INTEGRAL POR PARTES – EX RESOLVIDOS Continuação sobre o método de integração por partes: 12ª) Integre a expressão

Integrando ambos os membros da expressão, temos

Para resolver a integral acima, chamaremos

Vamos substituir -2x por u e dx por -du/2 na integral e resolvê-la. Assim:

Substituindo o valor de u por -2x no resultado acima, temos que

Finalmente, o resultado da integral é dado por

Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.

13ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

- Achar dv. Basta fazer

- Achar v. Integrando a expressão acima, temos

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

(desenvolvido na 12ª questão), e achamos que

- Achar u. Fazer

u = x. - Achar du. Derivando a expressão acima, temos

du = dx.

De posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

Portanto,

Mas antes, da expressão acima, vamos trabalhar com a integral

chamando

Portanto, Substituindo os valores de z no resultado acima, temos que

e assim, o resultado da nossa integral é dado por

ou

14) Usando o método de integração por partes, calcule:

- Achar dv. Basta fazer

- Achar v. Integrando ambos os membros da integral

Trabalhando com o último termo da expressão acima, chamaremos

Portanto,

Substituindo os valores de w no resultado acima, temos que

Logo,

- Achar u. Fazer

u = x. - Achar du. Derivando a expressão acima, temos

du = dx. De posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

Mas antes, da expressão acima, vamos trabalhar com a integral

chamando

Portanto, Substituindo os valores de z no resultado acima, temos que

Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por ou

Observação: Podemos usar a fórmula acima, por exemplo, para n = 1 (já calculado):

para n = 2 (já calculado):

Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.

para n = 3 :

para n = 10:

ESTUDO SOBRE INTEGRAÇÃO POR PARTESBem vindo ao nosso simples estudo sobre integrais por partes para iniciantes. O objetivo deste estudo é resolver as integrais por partes, que envolvem exponenciais, do tipo

:..

e achar uma fórmula geral para estes formatos de integrais.

Vamos também resolver integrais por partes, que envolvem exponenciais, do seguinte formato:

::

e achar uma fórmula geral para estes tipos de integrais. Bons estudos e boa sorte!

1ª) Integre ambos os membros da expressão abaixo:

Sabemos que a integral da diferencial de uma variável (dv) é a própria variável (v) e que a integral de uma função exponencial é a própria função dividida pela derivada do expoente. Assim:

2ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

- Primeiro passo: achar dv.

Basta fazer

- Segundo passo: achar v.

Integrando a expressão acima (desenvolvido na 1ª questão), temos

- Terceiro passo: achar u. Fazer u = x.

- Quarto passo: achar du. Derivando a expressão acima, temos

du = dx.

- Quinto passo: de posse dos valores de dv, v, u e du, substituí-los na fórmula de integração por partes:

Portanto,

3ª) Integre a expressão

Integrando ambos os membros da expressão, temos

Vamos resolver a integral acima. Sabemos que a integral de uma função exponencial é a própria função dividida pela derivada do expoente. Assim:

ou usaremos outro método: basta fazer

Vamos substituir 2x por u e dx por du/2 na integral e resolvê-la:

Vamos substituir o valor de u por 2x no resultado acima, ou seja,

Finalmente, o resultado da integral é dado por

4ª) Integre a expressão

Para resolver a integral faremos

Vamos substituir 2x

por u

e dx

por du/2

na integral e resolvê-la. Assim:

Substituindo o valor de u

por 2x

no resultado acima, temos que

Finalmente, o resultado da integral é dado por

5ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

- Primeiro passo: achar dv.

Basta fazer

- Segundo passo: achar v.

Integramos a expressão acima (desenvolvido na 3ª questão), e achamos que

- Terceiro passo: achar u.

Basta fazeru = x.

- Quarto passo: achar du.

Derivando a expressão acima, temosdu = dx.

- Quinto passo: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

Portanto,

A integral do segundo membro já foi trabalhada na 4ª questão e resultou que

Finalmente o resultado da nossa integral é dado por

ou

O MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Continuação sobre o método de integração por partes:

6ª) Integre a expressão

Integrando ambos os membros da expressão, temos

Para resolver a integral acima, chamaremos

Vamos substituir 3x por u e dx por du/3 na integral e resolvê-la. Assim:

Substituindo o valor de u por 3x no resultado acima, temos que

Finalmente, o resultado da integral é dado por

Albert Einstein: “Triste época! É mais fácil desintegrar um átomo do que um preconceito”.

7ª) Integre a expressão

Para resolver a integral faremos

Vamos substituir 3x por u e dx por du/3 na integral e resolvê-la. Assim:

Substituindo o valor de u por 3x no resultado acima, temos que

Finalmente, o resultado da integral é dado por

8ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

- Primeiro passo: achar dv. Basta fazer

- Segundo passo: achar v. Integramos a expressão acima (desenvolvido na 6ª questão), e achamos que

- Terceiro passo: achar u.

