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Integrantes Promopetro
Coordenador:
Professor Sérgio Lucena
Edição de Apostilas:
Aklécio N. Silva
Paloma Boa Vista Felix
Sérgio Lucena
Valnísia Nogueira
Capa:
Cléber Souza
SUMÁRIO
Capítulo 1: Sistemas de equações lineares ................................................................................... 1
1.1 Sistemas e matrizes ............................................................................................................................. 1
1.2 Operações elementares ................................................................................................................ 2
1.3 Forma escada ....................................................................................................................................... 5
1.4 Soluções de um sistema de equações lineares ............................................................. 8
1.4.1 Caso geral ....................................................................................................................................... 8
1.4.2 Sistema com uma equação e uma incógnita ....................................................... 9
1.4.3 Sistema com duas equações e duas incógnitas .................................................. 9
1.5 Resolução de sistemas de equações utilizando métodos numéricos .......... 11
1.5.1 Métodos diretos ......................................................................................................................... 12
1.5.2 Métodos iterativos .................................................................................................................... 19
Capítulo 2: Balanço de Massa .............................................................................................................. 23
2.1. Classificação dos processos ..................................................................................................... 23
2.2 Balanços .................................................................................................................................................. 23
2.2.1 Equação geral do balanço .............................................................................................. 23
2.2.2 Balanço de processos contínuos em estado estacionário .......................... 25
2.2.3 Balanço integral de processos em batelada ....................................................... 26
2.2.4 Balanço integral de processos semi-batelada e processos contínuos 28
2.2.5 Cálculos de balanço de massa ..................................................................................... 29
2.2.6 Balanço de massa em processos com várias unidades ................................ 35
2.2.7 Reciclo ............................................................................................................................................. 37
Capítulo 3: Balanço de energia ........................................................................................................... 40
3.1 Formas da energia ........................................................................................................................... 40
3.2 Balanço de energia em sistemas fechados ................................................................... 40
3.3 Balanço de energia de sistemas abertos em estado estacionário ................ 42
Capítulo 4: Solução de problemas de balanço com auxílio da computação .. 45
4.4.1 Simulação sequencial modular ...................................................................................... 45
4.4.2 Simulação baseada em equações ............................................................................. 51
Capítulo 5: Estudo de caso ..................................................................................................................... 55
5.1 Produção de estireno ..................................................................................................................... 55
Bibliografia .......................................................................................................................................................... 76
1
CAPÍTULO 1: SISTEMAS DE EQUAÇÕES
LINEARES
Diversos problemas, que engenheiros, matemáticos e outros estudiosos se
deparam, envolvem um sistema com várias equações. Devido a sua
importância e utilidade, analisaremos este assunto neste capítulo. Vamos
estudar um método para resolução de sistemas lineares, que pode ser usado
em todos os sistemas de modo geral.
1.1 SISTEMAS E MATRIZES
Conforme Boldrini (1986), um sistema de equações lineares com m equações
e n incógnitas é um conjunto de equações, representadas da seguinte
maneira:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
1
2211
22222121
11212111
Com aij, 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, números reais ou complexos. Uma solução do
sistema é uma n-upla de números (x1,x2,...,xn) que satisfaça simultaneamente
todas as equações.
O sistema (1) pode ser escrito em forma matricial:
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Ou de forma simplificada, BXA , sendo:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
, chamada de matriz dos coeficientes,
2
nx
x
x
X2
1
, chamada de matriz das incógnitas, e
mb
b
b
B2
1
, a matriz dos termos independentes.
O sistema (1), também pode ser escrito na forma:
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222212
111211
Que é chamada de matriz ampliada do sistema, cada linha dessa matriz
representa de forma abreviada uma equação do sistema.
1.2 OPERAÇÕES ELEMENTARES
Como Boldrini (1986) afirma, existem basicamente três operações elementares
que podem ser efetuadas sobre as linhas de uma matriz:
a) Permutação das i-ésima e j-ésima linhas. ji LL
Exemplo:
Permutação entre as linhas 2 e 3 32 LL da matriz a seguir:
48
34
10
34
48
10
b) Multiplicação da i-ésima linha por escalar não nulo z. ii zLL
Exemplo:
Multiplicação da segunda linha da matriz a seguir por 4. 22 4LL :
3
34
164
10
34
41
10
c) Substituição da i-ésima linha pela soma de z vezes a j-ésima linha mais a i-
ésima linha. jii zLLL
Exemplo:
A terceira linha da matriz a seguir é igual ao seu valor inicial somado a 3 vezes
o valor da segunda linha. 233 3LLL :
91
41
10
34
41
10
Consideremos agora que A e B são matrizes m x n, se B for obtida de A a partir
de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A, dizemos
que B é linha equivalente a A. Podemos usar também as notações: BA ou
A ~ B .
Por exemplo:
93
04
31
é linha equivalente a
00
10
01
, pois
00
10
01
00
10
31
00
120
31
93
120
31
93
04
31
211
22
133122 31234 LLL
LL
LLLLLL
As operações com linhas de um sistema produzem outro sistema equivalente
ao inicial, este resultado é enunciado no teorema a seguir:
Segundo Boldrini (1986, p.36):
“Teorema 1.2.1: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes
são equivalentes.”
Exemplo 1.1– Solucione o sistema de equações mostrado a seguir.
64
132
11265
321
21
321
xxx
xx
xxx
4
Solução:
O sistema pode ser representado em forma de matriz, ou seja, sua matriz
ampliada é:
6114
1032
11265
)3(
)2(
)1(
Para isso, devemos usar o valor dos coeficientes e dos termos independentes,
em suas respectivas posições.
A resolução desse sistema de equações é encontrada seguindo os seguintes
passos:
1º) Multiplica-se inicialmente a primeira linha da matriz por 1/5 de forma que o
primeiro coeficiente seja igual a 1. Em seguida multiplica-se a linha 1 por -2 e
soma-se o resultado obtido com a segunda linha da matriz, para que a
primeira incógnita 1x seja eliminada da linha 2, isso irá resultar em novos
valores para segunda linha. Finalmente, a terceira linha é modificada, quando
se multiplica a primeira linha por -4, e soma-se o resultado com a linha 3.
Resultando em:
5345535290
53524530
51512561
2º) A seguir multiplicamos a segunda linha da matriz por -5/3 para que o termo
da segunda linha e segunda coluna seja igual a 1.
5345535290
1810
51512561
3º) Em seguida elimina-se o 2x das linha 1 e 3, ao se multiplicar a segunda linha
por 6/5 e somar seu resultado a linha 1, e de forma semelhante, multiplica-se a
segunda linha por -29/5 e soma-se seu resultado a terceira linha para obter:
15700
1810
11201
4º) A seguir multiplicamos a terceira linha da matriz por -1/57 para que o
coeficiente de 3x dessa linha seja igual a 1.
5
571100
1810
11201
5º) Em seguida elimina-se o 3x das linha 1 e 2, ao se multiplicar a terceira linha
por -8 e somar seu resultado a linha 2, e de forma semelhante, multiplica-se a
terceira linha por -12 e soma-se seu resultado a primeira linha, gerando:
571100
5765010
5769001
Que é equivalente a escrever:
57/1
57/65
57/69
3
2
1
x
x
x
Como as operações realizadas entre cada um dos sistemas apresentados
manteve a igualdade, a solução encontrada será válida para todos os
sistemas, ou seja, podemos afirmar que todos os sistemas são equivalentes.
Um ponto importante deste procedimento é que essas etapas são reversíveis,
e todas as operações num sistema produzem sistemas com mesmo conjunto
solução.
1.3 FORMA ESCADA
Como vimos no exemplo 1.1, foi utilizado um método para resolver o sistema
por eliminação de incógnitas, partindo inicialmente da matriz ampliada do
sistema até uma matriz de formato especial, que chamaremos de matriz-linha
reduzida à forma escada. Este método consiste em obter por linha-redução a
matriz reduzida à forma escada, por meio das quais podemos solucionar o
sistema de forma simples.
Segundo Boldrini (1986), uma matriz mxn é linha reduzida à forma escada
quando:
1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
2. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma
linha temtodos seus outros elementos nulos. 3. Toda linha nula ocorre abaixo daquelas que possuem pelo menos um
elemento não nulo.
6
4. Se as linhas 1, ..., t são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não
nulo da linha i ocorre na coluna ki, então k1<k2<....<kt.
A última condição impõe a forma escada à matriz, observe a fig.1.1.
Fig.1.1 – Formato de uma matriz-linha reduzida à forma escada.
Por exemplo, as três matrizes a seguir não estão na forma escada, pois:
0100
03210
0001
, a segunda condição não é satisfeita;
000
401
150
, a primeira e quarta condições não são satisfeitas;
23000
00000
10810
, a primeira e terceira condições não são satisfeitas.
Segundo Boldrini (1986, p.38):
“Teorema 1.3.1: Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma única matriz-linha
reduzida à forma escada.”
Digamos que uma matriz Bmxn seja a matriz linha reduzida à forma escada linha
equivalente a uma matriz Amxn. Definimos o posto de A (p), como o número de
linhas não nulas de B, e a nulidade de A como o número (n-p), sendo (n) o
número de colunas de A.
Exemplo 1.2– Determine o posto e a nulidade da matriz A, onde:
7
8164
151
241
311
A
Solução:
Devemos reduzir a matriz A à forma escada realizando as seguintes
operações:
000
000
9/110
9/1401
000
000
9/110
241
000
9/110
9/110
241
000
190
190
241
8164
151
312
241
8164
151
241
312
211233
33
22
144
133
122
21
4
9
9
4
2
LLLLLL
LL
LL
LLLLLL
LLL
LL
O posto de A é igual a 2 e a nulidade igual a 1.
O sistema de quatro equações associadas à matriz inicial:
8164
15
24
32
yx
yx
yx
yx
, é equivalente ao sistema: 9/10
9/140
yx
yx
Observamos então que as duas últimas equações do sistema inicial são
redundantes e poderiam ser desprezadas. Isso significa que o sistema inicial é
equivalente ao sistema:
24
32
yx
yx
Então nesse caso dizemos que as duas primeiras equações são
independentes, enquanto as duas últimas são dependentes destas. Uma linha
é dependente quando ela pode ser escrita como a soma de produtos das
outras linhas por constantes, de outra forma, uma linha dependente é uma
combinação linear das outras linhas.
Podemos concluir que o posto de uma matriz nos informa o número de
equações independentes desta.
8
1.4 SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
1.4.1 CASO GERAL
Como pode ser visto em Boldrini (1986) se considermos um sistema de m
equações lineares e n incógnitas (x1,...,xn), cujos coeficientes (aij) e termos
constantes (bi) são números reais ou complexos:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
Podemos ter:
1. Uma única solução:
nn kx
kx
11
Nesse caso dizemos que o sistema é possível e determinado.
2. Infinitas soluções:
Nesse caso dizemos que o sistema é possível e indeterminado.
3. Nenhuma solução.
Nesse caso dizemos que o sistema é impossível.
De acordo com Boldrini (1986, p.45):
“Teorema 1.4.1:
I. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e
somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos
coeficientes.
II. Se duas matrizes têm o mesmo posto p, e p=n, a solução é única;
III. Se duas matrizes têm o mesmo posto p, e p<n, podemos escolher n-p
incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas.”
No caso III do teorema 1.4.1, dizemos que o grau de liberdade do sistema é n-
p.
9
Uma vez visto o caso geral, vamos partir agora para os casos mais simples.
1.4.2 SISTEMA COM UMA EQUAÇÃO E UMA INCÓGNITA
Boldrini (1986) afirma que para um sistema de uma equação e uma incógnita:
bax ,
existem três possibilidades:
1. Com 0a , a equação tem apenas uma solução;
2. Com 0a e 0b , temos 00x e qualquer número real é solução da
equação.
3. Com 0a e 0b , temos bx0 . Não há solução para esta equação.
1.4.3 SISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES E DUAS INCÓGNITAS
Considere os seguintes exemplos:
Exemplo 1.3–Qual seria a solução do sistema 63
52
yx
yx ?
Solução:
A matriz ampliada do sistema é 631
512, e sua matriz-linha reduzida à
forma escada 110
301, que é equivalente a:
10
30
yx
yx
Logo o sistema possui apenas uma única solução, x=3 e y=-1. Também
poderíamos ter encontrado esta solução graficamente, lembrando que o
conjunto de pontos RRyx, , que satisfaz cada equação do sistema
representa uma reta no plano, sabendo que a solução é igual ao ponto
comum às duas retas, observe a fig.1.2.
10
Fig.1.2 – A solução do sistema é dada pela intersecção das duas retas.
Exemplo 1.4–Qual seria a solução do sistema 1536
52
yx
yx?
Solução:
A representação gráfica das retas do sistema está ilustrada na fig.1.3:
Fig.1.3 – As retas nesse caso são coincidentes.
Concluímos então que qualquer ponto de uma das retas é uma solução do
sistema.
Reduzindo a matriz ampliada do sistema à matriz reduzida à forma escada
teríamos que:
000
2/52/11
1536
512
Por isso, o sistema é equivalente a:
000
2
5
2
1
yx
yx
Observamos que a segunda equação é redundante e não estabelece
condições sobre x ou y . O conjunto de soluções é encontrado atribuindo-se
11
valores arbitrários para y , y , e fazendo yx2
1
2
5. Como pode
assumiu qualquer valor, esse sistema tem infinitas soluções.
Exemplo 1.5– Qual seria a solução do sistema 1036
52
yx
yx?
Solução:
A fig.1.4 representa as retas obtidas a partir das equações do sistema. Observe
que são duas retas paralelas sem nenhum ponto em comum, ou seja, este
sistema não possui solução.
Fig.1.4 – Retas paralelas não coincidentes.
Nesse caso a matriz ampliada do sistema é 631
512, enquanto sua matriz-
linha equivalente reduzida à forma escada é 100
02/11. Por isso, o sistema
inicial equivale a:
100
02
1
yx
yx
Podemos dizer então que o sistema inicial não possui solução, ele é
incompatível, pois não existe nenhum valor de x e y que satisfaça a segunda
equação deste último sistema encontrado.
