Isometria_Ledergerber_Capitulo3_4

Uma aplicaqlo da teoria das isometrias, desenvolvida no capitulo 11, liga a Matematica com a arte. E o estudo dos ornamentos no plano. Vimos nas paginas 25, 28, 29, 30, 72, 96, 97, 106, 132, 139 e 140 varios tipos de ornamentos que estudaremos. Esses exemplos jli nos diio uma ideia da quantidade que existe. Niio sera possivel considerarmos todos os diferentes desenhos, pois e assunto do artista.

Podemos, porem, considerar o conjunto das ~sometrias que aplicam um determinado ornamento em si. Esse conjunto forma um grupo; e grupos diferentes, isto e, grupos formados por diferentes tipos de isometrias determinam diferentes classes de ornamentos. Vamos determinar I

estas classes de ornamentos. i

A teoria dos ornamentos planos tem origem no estudo das formas regulares dos cristais. 0 s grupos correspondentes no 'espaqo chamam-se grupos cristalograficos, nome usado tambem para os grupos de isometrias de ornamentos no plano.

1

I r -I

Para o desenvolvimento do estudo dos ornamentos, precisamos de 6 algumas definiqdes e conceitos preliminares. Vamos definir, tambem o Pi! que t. um ornamento, conceito que usamos aqui intuitivamente. Q

111.1. GRUPOS DISCRETOS, ORNAMENTOS

Seja -F uma figura no Plano Euclidiano, isto e, um conjunto n5o vazio de pontos de 9,. Considerando o conjunto das isometrias que aplicam .F sobre si, isto e, que deixam .F fixa, observamos que, se R, e R2 siio tais isometrias, R,R, e R;' tambkm deixam 4 fixa. Logo, o conjunto dessas isometrias forma um subgrupo do grupo de todas as isomekias. Definimos, ent8o :

1 .1 . Grupo simCtrico de urna figura. 0 grupo 3 de todas as isometrias que deixam fixa uma figura .?F no Plano Euclidiano chama-se grupo simetrico de .F.

Se o grupo simetrico de uma figura contem somente a identidade, a figura e chamada assimetrica.

Lembremos que um conjunto discreto de pontos de #, e um conjunto que niio possui ponto de acumulaqiio, isto e, todo ponto do conjunto tem uma vizinhanqa que niio contem pontos do conjunto.

Lembremos tambem o famoso teorema:

1.2. Teorema de Bolzano-Weierstras.: Todo conjunto infinite, limitado, tem um ponto de acumulaqiio.

1.3. Grupo discreto. Um grupo de transformaqdes de ,Y, chama-se discreto se qualquer ponto P E 9, possui um conjunto discreto de imagens pelas transformaqdes do grupo.

1.4. Exemplos.

I ) Seja I; um vetor. Consideremos o conjunto das translaqdes ~ ( n ; ) , n E Z. Ele forma um grupo discreto em relaqiio a compos~~iio, pois. se P e um ponto arbitriirio de Y,, suas imagens pelas transformaqdes do grupo siio

... , ( P ) T ( - 2?), ( P I T ( - 7 ) . ( P ) T ( ~ ? ) , ( P ) T ( ~ ) , ( P ) T ( ~ ? ) , . . . , ( P ) T ( ~ ? ) . . . .

Estes pontos siio alinhados e eqiiidistantes, formando um conjunto discreto.

--t

+ 27t 2 ) Seja 9 =- um ringulo orientado e F um ponto de 9,. 0 con-

n junto das rotaqdes A,$, 0°), A l ( F , g), A2(F. 2 5 ) - ... , A , , , ( F , ( n - 1 ) 5) forma um grupo discreto em relaqiio Li composiqio, pois, se P t. um pon- to arbitrario de y,, os seus pontos imagens s i o

Estes pontos siio eqiiidistantese estiio numa circunferencia de centro F.

1.5. Omamento, grupo ornamental. Chamamos ornamento a uma ligura do plano 9, cujo grupo simetrico e discreto. Ao grupo simktrico de um ornamento damos o nome de grupo ornamental.

Nos exemplos de ornamentos nas pp. 28, 29, 30, 72, 96 e 97. veri- fique, em cada caso, que o grupo simetrico do desenho e um grupo discreto.

2& 1.6. Ornamentos equikalentes. Dois ornamentos s i o equlvalentes. se os -, 2) 0 s dois ornamentos seguintes tambem s5o equivalentes: seus grupos ornamentals contem o mesmo tipo de isometrias.

1.7. Exemplos.

I ) 0 s dols seguintes ornamentos s i o equivalentes, pois os dois gru- b' pos simetrlcos contPm quatro reflex6es em retas que dividem o plano

em olto setores igua~s e quatro rotaqdes, pelo centro da figura, de Angulos 0°, I I it it ?I I 7 . 2 . - 3 .- I & 2 2 '

Fig. 21

Fig. 22

Ambos os grupos ornamentais contem somente uma reflex50 numa reta.

3) Podemos imaginar os seguintes ornamentos prolongados em ambos os lados infinitamente.

