Teoria da Relatividade

Os corpos ou meios poderão estar em repouso ou em movimento. Daí seguem as outras separações: estática, cinemática, dinâmica

Mecânica

M. dos corpos rígidos M. dos corpos deformáveisou meios contínuos ou sólidosM. dos fluídos

M. dos materiais (resistência dos materiais)

Isaac Newton (1642-1727)

Corpo rígido: não muda a sua formaFluído: não resiste ao corteCorpos deformáveis: mudam de forma e resistem ao corte

Albert Einstein (1879-1955)

1. Hierarquia da Mecânica Clássica ou Newtoniana

Introdução

2. Conceito do meio contínuo, objectivos e restrições de MMC

Objectivos de MMC:

Formular equações que servem para determinar a resposta do MC ao carregamento

Solicitações às quais os MC estão sujeitos do exteriorCarregamento:

Pelo contacto (por exemplo com outros corpos):forças exteriores de superfície [N/m2]

À distância:forças exteriores de volume: peso = acção de campo de gravidade,forças de inércia [N/m3]... campo eléctrico, campo magnético ... variações de temperatura (campo térmico)

Nota:Quando a área de contacto é muito inferior à área total, as forças distribuídas poderão ser substituídas pelas forças concentradas [N] ou forças de linha [N/m], o que representa uma simplificação da carga real

Homogeneidade Comportamento igual em cada ponto

Isotropia Comportamento igual em cada direcção

A resposta do MC exprime-se em termos de TENSÕES, DEFORMAÇÕES E DESLOCAMENTOS,

que são desconhecidos em cada ponto do MC e cada instante

incógnitas básicas do problema

A resposta do MC depende das propriedades (comportamento) do MC

Objectivo (além de determinar a resposta):Avaliar

DimensionarOptimizar

Forças diferentes

Corposrígidos ou

deformáveis1Fr

2Fr

Forças terão um conceito diferente do que na estática

1Fr

2Fr

Corpos rígidosForças = vectores deslizantesForças iguais ou equivalentes:quando têm a mesma linha de acção (direcção), intensidadee sentido

1Fr

2Fr Corpos deformáveis

Forças: vectores fixos, o ponto de aplicação da força é importante(corresponde ao ponto na superfície do corpo)

2Fr

1Fr

3. Tensores cartesianos, cálculo tensorial

Quantidades físicas:

EscalaresVectoresTensores de segunda ordem...

Tensores de ordem zeroTensores de primeira ordemTensores de segunda ordem...

Campos físicos:

Quantidades físicas como “funções” de posição e/ou de tempo

Relacionadas a uma dada posição e um dado tempo

Campo escalarCampo vectorialCampo tensorial de segunda ordem...

Escalares

direcção

1 valor é suficiente para descrição completa

Exemplos: temperatura, massa, densidade, tempo

É preciso 3 valores para descrição completa de um vector livre

Representação geométrica

Vectores

intensidade

sentido

O vector é plenamentedeterminado no ponto P

quando sabemos:

Sentido

Ponto de aplicação

Direcção

Intensidade

Fr

4. Descrição matemática dos tensores

Componentes num dado referencial

3n em 3D2n em 2D

Número de componentes necessárias:

Definição

A quantidade física chama-se tensor quando as suas componentes obedecema lei de transformação

Tensores de segunda ordem

O tensor de segunda ordem é plenamente determinado no ponto Pquando sabemos 3 vectores de pontos de aplicação P, relacionadosà 3 planos diferentes, não paralelos, que se intersectam no P

É preciso 9 valores para descrição completa

Representação geométrica dos tensores ... mais tarde de acordo com o significado físico

onde n corresponde à ordem do tensor

Nota:Quantidades físicas:

Componentes são númerosCampos físicos:

Componentes são funções

Sistema de coordenadas ou referencial cartesiano

Três eixos rectos mutuamente perpendiculares

Vectores base com a norma igual

Habitualmente direito

Regra de mão direita

x

y z

Dedos de x para y Polegar mostra orientação positiva de z

Dedos de y para z Polegar mostra orientação positiva de x

Dedos de z para x Polegar mostra orientação positiva de y

Tensores cartesianos

A lei de transformação é válida apenas no sistema cartesiano

René Descartes (1596-1650)irx y

z

kr

jr

kjirrr

==

x

z

yFr

ir j

r

kr

∑=

=++=++=++=3

1iii332211zyxzyx eFeFeFeFkFjFiFFFFFrrrrrrrrrrr

{ } ( )Tzyx

z

y

x

F,F,FFFF

F =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

)F,F,F(F zyx=r

vectorial

matricial

Representação geométricano referencial

3z2y1x eekeejeeirrrrrrrrr

≡≡≡≡≡≡

Vectores

Representação matemática

Rotação do sistema de coordenadasy

x

x’

y’

Fx

Fy

Fx’Fy’ α

Frα

α

α

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡αα−αα

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′

′

y

x

y

x

y

x

FF

cossinsincos

FF

FF

R é matriz ortogonal

Componentes de vectores base do sistema rodado,ou seja os cosenos directores dos versores dos eixos rodados,

formam as colunas de matriz de transformação de base do referencial [B]

[ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ααα−α

==cossinsincos

RB T [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡αα−αα

=cossinsincos

R

Derivação da lei de transformação

[ ] [ ]T1 RR =−

2D

α+α=′ sinFcosFF yxx

α−α=′ sinFcosFF xyy

[ ] 1Rdet ±=Para referencial direito

Tensores de segunda ordem

[ ] [ ] [ ] [ ]TRTRT ⋅⋅=′

Representação das componentes na forma matricial

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

yyx

xyx

yyyx

xyxx

TTTT

TTTT

TTTT

T

[ ] [ ] [ ] [ ]RTRT T ⋅′⋅=

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

333231

232221

131211

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

TTTTTTTTT

TTTTTTTTT

TTTTTTTTT

T

1-x, 2-y, 3-z

Tensores de ordem maior ...

Lei de transformação

5. Álgebra tensorial

Cálculo matricial e vectorial até tensores de segunda ordem

Cada tensor de segunda ordem pode ser escrito como somada sua parte simétrica e antissimétrica

[ ] [ ] [ ]AST += ( ) 2/TTS jiijij += ( ) 2/TTA jiijij −=

jiij TT = 0TTT iijiij =⇒−=

Tensor simétrico Tensor antisimétrico

Tensores cartesianos de segunda ordem

A propriedade mantém-se, qualquer que seja o referencial

Cada tensor de segunda ordem simétrico pode ser escrito como somaa sua parte esférica (isotrópica, volúmica) e desviatórica (tangencial)

[ ] [ ] [ ]DITT m +=3

TTTT 332211m

++=

jiTD ijij ≠∀=

miiii TTD −=

0DDD 332211 =++Valores e vectores próprios (principais)

Existe solução não trivial para {v} quando [ ] [ ]( ) 0ITdet =λ−

Os números λ que asseguram a nulidade do determinantechamam-se valores próprios, pode-se provar que são reaisno caso dos tensores simétricos

Assim as equações (Eq. 1) são linearmente dependentes, por isso o númerodas soluções para {v} relacionado a cada λ é infinito

[ ] [ ]( ) { } { }0vIT =⋅λ− (Eq. 1) corresponde a n equaçõesalgébricas lineares homogéneas

Em 2D a resolução pode ser facilmente exprimida analiticamenteO problema pode ser definido de três maneiras equivalentes:1. Resolver a equação característica ->valores próprios ->vectores próprios2. Encontrar o máximo e o mínimo dos valores diagonais3. Encontrar a rotação para a qual Txy=0

2D 0II 212 =+λ−λ[ ] [ ]( ) ( ) 0IIITdet 21

2 =+λ−λ−=λ−

[ ]( )TtraçoT2I m1 ==

[ ]( )TdetI2 = 2TT

T yxm

+=

θθ+θ+θ=′ cossinT2sinTcosTT xy2

y2

xx

θθ−θ+θ=′ cossinT2cosTsinTT xy2

y2

xy

( ) ( )θ−θ+θθ−−=′ 22xyyxxy sincosTcossinTTT

Lei detransformação

Invariantes Escalares que não alteram o seu valor com a rotação do referencialI1, I2 são invariantes fundamentais Nota:

Invariante dos vectores: norma

θ+θ−

++

=′ 2sinT2cos2

TT2

TTT xy

yxyxx

θ−θ−

−+

=′ 2sinT2cos2

TT2

TTT xy

yxyxy

θ+θ−

−=′ 2cosT2sin2

TTT xy

yxxy

2xy

2yx T

2TT

R +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

( )yx

xyp TT

T22tg

−=θ

RTT mmax += RTT mmin −=

de x até x’ou de y até y’

0Tpara xy >

( )max( )minx

y

0Txy =′

Cristian Otto Mohr(1835-1918)

( ) 22xy

2mx RTTT =′+−′

θ+=′ 2cosRTT mx

Justificação da circunferência

Começandodo estado principal θ−=′ 2cosRTT my

θ−=′ 2sinRTxy

( ) 22xy

2my RTTT =′+−′ou

Circunferência de Mohr [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

yxy

xyx

TTTT

T

Valores diagonais

x -> positivos para baixoy -> positivos para cima

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′′′

=′yxy

xyx

TTTT

T

x′

θ

x

xyT

( ) 2/TT yx −

R

p2θ

2xy

2yx T

2TT

R +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

θ2

mTminT

( )x

maxT

p2θ

0Txy >

yT

( )y

Valores fora de diagonal

( )x′

( )y′

θ

xT

xT′

yT′

0Txy <′

( )yx

xyp TT

T22tg

−=θ

[ ]( )Tdet

[ ]( )Ttraço

Referencial alindado com dir. principaisReferencial originalInvariantes

yx TT + minmax TT +

minmax TT ⋅2xyyx TTT −⋅

Depois da resolução dos valores e direcções principais convém verificaros invariantes (fundamentais)