1.5 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES UTILIZANDO
MÉTODOS NUMÉRICOS
A utilização de métodos numéricos é amplamente usada para solucionar
sistemas de equações lineares que surgem em problemas de engenharia e
12
computação. Serão considerados neste texto, sistemas quadrados(sistemas
nos quais o número de equações é igual ao número de incógnitas), e alguns
dos principais métodos de resolução usualmente empregados.
Considere o sistema dado a seguir, ele possui n equações lineares com n
variáveis, onde ija , ib e
jx são números reais, sendo ni ,,2,1 e nj ,,2,1 .
BAxmatricialformanaou
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nnnnnn
nn
nn
:
...
...
...
2211
22222121
11212111
Note que este sistema é o mesmo descrito na seção 1.1, e todas as afirmações
feitas anteriormente naquela seção continuam válidas. De modo geral,
existem dois métodos de resolver o sistema (encontrar o vetor solução, que
satisfaz todas as suas equações):
1. Métodos diretos
2. Métodos iterativos
1.5.1 MÉTODOS DIRETOS
Os métodos diretos fazem uso de um número finito de operações e
apresentam, teoricamente, a solução exata do sistema.
1.5.1.1ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Este método consiste em transformar o sistema linear original BAx num
sistema linear equivalentecuja matriz dos coeficientes seja triangular superior, e
assim tornar a determinação da solução, x , imediata.
Para o sistema linear CTx , onde T : matriz nn , é uma matriz triangular
superior com elementos da diagonal diferentes de zero,escrevemos as
equações do sistema como:
nnnn
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
33333
22323222
11313212111
...
...
13
Este sistema de equações possui solução bastante trivial, dada por:
.1,,2,1,
/
1
nni
a
xab
x
abx
ii
n
ij
jiji
i
nnnn
1.5.1.1.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Para modificar de forma conveniente o sistema linear dado inicialmente
BAx , faremos uso das operações elementares vistas na seção 1.2, para
obter um novo sistema CTx equivalente ao inicial. Podemos:
I. Trocar duas linhas de uma matriz
II. Multiplicar uma linha por uma constante não nula.
III. Adicionar um múltiplo de uma linha a uma outra linha.
A eliminação de Gauss é efetuada sobre as colunas da matriz. Assumiremos
que ,0det A e vamos chamar de etapa k a fase do processo em que se
elimina a variável kx das equações nkk ,,2,1 .
Como Ruggiero (1996) afirma, a notação k
ija é utilizada para denotar o
coeficiente da linha i e coluna j ao final da k-ésima etapa, enquanto k
ib
denota o i-ésimo elemento do vetor constante no final da etapa k .
Usando a operação elementar I, é possível reescrever o sistema linear de
maneira que o elemento da posição 11a seja não nulo:
000
2
0
1
0
2
0
2
0
22
0
21
0
1
0
1
0
12
0
11
0
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
A
, onde 00
11a .
Passo 1: Elimina-se a variável 1x das linhas ni ,,3,2 da seguinte forma:
multiplica-se a 1º linha por 1im e em seguida soma-se o resultado com as linhas
i , sendo 0
11
0
11
a
am i
i , com ni ,,3,2 .
O elemento 0
11a é chamado de pivô da primeira etapa e os elementos
0
11
0
11
a
am i
i são chamados de multiplicadores.
14
Temos então a matriz:
111
2
1
2
1
2
1
22
1
1
1
1
1
12
1
11
1
0
0
nnnn
n
n
baa
baa
baaa
A
, onde njparaaa jj ,,2,1,0
1
1
1 e 0
1
1
1 bb .
Sendo:
njeniparaamaa ijiijij ,,2,1,,2,0
1
01
niparabmbb iii ,,2,0
11
01
Passo 2:
Para manter a hipótese inicial que 0det A , o determinante da matriz 1A
também deve ser diferente de zero 0det 1A . Para que isso ocorra é
necessário ter pelo menos um elemento niparaai ,,3,201
2 . Podemos
então reescrever a matriz 1A de forma que o pivô 01
22a seja não nulo.
Em seguida, devemos eliminar a variável 2x das linhas ni ,,4,3 ,
multiplicando-se a 2º linha por 2im , e em seguida somando o resultado com as
linhas i , sendo 1
22
1
22
a
am i
i .
Obtemos então a matriz:
22
2
2
2
2
2
1
2
1
2
12
2
11
2
00
00
nnn
n
n
ba
ba
baaa
A
onde niijeiparaaa ijij ,,1,2,1,12
2,1,12 iparabb ii .
e
njeniparaamaa jiijij ,,2,,3,1
22
12
niparabmbb iii ,,3,1
22
12
Deve-se seguir este raciocínio até a etapa 1n , quando a matriz assumirá o
seguinte aspecto:
15
11
1
2
1
2
1
1
1
1
1
12
1
11
1
00
00
n
n
n
nn
nn
n
nn
n
nn
n
ba
ba
baaa
A
O sistema 11 nn BxA éequivalente ao sistema inicial e também é triangular
superior.
1.5.1.1.2 ALGORITMO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Segundo Santos (2009, p.76)o método de eliminação de Gauss pode ser
efetuado seguindo o seguinte algoritmo:
Para k=1,2,..., (n-1) faça
Para i=(k+1),(k+2),...,n faça
m=aik/akk (supondo akk≠0)
aik=0
Para j=(k+1),(k+2),...,n faça
aij=aij-m*akj
fim
bi=bi-m*bk
fim
fim
xn=bn/ann
Para k=1,2,...,(n-1) faça
xk=bk
fim
Para k=(n-1),(n-2),...,1 faça
Para i=(k+1),(k+2),...,n faça
xk=xk-aki*xi
fim
xk=xk/akk
fim.
Os exemplos a seguir mostram como utilizar o método de Gauss:
Exemplo 1.6 – Utilize o método de Gauss na matriz abaixo, que representa a
matriz ampliada de um sistema qualquer:
0
3
0
33
0
32
0
31
0
2
0
23
0
22
0
21
0
1
0
13
0
12
0
11
baaa
baaa
baaa
, com 00
11a
Etapa 1: Zerar os elementos da primeira coluna abaixo de 0
11a .
16
1
3
1
33
1
32
1
2
1
23
1
22
1
1
1
13
1
12
1
11
1.
0
3
0
33
0
32
0
31
0
2
0
23
0
22
0
21
0
1
0
13
0
12
0
11
0
0
013133
12122
baa
baa
baaa
A
baaa
baaa
baaa
A LmLL
LmLL
Sendo0
11
0
2121
a
am ,
0
11
0
3131
a
am . E
0
22
0
1221
1
22 aama , 0
32
0
1231
1
32 aama , e assim por
diante.
Etapa 2: Zerar os elementos da segunda coluna abaixo de 1
22a , 01
22a .
2
3
2
33
2
2
2
23
2
22
2
1
2
13
2
12
2
11
2
1
3
1
33
1
32
1
2
1
23
1
22
1
1
1
13
1
12
1
11
1
00
0
0
0 23233
ba
baa
baaa
A
baa
baa
baaa
A LmLL
Sendo 1
22
1
3232
a
am . Esta última matriz representa um sistema triangular cuja
solução é obtida facilmente através das seguintes substituições:
2
33
2
333
2
22
3
2
23
2
22
11
3
2
132
2
12
2
11
a
bx
a
xabx
a
xaxabx
Exemplo 1.7 – Encontre a solução do sistema abaixo utilizando o método de
Gauss.
132
053
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
, cuja matriz ampliada é:
1321
0531
01110A
Etapa 1: Zerar os elementos da primeira coluna abaixo de 0
11a , 10
11a
1410
0620
0111
1321
0531
011110 13133
12122
AA LmLL
LmLL
Sendo 121m , 131m .
Etapa 2: Zerar os elementos da segunda coluna abaixo de 1
22a , 11
22a
17
1100
0620
0111
1410
0620
011121 23233 AA LmLL
Sendo 2
132m .
Esta última matriz representa um sistema triangular superior:
1
062
0
3
32
321
x
xx
xxx
Cuja solução é representada pelo vetor
1
3
4
x .
1.5.1.2 PIVOTAÇÃO
Com a finalidade de reduzir o erro na solução dos sistemas, os processos de
pivotação podem ser utilizados nas matrizes ampliadas dos sistemas lineares.
Pivotação: processo utilizado para trocar, quando necessário, as linhas e/ou
colunas de uma matriz de maneira que os elementos da diagonal principal
(chamados de pivô) sejam diferentes de zero.
A seguir descreveremos algumas estratégias de pivoteamento.
1.5.1.2.1 PIVOTEAMENTO PARCIAL
Segundo Ruggiero (1996) , o pivoteamento parcial consiste em:
I. No início da etapa k de eliminação de variáveis, usar o elemento de
maior módulo entre os coeficientes nkkiparaa k
ik ,,1,,1 , como
pivô.
II. Trocar quando necessário as linhas da matriz.
Exemplo 1.8 –Utilize o pivoteamento parcial na seguinte matriz:
18
170260
35480
63010
91121
1A
Solução:
Esta matriz possui 4 linhas 4n e está no início da etapa 2 2k . Então
primeiramente escolhemos o elemento de maior módulo entre os coeficientes 1
42
1
32
1
22 ,, aaa , e o utilizamos como pivô. Isso é efetuado trocando-se as linhas 2 e
3, observe:
170260
63010
35480
91121
1A
Dessa forma os multiplicadores dessa etapa são:
8
132m e
8
642m .
É possível observar que esse procedimento gera multiplicadores, que possuem
valores em módulo, entre zero e um, e isso evita a ampliação de erros de
arredondamento.
1.5.1.2.2 PIVOTEAMENTO TOTAL
Ruggiero (1996) afirma que o pivoteamento total consiste em:
I. No início da etapa k de eliminação de variáveis, usar o elemento de
maior módulo entre os coeficientes que atuam no processo:
111
,
k
rs
k
rs
k
ijkji
apivôaamáx
Esta estratégia requer um maior esforço computacional, pois envolve uma
enorme comparação entre os elementos kjia k
ij ,,1 , com a troca de colunas
e linhas. É importante ressaltar que a última coluna de uma matriz ampliada
representa os termos independentes de um sistema linear, portanto essa
coluna não é utilizada na troca de colunas.
Exemplo 1.9 –Utilize o pivoteamento total na seguinte matriz:
19
150420
77530
63010
51123
1A
Solução:
No início da etapa 2 2k , devemos escolher como pivô o elemento de
maior módulo entre todos os elementos das linhas e colunas 2, 3 e 4. Logo, o
pivô da etapa 2 seria 71
34a , e a matriz seria reescrita trocando-se as linhas 2
e 3, e em seguida as colunas 2 e 4. A matriz assumiria a forma:
152400
61030
73570
51123
1A
1.5.2 MÉTODOS ITERATIVOS
Os métodos iterativos são utilizados quando o sistema de equações a ser
resolvido é grande ou possui muitos elementos nulos.Ruggiero (1996) nos diz
que inicialmente temos uma matriz do tipo BAx , sendo:
A : a matriz dos coeficientes, nn ;
x : vetor das variáveis, 1n ;
B : vetor dos termos independentes, 1n .
Este sistema é escrito na forma gMxx , sendo gMxx uma função de
iteração dada na forma matricial.
O esquema iterativo gera uma sequência de aproximações partindo de uma
aproximação inicial0x (vetor aproximação inicial), então construímos:
gMxx 01 (primeira aproximação)
gMxx 12 (segunda aproximação), etc.
A aproximação 1kx pode ser calculada com a fórmula
,1,0,1 kparagMxx kk
20
Se a sequência de aproximações ,,, 10 kxxx é tal que, k
kxlim , então
é solução do sistema linear BAx .
1.5.2.1 CRITÉRIOS DE PARADA
Segundo Lopes (1996) o processo interativo é interrompido quando o vetorkx
é suficientemente próximo do vetor 1kx , observando a precisão
estabelecida, .
A distância entre kx e
1kx é medida por 1
1
k
i
k
ini
k xxmáxh . O vetor kx
será escolhido como x , solução aproximada do sistema, se kh .
O teste do erro relativo também pode ser utilizado com boa precisão no teste
de parada, nesse caso:
k
ini
kk
xmáx
hd
1
Aqui, o vetor kx será escolhido como x , solução do sistema, se
kd .
Outro critério de parada empregado é utilizar um número de iterações fixo.
Este número pode ser estabelecido através de experimentações sucessivas.
1.5.2.2 MÉTODO DE JACOBI
Considere o sistema linear BAx inicial, sendo „A‟ a matriz:
niparaacom
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ii
nnnnnn
nn
nn
,,2,10,
...
...
...
2211
22222121
11212111
Isolamos o vetor x mediante a separação pela diagonal:
nnnnnnnnnn
nn
nn
axaxaxabx
axaxaxabx
axaxaxabx
1,1,2211
22131312122
11131321211
Desta forma obtemos a matriz na forma gMxx , sendo:
21
0
0
0
2111
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
21
nnnn
n
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
M
e
nnn ab
ab
ab
g
/
/
/
222
111
Então, partindo de 0x , e usando a fórmula ,1,0,1 kparagMxx kk
,
obtemos ,,1 kxx :
nn
k
nnnn
k
n
k
nn
k
n
k
nn
kkk
k
nn
kkk
axaxaxabx
axaxaxabx
axaxaxabx
1,1,2211
1
2223231212
1
2
1113132121
1
1
(RUGGIERO, LOPES, 1996).
1.5.2.2.1 ALGORITMO DE JACOBI
De acordo com Santos (2009, p.88) o método de Jacobi pode ser efetuado
seguindo o seguinte algoritmo:
1. Se a estimativa inicial for desconhecida, escolher uma
estimativa inicial 0x (geralmente nixi ,,2,1,00 ).
2. Para k=0,1,2,...faça
Para i=1,2,...,n faça
ii
n
ijj
k
jiji
k
ia
xab
x
1
1
Fim.
