()(2

21)( 000

00

tje 0ω=

Exemplo 2:

?)(~ genérico periódico sinal doFourier transf.a Qualk

0∑= tjkkeatx ω

Pela linearidade

Conclusão: a transformada de Fourier de um sinal periódico pode ser

interpretada como um trem de impulsos de magnitude 2πak

espaçados de ω0 em ω0.

X(ω)

ωω0

2π

).(2)(~0∑ −=

kk kaX ωωδπω

2.14

Exemplo 3:

?)()cos()( 0 == ωω Xttx

±≠===

+= −−

102/1

que pelo 21

21)( 1100

kaaa

eetxk

tjtj ωω

Exemplo 4:

±≠===

−== −−

102/1*

que pelo 21

21)(sin)( 11

000

kajaa

ej

ej

ttxk

tjtj ωωω

)(~ ωX

ω -3ω0 -2ω0 -ω0 0 ω0 2ω0 3ω0

2πa1

2πa2 2πa-1 2πa-2

2πa-3

2πa0

2πa3 . . .. . .

)(~ periódico sinal tx

X(ω)

ωω0

π

-ω0

π

X(ω)

ωω0

π/j

-ω0

-π/j

2.15

Exemplo 5:

Onda quadrada !

)(2

que atrás vistoTínhamos 00 ωπω kXak =

)(2 magnitude de impulsos de tremum será )(~00 ωωπω kXaX k ⋅=

Exemplo 6:

tempono impulsos de trem).()(~ ∑ −=k

Tkttx δ

x(t)

t

1

X(ω)

ω

2T1

)(~ tx

t

1

)(~ ωX

ω

ω0.2T1

-ω0 ω0 -3ω0 3ω0

Tπ4

− Tπ2

− Tπ2

Tπ4

)(~ ωX

ω......

Tπ2

-2T -T 0 T 2T

)(~ tx

t......

1 T

dtetxT

aT

T

tjkk

1)(~1 2

20

0

0

0 === ∫−− Lω

Portanto:

)2(2)(~ ∑ −=k T

kT

X πωδπω

2.16

2.5. Propriedades da transformada de Fourier

Linearidade

Sendo

Então

Simetria

Se x(t) é um sinal real, então teremos:

)()( * ωω XX =−

isto é:

{ } { }{ } { } ( ) ( )

−−=−=

−−=−=

)(arg)(arg)()(

)(Im)(Im)(Re)(Re

ωωωω

ωωωω

XXXX

XXXX

Demonstração:

==

= ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

− dtetxdtetxX tjtj ωωω )()()( **

*

)()( pois )( * txtxdtetx tj == ∫+∞

∞−

ω

)( ω−= X

)()( 11 ωXtx ↔

)()( 22 ωXtx ↔

)(.)(.)(.)(. 2121 ωω XbXatxbtxa +←→+

2.17

Atraso no tempo

Sendo )()( ωXtx ↔

Então

Vejamos:

{ } 000 fazendo )()( ttdtettxttx tj −=−=− ∫+∞

∞−

− σωF

σσσσ ωσωσω dexedex jtjtj ∫∫+∞

∞−

−−+∞

∞−

+− == )()( 00 )(

)(0 ωω Xe tj−=

Diferenciação e integração no tempo

ωωπ

ω deXtx tj∫∞+

∞−= )(

21)( que Sabemos

ωωωπ

ω deXjdt

tdx tj∫∞+

∞−= )(

21)( :membros os ambos Derivando

Ou seja:

Poderíamos igualmente demonstrar que para a integração no tempo se tem:

)()( 00 ωω Xettx tj ⋅←→− −

(eq. análise)

)()( ωω Xjdt

tdx←→

)()0()(1)( ωδπωω

ττ XXj

dxt

+←→∫ ∞−

2.18

Mudança de escala temporal

Sendo )()( ωXtx ↔

Então

Demonstração:

{ } atdteatxatx tj === ∫+∞

∞−

− σω fazendo )()(F

<−=

>=

∫∫

∫∞+

∞−

−∞−

∞+

−

∞+

∞−

−

)0()(1)(1

)0()(1

adexa

dexa

adexa

aj

aj

aj

σσσσ

σσ

σωσω

σω

⋅=

aX

aω1

Dualidade

Exemplo:

Já tínhamos visto atrás que

pulso no tempo sinc na freq.

sinc no tempo pulso na freq.