Fazer u = x.

- Quarto passo: achar du.

Derivando a expressão acima, temos

du = dx.

- Quinto passo: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de integração por partes:

Portanto,

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

(desenvolvido na 7ª questão), e achamos que

Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por

ou

9ª) Integre a expressão

Integrando ambos os membros da expressão, temos

Para resolver a integral acima, chamaremos

Vamos substituir nx por u e dx por du/n na integral e resolvê-la. Assim:

Substituindo o valor de u por nx no resultado acima, temos que

Finalmente, o resultado da integral é dado por

10ª) Integre a expressão

chamando

Vamos substituir nx por u e dx por du/n na integral dada e resolvê-la. Assim:

Substituindo o valor de u no resultado acima, temos que

Finalmente, o resultado da integral é dado por

11ª) Usando o método de integração por partes, calcule:

- Primeiro passo: achar dv.

Basta fazer

- Segundo passo: achar v.

Integrando ambos os membros da expressão, temos

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

(desenvolvido na 7ª questão), e achamos que

- Terceiro passo: achar u. Fazer u = x.

- Quarto passo: achar du. Derivando a expressão acima, temos

du = dx.

- Quinto passo: de posse dos valores de dv, v, u e du, vamos substituí-los na fórmula de

integração por partes:

Portanto,

Já trabalhamos com a integral acima, ou seja,

(desenvolvido na 10ª questão), e achamos que

Finalmente, o resultado da nossa integral é dado por

Ou

Observação - Podemos usar a fórmula acima, exemplos:

Para n = 1 (já calculado):

Para n = 2 (já calculado):

Gráfico da integral para x = -1,5 a 1,5.

Para n = 3 (já calculado):

Para n = 10:

INTEGRAL INDEFINIDA - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Em 21 de novembro de 1675 ele escreveu um manuscrito com a notação

pela primeira vez. No mesmo manuscrito é dado a regra do produto para a diferenciação. No Outono de 1676 Leibniz descobriu o familiar

A INTEGRAL INDEFINIDA O estudo a seguir é dirigido aos alunos da 3ª série do nível médio, como complemento de um minicurso. Usaremos uma linguagem de fácil compreensão para tais alunos, a pedido dos mesmos. Não usaremos uma linguagem com detalhes de nível superior ou com detalhes a nível de mestrado como alguns que lêem este tópico esperam, pois pretendemos passar apenas uma pequena noção de cálculo integral e suas regras. Quando o aluno ingressar no nível superior, na disciplina cálculo I, poderá se deleitar em situações problemas mais envolventes e contextualizadas. As equações foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o poderoso navegador Firefox. Bons estudos!

Sendo f(x) uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por

onde F(x) - é uma primitiva de f(x);

c - é uma constante (chamada constante de integração);

- é o sinal de integração;

f(x) - é o integrando;

dx - é a diferencial de x (símbolo que indica que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x).

Se a a derivada da solução F(x) + c for igual ao integrando f(x), implica dizer que a

primitiva está calculada de forma correta. Vamos praticar:

1) Calcule a integral:

O nosso integrando f(x) é dado por:

que pode ser escrito como

Portanto,

Aplicando o teorema

(com n diferente de -1), na nossa integral, resulta em

que é a a solução F(x) + c da nossa integral.

Obs: O resultado F(x) + c desta integral é uma primitiva do nosso integrando (f(x)), ou seja, derivando F(x) + c obteremos o nosso integrando.

2) Calcule a integral:

A expressão

pode ser escrita como

Portanto,

Aplicando o teorema

temos que,

Se a derivada desta solução,

for igual ao integrando,

implica dizer que a primitiva (solução da integral) está calculada de forma correta, ou seja, a solução desta integral é uma primitiva do nosso integrando.

3) Calcule a integral:

Aplicando o teorema

resulta que

Obs: se calcularmos a derivada de

temos como resultado o nosso integrando

Portanto,

é uma primitiva do nosso integrando

Ficou mais claro? Ainda não? Vamos continuar exercitando.

4) Calcule a integral:

Aplicando os teoremas

e

onde a é uma constante, resulta que

Como

é uma constante arbitrária, podemos chamá-la de c. Portanto, o resultado da nossa integral é dado por

Obs: se calcularmos a derivada de

temos como resultado o integrando

5) Calcule a integral:

Vamos usar os conhecimentos sobre integração aprendidos nesta aula: Colocando as constantes 5, -8, 9, -2 e 5 para fora do sinal de integração, temos que