Se
Nkoux
xxmáx
k
i
k
i
k
i
ni
1
1
Pare
( é a precisão dada e N um número natural que informa a
quantidade de iterações a ser realizada).
Fim
22
Exemplo 1.10 – Resolva o seguinte sistema linear pelo método de Jacobi:
1924
54122
2238
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Solução:
Neste exemplo, observamos que nem a estimativa inicial foi fornecida nem a
precisão requerida, logo devemos estabelecer estes valores. O sistema no qual
o método iterativo deve ser aplicado, é escrito na forma:
9241
12425
8232
213
312
321
xxx
xxx
xxx
Se escolhermos como vetor aproximação inicial
0
0
00x com erro 00001,0
, montamos a seguinte tabela usando o método de Jacobi:
Iteração (k) kx1 kx2
kx3
0 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,2500 0,4167 0,1111
2 0,0660 0,3380 -0,0926
3 0,1464 0,4365 0,0067
4 0,0846 0,3900 -0,0510
5 0,1165 0,4196 -0,0132
6 0,0960 0,4016 -0,0339
11 0,1040 0,4084 -0,0249
15 0,1035 0,4080 -0,0254
21 0,1034 0,4079 -0,0255
23 0,1034 0,4079 -0,0255
Observa-se nesta tabela que a partir da iteração 23, o sistema converge para
uma solução. Podemos dizer então que a solução do sistema é representada
pelo vetor
0255,0
4079,0
1034,023x .
23
CAPÍTULO 2: BALANÇO DE MASSA
2.1. CLASSIFICAÇÃO DOS PROCESSOS
De acordo com Rosseau (2005), antes de fazer o balanço de massa em um
sistema é necessário saber em qual categoria ele se encontra. Os processos
químicos podem ser classificados em:
Batelada: inicialmente o tanque é alimentado, e somente ao final do
processo seu conteúdo é removido, ou seja, não existe massa sendo
transferida através das fronteiras do sistema no intervalo de tempo entre
o carregamento do tanque e a retirada do produto.
Contínuo: durante o processo há um fluxo contínuo de massa entrando
e deixando o sistema.
Semi-batelada: qualquer processo que não se enquadre em batelada
ou contínuo.
Podemos ainda classificar o processo analisando as condições de operação,
o processo poderá estar em estado estacionário ou estado transiente. Se
todos os valores das variáveis do processo não variam com o tempo o
processo é dito estar operando em estado estacionário, do contrário é dito
que o processo está operando em estado transiente ou não-estacionário.
Por natureza, operações em batelada ou semi-batelada são transientes,
enquanto as operações dos processos contínuos podem ser transientes ou
estacionárias.
Os processos em batelada são normalmente utilizados quando não existe
grande demanda de produtos, já os processos contínuos são utilizados
quando se necessita ter elevada taxa de produção.
2.2 BALANÇOS
2.2.1 EQUAÇÃO GERAL DO BALANÇO
Para realizar um balanço em qualquer sistema é necessário inicialmente
delimitar as suas fronteiras. O volume englobado por essas fronteiras é
24
chamado de volume do sistema. Vamos realizar um balanço de massa na
unidade de processo da fig.2.1para um instante de tempo qualquer t .
Fig.2.1 – Unidade de processamento qualquer.
Observe que existe um único componente nas correntes de entrada e saída, o
componente j . Temos então a seguinte expressão para um balanço:
ACGSE (2.1)
Sendo:
sistemadofronteirasdasatravésjespéciedaentradaE
sistemadofronteirasdasatravésjespéciedasaídaS
sistemadodentrojespéciedaproduçãoG
sistemadodentrojespéciedaconsumoC
sistemadodentrojespéciedaacúmuloA
Segundo Rousseau (2005), o balanço pode ser escrito de duas maneiras:
Balanço diferencial – este balanço indica o que está ocorrendo no sistema
num instante de tempo, os termos da equação do balanço são taxas. Este
balanço é normalmente usado em sistemas contínuos.
Balanço integral – este balanço indica o que está ocorrendo no sistema entre
dois instantes de tempo, o momento após a alimentação e o momento após a
retirada do produto, os termos da equação do balanço são quantidades. Este
balanço é usado geralmente para processos em batelada.
A equação do balanço de massa pode ser simplificada nos seguintes casos:
Se a quantidade do balanço é totalmente mássica – nesse caso o termo de
geração e consumo são nulos, 0G e 0C .
Se as substâncias do balanço são espécies não-reativas (nem o reagente e
nem o produto) – nesse caso o termo de geração e consumo também são
nulos, 0G e 0C .
Se o sistema está em estado estacionário – o termo de acúmulo é nulo, 0A
independente do que está sendo considerado no balanço, pois por definição,
num sistema em estado estacionário nada pode mudar com a variação de
tempo.
25
2.2.2 BALANÇO DE PROCESSOS CONTÍNUOS EM ESTADO ESTACIONÁRIO
Nos processos contínuos em estado estacionário, o termo de acúmulo na
equação geral do balanço é nulo, 0A , logo a equação assume a forma:
0CGSE (2.2)
Se a o balanço for feito sobre alguma espécie não reativa, o balanço é
simplificado novamente, pois 0G e 0C , logo:
0SE
Exemplo 2.1– Considere um processo em estado estacionário, no qual um
tanque é alimentado continuamente com uma mistura de benzeno (B) e
tolueno (T) numa vazão de 500 kg/h, sendo 50% de benzeno em massa. Essa
mistura é separada em duas frações por destilação, de modo que a vazão de
benzeno na saída superior do tanque seja 200 kg/h, enquanto a saída de
tolueno na parte inferior seja de 225 kg/h. Calcule a vazão desconhecida dos
componentes nas saídas do tanque utilizando o balanço de massa sobre as
espécies.
Solução:
Como o processo está em estado estacionário e não há ocorrência de
reações no tanque, os termo de acúmulo, geração e consumo devem ser
nulos, 0A , 0G e 0C . A equação geral do balanço de massa é
então escrita na forma:
SE
Como são duas espécies entrando no tanque, dois balanços devem ser
efetuados.
26
Para o benzeno:
SE
2/200/250 mhBkghBkg
hBkgm /502
Para o tolueno:
SE
1/225/250 mhTkghTkg
hTkgm /251
Podemos verificar nossos cálculos fazendo um balanço de massa global:
hkgmmhkghkg /225/200/500 21
Já calculamos 1m e 2m , substituindo seus valores na expressão anterior, temos
que:
hkghkg /500/500
2.2.3 BALANÇO INTEGRAL DE PROCESSOS EM BATELADA
Nos sistemas em batelada não há nem entrada nem saída de componentes
durante o processo, 0E e 0S . Existe somente a entrada de espécies no
instante 0t e saída ao final do processo, no instante ft . Então o acúmulo de
determinada espécie no sistema é por definição igual à quantidade de moles
que sai no momento final menos a quantidade de moles da espécieque entra
no momento inicial:
inicialentradafinalsaídaacúmulo (2.3)
Se utilizarmos a eq.(2.1) para analisar este caso, vamos descobrir que o termo
de acúmulo é também:
CGA (2.4)
Então igualando as expressões (2.3) e (2.4), temos que:
CGinicialentradafinalsaída (2.5)
A eq.(2.5) é semelhante a eq.(2.2) (equação de balanço para processos em
regime estacionário), exceto que na eq.(2.5) os termos “entrada inicial” e
“entrada final” se referem aos momentos específicos de entrada e saída,
respectivamente, enquanto que na eq.(2.2), os termos de entrada e saída se
referem à alimentação e a retirada contínua da substância no balanço.
27
Exemplo 2.2– Suponha que existam dois frascos contendo uma mistura de
água e metanol. A primeira mistura possui 30% em massa de metanol,
enquanto a segunda mistura contém 60% em massa de metanol. Se 400g da
primeira mistura são misturados com 300g da segunda mistura num terceiro
frasco, qual seria a massa e composição do produto?
Solução:
Como não existem reações envolvidas os termos de acúmulo e consumo são
omitidos, dessa forma, todos os balanços tem a forma SE .
Balanço de massa global:
mgg 400300
.700 solgm
Balanço de massa do metanol:
A mistura 1 contém 30% em massa de metanol que equivale a 120g, e a
mistura 2 contém 60% em massa de metanol que equivale a 180g. Logo a
quantidade de metanol na mistura final será igual a 120g + 180g = 300g. Ou
em termos de fração mássica:
./429,0.700
3003
3
3solgOHCHg
solg
OHCHgx OHCH
Balanço de massa da água:
Como a fração mássica do metanol é conhecida temos que:
./571,01 232solgOHgxx OHCHOH
Da equação do balanço:
SE
700571,03004,04007,0
OHgOHg 22 400400
28
2.2.4 BALANÇO INTEGRAL DE PROCESSOS SEMI-BATELADA E PROCESSOS
CONTÍNUOS
Rousseau (2005) afirma que o balanço de massa para processos contínuos ou
em semi-batelada também podem ser escritos na forma integral. O
procedimento usado é utilizar o balanço diferencial e integrá-lo entre dois
instantes de tempo. Na maioria dos casos são necessários cálculos mais
complexos que os casos anteriores, mas também podemos encontrar
problemas de resolução simples, como o seguinte exemplo.
Exemplo 2.3– Ar é borbulhado em uma coluna contendotoluenolíquido numa
vazão molar de 0,800 kmol/min. A corrente gasosa deixando a coluna contém
30% em mol de vapor de tolueno.Considerando que o ar é insolúvel em
tolueno líquido. Use a forma integral do balanço de massa para estimar o
tempo necessário para que 30m3 de tolueno seja vaporizado.
Solução:
Começando com um balanço diferencial sobre o ar e sabendo que ele foi
considerado insolúvel em tolueno, podemos anular o termo de acúmulo.
Como o ar não reage com o tolueno na unidade de processo, tanto o termo
de geração quanto o de consumo são nulos, então a expressão do balanço
geral fica:
SE
Como o enunciado afirma, a corrente gasosa na saída contém 30% em mol
de vapor de tolueno, então essa corrente possui 70% em mol de ar, logo:
min7,0
min800,0
kmoln
kmol
arkmolarkmol
min143,1
arkmoln
Em seguida escrevemos o balanço integral para otolueno, iniciando no tempo
t=0 até o tempo t=tf (valor procurado). O balanço fica:
SA
O termo de acúmulo, que é variação total no número de moles no tempo tf, é
negativo, pois o tolueno deixa o sistema. Como o volume total ocupado pelo
tolueno é de 30m3 e a massa específica do tolueno líquido é 0,87 kg/L, o termo
de acúmulo é igual a:
873
33 69,28392
11087,030 HCkmolkg
kmol
m
L
L
kgmn
29
O termo de saída do balanço é igual àvazão molar na qual o tolueno deixa o
sistema vezes o tempo de processamento final, tf. Por isso o balanço SA ,
resulta em:
ftnHCkmol 300,069,283 87,
Vimos que min
143,1arkmol
n , então:
min827ft
2.2.5 CÁLCULOS DE BALANÇO DE MASSA
2.2.5.1 FLUXOGRAMAS
Quando você recebe informações de um processo e é necessário determinar
alguma coisa sobre esse processo, é bastante útil organizar as informações de
modo conveniente, antes de efetuar os cálculos necessários. A melhor
maneira de fazer isso é desenhar um fluxograma do processo, usando caixas e
outros símbolos que representam as unidades do processo, e linhas com setas
que representam as entradas e saídas.
Quando usado corretamente, o fluxograma pode ajudar a realizar os cálculos
do balanço de massa. Inicialmente você deve preencher seu desenho com
todas as informações disponíveis, usando valores para as variáveis conhecidas
e símbolos para as variáveis desconhecidas, para as linhas de entrada e saída.
Exemplo 2.4– Deseja-se obter uma corrente final para realização de um
experimento com elevado percentual de oxigênio. Três correntes de entrada
são alimentadas numa câmara de evaporação para produzir uma corrente
de saída com a composição desejada. Considere que as condições de
entrada são:
Corrente S1: ar (21 mol% de O2 e 79 mol% de N2),
Corrente S2: água (fase líquida), com vazão volumétrica min/504 3cm ,
Corrente S3: oxigênio puro, com vazão molar igual a 1/5 da vazão molar da
corrente S1.
O gás na corrente de saída contém 3 mol% de água. Desenhe o fluxograma,
escreva as variáveis conhecidas do processo, e ao final calcule todas as
variáveis desconhecidas.
Solução:
30
1. Escreva os valores e a unidades de todas as variáveis conhecidas, sobre as
linhas que representam as correntes de entrada ou saída.
2. Atribua símbolos para as variáveis desconhecidas utilizando as unidades
corretamente.
Como a única vazão volumétrica dada no enunciado min/20 2
3
lOHcm é
medida por minuto, vamos adotar esta unidade como base para as vazões
das outras correntes.
Como a variável adotada para representar o fluxo molar de ar é 1n , então a
vazão molar de oxigênio puro corresponde a 12,0 n .
O somatório das frações molares dos componentes em qualquer corrente
deve ser igual à unidade. Como representamos a fração molar de oxigênio
por y , a fração molar do nitrogênio será molNmolyy /97,03,01 2
Podemos calcular o fluxo molar de água 2n , com a relação:
min28
18
min5041
2
2
2
3
3
2
2
OHmol
mol
OHg
OHcm
cm
OHg
MM
mn
As variáveis restantes podem ser determinadas usando balanços de massa,
que assumem a forma SE , uma vez que o processo ocorre em estado
estacionário e sem reação. Olhando o fluxograma podemos facilmente
realizar os balanços:
Para água:
mol
OHmolmoln
OHmoln 2
32
2 03,0minmin
min33,9333
moln
Balanço molar global:
31
32112,0 nnnn
min44,754
2,1
2833,933
2,1
231
armolnnn
Para o nitrogênio:
mol
Nmoly
moln
mol
Nmolarmoln 2
32
1 97,0min
79,0min
mol
Omol
n
ny 2
3
1 331,079,097,0
Exemplo 2.5– Uma mistura de dois componentes A e B, com 70 mol% de A e 30
mol% de B, é separada em duas frações. O fluxograma deste processo é
ilustrado abaixo:
Dimensione o fluxograma de forma a obter a mesma separação, usando uma
alimentação contínua de 4500 lbmol/h.