Fig. 20 Fig. 23

+ E claro sue esse conceit0 de eauivalincia define uma relaciio de

Fig. 24

0 s dois grupos, o grupo ornamental 9, da primeira figura e o grupo ornamental 9, da segunda figura sEo equivalentes, pois contCm os mes- mos tipos de isometrias :

9, contem 9, contem

as reflexdes em retas C,;, ~ E Z Cgj, ~ E Z as translaqdes ~(nv) , n E Z ~(nw'), n E Z as reflexdes em pontos C,,, i E Z CQi, ~ E Z

as translaqdes refletidas p

0 s pontos Pi (respectivamente Q,) siio alinhados na reta s (respectivamente t), que C paralela a dire~iio das translaqdes. A distsncia entre

dois pontos consecutivos e respectivamente 1 I) e as retas ji

(respectivamente g , ) siio as mediatrizes dos segrnentos [Pipi+ ,I (respectivamente [Q, Q;, ,I), i E Z .

4) 0 s dois ornamentos do exemplo anterior n5o siio equivalentes ao seguinte,

Fig. 25

pois o grupo ornamental deste ultimo ornamento somente contim as translaq8es nu'), n E Z .

equivalencia no conjunto dos ornamentos. A finalidade deste capitulo e determinar as classes diferentes de ornamentos.

Classificaremos primeiramente os grupos discretos de isometrias do plano conforme os tipos de isometrias que eles contCm. Para cada classe, vamos dar um exemplo de um ornamento cujo grupo ornamental pertence

d a classe dada, mostrando. assim, que todo grupo discreto de isometrias e um grupo ornamental.

Distinguiremos os seguintes tipos de grupos discretos de isometrias:

a) grupos discretos que niio contem translaqdes diferentes da identidade.

b) grupos discretos que tCm translaqdes diferentes da identidade, mas somente numa unica direqlo.

c) grupos discretos que tEm translaqdes em duas direqdes diferentes.

Definimos portanto :

1.8. Grupo Roseta. 0 s grupos do tipo (a) chamamos grupos rosetas e os ornamentos correspondentes, rosetas.

7 . , 1.9. Grupo de fita. 0 s grupos do tip0 (b) chamamos grupos de fitas e os ornamentos correspondentes, fitas.

! 1.10. Grupo cristalografico de dimensPo 2. 0 s grupos de tipo (c) chamamos grupos cristalograficos de dimensPo 2 e os ornamentos correspondentes, ornamentos de dimensgo 2.

A discuss50 sobre grupos cristalograficos de dimensgo 2 segue o mesmo esquema da discussiio dos grupos de fitas. Como existem 17 casos a discutir, deixamos de fazC-lo e recomendamos ao leitor interessado a leitura de 161.

1.11. Teorema: Se as isometrias proprias (diferentes) contidas num grupo de isometrias siio O,, i E Y (9 conjunto de indices), e a, uma

j

isometria impropria do grupo; entiio, as isometrias improprias (diferentes) do grupo d o @a;, i~ Y .

.. Demonstrapio: 0 s produtos @ai, ~ E Y , siio isometrias improprias

, (pois siio produtos de uma isometria impropria e de uma isometria propria) e pertencem ao grupo.

A isometria @-' C tambkm urna isometria impropria do grupo. Seja @' urna isometria impropria arbitraria do grupo, entao @-'a'

C urna isometria propria do grupo. Em consequencia, existe urna isometria propria Qk, k € 9 , tal que @-lo' = Qk; logo, @'= @ a k .

Para Qi # Q (i, j E Y), temos @a # @Q j .

1.12. Corolhrio: Num grupo finito de isometrias, o numero de isometrias proprias e igual ao numero de isometrias improprias.

Daremos a seguir urna enumeraqiio das transforma'das de urna reflexlo numa reta Z,, de uma_translaglo ~(i!), de urna reflexlo num ponto Z p , de urna rotaglo A(F, 9) e de urna translaglo refletida p(Z,g), por urna isometria Q:

1 .I 3. Teorema:

~ .--

d) Q-'A(F, s')n = A((F)Q, $) se R C prbpria,

A((F)Q, -5) se Q C impropria,

0 item (a) foi demonstrado no Teorema 3.8, p. 79. As outras demons- tragdes siio feitas representando ~( l i ) , Z p , A(F, $) e p(3, g), respectivamente, por um produto de reflexdes em retas, aplicando a relaggo

111.2. GRUPOS ROSETAS

Comeqamos pel0 estudo dos grupos rosetas, isto 6 , dos grupos .discretos de isometrias que n5o possuem translagdes diferentes da identidade.

Consideraremos dois casos :

A) Grupos rosetas contendo somente isometrias proprias.

2.1. Grupo poligonal. Um grupo roseta contendo somente isometrias prbprias chama-se grupo poligonal.

Um grupo poligonal, consequentemente, contem somente rotagdes e tem as seguintes propriedades:

2.2. Teorema: Um grupo poligonal contem somente rotaC6es de um

C unico centro F.

demons trap?^: Suponhamos, por absurdo, gue V seja um grupo poligonal e contenha as duas rotagdes Al(Fl, 9,) e A,(F,, s',), com $,, 9, #0° e Fl # F,.

