INTRODUÇÃO 2 DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1 2 ...vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/.../12/...3-02-DETERMINANTES-Vidigal.pdf · MATEMÁTICA III 11 DETERMINANTES Observe que det 1

MATEMÁTICA III 1 DETERMINANTES

INTRODUÇÃO ..................................................................................... 2

DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1 ...................................... 2



PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES......................................... 8

REGRA DE CHIÓ ............................................................................... 11

MENOR COMPLEMENTAR ............................................................... 15

COFATOR .......................................................................................... 16

TEOREMA DE LAPLACE .................................................................. 16

RESPOSTAS ..................................................................................... 23

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 23

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2.

CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

INTRODUÇÃO

Toda matriz QUADRADA tem, associada a ela, um numero chamado determinante da matriz obtido por meio de operações que envolvem todos os elementos da matriz. (Dante, 2007). A teoria dos determinantes teve sua origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um instrumento prático para a resolução destes sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.

DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1

Sendo A uma matriz de ordem 1 determinada por A = [a11], por definição, o determinante de A é igual ao número a11, ou seja, em uma matriz de um único elemento, o determinante associado a ela será o próprio elemento.

Dadas as matrizes A = [5] e B = [-2] podemos dizer que det A = 5 e que det B = -2.

__________________________


No caso de matrizes quadradas de ordem dois, calculamos seu determinante fazendo o produto dos termos da diagonal principal menos o produto dos termos da diagonal secundária.,

Assim, dada a matriz

2221

1211

aa

aaA , indicamos seu

determinante por

21212211det aaaaA

ou

21212211

2221

1211 aaaaaa

aa

Ex.1: Encontre o determinante da

matriz

53

71A .

Resolução:

16215735153

71


Ex.2: Determine x de modo que o determinante da matriz

33

2xxB seja igual a 18.

Resolução:

2

189

1863

1863

1833

2

x

x

xx

xx

xx

Resposta: x = 2

_______________________


Consideremos agora a matriz de

ordem 3 dada por

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

M .

O determinante de M é o número:

211233113223312213

322113312312332211

333231

232221

131211

det

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

M

Afim de que possamos obter tal determinante de forma mais prática, vamos conhecer a regra de Sarrus. a) Repetimos ao lado da matriz, as duas primeiras colunas. b) Os termos precedidos pelo sinal + (mais) são obtidos multiplicando-se os termos da diagonal principal e a seguir multiplicando os termos das diagonais que estão nesta mesma direção. c) Os termos precedidos pelo sinal - (menos) são obtidos multiplicando-se os termos da diagonal secundária e a seguir multiplicando os termos das diagonais que estão nesta mesma direção.

d) o determinante é obtido a partir da soma dos 6 valores encontrados.

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

+ + + - - -

33

22

11

aa

a

31

23

12

aa

a

32

21

13

aa

a

31

22

13

aa

a

11

32

23

aa

a

21

12

33

aa

a


Calcular o determinante da matriz

351

202

514

B

Resolução:

351

202

514

det

B

6det B

___________________________

Existe uma outra forma mais prática de memorizar a Regra de Sarrus. Consiste em acompanhar os caminhos indicados a seguir sem a necessidade de repetir as duas primeiras colunas. Apesar de ser um pouco mais rápida, exige bastante atenção. Observe:

Os termos precedidos do sinal de + (mais) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as trajetórias indicadas.

Já para obter os termos precedidos do sinal de – (menos) devemos seguir estas trajetórias:

Observe que o resultado obtido em cada trajetória é exatamente o mesmo daqueles que encontramos em cada “diagonal” na regra vista anteriormente.

+ + + - - -

51351

02202

14514

0 -40 -6 +0 +2 +50

-40-6+2+50=6


1) Calcule os determinantes:

a)

2

12

13

b) 511

713

c) 25

13a


a) yy

xx

cossen

cossen

b) xx

xx

sencos

cossen

c) 2sen3cos21

cos3sen2

xx

xx


a)

4

1

2

1loglog ba

b) 1

223

42

mm

mmm


4) Determine x tal que:

a) 01

232

x

xx

b) 111354

22

xx

xx

5) Calcular os determinantes 3 x 3 a seguir:

a)

110

010

011

b)

152

201

231

c)

245

312

713


6) Calcular os determinantes:

a)

635

1312

1179

b)

0

0

0

ba

bc

ca

c)

453

2

012

nm

7) Determine x tal que:

a) 0

113

122

1

x

x

xx

b) 0

11

11

11

x

x

x

c) 0

31

42

21

x

x

x


8) Determinar x tal que

x

xx

xxx

xx

4

23

213

110

21

.

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 130 – Exercício 04

______________________

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

P1: Fila de Zeros. Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem iguais a zero, seu determinante será nulo.

Ex.1: 050

20

Ex.2: 0

000

232

741

P2: Filas Iguais. Se os elementos correspondentes de duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada forem iguais, seu determinante será igual a zero.

Ex.1: 0

1887

2332

5441

2113

pois a 2ª e 3ª colunas são iguais.