Solução:
O fator de escala é:
mol
hlbmol
mol
hlbmol /406,1
3200
/4500
Multiplicando-se o número de moles das correntes do processo pelo fator de
escala podemos obter as vazões molares:
Alimentação: hlbmol/4500
Corrente superior: hlbmol /1406406,11000
32
Corrente inferior: h
Albmol64,2024406,11440
h
Blbmol56,1068406,1760
A unidade das frações molares pode ser alterada de molmol / para
lbmollbmol / , mas seus valores permanecem os mesmos. O fluxograma fica:
2.2.5.2 BALANCEANDO UM PROCESSO
Considere fluxograma ilustrado na fig.2.2, no qual min3kg de benzeno são
misturados com min/1kg de tolueno.
Fig. 2.2 – Fluxograma com duas correntes de entrada e uma de saída.
Existem duas incógnitas associadas a este processo, m e x . Todas as
equações do balanço de massa deste processoassumem a mesma forma
SE , pois é um processo sem reação e em estado estacionário. Existem três
equações de balanço que podem ser escritas (balanço global, balanço sobre
o benzeno ou um balanço sobre o tolueno), a escolha de duas dessas
equações fornece o valor das incógnitas procurado. Por exemplo:
Balanço global:
min18
min10
min8
kgmm
kgkg
33
Para o benzeno:
kg
HCkgx
kg
HCkgx
kgm
HCkg 636363 44,0minmin
8
A dúvida nesse momento é até onde é possível continuar com esse
procedimento. Por exemplo, se a vazão de uma das correntes de entrada
fosse desconhecida, um balanço sobre o tolueno resolveria o problema? E se
este fosse um processo envolvendo reações químicas, quais balanços utilizar
quando existe a possibilidade de escolha, e em que sequência eles devem ser
escritos?
As duas regrasa seguir, como Rousseau (2005) descreve, podem ser aplicadas
para processos sem reação:
1. O número máximo de equações independentes que podem ser derivadas
ao escrever os balanços de massa para sistemas sem reação é igual ao
número de espécies químicas nas correntes de entrada e saída.
No exemplo dado, o benzeno e o tolueno constituem as correntes de entrada
e saída do processo, vimos que podemos escrever três equações de balanço,
mas apenas duas dessas equações são necessárias para concluir o problema.
2. Escrever primeiramente balanços que envolvem o menor número de
incógnitas.
No exemplo dado, o balanço de massa total foi escrito primeiramente porque
a equação envolvia apenas uma incógnita, m , enquanto a equação do
balanço para o benzeno ou tolueno envolveria duas, m e x ;se tivéssemos
escolhido iniciar por uma dessas expressões chegaríamos ao mesmo resultado
com um esforço maior.
Exemplo 2.6– Uma solução aquosa com fração de mássica de 40% de HCl
entra numa unidade de processamento, e deseja-se reduzir esse percentual
para10%. Para isso uma corrente de água pura é utilizada na diluição. Calcule
as razões (litros de água pura/kg solução deHCl) e (kg de solução
resultante/kg solução de HCl).
Solução:
1. Escolha uma base de cálculo (uma taxa ou quantidade de uma das
correntes de alimentação ou de produtos) e desenhe o fluxograma com as
informações disponíveis.
Vamos escolher arbitrariamente uma base de 300 kgda corrente de
alimentação com 40% de HCl (essa escolha não altera os resultados finais, pois
estamos apenas procurando razões de valores das correntes). Desenhamos
então o fluxograma:
34
2. Expresse o que o problema pede para você determinar em termos das
variáveis do fluxograma.
As quantidades desejadas são:
100
1V (litros de água/kg de solução inicial) e
100
2m (kg de solução final/kg solução inicial)
Então temos que determinar 1V e 2m .
3. Conte as variáveis desconhecidas e relacione-as com as equações.
Se o número de equações independentes for igual ao número de variáveis,
você será capaz de resolver o problema, mas se isso não ocorrer não
desperdice seu tempo com esse tipo de problema.
Analisando o fluxograma percebemos que existem três variáveis
desconhecidas ( 1V , 1m e 2m ).
Para um processo sem reações envolvendo n componentes, é possível
escrever mais de n equações de balanço. Como no processo do exemplo
existem duas espécies, escrevemos duas equações de balanço. A terceira
variável pode ser determinada analisando a relação entre a massa e o
volume da água utilizada para diluição através da densidade. Dessa forma o
problema pode ser solucionado.
Todos os balanços do sistema assumem a forma SE . Analisando o
fluxograma podemos ver que as equações do balanço da água e do balanço
de massa global envolvem duas variáveis indeterminadas ( 1m e 2m ),
enquanto o balanço sobre o ácido clorídrico envolve apenas uma 2m .
Portanto, é mais simples iniciar a solução do problema através do balanço do
HCl:
Para o HCl:
SE
35
kgmmkg
HClkgkg
kg
HClkg4001,01004,0 22
Substitua esse valor calculado diretamente no fluxograma para facilitar os
próximos cálculos.
Balanço de massa global:
OHkgmmmkg 2121 100300
Podemos calcular o volume de água na corrente de entrada inferior com a
relação:
litroslitrokg
kgmV
V
m100
/1
10011
1
1
Finalmente podemos calcular as razões requisitadas no problema:
HClsoldekgáguadelitrosV
./1100
100
100
1
HClsoldekgresultsoldekgm
./..4100
400
100
2
2.2.6 BALANÇO DE MASSA EM PROCESSOS COM VÁRIAS UNIDADES
Os processos em indústrias químicas raramente envolvem apenas uma
unidade de processamento, geralmente existem um ou mais reatores
químicos, misturadores, sistemas de aquecimento e resfriamento, etc. Antes de
analisar estes processos, vamos definir um sistema. Um sistema é qualquer
parte do processo englobado por fronteiras imaginárias, logo, o processo
inteiro pode estar contido no sistema, várias unidades, ou até mesmo uma
única unidade de processamento. As correntes de entrada e saída do sistema
são aquelas que interceptam suas fronteiras.
Inicialmente definem-se as fronteiras do sistema, e em seguida o balanço é
feito sobre as unidades contidas no sistema.
Exemplo 2.7– O fluxograma da figura abaixo ilustra um processo contínuo em
estado estacionário com duas unidades de processamento. Existem três
correntes(a, b, c) cujas vazões cba mmm ,, e/ou composições são
desconhecidas.
36
Calcule as vazões e composições desconhecidas.
Solução:
Os sistemas que podemos escolher para análise estão representados por linhas
pontilhadas na figura abaixo.
Balanço de massa global:
O balanço de massaglobal é feito escolhendo-se como sistema aquele com
as linhas pontilhadas mais externas, que engloba todo o processo (duas
correntes de entrada e três correntes de saída). Para este sistema a equação
geral do balanço pode ser escrita na forma SE , então:
hkgmm cc 50250300100500
Balanço de massa global sobre A:
kgAkgxx cc /6,0)50(2502,03009,010075,050055,0
37
Balanço de massa sobre a unidade 1:
hkgmm aa 200300500
Balanço de massa sobre A na unidade 1:
kgAkgxx aa /025,0)200(3009,050055,0
Balanço de massa sobre o ponto de mistura:
hkgmmm bba 300100
Balanço de massa de A sobre o ponto de mistura:
kgAkgxmxmx bbbaa /267,010075,0
O problema pode se tornar mais complicado quando existem mais de duas
unidades de processamento, pois além do balanço global e dos balanços
sobre as unidades devemos considerar os balanços das combinações das
unidades.
2.2.7 RECICLO
É incomum que uma reação, por exemplo, BA , seja totalmente convertida
num reator (ou seja, que todo o reagente seja consumido). Existe sempre uma
quantidade de A, mesmo que pequena, presente na corrente dos produtos.
Essa quantidade de A não consumida é vista como desperdício de recursos,
pois você tem que pagar pela utilização do reagente. Uma saída viável para
este problema é tentar reciclar esta quantidade de reagente não consumida,
realimentando-a no reator. Dessa forma você iria economizar e ao mesmo
tempo produzir B puro. O exemplo a seguir mostra como resolver problemas de
balanço de massa em sistemas com reciclo.
Exemplo 2.8– Uma corrente de ar seco contendo 8 mol% de água deve ser
resfriada e desumidificada, de modo a conter apenas 0,70 mol% de água. A
corrente de ar é combinada com uma corrente de reciclo proveniente de um
resfriamento e desumidificação anteriores. A corrente misturada contém 5,6
mol% de água. No ar condicionado, parte da água é condensada e
removida na forma líquida. Uma fração do ar desumidificado que deixa o
condensador é reciclada e o restante é liberada no ambiente. Tomando 1 mol
de ar desumidificado como base de cálculo, calcule o número de moles da
corrente inicial, da água condensada, e do ar reciclado.
Solução:
38
O fluxograma desse processo é mostrado na figura abaixo. As linhas
pontilhadas destacam os subsistemas nos quais os balanços de massa podem
ser aplicados.
A forma do balanço de massa tem a forma SE . O sistema global e o
subsistema demarcado ao redor do ponto de mistura são apropriados para
análise do problema, pois envolvem as variáveis que queremos determinar.
Balanço global do ar seco:
molesnn 079,11993,092,0 11
Balanço molarglobal:
condensadaáguademolesnnn 079,01 331
Balanço de massa no ponto de mistura:
512 nnn
Balanço de massa da água no ponto de mistura:
251 056,0007,008,0 nnn
Utilizando o valor conhecido de 1n nas duas últimas equações, montamos o
seguinte sistema:
086,0007,0056,0
079,1
52
52
nn
nn
39
O valor das variáveis pode ser facilmente encontrado se utilizarmos o
método de Gauss (visto anteriormente no cap.01):
0256,0049,00
079,111
086,0007,0056,0
079,11110 12122 AA LmLL
Sendo 056,021m . Podemos agora escrever o seguinte sistema equivalente:
0256,0049,0
079,1
5
52
n
nn
Cuja solução é imediata e pode ser representada pelo vetor 5224,0
6014,1n .
Ou seja, 6014,12n e 5224,05n .
40
CAPÍTULO 3:BALANÇO DE ENERGIA
3.1 FORMAS DA ENERGIA
A energia total de um sistema de acordo com Rousseau (2005) é composta
basicamente por 3 componentes:
1. Energia cinética
Energia devido ao movimento de translação do sistema como um todo em
relação a um corpo de referência ou em relação à rotação do sistema sobre
um eixo.
2. Energia potencial
Energia do sistema associada à posição do sistema num campo potencial,
como o campo gravitacional, por exemplo.
3. Energia interna
Toda energia intrínseca do sistema excluindo-se as energias cinética e
potencial, como a energia devido à movimentação, rotação e vibração das
moléculas e as interações entre elas.
3.2 BALANÇO DE ENERGIA EM SISTEMAS FECHADOS
Os sistemas podem ser classificados como abertos ou fechados ao avaliar se
existe ou não massa cruzando as fronteiras do sistema durante uma análise.
Um processo em batelada é por definição um sistema fechado, enquanto os
processos em semibatelada e contínuos são sistemas abertos.
Podemos utilizar a equação geral do balanço eq.(2.1), para escrever a
equação integral do balanço de energia entre dois instantes de tempo. Como
a energia de um sistema não pode ser nem criada nem destruída, os termos
de geração e consumo são desconsiderados, temos então:
SEA
Num sistema fechado a energia pode ser transferida através das fronteiras do
sistema na forma de calor ou trabalho, diferentemente do balanço de massa
num sistema fechado, no qual a massa não atravessa as fronteiras do sistema
41
e os termos de entrada e saída eram desconsiderados. Podemos também
escrever a expressão anterior na seguinte forma:
SEsistemaopara
atransferidtotalenergia
sistemado
inicialenergia
sistemado
finalenergia (3.1)
PiCii EEUsistemado
inicialenergia
PfCff EEUsistemado
finalenergia
WQSEsistemaopara
atransferidtotalenergia
Onde os subscritos i e f indicam os estados inicial e final do sistema, e
WeQEEU PC ,,, representam a energia interna, a energia cinética, a energia
potencial, o calor recebido pelo sistema do meio, e o trabalho realizado pelo
sistema sobre o meio, respectivamente. Então reescrevemos a eq.(3.1) na
forma:
WQEEEEUU PiPfCiCfif
ou
WQEEU PC (3.2)
A eq.(3.2) é a forma básica da primeira lei da termodinâmica para sistemas
fechados. Como Rousseau (2005) afirma, as seguintes observações podem ser
feitas antes de utilizar esta equação:
A energia interna do sistema depende quase exclusivamente da composição
química, do estado de agregação e da temperatura dos materiais. É
dependente também da pressão para gases ideais (sólidos e líquidos sofrem
pouca influência da pressão). Se não ocorrem variações de temperatura,
mudanças de fase, ou reações químicas num sistema fechado e a variação
de pressão for desprezível, então 0U .
Se o sistema não está acelerando, então 0CE . Se o sistema não tem quedas
ou subidas, então 0PE .
Se o sistema é isolado ou se o sistema e suas redondezas estão à mesma
temperatura, então o processo é adiabático, então 0Q .
O trabalho é realizado pelo ou sobre o sistema pela movimentação das
fronteiras do sistema contra uma força de resistência, ou pela passagem de
uma corrente elétrica ou radiação através das fronteiras. Se não houverem
partes em movimento, correntes elétricas ou radiação, então 0W .
42
3.3 BALANÇO DE ENERGIA DE SISTEMAS ABERTOS EM ESTADO
ESTACIONÁRIO
O sistema é dito aberto quando existe massa atravessando suas fronteiras
enquanto o processo está ocorrendo. Trabalho deve ser realizado sobre o
sistema para que haja a entrada de massa, e trabalho deve ser feito pela
massa na saída sobre o meio. Estes termos devem ser considerados na
equação do balanço de energia.