Pelo teorema anterior, a transformada A, 'AlA2 e urna rotagBo A, de centro F; = (Fl)A, e Bngulo s', , que pertence a V. Observamos que F; # Fl , p i s Fl e distinto do centro F, de A, e A, # I. 0 produto A; 'A e urna translaggo r (p. 126, Teorema 9.1) do grupo V, e seja

Fl C diferente de Fl , pois F, e diferente do centro F; de A, e A # I. Por- tanto, r # I, o que e absurdo, pois o grupo niio contem translag6es diferentes da identidade. Logo, F1 = F,, e o grupo % contem somente rota@es de um unico centro F.

2.3. Teorema: Um grupo poligonal e finito.

DernonstrapTo: Seja % um grupo poligonal e F o centro das rota- g6es de %. Seja P um ponto arbitrario, P# F. As imagens de P, pelas rotag6es de %, estiio numa circunferencia de centro F e fonnam um conjunto discreto Y (pois o grupo V C discreto). Pelo Teorema de Bolzano- -Weierstrass, esse conjunto Y 6 finito. Como urna rotaqiio de centro F C determinada por um unico ponto P (P # F) e sua imagem, a cada pon- to de Y corresponde uma, e somente uma, rotagiio do grupo V. Logo, o grupo V contkm somente um numero finito de rotaqdes.

2.4. Teorema: Um grupo poligonal e ciclico.

Demonslrapio: Seja V um grupo poligonal e F o centro das rotagdes de V. Seja P, P # F, um ponto arbitrario, e sejam os pontos Po =

= P, P I , ... , Pn- ,, imagens de P pelas rotag6es de V, enumerados de mod0 que eles apareqam na ordem ciclica na circunfersncia que os contkm:

Indicamos por Ai a rotaqgo d o grupo W que aplica P em P i , i = 0 , 1, ..., n- I . +

Sejam Pi e.P,+, dois pontos de distsncia minimal e 9 = 9:(PiFPi+ ,). A rotaqdo A = An: ' A , + , pertence ao grupo % e aplica Pi em PI + , , pois

Vamos mostrar que a rotaqgo A 6 um gerador do grupo W. Para isso mostraremos primeiramente que os pontos P, P , , .. . , P n - , sdo equidistantes, na circunferzncia. . ,

Seja A.i uma rotaqdo arbitraria do grupo W. A j A tambem pertence ao grupo 55 ; logo, existe um ponto P,, 0 < s < n - 1, tal que ( P ) A j A = P, - .

e, portanto, tal que

0 s dois triingulos A(P,FP,+ ,) e A(P,FP,,) s5o congruentes, pois lfPil=lfPi+,I=IFPj(=IFP,( e $ ( P ; F P j + l ) = $ : ( P j ~ ~ s ) = $ e, portanto, temos 1 P,P, + , I = ( Pi P, 1 . Como essa distincia e minimal, temos P, = P i + , e, logo, I P,P,+, I = I P,P,+ , I. Como j e arbitrario, J E {O, ..., n - 1 i, os pontos P, P I , ..., P n - , s l o equidistantes.

Para A segue-se que:

( A = P , j = 0,1, ..., n - 1 (modn).

A,+ I e A,A sdo rotaq6es que aplicam o ponto P no ponto Pj+, . Logo,

A,+ , = AiA, j~ 0, 1, ..., n - 1 (modn)

+ Logo, o grupo W e ciclico de ordem n, gerado pela rotaqdo A = A(F, 9) .

Como An = I, o 8ngulo orientado da rotaqdo A tem que ser

Resumindo, provamos o seguinte teorema:

2.5. Teorema: Todo grupo poligonal e um grupo ciclico de ordem fi- 4

2n nita n, gerado por uma rotaqdo de 8ngulo - . Este tipo de grupo e in- n

dicado por W,.

~ a i e m o s a seguir exemplos de ornamentos cujos grupos simktricos sdo W,, W, e W,, respectivamente, e que podem ser generalizados para urn ornament0 cujo grupo simetrico e W n , para qualquer n E N.

3 % 4 0 6

Fig. 26

B) Grupos rosetas contendo isometrias improprias.

2.6. Grupo diedral. Um grupo roseta contendo isometrias improprias chama-se grupo diedral.

Um grupo diedral contem tambem isometrias proprias, pois o produto de duas isometrias improprias do grupo e uma isometria propria do

grupo. 0 conjunto das isometrias proprias contidas num grupo diedral 9 Seja X, uma reflex50 de 9. As isometrias improprias de 3 sgo, pelo forma um subgrupo. Esse subgrupo e um grupo roseta contendo so- Teorema 1.1 l , p. 151, mente isometrias proprias e e, portanto, um grupo poligonal %,.

Verificamos o seguinte teorema: X, X,-A, X,A2, . .. , Z,An- l .

