INTERAÇÃO ENTRE CARGAS COM A ELETRODINÂMICA DE WEBER

Aluno: Alexandre Gomes Pinto. E-mail: alexandre.gomespinto@gmail.com

Orientador: André Koch Torres Assis. E-mail: assis@ifi.unicamp.br

INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, UNICAMP, 13083-859, Campinas,SP

Trabalho de iniciação científica realizado com bolsa de fomento FAPESP

Palavras chave: Weber-Eletrodinâmica-Indutância

Introdução A eletrodinâmica de Weber é baseada em uma força entre cargas que depende da

distância, velocidade e aceleração entre elas. É uma força central derivada de uma energia

potencial, logo satisfaz às leis de conservação de energia, momento linear e angular. A

motivação de Weber ao propor sua eletrodinâmica em 1846 foi unificar em uma única

fórmula as forças de Coulomb e Ampère, além da lei de indução de Faraday. De acordo com

a lei de Weber, a força exercida pela carga q’ sobre a carga q, é dada por:

(1)

Este projeto tem como objetivo geral a familiarização com a eletrodinâmica de Weber.

Para isso, será apresentada a análise de dois tópicos: o problema unidimensional de dois

corpos interagindo pelo potencial de Weber e a derivação da indutância de um circuito,

utilizando a segunda lei de Newton em conjunto com a força de Weber. Para o primeiro

tópico, vamos comparar o período de oscilação obtido por Weber com o obtido usando o

potencial coulombiano. Veremos ainda que a interação pelo potencial de Weber permite uma

situação nova que não ocorre no eletromagnetismo clássico, a saber, o movimento

oscilatório entre duas cargas de mesmo sinal. Weber usou este fato para propor um modelo

planetário para os átomos no qual o núcleo era mantido estável apenas por sua força

eletromagnética. No segundo tópico, veremos que a indutância de um circuito pode ser vista

como uma medida da massa inercial efetiva dos elétrons.

Metodologia Problema de dois corpos: Consideramos duas partículas pontuais de cargas q e q’ e

massas m e m’ , partindo do repouso em relação a um referencial inercial, a uma distância r0

uma da outra. As expressões de velocidade de aproximação/repulsão das cargas podem ser

derivadas a partir do princípio de conservação de energia, E = T+U = constante, onde T é a

energia cinética das duas cargas e U a energia potencial de Coulomb ou de Weber. Esta

última é dada por:

(2)

Essa energia potencial reduz-se à de Coulomb quando a velocidade entre as cargas é nula.

Com as expressões de velocidade, foi possível calcular analiticamente o tempo para que as

cargas voltassem às condições iniciais. Vale lembrar que supomos uma situação idealizada,

na qual as partículas passam uma pela outra quando se encontram, sem que haja colisão.

A derivação da auto-indutância de um circuito pode ser feita considerando a equação

de movimento de um único elétron em condução. Considerando que sobre esse elétron

atuam a força de Weber FW e uma força de resistiva –bv dependente da velocidade v do

elétron em relação ao condutor, temos, pela segunda lei de Newton, que FW - bv = ma .

Com isso, podemos chegar à equação de um circuito resistivo-indutivo, a saber:

(3)

As configurações estudadas são mostradas na Figura 1.

Resultados Os períodos de oscilação obtidos para um sistema de cargas opostas, usando os potenciais

de Coulomb e de Weber, foram , respectivamente,

e (4)

onde μ = mm’/(m+m’) é a massa reduzida do sistema e ρ = qq’/(4πε0μc²) é uma constante

característica do sistema, com unidade de distância. A análise das fórmulas indica que o

período de Weber coincide com o de Coulomb para r0 >> ρ, sendo então o quadrado do

período proporcional ao cubo da distância inicial entre as cargas. Este resultado é análogo a

terceira lei de Kepler do movimento planetário. Na Figura 2 temos o comportamento dos

dois períodos em função de r0.

Para um sistema de cargas de mesmo sinal, segundo a eletrodinâmica de Weber o

movimento será oscilatório se a distância inicial r0 for menor que a distância crítica ρ. Caso

contrário, a distância entre as cargas aumenta cada vez mais, que é o caso não-oscilatório,

análogo à repulsão coulombiana. O período obtido para r0< ρ, com ρ>0, é:

(5)

Para interações entre prótons e elétrons com uma distância inicial de 1 Å, temos as

seguintes frequências de oscilação: 1/TC =1/ TW ≈ 1015 Hz, ou seja, com ordem de grandeza

da luz visível. Já para o sistema próton-próton, para qualquer distância r0 < ρ, temos que

1/TW > 1020 Hz, que é a região dos raios gama, cuja origem é tida como resultado de

processos nucleares.

Quanto ao cálculo da indutância de um circuito, obtivemos que, além do termo

coulombiano, somente é não-nulo o termo que leva em conta a aceleração relativa entre o

elétron de condução e a rede cristalina, considerando que a f.e.m. do circuito varia

lentamente. Podemos escrever a força proveniente deste termo como F = mWa, onde mW é

uma massa weberiana do circuito. Ocorre que mW é muito maior que a massa do elétron, de

maneira que a indutância fica em função apenas da massa weberiana, que depende da

geometria do circuito. Pelo cálculo da indutância nos circuitos da Figura 1, obtivemos que,

para distribuições volumétricas ou superficiais de carga, temos, respectivamente,

ou (6)

Isso justifica a semelhança entre (3) e a equação de movimento forçado amortecido, que é:

(7)

Conclusão Obtivemos uma expressão analítica para os períodos de oscilação de um sistema de

duas cargas, movimentando-se na linha que as une. Ao colocar os valores conhecidos das

massas e cargas dos prótons e elétrons, obtém-se na eletrodinâmica de Weber frequências de

oscilação das partículas de mesma ordem de grandeza da luz visível ou dos raios gama. Isso

não deve ser coincidência, embora ainda não esteja elucidada a relação entre os fenômenos.

A indutância de um circuito pode ser considerada como uma medida da massa inercial

efetiva dos elétrons, mostrando que a semelhança entre as equações (3) e (7) não é

coincidência.

²²2

²1

²

ˆ

4

'

0

'c

rr

c

r

r

rqqF qq

²2

²1

'

4

1

0 c

r

r

qqU

amvbFW

dt

dQR

dt

QdLRI

dt

dILtV

²

²)(

Figura 1: Circuitos para os quais foram derivadas as indutâncias pela lei de Weber.

2/3

00

'

22 r

qqTC

00

0

0

2/3

00 arctan

2'

24

rr

r

rr

qqTW

Figura 2: Períodos de oscilação do sistema elétron-próton segundo Weber (1) e Coulomb (2)

para (a) 0 < r0 < 2ρ e para (b) r0>>ρ.

0

0

00

0 ln)(22

r

rr

rr

cTW

Ae

mL W

se

mL W

dt

dxb

dt

xdmtF

²

²)(