O trabalho resultante realizado pelo sistema sobre o meio pode ser escrito
como:
flS WWW (3.3)
Sendo o SW trabalho de eixo, que é a taxa de trabalho feito pelo fluido do
processo sobre um eixo de movimentação dentro do sistema; e flW a taxa de
trabalho do fluido na saída do sistema menos a taxa de trabalho na entrada
do sistema.
Por exemplo, para calcular a taxa de trabalho da seguinte unidade de
processo com uma única entrada e uma única saída.
Fig.3.1 – Unidade de processamento qualquer.
O fluido que entra no sistema tem trabalho, feito sobre ele pela quantidade de
fluido anterior, dado pela relação:
ententent VPW (3.4)
E o fluido que deixa o sistema executa trabalho com a taxa:
saisaisai VPW (3.5)
Logo a taxa resultante será:
ententsaisaifl VPVPW (3.6)
Se houvessem várias correntes de entrada e saída no sistema, teríamos
simplesmente que somar o trabalho efetuado pelas correntes de saída
43
saiisaii VP ,, e subtrair pelo somatório do trabalho das correntes de entrada
entienti VP ,,.
A primeira lei da termodinâmica para um sistema aberto em estado
estacionário pode ser escrita na forma, SE . O termo de entrada representa
a taxa total de transporte de energia cinética, potencial e energia interna de
todas as correntes de entrada mais a taxa na qual a energia é transferida
como calor. O termo de saída representa a taxa de energia total transportada
pelas correntes de saída mais a energia que sai como trabalho.
Se jE representa a taxa total de energia transportada pela j-ésima corrente
de entrada ou saída, e as taxas de calor e trabalho na entrada e saída do
processo são Q e W , podemos escrever:
SE
WQEEEWEQ
entradadecorrentes
j
saídadecorrentes
j
saídadecorrentes
j
entradadecorrentes
j (3.7)
Se PjCj EEm ,, e jU são taxas de massa, energia cinética, energia potencial e
energia interna para a j-ésima corrente de processo, então a taxa de energia
na qual a energia entra ou sai do sistema através desta corrente é:
PjCjjj EEUE
jj
j
jjjj gzmu
mUmE 2
ˆ2
j
j
jjj gzu
UmE2
ˆ2
(3.8)
Onde ju é a velocidade da j-ésima corrente e
jz é a altura da corrente
referente a um plano no qual 0PE . (O acento circunflexo sobre as variáveis
indica que ela é específica).
O trabalho total realizado pelo sistema sobre o meio é igual ao trabalho de
eixo mais o trabalho do fluido em movimento, se jV é o fluxo volumétrico da j-
ésima corrente e jP é a pressão dessa corrente enquanto cruza as fronteiras
do sistema, então:
entradadecorrentes
jj
saídadecorrentes
jjfl VPVPW , sendo jjj VmV ˆ , então:
entradadecorrentes
jjj
saídadecorrentes
jjjSfl VPmVPmWW ˆˆ (3.9)
Substituindo as eqs.(3.8) e (3.9) na eq.(3.7), e colocando os termos VP ˆ no lado
esquerdo da igualdade, resulta em:
44
s
entradadecorrentes
j
j
jjjj
saídadecorrentes
j
j
jjjj WQgzu
VPUmgzu
VPUm 2
ˆˆ2
ˆˆ22
(3.10)
A eq.(3.10) pode ser utilizada pode ser utilizada para resolver qualquer
problema de balanço de energia de sistemas abertos em estado estacionário.
Entretanto, podemos simplificar esta expressão, pois o termo jjj VPU ˆˆ pode ser
escrito como jH (entalpia específica), logo reescrevemos a eq.(3.10) na
forma:
s
entradadecorrentes
j
j
jj
saídadecorrentes
j
j
jj WQgzu
Hmgzu
Hm 2
ˆ2
ˆ22
(3.11)
Mas
entradadecorrentes
jj
saídadecorrentes
jj HmHmH ˆˆ
entradadecorrentes
j
j
saídadecorrentes
j
jC
um
umE
22
22
entradadecorrentes
jj
saídadecorrentes
jjP gzmgzmE
Então a eq.(3.11) se torna:
SPC WQEEH (3.12)
45
CAPÍTULO 4:SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
DE BALANÇO COM AUXÍLIO DA
COMPUTAÇÃO
A resolução das equações de balanço de massa e energia em muitos casos
pode consumir muito tempo. Uma alternativa para solucionar estes problemas
é desenvolver um algoritmo para resolução dos cálculos e utilizar um
programa computacional para implementá-lo.
De modo geral existem dois métodos de resolução que podem ser aplicados
sobre as equações de balanço dos processos: simulação sequencial modular
e a simulação baseada em equações.
4.4.1 SIMULAÇÃO SEQUENCIAL MODULAR
O primeiro passo na montagem do processo na abordagem sequencial
modular é reconstruir o fluxograma do processo em termos de blocos ou
módulos (unidades de processo ou operações) com as correntes
interconectando-os. A seguinte nomenclatura é pode ser utilizada para
identificar estes blocos:
MIST - mistura de várias correntes de entrada adiabaticamente na
formação de uma corrente de produto;
SEP – separação de uma corrente única de entrada em duas ou mais
correntes de produtos;
COMP – aumento da pressão de um gás de um determinado valor;
BOMBA – aumento da pressão de um líquido de um determinado valor;
FLASH–converte uma corrente líquida numa pressão para uma corrente de
vapor numa pressão mais baixa;
DESTILA
EXTRAI
CRISTALIZA
ABSORVE
REATOR – simula o reator químico.
Para simular um processo você pode utilizar um programa de computador,
você irá construir um fluxograma, e depois atribuir os valores conhecidos para
simula os processos de separação da destilação,
extração, cristalização e absorção;
46
os blocos e correntes do sistema. Posteriormente a simulação é iniciada, e uma
série de blocos chamados de sub-rotinas lhe guiará até a solução das
equações de balanço de massa ou energia.
Por exemplo, suponha que duas correntes de entrada S1 e S2 são misturadas
adiabaticamente formando uma corrente de saída S3, neste caso o bloco MIX
pode ser utilizado para simular esta operação, observe a fig.4.1.
Fig.4.1 – Bloco (ou módulo) usado na mistura de correntes.
As correntes S1, S2 e S3 podem ser vetores contendo informações sobre
composição, temperatura, fluxo, etc. em cada corrente, nesse caso o
programa deve calcular o valor dos componentes da corrente de saída S3 a
partir dos balanços de massa e energia.
Exemplo 4.1–Duas correntes devem ser misturadas adiabaticamente. Cada
corrente pode conter qualquer um dos componentes A, B, C, D e E. Não há
mudança de fase, a capacidade calorífica do todos os componentes são
constantes e o calor da mistura é desprezível. É necessário calcular o fluxo
molar e a temperatura da corrente de saída a partir de valores específicos das
correntes de entrada, para isso você deve criar uma rotina para ser
executada por um programa.
a) Escreva equações para os fluxos da corrente do produto e temperatura.
b) Crie uma tabela para determinar os valores das variáveis da corrente do
produto para quaisquer valores de fluxo e temperatura das correntes de
47
alimentação. Utilize os seguintes valores para capacidade calorífica das
espécies:
Espécie A B C D E
CmolJC o
p / 87,2 125,9 160,4 174,8 187,3
Solução:
a) As equações do balanço de massa são bastante simples:
321 AAA nnn (1)
321 BBB nnn (2)
321 CCC nnn (3)
321 DDD nnn (4)
321 EEE nnn (5)
Vamos escolher um estado de referência para cada componente do sistema:
fase líquida ou gasosa, temperatura 1T e pressão 1 atm. Sabendo que a
entalpia específica de um componente, por exemplo, o componente A,
equivale a 133ˆ TTCH pAA , escrevemos o balanço de energia para este
sistema aberto e adiabático:
entradadecorrentes
jj
saídadecorrentes
jj HnHnH ˆˆ0
01222222
1333333
TTCnCnCnCnCn
TTCnCnCnCnCn
pEEpDDpCCpBBpAA
pEEpDDpCCpBBpAA
Todas as entalpia da corrente 1 são nulas, por isso não foram escritas na
expressão anterior. Resolvendo a equação para 3T temos:
12
33333
22222
13 TTCnCnCnCnCn
CnCnCnCnCnTT
pEEpDDpCCpBBpAA
pEEpDDpCCpBBpAA
(6)
b) Podemos construir uma tabela associada ao fluxograma para
determinação das variáveis desconhecidas em função das variáveis das duas
correntes de entrada. Para isso vamos utilizar o Excel®, que é bastante útil e
simples neste caso, pois se o valor de alguma variável for modificado, os
resultados são automaticamente atualizados.
48
Se os valores das correntes de entrada forem iguais aos mostrados na tabela
da figura acima, então: 8;9,27;44;56;5,43 33333 EDCBA nnnnn e
CT o9,363.
Estes valores referentes a corrente de saída, foram calculados da seguinte
forma:
1679
1568
AAL
AAL
18911
17810
AAL
AAL 191012 AAL
Que são equivalentes as equações (1), (2), (3), (4), (5), e
1120*3*123*113*103*93*8
3*193*183*173*163*15113 AA
GLFLELDLCL
GAFAEADACAAT
Que é equivalente a temperatura dada pela equação (6).
Exemplo 4.2– A figura abaixo ilustra um sistema com duas unidades de
processamento e uma corrente de reciclo. Calcule a quantidade
reciclada R como uma função de (fração de reciclada de A). Use
5,0 e 9,0 para comparação.
49
Solução:
Balanço de massa para a unidade 1:
BRBRA 100
Balanço de massa para unidade 2:
PRB
Sendo a fração de reciclo RB .
Assim, temos um problema com três equações e três incógnitas a ser
resolvido, por isso, como visto no cap.01, podemos encontrar a solução
deste sistema reduzindo-o à forma escada.
O sistema:
0
0
100
RB
PRB
RB
possui a seguinte matriz ampliada:
001
0111
100011
Entuando as operações a seguir o sistema é reduzido à forma escada:
50
1001001
100010
1
1100001
100100
11
100010
11
100100001
100100
11
100010
100011
100100
1000/110
100011
1000110
100100
100011
0011
100100
100011
001
0111
100011
121
2233
32
133
33
122
11/
LLL
LLLLLL
LLL
LL
LLL
E assim podemos obter os seguintes resultados:
1
1100B
1100R
100P
Substituindo os valores de dados no enunciado da questão:
Para 5,0 :
200B 100R 100P
Para 8,0 :
500B 400R 100P
A simulação modular para encontrar a solução envolveria resolver a
equação da unidade 1 para encontrarB assumindo um valor para R. A
unidade 2 seria então resolvida para R, esse valor de R seria comparado
com o valor de R assumido. Se o erro for grande, o valor de R calculado
usando a unidade 2 seria o novo valor assumido, então resolveríamos
novamente a unidade 1 para B, e resolveríamos a unidade 2 para R
outra vez. Esse procedimento é repetido até que o erro seja
suficientemente pequeno.
51
Se a estimativa inicial é que R=0, então o valor inicial de B será igual a
100, e as equações são escritas na seguinte forma:
kk RB 100
kk BR
Sendo k o índice usado na contagem das iterações.
Uma quantidade suficente de iterações resulta na convergência das
variáveis para o resultado desejado.
Para 5,0 :
k R RB 100 BR
1 0 100 50
2 50 150 75
3 75 175 87,5
4 87,5 187,5 93,75
100 200 100
Para 8,0 :
k R RB 100 BR
1 0 100 80
2 80 180 144
3 144 244 195,2
4 195,2 295,2 236,16
400 500 100
4.4.2 SIMULAÇÃO BASEADA EM EQUAÇÕES
Enquanto a abordagem sequencial modular resolve sistema de equações em
blocos, que correspondem as operações unitárias do processo, a simulação
baseada em equações coleta as equações das unidades e as resolve
simultaneamente.
Cada método possui suas desvantagens. A simulação sequencial modular
encontra dificuldade ao tentar solucionar problemas de duas categorias: 1.
Conhecendo as condições do processo e as variáveis da corrente dos
produtos, calcular as variáveis da corrente na alimentação; 2. Conhecendo as
variáveis das correntes de alimentação e dos produtos, calcular as condições
do processo. Em ambos os casos é necessário usar cálculos iterativos usando
as especificações do projeto, e este problema é resolvido quando o sistema
de equações é coletado e resolvido para as variáveis desconhecidas
52
simultaneamente, usando programas como Matlab®, Maple®,etc. Entretanto a
solução de um grande número de equações simultaneamente pode ser
pesado e demorado até mesmo para computadores potentes.
O exemplo a seguir ilustra a simulação baseada em equações.
Exemplo 4.3– Uma corrente é alimentada numa coluna de destilação
contendo o seguinte percentual em massa: 40% de benzeno (B),25% de
tolueno(T) e 35% de xileno (X). O produto da corrente superior dos produtos
contém 72,2% de benzeno e 28,6% de tolueno em massa. A corrente da saída
inferior da primeira coluna é usada para alimentar uma segunda coluna. O
produto da corrente superior dos produtos da segunda coluna contém 4,3%
de benzeno e 92,6% de tolueno em massa. Um percentual de17 % do tolueno
e 85% do xileno alimentados no processo são recuperados na corrente de
saída inferior da segunda coluna. Estabeleça as equações de balanço de
massa do processo.