2.7. Teorema: 0 subgrupo das isometrias proprias de um grupo diedral 0 grupo 9 tem, portanto, 2n elementos : as n rotagdes I, A , A2, . . . , An-

e um grupo poligonal %,, gerado por uma rotaggo A easnreflexdesemretasX,-i=X,A' ( F,- i") , i = O , 1 ,..., n-1 .

Alem disso, um grupo diedral tem as seguintes propriedades, que seriio enunciadas nos teoremas :

2.8. Teorema: As isometrias improprias contidas num grupo diedral s5o reflexdes em retas que passam pel0 centro das rotagdes do grupo.

Demonstru~.cio: Suponhamos que 9 seja um grupo diedral e que i2 E 9 seja urna isometria impropria. $2 e urna translag50 refletida p(3,f l (p. 135, Teorema 10.5) e p2 e urna translaggo de vetor 21: 'de 9. Como 9 n5o contem translagdes diferentes da identidade, segue 23 = 6 e, logo, 4

v = 6 o que implica $2 = p(3, fl = X, . As isometrias improprias do grupo 9 s5o ent50, reflexdes em retas.

2.10. Teorema: Seja 9 um grupo diedral e XI-,, X,, , ..., X , n - l a s reflexdes em retas contidas em 9. As retas f,, f , , . . . , f,-, dividem o p l a n ~ em 2n setores congruentes.

Demonstraqcio : Seja A = A F, - a rotag5o geradora do subgru- ( F) po poligonal de 9 e seja, X,.; = L,-A'. usando o Teorema 1 .I 3(d), p. 152 segue-se que:

Provaremos agora que estas reflexdes sgo reflexdes em retas que passam pel0 centro F das rotagaes do grupo. f2

f l

Seja X, urna reflex50 de 9 e seja A = A F,- E 9. A transfor- ( i") Portanto, X, ;x, ,+ , represents a

mada X,AX, e urna rotaggo de 9, de centro (F)X, . Como toda rotag5o rotaqiio A ( F, - ?) e j, e ji+ , inter- de 9 tem o centro F, segue

+ X

fo = f ceptam-se sob o Bngulo - .

( F ) q = F, n

isto e, F E ~ .

Resumindo, provamos :

2.9. Teorerha: Um grupo diedral contem o mesmo numero de reflexdes em retas como de rotagdes. Um grupo diedral 6, portanto, um grupo 2.11. Teorema: Todo grupo diedral 9 C finito de ordem par 2n. 0 finito de ordem par. conjunto das isometrias prbprias forma um subgrupo poligonal %, , gera- -

Demonstrap?o: Seja 9 um grupo diedral e suponhamos que I, A, do por uma rotag5o A ( F,- :) . As isometrias imprbprias de $2 s io n +.

I -\

A2, ..., An-I sejam as rotagaes contidas em 9, onde A = A reflexdes em retas que passam por F e formam 2n setores congruentes. Indicaremos esse t i p de grupo por 9,.

1..

Daremos a seguir exemplos de ornamentos cujos grupos simetricos siio 9 , , 9, e g 6 , respectivamente.

I ) Grupos de fitas que cont6m somente isometrias proprias. Entre eles distinguimos :

A) grupos de fitas que possuem somente translaqbes, B) grupos de fitas que possuem translaqbes e rotaqbes.

2) Grupos de fitas que contem isometrias improprias. Entre eles distinguimos :

C) grupos de fitas que possuem reflexbes em retas, D) grupos de fitas que possuem translaqdes refletidas.

I

Vamos achar um unico grupo 8, do tipo (A) e um unico grupo ,F2 do t i p (B). No caso (C), existem dois grupos cujos subgrupos, das isometrias proprias siio do tipo 8,, e dois grupos cujos subgrupos das isometrias proprias siio do t i p P 2 . No caso (D) vamos encontrar um unico grupo, que ainda n5o foi enumerado no caso (C). Vamos mostrar, portanto, que existem sete tipos diferentes de grupos de fitas.

A) Grupos de fitas qw possuem somente translagks.

Seja 9 um grupo desse tipo. Todas as translaqbes contidas em .F t6m a mesma direqiio.

3.1. Teorema: 9 e um grupo ciclico infinito, gerado por uma translaqiio ~(3) .

Fig. 27

Terminamos, assim, a discussiio sobre os grupos rosetas.

III.~".RUPOS DE FITAS

Estudaremos neste paragrafo os grupos de fitas, que siio os grupos discretos de isometrias que possuem transla~bes diferentes da identidade, mas somente em uma dirqiio.

Seja .F um gruh de fita. 0 conjunto das transla~bes e o conjunto - .

das isometrias proprias contidas em 5 formam dois subgrupos de 9. Podemos, entso, distinguir os seguintes t i p s de grupos de fitas:

Demonstra~clo: Como .F e um grupo discreto, podemos considerar a translaqiio r(3) E 9 cujo vetor tenha modulo minimal 1 3 1 > 0.

Seja r (4) uma translaqiio arbitraria pertencente ao grupo .F. Como w' e 3 t6m a mesma direqgo, existe um h E R, tal que w' = 13.

Existem numeros i E Z e p E R, 0 < p < 1, tais que h = i + p e, portanto, w' = i3 + p3.

