Embed Size (px)
Citation preview
INÊS ESTEVES
INVESTIGANDO OS FATORES QUE
INFLUENCIAM O RACIOCÍNIO
COMBINATÓRIO EM ADOLESCENTES DE
14 ANOS – 8ª SÉRIE DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Mestrado em EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PUC – SP2001
INÊS ESTEVES
INVESTIGANDO OS FATORES QUEINFLUENCIAM O RACIOCÍNIO
COMBINATÓRIO EM ADOLESCENTES DE14 ANOS – 8 ª SÉRIE DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada com exigênciaparcial para a obtenção do título deMESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICAà Pontifica Universidade Católica de SãoPaulo, sob orientação da ProfessoraDoutora Sandra M. P. Magina.
PUC – SP2001
AGRADECIMENTOS
A Profª. Drª. Sandra M. P. Magina, não só pela orientação firme e segura como
também pela amizade, paciência e entusiasmo, que transformaram um projeto de
pesquisa em realidade.
Ao Prof. Dr. Jorge T. da Rocha Falcão e à Profª Drª Tânia M. M. Campos, pelas
sugestões, comentários e críticas que tanto contribuíram para a elaboração e
evolução desta dissertação.
A todos os professores, funcionários e colegas do curso de Pós-graduação em
Educação Matemática da PUC-SP, pelo incentivo e apoio oferecidos de diversas
maneiras.
Em especial, à Professora Maria Inez R. Miguel que, por meio de sua longa
experiência profissional no ensino de análise combinatória, teve uma participação
valiosa na montagem tanto dos instrumentos diagnósticos quanto da nossa
seqüência de ensino. Sabemos que suas inúmeras leituras foram sempre
acompanhadas de críticas e sugestões, o que enriqueceu em muito o nosso
trabalho.
À Direção do colégio “Lusíada” , por autorizar a aplicação da seqüência de
ensino, e à Profª Santa Elza Pivatto, por ceder suas aulas para tal aplicação.
Sabemos que o sucesso da nossa pesquisa, cujo índice de desistência foi
mínimo, é devido à abertura que a escola nos deu.
Aos alunos do colégio “Lusíada” que, com responsabilidade e carinho,
demonstraram interesse em todo o processo. Para os alunos da 8ª série do
Ensino Fundamental, os quais infelizmente não podem ser citados um a um, por
serem muitos, um agradecimento especial por participarem de todos os
encontros extra aula, sendo que muitas vezes deixaram o lazer de lado,
assumindo este compromisso até o final. A todos esses alunos, nosso carinho e
respeito.
À Universidade Santa Cecília, pela ajuda de custo que permitiu uma maior
dedicação ao programa de Pós-Graduação.
À amiga Cileda de Queiroz Coutinho, pela amizade, companheirismo e valioso
auxílio durante este processo, enviando valiosos textos para nossa revisão de
literatura e para nosso estudo histórico.
à amiga Ana Kalassa, pela sua amizade e pelo valioso auxílio durante este
processo.
À minha família, especialmente meus pais, que não só durante todo este
processo, mas em todos os momentos, me apoiaram, fornecendo auxílio e
compreensão.
Ao meu marido Sergio, pela compreensão quanto às ausências e falhas como
esposa e sobretudo por haver sempre participado e me apoiado em todos os
momentos do trabalho.
A Deus, sem o qual nada é possível.
RESUMO
O objetivo desta pesquisa consistiu em estudar a aquisição e odesenvolvimento dos primeiros conceitos de análise combinatória emadolescentes de 14 anos de idade, cursando a última série do EnsinoFundamental.
Para tal, construímos uma seqüência de ensino, fundamentada em teoriaspsicológicas e educacionais, que parte de situações-problema através dacontagem direta.
Trabalhamos com dois grupos: experimental e de referência. Estes sesubmeteram a um pré-teste antes de serem introduzidos nesse novo conceito,para, depois, estudarem o conceito de análise combinatória, segundo duasabordagens distintas. Enquanto o grupo experimental realizou o estudo através deuma seqüência de ensino elaborada por nós, o grupo de referência seguiu aabordagem tradicional apresentada pelos livros didáticos. Por fim, os dois gruposrealizaram um pós-teste, cujos resultados foram analisados sob os seguintespontos de vista: desempenho geral dos grupos e desempenho por itens, objetivo,indivíduo. Por fim, procedemos à análise do comportamento de três duplas dogrupo experimental quanto a seus desempenhos ao longo do estudo.
Os resultados mostram que os alunos apresentaram dificuldade emresolver esses problemas. As principais causas de fracasso são referentes àconfusão sobre a relevância da ordem, principalmente em problemas decombinação, falta de organização para enumerar os dados sistematicamente,dúvidas na identificação da operação aritmética equivalente e interpretaçãoincorreta do problema, quando este apresenta mais de uma etapa.
ABSTRACT
The aim of this research was studying the acquisition and the developmentof the prime concepts about combinatory analyses among fourteen years oldteenagers finishing the elementary school.
In order to do this, we developed a teaching sequence based onpsychological and educational theories, which belong to problem-situationsthrough the direct county.
We dealed with two groups: the experimental and the reference ones.These had done a previous test before beginning the new concept, and thenstudying the combinatory analyses based on two different approaches. While theexperimental group did a study through a teaching sequence prepared by us, thereference group followed the traditional approach presented by didactic books. Atthe end both groups did a final test whose results were analyzed observing thesepoints of view: general fulfilment of the groups and the fulfilment by items, targetsand the individual one. At last, we proceeded the analyse of the behaviouramong the three pairs of students from the experimental group based on theirperformances during the study.
The results showed that the students presented troubles solving theseproblems. The main faillure motives were about the misunderstanding of the ordercombination problems; lack of organization to number systematically the data,doubts about the identification of equivalent arithmetic species and the wronginterpretation of the problem when this presented more than one stage.
ÍNDICE
CAPÍTULO I: INTRODUÇÃO
1.1. Problemática e objetivo...............................................................................02
1.2. Descrição da Dissertação...........................................................................04
CAPÍTULO II: O DESENVOLVIMENTO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA2.1. Introdução...................................................................................................08
2.2. Estudo Histórico..........................................................................................09
2.3. Análise Combinatória na Escola.................................................................20
2.3.1. Introdução..........................................................................................20
2.3.2. Categorias.........................................................................................21
2.3.3. Justificativa da escolha das categorias.............................................22
2.3.4. Os livros didáticos.............................................................................28
2.3.5. Análise dos livros didáticos...............................................................29
2.3.6. Análise do Parâmetro Curricular Nacional........................................39
2.3.7. Análise da Proposta Curricular do Estado de São Paulo
para o Ensino da Matemática...........................................................41
2.3.8. Comparação das abordagens adotadas nos livros didáticos
analisados com a Proposta Curricular e com o PCN........................44
2.4. Revisão de Literatura.................................................................................45
2.5. Idéias Teóricas............................................................................................52
2.5.1. Transposição didática........................................................................53
2.5.2. A teoria dos campos conceituais......................................................59
2.5.3. A noção de registros de representações...........................................63
2.5.4. O contrato didático............................................................................67
2.5.5. Zona de desenvolvimento proximal ..................................................68
CAPÍTULO III: METODOLOGIA3.1. Introdução ..................................................................................................70
3.2. Universo do Estudo.....................................................................................70
3.2.1. Os sujeitos ........................................................................................70
3.2.2. Material .............................................................................................72
3.3. Desenho Geral do Experimento .................................................................73
3.3.1. Fase dos instrumentos diagnósticos ................................................73
3.3.2. Fase da seqüência de ensino ...........................................................73
3.3.3. Análise prévia dos instrumentos diagnósticos ..................................75
3.3.3.1. Pré-teste .............................................................................75
3.3.3.2. Pós-teste .............................................................................88
3.3.3.3. Descrição da seqüência de ensino .....................................91
CAPÍTULO IV: ANÁLISE DOS RESULTADOS4.1. Introdução ................................................................................................110
4.2. Comentários Gerais Sobre a Aplicação da Seqüência.............................110
4.2.1. Ficha 1 ............................................................................................112
4.2.2. Ficha 2 ............................................................................................115
4.2.3. Ficha 3 ............................................................................................120
4.2.4. Ficha 4 ............................................................................................122
4.2.5. Ficha 5 ............................................................................................125
4.2.6. Ficha 6 ............................................................................................126
4.2.7. Ficha 7 ............................................................................................131
4.3. Análise do Desempenho dos Grupos Experimental e de
Referência nos Testes ..............................................................................134
4.3.1. Análise numérica e gráfica do percentual de acertos
dos grupos......................................................................................135
4.3.2. Análise do percentual dos acertos por itens ...................................137
4.4. Análise dos Testes por Objetivo ...............................................................152
4.5. Análise do Desempenho dos Sujeitos por Grupo ....................................162
4.6. Análise Qualitativa das Duplas .................................................................166
4.6.1. Dupla A ...........................................................................................166
4.6.2. Dupla B ...........................................................................................170
4.6.3. Dupla C ...........................................................................................174
CAPÍTULO V: CONCLUSÃO5.1. Conclusão ................................................................................................180
5.2. Considerações Finais ...............................................................................184
CAPÍTULO VI: REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
ÍNDICE DE FIGURAS
2.1 Desenho do Pa-kua encontrado nos objetos..............................................11
2.2 Cadeados montados com cilindros móveis.................................................13
2.3 Triângulo chu shih-chieh...................................................………………….15
2.4 Desenho das pontes da cidade de Konegsberg………………………….....19
2.5 Exemplo do livro Matemática – Imenis e Lellis...........................................32
2.6 Exemplo do livro Matemática – Imenis e Lellis...........................................32
2.7 Exemplo do livro Matemática 2 – Giovani e Bonjorno.................................33
2.8 Exemplo do livro Matemática 2 – Giovani e Bonjorno.................................34
3.1 Material concreto da ficha 2........................................................................96
3.2 Material concreto da ficha 5......................................................................103
3.3 Material concreto da ficha 7......................................................................108
ÍNDICE DE TABELAS
2.1 Relação entre os problemas resolvidos, propostos e complementares
dos livros analisados...................................................................................37
2.2 Comparação das seqüências adotadas pela proposta curricular e pelos
Livros didáticos............................................................................................45
3.1 Tabela referente as questões do pré e pós-teste........................................91
4.1 Desempenho das duplas nos itens da atividade 1....................................116
4.2 Desempenho das duplas nos itens da atividade 2....................................123
4.3 Desempenho das duplas nos itens da atividade 3....................................128
4.4 Desempenho das duplas nos problemas da ficha 7..................................131
4.5 Percentual de acertos dos dois grupos no pré e póe-testes.....................137
4.6 Questões e seus principais objetivos........................................................156
4.7 Relação numérica entre as questões do pré e pós-teste..........................157
4.8 Desempenho dos alunos – grupo experimental........................................162
4.9 Desempenho dos alunos – grupo de referência........................................163
4.10 Evolução dos alunos do pré para o pós-teste...........................................165
ÍNDICE DE QUADROS
3.1 Apresentação da seqüência de ensino no grupo experimental..................75
3.2 Apresentação da seqüência de ensino no grupo de referência..................75
3.3 Problemas da ficha 1 da seqüência de ensino............................................92
3.4 Problemas da ficha 2 da seqüência de ensino............................................95
3.5 Problemas da ficha 3 da seqüência de ensino............................................97
3.6 Problemas da ficha 4 da seqüência de ensino............................................99
3.7 Problemas da ficha 5 da seqüência de ensino..........................................101
3.8 Problemas da ficha 6 da seqüência de ensino..........................................103
3.9 Problemas da ficha 7 da seqüência de ensino..........................................106
ÍNDICE DE GRÁFICOS
4.1 Porcentagem de acertos geral dos grupos...............................................135
4.2 Desempenho dos grupos experimental e referência no
pré e pós-testes, por itens.........................................................................138
4.3 Resultado das questões do pós-testes com relação aos
grupos experimental e referência..............................................................140
4.4 Resultados atingidos no pré e pós-testes por objetivo..............................157
4.5 Comparação entre os dois grupos no pós-teste.......................................158
INTRODUÇÃO
1.1 PROBLEMÁTICA E OBJETIVO
Nosso trabalho tem por objetivo estudar a aquisição e o desenvolvimento
dos primeiros conceitos de análise combinatória em adolescentes de 14 anos de
idade, cursando a 8ª série do Ensino Fundamental.
No papel de professor e em discussões com colegas da área, percebemos
que existem dificuldades no processo de ensino e aprendizagem de tal conteúdo
e, conseqüentemente, na formação de seu campo conceitual.
Entre essas dificuldades, coube destaque àquelas relativas à interpretação
e distinção entre arranjo e combinação, o que faz com que os alunos não
consigam desenvolver o problema ou desenvolvam-no de forma equivocada.
Nosso interesse de pesquisa centra-se sobre a formação do conceito,
ligado à operação de análise combinatória. Interessados em investigar mais
amiúde a existência de problemas na formação desse conceito, desenvolveremos
uma investigação da pré-concepção dos alunos sobre análise combinatória e, a
partir dessa investigação, elaboraremos uma seqüência de ensino.
O método usado para a formulação da seqüência de ensino será a criação
de situações-problema que se aproximem da realidade dos alunos. Essa proposta
vem de encontro a estudos que procuraram relações entre a facilidade de
compreensão de conceitos complexos a partir de outros conhecidos e de grau
mais simples, dando significado aos conhecimentos que devem ser adquiridos.
Não pretendemos abranger todo o estudo sobre análise combinatória. O âmbito
desta seqüência restringe-se a fornecer uma alternativa para a introdução desse
tema, procurando facilitar a ampliação posterior do conceito estudado.
Estabelecida nossa área de abrangência estipulamos, a seguinte questão
de pesquisa: “Em função do ensino oferecido, os sujeitos demonstram progresso
verificável no que tange ao campo conceitual considerado?“ E como questão
derivada e operacional, temos: “Tal evolução se diferencia daquela observada no
grupo de referência?”.
As situações-problema da nossa seqüência de ensino serão conduzidas de
forma que o aluno as desenvolva sem a utilização de fórmulas, pois acreditamos
na necessidade de o discente entender o desenvolvimento do conceito
matemático em questão, seguindo alguns passos até chegarem à formalização.
Segundo Nunes (1997), quando os alunos fazem uso da representação, eles
criam ferramentas diferentes para a resolução do problema. Em outras palavras, o
conceito pode ser representado de modos diferentes. A autora cita uma pontaria
importante de instrução matemática: conduzir os alunos a comprimir as
representações feitas por eles de tal modo que percebam as operações novas
possíveis com essa visão, sem perder a visão do velho. Para Piaget (1995), a
formalização deve se constituir em seu próprio tempo e não ser formada através
de constrangimentos prematuros. Se a intuição matemática é essencialmente
operacional e a natureza de estruturas operacionais consiste em dissociar forma
de conteúdo, então a formalização final estaria preparada de maneira
progressivamente necessária pela própria construção destas estruturas iniciais.
Com isso, queremos mostrar que a fórmula em si não é negativa nem
contraproducente; ao contrário, ela representa uma compressão algorítmica que
assegura uma economia cognitiva importante, desde que colocada no tempo
certo. Para o conteúdo Análise Combinatória, quando não reforçamos a fórmula,
acreditamos que estamos valorizando o uso da árvore de possibilidade, do
método de tentativa e erro, do desenho e do princípio fundamental da contagem
para um melhor desenvolvimento do raciocínio combinatório. Assim, a fórmula no
papel deixa de ser apenas uma ferramenta para desenvolver os problemas de
maneira mais econômica. Como nossa intenção é desenvolver o raciocínio
combinatório, não institucionalizaremos as fórmulas no final do estudo.
Desenvolveremos nosso estudo com dois grupos, um experimental e outro
de referência, os quais estudarão a introdução desse conceito, segundo
abordagens diferentes. Para o grupo de referência, utilizaremos a abordagem
comumente adotada no ensino atual e para o grupo experimental, utilizaremos
uma seqüência, elaborada por nós, em que não serão apresentadas as fórmulas.
As definições e nomenclaturas de cada agrupamento serão apresentadas no
último encontro da seqüência.
1.2 DESCRIÇÃO DA DISSERTAÇÃO
No presente capítulo, apresentamos nossa motivação no que se refere ao
tema, por meio da descrição da problemática e da apresentação tanto da questão
de pesquisa como da hipótese relacionada ao ensino de análise combinatória.
O capítulo II traz um breve estudo histórico com a intenção de ressaltar a
origem, o desenvolvimento e os objetivos da análise combinatória na época de
sua criação.
A seguir, investigaremos como esse conteúdo é desenvolvido atualmente
no Ensino Fundamental e no Médio. Para tanto, apoiar-nos-emos na Proposta
Curricular do Estado de São Paulo, nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)
e na análise de livros didáticos. Para esse estudo, procuraremos observar os
materiais, por meio da elaboração de categorias que acreditamos serem capazes
de interferir na aprendizagem do conceito. Faremos, ainda, uma revisão de
literatura e, na seqüência, discutiremos idéias teóricas que embasarão nosso
trabalho. Na revisão de literatura, temos a finalidade de obter uma visão geral das
pesquisas existentes que envolvam analise combinatória ou temas correlatos que
possam contribuir para esse trabalho. Quanto às idéias teóricas, procuraremos
apresentar aquelas que tratam de representação e transposição didática. Neste
caso, os estudos de Brousseau, Chevallard e Piaget e Vergnaud serão os mais
abordados. Citaremos, também, Vygotsky em relação à Zona de desenvolvimento
proximal (ZDP).
Descreveremos, no capítulo III, a nossa metodologia de pesquisa. Nela
revisitaremos a nossa proposta, acompanhada de seus objetivos, e
descreveremos os sujeitos e o material utilizado para o estudo de análise
combinatória. Em seguida, apresentaremos o desenho geral do experimento,
composto de três fases: o pré-teste, a seqüência de ensino e o pós-teste. Os pré
e pós-testes serão nossos instrumentos diagnósticos, a partir dos quais
procederemos à análise. Trabalharemos toda a seqüência de ensino em duplas,
explorando a idéia de Vygotsky (1997) sobre a Zona de desenvolvimento
proximal. Utilizando as concepções de Vergnaud (1994) – o conhecimento
emerge na resolução de problemas – e ainda fundamentados em Piaget (1951),
procuraremos criar uma série de atividades a fim de possibilitar que os alunos
tenham diversas interações com o objeto de estudo, em situações análogas, de
maneira a criar-lhes condições, a partir de seus esquemas de ação, de formarem
os conceitos.
Dedicaremos o capítulo IV à análise dos dados obtidos nos testes e na
seqüência. Assim sendo, teremos dois tipos de análise: quantitativa, associada ao
percentual de acertos, e qualitativa, associada às estratégias de ação e à
qualidade das respostas apresentadas por esses sujeitos.
No capítulo V, apresentaremos nossas conclusões e sugestões para
futuras pesquisas e no capítulo VI as referências bibliográficas.
O DESENVOLVIMENTO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA
2.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo tem por objetivo abordar o tema análise combinatória sob três
perspectivas.
A primeira diz respeito ao surgimento e desenvolvimento desse conteúdo
no seio da ciência matemática. Nosso intento aqui é fornecer uma visão geral da
origem e do desenvolvimento da análise combinatória, procurando descrever as
necessidades e os objetivos da época, além de ressaltar os principais nomes que
contribuíram para a criação e ampliação desse conceito.
Na seção seguinte, o ponto de vista passa a ser a escola, isto é,
discutiremos a “transposição didática” 1da análise combinatória. Nesse momento
faremos a análise de alguns livros didáticos – aqueles mais comumente adotados
nas escolas de maneira geral – e da proposta curricular. Partimos da hipótese de
que esses instrumentos são os principais recursos do professor na sua tarefa de
transpor o saber matemático para seus alunos.
A última perspectiva vem do campo dos estudos científicos na área da
Educação Matemática, cujos temas são correlatos ao nosso. Assim sendo,
apresentaremos trabalhos realizados em análise combinatória e idéias teóricas
advindas da Didática da Matemática, de grande influência no desenvolvimento do
nosso trabalho.
Esperamos que, após termos analisado o nosso conteúdo de estudo a
partir desses três pontos de vista, estaremos mais aparelhados para pensar em
1 O saber pesquisado pelo matemático sofre inúmeras transformações até chegar ao aluno. Ao conjunto destastransformações dá o nome de transposição didática.
uma maneira eficaz de introduzir o conceito de análise combinatória. Não
estamos preocupados em englobar todo o conteúdo referente a esse tópico, já
que o mesmo só é desenvolvido no ensino de nível médio e nosso estudo será
realizado no de nível fundamental.
2.2 ESTUDO HISTÓRICO
Para melhor compreendermos as dificuldades relativas ao ensino e à
aprendizagem do Cálculo de Análise Combinatória, faremos um pequeno recuo
histórico, analisando as contribuições dos chineses, gregos, latinos, hindus e
europeus.
Existem correntes com diferentes concepções a respeito do início do
desenvolvimento da matemática, porém acredita-se que o conceito de número e o
processo de contagem foram desenvolvidos antes dos primeiros registros
históricos.
A necessidade de se efetuarem contagens mais extensas provocou uma
sistematização no processo de contar. Assim, surgiram sistemas de
agrupamentos simples (hieróglifos egípcios), que talvez sejam o mais antigo
sistema de numeração, os multiplicativos (sistema chinês-japonês tradicional), os
cifrados (sistema grego, conhecido como jônico ou alfabético, cujas origens
situam-se por volta de 450 a.C.) e o posicional (o nosso sistema).
Provavelmente o trabalho mais antigo que envolve este assunto seja o livro
chinês I – King ou livro das permutações (1182 – 1135 a.C), ponto de apoio para
a escrita de outros livros sobre o assunto. Nesse livro, que se pretende haver sido
escrito por Won – Wang, apareceu o Liang I, ou “os dois princípios” (o masculino
Yang _, e o feminino Ying _ _). A partir deles, formam-se as seguintes oito figuras,
chamadas Pa-Kua (ou oito trigramas).
Podemos perceber que estes oito trigramas representam arranjos com
repetição de dois símbolos tomados três a três.
__ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _
__ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _
__ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _
A2,3 = 23 = 8
Estes oitos símbolos, aos quais estão ligados vários atributos, passaram a
ser usados em adivinhações. Embora não se tenha certeza, acredita-se que o Pa-
Kua representa um prenúncio do sistema de numeração binário, pois tomando-se
o “___“ como um e o “__ __“ como zero, é possível supor que as sucessivas
colunas de traços, mostrados anteriormente, começando da direita,
representariam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
TIGRAMAS ______
______
______
___ ___
______
______
______
___ ___
______
___ ___
___ ___
_______
______
______
___ ___
___ ___
_______
___ ___
______
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
Numerais nabase 2.
111 110 101 100 011 010 001 000
Numerais nabase 10
7 6 5 4 3 2 1 0
Podemos observar que o Pa-kua ganhou uma conotação mística em todo o
oriente, tanto que esses agrupamentos são encontrados em vasos, talismãs e
outros objetos. Cada um dos oito agrupamentos representa um ponto cardeal ou
colateral, além de algum elemento da natureza.
Figura 2.1: desenho do Pa-kua encontrado nos objetos (Smith,vol. 1, pp.27)
Encontra-se, ainda, nessa obra, o arranjo com repetição de dois símbolos
(___ , __ __), tomados seis a seis, obtendo-se, assim, os “sessenta e quatro
hexagramas”.
O desenvolvimento do binômio (1 + x)n está entre os primeiros problemas
estudados ligados à análise combinatória. O caso n = 2 já pode ser encontrado
nos elementos de Euclides, em torno de 300 a.C. O triângulo de Pascal era
conhecido por Chu Shih-Chieh, na China (em torno de 1300) e antes disso pelos
hindus e árabes.
Da Grécia, podemos destacar algumas pequenas contribuições nesta área,
porém nenhuma teoria de análise combinatória. Sabe-se que o grego, Chrysippus
(280 – 270 a.C) achou que o número de combinações de dez axiomas era maior
que 1000000.
Dentre os matemáticos latinos, o único que desenvolveu algo nesta área foi
Boecio (510), criando uma regra para determinar combinações de n elementos
tomados dois a dois.
Da Matemática hindu, podemos destacar Bhaskara (1114–1185),
conhecido geralmente pela “fórmula de Baskara” para a solução de equação do 2º
grau. Ele forneceu regras para o cálculo de arranjos de n elementos tomados r a r
(com ou sem repetição) e para cálculo de combinações de n elementos tomados r
a r (sem repetição). Esta contribuição aparece na sua obra intitulada “Lilavati”,
onde ainda relaciona a idéia de permutação com situações práticas (aplicações
na poesia, arquitetura, música e medicina).
Analisando agora o interesse da Europa nesse assunto, bem como suas
contribuições, podemos destacar, no início da Era Cristã, em vários manuscritos
hebreus, relações entre permutações e combinações com a ciência mística
denominada cabala. Na Idade Média, Rabbi ben Ezra (1140) usou permutações e
combinações com aplicações na astronomia (estudo de conjunções de planetas,
dois a dois e três a três). Nos seus manuscritos aparece a relação C7,2 = C7,5,
porém não podemos afirmar se se conhecia a regra geral Cn,k = Cn, n-k.
Levi ben Gerson (1288 – 1344), matemático e filósofo religioso francês, que
nasceu e trabalhou no sul da França, e que, entre outras coisa, tentou demonstrar
o 5º postulado de Euclides, sistematizou as fórmulas de arranjo simples de n
elementos tomados k a k, de permutação de n elementos e de combinação de n
elementos tomados k a k (sem repetição). Estas noções aparecem no seu
manuscrito denominado “trabalho para o computador”.
Outro francês, Nicole Oresme (1323 – 1384), apresentou em seu
manuscrito “Tratactus de Figuratione potentiarum et mensurarum difforitatum” a
soma das combinações de 6 elementos tomados 1 a 1, 2 a 2, 3 a 3, 4 a 4 e 5 a 5,
que hoje representamos por: C6,1 + C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5. Não podemos afirmar
se o mesmo conhecia a regra geral envolvida nestes cálculos, visto que a
apresentação destas combinações era dada de forma retórica.
A primeira obra impressa que contém problemas de Análise Combinatória
foi a “Summa de Arithmetica, geometria, proportione et proportionalita” , de Luca
Pacioli (1455 – 1514), publicada em Veneza no ano de 1494, onde ele apresenta
como achar o número de permutações de qualquer número de pessoas sentadas
ao redor de uma mesa. Luca Pacioli apresentou o resultado para os casos
particulares em que n = 1, 2, ..., 11, acrescentando que valeria para qualquer “n”.
Devemos citar, também, na Inglaterra, W, Buckley (1540), que trabalhou
em casos especiais de combinações de n elementos tomados k a k. Niccolo
Tartaglia foi o primeiro a usar as noções de análise combinatória em jogos de
dados, assunto também desenvolvido posteriormente por Joannes Buteo (1485 –
1560). Este apresentou na sua obra, “Logística qual e Arithmetica vulgo dicitur in
libros quinque digesta”, um problema interessante das combinações de
fechaduras com cadeados montados com cilindros móveis, conforme figura:
Figura 2.2: cadeados montados com cilindros móveis.(Smith, vol 2, pp.527)
No século XVI, Rabbi Moses Cordovero desenvolveu algumas regras
gerais da análise combinatória, na sua obra Pardes Rimmonim.
No século XVII, esse assunto passou a ser desenvolvido em grande
escala. Thomas Harriot (1560 –1621) usou o seguinte simbolismo para o produto
de binômios:
a – b = aaaa - baaa + bcaa
a – c - caaa + bdaa
a – d - daaa + cdaa – bcda
a – f - faaa + bfaa – bcfa
+ cfaa – bdfa
+ dfaa – cdfa + bcdf
Podemos notar que ele trabalhou com agrupamentos de 4 elementos, com
a condição de que a letra ”a” figurasse exatamente 4 vezes, em seguida 3 vezes,
2 vezes, 1 vez e, por último, houvesse um agrupamento com 4 elementos sem a
letra “a”.
Porém, foi Hérigone (1634) o primeiro a escrever a regra geral:
Cn,r = n (n – 1) (n – 2) ... (n – r + 1) / r!.
Outra contribuição importante para o desenvolvimento da análise
combinatória veio de Niccolo Fontana Tartaglia (1500 – 1557). Este relacionou os
elementos do triângulo de Pascal com as potências de (x + y). É importante frisar
que o primeiro aparecimento desse triângulo, no ocidente, foi no “frontispício” 2 de
um livro escrito por Petrus Apinus (1495 – 1552).
Contudo, só no século XVII, deu-se destaque para o trabalho de Blaise
Pascal (1623 – 1662), através da obra Traité du triangle arithméthique, embora
escrita em 1653, só foi publicada em 1665. Ele construía seu triângulo aritmético
de modo que se obtinha qualquer elemento (da segunda linha em diante) como
soma de todos os elementos da linha precedente, situados exatamente acima ou
à esquerda do elemento desejado.
2 Frontispício: título principal e inteiramente desenvolvido de um livro; ilustração colocada na página derosto ou anterior a ela. (Dicionário Larousse Cultural).
1 1 1 1 1 1 ...
1 2 3 4 5 6 ...
1 3 6 10 15 21 ...
1 4 10 20 35 56
1 5 15 35 70 126 ...
Os números ao longo da diagonal (do triângulo apresentado por Pascal)
são os coeficientes sucessivos de uma expansão binomial. Por exemplo, os
números ao longo da Quinta diagonal: 1, 4, 6, 4, 1 são os coeficientes sucessivos
da expansão de (a + b)4. Pascal usava seu triângulo para determinar o número de
combinações de n objetos tomados r a r, o que ele corretamente afirmava ser: n! :
[r! (n – r)!]
O símbolo “!” foi introduzido por Christian Kramp em 1808; n! é a notação
atual para o produto n (n –1) (n-2) ... 3 . 2 . 1.
Como já vimos, Pascal não foi o primeiro a mostrar o triângulo aritmético.
Vários séculos antes, esse arranjo numérico já havia sido antecipado por
escritores chineses (ver figura abaixo).
Figura 2.3: Triângulo Chu Shih-Chieh (Eves, pp.250)
Porém, como ele foi o primeiro matemático conhecido a utilizar-se do
triângulo do mundo ocidental e por longo tempo foi o único a desenvolver e a
fazer vária aplicações das propriedades desse triângulo, este se tornou conhecido
como triângulo de Pascal.
Vejamos um bom exemplo das relações desenvolvidas por Pascal
envolvendo o triângulo, relacionadas à análise combinatória:
CONSIDERE UMA COLEÇÃO DE N OBJETOS. QUALQUER CONJUNTO DE R DESSES
OBJETOS, CONSIDERADOS SEM SE LEVAR EM CONTA A ORDEM, CHAMA-SE COMBINAÇÃO DE N
OBJETOS TOMADOS R DE CADA VEZ. USAREMOS C(N,R) PARA DENOTAR O NÚMERO DESSAS
COMBINAÇÕES. MOSTRE QUE C(N,R) APARECE NA INTERSECÇÃO DA (N + 1)-ÉSIMA DIAGONAL
COM A (R + 1)-ÉSIMA COLUNA DO TRIÂNGULO DE PASCAL.
VERIFICANDO:
EXEMPLO : C(4,3) = 4 (INTERSECÇÃO DA QUINTA DIAGONAL COM A QUARTA COLUNA).
Percebe-se, então, que no século XVII, o estudo da Análise Combinatória,
desenvolvido principalmente para resolver problemas de probabilidade de jogos
de azar, foi sistematizado. Sabe-se que Girolamo Cardano (1501 – 1576)
escreveu um manual de jogador, onde aparecem interessantes problemas de
análise combinatória e probabilidade. Essa obra, conhecida como o livro De Ludo
Aleae (sobre jogos de azar), publicou-se em 1663. É possível que o interesse de
Cardano pelo assunto se deva a sua paixão pelos jogos de azar.
Uma questão que está relacionada à origem da probabilidade e que se
utiliza de conhecimento de análise combinatória é o “problema dos pontos”
(introduzido na obra Suma de Pacioli em 1494), analisado por vários matemáticos
dos séculos XVI e XVII. O grande avanço efetivo nesse problema se deu em
1654, quando Chevalier de Méré, um hábil jogador, cujo raciocínio teórico sobre o
problema não coincidia com suas observações, o propôs a Pascal que, por sua
vez, o levou ao conhecimento de Fermat. Com isso, ocorreu uma notável
correspondência entre os dois matemáticos. Embora cada um tenha resolvido o
problema por um método particular, ambos chegaram ao resultado correto.
PROBLEMA DOS PONTOS: “determine a divisão de apostas de um jogo de azar
entre dois jogadores igualmente hábeis, supondo-se conhecido o marcador no
momento da interrupção e o número de pontos necessários para ganhar o jogo”.
Solução de Fermat:
Fermat discutiu o caso em que o jogador A precisava de dois pontos para ganhar
e o jogador B, de 3. Como é claro que mais quatro partidas decidem o jogo, seja
“a” uma partida ganha por A e seja “b” uma partida ganha por B. Consideremos,
então, os dezesseis arranjos completos, de ordem 4 das letras a e b.
aaaa, aaab, abba, bbab, baaa, bbaa, abab, babb, abaa, baba, aabb, abbb, aaba,
baab, bbba, bbbb.
Os casos em que “a” aparecer duas ou mais vezes são favoráveis a A e há onze
deles. O caso em que “b” aparece 3 ou mais vezes são favoráveis a B e há cinco
deles. Portanto, as apostas devem ser divididas na razão 11:5. Para o caso geral,
em que A precisa de m pontos para ganhar e B precisa de n, anotam-se os 2m+n-1
arranjos completos, de ordem m+n-1, das duas letras “a” e “b”. Procura-se o
número x de casos em que “a” aparece m ou mais vezes e o número y de casos
em que “b” aparece n ou mais vezes. As apostas devem ser divididas na razão
x:y.
Solução de Pascal:
Ele utilizou o triângulo aritmético para a solução. Indicando por C(n,r) o número de
combinações simples, de ordem r, de n objetos, pode-se facilmente mostrar que
os números ao longo da Quinta diagonal do triângulo são respectivamente:
C(4,4) = 1, C(4,3) = 4, C(4,2) = 6, C(4,1) = 4 e C(4,0) = 1
Retornando ao particular problema dos pontos considerados, C(4,4) é o número
de maneiras de se obterem quatro letras “a”, C(4,3) é o número de maneiras de
se obterem três letra “a” e assim por diante. Segue-se, pois, que a solução do
problema é dada por:
[ C(4,4) + C(4,3) + C(4,2)] : [C(4,1) + C(4,0)] = ( 1+ 4 + 6) : (4 + 1) = 11 : 5
No caso geral, em que A precisa de m pontos para ganhar e B, de n, escolhe-se a
(m + n)-ésima diagonal do triângulo de Pascal. Calcula-se, então, a soma x dos n
números da diagonal considerada e a soma de y de seus últimos m números.
Então, devem-se dividir as apostas segundo a razão x :y.
É importante citar que o triângulo de Pascal serviu de base para algumas
demonstrações importantes da Matemática. Por exemplo, Jakob Bernoulli (1654 –
1705), em seu Ars Conjectandi, de 1713, usou a interpretação de Pascal para
demonstrar que (x + y)n =∑ (n ) x n-i y i, 0≤ i ≤ n. A segunda parte desse livro de
Bernoulli foi dedicada à teoria das combinações e permutações, que continha
praticamente toda a teoria de análise combinatória que conhecemos atualmente e
que é desenvolvida no âmbito do ensino médio.
Devemos, também, citar Euler (1707 – 1783), que desenvolveu em seu
livro clássico Introductio in Analysin Infinitorum a técnica das funções geradoras,
utilizada para atacar o problema das partições de um inteiro. O interesse de Euler
por esse problema surgiu devido a uma pergunta feita, em uma carta, pelo
matemático francês Phillipe Naudé, que trabalhava em Berlim. Entre outras
coisas, indagava de quantas maneiras um número pode ser escrito como soma
de inteiros positivos distintos. A pergunta, prontamente respondida por Euler, foi a
origem da “teoria das partições” ou “partitio numerorum”, como escreveu Euler.
Mas suas contribuições à análise combinatória não se limitaram a isso. Várias
obras suas, muitas delas sobre probabilidade, contêm resultados importantes no
que diz respeito à análise combinatória. Em particular, devemos a ele o enunciado
e a solução do “Problema das Sete Pontes de Königsberg, um teorema da Teoria
dos Grafos, parte muito importante, atualmente, da análise combinatória”.
Tal problema, resolvido por Euler em 1736, tinha a seguinte questão: “Seria
possível fazer um passeio pela cidade de Königsberg de maneira a cruzar todas
as pontes da cidade, uma, e uma só vez, e voltar ao ponto de partida?”.
A cidade, localizada perto da foz do rio Pregel, era famosa por suas sete
pontes, cinco delas dando acesso a uma ilha, como mostra a figura. Euler reduziu
o problema ao de percorrer o grafo da figura de maneira tal que cada uma de
suas linhas fosse percorrida uma só vez, terminando o percurso no ponto de
partida.
Figura 2.4- desenho das pontes da cidade de Königsberg (Eves, pp.500)
Por fim, gostaríamos ainda de citar uma teoria mais recente, e não menos
importante, de combinatória, elaborada pelo lógico inglês F.P. Ramsey (1903 –
1930). Ela garante a existência de certas configurações. Um dos exemplos mais
simples do chamado teorema de Ramsey afirma que se tivermos no plano um
conjunto de n pontos, com n ≥ 6, tais que nenhum subconjunto com três pontos
seja colinear, e, se unirmos todos os pontos dois a dois, usando duas cores
distintas, por exemplo, preto e branco, para traçar os segmentos de reta que
unirão os pontos, então forçosamente teremos formado um triângulo cujos lados
são todos da mesma cor (preto ou branco).
2.3 ANÁLISE COMBINATÓRIA NA ESCOLA
2.3.1 Introdução
Uma vez apresentados à origem e o desenvolvimento histórico da análise
combinatória, trataremos aqui da questão de sua transposição didática nas
escolas. Para tanto, analisaremos os principais instrumentos disponíveis para o
professor, quais sejam a Proposta Curricular do Estado de São Paulo, o
Parâmetro Curricular Nacional (PCN) e o livro didático. Com relação a este último,
utilizaremos como critério para escolha dos livros aqueles mais comumente
adotados pelos colégios da cidade de Santos, acreditando que, dessa forma,
estaremos traçando um perfil mais realístico de como a análise combinatória vem
sendo trabalhada na escola.
O critério adotado para a escolha dos livros foi uma amostragem por
acessibilidade, isto é, selecionamos 7 escolas (5 particulares e 2 publicas) a que
tínhamos acesso e pesquisamos os livros adotados no Ensino Fundamental e no
Ensino Médio. Entrevistamos, ainda, os professores de matemática dessas
escolas e que também ensinam em outras, a fim de obtermos informações sobre
quais livros de matemática essas outras escolas adotavam.