Solução:
Tomando como base uma alimentação de 100 kg, escrevemos as equações
do problema:
Para coluna 1:
B 21673,035 mm
T 31306,050 mm
X 41021,015 mm
Para a coluna 2:
B 652 059,0 mmm
T 753 926,0 mmm
X 854 015,0 mmm
Das especificações do processo:
Recuperação de 10% de T: 5501,07m
53
Recuperação de 93,3% de X: 1415933,08m
Podemos resolver este conjunto de equações utilizando o método de Gauss,
(revise o cap.01) juntamente com a estratégia de pivoteamento parcial,
escrevemos inicialmente a matriz ampliada do sistema:
140015,01000
50926,00100
01059,00010
1500100021,0
5000010306,0
3500001673,0
0A
Efetuamos então as operações 13133
12122
LmLL
LmLL, sendo 455,0
673,0
306,021m ,
0312,0673,0
021,031m , para obtermos:
140015,01000
50926,00100
01059,00010
908,1300100312,00
075,340001455,00
3500001673,0
1A
Realizamos a seguir a troca das linhas 2 e 4 42 LL e efetuamos as
operações 24244
23233
LmLL
LmLL, sendo 0312,0
1
0312,032m ,
455,01
455,042m :
140015,01000
50926,00100
075,34455,000268,00100
908,130312,000184,01000
01059,00010
3500001673,0
2A
Organizamos novamente a matriz ao trocar as linhas 2 e 4 43 LL e
efetuando a operação 35355 LmLL , sendo 153m , para obtermos:
54
140015,01000
075,29455,0923,00000
908,130312,000184,01000
075,34455,000268,00100
01059,00010
3500001673,0
3A
Efetuamos então a operação 46466 LmLL , sendo 164m :
092,00312,001316,00000
075,29455,0923,00000
908,130312,000184,01000
075,34455,000268,00100
01059,00010
3500001673,0
4A
E finalmente a operação 56566 LmLL , sendo 0143,0923,0
01316,065m ,
resultando em:
5078,00247,000000
075,29455,0923,00000
908,130312,000184,01000
075,34455,000268,00100
01059,00010
3500001673,0
5A
Esta última matriz representa um sistema triangular superior, e seu sistema
equivalente assume a forma:
5078,00247,0
075,29455,0923,0
908,130312,000184,0
075,34455,000268,0
0059,0
35673,0
6
65
654
653
652
21
m
mm
mmm
mmm
mmm
mm
Cuja solução é 808,171m , 015,232m , 541,433m , 626,144m , 635,415m e
559,206m .
55
CAPÍTULO 5: ESTUDO DE CASO
De acordo com Hanyak (1999),um fluxograma simples utilizado no
processo de produção de estireno pode ser montado da maneira
descrita na seção a seguir. Para um maior aprofundamento consulte as
referências citadas no final da apostila.
5.1 PRODUÇÃO DE ESTIRENO
Uma companhia lhe contratou para investigar a possibilidade de fabricar
estireno tendo como matéria-prima o tolueno e o metanol. O estireno é um
material intermediário usado para fazer objetos como brinquedos, aparelhos
de rádio e televisão, embalagens, etc. Uma de suas tarefas é criar um
fluxograma e estabelecer os requisitos de massa e energia do processo.
Durante o desenvolvimento do fluxograma, você irá perceber que não possui
todas as informações necessárias, portanto você deverá propor hipóteses e
posteriormente verificar se suas suposições foram aceitáveis.Sabemos que o
tolueno e metanol são matérias-primas e que de alguma forma eles devem ser
submetidos a uma mudança de modo a gerar o estireno. Este processo de
transformação pode resultar em subprodutos, resíduos e o produtodesejado.
Com a informação que temos, já podemos fazer um fluxograma inicial:
Fig.5.1 – Esboço do fluxograma do processo.
O fluxograma final será composto de correntes e unidades de processamento
(trocadores de calor, reatores, bombas, etc.) . Inicialmente pode-se assumir
que as variáveis e propriedades do processo são constantes entre as unidades
do processo.
Cada corrente do processo tem suas próprias propriedades, que podem ser
manuseadas pelo engenheiro. Uma corrente de processo é definida pelas
seguintes propriedades:
TABELA 5.1 – PROPRIEDADES USUAIS DE CORRENTES DE PROCESSO
Propriedade Dimensão Símbolo Unidade
Fase Sólido, líquido, gás Ph Adimensional
Temperatura Graus T Co
Pressão Força por área P Pa
56
Vazão Massa( ou mols) por tempo m (ou n ) hkg (ou hkgmol )
Composição Fração mássica ( ou molar) w (ou x ) Adimensional
Uma unidade de processamento pode alterar uma ou mais propriedades de
uma corrente. No exemplo abaixo, uma corrente atravessa duas unidades de
processamento:
Fig.5.2 – Alteração das propriedades de uma única corrente através de duas unidades
de processamento.
As propriedades da corrente nos ponto S1, S2a, S2b e S3 podem ser verificadas
na tabela a seguir.
TABELA 5.2 – PROPRIEDADES DA CORRENTE EM DIFERENTES PONTOS DO
PROCESSO
Propriedade S1 S2a S2b S3
Fase Vapor Vapor Vapor Vap-liq-liq
Temperatura Co510 Co9,325 Co9,325 Co40
Pressão kPa400 kPa330 kPa330 kPa320
Vazão molar hkgmol200 hkgmol280 hkgmol280 hkgmol280
Fração molar
(metanol) 5,0 0714,0 0714,0 0714,0
Fração molar
(tolueno) 5,0 0714,0 0714,0 0714,0
Fração molar (água) 0 2857,0 2857,0 2857,0
Fração molar
(estireno)
0 2857,0 2857,0 2857,0
Fração molar
(hidrogênio)
0 2857,0 2857,0 2857,0
Como você pode observar, entre as correntes nos pontos S2a e S2b, não há
unidades de processamento, a corrente possui as mesmas propriedades, pois
assumimos que nesse caso elas possuem valor constante.
Uma unidade de processamento é um aparelho (ou outro equipamento) que
realiza alterações físicas e/ou químicas sobre os materiais (isto é, compostos
químicos ou componentes) que passam através dela, utilizando uma ou mais
operações unitárias básicas para efetuar a mudança.
Oito operações unitárias básicas poderiam ocorrer numa unidade de
processamento que poderiam efetuar uma mudança nas correntes que fluem
através da unidade, veja a tabela 5.3.
57
TABELA 5.3 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS BÁSICAS E AS MUDANÇAS NA CORRENTE
Operação unitária Mudanças
Reação química Componentes
Divisão de corrente Quantidade
Mistura de correntes Quantidade
Separação Frações do componente
Mudança de temperatura Temperatura
Mudança de pressão Pressão
Mudança de fase Fase
Mudança de forma Forma
Na maioria das unidades de processamento uma ou mais destas operações
unitárias ocorrem. Iremos analisar seis unidades de processo e identificar cada
operação, à medida que desenvolvemos o fluxograma processo para a
produção do estireno a partir de metanol e tolueno. Em primeiro lugar, duas
das unidades de processo mais simples que podem transformar um ou mais
fluxos de processo são um MIXER e um SPLITTER.
MIXER
Duas ou mais correntes do processo podem ser combinadas para resultar em
uma corrente que poderia ser a corrente de entrada para outra unidade do
processo. Quando isso acontece, o fluxo de material resultante (ou de saída)
tem propriedades que são diferentes das correntes iniciais (ou de entrada).
Propriedades básicas que podem ser alteradas são: temperatura, pressão,
vazão, composição e fase. O equipamento que realiza esta operação
chama-se MIXER (misturador).
Se as duas correntes de entrada, de metanol e tolueno, forem combinadas, a
corrente resultante teria propriedades que podem ser diferentes de qualquer
uma das matérias-primas. Como se podem determinar quais propriedades
sofreram alterações?
Para responder esta pergunta, vamos fazer uso de algumas hipóteses,
aplicadas ao misturador:
a) A temperatura da corrente de saída está geralmente entre o maior e o
menor valor de temperatura das correntes de entrada.
b) A pressão da corrente de saída seria igual à do valor mais baixo da
pressão das correntes de entrada.
c) As vazões das correntes de entrada são algebricamente somadas para
determinar a vazão total da corrente de saída.
d) As composições dos componentes sempre mudam, exceto se as
composições das correntes de entrada são todas iguais.
58
e) A identificação da fase da corrente de saída depende da sua
temperatura, pressão, e composição. Ela pode ser diferente das
correntes de entrada. Sua fase tem de ser determinada usando uma
tabela, um diagrama ou um conjunto de equações.
Vamos analisar o MIXER em detalhes agora, considerando apenas as duas
correntes de entrada, de tolueno e metanol. Todas as unidades de
processamento representadas neste capítulo serão mostradas em diagramas
semelhantes aos utilizados pelo HYSYS® (Hyprotech), veja a fig.5.3.
Fig.5.3 – Mistura de duas correntes em um MIXER.
Sua tarefa é determinar o estado da corrente misturada na saída do MIXER.
Analise os dados da tabela e responda as questões abaixo:
TABELA 5.4 – PROPRIEDADE DAS CORRENTES DO PROCESSO ANTES E APÓS
PASSAGEM PELO MIXER.
Propriedade Corrente S1 Corrente S2 Corrente misturada
Fase Vapor Vapor Vapor
Temperatura Co105 Co622 Co(?)
Pressão kPa400 kPa600 kPa(?)
Vazão molar hkgmol100 hkgmol100 hkgmol(?)
Fração molar (metanol) 1 0
Fração molar (tolueno) 0 1
Vazão molar (metanol) hkgmol100 2857,0 hkgmol(?)
Vazão molar (tolueno) hkgmol0 hkgmol100 hkgmol(?)
1. Qual é a provável temperatura da corrente de saída?
a) Co100 b) Co622 c) Co510 d) Co32,56
2. Qual é a provável pressão da corrente de saída?
a) kPa300 b) kPa400 c) kPa500 d) kPa600
3. Qual é a vazão molar estimada na corrente de saída?
a) hkgmol100 b) hkgmol200 c) hkgmol150 d) hkgmol4,178
4. Qual é a vazão molar de metanol estimada na corrente de saída?
a) hkgmol100 b) hkgmol200 c) hkgmol125 d) hkgmol50
59
5. Qual é a vazão molar de tolueno estimada na corrente de saída?
a) hkgmol100 b) hkgmol200 c) hkgmol125 d) hkgmol50
6. Qual é a provável fração molar de metanol na corrente de saída? (Dica: a
fração molar de um componente é calculada dividindo a vazão molar da
espécie pela vazão molar total)
a) 25,0 b) 5,0 c) 75,0 d) 3,1
7. Como o somatório das frações molares das correntes do processo devem
ser iguais à unidade, qual deverá ser a fração molar de tolueno?
a) 25,0 b) 5,0 c) 75,0 d) 3,1
8. Para esta unidade de processamento estudada (MIXER), assinale as
alternativas correspondentes às propriedades que sofreram alterações:
a) Componentes b) Vazão c) Frações dos componentes
d) Temperatura e) Pressão f) Fase
Splitter
Uma corrente do processo pode ser dividida em duas ou mais correntes
menores. Mas, neste caso, todos as correntes menores têm propriedades
semelhantes as da corrente inicial (ou de entrada) exceto por uma
propriedade (a vazão, que deve ser distribuída entre as correntes menores). A
temperatura, pressão, fase, e até mesmo a composição permanecem as
mesmas. O equipamento que realiza esta operação é chamado de splitter
(divisor). A divisão de correntes é largamente usada para a reciclagem de
material num fluxograma de processo
As hipóteses a seguir são aplicadas para um splitter:
a) As temperaturas das correntes subdivididas resultantes são as mesmas
que a da corrente inicial.
b) A pressão das correntes subdivididas resultantes é igual às da corrente
inicial.
c) A vazão total e a vazão para cada componente são modificadas após
a divisão, mas a soma de todas as vazões das correntes divididas é
igual à vazão da corrente inicial.
d) A composição dos componentes em cada corrente de subdividida é a
mesma que a da corrente inicial.
e) As fases de todas as correntes subdivididas permanecem as mesmas
que a da corrente inicial.
Vamos agora analisar o splitter em detalhes agora, considerando apenas duas
correntes de saída. O splitter está representado na fig.5.4:
60
Fig.5.4 – Separação de duas correntes em um Splitter.
Sua tarefa é determinar o estado das correntes de saída.Analise os dados da
tabela e responda as questões abaixo:
TABELA 5.5 - PROPRIEDADE DAS CORRENTES DO PROCESSO ANTES E APÓS
PASSAGEM PELO SPLITTER.
Propriedade Corrente S1 Corrente S2 Corrente S3
Fase Líquido Líquido Líquido
Temperatura Co60 Co(?) Co(?)
Pressão kPa200 kPa(?) kPa(?)
Vazão molar hkgmol200 hkgmol(?) hkgmol(?)
Fração molar (metanol) 4,0
Fração molar (tolueno) 6,0
Vazão molar (metanol) hkgmol80 hkgmol(?) hkgmol(?)
Vazão molar (tolueno) hkgmol120 hkgmol(?) hkgmol(?)
1. Qual é a valor estimado para temperatura das correntes de saída do
splitter?
a) Co45 b) Co60 c) Co72 d) adn ..
2. Qual é a pressão estimada das correntes de saída?
a) kPa600 b) kPa400 c) kPa300 d) kPa200
3. Qual o valor estimado da vazão molar da corrente S1?
a) hkgmol100 b) hkgmol200 c) hkgmol300 d) hkgmol0
4. Qual é o valor estimado da vazão molar da corrente S2 se considerarmos
que a vazão molar da corrente S1 é igual a hkgmol100 ?
a) hkgmol100 b) hkgmol200 c) hkgmol125 d) hkgmol50
5. A fração molar dos componentes seria alterada após a divisão?
a) Sim b) Não
6. Quais os valores das vazões molares do tolueno e do metanol nas correntes
de saída? (Dica: A vazão de um componente é calculada multiplicando-se
sua fração molar pela vazão total da corrente).
61
a) hkgmol120,80 b) hkgmol60,80 c) hkgmol120,40 d) hkgmol60,40
7. Para esta unidade de processamento estudada (SPLITTER), assinale as
alternativas correspondentes às propriedades que sofreram alterações:
a) Componentes b) Vazão c) Frações dos componentes
d) Temperatura e) Pressão f) Fase
Com o conhecimento obtido até agora sobre correntes de processo e
unidades de processamento, podemos modificar nosso fluxograma inicial,
incluindo agora um MIXER:
Fig. 5.5 – Fluxograma do processo após a inclusão do MIXER.
