Introdução à Dinâmica de Estruturas Elevadas

8/17/2019 Introdução à Dinâmica de Estruturas Elevadas

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Dinâmica Estrutural Aplicada a EdifíciosAltos

Abril 2016

Eng. Sérgio E. Stolovas

U1-1

Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais 1

Conceitos gerais de estruturas submetidas a forças

estáticas.


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2Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais

O vento exerce forças essencialmente

horizontais sobre os edifícios.

Essas Histórias de Forças são muito

complexas.

Para edifícios altos os efeitos do vento

na estrutura serão função não somente

da História de Forças, mas também dos

atributos dinâmicos (inerciais e modais)

da estrutura.

Nesta primeira etapa realizaremos uma

revisão de conceitos básicos de

estruturas submetidas a forças

estáticas, rigidez, deformações e

energia.


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F

Trabalho realizado pelas forças aplicadas a uma estrutura elástica

Considerando um processo quase estático no qual a

força é incrementada de 0 até F, o trabalho realizado

pela força aplicada é:


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F

Energia Elástica armazenada

M

Assumindo:

- Processos quase estáticos

- Hipóteses de Euler-Bernoulli (seções

planas permanecem planas).

E desconsiderando a deformada por

cortante, a Energia Elástica dU armazenadaem uma fatia de viga (onde o Momento é

M) será:


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F


U

[ ]

[

(}

]


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F

Energia Elástica armazenada Trabalho realizado pelas forças aplicadas

Teorema de Clapeyron “O trabalho das

forças externas sobre uma estrutura lineal é

igual à Energia Elástica armazenada” :

U


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F

Teorema II de Castigliano “A derivada parcial

da Energia Elástica armazenada respeito de

uma força é igual ao deslocamento onde a

força é aplicada na direção da força”

U





Para qualquer trecho de viga (pilar) de comprimento ∆ no qual o momento mudalinearmente entre e :

A Energia Elástica armazenada será:

Em particular:



Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de estruturas de 1 grau de liberdade

F

ℎ

3

Rigidez é a força que

provoca um deslocamento

unitário

Flexibilidade é o

deslocamento provocado

por uma força unitária

1 1



Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de estruturas de 1 grau de liberdade

F

ℎ2

ℎ

2

ℎ

6 (ℎ2 )ℎ

6 ℎ24

Castigliano:

ℎ12

1



Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de um pórtico simples

F

ℎ 2

E

E E

2 ( ℎ )

2 Teorema II de Castigliano “A derivada parcial daEnergia Elástica armazenada respeito de umaforça é igual ao deslocamento onde a força é

aplicada na direção da força”

Teorema de Menabrea: “As reações de

estruturas hiperestáticas se correspondem com

valores que fazem a Energia Elástica extrema”

16 ℎ 16

2



Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de um pórtico simples

F

E

E E

→

++ independente de F

ℎ

≫ℎ

→ ∞ →ℎ2

≪ℎ

→ 0 → ℎ

ℎ > > ℎ2


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Pórtico

F

~ F/2 F/2

F/2F/2

R

RR

R

MiMi

ℎ 2

> para vigas flexível para vigas infinitamente rígida

ℎ


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Pórticos com viga infinitamente rígida ( ≫ )F

~ F/2 F/2

F/2F/2

R

RR

R

MiMi

ℎ2 ℎ4

ℎ



Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de um pórtico simples com viga infinitamente rígida

F

ℎ24 ℎ/4

ℎ/4 ℎ/4

ℎ/4

E → ∞ ; → 0 ~ 2 ( /) =

8

d l b l d d d l l b l



Rigidez e Flexibilidade de um pilar vertical em balanço

6

3

Teorema II de Castigliano “A derivada parcial da

Energia Elástica armazenada respeito de uma

força é igual ao deslocamento onde a força é

aplicada na direção da força”

Para achar o deslocamento para um ponto idiferente do qual está aplicada a força se

agrega uma força R no local i e se estuda :

, → =

3

6 <

i id l ibilid d d il i l b l



Rigidez e Flexibilidade de um pilar vertical em balanço

3

3

6

Flexibilidade no grau deliberdade i associada à força aplicadano grau de liberdade j será o

deslocamento em i quando a força éunitária ( =1)

−

quando ≤

Flexibilidade



Teorema de reciprocidade de Maxwell

“

e

são forças unitárias aplicadas nos nós

e respectivamente. O deslocamento nadireção e local de provocado por é igualà deformação na direção e local de provocado por ”


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……

= ……


Notação de deslocamentos nos diferentes graus de liberdade.

Graus de liberdade = “DOF” = coordenadas (parâmetros) independentes que

determinam a configuração de deformação da estrutura.

A direção ou tipo dos “DOF” graus de liberdade são de acordo a

convenções predeterminadas e podem ter direções e sentidos de

acordo às convenções pré-estabelecidas.

Em geral os “DOF” estão associados aos deslocamentos dos diferentes nós

que compõem a estrutura. A direção e sentido são geralmente coincidentes

com as direções e sentidos do sistema global.