Partimos do pressuposto de que se o aluno tiver oportunidade de interagir
com o conteúdo através de situações significativas, ele terá maior oportunidade
de aprender o objeto matemático. Acreditamos que o fato de oferecer ao aluno a
possibilidade de interagir com o conceito de análise combinatória, desde o início,
através de representações (diagramas, desenhos), de elaboração de atividades
com espaço para discussão de idéias, ou, ainda, de construção do conceito por
meio de matérias concretos, cria nele um ambiente mais rico para que possa
entender e justificar as características inerentes a esse conceito.
De fato, segundo Vieira (1993):
“É importante, também, que repensemos a educação
matemática, em torno de significados criados em tarefas culturalmente
ligadas à escola, como uma prática cotidiana, na forma de atividades
que requeiram a reflexão sobre conceitos matemáticos, a partir de
situações problemáticas. Enquanto prática cultural, a atividade de
matemática, na escola, pode gerar significados que são próprios deste
contexto, apropriados para o desenvolvimento da compreensão de
conceitos e modelos matemáticos”. (pp. 24)
Assim sendo, ao elaborarmos atividades pedindo que os alunos analisem
sua construção, resolvam o problema e depois argumentem sobre o caminho
escolhido para achar a solução, defendendo suas idéias matemáticas, estaremos
instrumentalizando-os para resolverem problemas com diferentes enunciados.
O desenvolvimento desta seção será dividida em três partes. Inicialmente,
iremos analisar os livros didáticos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, em
relação a seis categorias, por as considerarmos como fatores capazes de
interferir na formação do conceito de combinatória. Em seguida, faremos uma
análise da Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino Fundamental e
Médio e do PCN em relação ao Ensino Fundamental, sob a óptica dessas
mesmas categorias. E, por último, iremos comparar as abordagens adotadas nos
livros didáticos do Ensino Médio com a proposta curricular e a dos livros didáticos
do Ensino Fundamental com o PCN.
2.3.2 Categorias
Gostaríamos, inicialmente, de enfatizar que as categorias que elaboramos
surgiram a partir do que consideramos ser variáveis que influenciam na formação
deste campo conceitual. Para a escolha das variáveis, baseamos-nos nos
critérios usados pelo MEC para analisar os livros didáticos, na teoria e na revisão
de literatura.
♠ Forma de introdução do conteúdo
♠ Apresentação dos conceitos de arranjo e combinação
♠ Como e quando são introduzidas as fórmulas
♠ Apresentação de problemas com enunciados diversificados
♠ Ênfase na resolução com auxílio de diagramas
♠ Inclusão de fatos históricos.
2.3.3. Justificativa da escolha das categorias
Ao elencarmos as seis categorias, tínhamos em mente duas questões:
primeiramente a de que elas representam fatores que podem, eventualmente,
influenciar o processo de ensino-aprendizagem da análise combinatória; em
segundo lugar, a de podermos olhar com maior imparcialidade os instrumentos
disponíveis ao professor. Dessa forma, não estaremos aqui colocando nenhum
juízo de valor quanto à qualidade deste ou daquele livro, nem tão pouco elegendo
um livro como melhor que o outro. Estaremos discutindo os livros, o PCN e a
proposta sob a óptica das nossas categorias. Em outras palavras, estaremos
discutindo aqui se, como e quanto cada um desses instrumentos aborda e
trabalha essas categorias. As categorias, por sua vez, não têm a pretensão de
esgotar todas as variáveis didáticas e de conteúdo, envolvidas na introdução do
conceito de análise combinatória. Elas representam apenas as nossas hipóteses,
levantadas a partir da história, de leituras e de reflexões advindas de nossa
prática docente. Acreditamos, ainda, que trabalhar no Ensino Fundamental, com a
construção de diferentes agrupamentos, logicamente sem a sistematização do
ensino médio, facilita a abordagem desse assunto no futuro.
♠ Forma de introdução do conteúdo:
Parece-nos que interagir com o conceito inicial da análise combinatória não
significa memorizar a definição e calcular mecanicamente cada tipo de
agrupamento, pois, segundo Piaget (1995), a combinatória constitui o início do
pensamento hipotético-dedutivo ou formal:
“O primeiro resultado dessa espécie de resultado de desengate do
pensamento em relação aos objetos é liberar as relações e as
classificações de seus laços concretos e intuitivos”. (pp. 113).
Piaget (1995) considera a ação do sujeito como determinante para aquisição
do conhecimento e Vergnaud (1990) complementa esse argumento, ao afirmar
que a ação é fonte e critério do saber.
Segundo Vergnaud (1990), a construção do conhecimento consiste na
construção progressiva da representação mental, implícita ou explícita,
homomórfica à realidade para alguns aspectos e não para outros.
Como nossa preocupação é ajudar o aluno na sua construção do conceito e
não apenas no domínio da técnica, temos como meta criar um ambiente onde o
aluno seja incentivado a analisar e sintetizar os problemas propostos.
Nessa categoria, pretendemos observar se a abordagem adotada permite ao
aluno a construção gradativa do conceito de análise combinatória. Para isso,
analisaremos se o conteúdo é iniciado através da contagem direta e se são
colocadas situações-problema para os alunos resolverem antes de ser introduzido
o princípio fundamental da contagem. Observaremos, também, como se introduz
o conceito do princípio fundamental da contagem.
♠ Apresentação dos conceitos de arranjo e combinação.
A dificuldade em considerar se a ordem dos elementos é importante ou não
está evidenciada nos estudos de Batanero (1997). Ela observa que o erro de
ordem está principalmente ligado às combinações. Conforme nos mostram as
pesquisas da autora, esse tipo de erro, já descrito por Fischbein e Gazit, consiste
em confundir os critérios de arranjo e combinação.
Partindo da premissa de que a apropriação do conceito de arranjo e
combinação passa necessariamente pela interação de diversas situações
cuidadosamente preparadas, no sentido de favorecer a diferenciação dos dois
tipos básicos de agrupamento, essa prática pode gerar no aluno segurança no
momento da interpretação e resolução do problema. Tal premissa encontra apoio
nas idéias de Vergnaud (1990), que defende que um simples conceito não se
desenvolve normalmente isolado, mas sim em interação com os outros conceitos,
através de vários problemas e com ajuda de vários tipos de problemas e com
ajuda de várias expressões e simbolismos.
Sendo assim, nesta categoria, observaremos se os livros didáticos iniciam tal
abordagem com situações-problema introdutórias que confrontem os dois tipos de
agrupamentos e que exijam do aluno o exercício da interpretação.
♠ Como e quando são introduzidas as fórmulas.
Considerando que a Análise Combinatória não é apenas um jogo de fórmulas
complicadas, pretendemos observar se os livros didáticos introduzem as fórmulas
após a definição de cada agrupamento ou se elas são apresentadas no final do
estudo.
Segundo Batanero (1997), a falha da interpretação dos problemas de análise
combinatória se deve à dificuldade em identificar a operação combinatória correta.
A esses erros se unem outros: como exemplo, o erro em fórmula.
Inicialmente, defendemos que melhor seria proporcionar aos alunos situações-
problema para que, de forma independente, os mesmos resolvam-nos sem o uso
ou conhecimento de fórmula. Adotamos tal posição por acreditar que o aluno
pode apresentar uma concepção errônea, conforme a maneira que o conteúdo for
abordado. Isto é, se as fórmulas são apresentadas após ligeira abordagem e
apresentação formal da definição de cada tipo de agrupamento, tal fato poderá
gerar dificuldade por parte do aluno em reconhecer o tipo de agrupamento
envolvido no problema e, conseqüentemente, a fórmula que deve utilizar. Com
isso, o aluno estaria sendo induzido ao domínio da técnica, sem se preocupar
com a interpretação do problema, o que na análise combinatória é fundamental.
Aqui, seguimos a idéia dos teoremas-em-ação, do Vergnaud (1990). Eles
formam a primeira base intuitiva dos alunos que os professores podem usar para
estender e formalizar o conceito do estudante. Isto é, acreditamos na necessidade
do aluno iniciar trabalhando com situações-problema, usando um caminho
intuitivo e, aos poucos, introduzirmos situações mais complexas, onde poderemos
institucionalizar o conceito introduzindo, ou não, as fórmulas.
♠ Apresentação de problemas com enunciados diversificados.
Observando os critérios que o Mec usou para analisar os livros didáticos,
notamos que um dos itens do porquê avaliá-los referia-se à quantidade de
exercícios repetitivos, o que nos motivou a construir essa categoria.
Levando em conta que a solução de um problema combinatório exige sempre
criatividade e compreensão plena da situação nele descrita, iremos observar se
os livros se limitam aos exercícios segundo os tópicos abordados ou se eles
fornecem problemas diversos, exigindo, assim, não só a aplicação dos conceitos
estudados bem como sua interpretação.
Também observaremos se existe um abuso de analogia dos problemas no
sentido de eles apresentarem enunciados semelhantes uns aos outros,
estimulando, dessa forma, o aluno a associar certas palavras-chave ao tipo de
fórmula que deverá utilizar.
Nessa categoria, estamos levando em consideração o seguinte: apenas
conseguiremos avaliar a assimilação do conteúdo se os alunos, de posse dos
conceitos apresentados, souberem agir diante de problemas diversificados e, de
preferência, com enunciados diferentes daquele trabalhados em sala de aula. E
mais, que esse procedimento seja adotado durante todo o processo e não
somente no final do capítulo.
♠ Ênfase na resolução com auxílio de representações
Acreditamos que o uso de representações pode facilitar o aprendizado do
conteúdo análise combinatória, sob o ponto de vista de interpretação do
problema, pois, segundo Vergnaud (1991), a representação é um reflexo da
realidade, um instrumento de simulação. Piaget (1978) também enfatiza a
importância da representação na aquisição e desenvolvimento do conhecimento,
argumentando que a representação é a reunião de um significante que permite a
formação de um significando fornecido pelo pensamento.
Mediante tais reflexões teóricas, observaremos se a diversidade de
representações é valorizada, em outras palavras, se há proposta, e mesmo
incentivo, do uso de diagramas, tabelas, árvore de possibilidades, antes da
sistematização do princípio fundamental da contagem e de cada tipo de
agrupamento.
Vergnaud (1991) ainda comenta que a representação em árvore guarda
relações privilegiadas com a combinatória, pois tem a vantagem de ser estendida
indefinidamente. Nesse caso, analisaremos até que ponto os livros trabalham com
a árvore de possibilidades e se existe um espaço para que os alunos a possam
construir.
♠ Inclusão de fatos históricos
Partimos do pressuposto de que a aprendizagem de um novo tópico se
desenvolve de maneira mais sólida e, conseqüentemente, mais significativa, se o
aluno entender em que contexto e por qual motivo ele foi criado, destacando-se aí
as necessidades da época e a finalidade de seu estudo em tempos atuais.
Vergnaud (1990), ao escrever sobre a Epistemologia e Psicologia da
Educação Matemática defende com ênfase a importância de trazer para os livros
didáticos fatos históricos:
“É essencial que autores de livros textos incluam em seu material uma
perspectiva histórica e apresentem alguns exemplos importantes de
mudanças em idéias matemáticas. É também essencial que estudantes
passem por mudanças importantes em suas próprias idéias através da
resolução de problemas, discutindo conjecturas e procedimentos diferentes
e tornando-se mais conscientes das suas próprias concepções e
dificuldades”. (pp. 30).
E, segundo Piaget (1995), a orientação dada à Educação Matemática
depende, naturalmente, da interpretação adotada sobre o tema desenvolvimento
psicológico ou adquirida a respeito das operações e estruturas lógico-
matemáticas. Tal interpretação depende igualmente do significado epistemológico
dado a essas coisas.
Então, observaremos se há preocupação em situar o aluno no momento
histórico da criação da análise combinatória, para que o mesmo compreenda os
motivos do surgimento e desenvolvimento desse tópico.
2.3.4 Os livros didáticos
Selecionamos cinco coleções de livros didáticos do Ensino Fundamental e
cinco livros do Ensino Médio, mais freqüentemente usados nas escolas de
Santos. Para o Ensino Fundamental, iremos analisar se os livros abordam ou não
o conteúdo problemas de contagem e, para o Ensino Médio, como o tema análise
combinatória é trabalhado por eles.
Relações dos livros:
♦ Matemática e vida –5ª a 8ª - Bongiovanni/ Vissoto/ Laureano – Editora Ática.
São Paulo, 1996.
♦ Matemática - 5ª a 8ª - Imenis e Lellis – Editora Scipione – São Paulo, 1997.
♦ Matemática Uma Aventura do Pensamento - 5ª a 8ª - Oscar Guelli – Editora
Ática – São Paulo, 1998.
♦ Aprendendo Matemática - 5ª a 8ª - José Ruy Giovanni e Eduardo Parente
FTD – São Paulo, 1999 (Com base nos avanços indicados pelo PCN).
♦ A conquista da Matemática - 5ª a 8ª - Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. –
FTD – São Paulo, 1998 (Coleção revisada de acordo com as observações da
avaliação dos livros didáticos do Mec – SEF/FNDE).
♦ Matemática - 2º grau, volume único – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David
Mauro Degenszajn, Roberto Périgo – Editora Atual – São Paulo, 1997.
♦ Matemática e Vida – 2º grau, volume 2 – Bongiovanni/Vissoto/Laureano –
Editora Ática – São Paulo, 1993.
♦ Matemática para a Escola do Segundo Grau – volume 2 – Antonio do Santos
Machado – Editora Atual – São Paulo, 1996.
♦ Matemática para o Segundo Grau – volume 2 – Gentil, Marcondes, Greco,
Belloto, Sérgio – Editora ática – São Paulo, 1997.
♦ Matemática 2 – volume 2 – José Ruy Giovanni e José Roberto Bonjorno –
Editora Ftd – São Paulo, 1992.
2.3.5 Análise dos livros didáticos
Nesta seção, faremos a análise dos livros do Ensino Fundamental e do Ensino
Médio, separadamente, em relação às seis categorias citadas na seção 2.2.3.
Ensino Fundamental
Ao analisar as cinco coleções, citadas anteriormente, constatamos que
apenas uma apresenta o conteúdo de análise combinatória na 5ª série e
retornando-o um pouco, na 7ª série, como ferramenta para introduzir o conceito
de probabilidade. Portanto, a análise dos livros didáticos para o Ensino
Fundamental ficará um tanto comprometida, porque será feita apenas a partir de
uma coleção, qual seja, Matemática 5ª a 8ª, de Imenis e Lellis, e ainda assim em
apenas duas séries das quatro séries finais desse nível.
♠ Forma de introdução do conteúdo
A forma de introdução do conteúdo na 5ª série é feita por meio da
contagem direta, trazendo situações-problema que podem criar no aluno, de
modo gradativo, o raciocínio combinatório. Exemplificando, mostraremos uma das
situações que inicia a abordagem do conteúdo.
CONVERSANDO SOBRE O TEXTO
♦ ALGUÉM CONSEGUE DAR EXEMPLO DE SITUAÇÕES COM VÁRIAS POSSIBILIDADES?
♦ NO JOGO DA VELHA QUE VOCÊ VIU, O X PODE FAZER UMA JOGADA QUE GANHA. QUAL É
ESSA JOGADA? MOSTRE DUAS POSSIBILIDADES DE O JOGO TERMINAR DEPOIS DESSA JOGADA.
Matemática – (Imenis e Lellis, 5ª série, pp. 23)
No livro da 7ª série, ainda observamos a preocupação de mostrar ao aluno
um caminho que o faça analisar e interpretar o problema proposto, direcionando-o
para o conceito de probabilidade, como exemplificaremos a seguir:
JOGOS COM DADOS
JOGO 1 – SOMA DA SORTE
NA CLASSE, FORMAM-SE 11 TIMES. UM TERÁ O NÚMERO 2, OUTRO O NÚMERO 3 E ASSIM POR
DIANTE ATÉ 12.
CADA TIME, NA SUA VEZ, JOGA DOIS DADOS E SOMA OS PONTOS. O TIME CUJO NÚMERO É IGUAL À
SOMA FAZ GOL.
ALGUÉM DEVE ANOTAR NA LOUSA O NÚMERO DE GOLS DE CADA TIME.
APÓS 50 LANÇAMENTOS ACABA O JOGO E GANHA O TIME COM MAIS GOLS.
TRANSCREVA EM SEU CADERNO OS RESULTADOS DA LOUSA E ANOTE SUA OPINIÃO: O TIME
VENCEDOR GANHOU APENAS POR TER MAIS SORTE?
Matemática – (Imenis e Lellis, 7ª série, pp. 169)
Analisando esses dois volumes, pudemos observar que a abordagem
adotada tem uma grande chance de permitir que o aluno construa de forma
gradativa o conceito.
♠♠♠♠ Apresentação dos conceitos de arranjo e permutação
Observamos que não há uma preocupação em definir arranjo e
combinação, pois o objetivo é apenas introduzir o raciocínio combinatório.
♠ Como e quando são introduzidas as fórmulas
Como comentamos anteriormente, essa coleção tem apenas por objetivo
introduzir o raciocínio combinatório e, conseqüentemente, não foi apresentada
nenhuma fórmula.
♠ Apresentação de problemas com enunciados diversificados
Tanto na 5ª como na 7ª série notamos enunciados bem diversificados,
solicitando dos alunos criatividade e compreensão plena da situação descrita no
problema. Como é dada apenas uma introdução à análise combinatória, não há
como o aluno associar certas palavras-chave.
Para exemplificar, mostraremos alguns tipos de problemas sugeridos em
classe e para a casa.
• VEJA TODAS AS ADIÇÕES DE DOIS NÚMEROS NATURAIS QUE TÊM SOMA 3:
0+3 1+2 2+1 3+0
a) ESCREVA TODAS AS ADIÇÕES DE DOIS NÚMEROS NATURAIS COM SOMA 5.
b) ESCREVA TODAS AS QUE TÊM SOMA 8.
c) SEM ESCREVER TODAS, DESCUBRA QUANTAS SÃO AS ADIÇÕES DE DOIS NÚMEROS NATURAIS
COM SOMA 100.
•AS PLACAS DE AUTOMÓVEIS DE UM CERTO PAÍS SÃO CONSTRUÍDAS COM APENAS UMA LETRA E
DOIS ALGARISMOS.
A LETRA É SEMPRE UMA DAS CINCO VOGAIS. O PRIMEIRO ALGARISMOS É 1 OU 2; O SEGUNDO
TAMBÉM.
a) MOSTRE TODAS AS PLACAS POSSÍVEIS QUE COMECEM COM A
b) CONSIDERANDO TODAS AS 5 VOGAIS, QUAL É O TOTAL DE PLACAS POSSÍVEIS?
Matemática – (Imenis e Lellis, 5ª série, pp. 236 e 240)
♠♠♠♠ Ênfase na resolução com auxílio de diagramas
Observamos que na 5ª série o autor utiliza desenhos e esquemas para a
resolução do problema; já na 7ª série, ele se vale da árvore de possibilidades.
Notamos que a resolução por meio de representações é bem valorizada, na
interpretação do problema dado.
Exemplificando a observação acima, mostraremos dois exercícios
propostos nos livros de 5ª e 7ª séries.
Figura 2.5: Exemplo do livro Matemática – (Imenis e Lellis, 5ª série, pp. 235)
Figura 2.6: Exemplo do livro Matemática –(Imenis e Lellis, 7ª série, pp. 173)
♠♠♠♠ Inclusão de fatos históricos
Em nenhum momento, houve a preocupação em explorar fatos históricos
ou apresentar biografia dos principais matemáticos envolvidos na criação da
análise combinatória. Também não se apresentou exercício contextualizado da
época. Encontramos, apenas, alguns problemas que solicitam o cálculo do
número de possibilidades de um certo jogo, mostrando, indiretamente, o
surgimento da análise combinatória.
Ensino médio
Aqui, analisaremos cinco livros didáticos, sempre sob a óptica de nossas
categorias.
♠ Forma de introdução do conteúdo.
Nessa categoria, observaremos se os livros apresentam problemas que
proporcionam os alunos a procurar caminhos para solucioná-los, motivando-os a
desenvolver técnicas para a descrição dos casos possíveis e para sua contagem.
Apenas um dos cinco livros analisados familiariza os alunos com
problemas de contagem, numa tentativa de possibilitar que os mesmos construam
as técnicas para a resolução dos problemas propostos.
Nos demais livros didáticos analisados, não há proposta de familiarização
com os problemas de contagem, mas sim com a sistematização imediata do
conteúdo, isto é, são apresentados um ou dois exemplos os quais apresentam a
resolução através da contagem direta e, logo a seguir, define-se o princípio
fundamental da contagem, como exemplificaremos:
Figura 2.7: Exemplo do livro Matemática 2 (Giovanni e Bonjorno, pp. 183)
Figura 2.8: Exemplo do livro Matemática 2(Giovanni e Bonjorno, pp. 184)
Notamos que o exemplo apresentado não sugere questionamento nem
atividades que envolvam a participação do aluno. Trata-se de um texto pronto e
formal, fato que, baseado nos estudos de Vergnaud (1991), acreditamos fornecer
pouca ou nenhuma condição para o aluno construir de maneira gradativa e
significativa esse conceito.
Segundo Vergnaud (1991), os conhecimentos adquiridos pelo aluno devem
ser construídos por ele mesmo, em relação direta tanto com as operações que ele
é capaz de fazer com a realidade como com as relações que ele está em
condições de captar, compor e transformar, e ainda em relação aos conceitos que
ele vai construindo progressivamente. A análise do papel da linguagem e do
simbolismo dentro da conceitualização é muito importante para que o professor
possa identificar em que ponto do processo de aprendizagem se encontra o seu
aluno.
No caso do exemplo apresentado na figura 2.6, observamos que em
nenhum momento é dada ao aluno a possibilidade de, a partir da análise do
problema, poder chegar ao conceito do princípio fundamental da contagem.
♠ Apresentação dos conceitos de arranjo e combinação.
Analisaremos como os livros apresentam esses dois tipos de
agrupamentos, pois, segundo resultados obtidos nas pesquisas de Batanero
(1996), uma das principais causas do fracasso na resolução de problemas de
combinatória é a confusão sobre a relevância de ordem.
Acreditamos que se esses dois tipos de agrupamentos forem explicados
simultaneamente, facilitará a compreensão do aluno sobre a questão ordem.
Observamos que, em três dos livros analisados, a definição de arranjo e
combinação vem pronta, ou seja, a institucionalização do conceito ocorre no início
do estudo. Esses dois tipos de agrupamentos são mencionados separadamente e
também não se faz uma relação entre eles.
Os outros dois livros abordam simultaneamente os dois tipos de
agrupamentos, sendo que apenas um se preocupa em colocar problemas para
serem analisados os dois tipos de agrupamentos, reforçando, assim, a
importância ou não da ordem dos elementos, abrindo um sub item à parte
“Arranjo ou Combinação”, como exemplificado a seguir:
“Numa classe do 2º colegial há oito alunos que praticam corrida:
a) Quantos resultados diferentes podem ocorrer, para os três primeiros
lugares, numa disputa entre eles?
b) De quantos maneiras diferentes podem ser escolhidos três desses
alunos para formar uma comissão que irá pedir dispensa das aulas?”.
Acreditamos que esse processo de ensino poderá gerar no aluno
problemas em relação ao hábito de analisar e diferenciar arranjo de combinação.
♠ Como e quando são introduzidas as fórmulas
Conforme análise feita, pudemos constatar que apenas um livro, dos cinco
livros analisados, iniciou arranjo e permutação sem utilização da fórmula,
colocando-a apenas no final do capítulo, quando definiu combinação simples.
Acreditamos que houve um trabalho significativo, antes da introdução das
fórmulas, apesar de ter sido, apenas, para arranjo e permutação.
Nos demais livros, observamos que após a definição de cada tipo de
agrupamento, as fórmulas são introduzidas, seguidas de uma série de problemas
para que na resolução se utilizem as fórmulas.
♠ Apresentação de problemas com enunciados diversificados
Quatro dos cinco livros analisados apresentam, no final do capítulo,
problemas com enunciados diversificados, relacionados a arranjo, combinação e
permutação. Considerando o fato de que esses quatro livros analisados não
partem de situações problemas para a introdução do conceito, acreditamos que
os exercícios apresentados no final do capítulo não são de fácil resolução para os
alunos, pois não houve um trabalho anterior que valorizasse o reconhecimento
dos diferentes tipos de agrupamentos.
O quadro a seguir mostra as relações entre problemas resolvidos
(incluindo exemplos), problemas propostos e problemas complementares, de
cada livro analisado.
LIVROS
Nº DEPÁGINAS DO
CAPÍTULO
QUANTIDADE DEPROBLEMASRESOLVIDOS
QUANTIDADE DEPROBLEMASPROPOSTOS
PROBLEMASCOMPLEMENTARES
COM
CONTEXTO
SEM
CONTEXTO
COM
CONTEXTO
SEM
CONTEXTO
COM
CONTEXTO
SEM
CONTEXTO
MATEMÁTICA E VIDA 29 31 0 94 4 0 0
MATEMÁTICA PARA OSEGUNDO GRAU
22 34 12 44 18 6 5
MATEMÁTICA 2 19 26 7 99 22 50 3
MATEMA’TICA PARA AESCOLA DO SEGUNDO
GRAU23 15 4 71 23 08 0
MATEMÁTICA 15 12 2 60 17 28 2
Tabela 2.1: Relações entre os problemas resolvidos, propostos e complementares, dos livros analisados.
Podemos notar que o único livro que destacamos nas categorias
anteriores, por trabalhar o conteúdo de análise combinatória de forma diferente
dos demais, foi também o único que não colocou problemas complementares no
final do capítulo. Observamos, também, que todos os livros analisados,
apresentam exercícios sem contexto, alguns em quantidade que nós
consideramos excessiva, pois estes tipos de exercícios levam os alunos ao
mecanismo do cálculo.
O livro com maior número de problemas propostos e complementares foi o
Matemática 2, que faz a institucionalização do conteúdo logo no início. Devemos
ressaltar que esse livro é o adotado na escola onde trabalharemos nossa
seqüência didática e será utilizado na turma de referência.
Podemos, também, observar que o livro Matemática para o Segundo Grau
foi o que apresentou maior quantidade de exercícios resolvidos e menor
quantidade de exercícios propostos.
Notamos que alguns dos problemas complementares trazem enunciados
semelhantes aos exercícios propostos, estimulando os alunos a associar algumas
palavras-chave.
♠ Ênfase na resolução com auxílio da representação
Todos os livros analisados iniciam o conteúdo usando esquemas ou a
árvore de possibilidades, mas apenas um livro faz uso da árvore de possibilidades
durante a apresentação do conteúdo.
Pudemos, também, observar que para definir o princípio fundamental da
contagem, arranjo, permutação e combinação, todos fizeram uso do processo de
“tentativa e erro”, para depois colocarem a fórmula.
Nos exercícios propostos, nenhum livro induz o aluno a usar qualquer tipo
de representação. O único que ainda possibilita o discente a usar algum tipo de
representação é o livro “Matemática e Vida”, pois além de iniciar o conteúdo
através da contagem direta, propõe alguns problemas.
Podemos concluir que nenhum dos livros analisados apresenta uma
proposta explícita para o uso de diagramas, tabelas ou árvore de possibilidades.
♠ Inclusão dos fatos históricos
Não existe, na maioria dos livros didáticos analisados, preocupação de
explorar fatos históricos, afirmação que pode ser comprovada pela amostra de
livros didáticos selecionados. Dentre eles, um inclui pequena exploração histórica
e outro apresenta a biografia de “Henri Poincaré” (matemático que deu seqüência
aos trabalhos de probabilidade). O primeiro apresenta, também, alguns problemas
contextualizados da época, resolvidos por análise combinatória, usando jogos
atuais como loteria esportiva e loto.
Nos demais livros, não encontramos nenhum comentário sobre o porquê
do surgimento da análise combinatória.
2.3.6 Análise do Parâmetro Curricular Nacional – Ensino Fundamental
O conteúdo análise combinatória, no ensino fundamental, é apresentado,
somente, no segundo e terceiro ciclos. O objetivo consiste, apenas, em introduzir
o raciocínio combinatório, sem a preocupação de se deter em casos particulares.
♠ Forma de introdução do conteúdo
O PCN (1998) aborda noções básicas de análise combinatória,
pretendendo que o aluno interaja com situações concretas de análise de dados
através da contagem direta.
O assunto é introduzido no 2º ciclo, através das possíveis maneiras de
combinar elementos de uma coleção e contabilizá-las usando estratégias
pessoais.
Como exemplo, observemos, a seguinte situação-problema:
Tendo duas saias – uma preta (P) e uma branca (B) e três blusas – uma
rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C), de quantas maneiras diferentes posso me
vestir?
No 3º ciclo, notamos que são colocadas situações-problema para serem
resolvidas usando contagem direta e o princípio multiplicativo. Existe uma
proposta de direcionar os alunos a compreenderem intuitivamente o princípio
multiplicativo através de problemas, como exemplificaremos a seguir:
“Lancei dois dados: um vermelho e um azul. Quantos resultados diferentes
são possíveis encontrar?”.
♠ Apresentação dos conceitos de arranjo e combinação
♠ Como e quando são introduzidas as fórmulas
Como já observamos anteriormente, o parâmetro para o ensino
fundamental não tem como meta introduzir estes conceitos nem,
conseqüentemente, suas fórmulas.
♠ Apresentação de problemas com enunciados diversificados
Não são apresentados muitos problemas, mas acreditamos que a proposta
de trabalho seria não criar um abuso de analogia dos mesmos.
♠ Ênfase na resolução com auxílio de diagramas.
Pudemos observar que existe uma valorização em relação à
representação. Pretende-se, principalmente, que o aluno se confronte com
situações concretas de análises de dados através da contagem direta, fazendo
uso da árvore de possibilidades.
No terceiro ciclo, as situações-problema apresentadas direcionam o aluno
a fazer uso de representações (diagramas de árvore, tabelas, desenhos) como
procedimento de resolução.
♠ Inclusão de fatos históricos
Não há uma proposta de introduzir algum fato histórico nem problemas
contextualizados da época para que o aluno tenha conhecimento do surgimento
da análise combinatória.
2.3.6 Análise da Proposta Curricular do Estado de São Paulo para o
Ensino da Matemática (1989)
Primeiro Grau (Ensino Fundamental)
O conceito de contagem aparece no ciclo básico, somente para o
aprendizado do conceito de multiplicação (na 3ª série) e para o aprendizado de
potenciação (na 5ª série).
Na abordagem desse tema, é proposto que o aluno classifique os
elementos de uma coleção, fazendo uso do diagrama de árvores ou
confeccionando material concreto, para chegar a uma escrita multiplicativa.
Existe uma preocupação de familiarizar o aluno com a relação existente
entre as classificações e a árvore, para depois envolvê-lo em problemas de
contagem em que seja necessário utilizar a multiplicação.
Na 5ª série, o objetivo é apresentar situações-problema que envolvam
multiplicações sucessivas de fatores iguais, enfatizando a grandeza do resultado
(potência), ainda fazendo uso da árvore de possibilidades.
A nosso ver, essa introdução de contagem no ciclo básico é uma etapa que
auxilia o aluno na construção do raciocínio combinatório.
Segundo Grau (Ensino Médio)
♠ Introdução do conteúdo
A proposta inicia-se com problemas a serem resolvidos de forma intuitiva,
com o objetivo de que os alunos discutam as soluções encontradas. Nela sugere-
se que o professor conduza os alunos a tal apresentação das soluções,
induzindo-os a uma discussão, onde possam argumentar seu procedimento de
resolução. Nessa etapa, são colocados problemas variados, compostos de
poucos elementos, para que os alunos se familiarizem com o raciocínio
combinatório sem ainda precisarem se deter em casos particulares.
A seguir, propõem-se problemas para que os estudantes possam
sistematizar a contagem. A proposta tem, para essa análise, o objetivo de
fornecer indicações para o desenvolvimento da técnica de contagem, como, por
exemplo, o princípio multiplicativo. Tal princípio deverá ser entendido
intuitivamente, isto é, deve ser uma conseqüência natural do processo de
formação e representação das possibilidades.
São propostos, a seguir, problemas para que os alunos utilizem o princípio
multiplicativo, acreditando-se que eles já o dominem intuitivamente.
♠ Apresentação dos conceitos de arranjo e combinação
A apresentação desses conceitos é trabalhada de forma intuitiva, quando
são propostos problemas para serem resolvidos através do princípio fundamental
da contagem. Já são feitas algumas observações relacionadas a importância de
considerar a ordem dos elementos, como exemplificaremos a seguir:
“Numa urna foram colocadas 5 bolas de cores diferentes: vermelha, preta,
amarela, cinza e branca. De quantas maneiras diferentes poderemos retirar 3
bolas da urna?”. (problema 21, pp 93)
Comentário
Ao ser proposto o problema para a classe, é possível que surjam soluções
diferentes, pois os alunos podem interpretar diferentemente o enunciado.
Façamos um levantamento dessas possíveis soluções.
São levantadas três possíveis soluções, a primeira onde serão retiradas
três bolas consecutivas e com reposição (arranjo com repetição), a segunda onde
serão retiradas três bolas consecutivas e sem reposição (arranjo simples) e a
terceira, onde as três bolas serão retiradas simultaneamente (combinação
simples). Observam que nas duas primeiras soluções ficou estabelecida a ordem
em que as bolas foram retiradas.
Até este momento, nomenclatura, definições relativas a arranjos,
permutações e combinações não foram abordadas. As idéias relativas a esses
conceitos deverão ser desenvolvidas intuitivamente pelos alunos durante o
trabalho com o princípio multiplicativo. Depois desta etapa é que deverá ser feita
a sistematização dos conceitos de arranjos e combinações.
♠ Como e quando são introduzidas as fórmulas
Como já mostramos na análise da apresentação dos conceitos de arranjo e
combinação, a sistematização desses conceitos é feita após um trabalho intuitivo,
através do princípio multiplicativo, e logo em seguida são apresentadas as
fórmulas, usando-se o conceito do princípio fundamental da contagem.
♠ Ênfase na resolução com auxílio de diagramas
Podemos observar que existe uma certa valorização no uso de diagramas,
tabelas e árvores de possibilidades para iniciar a resolução de um problema.
Também são colocadas situações-problema onde não é aplicável o princípio
multiplicativo, sendo um dos processos de resolução a árvore de possibilidades.
♠ Inclusão dos fatos históricos
Na proposta, não existe uma preocupação de mostrar aos alunos um
pouco da história do surgimento da análise combinatória. Os únicos problemas,
apresentados, referentes a jogos são os do dominó e da moeda, que mostram, de
maneira indireta, a necessidade do surgimento da análise combinatória.
A nosso ver, o método de ensino da análise combinatória presente na
Proposta Curricular é bom e pode ser desenvolvido em sala de aula, pois existe
uma preocupação de levar o aluno à construção gradativa do conceito. Baseados
neste ponto de vista, decidimos seguir alguns tópicos da proposta na nossa
seqüência de ensino.
2.3.8 Comparação das abordagens adotadas nos livros didáticos
analisados com a Proposta Curricular e com o PCN.
Quanto às coleções do Ensino Fundamental e do PCN, podemos observar
que os dois enfatizam a contagem direta e o uso de representações para, só
depois, fazerem uso do princípio multiplicativo. Ambos trabalham apenas com a
parte introdutória de análise combinatória, isto é, introduzem o raciocínio
combinatório sem a preocupação de definir arranjo, permutação e combinação.
As demais coleções não apresentam o conteúdo análise combinatória no
ensino fundamental.
Quanto aos livros do Ensino Médio e a proposta curricular, temos, que dos
cinco livros didáticos analisados, quatro não fornecem a parte introdutória
sugerida pela proposta, ou seja, não há uma preocupação em familiarizar o aluno
com os problemas de contagem, mas sim com a sistematização imediata do
conceito. Esses quatro livros fornecem a parte introdutória, passando rapidamente
sobre o tópico em questão, com todas as problemas resolvidos.
A proposta sugere, inicialmente, situações-problema sobre arranjo,
combinação e permutação, para que possam ser resolvidas através de contagem.
Dos livros didáticos analisados, quatro não se preocupam em motivar o aluno a
analisar o tipo de agrupamento que está sendo envolvido no problema. Isso pode
gerar dificuldade no momento em que o aluno se deparar com enunciados
diferentes, aos quais não está acostumado a resolver.
Faremos, a seguir, uma comparação das seqüências adotadas pela
proposta curricular e de três livros que não desenvolvem o conteúdo da mesma
forma sugerida pela proposta.
PROPOSTA CURRICULAR LIVROS DIDÁTICOS
PROBLEMAS DE CONTAGEM PARA SEREM RESOLVIDOS
INTUITIVAMENTE
FATORIAL
SISTEMATIZAÇÃO DA CONTAGEM, ATRAVÉS DE
DIAGRAMAS, ÁRVORES E QUADROS PARA A DESCRIÇÃO
DOS ACONTECIMENTOS
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO ARRANJO SIMPLES
ÁRVORE DE POSSIBILIDADES EM CASOS ONDE NÃO É
APLICÁVEL O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
COMBINAÇÃO SIMPLES
ARRANJOS COM REPETIÇÃO ARRANJO COM REPETIÇÃO
ARRANJOS SIMPLES PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
FATORIAL EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
PERMUTAÇÃO SIMPLES
COMBINAÇÃO SIMPLES
Tabela 2.2: Comparação das seqüências adotadas pela proposta curricular e os livros didáticos.
2.4 REVISÃO DE LITERATURA
Para a realização deste estudo, procuramos investigar o que já foi
elaborado no contexto das pesquisas em Educação Matemática. Pouco
encontramos, ao revisarmos a literatura, em relação ao ensino de análise
combinatória. Todavia, o que existe é de grande relevância, como os trabalhos de
Batanero, Piaget, Fischbein, Grenier e Maury, além de pesquisas correlatas de
probabilidade, como a de Coutinho.
Iniciaremos por Batanero, dado que esta autora desenvolveu diversos
trabalhos sobre o comportamento dos alunos na resolução de problemas
combinatórios, com ou sem o conhecimento de análise combinatória. Esses
trabalhos (1996, 1997) serviram de referência para o nosso estudo principalmente
no que se refere ao capítulo da análise dos resultados que obtivemos.
Em “Estratégias en la resolución de problemas combinatórios por
estudiantes com preparación matemática avanzada” Batanero (1997),
destacamos a importância de analisar as etapas que o aluno seguiu para resolver
os problemas propostos. A intenção era de observar o entendimento dos
estudantes no processo de resolução de um problema combinatório. A aplicação
foi realizada com apenas quatro estudantes do curso de licenciatura em
matemática, escolhidos entre os que obtiveram os melhores e piores resultados
na resolução de treze problemas combinatórios elementares, apresentados a 29
estudantes em questionário escrito, para que explicassem mais detalhadamente
suas respostas.
Como conclusão dos resultados obtidos, foi observado que os alunos
mostram uma dificuldade elevada na resolução desses problemas, inclusive os
alunos com uma boa preparação matemática. Os bons resultados são
caracterizados pela facilidade em identificar a configuração da combinatória
pedida, compreender a ordem, a repetição e o enunciado do problema, ser capaz
de enumeração sistemática, generalização e identificação da combinatória
adequada. As causas de fracasso seriam a confusão sobre o tipo de elementos
que se combinam, falta de capacidade de enumeração e falhas de tipo aritmético.
