MATEMÁTICA - MÓDULO 1 REVISADO PORMATEMÁTICA - MÓDULO 1 REVISADO POR MATEMÁTICA - Módulo 1 TEORIA DOS CONJUNTOS 1. A NOÇÃO DE CONJUNTO Um conjunto é, por exemplo, uma …

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MATEMÁTICA - Módulo 1

TEORIA DOS CONJUNTOS

1. A NOÇÃO DE CONJUNTO Um conjunto é, por exemplo, uma coleção de qualquer de objetos, ou de itens ou de pessoas. Assim, o grupo de alunos que assistem às aulas numa sala de aula é um conjunto. Lembramos que, tanto o conjunto como os elementos que o formam não têm uma definição e, por isso, são denominados conceitos primitivos, intuitivamente, sabemos que conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, pessoas, números, etc. 1.1 Exemplificando:

● O conjunto dos números primos: B = {2,3,5,7,11,13, ...} ● Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado

conjunto A, quando for, dizemos que:

a pertence a A e escrevemos .a∈ A

● Caso contrário, dizemos que: a não pertence a A e escrevemos ∈ .a / A

2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO Representamos conjunto por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. Seus integrantes, que chamaremos de elementos, são colocados entre chaves separados por vírgula. Assim, por exemplo, podemos dizer que a sucessão de número 0,1,2,3,4... forma um conjunto denominado conjunto dos números naturais, que representamos por N = {0,1,2,3,4,5,...}.


2.1 FORMAS UTILIZADAS PARA REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO Existem diversas maneiras para se representar um conjunto, entre as quais três são as mais utilizadas: Diagramas: Podemos representar um conjunto por meio de uma figura chamada diagrama de Venn (John Venn, lógico inglês, 1834-1923). No interior do diagrama, são destacados seus elementos, da seguinte maneira:

a) U = N b) U = Z

Letra Maiúscula: Um conjunto também pode ser representado por uma letra maiúscula, nomeando seus elementos entre chaves, como por exemplo, o conjunto de números pares:

A = {2, 4, 6, 8…}

Propriedade característica: É possível também representar um conjunto sem necessariamente descrever seus elementos. Para isso, basta representar o conjunto por meio de uma propriedade característica que seus elementos possuem. Quando é dada uma propriedade característica dos elementos de um conjunto, dizemos que ele está representado por compreensão, por exemplo:

A = {x|x é um número par menor que 9} Observação: O símbolo “|” significa “tal que”


3. ELEMENTO DE CONJUNTOS Os componentes de um conjunto são chamados de elementos. Por exemplo, no conjunto dos números pares menores que 9, os elementos são 0,2,4,6,8. Costuma-se representar um conjunto nomeando os elementos um a um, colocando-os entre chaves e separando-os por vírgulas. Para nomear um conjunto usamos geralmente uma letra maiúscula, como por exemplo:

A = {0, 2, 4, 6, 8} 4. CONJUNTO VAZIO

O conjunto vazio, cujo notação é não possui elementos. Uma ou {},⊘ propriedade contraditória qualquer pode ser usada para definir o conjunto vazio. Por exemplo, números naturais ímpares menores do que 1}: {x|x é um número natural ímpar menor do que 1} = ø, pois não há número natural ímpar menor do que 1.

5. CONJUNTO UNIVERSO

Para resolver uma equação, um problema ou desenvolver determinado tema de Matemática, devemos retirar os elementos de que necessitamos de um conjunto que os contenha. Esse conjunto recebe o nome de Conjunto Universo e é representado pela letra U. Sendo assim, todos elementos pertencem a U e todos os conjuntos são partes de U. É muito importante saber em qual universo estamos trabalhando. Por exemplo, se U é o conjunto dos números naturais, então a equação x+5=2 não tem solução, porém, se U é o conjunto dos números inteiros, então a equação x+5=2 tem solução x = -3. 5.1 Exemplificando:

a) No conjunto A = , X só pode assumir valores | x² xX ∈ N − 3 + 2 = 0 que pertencem ao conjunto N, conjunto dos números naturais, portanto, U = N = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}.


b) Em B = , x só pode assumir valores que | x² xX ∈ Z + 5 + 6 = 0 pertencem ao conjunto Z, conjunto de números inteiros, portanto, U = Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, 3...}.

6. CONJUNTO UNITÁRIO

O conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. Considere, por exemplo, o conjunto P = {x|x é um número primo, par e positivo}. O único número primo par é o 2, logo, P é um conjunto unitário e podemos escrever P = {2}.

PRATICANDO

1. Classifique em conjunto vazio ou conjunto unitário:

a. A = {x|x é natural maior do que 10 e menor do que 11}. b. B = {x|x é par maior do que 3 e menor do que 5}. c. C = {x|x é número primo maior do que 7 e menor do que 11}.

7. SUBCONJUNTOS.

Assim como um elemento pode ser relacionado a um conjunto, usando as palavras “pertence” ou “não pertence”, podem-se relacionar também dois conjuntos entre si usando “está contido” ou “não está contido”. 7.1 Exemplificando: Considere os conjuntos B e S, também representados por diagrama:

S = {2,4,6,8,10} B = {1,3,5,7, 9}


Note que qualquer elemento de S também pertence a B. Neste caso, dizemos que S está contido em B ou S é subconjunto de B. Indica-se

lê-se “S está contido em B”.,S ⊂ B Observação: Este símbolo significa está contido ." ⊂ " Podemos dizer também que B contém S. Indica-se lê-se “B contém ,B ⊃ S A”. Observação: Esté símbolo significa contém." ⊃ " Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B, ou que B não contém A, por exemplo:

A = (1,2,3,4,5) e B = {1,2,6}

Note que o elemento 4 pertence a A mas não pertence a B. Escrevemos:

Lê-se “A não está contido em B”. ⊄ BA :

Lê-se “B não contém A”. ⊅ AB : Observação:

● O símbolo significa não está contido e significa não contém.⊄ ⊅

● Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando qualquer elemento de A também pertence a B.