= deslocamento associado ao DOF

DOF= Degrees Of Freedom

ot ção:

= vector deslocamento generalizado para uma estrutura de n DOFs


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……


Podem ser definidos até 6 DOF por cada nó da estrutura (3

deslocamentos e 3 rotações).

Para simplificar deve se reduzir os DOF da estrutura.

Porém, a redução implicará também uma redução das forças que é

possível aplicar na estrutura.

Por exemplo, caso não sejam definidas rotações como DOF não poderá

se definir momentos aplicados em nós da estrutura.

DOF= Degrees Of Freedom

= vector força generalizado para uma estrutura de n DOFs

……

Forças e deslocamentos nacomponente i devem estar

correlacionadas ao mesmo

DOF i da estrutura.



… … … … … … … … … … … … … … … … … …

… …

Matriz de Flexibilidade

deslocamento no

DOF i quando é

aplicada uma

carga unitária no

DOF j

deslocamento no

DOF j quando é

aplicada uma

carga unitária no

DOF i

deslocamentos

devidos a uma

carga unitária no

DOF j

……

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

……

=



Matriz de Rigidez

Força que tenho

que aplicar no DOF

i quando é

imposto um

deslocamento

unitário em j e

nenhumdeslocamento no

resto dos DOF.

Forças que tenho

que aplicar nos

diferentes DOF da

estrutura para que

o deslocamento

em j seja unitário

e zero no resto.

… … … … … … … … … … … … … … … … … …

… …

Força que tenho

que aplicar no DOF

j quando é

imposto um

deslocamento

unitário em i e


resto dos DOF.

Teorema de Betti :

“O trabalho realizado por um grupo de Forças

R1 durante a deformação produzida por outro

grupo de forças R2 é igual ao trabalho

realizado pelo R2 durante a deformação

produzida por R1”



Matriz de Rigidez

Força que tenho

que aplicar no DOF

i quando é

imposto um

deslocamento

unitário em j e


resto dos DOF.

Forças que tenho

que aplicar nos

diferentes DOF da

estrutura para que

o deslocamento

em j seja unitário

e zero no resto.

… … … … … … … … … … … … … … … … … …

… …

Força que tenho

que aplicar no DOF

j quando é

imposto um

deslocamento

unitário em i e


resto dos DOF.

……

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

……

=



Matriz de Rigidez ……

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

……

+ +...++...+

= 10…0…0

+ 01…0…0

+...+ 00…1…0

+...+ 00…0…1

+ +...++...+



−

→ é


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Matriz de Flexibilidade Matriz de Rigidez


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Matriz de Flexibilidade Matriz de Rigidez

3

6

para ≤

para > −


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Trabalho realizado pela força :

12 Trabalho total realizado por todas as forças ∶

=

……

1 2

…

…

=

() = K

K X = U Teorema de Clapeyron “O trabalho das

forças externas sobre uma estrutura lineal é

igual à Energia Elástica armazenada” :

Flexibilidade de pórticos com viga infinitamente rígida (e pilares infinitamente rígidos a


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1


força axial

ℎ/4

ℎ/4 ℎ/4

ℎ/4

E → ∞ ; → 0

í ( )

í ( )

1

MEMO:



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força axial

í ( )

í ( )

~=

8

( )

( )

: = =

:

Flexibilidade de pórticos com vigas infinitamente rígidas (e pilares infinitamente rígidos


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Flexibilidade de pórticos com vigas infinitamente rígidas (e pilares infinitamente rígidos

a força axial)

=



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força axial

1 1 1 1 1

1 2 2 2 21 2 3 3 31 2 3 4 41 2 3 4 5

1 /

2 1 0 0 0

1 2 1 2 00 1 2 1 00 0 1 2 10 0 0 1 1

Caso todos os andares sejam igualmente flexíveis:

Padrão de deformação de pórticos com vigas rígidas (deformação tipo cortante)


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Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais

ad ão de de o ação de pó t cos co gas g das (de o ação t po co ta te)

Para pórticos (com carga

uniforme) o deslocamento

relativo entre lajes

consecutivas (“drift” ou

“deriva”) diminui nos andares

superiores

Padrão de deformação de elementos flexionais


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ç

Padrão de deformação de elementos flexionais


36/46


ç

Para elementos flexionais (com

carga uniforme) o

deslocamento relativo entre

lajes consecutivas cresce para

andares superiores.

Interação entre elementos com deformação flexional e elementos com deformação de


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ç ç ç

tipo cortante supondo que as lajes são de borracha.

Interação entre elementos com deformação flexional e elementos com deformação de


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tipo cortante supondo que as lajes são de borracha.

Elementos flexionais tendem a

se comportar mais

rigidamente nos andares

inferiores e os pórticos nos

superiores.

Isso acontece mesmo quando

os pórticos são menos rígidos

que os núcleos flexionais.

O que acontece é uma

”pedalada” com transferênciade forças de núcleos a pórticos

e a devolução aos núcleos

flexionais nos andares

inferiores.

Interação entre pórticos e pilares em balanço:


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=

−



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Arquivos Excel para treinar conceitos (1):


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Documents

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