Esse trabalho em muito contribuiu na construção de nossa seqüência de
ensino, alertando-nos para a ênfase na ordem e repetição e não utilização das
fórmulas.
Em outro trabalho, “Razonamiento combinatorio en alumnos de secundária”
(1996), Batanero, destaca a importância de analisar as variáveis que afetam os
procedimentos e erros dos alunos ao resolverem problemas combinatórios,
mostrando como devem ser consideradas essas variáveis no aprendizado. A
aplicação foi realizada em uma amostra de 720 alunos (14 – 15 anos) de nove
escolas de Granada e Córdoba. Desses 720 alunos, 352 aprenderam
Combinatória e o restante (368) não.
A autora observou que nos dois grupos de alunos houve grandes
dificuldades em resolver os problemas. Os estudantes mostraram falta de
raciocínio recursivo e dificuldade de interação de todos os fatores de instrução. A
análise qualitativa revelou a dependência de tipos de erros, de grande importância
para nossa pesquisa.
Muito significativos para a elaboração da nossa seqüência e para a análise
dos instrumentos diagnósticos foram os trabalhos a seguir:
Nos anais do EPEM, encontramos o texto “Como Resolver Problemas
Combinatórios: Modelos e Analogias” (Rigolino e Hariki, 1996). Esse mini curso
teve como objetivo trabalhar os seguintes aspectos da heurística da resolução de
problemas de análise combinatória: (i) o uso de modelos, por exemplo, o modelo
da colocação de bolas em urna; e (ii) o uso de analogias, para criar conexões na
rede de problemas. Com tais instrumentos heurísticos, seria possível abordar de
maneira efetiva todos os problemas de contagem usualmente trabalhados no
ensino de segundo grau, o atual ensino médio.
Esse trabalho foi apresentado de forma resumida, mais como caráter de
experiência do que de pesquisa, o que não nos permitiu estabelecer maiores
considerações. Apesar disso, notamos que o estudo envolve técnicas de
modelagem matemática e assim concluímos sobre a importância de se construir
uma visão mais ampla do conhecimento, através de uma seqüência que
procurasse explorar e dar sentido ao conceito.
Encontramos, no “Educacional Studies in Mathematics”, um trabalho
desenvolvido por Fischbein e Grossman (1997, nº 34) sobre a afinidade entre
esquema e intuição, denominado: “Schemata and intuitions in combinatorial
reasoning”. Tal trabalho basicamente procura levantar a hipótese de que as
intuições são sempre baseadas nos esquemas estruturais.
Os autores analisaram a interação entre intuição e esquemas subjacentes
em estimações intuitivas do valor das operações combinatórias com diversos
tipos de sujeitos, entre os quais se encontram adultos sem instrução
combinatória. Observaram que às estimações intuitivas dos sujeitos subjaziam
cálculos básicos relacionados a operações combinatórias, e os números de
elementos que se têm a combinar. Os cálculos se reduzem a operações
multiplicativas binárias, em lugar de se realizar o conjunto requerido de
operações, sugerindo que os esquemas combinatórios sofrem um processo de
compreensão e reduzem-se a uma estrutura mínima, para apoiar as intuições
errôneas dos sujeitos.
Achamos esse estudo importante para o nosso trabalho, visto que a nossa
seqüência tem o objetivo de deixar que os alunos resolvam, a princípio,
intuitivamente as situações-problema. O trabalho apresentado nos mostra que
existem problemas em relação à construção dos esquemas e à forma de avaliar
através do seu ponto de vista, mas que o pensamento seria simplesmente
impossível se não nos apoiássemos, de imediato, nas próprias intuições
evidentes.
No livro de Piaget e Inhelder, “La genése de l’idée de hasard chez l’enfant”
(1951), o qual estudou a natureza e as condições da gênese das idéias do acaso,
observamos que existe uma estreita relação entre a formação dos conceitos e as
operações formais já avaliadas por Piaget.
No estado sensori-motora (4 a 7 anos aproximadamente), o aluno não
chega a descobrir as combinações empíricas. Esse primeiro estágio
(combinações empíricas) é comparável ao que caracteriza o começo da seriação.
As operações de combinação persistem e agem a um nível preparatório.
No estado das operações concretas (7 a 11 anos) aproximadamente, já se
inicia uma quantificação sistemática. Nesse estágio (pesquisa de um sistema),
existe interesse por parte do aluno em fazer diversos ensaios de sistema, dos
mais rudimentares até a aproximação de um método correto.
No estado das operações formais (11 – 12 anos em diante), o aluno
procura a combinação metódica e completa. Nesse estágio (descoberta de um
sistema), os sujeitos descobrem um sistema, de modo que nenhuma associação
seja esquecida.
Esse livro apresenta trabalhos interessantes realizados com alunos nos
três estágios apresentados. Foi a partir dessa leitura que nos veio o incentivo em
aplicar a nossa seqüência em uma turma de 8ª série do ensino fundamental, já
que, nessa fase, segundo Piaget, os alunos procuram a combinação metódica e
completa.
Encontramos em “Recherches em Didactique des Mathématiques” (1998,
nº1, vol.18), um trabalho desenvolvido por Grenier e Payan sobre o processo de
modelagem na matemática discreta, denominado: “Spécificités de la Preuve et de
la Modélisation em Mathématiques Discrètes”. Este desenvolve a importância da
demonstração e da modelização (sair do problema de interpretação de uma
situação real para chegar à resolução matemática), por meio de uma descrição
rápida, ilustrada por alguns exemplos de certos temas e métodos da matemática
discreta. Como exemplo, utiliza-se a análise combinatória, por ser um estudo que
gera grandes dificuldades e por trazer à tona a necessidade de modelizar as
situações de contagem.
Tal estudo veio evidenciar a necessidade de que o aluno participe do
processo de modelagem para o ensino da análise combinatória.
Em “Recherches em Didactique des Mathématiques” (1986, nº 1, vol. 7),
também encontramos um estudo sobre resolução de problemas combinatórios
com alunos de 9 e 10 anos de idade, denominado “Combinatoire et Résolution de
Problemes au Cours Moyens Premiere et Deuxieme Années”. É um estudo
realizado em CM1 e CM2 (1ª a 4ª série do ensino fundamental), o qual investiga
os processo utilizados pelos alunos ao resolverem problemas de combinatória,
colocando um material referente à área de eletricidade. Os alunos do CM1
trabalham em dupla, enquanto os do CM2 trabalham individualmente, surgindo
um efeito positivo na interação social em CM1.
Esse estudo reforçou a escolha em trabalhar nossa seqüência, para o
grupo experimental, em dupla. E também foi ao encontro do que acreditamos ser
possível, iniciar o conteúdo análise combinatória antes do 2º ano do Ensino
Médio.
Nos anais do EPEM, também encontramos um estudo de Coutinho (1996),
sobre “Introdução ao Conceito de Probabilidade Para Adolescentes (12/13 anos –
6ª Série do 1º Grau)”. Nele foi possível verificar que os alunos têm capacidade
para o raciocínio combinatório, desde que a introdução deste conceito seja feita a
partir de construções que lhe dê sentido. A pesquisa objetivou utilizar a visão
freqüentista como um agente facilitador para os conceitos básicos de
probabilidade, devido a sua maior proximidade com a realidade do aluno.
Acredita-se que a introdução do conceito de probabilidade no âmbito da 6ª série
do Ensino Fundamental deve diminuir significativamente os entraves para a
aprendizagem deste conteúdo, dificultando o reaparecimento das concepções
errôneas.
Nos anais do PME20, encontramos outro estudo de Coutinho (1996), sobre
“Introduction on the Concept of Probability to Teenargers – (12/13 years old).
Este trabalho se refere a um pôster apresentado no PME20, que analisa as
concepções errôneas mais resistentes sobre as noções de acaso e probabilidade,
encontradas na análise comparativa de dois questionários aplicados em
momentos distintos, antes do aprendizado e três meses após o mesmo.
Nesse estudo, foi observado que muitos dos estudantes que apresentaram
concepções errôneas no primeiro teste, apresentaram concepções corretas após
a seqüência didática. Entretanto, também foram encontrados alguns alunos com
os mesmos erros apresentados no primeiro teste.
Com base nestes resultados, em 1996, foi feita uma análise clínica com 6
alunos participantes das atividades no ano anterior, por meio de problemas que
levassem a identificar as concepções então existentes.
Após a análise, conclui-se que os jovens analisados, que foram os que
melhor se saíram nas atividades em 1995, não possuíam organização mental
nem raciocínio combinatório, o que ficou bastante evidente nas questões que
envolviam o conceito de proporção. Conforme esperado também, apresentaram
problemas de linguagem, ou seja, muitas vezes sabiam o conceito, mas não
conseguiam expressar seu pensamento por falta de um vocabulário adequado.
Essas duas pesquisas de Coutinho nos levaram a investigar os fatores que
influenciam o raciocínio combinatório, utilizando-nos de situações-problema com
enunciados significativos para os alunos.
Os resultados desses estudos somados com nossas leituras sobre
Teorema-em-ação (Vergnaud, 1990, 1998) nos alertaram para a importância de
considerarmos em nossa seqüência não apenas a fala dos alunos bem como
suas ações. De fato, a partir de seus estudos, Falcão (no prelo), conclui que:
... Assim os experts mais experimentados não são capazes de
exprimir em palavras uma boa parte dos conhecimentos que ainda assim
eles utilizam na ação [competência-em-ação], e que são justamente
representativas em sua expertise. Da mesma forma as crianças não são
capazes de explicar todos os conhecimentos que contribuem à
organização racional de suas atividades, apesar de serem de se engajar
em atividades cognitivamente complexas, interpretáveis pelo observador
externo em termos de ”teoremas-em-ação”.(pp.2).
2.5 IDÉIAS TEÓRICAS
Nessa seção, descreveremos as concepções que fundamentam
teoricamente a nossa pesquisa, provenientes da Didática da Matemática
Francesa.
Há pelo menos três idéias principais influenciando nossa pesquisa:
transposição didática, teoria dos campos conceituais e noções de registros de
representações. Ao invés de discutirmos os autores, trataremos dessas idéias,
inserindo-os no decorrer da análise. Faremos, ao final da seção, breves
comentários sobre a noção de “contrato didático”, na visão de Brosseau, e de
“zona de desenvolvimento proximal”, introduzida por Vergnaud.
2.5.1 Transposição didática
O estudo da transposição didática nos permitiu escolher a abordagem que
daremos ao nosso trabalho. Para isso, fizemos um estudo histórico, procurando
os métodos desenvolvidos para a resolução da análise combinatória; observamos
livros didáticos atuais para comparar suas abordagens através das categorias que
achamos ser essencial para o desenvolvimento do conteúdo; e produzimos uma
seqüência didática ,a fim de aplicar o conteúdo de análise combinatória de forma
mais significativa.
Uma das questões centrais da educação matemática é o estudo do
processo evolutivo por que passa a formação do seu objeto de ensino. Na análise
dessa evolução, é possível identificar diversas fontes de influências que
determinam as transformações do saber ensinado na escola. Aqui,
descreveremos a estrutura dessas transformações, através da noção de
transposição didática segundo Brousseau e Chevallard.
Brousseau (1986) critica a metodologia do ensino da matemática que se
apóia na apresentação axiomática. Essa metodologia permite ao estudante e a
seu professor ordenar as atividades e acumular, num tempo mínimo, bastante
“saber”, mais próximo do “saber sábio”.
Ele observa que essa apresentação esconde completamente a história
desses saberes, isto é, a sucessão das dificuldades e questões que provocaram a
aparição dos conceitos fundamentais, seu uso na criação de novos problemas, a
introdução de técnicas e questões nascidas do progresso de outros setores, a
rejeição de certos pontos de vistas julgados falsos ou impróprios e as numerosas
alterações que esse saber sofreu.
O “saber sábio” deve sofrer adaptações e transformações para torná-lo
ensinável. Brousseau (1996) chama essa operação de “transposição didática”.
O autor situa o processo de transposição didática em três etapas:
1) O trabalho dos matemáticos
No momento da comunicação dos resultados de sua pesquisa, o
matemático despersonaliza, descontextuliza e destemporaliza o mais
possível os seus resultados.
2) O trabalho do aluno
Para G. Brosseau (ibid.), o trabalho do aluno deve ser, às vezes,
comparável ao do matemático. Saber a matemática não é só aprender as
definições e os teoremas, para reconhecer a ocasião de os utilizar e os
aplicar, mas além de tudo resolver os problemas. Brosseau observa que
resolver os problemas é só uma parte do trabalho, pois achar boas
questões e suas soluções é também importante. O professor é
encarregado da busca das situações-problema que permitem ao aluno agir,
formular, provar, etc...
3) Trabalho do professor
O professor deve construir situações-problema nas quais o conhecimento
matemático apontado seja recontextualizado e repersonalizado, em vista
de se tornar um conhecimento do aluno, quer dizer, uma resposta mais
natural às condições particulares é indispensável para que esse
conhecimento tenha um sentido.
No desenvolvimento de toda prática educativa, é sempre necessário
estabelecer prioridades na conduta dos procedimentos pedagógicos. Uma dessas
prioridades diz respeito à seleção dos conteúdos presentes nos programas
escolares. O conjunto desses conteúdos, que também pode ser chamado de
saber escolar, tem como fonte original o saber científico. Entretanto, através dos
efeitos de todo um processo evolutivo, ocorrem transformações que acabam
determinando características bem particulares ao saber escolar. A noção de
transposição didática visa estudar esse processo seletivo que ocorre através de
uma longa rede de influências, envolvendo diversos segmentos do sistema
educacional. Essas idéias já aparecem numa primeira definição de transposição
didática dada por Chevallard (1991):
“Um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a
ensinar, sofre então um conjunto de transformações adaptativas que vão
torná-lo apto a tomar lugar entre os “objetos de ensino”. O “trabalho”
que, de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino, é
chamado de transposição didática.(pp.39).
Chevallard estuda a transposição didática, seguindo o esquema:
SABER SÁBIO OBJETOS A ENSINAR SABER A ENSINAR
SABER DISPONÍVEL SABER ENSINADO O SABER ESCOLAR
Transposição didática = conjuntos destas adaptações e transformações.
A seguir definimos as diferentes etapas da transposição didática, segundo
o pesquisador (1991).
Saber sábio:
Quando um pesquisador tem por objetivo comunicar os resultados da sua
pesquisa, ele não faz geralmente referência a seus conhecimentos
próprios, a suas estratégias pessoais de pensamentos, ao tempo e duração
de seu trabalho. Digamos que ele despersonaliza esse saber.
Para dar uma generalidade máxima aos resultados, ele elimina a origem
dos problemas encontrados na partida. Nessa passagem para a abstração,
ele apenas retém os conceitos operatórios. Digamos que ele
descontextualiza o saber. Podemos dizer que o saber sábio em matemática
é:
- despersonalizado;
- descontextualizado (no que se refere às publicações);
- ordenado pelos problemas encontrados (no que tange aos
conhecimentos dos pesquisadores);
- sincretizado, ou seja, os saberes são ligados.
Os objetos a ensinar.
O conjunto das fontes de influências atuantes na seleção dos conteúdos,
que deverão compor os programas escolares e determinam todo o
funcionamento do processo didático, recebeu, por parte de Chevallard, o
nome de noosfera. Fazem parte da noosfera: cientista, professores,
especialistas, políticos, autores de livros e outros agentes da educação.
O resultado do trabalho seletivo da noosfera não só determina os
conteúdos escolares como também acaba exercendo uma influência
considerável na estruturação dos valores, objetivos e métodos que
conduzem o processo de ensino. Isto é o primeiro ato da transposição
didática.
O saber a ensinar e os objetos do ensino:
Tendo sido designados os objetos a ensinar, o sistema educativo está
encarregado de traduzi-los em um conjunto de conhecimentos que os
alunos deverão saber. Os objetos do saber são, então, organizados em
disciplinas do ensino (então o saber sábio é de natureza transdisciplinar),
estruturados numa progressão e se integram nas propostas curriculares,
articulados logicamente, sem lacunas importantes.
Para tentar fazer do saber a ensinar um conjunto de conhecimentos
estruturados e acessíveis aos alunos, os especialistas são, às vezes,
obrigados a reescrever as definições e propriedades, repensar as
articulações lógicas e transformar certas demonstrações.
Podemos, assim, distinguir no texto do saber os objetos a ensinar e os
objetos de ensino:
- Os objetos a ensinar na matemática são introduzidos explicitamente por
uma definição, seguida de demonstrações de propriedades a partir de
um certo nível, e do estudo sistemático das possibilidades do uso do
saber pelos alunos.
- Os objetivos de ensino do tipo: saber raciocinar, saber argumentar,
saber resolver problemas, não são sempre objetos do ensino explícito e
sistemático.
Esse conjunto de etapas constitui o segundo ato da transposição didática.
O saber escolar
Na realidade, o ensino se refere mais aos livros didáticos em vigor que aos
textos dos programas. Esses livros didáticos visam, geralmente, colocar
nas mãos dos alunos uma ferramenta de referência para pesquisas
eventuais. Fornecem ilustrações diversas, evitando aos professores a
consulta constante de seus arquivos ou biblioteca. É uma base de dados
para os exercícios de treinamentos e para os problemas complementares.
Enfim, os livros explicam um texto, expondo as noções do programa.
Esses manuais didáticos ressaltam um certo tipo de saber que contribui à
instalação de uma cultura particular nos alunos de uma mesma época.
Esse saber chama-se saber escolar. Sua elaboração é o terceiro ato da
transposição didática.
O saber ensinado
O quarto ato da transposição didática vem do professor. Nesse nível, o
professor vai gerenciar a transposição didática e adaptar os objetos a
ensinar a seus conhecimentos próprios, inseri-los no saber escolar e
organizá-los no tempo.
O professor dispõe de variáveis didáticas que vão transformar a situação
de aprendizagem. Suas escolhas terão conseqüências sobre a percepção
do saber que os alunos vão desenvolver e as concepções que eles vão
forjar.
Os professores sabem que o saber ensinado não é retido pelo aluno, este
cumpre o quinto ato da transposição didática, isto é, a transformação do
saber ensinado em saber do aluno.
Esta interação entre professor e aluno, colocando em jogo o saber
transportado, é essencialmente a relação didática. Ela merece um exame
mais aprofundado, onde podemos colocar em evidência a dialética que
desempenha o papel motor na aprendizagem.
O professor deve proporcionar a devolução do ensino. Isso significa que o
professor deve responsabilizar o aluno por uma parte da aprendizagem, de
tal modo que esse aluno seja capaz de conduzir sua ação sem que o
professor o faça no seu lugar.
Neste último processo de transposição, o professor deve relacionar o saber
em jogo (saber novo) aos conhecimentos já adquiridos (pré-requisitos ou
pré-construídos, saberes antigos) pelos alunos, nos quadros onde eles têm
significado.
2.5.2 A teoria dos campos conceituais
Discutiremos, brevemente, a seguir, a teoria dos campos conceituais,
elaborada por Gerard Vergnaud, detendo-nos em alguns conceitos.
Em linhas gerais, o objetivo da teoria dos campos conceituais consiste em
proporcionar um quadro teórico para as investigações sobre as atividades
cognitivas complexas, especialmente as que se referem aos aprendizados
científicos e técnicos. Trata-se de uma teoria psicológica do conceito, ou ainda, a
conceitualização do real, que permite localizar e estudar as filiações e as rupturas
que os estudantes fazem durante aquisição do conhecimento. Ela explicita,
também, a relação entre significados e significantes.
Define-se campo conceitual como um conjunto de situações cuja
apropriação requer o domínio de vários conceitos de naturezas diferentes. Por
exemplo, o campo conceitual das estruturas multiplicativas consiste em todas
aquelas situações que podem ser analisadas ou como problemas simples ou de
proporções inversas, ou ainda aquelas que precisam normalmente multiplicar ou
dividir.
As relações multiplicativas servem não somente a um conjunto de
composições numéricas (multiplicações, divisões, regras de três simples e
compostas, etc.) como igualmente à composição sobre as dimensões.
Embora essa definição de campo conceitual seja bastante clara, as
fronteiras cognitivas entre os campos conceituais não são necessariamente bem
definidas. Por exemplo, existe uma filiação entre as estruturas aditivas e
multiplicativas. A principal razão para tal é que há um severo corte no
conhecimento humano. Contudo, existe também especificidade suficiente nos
problemas cognitivos, que surgem ora através das estruturas aditivas ora das
estruturas multiplicativas, as quais nos permitem estudar esses campos
conceituais separadamente.
Um conceito não pode ser reduzido à sua definição. O que nos interessa é
a sua aprendizagem e o seu ensinamento. Seu processo de elaboração
pragmática é essencial para a psicologia e a didática da matemática, como é
essencial para a história da ciência. O conhecimento racional é operatório ou não.
Podemos distinguir dois tipos de classes de situações:
1) aquelas em que o sujeito dispõe, em seu repertório, a um momento
dado de seu desenvolvimento e de suas circunstâncias, de
competências necessárias ao tratamento relativamente imediato à
situação;
2) aquelas em que o sujeito não dispõe de todas as competências
necessárias, obrigando-o a um tempo de reflexão, exploração,
hesitações e as tentativas, que ou o conduzem ao sucesso ou ao
fracasso.
O conceito de esquema é interessante para uma ou outra classe de
situações, mas não funciona da mesma maneira para os dois casos. No primeiro
caso, vamos observar, para uma mesma classe de situações, as condutas
largamente automatizadas, organizadas por um único esquema; no segundo
caso, vamos observar desencadeamento sucessivo de vários esquemas.
Para Vergnaud (1990), esquema é a organização invariante de conduzir
uma classe de situações dadas. Os esquemas investigam os conhecimentos-em-
ação do sujeito, isto é, os elementos cognitivos que permitem à ação do sujeito
ser operatória.
Outro conceito bastante importante dentro da teoria dos campos
conceituais é o de “teorema em ação” o qual está muito ligado ao conceito de
esquemas, uma vez que costuma lhe preceder no processo da formação do
conceito.
Teorema-em-ação é definido por Vergnaud (1990) como relações
matemáticas levadas em consideração pelos estudantes quando estes escolhem
uma operação ou seqüência de operações para resolver um problema. Essas
relações não são normalmente expressas verbalmente por eles. Portanto,
teorema-em-ação não é um teorema no sentindo convencional do termo, pois não
é explícito. Ele está subjacente ao comportamento dos alunos e seu âmbito de
validade é local. Para estudar os comportamentos matemático dos alunos, é
necessário expressar os teoremas-em-ação em termos matemáticos.
Normalmente, observa-se que os estudantes usam teorema-em-ação em
domínios de contexto fáceis e de valores numéricos simples. No entanto, eles são
a primeira base intuitiva que os professores podem usar para estender e
formalizar os conceitos de seus alunos. Os professores podem ajudá-los a
explicitar os teoremas-em-ação e, assim, estender o uso dessas interrelações
para situações mais complexas.
Por fim, gostaríamos de apresentar algumas reflexões de Vergnaud (1990)
sobre a Educação Matemática, do ponto de vista epistemológico.
A epistemologia diz respeito a uma questão principal: o que é
conhecimento?
A partir dessa questão, Vergnaud sugere várias outras:
“Como o conhecimento é adquirido? Que papel a ação, a percepção, a
linguagem e o simbolismo têm no desenvolvimento e funcionamento do
conhecimento? Qual é a relação entre o conhecimento padronizado e a
resolução de problemas? E assim por diante”.(pp. 14)
Há também questões epistemológicas específicas da matemática: que
tipos de objetos são inteiramente matemáticos? Existem tipos de objetos
diferentes? Qual é a relação entre a Matemática, as outras ciências, e os outros
campos da experiência humana? Em que sentido a Matemática tanto é um
conjunto de ferramenta quanto um conjunto de objetos?
Iremos dedicar a nossa atenção a um restrito conjunto de questões
epistemológicas que sejam centrais, tanto para o estudo do processo
aprendizagem-redescoberta-reinvenção na mente dos estudantes, quanto para a
história da Matemática: qual é a natureza e a função de um novo conceito, um
novo procedimento, um novo tipo de raciocínio, uma nova representação? Mais
precisamente, qual é a relação existente entre as novas competências e
concepções matemáticas e os problemas práticos e teóricos que as tornam
valiosas e significativas?
Esse tipo de pergunta é essencial para a escolha de situações feitas pelos
professores, visto que a identificação dos conceitos envolvidos e das
propriedades relevantes dos teoremas é crucial para a análise cognitiva das
tarefas e comportamentos – especialmente para a análise das novidades.
É também o tipo de questão epistemológica que dirige a investigação do
historiador quando ele tenta descobrir as circunstâncias históricas e sociais sob
as quais as invenções matemáticas emergiram. Há muito que ganhar a partir do
estudo interativo do processo individual e histórico do desenvolvimento do
conhecimento matemático. O estudo dos obstáculos vividos por matemáticos no
passado ajuda-nos a interpretar os erros hoje cometidos por nossos alunos; por
sua vez, os erros, dificuldades e concepções errônea dos alunos colocam luz
sobre o nosso entendimento da história da Matemática.
O estudo da teoria dos campos conceituais entra em nosso trabalho em
dois momentos. O primeiro, quando julgamos importante analisar os
procedimentos que os alunos utilizam nas resoluções de situações-problema;
segundo, na formulação da seqüência de ensino, quando pensamos em criar
situações em que pudéssemos analisar o desenvolvimento de concepções e
competências dos alunos.
2.5.3 A noção de registros de representações
Existe uma preocupação muito grande entre os pesquisadores em
Educação Matemática com a aquisição do conhecimento, com a forma como se
processa a aprendizagem. Inicialmente, descreveremos a idéia do uso de
representações no ensino da matemática.
A matemática trabalha com objetos abstratos. Ou seja, os objetos
matemáticos não são diretamente acessíveis à percepção, necessitando para a
sua apreensão o uso de uma representação. Nesse caso, as representações,
através de símbolos, signos, códigos, tabelas, gráficos, algoritmos, desenhos são
bastante significativas, pois permitem a comunicação entre os sujeitos e as
atividades cognitivas do pensamento.
A definição de representação à qual Piaget se atém em todos os seus
trabalhos se limita a uma relação de objetos já vistos, familiares, mas
momentaneamente ausentes porque se encontram afastados. Ela constitui
essencialmente o ambiente próximo do indivíduo, o que é concreto.
Em “O Nascimento da Inteligência da Criança” (1937), Piaget recorreu à
noção de representação como “evocação dos objetos ausentes” para caracterizar
a transformação que marca o último dos estágios da inteligência sensório-motora.
Em um longo artigo de 1941 sobre o “mecanismo do desenvolvimento mental”, ele
propõe esta definição a fim de explicar como a representação pode se formar em
continuidade com a atividade sensório-motora:
“A representação não é outra coisa, com efeito, senão que o esboço
motor interiorizado de ações que não têm necessidade de serem
efetuados materialmente e sucessivamente para se coordenar, mas
que ultrapassam a coordenação com a ajuda de seus sucedâneos
simbólicos”.(pp.231).
Em “A formação do Símbolo na Criança” (1978), Piaget retoma a mesma
definição da representação como “evocação dos objetos ausentes” e introduz a
idéia de uma função simbólica para relativizar a importância do aparecimento da
linguagem e de seu papel no desenvolvimento intelectual.
Nessa obra, Piaget procura desenvolver duas teses. A primeira: no terreno
do jogo e da imitação, pode-se acompanhar de maneira contínua a passagem da
assimilação e da acomodação sensório-motoras – os dois processos que
parecem essenciais na constituição das formas primitivas e pré-verbais da
inteligência – para a assimilação e a acomodação mentais que caracterizam os
inícios das representações. A representação começa quando há,
simultaneamente, diferenciação e coordenação entre “significantes” e
“significados”, ou significações. A segunda: interação das diversas formas de
representação. Há representação quando se imita um modelo ausente. Assim
acontece no jogo simbólico, na imaginação e até no sonho. Enfim, o sistema de
conceitos e relações lógicas supõe a representação, quer em suas formas
operatórias quer nas intuitivas.
Vergnaud (1991) vai ao encontro de Piaget quando coloca que o
pensamento consiste, por sua vez, de operações conceituais e pré-conceituais
sobre os significados, e de operações simbólicas sobre os significantes. Estes
podem formar vários sistemas simbólicos distintos. É função do pensamento
buscar estabelecer vínculos entre os significantes e o significado.
Para Vergnaud (1998), a representação nos habilita a antecipar eventos
futuros e gerar comportamento para alcançar um pouco de efeito positivo ou
evitar algum negativo. As representações podem ser verdadeiras ou erradas,
vagas ou precisas, explícitas ou totalmente implícitas. O autor (1991) é enfático
ao afirmar que não se compreenderia o papel da representação se ela não viesse
como um reflexo da realidade, um instrumento de simulação desta e,
conseqüentemente, um meio para prever efeitos reais e calcular as ações que se
vão realizar.
Reproduziremos, a seguir, um esquema elaborado por Vergnaud, o qual
coloca de forma brilhante a relação entre representação e realidade:
REALIDADE ASPECTOS DA REALIDADE TRANSFORMAÇÕES EFEITOS
EM AÇOES
DIFERENTES NÍVEIS
REPRESENTAÇÃO CONCEITOS, PRÉ-CONCEITOS
DE DIFERENTES NÍVEIS OPERAÇÕES DO REGRAS
(ELEMENTOS, PROPRIEDADES, PENSAMENTO DE AÇÃO
CLASSES,ETC...) PREVISÕES
Portanto, esse esquema geral seria excessivamente simples se não se
colocassem imediatamente as seguintes idéias:
1. Não existe só uma representação e sim múltiplas representações, de
formas e níveis diferentes.
2. Existem homomorfismos não só entre a realidade, por uma parte, e as
representações, por outras, como também entre as diferentes formas de
representações.
REALIDADE ASPECTOS DE DIFERENTES NÍVEIS
SIGNIFICADO CONCEITOS E PRÉ-CONCEITOS DE
REPRESENTAÇÃO DIFERENTES NÍVEIS
SIGNIFICANTE SISTEMA I SISTEMA III
SISTEMA II
O pensamento funciona de maneira excessivamente diferenciada, posto que
trabalha ao mesmo tempo em diferentes níveis (elementos, classes, relações,...) e
com a ajuda de diferentes sistemas simbólicos (linguagem natural, representação
imaginada, esquemas, etc.).
Há buracos importantes entre o que é representado na mente do indivíduo e o
usual significado das palavras (Vergnaud, 1998). Essa cartografia parcial faz para
a comunicação um tipo de milagre, pelo menos quando os indivíduos produzem
novas idéias.
Um conceito não é uma mera definição; refere-se a um jogo de situações,
envolve um jogo de invariantes operacionais diferentes, e suas propriedades
podem ser expressas através de representações lingüísticas e simbólicas
diferentes. Professores são mediadores e a parte deles consiste principalmente
em ajudar o aluno a desenvolver o seu repertório de esquemas e representações.
2.5.4 O contrato didático
O contrato didático é importante em nosso trabalho no momento em que forem
aplicados o pré-teste e a seqüência, pois acreditamos que o relacionamento dos
alunos com a pesquisadora, os tipos de atividades propostas e o ambiente de
trabalho são alguns dentres os diversos fatores que podem influenciar no
aprendizado. Para o pré-teste, teremos uma ruptura do contrato didático adotado
pela escola tradicional, pois os alunos terão que resolver os problemas sem terem
conhecimento do conteúdo. A seqüência de ensino poderá, de forma geral,
provocar nos alunos insegurança em relação ao objetivo do ensino a ser
ministrado, o que pode ser explicada pela alteração do contrato didático.
Segundo Brousseau (1982), contrato didático é um conjunto de regras que
determinam o comportamento e as expectativas de alunos e professor em sala de
aula. Tais regras são freqüentemente implícitas, mas podem também ocorrer
explicitamente.
As resoluções tomadas pelo professor durante a aula, seu comportamento
frente às respostas dos alunos quando questionado ou seu modo de avaliar são
alguns aspectos que fazem parte de tal conjunto. As atitudes dos alunos perante
o comportamento do professor em relação ao saber ensinado também se incluem
neste contrato.
2.5.5 Zona de desenvolvimento proximal (ZDP)
A zona de desenvolvimento proximal, pressupõe que a experiência coletiva
contribui para a individual. Representa, ainda, a discrepância entre o que um
indivíduo consegue resolver por conta própria e o que resolve com auxílio de
alguém (diferença entre o nível de desenvolvimento real e o de desenvolvimento
potencial). Essa idéia será utilizada no momento em que acreditamos que o
desenvolvimento da seqüência em dupla garanta um avanço na aprendizagem,
pois tem por finalidade explorar a cooperação entre indivíduos de ZDP(s)
provavelmente próximas, mas diferentes. Além disso, o professor também terá
por função, através da orientação e da solicitação de perguntas, contribuir para o
sucesso nesse desenvolvimento.
METODOLOGIA
3.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo diz respeito à realização de nosso estudo experimental. Na
seção 1, serão apresentado o universo de estudo (seção 1), os sujeitos
participantes e o material utilizado nas duas seqüências: a elaborada por nós
(para o grupo experimental) e a proposta pela escola (grupo de referência). Na
seção 2, mostraremos o desenho do nosso experimento, bem como, a descrição
de uma análise prévia dos instrumentos diagnósticos e da seqüência elaborada
para o grupo experimental.
3.2 UNIVERSO DO ESTUDO
O nosso estudo será realizado com alunos de uma instituição da rede
particular de ensino do Estado de São Paulo, na cidade de Santos.
3.2.1 Os sujeitos
Este estudo será realizado com dois grupos: o grupo experimental e o grupo
de referência. Em relação ao grupo experimental, trabalharemos com 14 duplas
totalizando 28 sujeitos, todos pertencentes a uma mesma instituição, estudantes
da última série (8ª série) do Ensino Fundamental, idade aproximada de 14 anos
com a característica de não haverem realizado o estudo de análise combinatória.
A escolha do número de sujeitos foi de origem pragmática. Por um lado,
queríamos um grupo com cerca de 20 alunos para assemelhar-se a uma classe
de aula ideal; por outro lado, sabemos que é comum a perda de sujeitos ao longo
do experimento. Optamos, então, por 28 alunos para não nos distanciarmos muito
do número 20 e ao mesmo tempo termos uma “folga” para o caso da
“mortalidade” de sujeitos (seja por falta, mesmo que justificada, na seqüência,
seja por desistência).
Já o grupo de referência será composto por uma turma da segunda série do
ensino médio, com idade aproximada de 16 anos, inicialmente constituída por 30
alunos da mesma instituição particular de ensino. Realizaremos o estudo de
análise combinatória através da abordagem tradicional apresentada nos livros
didáticos.
Ambos os grupos se submeterão a dois testes individuais: um, antes de
serem introduzidos no ensino de análise combinatória; outro, após o contato com
esse conteúdo. Consideraremos para a análise dos resultados, em relação aos
dois grupos, somente aqueles que participarem do estudo completo (pré-teste,
seqüência e pós-teste).
Vale a pena ressaltar que os dois grupos são semelhantes em todos os
aspectos, exceto em relação à variável que vamos estudar (abordagem didática)
e à idade. Na escolha dos dois grupos, procuramos alunos que tivessem
desempenho escolar semelhante e fossem semelhantes também quanto ao
gênero (turmas mistas). Para nos certificarmos de que os dois grupos
apresentavam o mesmo desempenho escolar, fizemos uma entrevista com a
professora de matemática que trabalha com as duas turmas e a direção. Além
disso, analisamos o histórico escolar dos grupos e pudemos constatar que ambos
apresentavam, em média, um rendimento satisfatório. Logo, quanto ao
rendimento escolar, teremos, distribuídos eqüitativamente, nos dois grupos,
alunos considerados excelentes, médios e insatisfatórios em matemática.
Para o grupo experimental, a aplicação dessa seqüência será realizada em
horário extra-aula, num total de sete encontros de aproximadamente 60 minutos
cada, o que equivale, na escola, a uma média de 8 horas/aula. A aplicação desta
seqüência será realizada em duplas, sendo que o atendimento será feito
coletivamente em uma sala de aula.
Com relação ao grupo de referência, composto por uma turma de sala de
aula, o trabalho será desenvolvido conforme determinado pela escola. As aulas
serão realizadas em horário normal durante seis segundas-feiras, totalizando 12
horas/aula. Estas aulas serão ministradas pela pesquisadora, a fim de se certificar
de que todo o planejamento referente a esse conteúdo será cumprido, além de
observar mais de perto os alunos em relação aos questionamentos, o
procedimento de resolução e a participação em aula.
O conteúdo para esse grupo será o do ensino tradicional, adotando-se todo
o contexto do livro didático usado pela escola. Aqui a pesquisadora terá a
preocupação de dar essas aulas da melhor maneira possível a fim de que não
haja dúvida em relação aos resultados obtidos. Embora muitos pesquisadores
prefiram deixar com a própria professora o trabalho de ministrar o conteúdo para
o grupo de referência, alegando ser essa a forma mais imparcial de proceder
nesse tipo de experimento, cremos que durante o desenvolvimento do conteúdo
algumas observações importantes poderiam ficar obscuras, o que deixaria a
nossa análise de resultado carente de muitas informações e explicações.
3.2.2 Material
Para a realização da nossa seqüência com o grupo experimental, faz-se
necessário o uso dos seguintes materiais: papel, lápis. borracha, calculadora,
fichas de atividades e materiais concretos, descritos em seção posterior. Quanto
ao grupo de referência, o material utilizado será o livro didático adotado pela
escola, além do material básico, como lápis, borracha e caderno. Embora não
seja hábito da escola, forneceremos calculadora a esse grupo. Assim, os dois
grupos poderão fazer uso da calculadora, quando estiverem resolvendo os testes.
3.3 DESENHO GERAL DO EXPERIMENTO
Nosso experimento incluirá duas fases, a fase dos instrumentos
diagnósticos (testes) e a fase da seqüência de ensino para o grupo experimental.
3.3.1Fase dos instrumentos diagnósticos
Essa fase envolverá a aplicação de dois testes. O primeiro (teste inicial ou
pré-teste) será composto de 10 questões sobre Análise Combinatória, distribuídas
das seguintes maneiras: 9 questões básicas (nos moldes apresentados pelos
livros didáticos e nos vestibulares) e uma questão de conceitualização. O teste
será aplicado com a finalidade de fazer uma sondagem sobre os conhecimentos
prévios dos alunos e as possíveis estratégias utilizadas por eles. Vale ressaltar
que os alunos dos dois grupos serão submetidos ao teste sem ainda haverem
estudado análise combinatória. O segundo, pós-teste, seguirá os moldes do
primeiro. Isso significa que o pós-teste terá a equivalência matemática
cuidadosamente respeitada em relação ao pré-teste . Este segundo teste será
aplicado após o encerramento da seqüência.
A aplicação do pós-teste será complementada por entrevista, quando a
resposta do aluno não estiver clara para a pesquisadora. Nesse caso, a entrevista
acontecerá imediatamente após a aplicação do instrumento.