Reator (REACTOR)
Sabemos que a corrente misturada S1, possui propriedades diferentes
daquelas do metanol e do tolueno. Mas e agora, o que acontece dentro
dobloco do fluxograma? Que outras unidades de processamento são
necessárias para converter o tolueno e o metanol em estireno puro? Para
responder essa pergunta devemos nos lembrar de que o coração de qualquer
processo é o reator químico, vamos então revisar um pouco sobre reações
químicas. Sabemos que o tolueno reage com o metanol para formar o
estireno de acordo com a seguinte reação estequiométrica:
2288387 HOHHCOHCHHC
Da estequiometria da reação vemos que o 1 mol de tolueno reage com 1 mol
de metanol para formar 1 mol de estireno, 1 mol de hidrogênio (subproduto) e
1 mol de água (resíduo). Embora essa reação ocorra no reator, nem todo o
reagente alimentado será convertido em produtos, ou seja a conversão será
menor que 100%. A maioria dos reatores industriais opera com este tipo de
conversão parcial.
Se as matérias-primas (tolueno e metanol) num reator não estão em
proporção estequiométrica então temos que usar os conceitos de reagente
em excesso e reagente limitante.
62
Suponhamos que hkgmol100 de tolueno e hkgmol300 de metanol são
alimentados num reator. Qual a maior quantidade de estireno que pode ser
produzida?
Observando a equação estequiométrica, podemos afirmar que hkgmol100 de
tolueno podem reagir com apenas hkgmol100 de metanol, para resultar em
hkgmol100 de estireno. Logo, hkgmol200 de metanol não participam da
reação. Este componente (metanol) é chamado de reagente em excesso,
enquanto que o tolueno é denominado o reagente limitante.
Na pergunta anterior, descobrimos que poderíamos produzir hkgmol100 de
estireno com hkgmol300 de metanol e hkgmol100 de tolueno. Mas, na
realidade, nem todo o tolueno disponível reage no reator. Uma das razões é
que os reagentes não têm tempo suficiente para reagir. A quantidade de
produtos formados dependerá da velocidade da reação e do tempo. Mas
seja qual for reação, as proporções estequiométricas são obedecidas. Se
apenas hkgmol60 de tolueno reagem, então de acordo com a
estequiometria, essa quantidade reage com hkgmol60 de metanol.
Já a conversão do reator é a extensão na qual a matéria prima (reagente
limitante) reage. Se kgmol100 de tolueno estão disponíveis para a reação e
kgmol85 dele reagem para formar os produtos, então a conversão é de 85%.
Isto significa que 85% do tolueno disponível reage para formar o produto. E
como a reação obedeceà equação estequiométrica, o tolueno iria reagir
com kgmol85 de metanol para formar kgmol85 de estireno.
Suponhamos que hkgmol200 de metanol e hkgmol250 de tolueno entrem
num reator, e hkgmol150 de estireno saem do reator. Qual seria o reagente
limitante?
R: Metanol
E qual o valor da conversão?
R: 75% , pois:
Conversão = metanol consumido/ metanol alimentado = 75,0200150
Até agora, nós não discutimos nada sobre o calor de reação. Sabemos que
cada reação química envolve a quebra e/ ou a combinação das ligações
moleculares dos componentes químicos, e isto resulta num consumo de
energia (reação endotérmica) ou a geração de energia (reação exotérmica)
no interior do reator.
A produção de estireno a partir do metanol e tolueno é uma reação
endotérmica.
63
Se assumirmos que o nosso reator está isolado, o que aconteceria com a
temperatura da corrente na saída? Seria maior ou menor que a temperatura
da corrente de entrada?
Temos de definir as condições de funcionamento do reator para produzir
estireno a partir de metanol e tolueno, uma vez que o reator é o coração de
um fluxograma de um processo químico. Logo devemos saber quais são as
condições ótimas de operação, para um reator isolado (ou seja, adiabático).
Para executar a nossa simulação, é preciso saber o quanto de matéria-prima
está disponível. Vamos assumir que a alimentação do reator seja de
hkgmol100 de metanol e hkgmol100 de tolueno. A seguir, vamos determinar
a quantidade de estireno puro que nós poderíamos produzir a partir das
vazões dos componentes assumidas na alimentação.
As considerações feitas estão resumidas a seguir:
I - A corrente de entrada do reator não contém impurezas e tem as seguintes
propriedades:
TABELA 5.6 – PROPRIEDADES DA CORRENTE S1.
Propriedade Corrente S1
Fase Vapor
Temperatura Co510
Pressão kPa400
Vazão molar hkgmol200
Vazão molar (metanol) hkgmol100
Vazão molar (tolueno) hkgmol100
II - Não ocorrem reações laterais.
III - A conversão é de 80% com base no tolueno.
Até este ponto sabemos o seguinte sobre o reator:
O objetivo principal do reator é mudar a composições das correntes de
entrada, permitindo que uma reação química ocorra, resultando na formação
de novos compostos. Além disso, a corrente de saída poderia conter matérias-
primas que não reagiram, se a conversão não é 100% completa. A conversão
é sempre baseada no reagente limitante. Se a reação é exotérmica, a
energia é gerada, e se a reação é endotérmica, a energia é consumida.
As hipóteses abaixo são verdadeiras para um reator:
a) A temperatura da corrente de saída depende do tipo de reação
(exotérmica ou endotérmica) e do modo de operação (adiabática,
isotérmica, ou não-isotérmico). Por exemplo, num reactor adiabático
com uma reação endotérmica, a temperatura da corrente de saída é
menor do que a da corrente de entrada.
64
b) A pressão da corrente de saída depende da estequiometria dos seus
componentes. Além disso, uma diminuição de pressão sempre ocorre,
porque o material que flui através de qualquer unidade de
processamento sofre atrito.
c) A vazão total e a vazão dos componentes (molares ou mássicas)
mudam na corrente de saída. No entanto, a vazão mássica total é
sempre conservada durante a reação química.
d) A fase da corrente de saída pode ser diferente da fase na corrente de
entrada e deve ser determinada a partir das propriedades básicas da
corrente de saída, isto é, sua temperatura, pressão e composição.
A fig.5.6 ilustra o diagrama do reator.
Fig .5.6 – Representação de um reator num diagrama de processo.
Vamos analisar o reator em detalhes agora, sua tarefa é determinar o estado
da corrente de saída (ou efluente). Veja as tabelas abaixo e responda as
questões sobre esta unidade de processamento:
TABELA 5.7: PROPRIEDADES DAS CORRENTES DE ENTRADA E SAÍDA DO REATOR,
EM BASE MOLAR.
Propriedade Corrente S1 Corrente S2
Fase Vapor Vapor
Temperatura Co510 Co(?)
Pressão kPa400 kPa330
Vazão molar total hkgmol200 hkgmol280
Vazão molar (metanol) hkgmol100 hkgmol20
Vazão molar (tolueno) hkgmol100 hkgmol20
Vazão molar (água) hkgmol0 hkgmol80
Vazão molar (estireno) hkgmol0 hkgmol80 Vazão molar (hidrogênio) hkgmol0 hkgmol80
TABELA 5.8: PROPRIEDADES DAS CORRENTES DE ENTRADA E SAÍDA DO REATOR,
EM BASE MÁSSICA.
Propriedade Corrente S1 Corrente S2
Fase Vapor Vapor
65
Temperatura Co510 Co(?)
Pressão kPa400 kPa330
Vazão mássica total hkgmol12400 hkgmol12400
Vazão mássica (metanol) hkgmol3200 hkgmol640
Vazão mássica (tolueno) hkgmol9200 hkgmol1840
Vazão mássica (água) hkgmol0 hkgmol1440
Vazão mássica (estireno) hkgmol0 hkgmol160 Vazão mássica (hidrogênio) hkgmol0 hkgmol8320
1. Qual é o valor de temperatura estimado da corrente de saída do reator se a
reação é endotérmica e o reator é isolado?
a) Co510 b) Co326 c) Co543 d) adn ..
2. Quais propriedades são conservadas durante a reação?
a) Vazão mássica total b) Vazão molar total
c) Vazão mássica dos componentes d)Vazãomolar dos componentes
3. Considerando que alimentamos hkgmol100 de metanol e de hkgmol100
tolueno no reator, qual seria a vazão molar total das correntes de entrada e
saída se conversão de tolueno fosse de alterada de 80% para 90%? (Observe a
estequiometria da reação entre o tolueno e o metanol mostrada
anteriormente).
a) hkgmol270,200 b) hkgmol280,220 c) hkgmol290,200 d) adn ..
4. Para esta unidade de processamento estudada (REATOR), assinale as
alternativas correspondentes às propriedades que sofreram alterações:
a) Componentes b) Vazões c) Frações dos componentes
d) Temperatura e) Pressão f) Fase
Com o conhecimento obtido até agora sobre correntes de processo e
unidades de processamento, podemos modificar novamente nosso
fluxograma inicial:
Fig. 5.7 – Fluxograma do processo após a inclusão do reator.
66
Refrigerador (COOLER)
A corrente de alimentação do reator contendo metanol e tolueno é
convertida parcialmente em água, estireno e hidrogênio formando a corrente
de efluente S2, como queremos que os produtos sejam puros, esta corrente
ainda precisa de um tratamento.
A corrente de efluente do reator contém uma mistura de produtos e matérias-
primas que não reagiram. Esta corrente deve ser separada para purificar os
produtos. Por isso, o efluente do reator deve passar por uma sequência de
separações nas quais o subproduto (hidrogênio), o produto puro (estireno) e o
resíduo(água) são isolados. Os materiais que não reagiram, são também
separadas nesta sequência.
Como purificar a corrente de efluentes?
O número correntes de saída puras (subprodutos, produto puro, resíduos, etc.)
determina o número de unidades de separação necessárias na sequência.
Como uma regra de ouro, para a mistura de produtos químicos, o número de
unidades de separação necessárias é pelo menos uma unidade a menos do
que o número total de produtos químicos na mistura que necessitam ser
separados.
O primeiro passo na concepção de uma sequência de separação é de
decidir qual será a primeira unidade de separação. Alguns exemplos de
separações são a divisão de fases, a destilação e extração. A divisão de fases
é o método mais barato de separação, quando você está começando com
um vapor, e deve ser o primeiro equipamento da separação, se possível.
Sabemos que o efluente do reator está todo na fase vapor, portanto, deve ser
resfriado, para permitir que a separação ocorra.
Sabemos que o efluente do reator deve ser resfriado até uma temperatura na
qual diferentes fases existam. Antes de projetar o separador de fases, devemos
resfriar a corrente de efluentes, usando para isso um trocador de calor. Como
essa unidade atua resfriando a corrente do processo ela é também chamada
de refrigerador.
Para projetar o refrigerador precisamos conhecer a temperatura da corrente
quente e a temperatura final, aquela temperatura que desejamos que a
corrente inicial atinja.
Em nosso problema, sabemos que a temperatura do efluente na saída do
reator é 326 oC, para formar fases distintas é necessário que a corrente seja
resfriada a cerca de menos de 100 oC de modo a formar três fases. Se a
corrente fosse resfriada ainda mais, o resultado seria uma melhor separação
dos componentes químicos.
67
Neste ponto, é necessário decidir sobre o fluido de resfriamento, ou fluido de
troca de calor, que teria como resultado o resfriamento desejado.
Tipicamente, uma corrente de água à temperatura ambiente, é utilizada
devido ao seu baixo custo.
Nós podemos resfriar a corrente quente do processo para 40 oC. O
resfriamento ocasiona assim uma queda de pressão. Reescrevendo as
hipóteses, temos:
I - A corrente de entrada do reator não contém impurezas e tem propriedades
mostradas na tabela 4.6.
II - Não ocorrem reações laterais.
III - A conversão é de 80% com base no tolueno.
IV - A efluente é resfriado até 40oC no refrigerador.
V - A queda de pressão através do refrigerador é de 10kPa, e através do reator
de 70kPa.
Então, neste momento, sabemos o seguinte sobre o refrigerador:
A principal finalidade do sistema de resfriamento é a de diminuir a
temperatura da corrente do processo na entrada, removendo a energia do
na forma de calor. Geralmente, a água é o meio utilizado para resfriar a
corrente desejada. A água absorve a energia ao aumentar a sua própria
temperatura. Como não ocorrem reações dentro do refrigerador, não há
novos produtos na corrente de resfriamento. A corrente de processo e o meio
de resfriamento (água) são separados fisicamente por uma superfície
metalicae o calor é transferido através do metal.
As hipóteses a seguir são verdadeiras para um refrigerador:
a) A temperatura da corrente de saída é mais fria do que a da corrente
de entrada.
b) A pressão da corrente de saída diminuirá devido ao resfriamento. E a
diminuição de pressão ocorrerá sempre, porque o material que flui
através de qualquer unidade de processamento sofre atrito.
c) A vazão total e a vazão de um componente não mudam, comparando
a corrente na saída com a corrente na entrada.
d) As composições dos componentes não mudam, comparando a
corrente na saída com a corrente na entrada.
e) A fase da corrente de saída normalmente não é alterada, mas poderia
ser diferente daquela na entrada, e deve ser determinada usando as
propriedades da corrente na saída, temperatura, pressão e
composição.
f) A fase da água de refrigeração não muda, mas sua temperatura
aumenta.
Vamos agora analisar o refrigerador, sua tarefa é determinar o estado da
corrente na saída da unidade.
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A figura abaixo ilustra o diagrama do refrigerador:
Fig .5.8 – Representação de um refrigerador num diagrama de processo.
Observe a tabela abaixo e responda as questões:
TABELA 5.9: PROPRIEDADES DAS CORRENTES DE ENTRADA E SAÍDA DO
REFRIGERADOR.
Propriedade Corrente S2 Corrente S3
Fase Vapor Vapor
Temperatura Co326 Co(?)
Pressão kPa330 kPa?
Vazão molar hkgmol280 hkgmol?