A translaqiio r(w') e a translaqiio rCi(t;) siio elementos do grupo .F e, portanto, tambem o produto I

I

com 0 < lp31< 131. Como r(3) 6 a translaqiio de .F com vetor 3 de modulo minimal,

entzo (CiJ I = 0 e, logo, p3 = o'. Como 3 # o', temos p = 0. Isso implica w' = i?, ou seja, i3 e um multiplo inteiro de 3.

w - w % E . s E , s a * w w 5 * o 5 LCD 3 " % Lr g - o g z 1 3 P I E , P l o g O 0 7 i 0 m ma 3 " - m g ? -. 0 CD' g w = v l G P * ' $ 2 * O g 8 a E s , p * $ * o m . O v , 3 > g : $ 5

"'a

1" gf 3 7 I * z g r X $ g % g - v, 2 2 ,E. a "" o 0 5 0 .

" W

3 5 ,E. u 1 O i l 2 % % g a - " 3 C D E

9 5 p; 0 0

42, il 2.g o w

r n o ( 5 ' % E 51. p g

3.6. Teorema: Se 9 C um grupo de fita contendo translaqbes e rotaqbes, mas nlo isometrias improprias, os unicos elementos de .9 slo:

a) as translaqaes: r(i3), i E Z. - -+ v b) as reflexaes em pontos : C,;, i E Z, com FiFi+ = -.

2 Indicamos um grupo desse tipo pela letra P 2 . Vejamos duas fitas cujos grupos simetricos slo do tip0 P 2 :

v Fig. 29

Existem, portanto somente dois t i p s de grupos formados por isometrias proprias: 9l e F 2 .

C) Cnrpos de fitas que possuem uma reflex50 numa reta.

3.7. Teorerna: Se a reflexlo C, pertence ao grupo de fita 9 de transla- G o minimal r@), ent5o

Demonstrapio: A transformada C,.c(i;) C, = r((i;)Z,) e uma transla- G o do grupo 9; logo, o vetor @)C, tem que ter a direqiio de i;. Portanto, (?)C# = * 7.

Se (7) C, = 3, temos g // 7. Se (7) C, = - i;, temos g 1 '3.

Esse teorema implica que precisamos distinguir quatro t i p s de grupos de* fitas contendo uma reflexlo numa reta:

Seja 9 um grupo de fita, r(i;) sua translaqgo minimal e C,E 9. Distinguimos os seguintes casos :

1) g // 7, e o subgrupo de F , formado pelas isometrias proprias, C do t i p s1.

2 ) g // 3, e o subgrupo de 9 , formado pelas isometrias proprias, t do t i p s2.

3 ) g l i;, e o subgrupo de 8, formado pelas isometrias proprias, 6 do tipo 8 1 .

4 ) g l i;, e o subgrupo de 8, formado pelas isometrias prbprias, e do tipo F 2 .

Vamos tratar estes casos nesta ordem.

1 ) Seja 9: urn grupo de fita de transla@o minimal T@), conten& a reflex60 Z, corn g // i;, cujo subgrupo das isometrias proprias seja & tipo 8 , .

Pelo Teorema 1 . I I , p. I5 I , as isometrias contidas no grupo .F f s5o:

translaqbes: ~( i? ) , i E Z, translaq6es refletidas: Z,~(i2) = p(i5, g),

Vejamos algumas fitas cujos grupos simetricos s8o do t i p 9: :

Fig. 30 1

2) Seja 9: urn grupo de fita de translapio minimal r(i;), contendo a reflex60 Z, corn g // 3, cujo subgrupo das isometrias prbprias seja tipo 92 .

Como .% c .F:, .F: contem nlo sb translaqbes ~( i? ) , ~ E Z , mas tambkm * reflexbes em pontos F ; , iEZ. Esses pontos s5o alinhados numa reta s,

-

s (2. Logo, temos s / / g . Varnos mostrar primeiramente que s = g.

- a :. b

5 %) $ 2 - . a t ,

"! c. M

= $

$; 0s

I-2 "el 5 D %. % b k? g s

09 2 % B ? a s s

Pt 2 s 2. 5:

g ? 0. 2,

2. + n 3 2 a. s

3: s 8

0 produto ZFF1 k a translag50 refletida p ( 2 s 1 , s), e p2(2@1, s) = = ~ ( 4 ~ 7 , ) e uma translag50 do grupo. Logo, existe k E Z, tal que

4 c 1 = kg, De (*), segue

0 < (k31 < 1231. - Corno FF, e 3 tCm o mesrno sentido, temos k = 1 e, portanto,

Isso significa que g C a mediatriz do segrnento [FoFl]. Pelo Teorema 1.1 I , p. 15 1, o grupo B: contem os seguintes elementos:

isometrias proprias: ~ ( i z ) , XFi, i E Z,

isornetrias improprias: C, ~ ( i i j ) , C, C,;, i E Z.

Corno g e ortogonal a T;, existe urna reta fi tambkm ortogonal a 3, tal que r(iv') = C,Cj e, portanto, C,r(iv') = C,C,CJ = CJ i , onde o vetor

--t

V distrincia de g a f i t: i-. Logo, f i C? a mediatriz do segrnento [F#',+ ,I.