3.3.2 Fase da seqüência de ensino
A seqüência de ensino para o grupo experimental será realizada em 7
encontros, com duração média de aproximadamente 60 minutos, em horário
extra-aula, como já comentamos na seção 3.2.1. Trabalharemos toda a seqüência
de ensino em duplas, pois, segundo Maury e Fayol (1986), surge um efeito
positivo, durante o aprendizado, através dessa interação social. As duplas serão
formadas por afinidades. Pretendemos formar pares homogêneos (menino e
menino ou menina e menina) e mistos. Essas atividades serão apresentadas em
forma de fichas, sendo que em cada sessão será trabalhada uma ficha. As fichas
apresentarão as situações-problema.
Como a proposta da nossa pesquisa é estudar uma forma significativa de
introduzir análise combinatória, partiremos de situações-problema que envolvam
contagem direta. A seguir, confrontaremos os alunos com situações-problema que
envolvam o princípio fundamental de contagem e só depois buscaremos a
institucionalização do conceito, apresentando, nesse momento, a nomenclatura
de cada agrupamento sem as respectivas fórmulas. Após cada ficha, os alunos
levarão alguns problemas para serem resolvidos em casa, de maneira a lhes
permitir maior interação com o objeto de estudo.
Por estarmos preocupados com a formação do conceito e não com o
treinamento de algoritmos, durante o processo de aprendizagem pretendemos
usar calculadora para facilitar a resolução de problemas. Além disso, como já foi
dito anteriormente, lançaremos mão do uso de materiais concretos para algumas
atividades.
Objetivando possibilitar uma analise mais rica do processo interacional
ocorrido no interior das duplas, e destas com a pesquisadora, iremos gravar
alguns pares e video-gravar um outro, escolhidos aleatoriamente.
Assim sendo, elaboraremos a seqüência da seguinte forma:
- 1º ENCONTRO: SITUAÇÕES-PROBLEMA QUE POSSIBILITEM O USO DA CONTAGEM DIRETA E INDUZAM OS
ALUNOS AO PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO.
- 2º ENCONTRO: SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM.
- 3º ENCONTRO: CONTINUAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS VOLTADOS PARA O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM.
- 4º ENCONTRO: SITUAÇÕES-PROBLEMA ONDE O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO NÃO É APLICÁVEL E
INSTITUCIONALIZAÇÃO DA ÁRVORE DE POSSIBILIDADES COMO REPRESENTAÇÃO DE CONTAGEM.
- 5º E 6º ENCONTROS: CLASSIFICAÇÃO DE PROBLEMAS. DADO UM PROBLEMA RECONHECER AS CARACTERÍSTICAS
QUE PERMITEM DIFERENCIAR ARRANJO DE COMBINAÇÃO.
- 7º ENCONTRO: INSTITUCIONALIZAÇÃO DE ARRANJO, PERMUTAÇÃO E COMBINAÇÃO.
Quadro 3.1: Apresentação da seqüência de ensino do grupo experimental.
A seguir, mostraremos, de forma geral, como será desenvolvida a
seqüência do grupo de referência, sumarizando a quantidade de encontros. Para
este grupo, será seguido o planejamento da escola e os encontros serão
realizados em aulas duplas de 50 minutos cada, conforme as condições citadas
na seção 3.2.1.
- 1º ENCONTRO: FATORIAL, PROBLEMAS DE CONTAGEM E PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
- 2º ENCONTRO: EXERCÍCIOS REFERENTES AO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
- 3º ENCONTRO: ARRANJO SIMPLES, FÓRMULA DOS ARRANJOS SIMPLES E EXERCICIOS
- 4º ENCONTRO: COMBINAÇÃO SIMPLES, FÓRMULAS DAS COMBINAÇÕES SIMPLES E EXERCÍCIOS
- 5º ENCONTRO: PERMUTAÇÃO SIMPLES, PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS E EXERCÍCIOS
- 6º ENCONTRO: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Quadro 3.2: Apresentação da seqüência do grupo de referência
3.3.3 Análise prévia dos instrumentos diagnósticos
A análise dos instrumentos diagnósticos será iniciada pelo pré-teste,
seguida da análise do pós-teste.
3.3.3.1 Pré-teste
Inicialmente, informaremos aos alunos que não haverá nota e que o teste
tem a finalidade de informar a pesquisadora o que eles pensam sobre um assunto
que a escola ainda não lhes ensinou. Também deixaremos bem claro que nossa
intenção é tentar encontrar um bom caminho para o ensino desse conteúdo,
baseando-nos nas resoluções apresentadas pelos alunos. Acreditamos que,
dessa forma, os alunos poderão expressar mais livremente suas idéias, sem a
preocupação de que essa expressão resultaria em um conceito negativo no seu
desempenho escolar. Estimularemos o máximo possível a justificativa de suas
respostas, de forma que possamos identificar com maior clareza os conceitos que
esses alunos possuem sobre raciocínio combinatório.
A seguir, apresentaremos as questões do pré-teste, acompanhadas do
objetivo, de uma análise a priori e de possíveis procedimentos de resolução.
QUESTÃO 1: JOÃO ESCOLHEU SEIS NÚMEROS PARA FAZER O JOGO DA SENA, CONFORME
CARTÃO ABAIXO:
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
PERGUNTA-SE:
A)QUANTAS QUINAS DIFERENTES ELE PODERIA FORMAR COM ESSES NÚMEROS?
B)QUANTAS QUADRAS DIFERENTES ELE PODERIA FORMAR COM ESSES NÚMEROS?
JUSTIFIQUE CADA RESPOSTA, SABENDO QUE A ORDEM EM QUE OS NÚMEROS SERÃO SORTEADOS
NÃO TEM IMPORTÂNCIA.
OBS: QUINA – SÉRIE DE CINCO NÚMEROS NO CARTÃO DA SENA
QUADRA – SÉRIE DE QUATRO NÚMEROS NO CARTÃO DA SENA
Essa questão objetiva analisar se os alunos apresentam algum raciocínio
combinatório e se se utilizam de registros de representações.
Por ser uma questão fácil de ser desenvolvida de forma intuitiva, o que
chamamos de princípio de contagem direta, os alunos poderão demonstrar a
existência dos subconjuntos dos elementos do conjunto finito, satisfazendo as
condições dadas, através de um processo de tentativas e erros. Aqui temos uma
questão aberta, sem indicação do método de resolução que deverá ser aplicado.
Acreditamos que a maioria dos alunos resolverá o item “a” de forma intuitiva,
através de tentativas e percebendo que a ordem dos elementos não seria
essencial; quanto ao item “b”, alguns alunos o resolverão também por tentativa e
erro, mas pode ser que não cheguem ao total de possibilidades, pois o método é
muito trabalhoso, e há dificuldade em se encontrar um procedimento que os leve
a todas as possibilidades. Também poderão aparecer algumas respostas sem o
raciocínio combinatório, como, por exemplo, o aluno apontar que pode se formar
apenas uma quina e uma quadra, não utilizando a combinação dos números.
Possíveis procedimentos de resolução:
1ª) CONTAGEM DIRETA:
A) 07 – 14 – 18 – 26 – 33 07 – 14 –26 – 33 - 38
07 – 14 – 18 – 26 – 38 07 – 26 – 18 – 33 - 38
07 – 14 – 18 – 33 – 38 14 – 18 – 26 – 33 – 38
B) 07 – 14 – 18 – 26 07 – 26 – 33 –38 07 – 18 – 26 – 38
07 – 14 – 18 – 33 14 – 18 – 26 – 33 18 – 26 – 33 – 38
07 - 14 - 18 – 38 14 – 18 – 26 – 38 07 – 14 – 33 – 38
07 – 14 - 26 – 33 14 – 26 – 33 – 38 07 – 18 – 33 – 38
07 – 14 – 26 – 38 07 – 18 – 26 – 33 14 – 18 – 33 -38
2 ª) USANDO O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO E DIVIDINDO PELO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES QUE SÃO
IGUAIS.
A) (6 . 5 . 4 . 3 .2 ) : ( 5. 4 . 3 .2 .1) = 6 : 1 = 6
B) (6 . 5 . 4 . 3) : ( 4 . 3 . 2 . 1) = 30 : 2 = 15
3 ª) USANDO A FÓRMULA DE COMBINAÇÃO:
C 6,5 = 6! : (5! . 1!) = (6. 5!) : (5! . 1) = 6 : 1 = 6
C 6,4 = 6! : (4! . 2!) = (6. 5 .4!) : (4! . 2 . 1) = 30 : 2 = 15
RESPOSTA : ELE APOSTOU EM 6 QUINAS E 15 QUADRAS.
Nossa expectativa será de que nenhum aluno use os dois últimos
procedimentos de resolução, pois ainda não houve contato com o conteúdo
análise combinatória.
QUESTÃO 2: EXISTEM APENAS DOIS MODOS DE ATINGIR A CIDADE DANONE PARTINDO DA CIDADE
ARAGUAIA. UM DELES É IR ATÉ A CIDADE INTERMEDIÁRIA BANANAL E DE LÁ ATINGIR DANONE, E OUTRO É
IR ATÉ A CIDADE CANAVIAL E DE LÁ CHEGAR A DANONE.
EXISTEM 10 ESTRADAS LIGANDO ARAGUAIA A BANANAL; 12 LIGANDO BANANAL A DANONE; 5 LIGANDO
ARAGUAIA A CANAVIAL; 8 LIGANDO CANAVIAL A DANONE; NENHUMA ESTRADA ENTRE BANANAL E CANAVIAL
E NENHUMA ESTRADA ENTRE ARAGUAIA E DANONE.
PARTINDO DE ARAGUAIA, QUANTOS PERCURSOS DIFERENTES PODEM SER FEITOS PARA CHEGAR A
DANONE. JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
Nesta questão, ainda temos como objetivo analisar se os alunos
apresentarão raciocínio combinatório e se levantarão alguns dos diversos
registros de representação.
A questão é dividida em duas etapas: a primeira, em que é necessário
calcular o número de percursos diferentes, usando cada cidade intermediária; a
segunda, em que se junta o total de percursos em relação às duas cidades
intermediárias.
Na primeira etapa, os alunos terão que perceber a situação de
correspondência de “um para muitos”3, e na segunda etapa será necessário o
entendimento de que existem dois conjuntos disjuntos e que há necessidade de
uni-los, fazendo a adição dos elementos.
Consideramos esse problema mais difícil que o anterior, pois requer dos
alunos mais interpretação, principalmente por causa do enunciado longo e pouco
familiar. Nossa expectativa é que haja alguns acertos, se bem que em menor
3Segundo Nunes, “um-para-muitos” refere-se a um termo usado para distinguir um tipo de situaçãomultiplicativa. A correspondência de um-para-muitos é a base para um novo conceito matemático, oconceito de proporção. Alguns exemplos cotidianos dessa correspondência são: um carro tem quatro rodas(1-para-4)... . (Nunes e Bryant, 1997)
quantidade que o problema 1. É possível que certos alunos utilizem o princípio
multiplicativo e aditivo, de forma intuitiva, para resolver o problema apresentado.
É provável, ainda, que outros alunos utilizem a estratégia de diagrama ou
desenho para representar as cidades e as estradas. Com a utilização dos
princípios multiplicativo e aditivo, podem aparecer resoluções errôneas, como
mostraremos a seguir:
A → C = 8 ESTRADAS ; C → X = 5 ESTRADAS , LOGO TEMOS 8 + 5 ESTRADAS PARA CHEGAR A X.
A → B = 10 ESTRADAS; B → X = 12 ESTRADAS, LOGO TEMOS 10 + 12 ESTRADAS PARA CHEGAR A X.
TEMOS 13 POSSIBILIDADES PASSANDO PELA CIDADE C E MAIS 22 POSSIBILIDADES PASSANDO PELA CIDADE
B, DANDO UM TOTAL DE 35 POSSIBILIDADES.
Possíveis procedimentos de resolução:
1ª) PARA CADA ESTRADA QUE LIGA A E B, TEMOS 12 POSSIBILIDADES PARA CHEGAR À CIDADE X.
COMO SÃO 10 ESTRADAS LIGANDO A E B, ENTÃO TEMOS 10 . 12 POSSIBILIDADES, SAINDO DE A
PASSANDO POR B E CHEGANDO A X.
TEMOS UM RACIOCÍNIO ANÁLOGO PARA SAIR DE A, PASSAR POR C E CHEGAR A X. ENTÃO, TEMOS
58 POSSIBILIDADES. SOMANDO OS DOIS RESULTADOS, TEMOS O NÚMERO DE PERCURSOS DIFERENTES QUE
PODEM SER FEITOS PARA ATINGIR X PELA PRIMEIRA VEZ, PARTINDO DE A.
( 10 . 12) + (5 . 8) = 120 + 40 = 160.
2ª) ATRAVÉS DE ESQUEMA
A 10 B 12 X = 120
A 8 C 5 X = 40
120 + 40 = 160
3ª) USANDO A FÓRMULA
C10, 1 . C12,1 + C5,1 . C 8,1 =
= [10! :(9! . 1!)] . [ 12! :(11! . 1!)] + [5! : (4! .1!)] . [8! : (7! . 1!)] =
= 10 .12 + 5 . 8 = 120 + 40 = 160
RESPOSTA: PODEM SER FEITOS 160 PERCURSOS DIFERENTES PARA ATINGIR A CIDADE X, SAINDO
DE A.
Esperamos que o terceiro procedimento não venha a ser usado por
nenhum aluno, visto que os discentes ainda não tiveram contato com as fórmulas
de análise combinatória. A possibilidade de o aluno lançar mão de algum
procedimento de esquema é grande, embora saibamos que a escola não
privilegia tal procedimento.
Considerando que este pré-teste será aplicado para alunos que não
estudaram análise combinatória, temos por hipótese que o percentual de acerto a
partir da terceira questão será zero ou próximo disso, pois a possibilidade de
acerto por manipulação direta (contagem) é quase impossível. Pensando em
manter a equivalência matemática entre as questões dos testes, as próximas
perguntas estão voltadas principalmente para o pós-teste. Porém, estamos
interessadas em investigar qual estratégia o aluno usará diante de questões que
envolvem o conceito de combinatória, as quais requerem o uso do princípio
fundamental da contagem, a interpretação de ordem ou de elementos repetidos,
sabendo que esse aluno ainda não estudou formalmente análise combinatória.
Pretendemos, então, observar se os alunos apresentarão alguma estimativa de
resultado, usando o processo de tentativa e erro, e/ou se buscarão o auxílio da
visualização através da construção de esquemas e/ou diagramas.
QUESTÃO 3: DE QUANTOS MODOS PODEMOS DISTRIBUIR 8 PRESENTES PARA 8 PESSOAS, DANDO UM
PRESENTE PARA CADA UM? E OITO PRESENTES PARA SEIS PESSOAS, SABENDO QUE CADA PESSOA
RECEBERÁ APENAS UM PRESENTE?
Nosso objetivo continua o mesmo: analisar se os alunos apresentarão
raciocínio combinatório, observando sua capacidade de interpretação e se eles
farão uso do princípio multiplicativo.
Visto que os alunos ainda não aprenderam Análise Combinatória, é
possível que alguns utilizem o processo aditivo (somando 8 + 8, no caso do item
“a”) ou, ainda, o princípio relacionado à multiplicação direta. Isto é, multipliquem 8
pessoas vezes 8 presentes, totalizando 64 combinações. Ou ainda teremos
alunos que utilizarão a divisão, mostrando que cada pessoa irá receber 1
presente para o item a e para o item b que cada pessoa receberá 1 presente e
sobram dois, pois o significado de distribuir, para eles, é dividir. Por motivos
óbvios, prevemos, ainda, que nenhum aluno resolverá o problema através da
fórmula de permutação simples, a qual apresentaremos no segundo procedimento
de resolução.
Possíveis procedimentos de resolução:
1ª) 1ª PESSOA - 8 POSSIBILIDADES DE PRESENTES
2ª PESSOA – 7 POSSIBILIDADES DE PRESENTES
3ª PESSOA – 6 POSSIBILIDADES DE PRESENTES
4ª PESSOA – 5 POSSIBILIDADES DE PRESENTES
5ª PESSOA – 4 POSSIBILIDADES DE PRESENTES
6ª PESSOA – 3 POSSIBILIDADES DE PRESENTES
7ª PESSOA – 2 POSSIBILIDADES DE PRESENTES
8ª PESSOA – 1 POSSIBILIDADE DE PRESENTE
PORTANTO, TEMOS 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 40 320.
1ª PESSOA – 8 POSSIBILIDADES E ASSIM POR DIANTE ATÉ A SEXTA PESSOA
TEMOS 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 = 20 160
2ª) RESOLUÇÃO ATRAVÉS DE PERMUTAÇÃO SIMPLES:
P8 = 8! = 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 40 320
P6 = 6! = 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 = 20 160
RESPOSTAS: TEMOS 40 320 MODOS DIFERENTES PARA DISTRIBUIR 8 PRESENTES PARA 8
PESSOAS E 20 160 MODOS DIFERENTES PARA DISTRIBUIR 8 PRESENTES PARA SEIS PESSOAS.
QUESTÃO 4 : QUANTOS ANAGRAMAS PODEMOS FORMAR COM A PALAVRA FAZER? E COM A PALAVRA
PRATA? TEMOS A MESMA QUANTIDADES DE ANAGRAMAS PARA AS DUAS PALAVRAS? JUSTIFIQUE SUA
RESPOSTA.
ANAGRAMA: É UMA SENHA (OU CÓDIGO) FORMADA POR TODAS AS LETRAS DE UMA PALAVRA (SEM
REPETIÇÃO A NÃO SER QUE A PALAVRA TENHA LETRA REPETIDA), PODENDO OU NÃO TER SIGNIFICADO NA
LÍNGUA PORTUGUESA. (EXPRESSÃO MATEMÁTICA, 5ª SÉRIE, S.P., 1994)
Nosso objetivo consiste em diferenciar permutação simples de permutação
com repetição.
Os conceitos multiplicação e divisão se fazem de grande importância para
a resolução correta da questão. Este é um tipo de problema fechado onde os
alunos têm pouca autonomia. Se fosse através de tentativas e erros, a resolução
se tornaria exaustiva, o que muito provavelmente não os faria construir todas as
possibilidades. Alguns alunos poderão dar uma solução numérica, sem justificá-la,
o que a nosso ver é apenas uma tentativa de “chute”.
Possíveis procedimentos de resolução:
1ª) MÉTODO INTUITIVO, ONDE OS ALUNOS CRIARÃO NOVAS PALAVRAS
FAZRE, REFAZ, .....
PARTA, ATARP, ....
A PALAVRA FAZER TEM MAIS ANAGRAMA QUE A PALAVRA PRATA.
2ª) A) 1ª LETRA = 5 POSSIBILIDADES
2ª LETRA = 4 POSSIBILIDADES ...
PELO PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO TEMOS 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120
B) 1ª LETRA = 5 POSSIBILIDADES ...
PELO PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO TEMOS 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120 E DIVIDE POR 2 QUE É A
QUANTIDADE DE PERMUTAÇÃO DA LETRA A QUE APARECE DUAS VEZES, DANDO UMA REPOSTA DE
60 ANAGRAMAS.
PODEMOS VERIFICAR ATRAVÉS DOS RESULTADOS QUE A PALAVRA FAZER TEM MAIS ANAGRAMAS
QUE A PALAVRA PRATA.
3ª) A) P 5 = 5! = 120
B) 5! : 2! = 60
RESPOSTA: TEMOS 120 ANAGRAMAS DA PALAVRA FAZER E 60 ANAGRAMA PARA A PALAVRA
PRATA.
QUESTÃO 5: UMA FÁBRICA DE PERFUMES PRODUZ 10 TIPOS DE ESSÊNCIAS DISTINTAS. A FIM DE
CONSEGUIR NOVAS ESSÊNCIAS, RESOLVEU ESCOLHER 3 DELAS, AO ACASO, E MISTURÁ-LAS EM
QUANTIDADES IGUAIS. QUANTAS NOVAS ESSÊNCIAS SERÃO OBTIDAS PELA FÁBRICA?
IMAGINE AGORA QUE, QUANDO ESCOLHIDAS AS 3 ESSÊNCIAS, ELAS SEJAM MISTURADAS, MAS EM
QUANTIDADES DIFERENTES: 20% DA PRIMEIRA, 30% DA SEGUNDA E 50% DA TERCEIRA. QUANTAS
NOVAS ESSÊNCIAS SERÃO OBTIDAS DESSA FORMA?
Nesta questão, temos por objetivo analisar a capacidade de interpretação
dos alunos, onde eles poderão observar as situações em que se deve ou não
considerar a ordem dos elementos. Também observaremos se fazem uso do
princípio multiplicativo.
Os conhecimentos de que os alunos precisarão, nesta questão, são os
conceitos de seqüência e conjunto. Tais conceitos servem para que registrem os
casos possíveis, analisando quando a ordem é ou não importante. Também serão
necessários os conhecimentos de multiplicação e divisão. Talvez possa existir
alguma dificuldade nessa questão.
Quanto aos alunos que não fizerem uso do raciocínio combinatório, pode
ser que se utilizem da multiplicação 10 por 3, dando um resultado de 30
essências, ou somem as porcentagens. Poderá acontecer de colocarem uma
solução numérica qualquer e não a justificar.
Possíveis procedimentos de resolução:
1ª) USANDO CONTAGEM DIRETA
E1, E2, E3 ; E1, E2, E4 .... PARA AS MISTURAS EM QUANTIDADE IGUAIS, DEVEMOS ELIMINAR AS
TERNAS IGUAIS COMO EXEMPLO, TEMOS QUE E1, E2, E3 É A MESMA MISTURA QUE E2, E3, E1, E É
A MESMA QUE E3, E2, E1. ENTÃO, CONSIDEREMOS ESTAS TRÊS MISTURAS SENDO APENAS UMA.
PARA AS MISTURAS DE QUANTIDADES DIFERENTES DEVEREMOS CONSIDERAR TODAS AS TERNAS.
2ª) USANDO O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO:
PARA AS MISTURAS COM A MESMA QUANTIDADE TEMOS 10 X 9 X 8 E DIVIDE POR 6 (PERMUTAÇÃO
DAS TERNAS QUE SÃO IGUAIS)
PARAS AS MISTURAS COM QUANTIDADES DIFERENTES, FAZEMOS 10 X 9 X 8
3ª) USANDO AS FÓRMULAS:
MISTURAS COM MESMA QUANTIDADE: C10,3 = 10! : (3! . 7!) = 120
MISTURAS COM QUANTIDADES DIFERENTES: A 10,3 = 10! : 7! = 720
RESPOSTA: MISTURANDO AS ESSÊNCIAS EM QUANTIDADES IGUAIS, OBTEMOS 120 ESSÊNCIAS
NOVAS E MISTURANDO AS ESSÊNCIAS EM QUANTIDADES DIFERENTE, OBTEMOS 720 ESSÊNCIAS
NOVAS.
QUESTÃO 6: DNA MARTA TEM UMA MALA CUJO SEGREDO É CONSTITUÍDO POR 4 LETRAS DO NOSSO
ALFABETO (26 LETRAS), SEGUIDO DE DOIS ALGARISMOS DISTINTOS DE 0 A 9. CASO LHE ROUBEM A MALA,
QUAL O NÚMERO MÁXIMO DE TENTATIVAS DIFERENTES QUE PODERÁ SER NECESSÁRIO FAZER PARA ABRIR
A MALA?
SUPONDO QUE AS LETRAS TEM QUE SER DISTINTAS E OS ALGARISMOS TAMBÉM, QUAL O NUMERO MÁXIMO
DE TENTATIVAS? JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS.
Temos como objetivo diferenciar arranjo simples e arranjo com
repetição e observar a capacidade de interpretação dos alunos.
Para desenvolver o problema, os alunos precisarão do conceito de
multiplicação.
Possíveis procedimentos de resolução:
1ª) CONTAGEM DIRETA
AAA00; AAA01; ....
2ª) PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
26 X 26 X 26 X 10 X 10 = 1757600
26 X 25 X 24 X 10 X 9 = 1404000
3ª) USANDO FÓRMULAS
AR 26,3 . AR 10,2 = 26 3 X 10 2 = 1757600
A 26,3 . A 10,2 = (26! : 23!) X (10! : 8!) = 140400
RESPOSTA: O NÚMERO MÁXIMO DE TENTATIVAS PARA O PRIMEIRO CASO É 1757600 E PARA O
SEGUNDO CASO, 1404000.
QUESTÃO 7: MARCOS POSSUI DOIS CDS DOS BEATLES, QUATRO DOS ROLLING STONES E TRÊS DO
DIRE STRAITS. DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES MARCOS PODE COLOCÁ-LOS NUM PORTA CD, DE
MODO QUE OS CDS DO MESMO CONJUNTO FIQUEM JUNTOS?
Nosso objetivo é levantar os diversos registros de representação
apresentados pelos alunos.
Nessa questão, faz-se necessário que os alunos percebam que temos a
ação composta por duas etapas. A primeira etapa, como colocar os dois CDs dos
Beatles, os quatro dos Rolling Stones e os três do Dire Straits; a segunda como
colocar cada coleção, o primeiro do Dire Straits e assim por diante. Para isto será
necessário o conhecimento dos conceitos de seqüência e multiplicação.
Vislumbramos a possibilidade de alguns alunos tentarem resolver a
questão por tentativas e erro, interpretando apenas uma etapa da resolução.
Tomamos quase por certo que nenhum estudante usará o princípio fundamental
da contagem como procedimento de resolução.
Possíveis procedimentos de resolução
1ª) USANDO A CONTAGEM DIRETA
CD1B CD2B CD1RL CD2RL CD3RL CD4RL CD1DS CD2DS CD3DS
CD2B CD1B CD1RL CD2RL CD3RL CD4RL CD1DS CD2DS CD3DS...
2ª) USANDO O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL
BEATLES ROLLING STONES DINE STRAITS
2 X 1 X 4 X 3 X 2 X 1 X 3 X 2 X 1 = 288
6 . BEATLES DINE STRAITS ROLLING STONES = 288 ...
= 6 X 288 = 1728
3ª) USANDO FÓRMULAS
P2 . P4 . P3 = 6 X 2! X 4! X 3! = 6 X 2 X 1 X 4 X 3 X 2 X 1 X 3 X 2 X 1 = 1728
RESPOSTA EXISTEM 1728 MANEIRAS DE ARRUMAR OS CDS.
QUESTÃO 8: UMA AGÊNCIA DE PROPAGANDA VAI CRIAR O NOME DE UM NOVO PRODUTO FAZENDO
ANAGRAMAS A PARTIR DA PALAVRA BONECA.
A)SABENDO QUE A SÍLABA NE TERÁ QUE APARECER, DESCUBRA QUANTOS ANAGRAMAS SÃO
POSSÍVEIS?
b)Sabendo que começa por consoante e termina por vogal,
descubra quantos anagramas são possíveis.
Temos como objetivo trabalhar com permutação, colocando
certas condições e analisando a capacidade de interpretação dos
alunos.
No item “a”, será preciso que os alunos percebam que a sílaba NE vai
corresponder a uma letra. No item “b”, será preciso que eles observem que para
cada consoante colocada no início do anagrama, temos 3 possibilidades para
terminar.
Possíveis procedimentos de resolução:
1ª) PRINCÍPIO FUNDAMENTAL
NE _ _ _ _ 4 X 3 X 2 X 1 = 24
_ NE _ _ _ = 24
_ _ NE _ _ = 24
_ _ _ NE _ = 24
_ _ _ _ NE = 24
24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 5 X 24 = 120
B) CONSOANTE _ _ _ _ VOGAL
9 X 4 X 3 X 2 X 1 = 216
2ª) USANDO FÓRMULAS
5 X P4 = 5 X 4! = 120
9 X P4 = 9 X 4! = 216
RESPOSTA: APARECENDO A SÍLABA NE, TEMOS 120 ANAGRAMAS; COMEÇANDO POR CONSOANTE E
TERMINANDO POR VOGAL, TEMOS 216 ANAGRAMAS.
QUESTÃO 9: MARCAM-SE CINCO PONTOS SOBRE UMA RETA R. SOBRE UMA OUTRA RETA S, PARALELA À
R, MARCAM-SE MAIS QUATRO PONTOS. QUANTOS TRIÂNGULOS PODEM SER FORMADOS COM VÉRTICE EM
TRÊS QUAISQUER DESSES PONTOS?
O objetivo, nesta questão, é levantar os diversos registros de interpretação
utilizadas pelos alunos e o raciocínio combinatório.
Este problema requer dos alunos conhecimentos adicionais tais como: as
definições de retas paralelas e triângulo, além da lembrança de que a construção
de um triângulo é feita através de três pontos não colineares. Precisarão ainda
dos conceitos de multiplicação e divisão.
É necessário os alunos compreenderem que não basta somar todos os
pontos pertencentes as duas retas e fazer uma combinação três a três. Terão que
perceber que unindo três pontos de uma mesma reta não construirão um
triângulo.
Referente a esta questão, acreditamos que a idéia inicial do aluno será
construir as duas retas, marcar os pontos e construir alguns triângulos, ou iniciar a
construção dos triângulos na reta r, indo para s, esquecendo que também poderia
começar da reta s em direção à r.
Possíveis procedimentos de resolução:
1ª) PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
SOMAMOS OS NÚMEROS DE PONTOS PERTENCENTES AS DUAS RETAS E A SEGUIR FAZEMOS A COMBINAÇÃO
DOS 9 PONTOS 3 A 3. DEPOIS DEVEMOS SUBTRAIR DESSE NÚMERO AS COMBINAÇÕES FORMADA POR 3
PONTOS ESCOLHIDOS ENTRE OS 5 PONTOS DA PRIMEIRA RESTA E OS 4 PONTOS DA SEGUNDA RETA, POIS
ESTA COMBINAÇÕES NÃO REPRESENTAM TRIÂNGULOS.
(9 X 8 X 7) : ( 3 X 2 X 1) = 84
(5 X 4 X 3) : ( 3 X 2 X 1) = 10
(4 X 3 X 2) : ( 3 X 2 X 1) = 4
TEMOS: 84 – 10 – 4 = 70
2ª) USANDO FÓRMULA
C9,3 – C5,3 – C 4,3 = 70
RESPOSTA: PODEM SER FORMADOS 70 TRIÂNGULOS.
QUESTÃO 10: TEMOS DOIS MODOS DE AGRUPAR OS ELEMENTOS DE UM CONJUNTO. UM É CHAMADO DE
ARRANJO E OUTRO, DE COMBINAÇÃO. O QUE DIFERENCIA UM DO OUTRO?
JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
Nosso objetivo é identificar a concepção dos alunos acerca de arranjo e
combinação.
Considerando que este pré-teste foi aplicado para alunos que não
estudaram Analise Combinatória, acreditamos que nenhum deles dará a resposta
correta, mesmo apresentando os conceitos de seqüência e conjunto. Pode haver
resposta do tipo “não sei o que significa”.
RESPOSTA: COMBINAÇÃO É O PROCEDIMENTO PELO QUAL AGRUPAMOS ELEMENTOS DE MODO
QUE, CADA AGRUPAMENTO, NÃO IMPORTA A ORDEM DOS ELEMENTOS; ARRANJO É O PROCEDIMENTO NO
QUAL AGRUPAMOS ELEMENTOS DE MODO QUE, EM CADA AGRUPAMENTO, IMPORTA A ORDEM DOS
ELEMENTOS.
3.3.3.2 Pós-teste
Este teste, tal como o pré-teste, também será composto de 10 questões,
aplicadas para os mesmos alunos que responderam ao pré-teste e participaram
da seqüência, já que a nossa finalidade é a de analisar os conhecimentos
adquiridos após uma seqüência de ensino, tanto a nossa como a da escola.
Dessa forma, poderemos proceder a uma análise sobre o desempenho dos
alunos antes e depois do aprendizado.
A seguir apresentaremos as questões do pós-teste. Entre parênteses,
colocaremos a qual questão do pré-teste cada uma é equivalente.
QUESTÃO 1: (QUESTÃO 7) UMA CINEMATECA DISPÕE DE DOIS FILMES DE TERROR, QUATRO FILMES DE
ROMANCE E TRÊS FILMES DE FICÇÃO CIENTÍFICA. DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES ESTES FILMES
PODEM SER COLOCADOS NUMA PRATELEIRA DE MODO QUE OS FILMES DA MESMA CATEGORIA
PERMANEÇAM JUNTOS?
Comentário: Nesse tipo de questão, o aluno, além de questionar a ordem, terá
que perceber a importância da permutação dos filmes e das categorias.
Queremos observar se a seqüência deu conta em relação à ordem, e se os
alunos conseguem interpretar passo a passo o enunciado do problema. Erros já
ressaltados em pesquisas, como de Batanero (1996,1997).
QUESTÃO 2: (QUESTÃO 4) QUANTOS ANAGRAMAS PODEMOS FORMAR COM A PALAVRA CALOR?
E COM A PALAVRA CALMA? TEMOS A MESMA QUANTIDADE DE ANAGRAMAS PARA AS
DUAS PALAVRAS? JUSTIFIQUE.
Comentário: Na literatura, observamos que o erro em relação à repetição de
elementos, está associado aos problemas de permutação com repetição. Para
saber se a seqüência deu conta em relação a este tipo de erro, elaboramos a
questão acima.
QUESTÃO 3: (QUESTÃO 1) RICARDO FEZ UM JOGO DA SENA CONFORME INDICA CARTÃO
ABAIXO. PERGUNTA-SE:
A) QUANTAS SÃO AS QUINAS QUE SE PODEM FORMAR, SABENDO-SE QUE, DOS SEIS NÚMEROS
SORTEADOS, RICARDO TEM CINCO DELES MARCADOS EM SUA CARTELA?
B) QUANTAS SÃO AS QUADRAS POSSÍVEIS QUE SE PODEM FORMAR COM OS NÚMEROS ESCOLHIDOS
POR RICARDO?
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Comentário: Nessa questão observaremos se os alunos questionarão a ordem
dos elementos como essencial ou não, pois pudemos verificar nos estudos de
Batanero (1996, 1997), um grande número de erro em relação à ordem, nos
problemas de combinação,
QUESTÃO 4: (QUESTÃO 8) DETERMINE QUANTOS ANAGRAMAS DA PALAVRA CHAVE
A) APRESENTAM A SÍLABA VE.
B) COMEÇAM POR CONSOANTE E TERMINAM POR VOGAL.
QUESTÃO 5: (QUESTÃO 2) PARA IRMOS DA CIDADE ARRAIAL ATÉ A CIDADE BOTAFOGO, HÁ DUAS
OPÇÕES; IR DE ÔNIBUS ATÉ O PONTO COMÉRCIO E DE LÁ PEGAR UMA AVIÃO ATÉ A CIDADE
BOTAFOGO OU IR DE TÁXI ATÉ UM PONTO DIANA E DE LÁ PEGAR UM BARCO. SABENDO-SE QUE HÁ
DOZE COMPANHIAS DE ÔNIBUS QUE COBREM O PERCURSO ARRAIAL - COMÉRCIO E DEZ
COMPANHIAS AÉREAS QUE COBREM O PERCURSO COMÉRCIO – BOTAFOGO, ALÉM DE OITO
COMPANHIAS DE TÁXI QUE COBREM O PERCURSO ARRAIAL - DIANA E CINCO COMPANHIAS DE
BARCO QUE COBREM O PERCURSO DIANA – BOTAFOGO, PERGUNTA-SE: DE QUANTOS MODOS
DIFERENTES É POSSÍVEL VIAJAR DE ARRAIAL ATÉ BOTAFOGO?
Comentário: Nessa questão, queremos observar se, depois do aprendizado, o
aluno usará algum tipo de representação para a resolução.
QUESTÃO 6: (QUESTÃO 3) SOBRE UMA MESA ESTÃO OITO CARTAS E SEUS RESPECTIVOS
ENVELOPES. UMA SECRETÁRIA MUITO MÍOPE, TENDO ESQUECIDO OS ÓCULOS, COLOCA, AO
ACASO, UMA CARTA EM CADA ENVELOPE. DE QUANTOS MODOS ELA PODERÁ COLOCAR ESSAS
CARTAS? E SE ESTIVESSEM FALTANDO OS ENVELOPES REFERENTES A DUAS CARTAS, DE
QUANTOS MODOS ELA PODERIA COLOCAR AS OITO CARTAS EM SEIS ENVELOPES?
Comentário: Na literatura,observamos a existência de erro de interpretação do
verbo, isto é, distribuir significa dividir. Nesse caso, queremos observar se a
nossa seqüência deu conta deste tipo de erro.
QUESTÃO 7: (QUESTÃO 5) NUMA TURMA DE OITAVA SÉRIE, HÁ SEIS ALUNOS QUE PRATICAM
NATAÇÃO:
A) QUANTOS RESULTADOS DIFERENTES PODEM OCORRER, PARA OS TRÊS PRIMEIROS LUGARES
NUMA DISPUTA ENTRE ELES?
B) DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES PODEM SER ESCOLHIDOS 3 DESSES ALUNOS PARA
FORMAR UMA COMISSÃO QUE IRÁ PEDIR DISPENSA DAS AULAS?
Comentário: Segundo Batanero (1996), o erro de ordem está associado às
combinações. Então, por meio dessa questão, gostaríamos de verificar se a
seqüência conseguiu dar conta de tal tipo de erro ou se ele ainda persiste quando
se trata de combinação.
QUESTÃO 8: (QUESTÃO 9) MARCAM-SE 4 PONTOS SOBRE UMA RETA R E 6 PONTOS SOBRE UMA
RETA R’, PARALELA À R. ESCOLHENDO-SE 3 DENTRE OS PONTOS MARCADOS, QUANTOS
TRIÂNGULOS PODEM SER FORMADOS?
QUESTÃO 9: (QUESTÃO 6) O SEGREDO DO COFRE DE UM BANCO É CONSTITUÍDO DE DUAS LETRAS
DISTINTAS (ESCOLHIDAS ENTRE AS 26 DO ALFABETO) E TRÊS ALGARISMOS DISTINTOS
(ESCOLHIDOS DE 0 A 9). CASO O GERENTE ESQUEÇA O SEGREDO, QUAL O NÚMERO MÁXIMO DE
TENTATIVAS DIFERENTES QUE ELE TERÁ QUE FAZER PARA ABRIR O COFRE? SUPONDO QUE AS
LETRAS E OS ALGARISMOS NÃO TENHAM QUE SER DISTINTOS, QUAL O NÚMERO MÁXIMO DE
TENTATIVAS? JUSTIFIQUE.
Comentário: Os erros de repetição estão associados a problemas de arranjo com
repetição, segundo Batanero (1996). Logo, queremos observar se esse tipo de
erro persiste depois de desenvolvida a seqüência de ensino com os alunos.
QUESTÃO 10: (QUESTÃO 10) O QUE PERMITE DIFERENCIAR ARRANJO DE COMBINAÇÃO?
Para facilitar a análise que faremos posteriormente sobre os testes
aplicados, apresentaremos a seguir uma tabela relacionando as questões do pré
com a do pós-teste, de tal forma a podermos referir às questões usando a mesma
numeração. Assim sendo, a questão 1 do pré-teste teve equivalência matemática
com a questão 3 do pós-teste e doravante ao nos referirmos a elas chamaremos
de “questão1”.