R = máximo da componente fora de diagonal,neste caso as componentes diagonais não se anulam, ambas têm o valor Tm

2TTRT minmax

max,xy−

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

min

max

T00T

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mmax,xy

max,xym

TTTT

T

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

mmax,xy

max,xym

TTTT

T

( )max

( )min x′

x ′′

Pólo irradiante de facetas

( )xfaceta

x

y( )yfaceta

Os eixos de coordenadas correspondem às normais das facetas

x′

θ

x( )xfaceta ′

mT

( )x

p2θ

pólo ( )( )maxdirecção

minfaceta≡

( )( )mindirecção

maxfaceta≡

( )y

minT ( )x′

( )xfaceta

( )yfaceta ( )xfaceta ′

θ2maxT

maxmin

( )maxfaceta

( )minfaceta

max

min maxTP ≡minT

( )x

( )y ( )xP ′≡x

y

x′

Casos específicos

xy

x′

?Tx =′

?Ty =′

?Txy =′

Ponto (x’) está acimado eixo horizontal,por isso T’xy<0

mT

( )x

( )yP

( )x′

xyT′( )xfaceta ′

xT′

yT′

aTbT

cT xθ

αβ

xDevido ao referencial introduzido:

xa TT =

( ) ( ) ( ) ( )αα+α+α= cossinT2sinTcosTT xy2

y2

ab

( ) ( ) ( ) ( )β+αβ+α+β+α+β+α= cossinT2sinTcosTT xy2

y2

xc

Sabemos: incógnitas:cba T,T,T xyyx T,T,T

Determinação das componentes sabendo três valores diagonais

Resolver xyy T,T

Solução gráfica

aTbT

cT

α

β

Desenho auxiliar

( )a

[ ]a

α

β

α2

β2

( )b

( )c

arbitrário

( )β−α−π2

[ ]b[ ]c

maxTminT

α

α2

α

Desenho original

aTbT

cT

αβ

Invariantes fundamentais

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

zxz

xzx

zyz

yzy

yxy

xyx2 TT

TTdet

TTTT

detTTTT

detI

[ ]( )TtraçoT3I m1 ==

Existem pelo menos três vectores principais normalizados (ex. do sentido)Quando os valores próprios são diferentes, os vectores principais normalizadossão 3 (unicamente definidos excepto do sentido) mutuamente ortogonais

Os valores principais são 3, contudo podem ser múltiplos

Calculam-se como raízes da equação característica

0III 322

13 =−λ+λ−λ[ ] [ ]( ) ( ) 0IIIITdet 32

21

3 =−λ+λ−λ−=λ−

[ ]( )TdetI3 =

I1, I2 e I3 são também chamados invariante linear, quadrático, cúbicoOutros invariantes: combinação de I1, I2 e I3, e também por exemplo valores próprios

3D

Os vectores próprios (ortogonais) definem um referencial, relativamente a quala matriz de coeficientes é diagonal

Valores na diagonal são os valores próprios (forma canónica)O máximo dos valores próprios é o máximo de todas as componentes normais,

qualquer que seja o referencialO mínimo dos valores próprios é o mínimo de todas as componentes normais,

qualquer que seja o referencialA matriz de transformação de base [B] tem colunas formadas pelos

vectores próprios normalizados

Valores próprios

A solução é única, por isso encontrando a matriz de coeficientes diagonal, pode-se concluir que o referencial é formado pelos vectores próprios e que

os valores na diagonal são principais, um deles o máximo e um deles o mínimo

Cálculo das raízes da equação característica (valores próprios):

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

=θ 2/3

221

32131

I3I2I27II9I2arccos

31 2,1,0j,

32jcosI3I

32

3I

221

11j =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+θ−+=λ +

Depois de calcular valores próprios, usa-se o sistema de equações (Eq. 1) com o valor próprio substituído, para calcular os vectores próprios normalizados

Casos particulares

321 λ=λ≠λ(1)

(3)(2)

No caso particular da figura ao lado, vectores (2) e (3) não são unicamente definidos. Todos os vectores que satisfazem a equação com o valor λ2= λ3 substituído, formam um plano, cuja normal coincide com a direcção (1)

⇒λ=λ=λ 321 qualquer direcção é principal

Simplificação para o caso 2D

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

CDDA

T[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

C0D0B0D0A

T

Já é valor principal

Vector principal correspondente: ( ){ } ( )T2 0,1,0v =

Valores máximos fora de diagonal

2TTT 31

max,xz−

=

( )1

( )2

( )3

3211 TTTI ++= 3132212 TTTTTTI ⋅+⋅+⋅= 3213 TTTI ⋅⋅=

3D

Invariantes no referencial principal

Usando as conclusões de 2D

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−±

−±

+

2TT0

2TT

0T02

TT02

TT

3131

2

3131

Círculo de Mohr

1T2T3T

Círculos fundamentais

Depois da resolução dos valores e direcções principais convém verificaros invariantes e a ortogonalidade de vectores próprios