Introdução à Integral

Definida Aula 04 – Matemática II – Agronomia

Prof. Danilene Donin Berticelli

Área

Desde os tempos mais antigos os

matemáticos se preocupam com

o problema de determinar a área

de uma figura plana.

O procedimento mais usado foi o

método da exaustão, que consiste

em aproximar a figura dada por

meio de outras, cujas áreas são

conhecidas.

Por exemplo

Podemos citar o círculo. Para definir sua área consideramos um polígono

regular inscrito de n lados, que denotamos por Pn.

A área do círculo será dada Ac = n.At onde At = área do polígono e n o

número de polígonos inscritos.

r

ht

b

Como a área do polígono é a área do triângulo temos:

𝐴𝑡 =𝑏. ℎ𝑡

2

E o perímetro do polígono é

𝑃𝑛 = 𝑛. 𝑏

A área do círculo será dada por

𝐴𝑐 = 𝑛. 𝑏.ℎ𝑡

2= 𝑃𝑛.

ℎ𝑡

2

Temos:

lim𝑛→∞

𝐴𝑛 =2𝜋𝑟.𝑟

2= 𝜋𝑟², que é a área do círculo.

Fazendo 𝑛 crescer cada vez mais, isto é, 𝑛 → ∞, o polígono Pn torna-se uma

aproximação de um círculo. O perímetro pn aproxima-se do comprimento da

circunferência 2𝜋𝑟 e a altura ht aproxima-se do raio 𝑟.

Para definir a área de uma figura plana qualquer,

procedemos de forma análoga. Aproximamos a figura

por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos

métodos da geometria elementar.

Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana 𝑆,

delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa y = 𝑓(𝑥), pelo eixo dos 𝑥 e por duas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏.

Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a,b], isto é, dividimos o intervalo

[a,b] em 𝑛 subintervalos, escolhendo os pontos:

Veja figuras abaixo.

Na primeira subdividimos a área em quatro subintervalos.

Na segunda subdividimos a área em oito subintervalos.

Considerando:

𝑛 o número de retângulos;

Cada retângulo tem base ∆𝑥 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

A altura de cada retângulo igual a 𝑓 𝑥𝑛

A soma das áreas dos 𝑛 retângulos, que representamos por 𝑆𝑛 é dada por:

𝑆𝑛 =𝑓 𝑥1 . ∆𝑥1 +

𝑓 𝑥2 . ∆𝑥2+...+𝑓 𝑥𝑛 . ∆𝑥𝑛= 𝑓(𝑥𝑛)∆𝑥𝑛

𝑛𝑥=1

Soma de Riemann

Podemos observar que à medida que n cresce muito, ∆𝑥 diminui,

tornando-se muito pequeno, e com isso a soma das áreas retangulares

aproxima-se do que intuitivamente entendemos com área de S.

Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função contínua, não negativa e

[𝑎, 𝑏]. A área sob a curva de 𝑦 = 𝑓(𝑥), de 𝑎 até 𝑏, é definida por:

𝐴 = lim𝑚á𝑥∆𝑥𝑖→0

𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 ,

Definição:

Exemplo

Seja R a região sob a curva da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 no intervalo 1 ≤ 𝑥 ≤ 3,

como indica a figura.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4

f(x)=2x+1

Como

calcular essa

área?

1º passo: decidir o número de intervalos

𝑛 e calcular ∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛.

∆𝑥 =3−1

4=

1

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4

f(x)=2x+1

2º passo: construir uma tabela com

valores correspondentes:

𝒙𝒊 1 3/2 2 5/2

𝑓(𝑥𝑖) 3 4 5 6

3º passo: Calcular a área usando a

Soma de Riemann:

𝑆 = 3 + 4 + 5 + 6 .1

2

𝑆 = 9

Se continuarmos a subdividir a região R usando um numero cada vez maior

de retângulos, as somas correspondentes se aproximam cada vez mais da

área exata de A.

Exemplo: aumentando o número de intervalos 𝑛 e calcular ∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛.

∆𝑥 =3 − 1

8=

1

4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4

f(x)=2x+1

𝒙𝒊 1 5/4 3/2 7/4 2 9/4 5/2 11/4

𝑓(𝑥𝑖) 3 7/2 4 9/2 5 11/2 6 13/2

Calcular a área usando a Soma de Riemann:

𝑆 = 3 +7

2+ 4 +

9

2+ 5 +

11

2+ 6 +

13

2.1

4

𝑆 =9,5

A Integral Definida

A área é apenas uma das muitas grandezas que podem ser expressas

como o limite de uma soma. Para lidar com todos os casos, incluindo

aqueles nos quais a condição 𝑓 𝑥 ≤ 0 não é satisfeita, usamos Integral

Definida.