Questões 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pré-teste Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10Pós-teste Q3 Q5 Q6 Q2 Q7 Q9 Q1 Q4 Q8 Q10
Tabela 3.1 : tabela referente as questões do pré e pós teste
3.3.3.3 Descrição da seqüência de ensino
A seguir, apresentaremos a descrição inicial da seqüência de ensino.
Faremos uma análise prévia das atividades bem como a descrição dos objetivos
dos problemas.
Ficha 1
A primeira ficha de nossa seqüência envolve dois problemas cuja a
resolução pode ser feita através do uso da contagem direta. O quadro a seguir
apresenta esses problemas.
1) ATIVIDADE DO PARQUE
VOCÊ VAI A UM PARQUE DE DIVERSÕES, O QUAL TEM 3 ENTRADAS E 4 SAÍDAS. DE QUANTOS MODOS DIFERENTES
VOCÊ PODE ENTRAR E SAIR DESSE PARQUE?
ENTRADA S-
SAÍDAS-
1) ATIVIDADE DO CAMPEONATO DE FUTEBOL.
VAMOS REALIZAR UM CAMPEONATO DE FUTEBOL, ENTRE 4 ESCOLAS DO BAIRRO. PARA ESSE CAMPEONATO, FOI
CRIADA UMA LOBOTECA, FIM DE QUE OS ALUNOS PUDESSEM FAZER SUAS APOSTAS. GANHA O ALUNO QUE
ACERTAR O PRIMEIRO E O SEGUNDO COLOCADOS. QUANTAS APOSTAS DIFERENTES PODERÃO SER FEITAS?
TIME
1º
2º
SUPONDO QUE AS ESCOLAS ACÁSSIO (A) E BARÃO (B) FORAM AS DUAS PRIMEIRAS COLOCADAS.
O GANHADOR, DA LOBOTECA FOI O QUE APOSTOU EM QUAIL DOS CARTÕES ABAIXO:
JOÃO TIME ABEL TIME
1º AC. 1º BA.
2º BA. 2º AC.
() JOÃO ( ) ABEL ( ) OS DOIS ( ) NADA POSSO AFIRMAR
Quadro 3.3: Problemas da ficha 1 da seqüência de ensino
Objetivo das atividades: desenvolver o raciocínio combinatório através de
experimentações com situações-problema que envolvam contagem.
Observaremos a forma como os alunos interpretam as situações, estando
atentos para os registros de representação. Temos, ainda, o objetivo de
institucionalizar a árvore de possibilidades como uma ferramenta para produzir
soluções. Por fim, discutiremos a aplicação do princípio multiplicativo em
problemas de contagem.
Procedimentos: para a atividade um, a pesquisadora deixará que as duplas
testem todos as maneiras possíveis de entrar e sair do parque, registrando todos
os casos possíveis para efetuar a contagem.
A seguir, a pesquisadora pedirá para as duplas que façam as suas apostas, no
cartão da atividade dois. Depois, colocará as apostas na lousa e perguntará se
existem mais possibilidades para o primeiro e segundo lugar. Pedirá que algumas
duplas façam a representação do problema na lousa, para análise e crítica dos
registros apresentados, com o intuito de abrir uma discussão geral sobre quais
são os registros mais descritivos, econômicos e informativos.
Após a discussão dos problemas iniciais, outros problemas serão
propostos, para que os alunos possam ter mais interação com situações cuja
solução pode ser encontrada, usando-se o princípio multiplicativo de forma
intuitiva.
Assim sendo, serão postas questões complementares, tais como:
- Vamos supor que o parque da atividade 1 fosse o maior parque da
América, o qual teria 20 entradas e 50 saídas. De quantos modos diferentes você
poderia entrar e sair desse parque?
- Agora vamos voltar para o primeiro parque, o qual tem 4 saídas. Cada
uma delas vai dar em um estacionamento e cada estacionamento tem 3 saídas.
De quantos modos diferentes posso sair desse parque, sabendo que um
estacionamento não tem ligação com o outro?
- E no parque que tem 50 saídas, se cada uma der em um estacionamento
que tem duas saídas, de quantos modos diferentes posso sair desse parque?
- Para a atividade dois, vamos supor que estamos na quarta de final do
campeonato brasileiro de futebol. Desses oito times que foram para a quarta de
final, quais seriam as possibilidades para os dois primeiros colocados? (Nesta
atividade a pesquisadora pedirá para que os alunos citem os times).
- Continuando na atividade dois, vamos supor que da próxima olimpíada
irão participar 150 Países. Quais são as possibilidades para as medalhas de ouro,
prata e bronze?
Material: Ficha de atividade contendo duas folhas.
Análise prévia: Na atividade da ficha 1, os alunos precisam ter como
conhecimento o conceito de multiplicação (correspondência um para muitos).
Intuitivamente, acreditamos que os alunos facilmente escreverão o número
de trajetos para entrar e sair do parque. Poderá ocorrer que algumas duplas se
utilizem do raciocínio multiplicativo e outras, de esquema.
Para a atividade dois, esperamos que os alunos também não apresentem
dificuldades, pois a solução apresenta poucas combinações. Nessa atividade,
também poderá ocorrer o uso do raciocínio multiplicativo.
Para as questões complementares, acreditamos que se os alunos se
apropriarem do raciocínio presente nas duas atividades da ficha, eles não
apresentarão dificuldade em encontrar a solução correta, utilizando o princípio
multiplicativo intuitivamente.
Tempo previsto: 15 minutos para cada uma das duas atividades e 30
minutos para as questões complementares.
Ficha 2
Nessa ficha, os alunos encontrarão atividades que lhes possibilitarão a
utilização do princípio fundamental da contagem, ainda que de forma intuitiva.
1) ATIVIDADE DOS TRIÂNGULOS E QUADRADOS:
1.1) DADOS QUATRO QUADRADOS E TRÊS TRIÂNGULOS, CONFORME DESENHO ABAIXO, DE QUANTAS
MANEIRAS PODEMOS SELECIONAR:
�������
a) TRÊS QUADRADOS SEM REPOSIÇÃO.
b) TRÊS QUADRADOS COM REPOSIÇÃO.
c) DOIS TRIÂNGULOS SEM REPOSIÇÃO.
d) DOIS TRIÂNGULOS COM REPOSIÇÃO.
e) NA PRIMEIRA VEZ UM TRIÂNGULO E A SEGUIR DOIS QUADRADOS, SEM REPOSIÇÃO.
f) NA PRIMEIRA VEZ UM QUADRADO E A SEGUIR DOIS TRIÂNGULOS, COM REPOSIÇÃO.
g) UM QUADRADO, UM TRIÂNGULO E UM QUADRADO, NESTA ORDEM E SEM REPOSIÇÃO.
1.2) DESCREVA AS MESMAS SITUAÇÕES DO PROBLEMA 1.1, USANDO SEIS QUADRADOS E CINCO TRIÂNGULOS,
CONFORME DESENHO ABAIXO:
�����������
1.3) DADOS TRÊS QUADRADOS E DOIS TRIÂNGULOS, CONFORME DESENHO ABAIXO, DE QUANTAS MANEIRAS
PODEMOS COLOCAR ESTAS CINCO FIGURAS EM UMA FILEIRA HORIZONTAL?
�����
2) ATIVIDADES DOS QUADRADOS, TRIÂNGULOS E CÍRCULOS.
DADOS DOIS QUADRADOS, DOIS TRIÂNGULOS E TRÊS CÍRCULOS, CONFORME DESENHO ABAIXO, DE
QUANTAS MANEIRAS DISTINTAS PODEMOS COLOCAR ESSAS SETE FIGURAS EM UMA FILEIRA
HORIZONTAL?
�����••
Quadro 3.4 : Problemas da ficha 2 da seqüência de ensino.
Objetivo da atividade: Continuar o trabalho de interpretar corretamente os
enunciados, resolvendo situações-problema através de material concreto. Aplicar
intuitivamente o princípio multiplicativo.
Procedimentos: A pesquisadora disponibilizará o material concreto e, em
seguida, solicitará que os alunos, em dupla e usando o método de tentativa e
erro, distribuam o material conforme as situações dadas. Quando as duplas
tiverem chegado a uma solução, a pesquisadora pedirá que algumas delas
escrevam na lousa o caminho percorrido na resolução, juntamente com a solução
encontrada. Desse modo, poderá ser feita a comparação entre os resultados,
destacando-se as diferenças e semelhanças observadas. Por fim, a pesquisadora
convidará os alunos a refletirem e elegerem qual dos processos adotados se
apresentou mais organizado.
Material: Ficha de atividades contendo três folhas e material concreto
(quadrados, triângulos e círculos), confeccionado com cartolinas coloridas.
figura 3.1- Material concreto da ficha 2
Análise prévia: Nessas atividades, os alunos necessitam dos conceitos de
seqüência e multiplicação. Com tais conceitos formados, acreditamos que a
maioria dos estudantes consiga chegar intuitivamente ao princípio fundamental da
contagem. Pode ser que a partir da segunda atividade, alguns alunos não façam
mais uso do material concreto.
Tempo previsto: 10 minutos para a resolução de cada uma das quatro
questões da atividade e 20 minutos para a discussão, no grande grupo dos
procedimentos adotados e das respostas obtidas pelas duplas.
Ficha 3
A terceira ficha da nossa seqüência apresenta problemas em que a
contagem direta é impraticável, sendo necessário que o aluno utilize o princípio
fundamental da contagem, o qual será entendido intuitivamente e não
memorizado.
1) ATIVIDADE DAS POLTRONAS
A ESCOLA VAI PROMOVER UMA EXCURSÃO PARA O PLAYCENTER E QUATRO AMIGOS, JOÃO, CARLOS, MANOEL E
IVAN, VÃO OCUPAR AS QUATRO POLTRONAS DA FRENTE, CONFORME DESENHO ABAIXO:
1 2 CORREDOR 3 4
A) DE QUANTAS MANEIRAS DISTINTAS PODEMOS DISTRIBUIR OS BILHETES DAS QUATRO POLTRONAS REFERIDAS PARA
OS QUATRO AMIGOS?
B) DE QUANTAS MANEIRAS PODEM SER OCUPADAS AS POLTRONAS DO LADO DIREITO E AS POLTRONAS DO LADO
ESQUERDO, SEM PREOCUPAÇÃO COM A NUMERAÇÃO DAS POLTRONAS?
O NÚMERO DE POSSIBILIDADES DOS ITENS A E B SÃO IGUAIS? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
2) ATIVIDADE DOS ANAGRAMAS
2.1) VAMOS SUPOR QUE OS CÍRCULOS, OS QUADRADOS E OS TRIÂNGULOS DA ATIVIDADE 2 DA FICHA 2,
REPRESENTAM, CADA UM, UMA LETRA DO ALFABETO. POR EXEMPLO A, B, C, D, E, F, G, DE QUANTAS MANEIRAS
DISTINTAS PODEMOS COLOCAR ESSA SETE LETRAS EM UMA FILEIRA HORIZONTAL?
2.2) ESCOLHENDO A PALAVRA FAZER, QUANTOS ANAGRAMAS PODEMOS FORMAR?
ANAGRAMA: É UMA SENHA (OU CÓDIGO) FORMADA POR TODAS AS LETRAS DE UMA PALAVRA (SEM REPETIÇÃO, A
NÃO SER QUE A PALAVRA TENHA LETRA REPETIDA), PODENDO OU NÃO TER SIGNIFICADO NA LÍNGUA PORTUGUESA
3) ATIVIDADE DA SENHA
3.1) O QUE É UMA SENHA?
3.2) PARA QUE SERVE?
3.3) CITE ALGUNS TIPOS DE SENHAS.
”É COMUM A UTILIZAÇÃO DE SENHAS PARA CARTÕES MAGNÉTICOS BANCÁRIOS, PARA PROGRAMAS DE
COMPUTADORES, PARA RÁDIOS DE CARROS, MALAS DE VIAGEM, ETC”.
NO FINAL DO MÊS, CADA ALUNO, USUÁRIO DO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA, DEVERÁ TER UMA SENHA PARA
ACESSAR O COMPUTADOR. A TAREFA DO RESPONSÁVEL PELO LABORATÓRIO É CRIAR UM TIPO DE SENHA, DE MODO
A DIFICULTAR QUE UMA PESSOA TENHA ACESSO À SENHA DA OUTRA. OBSERVANDO ALGUNS TIPOS DE SENHAS,
RESPONDA:
QUAL DAS DUAS SITUAÇÕES A SEGUIR CRIARIA UMA SENHA MAIS DIFÍCIL DE SER DESCOBERTA? POR QUÊ?
A) TER UMA SENHA COM 4 ALGARISMOS DISTINTOS?
B) TER UMA SENHA COM 4 ALGARISMOS?
E NAS SITUAÇÕES ABAIXO, QUAL CRIARIA UMA SENHA MAIS DIFÍCIL DE SER DESCOBERTA? POR QUÊ?
C) TER UMA SENHA COM 2 LETRAS E 2 ALGARISMOS, NESSA ORDEM?
D) TER UMA SENHA COM 1 LETRA E 3 ALGARISMOS, NESSA ORDEM?
E) TER UMA SENHA COM 3 LETRAS E 1 ALGARISMO, NESSA ORDEM?
AGORA, OBSERVANDO AS SITUAÇÕES ABAIXO, QUAL CRIARIA UMA SENHA MAIS DIFÍCIL DE SER DESCOBERTA? POR
QUÊ?
F)TER UMA SENHA COM 4 LETRAS?
G)TER UMA SENHA COM 4 LETRAS DISTINTAS?
DAS TRÊS SITUAÇÕES QUE VOCÊ ESCOLHEU ACIMA, QUAL DELAS CRIARIA UMA SENHA MAIS DIFÍCIL DE SER
DESCOBERTA? POR QUÊ?
4) ATIVIDADE DAS PLACAS DOS CARROS
SABEMOS QUE AS PLACAS DOS CARROS FORAM MUDADAS QUANTO A COR E O NÚMERO DE LETRAS E
ALGARISMOS: DE AMARELA COM DUAS LETRAS E QUATRO ALGARISMOS, PARA CINZA COM TRÊS LETRAS E QUATRO
ALGARISMOS.
4.1) POR QUE VOCÊ ACHA QUE HOUVE ESSA MUDANÇA?
4.2) CALCULE A QUANTIDADE MÁXIMA DE PLACAS QUE PODEM SER FORMADAS COM DUAS LETRAS E QUATRO
ALGARISMOS?
AS PLACAS GF 2544 E FG 2544 SÃO DIFERENTES? POR QUÊ?
4.3) CALCULE A QUANTIDADE MÁXIMA DE PLACAS QUE PODEM SER FORMADAS COM 3 LETRAS E 4 ALGARISMOS?
AS PLACAS CLL 4566 E CLL 6645 SÃO DIFERENTES? POR QUÊ?
4.4) SE PRECISÁSSEMOS MUDAR NOVAMENTE AS PLACAS, QUAL SERIA A MELHOR OPÇÃO:
( ) AUMENTAR A QUANTIDADE DE LETRAS
( ) AUMENTAR A QUANTIDADE DE ALGARISMOS
POR QUÊ?
4.5) QUAL SERIA A QUANTIDADE DE PLACAS POSSÍVEIS COM 3 LETRAS E 4 ALGARISMOS, SE CONSIDERÁSSEMOS
PLACAS SEM REPETIÇÃO DE LETRAS E ALGARISMOS?
AS PLACAS CTZ 8719 E CZT 8197 SÃO DIFERENTES? POR QUÊ?
Quadro 3.5: problemas da ficha 3 da seqüência de ensino.
Objetivo das atividades: Reforçar o trabalho na direção da compreensão
intuitiva do princípio multiplicativo através de situações-problema onde a
contagem direta se torna impraticável. Generalizar o princípio multiplicativo,
constituído como uma ferramenta básica, ao lado do princípio aditivo, para
resolver problemas de contagem.
Procedimentos: Nas atividades, a pesquisadora não deverá tecer qualquer
comentário inicial. Depois, solicitará que cada dupla exponha, para a classe, as
idéias discutidas. A seguir, fará as comparações entre os resultados
encontrados e institucionalizará o princípio multiplicativo.
Material: Ficha de atividade contendo 6 folhas e calculadora.
Análise prévia: Nas atividades da ficha 3, os alunos precisarão ter o
conceito do princípio multiplicativo trabalhado nas fichas anteriores.
Provavelmente, os alunos que entenderam as atividades anteriores não
apresentarão dificuldades nas resoluções das atividades desta ficha.
Tempo previsto: para as atividades, 60 minutos; para a institucionalização
do princípio fundamental da contagem, 10 minutos.
Ficha 4
A ficha 4 traz situações-problema onde o princípio multiplicativo não é
aplicável, podendo tais situações ser resolvidas através da árvore de
possibilidades.
1) ATIVIDADE DO JOGO DE FRESCOBOL
NUM TORNEIO DE FRESCOBOL, NA PRAIA DO BOQUEIRÃO, OS FINALISTAS FORAM ZECA E KADU. SERÁ DECLARADO
CAMPEÃO AQUELE QUE VENCER DUAS PARTIDAS SEGUIDAS OU VENCER TRÊS PARTIDAS ALTERNADAS.
OBSERVANDO QUEM SAI VENCEDOR EM CADA PARTIDA ATÉ QUE SE OBTENHA O CAMPEÃO, QUAIS OS RESULTADOS
QUE SE PODE OBTER?
SUGESTÃO: USE A ÁRVORE DE POSSIBILIDADES PARA ENCONTRÁ-LOS.
2) ATIVIDADE DOS ANAGRAMAS
A) QUANTOS ANAGRAMAS PODEMOS FORMAR COM AS TRÊS LETRAS DA PALAVRA ANA?
B) QUANTOS ANAGRAMAS PODEMOS FORMAR COM A LETRAS DA PALAVRA AMADA?
C) QUANTOS ANAGRAMAS PODEMOS FORMAR COM AS LETRAS DA PALAVRA LILI?
Quadro 3.6: Problemas da ficha 4 da seqüência de ensino.
Objetivo das atividades: Trabalhar com contra-exemplos, visando evitar a
pseudoconcepção de que qualquer problema de contagem pode ser resolvido
através do princípio multiplicativo. Continuar o trabalho de conscientização da
importância na interpretação das situações-problema e observar os diversos
registros de representação utilizados pelos alunos.
Procedimentos: Nas atividades, a pesquisadora deixará que os alunos
tentem fazer a resolução solicitada. Depois, pedirá que cada aluno coloque as
soluções dadas pelas duplas no quadro. Se nenhuma dupla utilizar a árvore de
possibilidades, conforme sugestão dada na atividade 1, a pesquisadora utilizará a
solução correta dada pelos alunos, usando a árvore de possibilidades. A seguir,
mostrará, construindo na lousa, que a árvore de possibilidade serve tanto para
problemas em que se aplica o princípio multiplicativo quanto naqueles casos onde
o princípio multiplicativo não determina o número de casos possíveis.
Material: Ficha de atividade contendo duas folhas.
Análise prévia: Considerando que os alunos, nas atividades anteriores, já
trabalharam com diversos registros de representações, acreditamos que nas duas
atividades eles farão uso de esquemas, diagramas ou ainda tentarão se valer do
princípio multiplicativo. Pode ser que nenhum aluno se utilize da árvore de
possibilidades e aqueles que usarem o princípio multiplicativo não percebam que
o problema está sendo resolvido de forma errônea.
Tempo previsto: 30 minutos para a primeira atividade, 20 minutos para a
segunda atividade e 10 minutos para a institucionalização.
Ficha 5
Na ficha 5, temos duas atividades para diferenciar arranjo de combinação.
1) ATIVIDADE DA AGÊNCIA DE TURISMO
A AGÊNCIA DE TURISMO CDD RECEBEU, PARA INCLUIR NO PACOTE DE VIAGEM, UMA PROPOSTA DOS SEIS
RESTAURANTES DE LISBOA: RESTAURANTE ROSA DOS MARES, RESTAURANTE FADO, RESTAURANTE F.I.L.,
RESTAURANTE GRAND’ELIAS, RESTAURANTE SALSA LATINA, RESTAURANTE BAMBINO DE OURO.
SE A AGÊNCIA LEVAR OS TURISTAS PARA ALMOÇAR NESSES RESTAURANTES, RECEBERÁ UM DESCONTO, PORÉM, O
RESTAURANTE ESCOLHIDO PARA O ALMOÇO NÃO PODERÁ SER O MESMO PARA O JANTAR.
VOCÊ FOI CONTRATADO PELA AGÊNCIA E FICOU ENCARREGADO DE ESCOLHER EM QUAIS RESTAURANTES ELES IRÃO
ALMOÇAR E JANTAR. PARA O PRIMEIRO DIA DE ESTADA EM LISBOA, DE QUANTAS MANEIRAS VOCÊ PODE ESCOLHER
RESTAURANTES PARA O ALMOÇO E O JANTAR?
2) ATIVIDADE DA MARATONA DO SABER
UMA ESCOLA FOI CONVIDADA PARA PARTICIPAR DE UMA “MARATONA DO SABER” PARA ALUNOS DA 8ª SÉRIE.
COMO A ESCOLA TEM SEIS CLASSES DE OITAVA SÉRIE, A DIRETORA PEDIU QUE FOSSE SELECIONADO O MELHOR
ALUNO DE CADA SÉRIE.
SABENDO QUE OS ALUNOS SELECIONADOS TÊM O MESMO DESEMPENHO E QUE A DIRETORA SÓ PODE MANDAR DOIS
ALUNOS PARA A TAL MARATONA, DE QUANTAS MANEIRAS ELA PODERÁ ESCOLHER ESSA DUPLA?
NAS ATIVIDADES 1 E 2 ENCONTRAMOS O MESMO NÚMERO DE POSSIBILIDADES?
( ) SIM ( ) NÃO
POR QUE?
Quadro 3.7: Problemas da ficha 5 da seqüência de ensino
Objetivo das atividades: Reconhecer nos problemas as características que
permitem diferenciar arranjo e combinação, trabalhando mais incisivamente na
interpretação das situações-problema e na utilização de diversos registros de
representação.
Procedimentos: A pesquisadora deverá deixar que as duplas discutam a
solução de cada problema, iniciando a seguir, a institucionalização dos conceitos
de arranjo e combinação.
Os alunos farão as representações das duas atividades através do uso do
material concreto.
Solicitar que as duplas discutam os dois problemas até que consigam
perceber que a primeira atividade é da mesma natureza que a maioria das
atividades anteriores, isto é, para saber o total de casos, podemos aplicar o
princípio multiplicativo. Todavia, na segunda atividade, somente o princípio
multiplicativo não determina o número de casos possíveis, como na atividade dos
anagramas usando palavras com letras repetidas.
A seguir, baseado nas atividades dessa ficha, outros problemas poderão
ser propostos, tais como:
- Vamos supor que, na atividade da agência de turismo, você tivesse que
escolher um restaurante para o café da manhã, outro para o almoço e outro para
o jantar, seguindo a mesma regra. De quantas maneiras você pode escolher os
restaurantes para o primeiro dia?
- Supondo que na atividade da maratona do saber a escola poderá mandar
três alunos. De quantas maneiras a diretora poderá escolher os três alunos?
Material: Ficha de atividade, contendo duas folhas, canetas coloridas e um
círculo de madeira dividido em seis partes e linha de bordar.
Figura 3.2 – material concreto da ficha 5
Análise a priori: Após haverem se familiarizado com problemas que
envolvem contagem e com processos de formação de agrupamentos,
acreditamos que os alunos consigam resolver estas atividades sem grandes
dificuldades. Acreditamos que esse material poderá ajudá-los a entender o
procedimento de resolução e chegar ao resultado correto, distinguindo quando a
ordem é essencial ou não.
Tempo previsto: 25 minutos para cada atividade e 10 minutos para a
institucionalização do conceito.
Ficha 6
Na ficha 6, temos algumas situações-problema em que se devem formar
agrupamentos onde a ordem dos elementos é importante, e outras em que a
ordem não é importante.
1) ATIVIDADE DA COBRANÇA DE PÊNALTIS
FERNANDO, VINÍCIUS, JORGE E FABIO VÃO TREINAR PARA A COBRANÇA DE PÊNALTIS. INICIALMENTE, VÃO SER
SORTEADOS DOIS DELES: UM PARA O GOL E OUTRO PARA A COBRANÇA DOS PÊNALTIS. QUANTOS POSSÍVEIS CASOS
DISTINTOS EXISTEM PARA O RESULTADO DO SORTEIO DESSA PRIMEIRA DUPLA?
2) ATIVIDADE DA “MONTANHA RUSSA”
DEPOIS DO TREINO, ESSES QUATRO AMIGOS VÃO AO PARQUE DE DIVERSÕES ANDAR DE MONTANHA RUSSA. ELES
PRETENDEM IR NO MESMO CARRINHO, PORÉM NO BANCO DA FRENTE, QUE PROVOCA MAIOR EMOÇÃO, SÓ CABEM DUAS
PESSOAS. DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES ELES PODEM ESCOLHER A DUPLA QUE IRÁ NO BANCO DA FRENTE?
ESCOLHER OS QUATRO AMIGOS PARA A COBRANÇA DOS PÊNALTIS E ESCOLHER A DUPLA QUE IRÁ NO BANCO DA
FRENTE DO CARRINHO DA MONTANHA RUSSA REQUEREM O MESMO PROCEDIMENTO DE RESOLUÇÃO? POR QUÊ?
3) ATIVIDADE DO JÓQUEI
VOCÊ VAI AO JÓQUEI E DECIDE ARRISCAR UM PALPITE. NESSE DIA, HAVERÁ UM PÁREO COM SEIS CAVALOS E VOCÊ
DECIDE ESTUDAR QUAL MODALIDADE DE APOSTA TEM MAIOR CHANCE DE GANHAR. AS MODALIDADES ESCOLHIDAS SÃO
AS SEGUINTES:
a) MODALIDADE MAIS SIMPLES – VENCEDOR (OU PONTA)
NESSA MODALIDADE, VOCÊ ESCOLHE UM CAVALO E GANHA SE ELE CHEGAR EM PRIMEIRO LUGAR.
b) DUPLA (OU INEXATA)
VOCÊ ESCOLHE DOIS CAVALOS. PARA GANHAR, UM DELES TEM QUE CHEGAR EM PRIMEIRO LUGAR E O OUTRO EM
SEGUNDO. VOCÊ SÓ TEM QUE ACERTAR OS DOIS VENCEDORES, MAS NÃO PRECISA ACERTAR QUEM CHEGOU EM
PRIMEIRO E QUEM CHEGOU EM SEGUNDO LUGAR.
c) EXATA
VOCÊ ESCOLHE DOIS CAVALOS: UM PARA O PRIMEIRO LUGAR E OUTRO PARA O SEGUNDO. OU SEJA, É PRECISO
ACERTAR OS DOIS PRIMEIROS COLOCADOS E ACERTAR, TAMBÉM, QUEM FOI O PRIMEIRO COLOCADO E O SEGUNDO
COLOCADO.
d) TRIFETA SIMPLES
VOCÊ ESCOLHE TRÊS CAVALOS E É PRECISO ACERTAR QUEM CHEGOU EM PRIMEIRO LUGAR, QUEM CHEGOU EM
SEGUNDO LUGAR E QUEM CHEGOU EM TERCEIRO LUGAR.
e) TRIFETA COMBINADA
PARA ACERTAR, É NECESSÁRIO QUE OS TRÊS CAVALOS ESCOLHIDOS CHEGUEM EM PRIMEIRO, SEGUNDO E TERCEIRO
LUGARES, NÃO PRECISANDO ACERTAR QUAL DOS TRÊS CHEGOU EM PRIMEIRO EM SEGUNDO LUGAR E EM TERCEIRO
LUGAR.
PERGUNTA –SE :
NO TOTAL, COM OS SEIS CAVALOS QUE PARTICIPARÃO DA CORRIDA, QUANTAS APOSTAS VOCÊ PODE FAZER EM CADA
MODALIDADE? QUAL MODALIDADE LHE DÁ O MAIOR NÚMERO DE POSSIBILIDADES? O QUE DIFERENCIA A TRIFETA
SIMPLES DA TRIFETA COMBINADA? O QUE DIFERENCIA A DUPLA INEXATA DA DUPLA EXATA? JUSTIFIQUE SUAS
RESPOSTAS.
4) ATIVIDADE DAS FRUTAS
DONA MARIA FOI À FEIRA COMPRAR FRUTAS PARA SEUS TRÊS FILHOS: JOÃO, ROBERTO E ANA. O FEIRANTE TEM, EM
SUA BANCA, DEZ TIPOS DE FRUTAS. DONA MARIA RESOLVEU COMPRAR CINCO TIPOS DE FRUTAS DIFERENTES. DE
QUANTAS MANEIRAS DISTINTAS ELA PODERÁ ESCOLHER ESSAS CINCO FRUTAS?
DONA MARIA COMPROU MAÇÃ, MAMÃO, ABACAXI, MELANCIA E MELÃO. DE QUANTOS MODOS DISTINTOS ELA PODERÁ
DISTRIBUIR UMA FRUTA PARA CADA UM DOS SEUS FILHOS, DE MODO QUE CADA UM COMA UMA FRUTA DIFERENTE?
SE DONA MARIA COMPRAR MAÇÃ, MAMÃO, ABACAXI, MELANCIA E MELÃO OU SE DONA MARIA COMPRAR ABACAXI,
MAÇÃ, MELÃO, MAMÃO E MELANCIA, ELA LEVA FRUTAS DIFERENTES PARA CASA?
SE DONA MARIA DER UMA MAÇÃ PARA JOÃO, UM PEDAÇO DE MAMÃO PARA ROBERTO E UM PEDAÇO DE MELANCIA
PARA ANA OU SE DONA MARIA DER UM PEDAÇO DE MAMÃO PARA JOÃO, UM PEDAÇO DE MELANCIA PARA ROBERTO E
UMA MAÇÃ PARA ANA, ELA DISTRIBUI AS FRUTAS DE MODO DIFERENTE?
Quadro 3.8: Problemas da ficha 6 da seqüência de ensino.
Objetivo das atividades: dar continuidade ao objetivo da ficha anterior,
oferecendo condições para que os alunos avancem na diferenciação dos
conceitos de arranjo e permutação e na interpretação cuidadosa das situações
propostas.
Procedimentos: A pesquisadora distribuirá uma atividade de cada vez e
após cada atividade analisará as respostas encontradas, observando os
procedimentos utilizados. Ela buscará, constantemente, ressaltar as
características que diferenciam arranjo de combinação.
Na atividade do jóquei, a pesquisadora deixará, a princípio, que os alunos
façam suas apostas. A seguir, dará a atividade para que eles possam calcular o
número de possibilidades.
Material: Ficha de atividades contendo quatro folhas e calculadora.
Análise prévia: Nessas atividades, os alunos precisam utilizar os
conhecimentos adquiridos nas atividades da ficha anterior. Deverão, também,
reconhecer quando a construção dos agrupamentos depende ou não da ordem
dos elementos.
Uma vez entendida a diferença entre arranjo e combinação, acreditamos que
os alunos conseguirão resolver todas as atividades. Pode ser que eles tenham
uma dificuldade maior na atividade das frutas, pois terão que trabalhar com
números maiores que as outras atividades.
Tempo previsto: 70 minutos para a resolução de todas as atividades.
Ficha 7
Na ficha 7, trabalharemos com situações-problema sobre arranjo,
permutação e combinação.
1) A) QUANTOS NÚMEROS DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS PODEM SER FORMADOS, USANDO-SE OS ALGARISMOS 1, 2, 3,
5, 8?
B) E QUANTOS NÚMEROS DE 5 ALGARISMOS DISTINTOS PODEM SER FORMADOS, USANDO OS MESMOS ALGARISMOS
DO ITEM A)?
QUANDO VOCÊS ESCOLHERAM 3 ALGARISMOS E FORMARAM UM NÚMERO, POR EXEMPLO, SE O PRIMEIRO NÚMERO
ESCOLHIDO FOR 5, DEPOIS OS NÚMEROS 2 E 6, VOCÊS CRIARAM O NÚMERO 526. SE ESCOLHESSEM OS MESMOS
ALGARISMOS, MAS TROCANDO A ORDEM DA ESCOLHA, ISTO É, PRIMEIRO O NÚMERO 2 E DEPOIS O CINCO E O SEIS, O
NÚMERO FORMADO SERIA DIFERENTE? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
O QUE DIFERENCIA O ITEM A) DO ITEM B)?
2)QUANTAS RETAS PODEM SER TRAÇADAS PASSANDO POR DOIS PONTOS DA CIRCUNFERÊNCIA ABAIXO. E QUANTAS
DIAGONAIS? NESTE PROBLEMA SE VOCÊ ESCOLHER PRIMEIRO O PONTO A E DEPOIS O PONTO B VOCÊ TEM UMA RETA.
SE VOCÊ ESCOLHER PRIMEIRO O PONTO B E DEPOIS O PONTO A, A RETA QUE VOCÊ OBTÉM É DIFERENTE DA
ANTERIOR? JUSTIFIQUE.
3)EM UM CONGRESSO HÁ 10 FÍSICOS E 6 MATEMÁTICOS. QUANTAS COMISSÕES DE TRÊS FÍSICOS E 2 MATEMÁTICOS
PODEMOS FORMAR? NESSE PROBLEMA, SE VOCÊ ESCOLHER PRIMEIRO OS FÍSICOS ABEL, BENEDITO E CARLOS E
DEPOIS OS MATEMÁTICOS DANIEL E EDUARDO ESTARÁ FORMANDO UMA COMISSÃO. SE VOCÊ TROCAR A ORDEM DA
ESCOLHA, ISTO É, PRIMEIRO ESCOLHE OS MATEMÁTICOS DANIEL E EDUARDO E DEPOIS OS FÍSICOS ABEL, BENEDITO E
CARLOS, A COMISSÃO FORMADA SERÁ A MESMA? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
4)DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES PODEMOS TROCAR AS POSIÇÕES DOS ELEMENTOS DO CONJUNTO B =
= { , �, �, !, �}?
5)QUANTOS SÃO OS NÚMEROS COMPREENDIDOS ENTRE 2000 E 3000, FORMADOS POR ALGARISMOS DISTINTOS
ESCOLHIDOS ENTRE 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E 9?
6)VOCÊ TERÁ QUE PAVIMENTAR UM SALÃO CONFORME A FIGURA 1 APRESENTADA. O PISO ESCOLHIDO TEM FORMA
RETANGULAR E DUAS CORES (CONFORME A FIGURA 2). PERGUNTA-SE: DE QUANTAS FORMAS VOCÊ PODERÁ FAZER
ESTE SERVIÇO, SEM CORTAR O PISO? → COLUNA
FIGURA 1
FIG.2
Quadro 3.9: Problemas da ficha 7 da seqüência de ensino.
Objetivo das atividades: Familiarizar os alunos com as notações de
arranjo, combinação e permutação. O objetivo do último problema é mostrar
que nem sempre na prática o raciocínio combinatório pode ser aplicado.
Procedimentos: A pesquisadora deverá dar um tempo suficiente para que
os alunos leiam cada problema e cheguem à solução, destacando as diferenças
entre eles e familiarizando-os com os nomes e notações de cada tipo de
agrupamento.
Material: Ficha de atividade contendo três folhas, canetas coloridas,
calculadora, chão do salão e pisos emborrachados, conforme desenho do
problema 6.
figura 3.3- material concreto da ficha 7
Análise prévia: Nesta ficha, os alunos precisam se valer de todos os
conhecimentos usados e adquiridos durante a seqüência. Logo, acreditamos que
os alunos não apresentarão grandes dificuldades na resolução dos problemas.
Quanto à última atividade, apenas os alunos que fizerem a resolução por tentativa
conseguirão chegar à conclusão certa.
Tempo previsto: 50 minutos para a resolução dos problemas e 10 minutos
para a institucionalização.
ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.1 – INTRODUÇÃO
Este capítulo é composto por trêspartes. A primeira traz comentáriosgerais sobre a aplicação de nossa
seqüência com o grupo experimental. Nasegunda parte, procederemos com aanálise quantitativa do desempenho
apresentado pelos grupos (experimentale de referência) nos pré e pós-testes.Essa análise será realizada, segundo
quatro pontos de vista:• o percentual geral de acertos de cada grupo nos dois testes;
• o desempenho por item;
• o desempenho por objetivo;
• o desempenho por indivíduo, envolvendo seu resultado em cada teste e a
sua evolução do pré para o pós-teste.
Finalmente, a última parte seráreservada para a análise qualitativa, a
qual terá um momento que será a análiseindividual das estratégias de ação de três
duplas nas três fases do experimento(pré-teste, seqüência e pós-teste).
4.2 COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE AAPLICAÇÃO DA SEQÜÊNCIA
Nesta seção, apresentaremos ediscutiremos o comportamento dosalunos frente às atividades e resoluçãode problemas propostos ao longo denossa seqüência didática. Para umamelhor organização da apresentação e,principalmente, para sermos fieis àcronologia da seqüência, faremos nossoscomentários e discussões de acordo coma ordem utilizada nas fichas, as quaismantém relação direta com o número deencontros. Como já havíamos dito nocapítulo anterior, a análise da seqüênciaserá feita para doze duplas, totalizando24 alunos. Inicialmente, convém definiroperacionalmente três termos, usados aolongo de nossa análise.Procedimento: Processo usado pelosalunos na determinação de resultadospossíveis, que pode ser porrepresentação ou por tentativa e erro.Representação: Quando o aluno faz usode desenhos, tabelas ou árvore depossibilidades, na determinação deresultados possíveis.Exemplo: Resolução usada, por umadupla, na atividade do jogo de frescobolda ficha 4.
Zeca Z•••• KK••••
K Z Z••••Z••••
K•••• 5 formas Kadu K•••• ZK••••
Z K K••••Z•••• Z••••5 formas
Essa dupla usou um procedimento parachegar a todas as possibilidades, usandoa árvore de possibilidades.Tentativa e erro: Quando o aluno escreve,uma a uma, as possibilidade de ocorrerum certo evento.Exemplo: Resolução usada, por umaoutra dupla, na atividade do jogo defrescobol da ficha 4.Zeca – ZecaKadu – KaduZeca – Kadu – Zeca- kadu – ZecaKadu- Zeca – Kadu – Zeca – KaduEsta dupla não usou um procedimentoque levasse a todas as possibilidades, eneste caso escreveu seis possibilidadesa menos.A seguir, historiaremos a aplicação daseqüência, comentando ocomportamento e desempenho dasduplas de alunos ao resolverem as fichasde atividades. Sempre que se fizernecessário ou adequado,transcreveremos trechos de diálogos deduplas para ilustrar esse desempenho.Cabe informar ainda que esse históricorefere-se a 12 duplas (24 alunos). Dos 28alunos iniciais, três foram excluídos dogrupo por haverem faltado uma, ou maisvezes, aos encontros da seqüência e umtrabalhou quase que constantementesozinho. Este último sujeito só serácomputado na análise dos instrumentosdiagnósticos.