Fração molar (metanol) 0714,0
Fração molar (tolueno) 0714,0
Fração molar (água) 2857,0
Fração molar (estireno) 2857,0
Fração molar (hidrogênio) 2857,0
Potência térmica hkJ /1055,1 7
hkJ /1005,0 7
1. Qual é a temperatura estimada da corrente de saída do refrigerador?
a) Co510 b) Co326 c) Co40 d) adn ..
2. Qual é a pressão estimada da corrente de saída?
a) kPa320 b) kPa330 c) kPa400 d) kPa430
3. Qual é vazão molar estimada da corrente S3?
a) hkgmol100 b) hkgmol280 c) hkgmol320 d) adn ..
4. A composição dos componentes seria alterada na corrente de saída devido
ao resfriamento?
a) Sim b)Não
5. Baseado nas informações fornecidas anteriormente, quantas fases distintas
são formadas a 40oC?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
69
6. Seria correto afirmar que a água resfria a corrente pela remoção de calor
da mesma?
a) Sim b)Não
7. A potência térmica da corrente S2 deve ser balanceada pela potência
térmica da corrente S3 mais a energia Q removida pela água . Quanta
energia hkJemQ / , deve ser absorvida pela água para satisfazer este
balanço de energia?
a) hkJ710.1 b) hkJ710.5,1 c) hkJ710.5,3 d) adn ..
8. Para esta unidade de processamento estudada (Cooler), assinale as
alternativas correspondentes às propriedades que sofreram alterações:
a) Componentes b) Vazões c) Frações dos componentes
d) Temperatura e) Pressão f) Fase
Com o conhecimento obtido até agora sobre correntes de processo e
unidades de processamento, podemos modificar novamente nosso
fluxograma inicial:
Fig. 5.9 – Fluxograma do processo após a inclusão do refrigerador.
Decantador (Decanter)
Nós resfriamos o efluente do reator para permitir a separação de fases. Mas
como realmente separar estas fases? Para responder esta pergunta
precisamos conhecer a unidade de processamento conhecida como
dacantador.
Um decantador é uma unidade de separação de três fases que é utilizada
para separar a corrente de alimentação do processo em três correntes de
acordo com a fase. Um equilíbrio vapor-líquido-líquido é atingido num vaso à
determinada pressão e temperatura. Quando a pressão da corrente de
alimentação é maior do que a pressão do vaso, uma operação em flash,
através de uma válvula da corrente de alimentação, pode ocorrer no vaso
70
separando as três fases. As três correntes são então separadas em: uma
corrente de vapor, uma corrente de líquido leve (orgânico) e uma corrente de
líquido pesada (aquosa).
No nosso problema, três fases distintas, uma fase vapor e duas fases de líquidos
imiscíveis são formadas quando a temperatura do efluente é resfriada abaixo
de 40ºC . Os dois líquidos são uma fase orgânica e uma fase aquosa. A fase
orgânica contém tolueno e estireno, e a fase aquosa contém em sua maior
parte, água. Existem frações de metanol em ambas as fases, aquosa e
orgânica.
Então, nesse ponto sabemos o seguinte sobre o decantador:
A principal função do decantador é dividir a corrente de entrada em três
diferentes correntes com composições e vazões diferentes. A formação das
fases é alcançada pela diminuição da pressão ou temperatura, a corrente de
vapor deixa a unidade pela parte superior, enquanto a corrente líquida
pesada deixa a unidade pela parte inferior. A corrente líquido-líquido sai pela
lateral.
As seguintes hipóteses são verdadeiras para o decantador:
a) A temperatura das correntes de saída são iguais aquelas das correntes
de entrada, sempre que as fases são produzidas pelo resfriamento.
b) A pressão das correntes de saída diminuem ligeiramente, devido ao
atrito do material escoando no vaso.
c) O somatório das vazões molares das correntes de saída são iguais ao
somatório das vazões molares das correntes de entrada.
d) O somatório das vazões molares de um componente químico em todas
as correntes de saída são somados aquelas das correntes de entrada.
e) As frações molares de um componente não permanece a mesma, elas
são distribuídas desigualmente entre as correntes de saída.
f) A fase das correntes de saída mudam. Tipicamente uma corrente de
vapor e duas correntes líquidas são produzidas no decantador.
Nós vamos agora analisar o decantador em detalhes. Sua tarefa é determinar,
a fase das correntes de saída do decantador.
A fig.5.10 ilustra o diagrama do decantador:
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Fig.5.10 – Representação de um decantador num diagrama de processo.
Observe a tabela abaixo e responda as questões:
TABELA 5.10 -PROPRIEDADES DAS CORRENTES DE ENTRADA E SAÍDA DO
DECANTADOR.
Propriedade S3 Hidrogênio Orgânica Água
Fase Vap-liq-liq Vapor Líquida Líquida
Temperatura Co40 Co? Co? Co?
Pressão kPa320 kPa? kPa? kPa?
Vazão molar hkgmol280 hkgmol83 hkgmol104 hkgmol93
Fração molar (metanol) 0714,0 0065,0 0490,0 1548,0
Fração molar (tolueno) 0714,0 0049,0 1876,0 0
Fração molar (água) 2857,0 0196,0 0007,0 8452,0
Fração molar (estireno) 2857,0 0050,0 7617,0 0
Fração molar
(hidrogênio)
2857,0 9641,0 0010,0 0
1. Qual é a temperatura estimada das três correntes de saída?
a) Co10 b) Co60 c) Co40 d) adn ..
2. Qual é a pressão estimada das três correntes de saída?
a) kPa320 b) kPa330 c) kPa140 d) kPa310
3. O somatório das vazões molares das correntes de saída se igualam a vazão
molar da corrente de entrada S3?
a) Sim b)Não
4. O somatório da fração molar de um componente nas correntes de saída se
iguala aquela da corrente S3?
a) Sim b)Não
72
5. As correntes de hidrogênio e água são removidas do decantador:
a) Ambas pelo topo b)Ambas pelo fundo c)Topo,Fundo d)Fundo,Topo
6. Para esta unidade de processamento estudada (Decantador), assinale as
alternativas correspondentes às propriedades que sofreram alterações:
a) Componentes b) Vazões c) Frações dos componentes
d) Temperatura e) Pressão f) Fase
No decantador ocorre a separação das três fases devido ao resfriamento, o
hidrogênio sai pela parte superior da unidade, enquanto a fase pesada
(água), sai pela parte inferior da unidade, a fase orgânica contendo nosso
produto (estireno) ainda necessita ser processada de modo a ser purificada.
Podemos agora atualizar nosso fluxograma:
Fig. 5.11 – Fluxograma do processo após a inclusão do decantador.
Coluna de destilação (Distillation Column)
Sabemos que o decantador separa a corrente do efluente do reator, após o
resfriamento, em três correntes. A fase gasosa é facilmente extraída do topo
do decantador, a fase aquosa descansando no fundo do decantador
também é facilmente extraída do decantador, e finalmente temos uma fase
orgânica contendo o produto (estireno) e resíduos de tolueno e metanol que
não reagiram. Como podemos separar ainda mais o componentes desta
corrente?
Para respoder esta pergunta precisamos entender o processo de destilação.
Uma simples coluna de destilação é utilizada para separar uma corrente de
alimentação em duas correntes de produtos (o destilado e os materiais de
fundo) . Ela explora a volatilidade relativa (i.e, os pontos de ebulição) dos
componentes químicos da corrente de alimentação. Devido ao aquecimento,
73
aquele componentes mais voláteis (com menor ponto de ebulição) evaporam
e se acumulam na parte superior da coluna, enquanto os componentes
menos voláteis (de maior ponto de ebulição) tendem a se concentrar no
fundo da coluna na forma líquida.
Uma coluna de destilação é composta de várias unidades de processo (um
refervedor, uma coluna e um condensador). O refervedor é o trocador de
calor que é usado para evaporar parte do líquido escoando através da
coluna. O vapor proveniente do refervedor sobe até atingir o condensador,
onde é parcialmente ou totalmente transformado em líquido. Num
condensador total, este vapor é resfriado para formar todo o líquido e então
parte desse líquido é retirado do sistema como uma corrente de destilado,
enquanto o resto é reciclado para o topo da coluna.Um condensador parcial
opera de forma semelhante ao condensador total, exceto que ele condensa
parcialmente o vapor e produz duas correntes de saída ( uma corrente de
vapor e outra de líquido) ao invés de uma. Parte do líquido é retirado como
corrente de destilado, enquanto o restante é reciclado para a coluna. A
corrente de vapor saindo permite que os componentes não condensáveis
(como hidrôgenio e hélio) escapem do sistema, porque condensar estes
componentes para a fase líquida seria uma operação bastante cara.
Sabemos o seguinte sobre a coluna de destilação:
O propósito da coluna de destilação é separar a corrente de entrada em
duas correntes líquidas com diferentes composições e vazões. Essa operaçõe
é feita com base nas diferentes volatilidades dos componentes na corrente de
alimentação. O componente com baixo ponto de ebulição evapora primeiro
e é retirado no topo da coluna após passar por uma condensação, enquanto
o componente com alto ponto de ebulição está na fase líquida e é retirado
pela parte inferior da coluna. Calor é fornecido pelo refervedor para evaporar
o líquido no fundo da coluna. Calor é removido pelo condensador para
condensar o vapor do topo, parcialmente ou totalmente.
As hipóteses abaixo são válidas para a coluna de destilação:
a) A temperatura do liquído removido pelo topo da coluna é mais frio que
o líquido no fundo da coluna. A temperatura da alimentação está entre
estes dois valores.
b) A pressão no topo da coluna é menor do que a da corrente inferior, ou
seja, o líquido que sai pelo topo da coluna está numa pressão menor do
que aquela do corrente do líquido inferior. As vezes uma válvula é
colocada sobre a corrente de alimentação para reduzir sua pressão,
então sua pressão permance entre estes dois valores.
c) O somatório das vazões molares das correntes na saída da coluna é
igual ao somatório das vazões molares das correntes na entrada.
d) O somátorio das vazões molares de um componente químico em todas
as correntes de saída são somados aquelas das correntes de entrada.
e) As frações dos componentes não permanece a mesma. Elas são
distribuídas desigualmente entre as correntes de saída.
74
f) A fase da corrente de saída inferior da coluna é sempre líquida.
Enquanto, a corrente de saída do topo pode estar na fase vapor, na
fase líquida, ou ter as duas fases combinadas.
Nós vamos agora analisar a coluna de destilação em detalhes. Sua tarefa é
determinar o estado das correntes de saídadesta unidade.
A fig.5.12 ilustra o diagrama da coluna de destilação:
Fig.5.12 – Representação de uma coluna de destilação num diagrama de processo.
Observe a tabela abaixo e responda as questões:
TABELA 5.11- PROPRIEDADES DAS CORRENTES DE ENTRADA E SAÍDA DACOLUNA
DE DESTILAÇÃO.
Propriedade Orgânica Hidrogênio Resíduos Estireno
Fase Líquida Vapor Líquida Líquida
Temperatura Co40 Co22,80 Co? Co?
Pressão kPa101 kPa82 kPa? kPa?
Vazão molar hkgmol104 hkgmol1 hkgmol5,24 hkgmol5,78
Vazão molar
(metanol) hkgmol096,5 hkgmol463,0 hkgmol633,4 0
Vazão molar
(tolueno) hkgmol51,19 hkgmol375,0 hkgmol94,18 hkgmol2,0
Vazão molar
(água) hkgmol782,0 hkgmol062,0 hkgmol72,0 0
Vazão molar
(estireno) hkgmol21,79 hkgmol216,0 hkgmol694,0 hkgmol3,78
Vazão molar
(hidrogênio) hkgmol104,0 hkgmol104,0 0 0
1. Qual seria a fase das correntes de saída (estireno, e resíduos do tolueno e
metanol) da coluna?
a) Vapor, Líquido b)Líquido, Vapor c)Ambas líquidas d)Ambas Vapor
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Qual é a pressão estimada das correntes de destilado e de fundo,
respectivamente?
a) kPa102;82 b) kPa82;102 c) kPa82;82 d) kPa102;102
2. Qual a temperatura estimada das correntes de destilado e de fundo,
respectivamente?
a) Co22,80;146 b) Co146;22,80 c) Co80;80 d) Co146;146
3. O somatório das vazões molares das correntes de saída são iguais ao
somatório das vazões molares das correntes de entrada?
a) Sim b)Não
4. O somatório das vazões molares de um componente nas correntes de saída
são iguais a vazão deste componente na corrente de entrada?
a) Sim b)Não
5. O somatório das frações molares de um componente nas correntes de saída
são iguais as frações da corrente de entrada?
a) Sim b)Não
6. Para esta unidade de processamento estudada (Coluna de destilação),
assinale as alternativas correspondentes às propriedades que sofreram
alterações:
a) Componentes b) Vazões c) Frações dos componentes
d) Temperatura e) Pressão f) Fase
Dessa forma o fluxograma completo pode ser construído, veja a fig.5.13.
Fig. 5.13 – Fluxograma do processo após a inclusão da coluna de destilação.
De forma resumida, no desenvolvimento e montagem do fluxograma,nós
conceitualmente fizemos balanços de massa e energia, escoando através de
cada unidade de processamento do fluxograma. Basicamente nós tratamos
76
cada unidade do processo como um sistema e analisamos a massa e/ou
energia que entrava e saía do sistema.
BIBLIOGRAFIA
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FELDER; R.M. ROUSSEAU, R.W. Elementary Principles of Chemical Processes.3rd
edition. United States of America: John Wiley & Sons, Inc. 2005.
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Universitária UFPE, 2009.
HANYAK.Jr, M.E. Chemical Process Simulation and the Aspen HYSYS
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HANYAK.Jr, M.E. Interactive Simulation for a Simple Manufacturing
Process. Disponível em :
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HIMMEUBLAU, David M.; RIGGS, James B. Basic Principles and
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RUGGIERO, Márcia A.G.; LOPES, Vera L.R. Cálculo Numérico Aspectos Teóricos
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![Resolução Cap. 4 [Boldrini] (2)](https://img.document.onl/doc/110x75/5695d2171a28ab9b0299102e/resolucao-cap-4-boldrini-2.jpg)