2 As isometrias improprias Cgr(iv') d o , ent20, as reflexdes nas media-

trizes entre dois centros de reflexdes em pontos consecutivos. As isornetrias improprias XgCFi s5o translagdes refletidas de eixo s

e vetores Zi, onde Zi C o dobro do vetor distsncia de g a Fi e, portanto,

0 grupo 92, contern, ent50, os seguintes elementos:

isornetrias proprias: ~(iTi), CFi, i E Z,

isometrias improprias: C,.,, p

Exernplos de fitas cujos grupos simetricos s5o do tipo 9;:

Fig. 33

x- Terminamos, assim, a discuss50 sobre os grupos de fitas que contCrn urna reflex20 numa reta.

D) Grupos de fitas que possuem uma translaqiio refletida.

Seja .F um grupo de fita de translag50 minimal rp ) , e p(d, g) uma translaggo refletida de 9.

Como p2(W',g) = r(2w') e uma translaq20 do grupo .F, existe i~ Z, tal que 2w'= iv'. Portanto, W' e g t6m a mesma direg2o de 3. Conforme i seja par ou impar, existe urn k E Z, tal que i = 2k ou i = 2k + I.

a ) i = 2k. Logo, 2w'= 2k3 ou w'= k3. Nesse caso, o produto

e uma reflex20 do grupo 9 e, portanto, recaimos no caso (C). Como a reta g 6 paralela a direg2o das transla@es, obtemos urn grupo do tip0 4: ou .F:, conforme o subgrupo das isometrias proprias seja do tipo $1 ou P2.

2 k + 1 , EntZio 2ii7 = (2k + 1)3 ou ii7 =- 2

v.

Nesse caso, 9 contem tambkm o produto

isto e, a translag20 refletida po = po (l - d ) ,

1 ) Se o subgrupo de .F, formado pelas isometrias proprias, 15 do tip0 9,, 9 contem os seguintes elementos:

Como C,,,,,, 6 uma reflex20 num ponto do grupo, existe urn j E Z, tal que ( F i ) p o = F j . Como o eixo g de po e paralelo a reta s, isso e possivel somente para g = s.

Nesse caso, o grupo ,F contem tambem o produto I

onde jo e a mediatriz do segrnento [Fo F , ] . Estamos, entlo, no caso 4 p. 165. .F e um grupo de fita que contem ~

uma reflex20 numa reta perpendicular a s que n2o passa por nenhum dos pontos F , , i E Z , e e, portanto, do tipo 9;.

Terminamos, assim, a discuss20 sobre os grupos de fitas. Como vimos, existem 7 grupos diferentes de fitas: 9,, S:, 8:, 8:, F2, Pi, 9:.

isometrias proprias: ~ ( i i ? ) , i E Z, 3.8. Exercicios.

( 2 i i ~ , ~ ) , i EZ . isometrias improprias: p,~(iiJ) = p - 1) Determinar o grupo simetrico de uma reta. Esse grupo e discreto? 2 ) Analisar os tipos dos grupos rosetas, determinados pelos seguin-

Ent2o .y contem somente translagbes e translagbes refletidas de vetores tes ornamentos :

diferentes de d. Este grupo 6 diferente dos grupos de fitas ja obtidos e sera indica-

do por .F:.

Exemplos de fitas cujo grupo simktrico e do tip0 9: :

c Fig. 34

2 ) Consideremos o subgrupo de .F, formado pelas isometrias pr6- Fig. 35 Fig. 36

prias do t i p .F2, e sejam C,,, i E Z, as reflexbes em pontos do grupo 9, e s a reta que passa pelos pontos F,, i E Z . 3) Determinar sistemas de geradores para cada um dos t i p s de

Consideremos a transformada pb ' Z f i p 0 , que e elemento de 9. grupos de fitas. Existem grupos de fitas de diferentes tipos que s2o iso-

Temos : morfos? 4 ) Analisar os tipos dos grupos de fitas determinados pelas seguintes

PO ' Z ~ i ~ o = Z ( ~ i ) p o - figuras :

Daremos a seguir o sistema dos axiomas da Geometria Euclidiana de Hilbert, conforme o livro Foundation of geometry [9]. Apesar de ter sido editado pela primeira vez em 1902, seu conteudo niio e antiquado. Achamos importante conhec2-lo, pois nele foi definido satisfatoriamente, pela primeira vez na historia da Matematica, sob o ponto-de-vista logico o que e Geometria Euclidiana: o conjunto dos teoremas e conceitos de- dutiveis do sistema de axiomas de Hilbert.

Somente nos ultimos anos foi feita uma mudanqa desses axiomas; os Axiomas de congruencia foram substituidos por Axiomas sobre isometrias e perpendicularismo de retas [4].