4.2.1 Ficha 1Situação problema 1: Atividade do parque
Das 12 duplas que participaram dessaatividade, nove duplas acertaram, umaerrou, uma não respondeu e uma dupladeu duas respostas sem justificativa,
sendo que uma das respostas estavacorreta.As nove duplas que acertaram fizeramuso da figura do parque, apresentada naficha, desenhando as possibilidades.Uma dupla resolveu de três maneirasdiferentes:usou a figura do parque, valeu-se da tentativa e erro e, por último,utilizou um esquema para resolver aatividade.Além da figura do parque, cinco duplasusaram a multiplicação para dar asolução do problema, e uma usou aadição. A dupla que errou utilizou a figuraapresentada na ficha, desenhandoalgumas possibilidades e, a seguir,respondeu que poderia entrar e sair doparque “de um modo só”. Veja, a seguir,como foi o diálogo dessa dupla,conforme gravação:
Aluna 1: - Só pode entrar de um modo e sair de um modo. É
uma coisa óbvia, de um modo só.
Aluna 2: - eu acho que é 12
Aluna 1: - Por que 12?
Aluna 2: - 3 vezes 4 dá 12, entra por esta entrada e sai por
esta saída ...
Aluna 1: - Isto não é matemática.
Aluna 2: - Mas você entra por esta entrada e sai por esta
saída, depois entra por esta entrada e sai por esta saída e ...
Aluna 1: - Mas é de um modo só... Posso entrar e sair de
modos diferentes... Este exercício é obvio, um modo só.
Pela resposta apresentada na ficha, aaluna 1, depois de tanta insistênciaacabou convencendo a aluna 2.
Fica claro, nesse diálogo, que adificuldade da aluna 1 estava nainterpretação do problema. A perguntadizia respeito ao número depossibilidades de entrada e saída e elaconsiderou apenas o processo realmentede entrada. É claro que uma pessoa nãopoderia entrar simultaneamente por trêslugares, nem tampouco sair,simultaneamente, por quatro lugares.
A princípio, observamos que os alunosfizeram uma rápida leitura da atividade elogo em seguida começaram a reclamarque não haviam entendido. Solicitamosque lessem mais uma vez e novamenteficaram esperando uma resposta dapesquisadora, que leu lentamente oproblema sem interferir na interpretação.Quando perceberam que não teriam aresposta, leram novamente o enunciado etentaram buscar uma solução, discutindoos caminhos possíveis com o seurespectivo par. A maneira com que osalunos corresponderam à atividade nospareceu reforçar a atitude de esperar doprofessor, quase sempre, uma respostapronta. Percebemos, também, que asduplas apresentaram uma certaresistência em tentar resolver oproblema, sem antes ter umconhecimento prévio do assunto.Observamos uma certa dificuldade nainterpretação do enunciado, masacreditamos que o desenho apresentadona ficha possa ter contribuído para que amaioria das duplas apresentasse oraciocínio correto.
A seguir, pedimos a cada dupla queescrevesse a resposta obtida na lousa ecomeçamos a questionar os alunos.Debatemos a resposta “de um modo só”,discutindo o porquê de ela estar errada.Depois, questionamos qual seria o
processo de resolução mais eficiente,dentre aqueles que foram apresentados.Todas as duplas chegaram à mesmaconclusão: multiplicar o número deentradas pelo número de saídas doparque.
Situação problema 2: Atividade docampeonato de futebol.
Dessa vez, os alunos leram oproblema sem questionar ou esperar uma
resposta da pesquisadora.A princípio, foi pedido a cada dupla quefizesse sua aposta no cartão desenhadona atividade e, em seguida, escrevessena lousa. Depois, a pesquisadora tirou asapostas iguais e, em relação as queficaram na lousa, perguntou se existiamoutras possibilidades e qual seria onúmero total de possibilidades para seapostar.
Nesta atividade, nove duplasresponderam corretamente, sendo queoito duplas fizeram uso derepresentações e tentativas e erros eapenas uma usou a multiplicação. Adupla que respondeu “de um modo só”na atividade do parque também nãoapresentou raciocínio combinatórionessa atividade, respondendo: “dependeda quantidade de apostas feitas porescolas”. A dupla que respondeu àatividade 1 sem justificar também o feznesta e a outra dupla, que não resolveu aatividade1, também não resolveu esta.Quanto à segunda parte, onde os alunostinham dois cartões com as aposta deJoão e Abel, dez duplas perceberam queera necessário especificar, no enunciadoda questão, qual escola ficou em primeirolugar e qual ficou em segundo lugar, para
ser possível identificar o ganhador daloboteca.Após as duplas apresentarem assoluções da segunda atividade na lousa,questionamos novamente qual seria amelhor solução. Logo a seguir, forampropostas questões complementares.Nelas, todas as duplas se valeram damultiplicação, sendo que três iniciaram asolução usando representação ,abandonando-a em seguida e optandopelo uso da multiplicação.
Avaliação do encontro.Apesar da resistência apresentada noinício, percebemos que os alunos foramficando mais à vontade para expor seuraciocínio. No final, notamos umaaceitação maior do novo método deensino.
4.2.2 Ficha 2Situação-problema 1: Atividade dos
triângulos e dos quadrados.Essa atividade está dividida em três
partes: Na primeira (1.1), as duplasreceberam quatro quadrados e trêstriângulos de cores diferentes; nasegunda (1.2), as duplas receberam seisquadrados e seis triângulos; e na terceira(1.3), os alunos trabalharam trêsquadrados e dois triângulos.O objetivo de tal atividade é introduzir oprincípio fundamental da contagem portentativas e erros, com um procedimentoque leve o aluno a todas aspossibilidades. Na questão 1.2,colocamos mais figuras e questionamosos mesmos itens da questão 1.1. Nossoobjetivo, ao colocar mais figuras,consistiu em dificultar a contagem eobservar se os alunos iriam procurar uma
maneira mais rápida de chegar aoresultado, por exemplo, usando oprincípio fundamental da contagem.Distribuímos as fichas e o materialconcreto para cada dupla, sem comentaro que teriam que fazer. Como, no início,houve muita dificuldade em compreendero enunciado da questão, a pesquisadorafez uma interferência: leu o item a daquestão 1.1 e iniciou a solução, comauxílio do material concreto, pedindo, aseguir, que as duplas continuassem atéachar o número total de possibilidades.Os itens restantes foram resolvidos semquestionamentos, com uso do materialconcreto. Apenas uma das duplas deixouo material concreto de lado e fez aresolução por meio de tentativa e erro,escrevendo as possibilidades na folha dequestão.A tabela a seguir apresenta a quantidadede acertos e erros em cada item daquestão 1.1:
b c d
7 8 8
5 4 4Tabela 4.1: Desempenho das duplas nos itens a, b, c, d, e, f,
g da atividade 1
No item “a”, dentre as duplas queacertaram, duas usaram o processo detentativa e erro e uma usou o princípiomultiplicativo. Entre as que erraramconstatamos que três usaram amultiplicação de um para muitos, quatroduplas fizeram por tentativa e erro, e asoutras duas usaram representação, mascom um procedimento que nãopossibilitou que encontrassem todas aspossibilidades.
No item “b”, também tivemosdiferentes tipos de solução. Das duplasque acertaram, quatro usaram o processo
de tentativa e erro , duas usaram oprincípio multiplicativo e uma resolveuusando representação. Uma das duplasque errou, usou o princípio multiplicativo,retirando quatro quadrados, comreposição, em lugar de três; outra usou oprocesso de multiplicação de um paramuitos “4 cores vezes 4 opções” e asrestantes usaram a representação oufizeram por tentativa e erro, mas com umprocedimento que não possibilitou queencontrassem todas as possibilidades.
Quanto ao item “c”, oito duplaschegaram ao resultado correto. Nesseitem, as duplas tiveram mais facilidadeem achar um procedimento que aslevasse a encontrar todas aspossibilidades, pois o número de figurasera menor, em relação aos itensanteriores. Das oito duplas quechegaram ao resultado correto, 4 usaramo princípio multiplicativo e 4 usaram oprocesso de tentativa e erro.
No item “d”, oito duplas fizeram asolução correta, pois tiveram a mesmafacilidade do item anterior. Nesse item,apenas uma dupla, dentre as queacertaram, fez uso da representação pararesolver a questão.
Nos itens “e”, “f” e “g”, as duplasvoltaram a apresentar dificuldade emchegar ao número total de possibilidades.Talvez o fato de termos aumentado onúmero de figuras nesses itens possa tercontribuído para tal fato, mesmo porque,segundo Fischbein, existe umadificuldade relativa dos problemas deanálise combinatória em função danatureza e do número de elementos quedevem ser combinados.Dos resultados obtidos, constatamosque os alunos ainda não se apropriaramdo conceito do princípio multiplicativo e
o processo de tentativa e erro não é umprocedimento eficiente que possibilita adeterminação de todas as possibilidades.Depois que todas as duplas colocaram asrespectivas resoluções na lousa, fizemosum debate para que os alunosdiscutissem qual seria a resoluçãocorreta de cada item. Discutimos, ainda, oque havia de errado nas outrasresoluções. Logo a seguir, questionamosquais das soluções apresentadas erammais eficientes.Notamos um certo entusiasmo dasduplas que responderam corretamenteaos itens da questão 1.1, principalmenteporque tiveram oportunidade de explicaro raciocínio para os colegas.Percebemos, também, uma certafragilidade das duplas que nãoconseguiram chegar à resposta correta,mas tentamos incentiva-las mostrando-lhes que, mesmo não chegando aoresultado, usaram um raciocíniocombinatório, que indicava um grandepasso para o aprendizado desseconteúdo.A seguir, distribuímos a continuação daficha 2. Como já mencionamos, naquestão 1.2 foram colocadas maisfiguras, pedindo-se aos estudantes quedescrevessem as mesmas situações daquestão 1.1. Apenas duas duplasperceberam a relação existente nestasduas questões e fizeram corretamentetodas as situações anteriores usando oprincípio multiplicativo. As duplas quenão interpretaram corretamente oproblema fizeram a permutação dasfiguras.Nas questões 1.3 e 2, as duplas ficaramem dúvida se deveriam trabalhar comtodas as figuras ao mesmo tempo Nessecaso, houve intervenção da
pesquisadora: foi construída umapossibilidade, mudando-se a posição deduas figuras. Na questão 1.3, quatroduplas acertaram, usando o princípiomultiplicativo. Das duplas que erraram,cinco usaram a multiplicação de um paramuitos (5 x 4) e as restantes responderamsem justificar. Na questão 2, as quatroduplas que acertaram a questão anteriortambém acertaram esta, valendo-se domesmo processo de resolução; as duplasque erraram a questão anterior tambémerraram esta, usando o mesmo processopara chegar à solução.Observamos que o conceito demultiplicação do tipo um para muitosainda é forte. Após a apresentação dassoluções na lousa, houve a preocupaçãoem comentar cada tipo de solução.Tentamos destacar as diferenças entrecada tipo de solução e a correta, dandocondições aos alunos de aplicaremintuitivamente do princípio multiplicativo.
Avaliação do encontro:Nesse segundo encontro, as duplasestavam mais soltas e pediam um tempomaior para resolver os problemasapresentados. Notamos que todas asduplas ficaram entusiasmadas com aentrega de um material concreto paratrabalhar, mas observamos uma grandedificuldade em manuseá-lo. Descreveramas etapas solicitadas com certadificuldade. Observamos, também, umagrande dificuldade na interpretação doenunciado e em relação aodesenvolvimento do raciocínionecessário para a resolução deproblemas combinatórios.Podemos notar que essa observação vaicontra a Teoria de Piaget (1951). Segundo
o autor, depois das operações formais, oadolescente descobre procedimentossistemáticos de construçõescombinatórias, mas ao mesmo tempo vaiao encontro do trabalho de Batanero(1997). Esta constata que a maiordificuldade em resolver os problemas deanálise combinatória é a ausência deenumeração sistemática.
4.2.3 Ficha 3Situação-problema 1: atividade daspoltronasEm relação a essa atividade, percebemosque as duplas utilizaram o desenho daspoltronas, auxiliando a resolução do item“a”. Oito duplas acertaram o item “a”,sendo que quatro fizeram uso darepresentação e do princípiomultiplicativo, uma dupla resolveu portentativa e erro e três duplas usaramapenas o princípio multiplicativo. Umadelas, que resolveu erroneamente, fez amultiplicação do tipo um para muitos (4amigos vezes 4 poltronas).No item “b”, houve necessidade dainterferência da pesquisadora nainterpretação do problema. Três duplasconseguiram chegar ao resultado correto,usando o processo de tentativa e erro.Uma das duplas que errou, usou oprincípio multiplicativo e percebeu quedeveria dividir o resultado, obtido nocálculo do princípio multiplicativo, pelonúmero de possibilidades que equivalema uma, mas acabou dividindo por dois,quando deveria dividir por 4. Quantos aoserros, persistem os apresentados nasfichas anteriores.Quatro duplas acharam que o modo desolução seria igual para os dois itens. As
demais duplas perceberam que oprocesso de solução mudava, pois, noitem “a”, a ordem em que os amigosocupam as poltronas é importante e, noitem “b”, a ordem em que os amigosocupam as poltronas de cada lado docorredor é irrelevante.
Situação-problema 2: atividade dosanagramas
Tal atividade foi dividida em duaspartes: 2.1 e 2.2. Na questão 2.1, tivemossete duplas que acertaram, sendo queduas duplas usaram representação ecinco duplas usaram o princípiomultiplicativo. Uma das duplas usou amultiplicação do tipo um para muitos eoutra dupla fez por tentativa e erro,chegando a 12 possibilidades emultiplicou esse resultado pelo númerode letras (7). As outras três duplasresponderam, sem justificar.Na questão 2.2, oito duplas responderamcorretamente, sendo que apenas uma fezuso da representação e as restantesusaram o princípio multiplicativo. A duplaque resolveu a questão 2.1 usando amultiplicação de um para muitos repetiuo procedimento nessa questão. A duplaque usou tentativa e erro também repetiuo mesmo procedimento. As outras duasnão responderam à questão.Quando as duplas apresentaram asrespostas na lousa, tivemos apreocupação de comentar os resultadoserrôneos, justificando. Utilizando a árvorede possibilidades, demonstramos que amultiplicação do tipo um para muitos setorna inviável nesse tipo de problema. Percebemos uma certa resistência dasduplas em usar a árvore depossibilidades ou qualquer tipo derepresentação.
Situação-problema 3: atividade dasenha
Essa atividade foi dividida em 4etapas. Seis duplas fizeram uso doprincípio multiplicativo e oito duplascolocaram a quantidade de letras oualgarismos em cada situação, etapainicial do princípio multiplicativo. Dasdoze duplas, apenas uma respondeuerroneamente a duas etapas, sendo estauma das que não usou o princípiomultiplicativo.Após apresentarem as soluções,mostramos que havia necessidade dejustificar a resposta através de umcálculo e todas concordaram que omelhor caminho era o princípiomultiplicativo.Resolvemos deixar a atividade quatropara ser dada junto com a ficha 4, já queteríamos que prolongar o encontro pormais 10 minutos e, certamente, nãohaveria rendimento satisfatório naresolução desta atividade. Além disso, jáhavíamos observado que algumas duplastinham um certa ânsia em responderrapidamente às questões.
Situação-problema 4: atividade dasplacas dos carros
Todas as duplas conseguiramestabelecer uma relação com asatividades anteriores e a resolveramcorretamente, usando o princípiomultiplicativo.Vale ressaltar que os alunosconsideraram também as mudanças deordem dos elementos como novas placasa serem consideradas, justificando queseriam diferentes porque as letras oualgarismos estavam em posiçõestrocadas.
Ao final dessa atividade, foiinstitucionalizado o princípiofundamental da contagem.
Avaliação do encontro:Nesse encontro, pudemos constatar adificuldade de algumas duplas emdiferenciar os casos em que a ordem doselementos é fator de diferenciação dosresultados. A mesma constatação éapresentada nas pesquisas de Batanero.Notamos, ainda, que as duplas estavammais soltas e participativas nasdiscussões das soluções apresentadaspelos colegas.
4.2.4 Ficha 4Situação-problema 1: atividade do jogode frescobol.Inicialmente, as duplas tentaram fazeruso do princípio multiplicativo, mas nãohavia um número exato de partidas,determinando que poderia haver nomínimo duas e no máximo cinco. Nessemomento, houve interferência dapesquisadora, sugerindo que usassem aárvore de possibilidades, conformeenunciado na atividade. Mesmo com talinterferência, apenas três duplas fizeramuso de tal representação, sendo que umadupla fez uma parte da árvore e depoismultiplicou por cinco partidas, em vez demultiplicar o número de finalistas, queseriam dois. Tivemos cinco duplas queacertaram a solução do problema e seteque erraram. Das sete duplas queerraram, três usaram representação e trêsusaram o processo de tentativa e erro,porém sem usar um procedimento que aslevasse ao número total depossibilidades.
Pedimos que as duplas colocassem assoluções na lousa e discutimos não só oserros apresentados como aimpossibilidade do uso do princípiofundamental da contagem.Novamente, nessa ficha, constatamos adificuldade dos alunos em estabelecerum procedimento que os levasse a todasas possibilidades.
Situação problema 2: atividade dosanagramasEssa atividade contém três itens etambém não pode ser resolvida por meiodo princípio multiplicativo, mas sim pelaárvore de possibilidades.A tabela abaixo mostra o desempenhodas duplas nos três itens da situaçãodescrita:
Itens a b
Acertos 7 2
Erros 5 10Tabela 4.2: Desempenho das duplas nos itens a, b, c da
atividade 2
Nessa atividade, pudemos constatar adificuldade dos discentes em trabalharcom elementos repetidos, principalmentena permutação, fato já observado naspesquisas de Batanero. Outraconstatação é a diminuição do número deduplas que acertaram o item “b”, poisnele aumentamos o número de letras aserem permutadas. Novamente,corroboramos os resultados de Fischbein(1997), “ os alunos apresentamdificuldade quando aumenta o número deelementos a combinar”.Das duplas que acertaram o item “a”,uma fez uso da árvore de possibilidadese as outras usaram o processo detentativa e erro. Uma das duplas queerrou, fez a árvore de possibilidades, mas
não cancelou as possibilidades iguais, ea outra usou o princípio multiplicativo,porém sem levar em consideração asletras repetidas. As duplas restanteserraram o resultado, pois resolveram portentativa e erro, sem usar umprocedimento.No item “b”, as duplas que acertaramusaram como método de resolução aárvore de possibilidades. Três das queerraram usaram o princípio multiplicativoe as outras, o processo de tentativa eerro.No item “c”, das duplas que acertaram,cinco usaram o processo de tentativa eerro e uma usou o princípiomultiplicativo. Uma das duplas queerrou, usou a árvore de possibilidades,porém escreveu 12 possibilidades, duasusaram o princípio multiplicativo, sendoque uma delas começou usandorepresentação antes de utilizar oprincípio multiplicativo. As demaisfizeram por tentativa e erro.
Avaliação do encontro:Nesse encontro, constatamos anecessidade de usar os conhecimentos jáadquiridos e a resistência em usar aárvore de possibilidades.As duplas aindaapresentam alguma dificuldade emrelação ao desenvolvimento do raciocínionecessário para a resolução deproblemas combinatórios. A cadaencontro, observamos uma necessidademaior das duplas no que se refere àdiscussão de suas soluções. Não existemais a preocupação por haverem errado,mas sim pela descoberta de onde estãoerrando.
4.2.5 Ficha 5Nessa ficha, usamos um círculo demadeira, em que havia seis pregos.Faríamos as ligações dois a dois, comlinha de bordar. O círculo foi escorado nalousa para que qualquer dupla o usassese e quando julgasse necessário. Nasatividades, foi desenhado um círculo emcada uma das questões. Pedimos quecada dupla dividisse o círculodesenhado, conforme a divisãoapresentada no material concreto.Distribuímos canetas coloridas para cadadupla e pedimos que resolvessem oproblema, utilizando o círculo desenhadoe colocando o nome de cada restaurantenos pontos marcados (para a atividade 1),e representassem cada 8ª série (para aatividade 2).
Situação-problema 1: atividade daagência de turismo
Todas as duplas chegaram aoresultado correto, sendo que seteresponderam `a questão multiplicando onúmero de restaurantes pelo número deligações que saíam de cada restaurante,quatro ligaram os pontos e responderamcontando o número de retas traçadas nodesenho apresentado na ficha e umasomou as possibilidades de cadarestaurante, desenhadas nacircunferência.
Situação-problema 2: atividade damaratona do saber.
Tal atividade tem como objetivo oquestionamento do fator ordem, isto é,levar os alunos a perceberem que amudança de ordem dos elementos, nessecaso, não altera a dupla que participará
da maratona. Cinco duplas acertaram,pois perceberam que, ao unirem “o alunoda 8ª B com o aluno da 8ª A, teriam osmesmos alunos”. As outras sete duplaserraram, pois chegaram à mesma soluçãoda atividade anterior.Quando fizemos o debate referente aosresultados colocados na lousa, tentamosquestionar por que as duas atividadesnão apresentavam o mesmo processo deresolução. Utilizando o material concreto,mostramos passo a passo odesenvolvimento do raciocínionecessário para as duas atividades, como auxílio da árvore de possibilidades.A seguir, apresentamos duas questõescomplementares. Em uma das questões,pedimos para que escolhessem osrestaurantes para o café da manhã,almoço e jantar, seguindo a mesmacondição da atividade 1, e na outra, queescolhessem três alunos paraparticiparem da maratona do saber.Para a questão complementar dorestaurante, as duplas usaram o princípiomultiplicativo sem nenhuma dificuldade.Para a questão complementar damaratona, já apresentaram dificuldade.Nesse momento, houve interferência dapesquisadora no sentido de chamar-lhesa atenção para o fato de que eles teriamum número menor de possibilidades.Então, à parte, as duplas começaram aspossibilidades, fixando três elementos,sendo que dez chegaram ao resultadocorreto.
Avaliação do encontroObservamos um entusiasmo quanto aouso do material concreto, mas pudemosconstatar que este não foi suficiente paraque todas as duplas percebessem a
relação de ordem, principalmente quandoligado a problema de combinação. Essaobservação reafirma os resultadosencontrados nas pesquisas de Batanero(1996, 1997).
4.2.6 Ficha 6Situação-problema 1: atividade da
cobrança de pênaltisNessa atividade, os alunos não
pediram a interferência da pesquisadora,responderam às questões com muitaconfiança e rapidez. Apenas duas duplaslevaram mais tempo para resolver porquenão chegavam a uma conclusão entre si.Uma dupla errou, não considerando aordem, e onze acertaram, poisperceberam que a ordem das escolhasseria importante. Das que acertaram, seteusaram como processo de resolução oprincípio multiplicativo, duas usaram arepresentação para depois utilizar oprincípio multiplicativo, uma usou oprocesso de tentativa e erro e outra usouo princípio aditivo.
Situação-problema 2: atividade damontanha russa
Uma dupla considerou a ordemquando era irrelevante e usou o princípiomultiplicativo; as demais perceberamque, nesse caso, a ordem não tinhaimportância, justificando que semudassem as posições dos amigos, elesainda ficariam no banco da frente.Das onze duplas que acertaram, duasfizeram uso da representação, uma doprocesso de tentativa erro e oitoutilizaram o princípio fundamental dacontagem.Na questão em que perguntamos se oprocedimento de resolução das duas
atividades seria igual, onze duplasresponderam que “não”, justificando“que na segunda atividade a ordem dequem vai no banco da frente nãoimporta”.Ressaltamos, novamente, a importânciada interpretação cuidadosa de umproblema de combinatória, para sucessona sua resolução, Nesse momento,salientamos a necessidade de semprenos questionarmos sobre “se trocarmosa posição entre dois elementos, teremosou não uma nova possibilidade”.Comentamos que essa pergunta poderianos auxiliar a saber qual procedimentousar para resolver um problema deanálise combinatória.
Situação problema 3: atividade dojóquei
Entregamos a atividade eesperamos que todos lessem. A seguir,pedimos para que cada dupla fizesse asua aposta. A partir das apostas,perguntamos quem teria uma chancemaior de ganhar o prêmio. Depois dedebater um pouco sobre o que a questãoinformaria e requeria, pedimos que elafosse resolvida. Nesse momento,tentando resgatar um pouco da históriacomentando que o estudo da análisecombinatória foi desenvolvidoprincipalmente para resolver problemasde probabilidade referentes a jogos deazar.Tal atividade está dividida em cinco itense cada item representa uma modalidadede aposta.
a b c
11 5 9
1 7 3
Tabela 4.3: Desempenho das duplas nos itens a, b, c, d, e daatividade 3.
Uma dupla respondeu, de forma errada, àprimeira modalidade, colocando oitopossibilidades. Questionamos como seriapossível se tínhamos apenas seiscavalos. Logo perceberam o erro ecomentaram que haviam trabalhado comoito cavalos em todas as modalidades.Na segunda modalidade, as duplasdeveriam perceber que a ordem erairrelevante. Cinco acertaram, sendo queapenas uma usou representação. As seteque erraram resolveram através doprincípio multiplicativo.Na terceira modalidade as duplasdeveriam considerar a ordem. Noveresolveram corretamente, sendo queapenas a dupla que utilizou arepresentação na segunda modalidade,continuou usando nesta modalidade. Asdemais usaram o princípio multiplicativo.As três duplas que erraram consideraramirrelevante a ordem de chegada doscavalos.Na quarta modalidade, a ordem deveriaser considerada. Das sete duplas queresolveram corretamente, uma fez arepresentação e as demais usaram oprincípio multiplicativo. As duplas queerraram a resposta não consideraram aordem.Na quinta modalidade, a ordem erairrelevante, pois precisavam só acertar ostrês primeiros colocados, não importandoa ordem de chegada. Das quatro duplasque acertaram, só a dupla que usou arepresentação em todas as modalidadesanteriores continuou a usar. As demaisusaram o cálculo. Uma das que errouconsiderou a ordem irrelevante, maserrou no cálculo. As outras sete usaram oprincípio multiplicativo.
Na questão que pedimos para diferenciara trifeta simples da combinada, todas asduplas responderam corretamente,acontecendo o mesmo na questão quepedimos para diferenciar a dupla inexatada dupla exata. Observamos algumadificuldade em relação ao procedimentoque deveria ser usado para cada tipo demodalidade. Mediante a esta observaçãotentamos enfatizar qual procedimentodeve ser usado para cada caso, quandodiscutimos as soluções colocadas nalousa.
Situação-problema 4: atividade dasfrutas
Novamente nesta atividade asduplas teriam que questionar se a ordemera essencial ou não. Na primeira fase doproblema 9 duplas acertaram e todasusaram como processo de resolução ocálculo aritmético. As outras trêserraram, sendo que duas consideramcorretamente que a ordem era irrelevante,mas fizeram o cálculo errado. Uma duplaerrou porque usou duas frutas no lugarde cinco, e outra dupla que errou usourepresentação, mas sem o procedimentoque chegasse em todas aspossibilidades.Na outra parte da questão, cinco duplasperceberam que a ordem seria essenciale resolveram corretamente, usando oprincípio multiplicativo. Das que erraram,uma usou a representação sem oprocedimento que fizesse chegar a todasas possibilidades, outra respondeu semjustificar, outra considerou a ordem, masfez repondo as frutas (5 x 5 x 5) e asdemais consideraram a ordemirrelevante.
Quanto às duas últimas questões, emrelação à ordem, todas as duplasresponderam corretamente. Novamente,percebemos a dificuldade de interpretaro problema, de questionar o fator ordeme de saber qual processo de resoluçãousar.Como estávamos no nosso penúltimoencontro, decidimos fazer um debatemais prolongado, utilizando a árvore depossibilidades para auxiliar nainterpretação do problema e noraciocínio, novamente resgatando aimportância de como a representaçãopode auxiliar nesse tipo de problema.
Avaliação do encontro:Nesse encontro, começamos a observarque as duplas questionavam se era ounão importante à ordem dos elementos,mas tinham dificuldade em saber oprocesso de resolução a ser usado emcada tipo de problema. Acreditamos queos alunos que utilizaram a representaçãoou tentativa e erro, conseguiramdiferenciar um processo do outro. Nofinal do encontro, enfatizamos a questãoda ordem e mostramos qual processo deresolução deveriam seguir para osproblemas em que a ordem é importantee para os que a ordem não é importante.
4.2.7 Ficha 7Entregamos essa ficha e esperamos queas duplas resolvessem os problemaspropostos para depois familiarizar osalunos com as notações de arranjo,permutação e combinação.Algumas duplas ainda apresentaram oerro ordem, principalmente nos
problemas com enunciados diferentes ouos que exigiam mais de uma etapa deresolução.
1b 212 9 60
3 6Tabela 4.4: Desempenho das duplas nos problemas 1a, 1b, 2,
3, 4, 5, 6 da ficha 7
Nos problemas 1a e 1b, todas as duplasperceberam que a ordem era essencial econseguiram diferenciar que no item “a”deveriam usar três dos cinco númerosapresentados e no item “b” deveriamtrabalhar com todos números. Uma dasduplas respondeu sem justificar e asdemais justificaram através do princípiomultiplicativo.No problema 2, temos duas partes: a quepede o número de retas que podem serformadas passando pelos pontos dadosna circunferência e a que pede o númerode diagonais. Para a primeira parte temosnove duplas que acertaram e três queerraram, e para a segunda parte seisacertaram e seis erraram. Das duplas queacertaram a primeira parte, seteutilizaram o desenho apresentado naatividade, e das que acertaram a segundaparte, quatro utilizaram o desenho.Pudemos perceber que uma das duplasque errou as duas partes, desenhou asretas na circunferência apresentada naatividade, mas não respondeunumericamente à questão.Percebemos que as duplas apresentaramdificuldade em relacionar este tipo deproblema, que para eles seria geométrico,a um problema combinatório. Houvenecessidade de que a pesquisadorainterferisse, tentando associar esteproblema às atividades da ficha 5. Naparte do problema que pedia o número de
diagonais, as duplas apresentaramdúvida quanto ao conceito de diagonais.As duplas também apresentaram umagrande dificuldade no problema 3, ondeelas teriam que calcular a quantidade decomissões formadas por físicos ematemáticos. Inicialmente, as duplas nãoperceberam que teriam que formar,primeiro, a comissão dos físicos e,depois, a dos matemáticos, unindo asduas comissões. Novamente, houveinterferência da pesquisadora.Uma das duplas, cuja a solução foiclassificada como errada, não fez ejustificou que não sabia iniciar. Dasoutras quatro que erraram, uma só fez acomissão de físicos; outra representouas comissões, não terminou e usou oprincípio multiplicativo, considerando aordem importante; a terceira permutoutodos os matemáticos; a quarta juntou aquantidade de físicos com a dematemáticos e fez uma comissão de seispessoas. Das que acertaram, nenhumausou representação.No problema 4, todas as duplasperceberam que a ordem era essencial eresolveram-no corretamente, usando oprincípio fundamental da contagem.Tratava-se de um problema depermutação, utilizando-se figuras,semelhante às últimas atividades da ficha2.No problema 5, as duplas, a princípio,não conseguiram perceber que oalgarismo 2 teria que ficar fixo na casa domilhar. Então, começaram a questionar euma das duplas conseguiu notar que osnúmeros compreendidos entre 2000 e3000 começavam por 2. Essacompreensão foi colocada oralmente e asdemais duplas acabaram ouvindo,
questionando até conseguirem entendere aceitar tal raciocínio.Das cinco duplas que erraram, trêsesqueceram de eliminar o algarismo 2 etrabalharam com os 9 algarismos (9 x 8 x7 no lugar de 8 x 7 x 6). Pudemosperceber que interpretaram corretamentea questão da ordem. As outras duasresponderam sem justificar. As queacertaram usaram o princípiomultiplicativo.Para o problema 6, distribuímos canetascoloridas e deixamos o materialconfeccionado (material emborrachado) àdisposição das duplas que quisessemusá-lo.Cinco duplas não fizeram uso dessematerial, sendo que duas não chegaram anenhuma conclusão e não responderamao problema, e três encontraram umasolução. Dessas três, uma usou odesenho apresentado na ficha erespondeu que “teria que deixar doisespaços em branco”, a outra resolveuuma usando divisão (34 : 2) e a outra,multiplicação (16 x 2). As demais usaramo material e o desenho apresentado naatividade, percebendo que eraimpossível dar uma solução.Depois de discutida toda a soluçãoencontrada em cada um dos problemasapresentados na ficha, a pesquisadoraexplicitou os nomes para cada tipo deagrupamento e suas respectivasnotações.Enfatizamos, mais uma vez, a importânciade se analisar, em todos os problemas deanálise combinatória, se o fator ordemera ou não relevante no problema.Aproveitamos para diferenciar arranjo decombinação, mostrando que, paraarranjo, a ordem dos elementos é
essencial, enquanto que paracombinação, irrelevante.
Avaliação do encontro:Nesse encontro, ainda percebemos,conforme resultados encontrados naspesquisas de Batanero (1996, 1997),dificuldade em resolver os problemas emque a ordem é irrelevante. Notamos queas representações e o processo detentativa e erro foram praticamenteabandonados.Fazendo um levantamento da nossaseqüência, chegamos à conclusão de queprecisaríamos ainda de mais doisencontros para que pudéssemostrabalhar com outros tipos de situações-problema, principalmente aqueles queprecisassem de mais de uma etapa deresolução. Havia necessidade de maisproblemas de combinação simples,momento em que os alunosapresentaram maior dificuldade.
4.3 ANÁLISE DO DESEMPENHO DOSGRUPOS EXPERIMENTAL E DE
REFERÊNCIA NOS TESTESNessa seção, faremos a análise quantitativa do desempenho apresentado
pelos grupos experimental e de referência nos instrumentos diagnósticos, quais
sejam pré e pós-testes. Sempre que pertinente, compararemos os resultados
destes grupos.
Após a apresentação da tabulação numérica de cada um dos quatro pontos
de vista pelos quais analisaremos os dados, procederemos à discussão dos
resultados obtidos.
Antes de darmos procedimento à análise, gostaríamos de reiterar a
mudança na quantidade de participantes tanto no grupo experimental quanto no
de referência. Tal mudança foi necessária porque alguns sujeitos não
compareceram a todos os encontros previstos no experimento. Assim sendo, o
grupo experimental, que se iniciou com 28 sujeitos, perdeu três e ficou com 25
sujeitos; já o grupo de referência, que se iniciou com 30, perdeu seis e ficou com
24 sujeitos.
4.3.1 Análise Numérica e Gráfica do Percentual de Acertos dos
Grupos.
Apresentaremos, a seguir, a análise da porcentagem relativa de acertos de
cada grupo no pré e pós-testes. Em cada teste (pré e pós), havia 16 itens a serem
analisados. Como o grupo experimental era composto de 25 alunos, tivemos um
total de 400 possibilidades de acerto por teste. Já no grupo de referência,
composto de 24 alunos, 384 passa a ser o número de possibilidades de acerto
por teste. Dessa forma, obteremos a porcentagem relativa de acertos (de cada
grupo) nos pré e pós-testes.
Gráfico 4.1: porcentagem de acertos geral dos grupos
O gráfico, acompanhado da tabela, mostra-nos que o grupo experimental
teve maior desempenho tanto no pré como no pós-teste, sendo que no pré-teste
esta diferença foi ínfima (menos de 2%).
Observando o gráfico, surge uma questão: a diferença entre os dois
grupos, no pós-teste, seria estatisticamente significativa?
Para responder a tal questão, construímos um quadro com os acertos
globais de cada sujeito e fizemos um tratamento estatístico, para verificar a
significância de diferenças.
Escolhemos o teste estatístico de Mann-Whitney por ser adequado para
comparação de dois grupos independentes e o número de acertos por sujeito
constituir uma mensuração ordinal.
Os cálculos obtidos foram os seguintes: z = 2,56 e p = 0,0052. Como o
valor de p é inferior a α = 0,01, nossa decisão é rejeitar a hipótese de nulidade em
favor da hipótese alternativa. Concluímos, então, que a diferença obtida entre os
dois grupos (experimental e referência) é significativa. Isso quer dizer que o
melhor desempenho do grupo experimental sobre o grupo de referência não se
deu ao acaso.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Pré 7,50% 6,00%
Pós 53,20% 36,50%
Grupo experimental Grupo de referência
O grupo de referência, mesmo após haver estudado o conteúdo análise
combinatória proposto para o ensino médio, sendo submetido a três avaliações
antes de ser aplicado o pós-teste – o que implica maior contato com o objeto, em
comparação com o grupo experimental – acertou o equivalente a pouco mais de
um terço do pós-teste. No pré-teste, vale notar que o acerto em ambos os grupos
foi muito baixo. De fato, o pré-teste foi elaborado de tal forma que permitisse que
um aluno que não tivesse nenhum contato com o conteúdo análise combinatória
pudesse acertar no máximo 20%, o que está longe de ser realidade nos dois
grupos.
Com relação ao pós-teste, o percentual de acerto do grupo experimental foi
satisfatório, muito mais se considerarmos que os alunos só tiveram contato com o
objeto durante os encontros. Contudo, essa primeira apresentação dos resultados
é muito geral e não nos fornece dados suficientes para que possamos analisar o
comportamento desses alunos sob o ponto de vista da formação e do
desenvolvimento do conceito de análise combinatória. Para tanto, procuramos
realizar outros tipos de análise que apresentaremos nas seções a seguir.
4.3.2 Análise do Percentual de Acertos por Itens
A tabela a seguir representa o percentual de acertos de cada questão
apresentado pelos grupos nos dois testes. Temos a intenção de realizar tal
análise, visto que cada item foi elaborado de modo a privilegiar um determinado
processo de resolução. Com isso, poderemos observar em que pontos há
maiores dificuldades.
Faremos uma análise quantitativa de seus desempenhos em cada questão,
citando os principais tipos de erros. Uma análise global da categorização de erros
será apresentada mais adiante, com a finalidade de se obter uma visão mais
ampla dos caminhos que levaram o aluno ao insucesso.
Questões/ Grupo experimental Grupo de referência
Grupos 8ª série 2º colegial
Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste
Q1 a 72% 20% 50% 33%
Q1b 20% 8% 8% 25%
Q2 32% 76% 25% 42%
Q3a 0% 60% 0% 21%
Q3b 0% 44% 0% 12%
Q4a 0% 88% 4% 75%
Q4b 0% 84% 0% 42%
Q5a 0% 96% 0% 67%
Q5b 0% 44% 0% 38%
Q6a 0% 48% 0% 46%
Q6b 0% 52% 0% 46%
Q7 0% 28% 0% 4%
Q8a 0% 76% 0% 29%
Q8b 0% 32% 0% 17%
Q9 0% 28% 0% 17%
Q10 0% 72% 0% 71%Tabela 4.5: Percentual de acertos dos dois grupos, no pré e pós-teste, por itens.
A seguir, apresentaremos os gráficos de comparação da evolução por
questão do pré para o pós-teste e da comparação do percentual de acertos por
questão entre os dois grupos (no pós-teste).
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Q1 a
Q1b
Q2
Q3a
Q3b
Q4a
Q4b
Q5a
Q5b
Q6a
Q6b
Q7
Q8a
Q8b
Q9
Q10
q u estõ es
G ru p o e x p e rim e n ta l
P ré tes te P ós tes te
Gráfico 4.2: Desempenho dos grupos experimental e de referência no pré e pós-teste, por itens.