Seja 𝑓(𝑥) uma função contínua no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤

𝑏. Suponha que este intervalo tenha sido dividido em 𝑛 partes iguais de

largura ∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛 e seja 𝑥𝑗 um número pertencente ao intervalo de ordem j,

para j = 1, 2, ..., n. Forme a soma

𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 . ∆𝑥

Conhecida como Soma de Riemann

Integral Definida

A Integral Definida

Neste caso, a integral definida de 𝑓(𝑥) no intervalo

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, representada pelo símbolo 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎é dada pelo limite da Soma

de Riemann quando 𝑛 → ∞, ou seja,

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim𝑛→∞

𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 . ∆𝑥 𝑏

𝑎

A função f(x) recebe o nome de integrando e os números 𝒂 e 𝒃 são

chamados de limite inferior de integração e limite superior de integração,

respectivamente. O processo de calcular uma integral definida é chamado

de integração definida.

Integral Definida

A área como uma integral definida

Seja f(x) uma função contínua e 𝑓(𝑥) ≥ 0 no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, a área A

da região R sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 é dada pela

integral definida

𝐴 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

R

O Teorema Fundamental do Cálculo

Se calcular o limite de uma soma fosse a única forma de obter o valor de

uma integral definida, o processo de integração provavelmente não

passaria de uma curiosidade matemática.

Felizmente, existe um meio mais simples de executar o cálculo, graças a

um importante teorema que relaciona a integral definida à antiderivação.

Teorema Fundamental do Cálculo: Se a função f(x) é contínua no

intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)𝑏

𝑎

Onde F(x) é a antiderivada de f(x) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Nas aplicações do teorema fundamental, usaremos a

notação:

𝐹 𝑥 𝑏𝑎

= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

Assim,

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑏𝑎

= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)𝑏

𝑎

Exemplos

1) Use o teorema fundamental do cálculo para determinar a área da região

sob a curva da reta y = 2x+1 no intervalo 1 ≤ 𝑥 ≤ 3.

2) Calcule as integrais definidas:

a) (𝑒−𝑥+ 𝑥)𝑑𝑥1

0

b) 1

𝑥− 𝑥2 𝑑𝑥

4

1

Regras para Integrais Definidas

Sejam 𝑓 e 𝑔 funções contínuas no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Nesse caso,

Regra da multiplicação por

uma constante:

𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

onde k é uma

constante

Regra da soma:

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Regra da diferença 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0𝑎

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

Regra da subdivisão:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑐

𝑐

𝑎

𝑏

𝑎

Exemplos

Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo −2 ≤ 𝑥 ≤ 5 que satisfazem

as equações:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 35

−2

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −45

−2

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 75

3

Use as informações para calcular as seguintes integrais definidas:

a) 2𝑓 𝑥 − 3𝑔 𝑥 𝑑𝑥5

−2

b) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥3

−2

Uso da substituição em Integrais

Definidas

Quando usamos a substituição 𝑢 = 𝑔(𝑥) para calcular a integral definida da

forma 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,𝑏

𝑎 podemos proceder de duas formas diferentes:

1. Usar a substituição para obter uma antiderivada 𝐹(𝑥) de 𝑓(𝑥) e em seguida

calcular a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo.

2. Usar a substituição para expressar o integrando e 𝑑𝑥 em termos de 𝑢 e 𝑑𝑢 e

substituir os limites originais de integração, 𝑎 e 𝑏 , por limites transformado

𝑐 = 𝑔(𝑎) e 𝑑 = 𝑔(𝑏). A integral original pode ser, então, calculada aplicando o

teorema fundamental do cálculo à integral definida transformada.

Exemplos:

Determine 8𝑥(𝑥2 + 1)³1

0 usando as duas opções citadas anteriormente.

Exercícios

1) Calcule a integral definida usando o teorema

fundamental do cálculo:

a) 𝜋𝑑𝑥1

−2

b) 5 − 2𝑡 𝑑𝑡4

1

c) 2 𝑢 𝑑𝑢4

1

d) 𝑥−3/2𝑑𝑥9

4

e) 1

𝑒𝑥 −1

𝑒−𝑥 𝑑𝑥1

−1

f) −3𝑥5 − 3𝑥2 + 2𝑥 + 5 𝑑𝑥0

−1

g) 𝑡 −4

𝑡𝑑𝑡

9

1

h) 𝑥2 𝑥 − 1 𝑑𝑥6

1

i) (2𝑥 + 6)4𝑑𝑥0

−3

j) 𝑥²

(𝑥3+1)²

2

1𝑑𝑥

k) 6𝑡

𝑡2+1𝑑𝑡

1

0

l) (𝑡 + 1)(𝑡 − 2)6𝑑𝑡2

1