Ex.2: 0

32

701

32

k

k

Pois a 1ª e 3ª linhas são iguais. __________________________

P3: Filas Proporcionais. Se uma matriz quadrada possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo.

Ex.1: 0

264

701

132

Pois a 3ª linha é igual ao produto dos termos da 1ª linha por 2.

Ex.2: 0284

71

pois a 2ª coluna é 7 vezes a primeira.


P4: Multiplicação de uma fila por uma constante. Se todos os elementos de uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k então seu determinante fica multiplicado por k.

Ex.:

021

235

342

A det A = 55

Multiplicando todos os termos da segunda coluna por 3:

061

295

3122

'A det A’ = 165

Multiplicando todos os termos da 1ª linha de A por 2:

021

235

684

"A det A” = 110.

__________________________ P5: Multiplicação de matriz por um número real. Se uma matriz quadrada de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por kn.

Ex.:

13det54

21

AA

3255det2520

1055

AA

P6: Determinante da transposta: O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua transposta.

Ex.1:

13det54

21

AA

13det52

41

tt AA

Ex.2:

55det

021

235

342

BB

55det

023

234

152

tt BB

__________________________ P7: Troca de filas paralelas: Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz obtida é oposto ao determinante da matriz original.

Ex.:

021

235

342

A e

021

342

235

B

Note que, de A para B foram trocadas de posição a primeira com a segunda linhas. Temos que 55det A e 55det B .


P8: Matriz triangular. O determinante de uma matriz triangular é obtido multiplicando-se todos os termos da diagonal principal.

Ex.1:

36632det

600

230

342

AA

Ex.2:

601345det

1887

0332

0041

0005

B

B

__________________________ P9: Teorema de Binet. Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então o determinante de AB é igual ao determinante de A vezes o determinante de B.

Ex.:

13det54

21

AA

29det31

29

BB

377det54

27

ABAB

3772913detdet BA

P10: Teorema de Jacobi Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formando uma outra matriz B, então det A = det B.

14det45

21

AA

Vamos multiplicar os termos da primeira linha por 3 e somar aos termos correspondentes da 2ª linha:

14det28

21

BB .

Note que BA detdet .

__________________________

P11: Determinante da inversa. Sendo A uma matriz quadrada invertível,

e A-1 sua inversa, então 1det

1det

AA .

Sendo A e sua inversa A-1 indicadas abaixo, observe seus determinantes já encontrados:

2det02

11

AA

2

1det

2

11

2

10

11

AA


Observe que 1det

1det

AA , ou seja,

um determinante é o inverso do outro.

__________________________

REGRA DE CHIÓ

A Regra de Chió consiste em aplicar algumas operações de forma a reduzir “as dimensões” de uma matriz e, assim, facilitar o cálculo do determinante porém ela é muito prática se o elemento a11 for igual a 1. Se tal termo for diferente de 1, aplicamos uma ou mais propriedades (já vistas) afim de tornar a11 = 1. Siga os passos da Regra de Chió e, em seguida, veja sua aplicação no exemplo.

1. Sendo a11 = 1, suprime-se a primeira linha e a primeira coluna.

2. De cada elemento restante, subtrai-se o produto dos dois termos suprimidos, na linha e coluna desse elemento restante.

3. Com os resultados das subtrações, obtém-se uma matriz uma ordem menor que a anterior porém com mesmo determinante.

Observe o exemplo a seguir para

entender cada passagem.

Calcule o determinante da matriz

4322

0214

9631

1021

M .

Resolução: Vamos seguir os três passos indicados.

1.

2.

3.


A matriz

636

427

1061

tem o

mesmo determinante que a matriz

4322

0214

9631

1021

entretanto, por ser uma

ordem menor, é mais fácil calcular o determinante e podemos fazê-lo utilizando a regra de Sarrus.

9) Encontre o valor do determinante da

matriz

31240

02231

45123

20232

23012

A .

(Dica: Use o Teorema de Jacobi multiplicando a segunda coluna por 1 e somando à primeira coluna. Assim, você terá a11 = 1. Depois aplique a regra de Chió. Na matriz obtida, troque de posição a 1ª com a 2ª linha e aplique novamente Chió. Você chegará numa matriz de 3ª ordem e encontrará o determinante pela regra de Sarrus)


10) Determine x na equação

16

2000

302

211

000

x

x

x

11) Calcule os determinantes a seguir:

a)

1200

4314

1521

1312

b)

4321

3321

2221

1111


c)

1100

1300

0032

0021

d)

22310

1514

0003

2312

e)

010

102

111

010

d

c

b

a

f)

101

01

01

0011

x

xx

xx


MENOR COMPLEMENTAR

Sendo A uma matriz quadrada de

ordem n 2, denomina-se menor complementar de A pelo elemento aij, o determinante Dij associado a matriz quadrada que se obtém de A ao suprimir a linha i e a coluna j onde está o elemento aij. Esse determinante é chamado de Dij.