● Se e , então A = B.A⊂ B B ⊂ A ● Os símbolos e são utilizados para relacionar conjuntos., ,⊂ ⊃ ⊄ ⊅ ● Para todo conjunto A, tem-se .A⊂ A


● Para todo conjunto A, tem-se , onde ø representa o conjunto ø ⊂ A

vazio.

PRATICANDO

1. Dados os conjuntos A = {1,2}, B = {1,2,3,4,5}, C = {3,4,5} e D = {0,1,2,3,4,5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a. A ⊂ B e. C ⊄ A i. ø ⊂ A b. C ⊂ A f. A ⊂ D j. D ⊃ A c. B ⊂ D g. B ⊂ C k. ø ⊂ B d. D ⊂ B h. B ⊂ B l. C ⊃ D

2. Escreva os símbolos:

a. Espírito Santo pertence ao conjunto dos estados da região

Sudeste.

b. Bahia não pertence ao conjunto dos estados da região Sudeste.

c. 17 não pertence ao conjunto dos números primos.

d. 15 não pertence ao conjunto dos números primos.

e. Pentágono não pertence ao conjunto dos quadriláteros.

f. Losango pertence ao conjunto dos quadriláteros.


8. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 8.1 União: Dados os conjuntos A = {0, 10, 20, 30, 50} e B = {0, 30, 40, 50, 60}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou ambos. Assim, C = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60}. O conjunto C é chamado união de A e B e é indicado por A U B. De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a união A U B é o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B.

x|x ou x A ⋃ B = { ∈ A ∈ B 8.1.1 Exemplificando:

Se A={1, 2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 5}, então A U B=(0, 1, 2, 3, 4, 5}. 8.2 Intersecção: Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, u, b}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos elementos comuns a A e B. Assim C = {a, e, u}. O conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indicado por A ∩ B.

x|x e x A ⋂ B = { ∈ A ∈ B No diagrama abaixo, a intersecção A ∩ B está representada: 8.2.1 Exemplificando:

Se A = {1,2,3,4} e B = {2,3,8}, então A ∩ B = {2, 3}. 8.3 Diferença Dados os conjuntos A = {0, 1, 3, 6, 8, 9} e B = {1, 4, 9, 90}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Assim, C = {0, 3, 6, 8}. O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A - B.


B{x|x e x∈ } A − ∈ A / B Observe que, se B ⊂ A, a diferença A - B é igual ao C AB. Por exemplo, se A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {4, 8}, então A - B = {0, 2, 6} = C AB. 8.3.1 Exemplificando:

Se A={1,3,5,7} e B={1,3}, então A - B = {5,7} e B - A = ⊘ 8.4 Complementar Dado o universo U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e o conjunto A = {1,3,5,7}, dizemos que o complementar de A em relação a U é {0,2,4,6,8,9}, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. De modo geral, dado um conjunto A de um certo universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A, indica-se CuA.

= {x|x ∈ U e x ∉ A} Ac

8.4.1 Exemplificando:

Se A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}, então C BA = B - A = {4,5}

PRATICANDO

1. Dado os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f, g} e B = {b, d, g, h, i} e C = {e, f, m, n}, determine:

a. A - B b. A - C c. B - C d. B - A

2. Dado os conjuntos A = {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 5, 6, 9} e C = {0, 3,

6, 9, 10}, determine:


a. A U B b. A ∩ B c. A U C d. A ∩ C e. B ∩ C f. (A ∩ B) U C g. (A ∩ C) U B h. (A ∩ B) ∩ C i. (A U B) ∩ C j. (A U C) ∩ B k. A U (B ∩ C) l. A ∩ (B ∩ C)

9. CONJUNTOS NUMÉRICOS

9.1 Conjunto dos números naturais (N):

9.2 Conjunto dos números inteiros (Z):

9.2.1 Representação geométrica de Z:

Consideremos alguns subconjuntos de Z:

● Conjunto dos números inteiros não-negativos: Z+ = {0,1,2, …} ● Conjunto dos números inteiros negativos: Z- = {..., -2,-1, 0}


9.3 Conjunto dos números racionais (Q): O conjunto de números racionais (Q) é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com denominador não-nulo. Como entre dois números racionais quaisquer existem infinitos números racionais, não é possível nomear todos os elementos de Q. Assim, representamos esse conjunto por meio de uma característica comum a todos os elementos:

{x|x , p e q }Q = = qp ∈ Z ∈ Z *

Vejamos alguns subconjuntos de Q:

● Conjunto dos números racionais não-negativos:

{x|x e x Q + = ∈ Q ≥ 0

● Conjunto dos números racionais negativos:

{x|x e x Q − = ∈ Q ≤ 0

9.4 Conjunto dos números reais (I): Existem números que na forma decimais não são periódicos, nem têm um número finito de casas, como e muitos outros. Esses , π √2 √3 números são chamados irracionais. A união dos números racionais com os irracionais forma o conjunto dos números reais (R).

Q R = ⋃ I Observe que, ao representar R, também estamos representando os números naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais:


N ⊂ Z ⊂ Q⊂ R

Observação: Para eliminar o zero de um conjunto, colocamos um asterisco (*). Vejamos um exemplo: N*={1,2,3,...}.


REFERÊNCIA Todo embasamento teórico desta apostila foi retirada do livro: DANTE, Luiz Roberto, Matemática, Contexto e Aplicações , 3ª Edição, São Paulo, Editora Ática S.A., 2011.

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