Introdução à Álgebra ComutativaLista 1: Anéis e Ideais

Ex. 1 — Seja S ⊆ A um subconjunto de umanel A. Mostre que:

1. 〈S〉 é um ideal de A .2. 〈S〉 é o menor ideal de A que contém o

subconjunto S.3. Se a, b ∈ A então 〈a · b〉 = 〈a〉 · 〈b〉.

Ex. 2 — Se f : A → B é um homomorfismode anéis e J um ideal de B, então a pré-imagemf−1(J) é um ideal de A.

Ex. 3 — O elemento a ∈ A é uma unidade see somente se 〈a〉 = A = 〈1〉.

Ex. 4 — Prove o Teorema da Correspondênciade Ideais : os ideais de A/I estão em bijeção comos ideais de A que contém I. Mostre que estabijeção preserva ideais primos e maximais.

Ex. 5 — Prove que todo ideal próprio I de Aestá contido num ideal maximal.

Ex. 6 — Seja A um anel não nulo. Mostre queas seguintes afirmações são equivalentes:

a. A é um corpo;

b. os únicos ideais de A são 0 e A;

c. todo homomorfismo de A num anel nãonulo B é injetivo.

Ex. 7 — Mostre que p é um ideal primo se esomente se A/p é um domínio de integridade.

Ex. 8 — Demonstre que todo homomorfismode anéis f : A → B induz um isomorfismo deanéis f : A/Ker(f) → Im(f) dado por f(a) =f(a).

Ex. 9 — Seja A um anel, mostre queA[x1,...,xn]

〈x1−a1,...,xn−an〉' A.

Ex. 10 — Seja k um corpo e seja f(x) ∈ k[x]um polinômio não nulo com fatoração

f(x) = a · p1(x)e1 · · ·pr(x)er ,

em potências de polinômios mônicos irredutíveisdistintos pi(x).

1. Mostre que:

k[x]〈f(x)〉

' k[x]〈p1(x)e1〉

× · · · × k[x]〈pr(x)er〉

.

2. Conclua que Fq[x]

〈xq−x〉 ' Fq × · · · × Fq︸ ︷︷ ︸q vezes

Ex. 11 — Sejam I, J e K ideais de A. Mostreque:

1. I+ J é o menor ideal de A contendo I e J.2. I ∩ J é ideal de A3. I · J ⊆ I ∩ J4. Se I+ J = A, então I · J = I ∩ J5. I · (J+ K) = I · J+ I · K6. Se J ⊆ I ou K ⊆ I então I ∩ (J + K) =I ∩ J+ I ∩ K (Lei Modular).

Ex. 12 — Seja A um anel e f = a0 + a1x +. . . anx

n ∈ A[x], mostre que:1. f é unidade em A[x] se e somente se a0

é unidade em A e a1, . . . , an forem nilpo-tentes.

2. f é nilpotente em A[x] se e somente sea0, a1, . . . , an forem nilpotentes.

3. f é um divisor de zero em A[x] se e so-mente se existe a 6= 0 em A tal queaf = 0.

Ex. 13 — Seja p um ideal primo e sejam Iiideais quaisquer do anel A. Mostre que p ⊇I1I2 · · · In ⇐⇒ p ⊇ Ii para algum i.

1

Ex. 14 — Seja A o anel das funções reais con-tínuas em [0, 1], i.e,

A = {f : [0, 1] → R| f é contínua}.

Mostre que qualquer ideal maximal de A é daforma

Ix = {f ∈ A|f(x) = 0}

para algum x ∈ [0, 1]. Conclua que existe umabijeção entre pontos x ∈ [0, 1] e ideais maximaisde A.

Ex. 15 — Mostre que o nilradical

N(A) := {a ∈ A, ∃n ∈ N > 0 : an = 0}

é um ideal de A.

Ex. 16 — Se I é ideal de um anel A, definimoso radical de I por√I = {a ∈ A|an ∈ I, para algum n > 0}

1. Mostre que√I é um ideal de A contendo

I.2. Dado π : A → A/I a projeção canônica.

Mostre que√I = π−1 (N(A/I))

3. Mostre que√√

I =√I

4. Mostre que√I · J =

√I ∩ J =

√I ∩√J.

5. Mostre que se I é primo então√In = I

para todo n ∈ N.

Ex. 17 — Um ideal I de um anel A é dito ra-dical se

√I = I. Mostre que

1. Todo ideal primo é radical.2. (0) é ideal radical de Z/nZ se, e somente

se, n é livre de quadrados.1 Deduza que〈n〉 é ideal radical de Z se, e somente se,n é livre de quadrados.

Ex. 18 — Dado A um anel e N o seu nilradi-cal. Mostre que são equivalentes:

a. A possui apenas um ideal primo;

b. Todo elemento de A ou é uma unidade ounilpotente;

c. A/N é um corpo.

Ex. 19 — Sejam I, J e K ideais de A. Mostreque:

√I+ J · K =

√I+ J ∩ K =

√I+ J ∩

√I+ K

Ex. 20 — Sejam I, Ii, J, Ji e K ideais de A.Definimos o ideal quociente de I por J comosendo (I : J) = {a ∈ A | a · J ⊆ I}. Mostre que:

1. (I : J) é um ideal de A que contém I.2. ((I : J) : K) = (I : J · K) = ((I : K) : J)

3. (⋂i Ii : J) =

⋂i(Ii : J)

4. (I :∑

i Ji) =⋂i(I : Ji)

1Um número natural é dito livre de quadrados se não for divisível pelo quadrado de nenhum número inteirodiferente de 1.

2