Observando o gráfico acima, notamos que o grupo de referência
apresentou uma porcentagem de acerto maior na questão 1 em relação ao grupo
experimental, não chegando, porém, a um resultado satisfatório. Nas questões
5b, 6a, 6b e 10, vemos que os dois grupos apresentaram quase a mesma
porcentagem de acerto, com uma diferença que varia de 1% a 6%. Nas demais
questões, o grupo de referência apresentou um percentual maior de acerto.
Notamos que na questão 1a, o rendimento de acerto do pós-teste caiu
substancialmente nos dois grupos, em relação ao pré-teste, sendo que a queda
do grupo experimental foi ainda mais acentuada. Na questão 1b, o número de
alunos que acertou no pré-teste também foi relativamente maior do que no pós-
teste. Outra questão que nos chamou a atenção foi a 5a, pois os dois grupos
apresentaram grande dificuldade no pré-teste (um acerto de 0 %) e, no pós-teste,
houve um bom rendimento, principalmente o grupo experimental, com 96% de
acertos. A questão 7 foi outra que nos chamou a atenção, já que, no pré-teste,
nenhum dos alunos dos dois grupos conseguiu acertar e, no pós-teste, o número
de acertos também foi pequeno para os dois grupos. O mesmo aconteceu com a
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Q1
a
Q1b
Q2
Q3a
Q3b
Q4a
Q4b
Q5a
Q5b
Q6a
Q6b
Q7
Q8a
Q8b
Q9
Q10
questões
Grupo de referência
Pré teste Pós teste
questão 9. Tais questões serão melhores comentadas a seguir, quando
iniciarmos a análise por questão.
Podemos, também, observar que os dois grupos mantiveram uma mesma
tendência de comportamento, exceto na questão 1b. Em outras palavras, à
exceção da questão 1b, todas as outras que o grupo experimental mais acertava
eram as que o grupo de referência também mais acertava, embora os percentuais
de acertos diferissem de um grupo para o outro. Assim, notamos que na questão
2 tanto o grupo experimental como o grupo de referência tiveram um percentual
de acerto maior do que em relação à questão 3a. Depois, na questão 4a, aumenta
o percentual de acerto, voltando a diminuir na questão 4b e novamente
aumentando na questão 5a.
A seguir, partindo dos resultados apresentados no gráfico 4.3, faremos a
análise para cada questão do pós-teste com relação aos dois grupos.
Gráfico 4.3: Resultado das questões do pós-teste com relação aos grupos experimental e de referência.
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
%
Q1 a
Q1b
Q2
Q3a
Q3b
Q4a
Q4b
Q5a
Q5b
Q6a
Q6b
Q7
Q8a
Q8b
Q9
Q10
questões
comparação entre os dois grupos no pós teste
8ª 'serie 2º colegial
Observando o item “a” da questão 1, podemos notar que os dois grupos
regrediram, não apresentando uma porcentagem de acertos satisfatória no pós-
teste. Nessa questão, foram marcados seis números, em um cartão do jogo da
sena, para se saber o número de quinas que poderiam ser formadas com eles. No
pós-teste, notamos que os alunos perceberam a irrelevância da ordem e usam o
princípio fundamental da contagem ou a fórmula de arranjo (grupo de referência),
no processo de resolução. No pré-teste, acreditamos que a apresentação de um
resultado mais satisfatório se deve ao fato de os alunos usarem o processo de
tentativa e erro e assim conseguirem perceber que, ao mudarem a posição de um
número, tinham a mesma quina formada, chegando a todas as possibilidades
possíveis e, conseqüentemente, ao resultado correto.
As figuras abaixo são os protocolos da questão 1 do pré e pós-teste de um
dos sujeitos do grupo experimental. Nela é possível observar as diferenças nas
estratégias de ação desse sujeito.
Extrato de protocolo da aluna 3 do grupo experimental -extraído do pré-teste
Extrato de protocolo da aluna 3 do grupo experimental -extraído do pós-teste
Podemos observar que no pós-teste a aluna começou a resolver por
tentativa e erro, tal qual o fez no pré-teste, mas desistiu e buscou resolver usando
o princípio multiplicativo, considerando a ordem importante, enquanto esta não o
era.
No item “b” da questão1, os alunos deviam calcular o número de quadras
possíveis. Podemos notar que os dois grupos apresentaram resultados
insatisfatórios, sendo que o grupo de referência evoluiu no pós-teste enquanto o
grupo experimental regrediu. A dificuldade apresentada pelo dois grupos foi
novamente não questionar o fator ordem. O grupo experimental obteve um
resultado um pouco melhor no pré-teste, pois efetivou o mesmo procedimento de
resolução do item “a”, por tentativa, onde novamente o fator ordem foi percebido
intuitivamente.
Podemos observar, a partir do exemplo anterior, que se a aluna tivesse
feito uso da representação também no pós-teste provavelmente chegaria à
resposta correta, pois perceberia que a ordem era irrelevante. Questionando as
resoluções apresentadas pelos alunos, pudemos observar que eles deixaram de
lado a representação e tentaram usar o processo mais econômico (princípio
fundamental da contagem ou fórmula, tratando-se do grupo de referência).
Depois de várias reflexões, achamos que deveríamos ter valorizado mais a
representação, desde o início da nossa seqüência didática. Por exemplo,
poderíamos ter criado uma atividade, onde eles trabalhassem com os volantes
dos jogos da sena ou outros jogos, e fazer um sorteio, usando uma urna de bingo.
Aí trabalharíamos com a troca da ordem dos números sorteados e
questionaríamos os alunos para que pudessem perceber que, mudando a ordem
dos números sorteados, estes teriam a mesma seqüência.
Nessa questão, também, podemos nos perguntar se os alunos não
obtiveram melhor resultado no pré-teste devido ao contrato didático estabelecido.
Isto é, no pré-teste eles não tinham conhecimento do conteúdo pedido e poderiam
resolver de uma forma mais livre; já no pós-teste, eles haviam estudado o
conteúdo e já possuíam conhecimento de outras formas de resolução sem ser a
representação. Por isso, talvez se tenham sentido na obrigação de utilizar o
conhecimento adquirido e quando foram usar o princípio fundamental da
contagem, esqueceram-se de questionar a ordem.
A questão 2 é um tipo de problema que o aluno já conseguiria resolver no
pré-teste, através da representação. Os dois grupos apresentaram uma
porcentagem insatisfatória no pré-teste, provavelmente por exigir do aluno a
interpretação do problema. Após o estudo do conteúdo Análise Combinatória, o
grupo experimental teve um crescimento satisfatório (76%), enquanto que o grupo
de referência, apesar de ter um crescimento em relação ao pré-teste, não chegou
a um resultado satisfatório (42%).
Nesta questão os alunos fizeram uso do desenho para resolver o problema.
Dessa forma, o tipo de representação através do desenho os auxiliou na
resolução e eles não o abandonaram durante a resolução do pós-teste, como
veremos em algumas questões adiante.
A questão 3 é referente à permutação dos elementos , onde o processo
correto de resolução seria através do princípio fundamental da contagem, ou
através da fórmula de permutação sem repetição. Nessa questão, uma
calculadora seria essencial para não haver erro de conta. Pudemos notar que no
pós-teste o grupo experimental obteve 60% de acerto, enquanto o grupo de
referência apenas 21%. O principal motivo que levou os grupos a uma resposta
incorreta no pré-teste foi constituído pela forte interpretação do verbo “distribuir”
que para eles significa dividir. Analisando o procedimento de resolução que os
alunos adotaram no pós-teste, foi possível notar que o principal motivo que levou
a resposta incorreta foi constituída pela correspondência do tipo um-para-muitos
entre dois conjuntos: Uma carta para 8 envelopes, como são 8 cartas, então
temos 8 x 8 possibilidades.
No item “b” da questão3, os alunos não teriam que usar todos os
elementos do conjunto (arranjo simples). Os dois grupos não tiveram
desempenho satisfatório. No pós-teste, acreditamos que o grupo experimental
não teve um desempenho satisfatório, para os alunos que acertaram o item “a”,
devido ao erro de conta ou a forte interpretação do verbo “distribuir”. Podemos
ressaltar, para os alunos que erram o item a, que continuou a correspondência do
tipo um-para-muitos. Este tipo de resolução apareceu freqüentemente nos
primeiros encontros da seqüência e tivemos grande dificuldade para ‘convencer’
algumas duplas de que elas estavam erradas ao usar esta correspondência.
Questão 4, item “a”, pede o número de anagramas que podem ser
formados através de uma palavra sem letras repetidas. Notamos que os dois
grupos evoluíram, apresentando uma porcentagem de acertos satisfatórios no
pós-teste.
Na questão 4, item “b” , já é dada uma palavra com duas letras (a)
(permutação com repetição). Pudemos notar que o grupo experimental obteve
84% de acerto, enquanto o grupo de referência apenas 42%. Nesse caso, para o
grupo de referência, durante a seqüência de ensino, valorizamos a fórmula de
permutação com repetição, enquanto que para o grupo experimental valorizamos
a árvore de possibilidades e o princípio fundamental da contagem, mostrando que
as possibilidades que são iguais devem equivaler a uma possibilidade,
diminuindo, assim, o número total de possibilidades. Talvez esta abordagem da
nossa seqüência tenha favorecido o bom desempenho do grupo experimental
nesse item, pois iniciamos o trabalho com problemas onde o número de letras das
palavras era pequeno e com poucas repetições. Só depois aumentamos a
quantidade de letras na palavra e a quantidade de letras repetidas. O que nos
levou a formular uma situação-problema deste tipo foram os trabalhos de
Batanero (1996, 1997), que mostra que um dos tipos de erros freqüentes no
estudo de análise combinatória é o de repetição.
Questão 5 item “a”, o grupo experimental atingiu quase que a totalidade de
acertos no pós teste (96%) e o grupo de referência é satisfatório (67%). Para o
grupo de referência foi valorizada a fórmula e dada a definição de arranjo,
enquanto que para o grupo experimental foi valorizado que a ordem tinha
importância e que poderia fazer através da árvore de possibilidades ou através do
princípio fundamental da contagem. Todos que acertaram do grupo experimental
trabalharam com o princípio multiplicativo.
No item “b” da questão 5, temos por objetivo analisar se o aluno perceberia
que a ordem, irrelevante, é um caso de combinação simples. Não foi apresentado
um bom resultado nem no grupo experimental (44%) nem no grupo de referência
(38%). Pudemos observar que alguns alunos do grupo experimental parecem ter
percebido que existia uma certa diferença do item “a” para o item “b”, resolvendo-
os de uma forma diferente, embora errônea. Outros consideraram a ordem
irrelevante,mas erraram no cálculo. Quanto ao grupo de referência alguns alunos
distinguiram a ordem como sendo irrelevante, mas erravam na aplicação da
fórmula.
Na aplicação da seqüência, mais do que nas aulas com o grupo de
referência, buscamos enfatizar a importância de se observar à ordem nos
problemas de combinação, pois esse tipo de erro já havia aparecido nos trabalhos
de Batanero. Pudemos observar que apenas um aluno do grupo experimental não
se preocupou em ver se existia alguma diferença do item “a” para o item “b” e
resolveu os dois itens usando o princípio multiplicativo e chegando ao mesmo
resultado. Os outros alunos perceberam que o item “a” da questão era diferente
do item “b”, mas não souberam que processo utilizar para resolver o item “b”.
Exemplificando, temos:
O aluno número 12 do grupo experimental respondeu à questão usando o
princípio fundamental da contagem: 6 x 5 x 4. Nesse caso, o aluno respondeu que
o número de resultados possíveis para os três primeiros lugares é igual para a
quantidade de comissões formadas por três alunos.
A aluna número 5 do grupo experimental respondeu à questão 5 item “a”
usando o princípio fundamental da contagem, conforme aluno número 12. A
questão 5 item b ela resolveu da seguinte maneira:
o correto seria (6 . 5.4) : 6
Extrato de protocolo da aluna 5 do grupo experimental -extraído do pós-teste
Podemos ver que a aluna considerou que o número de possibilidade
diminuiu, só que não soube que processo aritmético usar para a resolução. Nesse
caso, houve a interpretação correta do enunciado e sobre a questão ordem.
Observamos ainda que, nesta questão, no grupo experimental, apenas um
aluno errou o item “a”, pois quando foi resolver colocou sete alunos em lugar de
seis, mas fez o processo aritmético correto. Dos alunos que erraram o item “b”,
um aluno montou corretamente o processo, mas errou na divisão:
(6 x 5 x 4) : (3 x 2 x 1) = 2
e outros alunos não souberam por qual número dividir.
Podemos concluir então que os alunos questionaram o fator ordem, só que
eles ainda apresentam dificuldade no processo de resolução.
A questão 6 item “a”, do pós teste, pedia o número de tentativas para
achar o segredo de um cofre, constituído com letras e algarismos distintos. Nessa
questão, os dois grupos não apresentaram resultado satisfatório. Os erros
apresentados foram: erros de conta, operação aritmética incorreta, consideraram
que os algarismos de 0 a 9 são no total de 9 algarismos ou fizeram o número de
possibilidades das letras separadas dos números de possibilidades dos
algarismos.
Quanto ao item “b”, da questão 6, cujo segredo do cofre era formado por
letras e algarismos distintos ou não, o grupo experimental chegou a uma
porcentagem de acertos média (52%) enquanto o grupo de referência conservou
a mesma porcentagem de acerto do item “a” (46%).
Esta diferença no grupo experimental, entre os itens “a” e “b”, se deve ao
fato de o aluno ter errado no item “a”, a operação aritmética.
Novamente, percebemos que os alunos deixam a representação de lado e
também não conseguem definir a operação aritmética a ser usada. Tal resultado
evidencia que este é um fator com que devemos nos preocupar, quando
pretendemos passar da representação para a operação aritmética.
A questão 7 pedia a permuta de 3 coleções. No caso do pós-teste foi a
coleção de filmes, que deveria permanecer junto os da mesma categoria. No pós-
teste não tivemos bom resultados tanto no grupo experimental (28% de acertos)
como no grupo de referência (4% de acertos). Notamos que o principal erro
apresentado pelos alunos foi falha na interpretação do problema, onde eles
resolveram apenas uma etapa. Tivemos alunos que permutaram apenas as
categorias dos filmes e outros permutaram os filmes permanecendo a ordem das
categorias. Este tipo de problema foi trabalhado em vários exercícios propostos
no grupo de referência e apenas um exercício para casa no grupo experimental.
Nessa questão, levantamos duas hipóteses quanto ao insucesso na
resolução. 1) a interpretação errônea dos alunos se deve a um enunciado falho ou
2) a interpretação errônea se deve à dificuldade do aluno em pensar em mais
uma etapa de resolução.
Dos alunos que erraram, no grupo experimental, 4 fizeram a permutação
da coleção e dos filmes (no pós-teste), só que usaram a operação aritmética
incorreta, como no caso da aluna 17:
Extrato de protocolo da aluna 17 do grupo experimental -extraído do pós-teste
Nesse exemplo, podemos observar que a aluna permutou os dois filmes de
terror, os quatro filmes de romance e os três filmes de ficção científica, só que
somou as permutações dos filmes ao invés de multiplicá-las. A seguir, permutou
as 3 categorias de filmes e multiplicou corretamente com o resultado errado da
permutação de filmes. Novamente, temos um erro de operação aritmética
incorreta.
Temos, neste caso, 44% dos alunos que interpretaram corretamente o
enunciado e 56% que só fizeram uma permutação (ou só as categorias de filmes
ou só os filmes). Podemos afirmar, portanto, que a maioria dos alunos teve o
raciocínio combinatório, já que todos perceberam que se tratava de um problema
de permutação.
A questão 8, tanto no item a como no item “b”, pedia para encontrar o
números de anagramas de uma certa palavra de acordo com as condições dadas.
No item “a” do pós-teste, que pedia o número de anagramas da palavra
Chave que apresentam a sílaba VE, o grupo experimental obteve um resultado
satisfatório, com 76% de acertos, enquanto que o grupo de referência apresentou
um resultado baixo, 29% de acertos. Apesar, do grupo experimental não ter
trabalhado com este tipo de problema na seqüência, eles conseguiram utilizar
uma representação e perceber que a sílaba VE representava uma letra. É
possível que o trabalho que realizamos com as figuras da ficha 2, na qual o aluno
tinha que lançar mão da representação para interpretar o problema, tenha
ajudado o grupo experimental a conseguir uma melhor resultado.
No item “b”, não obtivemos grandes sucessos em nenhum dos dois grupos.
Pedia-se nesse item que o aluno calculasse o número de anagramas que
começavam por consoante e terminavam por vogal. No grupo experimental
tivemos alguns alunos que permutavam as consoantes e as vogais, mas
esqueciam de permutar as letras que ficariam entre elas, ou então, que erravam
no processo de permutação. Esse tipo de erro também aconteceu no grupo de
referência, mas em menor porcentagem. Tal qual o item “a”, este item também
requeria do aluno mais do que uma etapa no processo de resolução e,
novamente, pudemos observar que alguns alunos faziam apenas uma das
etapas, isto é, permutavam apenas as consoantes iniciais e vogais finais das
palavras. O exemplo abaixo, retirado do protocolo da aluna 25 do grupo
experimental, ilustra bem este caso.
Extrato de protocolo da aluna 25 do grupo experimental -extraído do pós-teste
Notamos, no exemplo acima, que a aluna troca as letras do meio, quando
faz a representação das possibilidades por tentativa e erro, mas sua maior
preocupação é com a permutação das consoantes e das vogais. Quando
resolveu aritmeticamente, fez apenas o calculo das consoantes iniciais e das
vogais finais.
Já a aluna número 17 pensou em todas as etapas da permutação, mas
errou no número de letras da permutação central, como podemos notar no trecho
de seu protocolo abaixo transcrito:
Extrato de protocolo da aluna 17 do grupo experimental -extraído do pós-teste
Na questão 9, os alunos tinham que calcular o número de triângulos que
poderiam ser formados com os pontos marcados em duas retas paralelas.
Novamente os dois grupos apresentaram baixos índices de sucesso (grupo
experimental – 28% de acertos e grupo de referência – 17% de acertos). Ao
analisar os protocolos, identificamos que a maior deficiência dos alunos estava na
interpretação do número de combinações deveriam ser feitas. Isto é, não bastava
somar os pontos e fazer a combinação entre 3 pontos. Alguns alunos desenharam
as retas e os pontos e tentaram construir os triângulos, obtendo o número de
possibilidades existentes referentes aos triângulos que conseguiram desenhar.
Outros apresentaram apenas uma solução numérica sem justificar a respostas.
Nossa expectativa para este problema era a de que o grupo de referência
apresentasse um bom desempenho, obtendo resultados melhores do que o outro
grupo, uma vez que os alunos do grupo de referência já haviam resolvido em aula
problemas muito semelhantes a esse. Quanto ao grupo experimental, esta era a
primeira vez, depois do pré-teste, que os alunos se deparavam com esse tipo de
situação. De fato, durante a seqüência de ensino, não apareceram problemas
deste tipo, o que nos leva a ponderar que isto foi uma lacuna da nossa seqüência.
Observamos que os dois grupos fizeram uso do desenho para resolver o
problema, mas a quantidade de triângulos a serem desenhados era numerosa, o
que dificultava a representação. Alguns alunos usaram o processo aritmético, mas
não levaram em consideração que se os três pontos pertenciam à mesma reta
formar-se-ia um segmento de reta e não um triângulo. A figura abaixo ilustra o
procedimento de uma aluna (No 10 do grupo experimental), que considerou
apenas os triângulos que saíam dos 4 pontos da reta r:
Extrato de protocolo da aluna 10 do grupo experimental -extraído do pós-teste
Por fim, a questão 10 solicitava o conceito de arranjo e combinação.
Pretendíamos observar se os alunos conseguiriam diferenciar estes dois tipos de
agrupamentos ou, pelo menos, identificar quando a ordem é essencial ou não.
Apesar de os alunos terem apresentado dificuldade durante o teste em
distinguirem ser a ordem irrelevante ou não, os dois grupos apresentaram uma
porcentagem de acertos satisfatória, o grupo experimental apresentou 72% de
acertos e o grupo de referência 71% de acerto.
Observando os resultados como um todo, notamos que, para ambos os
grupos, a dificuldade surgia em questões que exigiam uma interpretação mais
cuidadosa do enunciado, isto é, quando eles teriam que resolver o problema em
duas ou mais etapas ou quando tinham que questionar se a ordem era essencial
ou não. Baseadas no percentual de sucesso que o grupo experimental
apresentou no pós-teste para os itens relacionados a esses dois pontos,
constatamos que precisaríamos ter trabalhado mais esses pontos em nossa
seqüência.
4.4 ANÁLISE DOS TESTES POR OBJETIVO
No capítulo 3, definimos os objetivos de nossa seqüência e elaboramos os
testes tendo em vista tais objetivos. Faremos, então, uma análise do desempenho
dos dois grupos sob a óptica desses objetivos, os quais servirão como mais um
termômetro para avaliar a aprendizagem do conceito de Análise Combinatória.
A seguir apresentaremos os objetivos contidos nos teste, definindo e
exemplificando cada um. Estes estarão indicados neste contexto por algarismos
romanos.
I – apresentar raciocínio combinatório;
Nesse objetivo, observamos se os alunos apresentaram o raciocínio
combinatório para a resolução de problemas de análise combinatória, não
importando se chegaram ou não ao resultado correto.
Os dois casos abaixo foram retirados dos protocolos de dois sujeitos do
grupo experimental. Eles ilustram o que consideramos como objetivo alcançado,
embora a resposta final esteja incorreta. No primeiro exemplo (resolução da aluna
2 à questão 3 do pós-teste), está clara a presença do raciocínio combinatório,
mas há erro na interpretação da ordem:
Extrato de protocolo da aluna 2 do grupo experimental -extraído do pós-teste
O segundo exemplo, abaixo ilustrado, vem da questão 7 do pós-teste. A
aluna número 25 também apresentou raciocínio combinatório mas resolveu
apenas a permutação das categorias de filmes:
Extrato de protocolo da aluna 25 do grupo experimental -extraído do pós-teste
II – registros de representações;
Nosso objetivo consiste em observamos se os alunos usaram algum tipo
de representação para interpretar e resolver os problemas.
Exemplificaremos o objetivo apresentando a resolução do aluno 18 grupo
experimental à questão 1 do pós-teste. Este aluno esquematizou as cidades e as
estradas para chegar ao número total de possibilidades.
C
A
III – diferenc
Aqui os, al
palavras com letra
mesma quantidad
alunos percebam
quantidade de an
chegaram ao resul
Como exem
em que ele utilizo
1 0
2B 120 + 40 = 160
i
u
s
e
a
ta
p
u
8
Dar permutação
nos precisam
repetidas di
de letras, só
que as pala
gramas que
do correto.
lo, temos a r
a estratégia
1
m
r
e
5
simples de permutação com repetição;
notar que a quantidade de anagramas para
inui em relação a uma palavra que contém a
que todas diferentes. O importante é que os
vras com letras repetidas irão formar uma
epresentarão apenas um, não importando se
solução do aluno 15 à questão 4 do pós-teste.,
de tentativa e erro, chegando a perceber que
algumas possibilidades eram iguais, mas não chegou ao resultado correto. Neste
caso consideramos que o aluno atingiu o objetivo.
Extrato de protocolo da aluna 15 do grupo experimental -extraído do pós-teste
IV – utilização do princípio fundamental da contagem ou fórmula;
Neste objetivo: observamos, para o pré-teste, se os alunos faziam uso do
princípio fundamental da contagem de forma intuitiva e para o pós-teste
observamos se preferiam fazer uso do princípio multiplicativo ou da fórmula (no
caso da turma de referência), ou ainda se usavam a representação.
V – diferenciar arranjo simples de arranjo com repetição;
Observamos se os alunos percebiam a diferença entre elementos distintos
e não distintos, para o procedimento de resolução.
A resolução da aluna 6 do grupo experimental é um bom exemplo.
Observamos que a aluna atingiu o objetivo, mas não chegou ao resultado correto,
pois errou na operação aritmética a ser usada (somou ao invés de multiplicar o
número de possibilidades de letra com o número de possibilidades de
algarismos). Neste caso consideramos o objetivo atingido, embora o resultado
não esteja correto.
Extrato de protocolo da aluna 6 do grupo experimental -extraído do pós-teste
VI – interpretar os problemas combinatórios em relação à ordem;
Aqui, observamos se os alunos resolviam os problemas combinatórios
questionando a importância da ordem, mesmo que não chegassem ao resultado
correto.
A aluna 17 do grupo experimental alcançou o objetivo, percebendo que
conforme se mudava a ordem dos mesmos elementos, obtinha-se a mesma
possibilidade, só que não calculou a quantidade de possibilidades que
representariam uma única possibilidade.
Extrato de protocolo da aluna 17 do grupo experimental -extraído do pós-teste
VII – interpretação de todas as etapas.
Este objetivo está bem exemplificado na questão 1 do pós-teste, onde a
primeira etapa requer a permutação das categorias dos filmes e a segunda, a
permutação dos filmes por categoria. Depois, é preciso multiplicar os resultados
das duas permutações. Observamos se os alunos faziam a resolução das duas
etapas, conforme ilustra o protocolo da aluna 2 do grupo experimental:
Extrato de protocolo da aluna 2 do grupo experimental -extraído do pós-teste
Gostaríamos de enfatizar que dificilmente uma questão envolvia apenas
um dos objetivos citados. Então, para realizar esta análise, relacionamos cada
questão aos seus objetivos principais, como mostra a tabela a seguir:
Objetivos QuestõesI 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9II 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 e 9III 4IV 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9V 6VI 1 e 5VII 7 e 9
Tabela 4. 6: Questões e seus principais objetivos
Na elaboração desta tabela, não separamos as questões por itens, pois
quando as elaboramos, os itens seriam um modo de atingir os objetivos
desejados. Exemplificaremos através da questão 5, onde no item “a” os alunos
teriam que notar que a ordem é essencial e no item “b” a ordem não era
essencial. Então, os dois itens foram elaborados para que pudéssemos observar
se os alunos interpretavam em relação a ordem.
Para esta análise, continuaremos com a relação numérica entre as
questões do pré e pós-testes, a qual apresentaremos a seguir:
Pré-teste Pós-teste Questão – nº
Q1 Q3 1
Q2 Q5 2
Q3 Q6 3
Q4 Q2 4
Q5 Q7 5
Q6 Q9 6
Q7 Q1 7
Q8 Q4 8
Q9 Q8 9
Tabela 4. 7: Relação numérica entre as questões do pré e pós-teste.
A questão 10 do pré e pós-teste não será analisada quanto ao objetivo,
pois não consideramos de extrema importância que os alunos saibam as
definições de arranjo e combinação e, sim que consigam diferenciar estes dois
tipos de agrupamentos na resolução do problema, questionando a ordem.
A tabela a seguir mostra a correspondência dos objetivos com as
porcentagens de sucessos, para cada grupo nos pré e pós-testes.
Grupo experimental Grupo de referênciaobjetivos
PRÉ-TESTE % PÓS-TESTE % PRÉ-TESTE % PÓS-TESTE %
I 27,5 84 25 61,1
II 45,8 25,3 33,3 13
III 8 84 4 45,8
IV 0,4 76,5 0,5 58,8
V 0 68 0 58,3
VI 30 42 25 39,6
VII 0 40 0 12,5
Gráfico 4.4: Resultado atingido no pré e pós-teste por objetivo
Fazendo uma análise do desempenho do grupo experimental com relação
aos objetivos, notamos que a tabela mostra que não conseguimos atingir um
resultado satisfatório nos objetivos II, VI e VII. Analisando estes objetivos,
observamos que no objetivo II (registros de representações) houve uma queda
em relação ao uso das representações para auxiliar na resolução dos problemas
do pós-teste. Apesar da sua importância como ferramenta para produzir a
solução, os alunos preferiram usar o processo aritmético conveniente. Alguns
alunos que fizeram uso da representação para resolver o problema construíram
um desenho, ou um diagrama inadequado causando uma interpretação errônea.
0
20
40
60
80
100
I II III IV V VI VII
o bje tivo s
Gr u p o e xp e r im e n tal
0
20
40
60
80
100
I II III IV V V I V II
o b je tiv o s
Gr u p o de r e fe r ê n cia
Pré-teste %
Pós-teste %
Gráfico 4.5 : Comparação entre os dois grupos no pós-teste
Quanto ao objetivo VI (interpretar os problemas combinatórios em relação à
ordem), observamos que o fator representação pode ter interferido no insucesso
dessa meta, visto que na questão 1, como já analisamos anteriormente, quando
os alunos resolveram escrevendo as possibilidades (no pré teste), eles notaram
que a ordem era irrelevante, já no pós-teste onde eles não fizeram a
representação, não houve um percentual de acerto satisfatório.
Este objetivo consiste em diferenciar os critérios de arranjo e combinação.
Podemos perceber que este objetivo não é alcançado principalmente nos
problemas de combinação. Na questão 1 observamos que o índice de sucesso
deste objetivo foi pequeno, em relação a questão 5, onde os alunos conseguirem
observar que o número de possibilidade diminuía, mas não conseguiam achar o
processo aritmético correto para resolver a questão.
Em relação ao objetivo VII (interpretação de todas as etapas), apesar do
resultado apresentado ter sido insatisfatório, notamos que houve um crescimento
no percentual de acerto com relação a este objetivo (de 0% para 40%). Vale a
pena pontuar que não foi trabalhado este tipo de problema durante a seqüência.
Podemos observar que na questão 7 poucos alunos questionaram se deveriam
permutar as categorias dos filmes ou os filmes ou os dois, isto é, consideram
apenas um subconjunto de todas as permutações.
0102030405060708090
100
I II III IV V VI VII
objetivos8ª série
2º colegial
Quanto aos outros objetivos envolvidos nos teste (I, III, IV, e V),
consideramos de maneira satisfatória. Em relação ao objetivo V (diferenciar
arranjo simples de arranjo com repetição), em que 68 % dos alunos responderam
a contento, também há fortes indícios de que os fatores interpretação e
representação tenham contribuído para não elevar este índice. Embora a maioria
dos alunos tenha acertado a questão relativa ao objetivo III (diferenciar
permutação simples de permutação com repetição), notamos a necessidade de
trabalhar com outros tipos de problemas que envolvam estes dois tipos de
situações, a fim de garantir que os alunos possam ter um bom desempenho
nesse objetivo, pois alguns alunos consideram a possibilidade de não repetir os
elementos quando podem faze-los ou vice e versa.
Já o grupo de referência dos sete objetivos analisados atingiu de forma
pouco satisfatória apenas três objetivos (I, IV e V). Quanto ao objetivo I
(apresentar raciocínio combinatório), notamos que, nesse grupo, o aprendizado
do conteúdo baseado em técnicas de cálculo não desenvolveu um raciocínio
combinatório tão satisfatório quanto o do grupo experimental. Visto que
consideramos que este é um dos objetivos necessário para o aprendizado do
conteúdo análise combinatória, pois o primeiro passo é aprender combinar os
elementos, depois saber identificar se repete os elementos ou não, se a ordem
dos elementos tem importância ou não, se existe mais de uma etapa ou não e
qual operação aritmética (ou fórmula deverá ser usada).
Através dos dados da tabela, pudemos observar que os alunos no pré-teste
já apresentavam algum raciocínio combinatório e nos pós-teste notamos que este
raciocínio foi desenvolvido de maneira satisfatória nos dois grupos, principalmente
no grupo experimental.
Nos demais objetivos (II, III, VI e VII), não conseguimos um resultado
satisfatório. Notamos que o objetivo II (registros de representações) também
registrou uma queda em relação ao pré-teste, conforme observado no grupo
experimental. Para o grupo de referência, já era esperado não atingir
satisfatoriamente este objetivo, pois a seqüência apresentada no livro didático não
valorizou a representação. Para o grupo experimental, esperávamos um resultado
mais satisfatório, pois tentamos sempre fazer uso da representação em todas as
atividades apresentadas. É difícil analisar o porquê de os alunos não usarem a
representação, depois de aprenderem o princípio fundamental da contagem, mas
analisando os comentários dos alunos durante a seqüência de ensino no grupo
experimental, percebemos que os alunos procuram sempre o processo mais
econômico de resolução, o que no caso vem ser o uso de fórmulas ou de uma
operação aritmética. Podemos, também, analisar o comportamento dos alunos
quando aplicamos o pré-teste e até mesmo quando começamos a nossa
seqüência. Eles apresentaram uma certa resistência em resolver um conteúdo
desconhecido, pois não sabiam como resolver os problemas apresentados. Este
comportamento nos faz concluir que os alunos não estão acostumados a usar
uma representação para desenvolver o raciocínio no nosso ensino tradicional e de
repente fica difícil quebrar este contrato já estabelecido há um tempo de sua vida.
O objetivo VII (interpretação de todas as etapas) foi o grupo que
apresentou menor desempenho nas questões relacionadas a este objetivo, visto
que foi um tipo de problema explorado durante o aprendizado do conteúdo,
durante a seqüência apresentada no livro didático. O livro apresentou vários
problemas em que os alunos teriam mais de uma etapa de resolução,
principalmente em problemas de permutação e combinação.
É interessante destacar que o objetivo VI (interpretar os problemas
combinatórios em relação à ordem) também atingiu um percentual baixo de
desempenho, nesse grupo de referência.
Para esse objetivo, observamos que nenhum dos grupos sai do patamar
zero no pré-teste, mas não atinge um percentual significativamente maior no pós-
teste. Conforme pesquisas de Batanero, notamos que este tipo de erro é
freqüente na resolução de problemas combinatórios. Podemos observar que nos
resultados obtidos para este objetivo VI nenhuma das duas seqüências aplicadas
para os dois grupos deu conta para que a maioria dos alunos pudesse interpretar
se a ordem era importante ou não, e conforme mostrou Batanero (1996) este tipo
de erro acontece principalmente nos problemas de combinação, justamente o que
acontece nos teste aplicados para os dois grupos.
Durante a seqüência elaborada para o grupo experimental, trabalhamos
com situações-problema que pudessem diferenciar arranjo de combinação, mas
parece que não foi o suficiente para que os alunos pudessem questionar, durante
a interpretação do problema se a ordem era essencial ou não. No nosso ponto de
vista, deveríamos ter trabalhado com situações-problema em que os alunos
pudessem fazer uso apenas da representação para chegar ao número de
resultados possíveis, sem induzi-los ao princípio fundamental da contagem.
4.5 ANÁLISE DO DESEMPENHO DOS SUJEITOS POR GRUPO
Neste momento, faremos um estudo do desempenho e da evolução dos
alunos nos testes aplicados. Para tanto, enumeramos os alunos do grupo
experimental (de 1 a 25) e os alunos do grupo de referência (de 1 a 24). Vale
lembrar que os dois testes possuíam 16 itens cada, portanto o número máximo de
acerto por aluno é 16. A tabela a seguir indica o número de acertos por aluno no
pré e no pós-teste e a porcentagem de acerto no pós-teste.
Alunos Pré-testeNº de acertos
Pós-testeNº de acertos
% de acertos dopós-teste
1 1 2 12,5
2 1 13 81,25
3 3 6 37,5
4 1 10 62,5
5 1 12 75
6 2 12 75
7 0 5 31,25
8 0 4 25
9 3 11 68,75
10 2 11 68,75
11 0 9 56,25
12 0 6 37,5
13 1 12 75
14 1 6 37,5
15 1 5 31,25
16 1 10 62,5
17 2 11 68,75
18 3 11 68,75
19 2 7 43,75
20 0 3 18,75
21 1 4 25
22 0 11 68,75
23 1 15 93,75
24 1 7 43,75
25 0 11 68,75Tabela 4.8: desempenho dos alunos – Grupo experimental
Analisando a tabela, podemos observar que todos os sujeitos do grupo
experimental apresentaram evolução. Apenas 20% dos alunos (5 alunos) seriam
aprovados com um acerto maior ou igual a 75% da avaliação e 56% (14 alunos)
de nossa amostra experimental teria condições de ser aprovado, segundo os
parâmetros da escola. O aluno “1” foi aquele que apresentou um menor
crescimento em seu desempenho, visto que no pré-teste acertou uma questão e
no pós-teste 2 questões, ou seja menos da metade do teste. Os alunos “3”, “7”,
“8”, “12”, “14”, “15”, “19”, ”20”, “21” e “24” também não apresentaram um
crescimento satisfatório, apesar de apresentarem uma certa evolução em relação
ao pré-teste. Os demais sujeitos apresentaram um bom desempenho. O aluno
“23” foi o que apresentou melhor desempenho, sendo que, no pré-teste, havia
acertado 1 questão e no pós-teste, 15 questões, quase a totalidade. Podemos
ressaltar o aluno número “18”, que em três itens o erro foi de conta, sendo que de
11 itens acertaria 14 no pós-teste. O mesmo ocorreu com os alunos “9” e “10”, o
primeiro em 2 itens errou em conta, e o segundo, em 1 item, passando o número
de acertos para 13 e 12, respectivamente, no pós-teste. Mesmo assim,
acreditamos ter atingido uma boa parte dos nossos objetivos através da aplicação
da nossa seqüência.
A seguir apresentaremos a mesma análise para os sujeitos do grupo de
referência.Alunos Pré
Nº de acertosPós
Nº de acertos% de acertos do
pós-teste1 0 1 6,252 0 3 18,753 0 4 254 2 10 62,55 4 8 506 1 9 56,257 0 5 31,258 2 7 43,759 1 10 62,5
10 0 0 011 0 10 62,512 1 8 5013 0 2 12,514 1 7 43,7515 0 1 6,2516 1 9 56,2517 1 4 2518 1 2 12,519 1 8 5020 0 3 18,7521 3 15 93,7522 0 6 37,523 2 7 43,7524 1 1 6,25
Tabela 4.9: desempenho dos alunos – Grupo de referência
Consultando a tabela, notamos que apenas 33,3% dos alunos (8 alunos)
tiveram um acerto maior ou igual a 50% do pós teste sendo que 4,2% (1 aluno)
atingiu um percentual maior que 75%. Em relação aos outros dezesseis alunos
dessa amostra, o desempenho apresentado foi insatisfatório, sendo que dois
alunos não apresentaram nenhum crescimento do pré para o pós-teste (alunos 10
e 24). Com isso, menos de um terço da amostra teria condições de ser aprovado,
segundo os parâmetros da escola. O aluno “21” apresentou um crescimento bem
satisfatório, acertou 93,75% das questões, visto que no pré-teste acertou 3
questões e no pós teste 15 questões (quase a totalidade). E ainda temos os
alunos “8”, “9”, “12” e “13” que erraram em conta em um item, assim passariam de
7 acertos para 8, de 10 para 11, de 8 para 9 e de 2 para 3 acertos,
respectivamente. Tivemos 10 alunos que tiveram rendimento menor ou igual a
25%, que representa 42% da amostra. Podemos também ressaltar ao aluno
número 5 que, apesar de atingir 50% de acerto no pós-teste, não obteve grande
evolução do pré para o pós-teste (acertou 4 questões no pré-teste e 8 questões
no pós-teste).