0 livro de Hilbert foi escrito para o Espaqo Euclidiano. Como nosso texto trata exclusivamente do plano, limitar-nos-emos tambem ao plano e deixaremos de lado todos os axiomas que se referem ao espaqo. Segui- remos o livro de Hilbert, adaptando em certos pontos a linguagem matematica a linguagem moderna. Para as demonstraqdes dos teoremas, recomendamos a leitura de [2] e [9].

Sejam dados dois conjuntos 9 e 9'. Chamaremos de pontos os elementos de 9, indicados por letras maiusculas P, Q, R , ... e de retas, os elementos de 9, indicados por letras minusculas, f , g , a, ... . Existem certas relaq6es como "incidente", "entre", "congruente", "paralela" e "con- tinua" que ligam pontos entre si, retas entre si e pontos com retas.-A descriqiio dessas relaqdes e feita mediante os axiomas.

0 s axiomas da Geometria Euclidiana siio divididos em cinco grupos:

I ) Axiomas de incidencia I , - I , . 1 1 ) Axiomas de ordem 0 , - 0,.

1 1 1 ) Axiomas de congruencia C , - C 5 . IV) Axioma da paralela P. V ) Axiomas de continuidade T , - T,.

No total existem, portanto, 15 axiomas. b

Consideremos uma relaqiio entre retas e pontos, para a qua1 escreveremos g 1 P ou P I g. Usando a linguagem geombtrica, dizemos que

a reta g passa pelo ponto P ou que P esta na reta g . Se t r b pontos A , B e C pertencem a mesma reta, diz-se que A, B e C sGo alinhados ou colineares.

A relaqiio I satisfaz os seguintes axiomas:

-h 1.1. Axiomas de incidCncia

( I , ) Dados dois pontos distintos A e B, existe uma, e somente uma, reta passando por A e B, indicada por AB.

( I , ) Em cada reta estiio, no minimo, dois pontos distintos. (I,) Existem tres pontos niio colineares.

1.2. ConseqiiCncias.

a ) Se duas retas distintas tSm um ponto comum, esse ponto e linico e e chamado ponto de intersecqiio.

b) A uma reta corresponde biunivocamerite o conjunto dos pontos que estiio nela. Podemos, entiio, identificar esse conjunto de pontos com a reta e substituir conseqiientemente, a relaqiio I por "E": P 1 g se, e somente se, P E g. Deste ponto-de-vista, uma reta e um conjunto de pontos.

IV.2. AXIOMAS DE ORDEM .d

2.1. Ordem de pontos alinhados. No conjunto das ternas de pontos alinhados, distintos dois a dois, consideremos a relaqiio (ABC) (que se 16: "0 ponto A esta entre os pontos B e C") satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer pontos A, B e C alinhados:

2.2. Axiomas de ordem.

(0,) (ABC) implica (CBA), e A # B, B # C e A # C , isto e, se B esta entre A e C , entiio A, B e C d o distintos, e B esta tambem entre C e A .

(0,) Se A # B, existe um ponto C na reta AB, tal que (ABC). (0,) Se (ABC) n8o pode valer nem (ACD), nem (BAC), isto e, dados . tr2s pontos de uma reta, no maximo urn deles esta entre os outros dois.

Para enunciar o ultimo Axioma de ordem, precisamos do seguinte conceito :

- 111 K?. a n a 9 6 a h? U

03 z R n

Pngulo (q, b) . 0 interior e definido como intersec~iio dos dois semiplanos 0 8ngulo (6, a_*) e chamado ingulo suplementar do Pngulo (9, b_) , fechados, determinados pela reta a, contendo 4, e pela reta b, contendo 2. enquanto os 8ngulos (2, b ) e (a_*, _b*) siio chamados opostos pelo vkrtice.

0 8ngulo (9, _b) e chamado reto se ( L Z , ~ ) = (4, q*). , Duas retas a e b que se interceptam no ponto 0, determinando semi-

-retas 5 e 4 nas retas a e b, respectivamente, chamam-se perpendiculares se o 8ngulo (9, 6) for reto.

b) 0 interior do ingulo (9,b) + 0°, rc e um conjunto convexo. c) Toda semi-reta de origem 0 esta contida inteiramente ou no 3.9. Triiingulos congruentes. Dois tri8ngulos A(ABC) e .AcA1B'C') cha-

interior ou no exterior do Pngulo (a_,b)#OO, rc, de vertice 0. mam-se congruentes se [AB] = [A'B'], [BC] - [B'C'], [CAI = [C'A'] e - - n - .. 2 - A', B = B', C - C'.

3.6. Angulos congruentes. Consideremos no conjunto dos ingulos a relaciio (9,h) = ( 4 , b _ ' ) (que se 12 "(y, 4) e congruente a (a_' , y)") satis- ,x,

3.10. Triiingulo isosceles. Um tridngulo A(ABC) chama-se isosceles se

fazendo os seguintes axiomas: dois dos seus lados slo congruentes. Por exemplo, [AB] - [ACJ. Diz-se nesse caso que B e sio os Pngulos da base do triingulo A(ABC).