Sendo a matriz

1010

461

352

A , temos:

a) menor complementar de A pelo termo a21: Vamos eliminar a segunda linha e a primeira coluna.

Assim, temos que

53...101

3521

D

b) Menor complementar de A pelo termo a33.

7...61

5233 D

12) Calcule o MENOR COMPLEMENTAR de cada um dos 9

termos da matriz

383

510

426

K .


COFATOR

Sendo A uma matriz quadrada de

ordem n 2, denomina-se cofator de um elemento aij o número real

ij

ji

ij DA

1 onde Dij é o menor

complementar de A pelo termo aij.

Sendo a matriz

1010

461

352

A , temos:

a) cofator de A pelo termo a21:

535311 21

12

21

DA

(nota: Esta matriz A é a mesma do exemplo da

página anterior e 21D já havia sido calculado)

b) cofator de A pelo termo a33.

7711 33

33

33

DA

13) Calcule os cofatores de cada um dos

9 termos da matriz

383

510

426

K .

TEOREMA DE LAPLACE

O determinante associado a uma

matriz quadrada A de ordem n 2 é o número que se obtém pela soma dos produtos de cada termo de uma fila qualquer pelos seus respectivos cofatores. Assim, para calcular o determinante de uma matriz quadrada qualquer, devemos escolher uma linha ou coluna, a seguir encontramos cada um de seus cofatores. Multiplicamos cada cofator pelo seu termo correspondente e somamos estes produtos.


Acompanhe o exemplo.

Sendo

341

025

132

A , podemos

calcular Adet a partir dos cofatores de

qualquer de suas filas.. Vamos fazer a partir da 1ª linha e a seguir, a partir da 3ª coluna para verificarmos se os resultados obtidos coincidem. 1. A partir da primeira linha temos que

131312121111det AaAaAaA

66134

021

11

11

A

1515131

051

21

12

A

1818141

251

31

13

A

Assim, temos que:

1518115362

det 131312121111

AaAaAaA

2. Agora, a partir da terceira coluna:

333323231313det AaAaAaA

1818141

251

31

13

A

55141

321

32

23

A

1111125

321

33

33

A

1511350181

det 333323231313

AaAaAaA

Observe que, em ambos os casos, 15det A . Esse valor será

encontrado em qualquer fila escolhida e você pode verificar isto. É importante destacar que, nesta segunda escolha, especificamente no

produto 2323 Aa não havia necessidade

de calcular 23A pois, como 023 a , o

produto seria 0 . Devido a isto, quando vamos calcular determinantes usando o teorema de Laplace, é interessante que escolhamos uma fila onde há uma grande quantidade de zeros, assim, reduziremos a quantidade de cálculos.


14) Calcule os determinantes a seguir preferencialmente utilizando o Teorema de Laplace:

a)

532

406

123

A

b)

431

531

431

B

c)

642

321

532

C

d)

304

021

153

D


e)

350

211

124

E

f)

2001

7302

3011

0240

F

g)

6230

1251

3124

0132

G


h)

43010

22020

25243

13010

01023

H

15) Provar que

cdbcaba

dcba

ccba

bbba

aaaa


16) Calcule o determinante

zyx

zyx

coscoscos

sensensen

111

17) Resolver a equação 0

xaaa

axaa

aaxa

aaax


a)

343125278

492584

7532

1111


b) 222

111

cba

cba

c)

3333

2222

1111

dcba

dcba

dcba

___________________ Neste link, você pode acessar um documento com outras informações sobre Determinantes e também sobre nosso próximo conteúdo – Sistemas Lineares http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads/sites/12/2015/03/Determinantes-e-sistemas-lineares.pdf

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RESPOSTAS

1) a) 2

1 b) -12 c) 6a - 5

2) a) yx sen

b) 1 c) xx cos3sen46

3) a) b

a4

log b) 2m

4) a) 2x ou 2

1x

b) 1x ou 2

1x

5) a) 1 b) -9 c) -40

6) a) 121 b) 22 cab

c) 2684 nm

7) a) 2

1x b) 0x ou 1x

c) 0x ou 2x

8) 3

3x

9) -559

10) 2

11) a) 28 b) 1 c) -2 d) -75 e) 3d – 3a f) 1 – x

12) D11=-43 D12=15 D13=-3 D21=-26 D22=30 D23=54 D31=14 D32=30 D33=-6

13) A11=-43 A12=-15 A13=-3 A21=26 A22=30 A23=-54 A31=14 A32=-30 A33=-6 14) a) 10det A b) 0det B

c) 0det C d) 11det D

e) 17det E f) 38det F

g) 13det G h) 144det H

15) Demonstração

16) xzzyyx sensensen

17) aaS ,3

18) a) 236

b) abacbc

c)

abacbcadbdcd

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto;

Matemática, Volume dois. São Paulo,

Atica, 2005.

IEZZI, Gelson e outros;

Matemática, Volume único. São Paulo,

Atual, 2002.

IEZZI, Gelson e outros;

Fundamentos da Matemática Elementar,

Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,

1977.

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