⋅←→

aX

aatx ω1)(

( )

( )ωπ

ω

−←→

←→

xtX

Xtx

2)(

)(

2.19

Relação de Parseval

Relaciona-nos a energia de um sinal entre os domínios do tempo e da

frequência.

ωωπ

dXdttx ∫∫∞+

∞−

∞+

∞−= 22 )(

21)(

∫∫∞+

∞−

∞+

∞−== ωωω

πω

dEdX

tx )(2

)()( de energia :Portanto

2

E(ω) é a densidade espectral de energia

Para sinais periódicos, temos a sua energia por período dada por:

∑∫+∞

−∞=

=k

kTadttx

T22

0 0

)(1

k ordem de harmónico do períodopor energia2 =ka

Convolução

∫+∞

∞−−== τττ dthxthtxty )()()(*)()( que Sabemos

h(t) x(t) y(t)

L I T

2.20

{ } [ ] integração de ordem a invertendo )()()()( =−== ∫ ∫+∞

∞−

−+∞

∞−dtedthxtyY tjωτττω F

[ ] ==

−= ∫∫ ∫

+∞

∞−

−+∞

∞−

+∞

∞−

− τωττττ ωτω dHexddtethx jtj )()()()(

)()()()( ωωττω ωτ XHdexH j ⋅== ∫+∞

∞−

−

)()()()(*)()( ωωω HXYthtxty ⋅=←→=

H(ω) é a resposta em frequência do sistema

Exemplo (sinais periódicos):

tjk

kkeatx 0)( ω∑

+∞

−∞=

= y(t) = ?

)()(2)(2)()()()( 000 ∑∑ −=−⋅=⋅=k

kk

k kakHkaHXHY ωωδωπωωδπωωωω

{ } tjk

kk

tjk

kk ebeakHYty 00)()()( 0

1 ωωωω ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

− === F

Conclusão: se x(t) for um sinal periódico de coefs. ak, então y(t)

também é um sinal periódico de coefs. bk, com

)( 0ωkHab kk =

h(t) x(t) y(t)

L I T

2.21

Toda a álgebra de diagrama de blocos se mantém !

Exemplo:

Os 3 sistemas a seguir são equivalentes, pois a relação de espectros é a mesma

em todos os casos.

Y(ω) = H1(ω).H2(ω).X(ω)

H(ω) X(ω) Y(ω)

Y(ω) = X(ω).H(ω)

H1(ω) X(ω) Y(ω)

H2(ω)

H2(ω) X(ω) Y(ω)

H1(ω)

H1(ω).H2(ω) X(ω) Y(ω)

2.22

Convolução periódica (convolução circular)

021 período mesmo do periódicos )(~ e )(~ Sejam Ttxtx

Define-se convolução circular:

τττ dtxxtxtxtyT∫ −==

0

)(~)(~)(~*)(~)(~2121

obtendo-se: kkk baTc 0=

)(~ de coefs )(~ de coefs )(~ de coefs 21 txtxty

Modulação

[ ])(*)(21)()( ωωπ

YXtytx ←→⋅

Mais uma vez ressalta aqui o aspecto da dualidade entre os domínios do

tempo e da frequência:

Convolução no tempo produto na frequência

Produto no tempo convolução na frequência

A modulação está intimamente ligada com o "deslocamento na frequência".

Exemplo:

)()( 00 ωωω −←→⋅ Xtxe tj

2.23

2.6. Relação entre as transformadas de Fourier e de Laplace

Recordemos algumas definições:

dtetxsX st∫+∞

∞−

−= )()(

dtetxX tj∫+∞

∞−

−= ωω )()(

Facilmente concluímos que a segunda expressão é um caso particular da

primeira, quando s=jω .

[ ] ωω jssXX == )()(

Para sinais cuja transformada de Fourier exista (obedeçam às condições de

Dirichlet), esta pode ser obtida a partir da transformada de Laplace no eixo

imaginário.

T. Fourier

T. Laplace bilateral

(não estudada)

σ Re

Im

ωj s

eixo das oscilações