Convém novamente ressaltar que esta turma estudou todo o conteúdo de
análise combinatória desenvolvido na segunda série do ensino médio, ou seja,
teoricamente teria muito mais chance de obter um resultado satisfatório, visto que
teve mais contato com esse tópico, se comparado com o grupo experimental.
Além disso, realizaram o pós-teste como uma atividade que comporia a nota do
bimestre. Com esta atitude, acreditamos ter obtido um resultado mais realista da
situação de aprendizagem do grupo de referência.
Faremos uma comparação entre os grupos de referência e experimental.
Para esta comparação, nós fizemos a diferença entre os acertos do pré para o
pós-teste, isto é, para um aluno que acertou 2 questões no pré teste e 10
questões no pós teste a diferença foi de 8 questões. Na primeira coluna da tabela,
colocamos esta diferença, na segunda coluna a quantidade de alunos do grupo
experimental e na terceira coluna a quantidade de alunos do grupo de referência.
Diferença entre osacertos nos pré e
pós-testes
Experimental Referência
0 0 2
1 1 3
2 0 1
3 3 3
4 2 2
5 3 3
6 2 2
7 0 2
8 2 3
9 5 1
10 1 1
11 4 0
12 1 1
14 1 0
Tabela 4.10: evolução dos alunos do pré para o pós-teste
Analisando a tabela, podemos observar que todos os sujeitos do grupo
experimental apresentaram uma evolução, mesmo que mínima, enquanto que no
grupo de referência tivemos dois sujeitos que não apresentaram qualquer
evolução. Notamos que 46% dos sujeitos do grupo de referência acertaram até 4
questões a mais em relação ao pré-teste contra 24% do grupo experimental.
Acima de 4 questões, obtivemos 54% dos sujeitos do grupo de referência contra
76% dos sujeitos do grupo experimental.
4.6 ANÁLISE QUALITATIVA DAS DUPLAS.
Nesta seção, faremos uma análise do processo interacional ocorrido no
interior de três duplas durante a seqüência de ensino e uma análise dos
processos de evolução dos alunos em relação aos pré e pós-testes. Como
estamos levando em conta o construto teórico ZDP, fizemos uma observação
mais detalhada do processo interacional ocorrido em três das doze duplas do
grupo experimental, as quais foram escolhidas aleatoriamente. Essas
observações foram feitas através de gravações, filmagens e anotações durante o
encontro.
4.6.1 Dupla A: Alunas número 1 e número 18
A primeira constatação que podemos fazer das componentes da dupla é
que, quantitativamente, os desempenhos delas foram díspares. A aluna número
18 apresentou uma grande evolução do pré para o pós-teste, ao passo que a
aluna número 1, uma evolução mínima, como mostra a tabela abaixo:
Alunas Pré Pós
Nº 1 1 2
Nº 18 3 11
A transcrição das gravações ao longo da seqüência nos informa que era a
aluna número 18 quem resolvia todas as atividades da seqüência de ensino, mas
sempre com a preocupação de expor o seu raciocínio para a aluna número 1.
Esta assumia o papel passivo de aceitar o processo de resolução feito por seu
par, sem discuti-lo ou dele discordar, embora parecesse estar atenta à explicação
dada. Quanto à interlocução com a pesquisadora, isso era sempre feito pela aluna
número 18, por meio de questionamento sobre o entendimento do problema ou
exposição de suas dúvidas em relação a como resolver as atividades. Embora
quantitativamente possamos afirmar que não houve evolução no aprendizado da
aluna número 1, o mesmo não é verdade do ponto de vista qualitativo, como
mostraremos a seguir:
Na questão 2 do pré-teste, a aluna fez um esquema e não chegou a
nenhuma resposta; já no pós-teste ela, não só se utilizou de um esquema como, a
partir dele, calculou o número de possibilidades de cada caminho. O que faltou foi
fazer o somatório das possibilidades, obtendo, assim, o total. Podemos perceber
que a aluna atingiu o objetivo referente a apresentar raciocínio combinatório,
embora não tenha realizado a segunda etapa do problema.
Extrato de protocolo da aluna 1 do grupo experimental – extraído do pré-teste
Extrato de protocolo da aluna 1 do grupo experimental – extraído do pós-teste
Essa evolução também pode ser observada ao compararmos o processo
de resolução de tal aluna nas questões 7 do pré e do pós-teste.
No pré-teste, a aluna não apresentou nenhum raciocínio combinatório.
Tudo o que ela fez foi listar os conjuntos e indicar que havia 2 Beatles, 4 Rolling
Stones e 3 Dire Straits. No pós-teste, a aluna voltou a apresentar raciocínio
combinatório. Ela fez a permutação das categorias dos filmes, embora não tenha
feito a permutação dos filmes; conseqüentemente, não multiplicou os resultados.
Extrato de protocolo da aluna 1 do grupo experimental – extraído do pré-teste
Extrato de protocolo da aluna 1 do grupo experimental – extraído do pós-teste
Até agora, fizemos uma análise parcial da aluna número 1, mostrando que
qualitativamente ela apresentou uma evolução na direção de se apropriar do
conceito de combinatória, diferindo dos resultados quantitativos. Neste momento,
começaremos uma análise mais geral desta aluna.
No pré-teste, pudemos observar que a discente apresentou raciocínio
combinatório nas questões 1, 4 e 8. Em todas elas, o procedimento adotado foi
tentativa e erro. Esse procedimento deu conta de resolver apenas o item 1a,
ficando o item 1b e as questões 4 e 8 sem apresentar todas as possibilidades
possíveis. Nas demais, questões a aluna não apresentou nenhum raciocínio
combinatório. Na questão 3, podemos notar que a palavra “distribuir” foi
associada a “dividir”.
Durante a seqüência de ensino, não foi possível avaliar o desempenho da
aluna, pois, como explicamos anteriormente, ela deixava que a aluna 18
desenvolvesse o processo de resolução das atividades apresentadas.
No pós-teste, observamos que a aluna iniciou a resolução de todas as
questões através da representação. Na questão 1, ela resolveu o item “a” do
mesmo modo que resolveu no pré-teste, por tentativa e erro, encontrando as 6
possibilidades, mas a seguir colocou uma multiplicação (12 x 5) e apresentou o
resultado dessa multiplicação como o número total de possibilidades. Na primeira
parte da questão 3, não mais associou a palavra “distribuir” a “dividir”, resolvendo-
a corretamente, mas na segunda parte (onde faltava envelope para a quantidade
total de cartas), ela voltou a resolver por tentativa e erro. Seu protocolo mostra
que ela fez algumas tentativas de sistematização para encontrar todas as
possibilidades e depois, mais abaixo, voltou a associar a palavra “distribuir” com
“dividir”, como havia feito no pré-teste. Observamos que quando a aluna se
utilizava do método de tentativa e erro e o número de possibilidades a serem
encontradas era muito grande, este não funcionava, pois ela não conseguia
encontrar um procedimento que a levasse a encontrar todas as possibilidades.
Batanero (1996, 1997) encontrou tal tipo de procedimento muito freqüentemente
em seus trabalhos. Podemos classificá-lo como a primeira etapa na aquisição do
raciocínio combinatório.
Podemos, então, concluir que a aluna 1 partiu de praticamente nenhum
raciocínio combinatório (no pré-teste) e ao final da seqüência já apresentava os
primeiros rudimentos desse raciocínio. Nossa hipótese para explicar o pouco
avanço desta aluna vem do contrato implícito que a dupla estabeleceu. De fato, o
papel ativo, necessário na construção do conhecimento, foi assumido apenas pela
aluna 18, e o processo de interação entre as alunas – onde a troca de
conhecimento e dúvidas, a discussão e discordância como posterior
convencimento das idéias de um dos elementos sobre o outro – não ocorreu.
Quanto à aluna número 18, observando qualitativamente o seu pós-teste,
notamos que a mesma errou apenas a questão 1, onde considerou a ordem
importante enquanto esta não era. Nas questões 7 e 3, a aluna resolveu
corretamente, só que errou em conta.
Em relação ao pré-teste, ela só “regrediu” quantitativamente na questão 1,
pois acertou no pré-teste e não no pós-teste. No pré-teste, a resolução
apresentada pela aluna foi por tentativa e erro, acertando os dois itens da
questão, e no pós-teste usou o princípio fundamental da contagem e, quando fez
uso desse procedimento, acabou não percebendo a questão da ordem dos
elementos, conforme havia percebido quando resolveu por tentativa e erro.
4.6.2 Dupla B: Alunas número 3 e número 8
A transcrição das filmagens, ao longo da seqüência, informa-nos que as
alunas discutem muito entre si, mas quem, na maioria das vezes, conduz a
resolução é a aluna número 3. Comparando essa dupla com a dupla A,
constamos que a “B” apresentou uma interação bem maior, pois todo processo de
resolução que a aluna 3 começava a aluna 8 questionava e vice-versa.
A partir da ficha 2, a dupla sentiu mais dificuldade e, sempre que possível,
as estudantes pediram a interferência da pesquisadora, expondo as dúvidas ou
questionando sobre a interpretação do problema.
Analisando as fichas apresentadas e seguindo as filmagens, constatamos
que esta dupla sempre iniciava as atividades da seqüência de ensino usando o
procedimento de tentativa e erro, para encontrar o total de possibilidades.
Notamos, ainda, que este tipo de resolução foi abandonado no pós-teste. Na
transcrição da filmagem e usando as observações feitas durante os encontros,
percebemos que a dupla apresentou dificuldade em resolver as atividades
propostas, mas. ao mesmo tempo, as alunas tentavam vencer a dificuldade.
Tal dupla teve uma interação muito boa entre si e com a pesquisadora,
mas não foi o suficiente para um bom desempenho no pós-teste pelo ponto de vista
quantitativo, como mostra o quadro abaixo:
Alunas Pré Pós
Nº 3 3 6
Nº 8 0 4
Fizemos uma análise do desempenho da aluna número 3 e pudemos
observar uma regressão quanto à questão número 1, tal qual aconteceu com a
aluna número 18 da dupla A. No pré-teste, a aluna 3 acertou os dois itens da
questão, resolvendo por tentativa e erro. Já no pós-teste, ela iniciou o item “a” por
contagem, encontrou as 6 possibilidades, abandonou o raciocínio, fez uso do
princípio fundamental da contagem e acabou considerando a ordem importante,
seguindo com o mesmo procedimento para o item “b” (como já demonstramos na
seção 4.3.2, através de seu protocolo).
Já na questão 5, podemos notar avanço no raciocínio desta aluna no item
“a”. No pré-teste, ela resolveu por tentativa e erro e não chegou a um
procedimento que levasse a todas as possibilidades. Quanto ao item “b”, a aluna
não respondeu. Já no pós-teste, ela resolveu o item “a” usando o princípio
fundamental da contagem e de maneira correta, considerando a ordem
importante. No item “b”, ela fez o mesmo cálculo usado no item “a”, isto é, não
questionou a ordem.
Analisando a filmagem da seqüência de ensino e os testes diagnósticos
desta aluna, percebemos que a mesma apresentou problema em discernir a
importância da ordem apenas nos problemas de combinação. Esse tipo de erro
nos problemas de combinação parece ser comum, segundo as pesquisas
realizadas por Batanero (1996, 1997).
Constatamos que essa aluna muito vezes, durante a seqüência de ensino,
discutiu constantemente com seu par a questão da ordem. No entanto, ficava
clara, sua insegurança, demonstrada pelas inúmeras vezes que a mesma
procurava a pesquisadora para expor o seu raciocínio e certificar-se quanto a
estar correto ou não. Analisando o pós-tese, notamos que tal questionamento de
ordem nos problemas referentes à combinação parece ter sido abandonado e a
aluna assumiu que em todos os problemas a ordem era importante.
Analisando, agora, a questão 6 do pré-teste, vemos que a aluna 3 deixou
em branco a primeira parte da questão e na segunda parte fez a multiplicação de
23 letras por 26 letras. Entretanto, no pós-teste, ela alcançou o objetivo do
raciocínio combinatório, só que nas duas partes do problema ela fez a quantidade
de possibilidades de letras separada da quantidade de possibilidades dos
números e não multiplicou estas duas respostas encontradas. Similarmente, ao
resolver a atividade das placas na seqüência de ensino, a dupla o fez isolando o
número de possibilidades de letras e algarismos. Agora, analisando a resolução
da aluna número 8, nesta mesma questão, constatamos que em parte ela
resolveu corretamente, juntando o número de possibilidades das letras com o
número de possibilidades dos algarismos, só que usou 9 algarismos no lugar de
10, conforme fizera ao iniciar a resolução da atividade das placas. Na seqüência,
nesse momento, houve interferência da pesquisadora, que mostrou que os
algarismos de 0 a 9 formam um total de 10 algarismos e não 9.
Na questão 5 do pós-teste, a aluna 8 resolveu a primeira parte, usando o
processo de resolução de forma correta, mas acabou errando a resposta porque
eram 6 alunos e a aluna colocou 7 alunos. Na segunda, parte a aluna questionou
o fator ordem, mas o procedimento de resolução foi errado, conforme protocolo
abaixo:
Extrato de protocolo da aluna 8 do grupo experimental – extraído do pós-teste
Fazendo uma análise geral da aluna 8, pudemos observar que a aluna
partiu praticamente do zero, colocando em questão o raciocínio combinatório,
mas ao longo da seqüência era evidente o desenvolvimento desse raciocínio. No
pós-teste, seu raciocínio combinatório se mostrou mais eficaz que o de sua
parceira. Em relação à aluna 3, esta partiu com um pouco mais de raciocínio
combinatório comparado ao da aluna 8 e também apresentou avanço no
desenvolvimento desse tipo de raciocínio, mas a superação da dificuldade de
detectar se a ordem era importante nos problemas de combinação persistiu.
Podemos concluir que houve um processo interacional entre as duplas,
mas não o suficiente para superar a dificuldade inicial sobre a importância da
ordem e da enumeração sistemática (Batanero, 1996). Esse último erro consiste
na resolução, por tentativa e erro, sem um procedimento que conduza à formação
de todas as possibilidades. O erro de enumeração sistemática foi observado
durante a seqüência. Quando a quantidade total de possibilidades era pequena, a
dupla não apresentava tal tipo de erro. Este só apareceu nas atividades em que a
quantidade de possibilidades era muito grande.
Concluímos que a aluna 3 quase não apresentava raciocínio combinatório
no pré-teste. Já ao longo da seqüência, esse raciocínio estava sempre presente,
algumas vezes de maneira mais simples. Ela também percebeu que é importante
questionar a ordem. No pós-teste, ela assumiu a ordem importante para todas as
questões. Já a aluna 8 foi mais longe: a ordem passou a ser menos problemática
do que era no início. Embora apresentasse erro de ordem, começou a apresentar
acerto. Podemos observar que as duas alunas saíram de um patamar muito
baixo, porém conseguem atingir uma certa evolução, só que a aluna 8
desenvolveu mais que a 3.
4.6.3 Dupla C: alunos número 6 e número 12
Desta dupla, temos apenas a análise feita durante os encontros, mas
achamos interessante continuar com a opção de analisá-la, pois o comportamento
do aluno 12 durante os encontros bem como seu desempenho, tanto qualitativo
como quantitativo no pós-teste, nos surpreendeu.
Esta é uma dupla mista, sendo que o menino foi um pouco disperso
durante a resolução das atividades, brincou muito e muitas vezes deixou a
menina iniciar sozinha a resolução das atividades da seqüência. A pesquisadora
interferiu várias vezes no comportamento deste aluno e conseguiu que a cada
encontro este participasse um pouco mais.Observamos que sempre que possível
ele tentava atrapalhar o raciocínio da menina com brincadeiras conversa sobre
outros assuntos.
Constatamos que do pré para o pós-teste, o aluno 12 apresentou evolução,
mas a aluna 6 apresentou uma evolução ainda maior, o que já era esperado, pois
as dúvidas sobre o procedimento ou sobre a interpretação do problema eram
sempre questionados por ela e quando a pesquisadora pedia para a dupla colocar
a resolução das atividades na lousa era sempre a aluna número 6 que o fazia,
mostrando o raciocínio utilizado para resolver a atividade.
Abaixo, apresentamos o quadro com o número de acertos nos dois testes pela
dupla.
Alunas Pré Pós
Nº 6 2 12
Nº 12 0 6
Analisando os procedimentos de resolução, no pós-teste, apresentado pelo
aluno 12, pudemos constatar que sua dificuldade residia no discernimento da
ordem nas questões 1 e 5, de combinação. Na entrevista com o aluno, logo após
o término do pós-teste, este comentou que não chegou a se questionar se a
ordem era importante ou não. Apenas pensou em combinar os elementos, usando
o princípio fundamental da contagem. Na questão 9 do pós-teste, que também era
de combinação, ele questionou o fator ordem e resolveu o problema,
considerando a ordem irrelevante, o erro apresentado nesta questão foi o de
operação errada e de conta, como mostra o seguinte protocolo:
Extrato de protocolo da aluna 6 do grupo experimental – extraído do pós-teste
Observando o pré-teste deste aluno e lembrando da sua participação, na
seqüência e comparando com o pós-teste, podemos concluir que ele teria um
desempenho melhor se seu par ou a pesquisadora tivessem conseguido motivá-lo
o suficiente para envolvê-lo nas resoluções das atividades. Mesmo com suas
brincadeiras, tentando atrapalhar o andamento da seqüência, ele foi um aluno que
evoluiu, pois no pré-teste ele apresentou o raciocínio combinatório apenas na
questão 4. Assim mesmo, sua estratégia de resolução foi a de tentativa e erro, e
mesmo essa foi abandonada.
Constatamos também que este aluno não voltou a resolver nenhuma
questão do pós-teste da mesma forma que havia tentado resolver no pré-teste,
isto é, usando o mesmo raciocínio ou o mesmo tipo de operação como aconteceu
com a aluna número 1 da dupla A, questão 3, conforme já mencionamos
anteriormente.
Podemos concluir que o aluno 12 partiu de praticamente nenhum raciocínio
combinatório (no pré-teste) e ao final da seqüência apresentou evolução
satisfatória, a qual é verificada no pós-teste tanto quantitativa como
qualitativamente. Nossa hipótese para explicar o porquê de o avanço desse
aluno não ter sido melhor se deve ao fato de que o papel ativo necessário para o
desenvolvimento do conhecimento foi assumido em maior proporção pela aluna 6.
O aluno só o fez em poucas atividades de alguns encontros. Quando resolvia
questionar as dúvidas, discutir com e discordar de seu par, até chegarem a uma
conclusão comum.
Quanto à aluna número 6, esta cometeu o mesmo erro das alunas
números 3 e 18, duplas B e A consecutivamente. Na questão um, no pós-teste, a
aluna resolveu pelo princípio fundamental da contagem e não questionou a
ordem, enquanto no pré-teste resolveu pelo processo de tentativa e erro e
conseguiu perceber que a ordem era irrelevante. Na questão 6, o erro cometido
pela aluna 12 foi operação aritmética incorreta; ela somou a possibilidades de
letras e algarismo no lugar de multiplicá-los, conforme resolução a seguir:
Extrato de protocolo da aluna 6 do grupo experimental – extraído do pós-teste
Nas três duplas analisadas, pudemos observar que os alunos durante a
seqüência de ensino, utilizavam a representação para iniciar as atividades, mas
na última ficha esta representação foi praticamente abandonada, e só faziam uso
quando era apresentado um desenho na questão dada. Observamos, também,
que durante algumas atividades, principalmente nas últimas fichas, em alguns
momentos eles questionam se a ordem era importante ou não, em outros não
questionavam. Notamos em que nas atividades que o número de possibilidades
era relativamente grande, eles procuravam um processo aritmético que os
levassem à solução correta, mas nem sempre conseguiam encontrá-la, enquanto
nas atividades que o número de possibilidades era pequena eles conseguiam
encontrar todas as possibilidades pelo processo de tentativa e erro e muitas
vezes conseguiam chegar ao processo aritmético correto. Portanto, o processo de
tentativa e erro foi uma estratégia usada até o final, a qual dava certo quando o
total de elementos a ser combinado era pequeno.
Mediante as constatações sobre o desenvolvimento dos alunos no pós-
teste, pudemos observar que nossa seqüência de ensino carece de mais
encontros. Avaliando a seqüência, percebemos que esse é o caminho a ser
seguido, pois a seqüência deu conta desse raciocínio. Nós apontamos como um
ponto a ser mais trabalhado, nos problema de combinatória, seria o enunciado
desses problemas verificando supostas ambigüidades. Nesse ponto,
questionamos que se o enunciado for mais claro, e mais discutido, isto é, se
conseguirmos trabalhar uma seqüência visando a interpretação do enunciado
talvez possamos levar os alunos a um resultado melhor onde os erros em relação
à ordem, operação aritmética incorreta e de enumeração sistemática, sem um
procedimento que leve a todas as possibilidades, possam ser minimizados.
Também achamos que se as representações forem mais valorizadas no início da
seqüência, este processo talvez não seja abandonado no final da seqüência e na
resolução dos problemas, depois do aprendizado do conteúdo.
CONCLUSÃO5.1 CONCLUSÃONesta pesquisa, estudamos a aquisição e desenvolvimento dos primeiros
conceitos de análise combinatória em adolescentes de 14 anos de idade,
cursando a última série do Ensino Fundamental.
Partimos das noções de contagem, representações e princípio fundamental
da contagem. Buscamos problemas que colocassem os alunos em situações as
quais, através da experimentação, eles pudessem realizar uma modelização do
real e descrever o número de possibilidades do evento dado. Assim, iniciamos
nosso trabalho buscando identificar as concepções espontâneas dos alunos
(aplicação de um instrumento diagnóstico - pré-teste) e continuamos trabalhando
essas concepções nos primeiros encontros da seqüência de ensino.
Ao analisar as concepções apresentadas pelos alunos, no pré-teste e na
seqüência, pudemos classificar algumas que dificultaram a aprendizagem do
conteúdo análise combinatória. As mais freqüentes foram:
• A falta de um procedimento recursivo que os levasse à formulação de
todas as possibilidades. Isto acontecia quando os alunos resolviam problemas por
enumeração, mediante tentativa e erro, principalmente nos casos em que a
formação de todas as possibilidades se tornava exaustivo.
• A resposta injustificada errônea. Algumas vezes, os alunos apresentavam
uma solução numérica errônea, sem explicar de onde veio tal número ou ainda
sem indicar o caminho percorrido para encontrá-lo.
• O não uso da árvore de possibilidades ou sua construção inadequada, a
qual levava a uma interpretação errônea.
• Nos problemas de permutação e arranjo, apareceu a interpretação da
palavra distribuir como dividir.
• Nos problemas de combinação e arranjo, os alunos confundiam os
critérios que deviam ser usados em cada situação e algumas vezes decidiam
considerar a ordem importante quando esta não era ou vice-versa.
Estas concepções ganharam maior evidência em nossas análises feitas da
metade para o final da nossa seqüência de ensino e no pós-teste.
Um comportamento que nos chamou muito a atenção foi que quando os
alunos aprenderam um processo aritmético ou algébrico, eles abandonavam as
representações. Pudemos observar que poucos alunos fizeram uso da árvore de
possibilidades, mesmo quando dada como sugestão para resolução do problema
e no final da seqüência de ensino e na resolução do pós-teste ela foi praticamente
abandonada.
Este dado é confirmado nos estudos de Batanero (1996), já citados no
capítulo II. Batanero aponta como dificuldade o escasso uso que os estudantes
fazem da árvore de possibilidades, e quando a usam é com pouco êxito.
Nossa explicação para tal comportamento vem do contrato didático
implícito ou talvez explícito que a escola estabelece para com seus alunos, ou
seja, a valorização do uso do processo formal (utilização de algoritmo). Esta
valorização costuma acontecer a partir do 2º ciclo do Ensino Fundamental (3ª e 4ª
séries) quando o cálculo mental é pouco ou nada valorizado e existe uma
cobrança do uso correto dos algoritmos. A partir do 3º ciclo (5ª e 6ª série), a
resolução de problemas sem o uso dos tradicionais “x” e “y “ é considerada uma
resolução “pobre” ou, o que é pior , algumas vezes é considerada errada.
Nossa amostra é de alunos da 8ª série, ou seja, alunos que lidam com esse
critério a maior parte de suas vidas escolares. Para eles, o uso da representação
chega a ser uma ruptura deste contrato didático, onde apenas os alunos
“atrasados” é que necessitam representar para a seguir fazer uso ou não do
algoritmo.
Apesar de estimularmos o uso da representação constatou-se que não foi o
suficiente a ponto de romper com este contrato didático. Acreditamos que para tal
ruptura seria necessário ter valorizado mais em todas as atividades sua
importância.
Durante a seqüência, pudemos observar que os alunos evoluíram passo a
passo com as apresentações das resoluções e com as discussões relativas aos
processos de resoluções usados. Acreditamos que a mudança na forma de se
trabalhar com o conteúdo, seguindo uma abordagem que procurou envolver o
aluno através de situações reais, além do trabalho desenvolvido em dupla, criou
um ambiente favorável para tal comportamento. Apesar disso, todos
apresentaram dificuldade na interpretação dos problemas propostos, o que vai ao
encontro a nossa análise dos livros didáticos, onde constatamos que a
memorização do algoritmo é privilegiada.
Notamos que as dificuldades apareceram, quando começaram as fichas
em que era preciso questionar se a ordem em que os elementos eram colocados
tinham importância ou não. Também observamos grande dificuldade na ficha 2,
onde os alunos se perdiam em fazer as representações das figuras dadas através
de tentativa e erro, e esta dificuldade apareceu principalmente nos problemas em
que o número de possibilidades era grande.
Analisando os testes diagnósticos, pudemos verificar que estas
dificuldades são constatadas nos dois testes (pré e pós-teste). No pré-teste,
pudemos constatar que os alunos iniciavam a questão por tentativa e erro e
abandonavam ou chegavam até um certo número de possibilidades e colocavam
este número como resultado. Quanto à ordem, eles só conseguiam distinguir se
era importante ou não usando a representação. No pós-teste, já observamos que
os alunos procuravam não usar o processo de tentativa e erro, ou quando
iniciavam este processo, acabavam abandonando-o, por ser exaustivo, e
procuravam uma operação aritmética para resolver o problema. As questões em
que os alunos tinham que perceber que a ordem era irrelevante (problemas de
combinação) são as que apareceram com índice maior de erro.
Tanto no pré como no pós-teste pudemos notar uma grande dificuldade
dos alunos em decomporem o problema em partes para depois generalizarem a
solução.
Todas estas dificuldades aqui demonstradas também, são nomeadas nos
estudo de Batanero (1996.1997), como já citamos anteriormente.
Estamos conscientes das dificuldades encontradas pelos alunos nos
problemas relativos ao conteúdo analise combinatória. Acreditamos que a solução
para as dificuldades está na busca de uma aprendizagem fundamentada na
atividade do aluno que procura construir seu próprio conhecimento. As atividades
diversificadas, que venham a ser proposta para favorecer um comportamento de
busca, de hipóteses e que despertem o raciocínio, ajudam o processo de
aprendizagem do aluno. O importante é admitirmos que os erros dos alunos são
normais no processo de aprendizagem, e que através deles podemos levar os
discentes a superarem os obstáculos e, conseqüentemente, à evolução do
desenvolvimento do conhecimento.
Esta reflexão sobre a aprendizagem de análise combinatória nos leva à teoria de
Piaget que afirma que a solução para as dificuldades dos alunos, em questões
matemáticas, esta numa aprendizagem fundamentada na atividade do aluno que
constrói seus próprios conhecimentos. E nas idéias de Vergnaud, quando afirma
que um campo conceitual representa um conjunto de situações cujo domínio
requer uma variedade de conceitos, procedimentos e domínio da representação
simbólica.
5.2 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Gostaríamos de apresentar, nesta seção, como educadores e
pesquisadores, as nossas posições pessoais. Os resultados obtidos nessa
pesquisa nos forneceram um enorme crescimento, além da credibilidade de que é
possível desenvolver um conceito matemático em sala de aula de forma
significativa. Para nós, ficou evidente que uma abordagem que procura envolver a
participação do aluno, explorando constantemente situações próximas de seu
cotidiano, favorece a apresentação de um outro tipo de comportamento. Fato
comprovado pela participação assídua dos alunos em encontros que foram
ministrados fora do horário normal de aulas. A “mortalidade” dos 3 alunos que não
entraram na nossa análise se deve aos seguintes motivo:
A ausência de um dos três alunos explica-se por problemas relativos à
saúde. Esse aluno, após ter iniciado os encontros, ficou com uma infecção, mas
na semana que não apresentava febre, fazia questão de participar da seqüência e
realizou o pós-teste. Quando faltou a primeira vez, pediu para que não o
tirássemos dos encontros, pois, assim que pudesse voltaria.
Os outros dois alunos apenas não compareceram no dia da aplicação do
pós-teste.
Outro fato que nos fez comprovar que esta abordagem foi bem aceita se
deve ao elogio recebido dos pais dos alunos que participaram da seqüência. Tais
pais telefonaram para a diretora e um deles foi diretamente conversar com a
pesquisadora. Também ficamos contentes quando recebemos alguns alunos do
2º ano do Ensino Médio (nosso grupo de referência), pedindo para darmos o
mesmo estilo de aula que estava sendo ministrada à turma da 8ª série.
Nos iniciais momentos, do primeiro encontro, pudemos constatar que este
era visto pelos alunos como uma atividade de lazer e não como algo que
objetivasse um aprendizado. No segundo momento, já ocorreu uma certa
resistência dos alunos em resolverem as atividades dadas, sem que houvesse
uma explicação prévia sobre o assunto. Sentimos, então, a quebra do contrato
didático existente até o momento, provocando uma dispersão por parte de alguns
alunos, embora poucos. Depois de uma explicação sobre a pesquisa que estava
sendo realizada, constatamos que os alunos não mais assumiram um papel
apático e passivo, caracterizado pela espera da “transmissão” do conhecimento
como algo obrigatório. Conseguimos que uma boa parte dos alunos assumissem
o papel de “construtores” de tal conhecimento. Quanto aos materiais concretos,
estes foram bem aceitos e quase a totalidade dos alunos fez uso deles.
Pretendemos deixar bem claro que acreditamos que existem outras formas
de introduzir o conceito de análise combinatória, baseadas em situações que
procuram dar significado ao aluno. Apenas acreditamos que o enfoque que
demos para nossa seqüência ajudou a facilitar um pouco a construção desse
conhecimento.
Realizando uma avaliação crítica de nosso estudo, notamos que, em
alguns pontos, haveria necessidade de aperfeiçoamento. Cremos que ampliando
a duração da aplicação de nossa seqüência, trabalharíamos melhor certos
aspectos que provavelmente levariam à obtenção de melhores resultados, tanto
qualitativo como quantitativo. Acreditamos, ainda, que seria válido trabalhar com
um número maior de situações-problema que valorizassem a contagem direta e
permitissem aos alunos descobrir um procedimento que os levassem a todas as
possibilidades, sendo que pouco a pouco, seria aumentado o número de
possibilidades total. Essa afirmação se deve ao fato de julgarmos que, se o aluno
tiver possibilidade de interagir mais com esse tipo de problema, terá condições de
desenvolver a habilidade de interpretação sobre a ordem dos elementos e
algumas etapas a serem realizadas, quando formadas, uma a uma, as
possibilidades possíveis. Temos, também, que devíamos trabalhar mais a
interpretação do enunciado e ter uma preocupação, maior do que a que tivemos
com a elaboração da nossa seqüência, em ver a clareza do enunciado. Em
alguns problemas, observamos que os alunos apresentaram dificuldade na
interpretação do enunciado. Como exemplo, temos a questão 7 do pós-teste, em
que os estudantes permutam as categorias dos filmes, mas não fazem a
permutação dos filmes dentro das categorias. Questionamos nesse problema se o
enunciado estava claro, se os alunos conseguiram interpretar que os filmes
podiam ser permutados dentro de cada categoria.
Por fim, ainda como sugestão de pesquisa, acreditamos ser de vital
importância desenvolver o estudo sobre análise combinatória de forma
significativa, e que este estudo aconteça em etapas, como sugerem os PCNs. O
ideal, no nosso ponto de vista, seria que o estudo pudesse ser iniciado no Ensino
Fundamental de forma significativa, sem apresentação de fórmulas, e que no
Ensino Médio o aluno pudesse ter este conceito institucionalizado, apresentando
as fórmulas de forma significativa e não apenas como um algoritmo que o leve a
mecanizar e associar palavras-chave.
Pretendemos, em futura pesquisa, trabalhar em relação aos enunciados
dos problemas de análise combinatória. Formaríamos, assim, dois grupos, um em
que os enunciados são cuidadosamente trabalhados, com a preocupação de
formular cada problema com muita clareza e trabalhar a interpretação através de
representações, e o outro em que os enunciados estejam nos livros didáticos.
Com esse estudo, gostaríamos de avaliar até que ponto a interpretação do
enunciado e a clareza deste podem sanar os erros encontrados na nossa
pesquisa.
BIBLIOGRÁFIA
BATANERO, C. et al. Estrategias en la Resolución de Problemas Combinatórios
por Estudiantes con Preparación Matemática Avançada. Epsilon (36), 433-446,
1997.
BATANERO, C.; GODINO, J.D.; NAVARRO-PELAYO, V. Razonamiento
Combinatorio En Alumnos de Secundaria. Educación Matemática,8 (1), 26-
39,1996.
_________________________________________________ Effect of the implicit
combinatorial model on combinatorial reasoning in secondary school pupils.
Educacional Studies in Mathematics, (32), 181-199, 1997.
BONGIOVANNI, V., VISSOTO, O., LAUREANO, J. L. Matemática e Vida –5ª a 8ª
séries. São Paulo. Ática, 1996.
___________________________________________ Matemática e Vida – 2º
grau, volume 2. São Paulo. Ática, 1993.
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo. Edgard Blucher Ltda, 1974.
CHEVALLARD, Y.; JOSHUA, M. A. La Transposition Didactique: du savoir suivant
au savoir enseignée. Suivie de um exemple de la transposition didactique.
Éditions la Pensée Sauvage, 1991.
COUTINHO, C. et al. Introdução ao Conceito de Probabilidade para adolescente –
12/13 anos. Comunicação Científica, IV EPEM, p.165-170, 1996.
____________________ Introduction os the Concept of Probability to Teenagers
– 12/13 years old. Proceedings of the 20th International Conference for the
Psychology of Mathematics Education, vol. 1. Universidade de Valência –
Espanha, pp. 230, 1996.
FALCÃO, J. T. R. Relações entre pensamento e linguagem: explorações teóricas
no contexto da educação matemática, (?) .
DELAHAYE, J. P.; MATHIEU, P. Des surprises dans le monde de la coopération.
Les Mathématiques Sociales. Édition Française de Scientific American, p. 58-
66, 1999.
EVES, H. Introdução a História da Matemática. São Paulo. Editora da UNICAMP,
1995.
FISCHBEIN, E. ; GROSSMAN, A. Schemata and Intuitions in Combinatorial
Reasoning. Educacional Studies in Mathematics, (34), .27-47, 1997.
GENTIL, N. et al. Matemática para o Segundo grau – volume 2. São Paulo. Ática,
1997.
GIOVANNI, J. R. e BONJORNO, J. R. Matemática 2 – volume 2. São Paulo. FTD,
1992.
GIOVANNI, J. R. ; PARENTE, E. Aprendendo Matemática - 5ª a 8ª séries. São
Paulo. FTD, 1999.
GIOVANNI, J. R. ; CASTRUCCI, B., GIOVANNI JR. J. R. A conquista da
Matemática - 5ª a 8ª séries. São Paulo. FTD, 1998.
GUELLI, O. Uma Aventura do Pensamento – 5ª a 8ª séries. São Paulo. Ática,
1998.
GRENIER, D. ; PAYAN, C. Spécificités de la Preuve et de la Modélisation en
Mathématiques Discrétes. Recherches en Didactique des Mathématiques 1,
vol.18, pp 59-100, 1998.
HENRY, M. Didactique des Mathématiques: Une présentation de la didactique em
vue de la formation des enseignants. IREM de Besançon, 1991.
ICMI Study Series. Mathematics and Cognition: A Reasearch Synthesis by the
International Group for the Psychology of Mathematics Education. CamBridge
University Press, 1990.
IEZZI, G. et al. Matemática – volume único, 2º grau. São Paulo. Atual, 1997.
___________ Testes de Vestibular, 2: seqüências, matrizes, determinantes,
sistemas, combinatória, probabilidade, complexos, polinômios, equações. São
Paulo. Atual, 1992.
IMENIS, L. M. ; LELLIS, M. Matemática – 5ª a 8 ª séries. São Paulo. Scipione,
1997.
NUNES, T. ; BRYANT, P. Crianças Fazendo Matemática. Artes Médicas, 1997.
____________________ Learning and Teaching Mathematics. Psychology Press
Ltd, 1997.
MACHADO, S. D. A. et al. Educação Matemática: Uma Introdução. São Paulo.
Educ, 1999.
MACHADO, A. S. Matemática para a Escola do Segundo Grau – Volume 2. São
Paulo. Atual, 1996.
MAURY,S. ; FAYOL, M. Combinatoire et Resolution de Problemes au Cours
Moyens Premiere et Deuxieme Années. Recherches en Didactique des
Mathématiques 1, vol.7, pp.63-104, 1986.
MEIRA, L. O “Mundo-real” e o dia-a-dia no ensino de matemática. A Educação
Matemática Em Revista – SBEM 1 – 2º sem, pp. 19-27, 1993.
Ministério da Educação e do Desporte, Secretária de Educação Fundamental. .
Parâmetros Curriculares Nacional, Matemática. Brasília: MEC./SEF, 1998.
MORGADO, A. C. O. et al. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de
Janeiro. Sociedade brasileira de Matemática, 1991.
PIAGET,J. A Formação do Símbolo na Criança. Editora Guanabara Koogan. S.A,
1978.
_________ The essential Piaget: an interpretive reference and guide / edited by
Howard E. Gruber an J. Jacques Vonéche. London. Jason Aronson Inc, 1995.
PIAGET,J. et INHELDER, B. La Génese de I’dée D’hasard Chez L’enfant. París.
Presses Universitaire de France, 1951.
PIAGET,J. et INHELDER, B. A Psicologia da Criança. Rio de Janeiro. Editora
Bertrand Brasil S.A, 1995.
RIGOLINO, J. C. ,HARIKI, S. Como Resolver Problemas de Combinatória:
Modelos e Analogias. Mini-curso, IV EPEM, pp.353, 1996.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas. Proposta Curricular Para o Ensino da Matemática: 2º
Grau, 2 ed.. São Paulo: SE/CENP, 1989.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas. Proposta Curricular Para o Ensino da Matemática: 1º
Grau, 4 ed.. São Paulo: SE/CENP, 1992.
SMITH, D. E. History of Mathematics. Dover Publications, Inc. New York, 1958.
VERGNAUD, G. El niño, las matemáticas y la realidad: problemas de la
enseñanza de las matemática en la escuela primária. Editorial Trillas. México,
1991.
_______________ A Comprehensive Theory of Representation for Mathematics
Education. JMB – Journal of Mathematical Behavior, 17 (2), 167 –181, 1998