3.7. Axiomas de congruencia de Ingulos. 3.1 1. ConseqiiCncias dos axiomas de congruencia.

(C,) a ) Todo dngulo e congruente a si mesmo, isto e , para todo dngulo (a_,_b) temos: (a_,&) = ,(?, 6).

b) Dados um dngulo (a, b), uma semi-reta u' da reta a', de origem 0' e um semi-piano fechado &,., existe uma, e uma so, semi-reta 4' c 8,. de origem 0', tal que ( a _ , _ b ) 5 (a_', 6').

(C,) Quaisquer que sejam os tri8ngulos A(ABC) e A(A1B'C'), se n

[AB] - rA 'B'], [AC] = [A'C'], 2 - 2, entiio B = B'.

Definimos :

3.8. Angulos suplementares, lngulos opostos pelo vCrtice, Pngulo reto, retas perpendiculares.

Sejam _a e _b duas semi-retas de vertice 0, e y* e t* suas semi-retas opostas.

a) Vale a unicidade do ponto B' no axioma (C1). b) Seja A(ABC) um trisngulo e [AB] - [AC]. Temos C^, isto C,

num triPngulo isosceles os dngulos da base s8o congruentes. c) 1 .O Teorcma de congruincia de tri8ngulos: 0 s triingulos A(ABC)

e A(A1B'C') s io congruentes se [AB] = [A'B'], [AC] - [A'C'] e A z 2'. d) 2." Teorema de congrdncia de tri8ngulos: 0 s trilngulos A(ABC)

e A(A'B1C') siio congruentes se [AB] - [A'B'], 2 = A ' e B - g'. e) Se dois 8ngulos siio congruentes, seus Pngulos suplementares e

seus 8ngulos opostos pelo vertice sio tambem congruentes. f) Existem dngulos ,retos. g) 3." Teorema de congruincia de triingulos : Dois tri8ngulos A(ABC)

i e A(A'BfC') siio congruentes se [AB] = [A'B'], [BC] - [B'C'] e [AC] s [A'C']. h) A rela~iio de congruincia no conjunto dos ingulos e uma relaqiio

de equivalincia.

3.12. Angulo livre. Cada classe de ingulos congruentes chama-se dngulo livre. Indicamos os Bngulos livres por letras gregas minusculas a, P, y, ... ou, se (a, b) e um representante do ingulo livre a, escreveremos tambem a= % (a_, 6).

0 conjunto dos ingulos zero e o conjunto dos ingulos rasos formam dois ingulos livres, indicados por 0" e n, respectivamente. -,

Sejam dados dois ingulos (2, b) + e (a', + k'), distintos de 0" e n. Pelo I axioma (C,) (b), existe uma unica semi-reta c, no semiplano determinado 1 por a que contem 4, tal que (2 , 5 ) = (a_ ' , t ' ) , e uma unica semi-reta c', ! no semiplano determinado por a' que contern k', tal que (a_', 5') - (a, b_).

+

Se nesta c o n s t r u ~ i o c esta no interior d o ingulo (a_, b), 5' esta no exterior d o ingulo ( g ' , _b') e, reciprocamente, se 5 esta no exterior de (g, b), c' esta no interior de (a_', h').

Podemos, entilo, comparar ingulos livres:

3.13. ComparaqHo de lngulos livres. 0 ingulo livre a= % (a_, _b) chama- se maior ou igual a o ingulo livre 0 = % (a', t ' ) , a, P # 0°, n se, na cons-

+

truqso acima, c e urna semi-reta no interior de ( g , 6). Caso contrhrio, +

dizemos que a= % ( a _ , 4) e menor que p = % (a_', 4'). Em simbolos, temos no l o caso a> j3 e no 2" caso a< p.

Definimos n > a e a > 0" para todo ingulo livre a. *

3.14. Conseqiiencias.

a ) Se a, p e y s i o ingulos livres quaisquer, com a> P e >, y, en- t i 0 a> y.

b) Todos os ingulos retos silo congruentes e formam, portanto, um n ingulo livre, indicado por -. 2

Com a Defini~iio 3.13, pligina anterior, podemos definir

3.15. Angulo obtuso, lngulo agudo. Um ringulo livre chama-se obtuso ou agudo se ele e maior ou menor, respectivamente, que um ingulo reto.

3.16. Angulo externo de um trilngulo. Seja A(ABC) um triingulo. 0 s ingulos suplementares de A^, k e ?, respectivamente, chamam-se ingulos externos do triingulo A(ABC).

Analogamente A Propriedade 3.1 1 (h), p. 179, para ingulos, mostra-se que a relacio de congruincia e uma relac20 de equivalincia no conjunto dos segmentos.

3.17. Segmento livre. Uma classe de congruincia de segmentos e chamada segmento livre. 0 segmento livre representado pelo segmento [AB] e indicado por d= [z].

Analogamente Definiqiio 3.13, da pligina anterior, temos:

3.18. ComparaqHo de segmentos Iivres. Dizemos quc um segmento livre (1, = [ B ] 6 maior ou igual ao segmento livre c12 = [A'B'] se existe um ponto C E [AB], tal que [AC] = [A'B']. Caso contririo, dizemos que o segmento Iivre d, = e menor que o segmento livre d, = [A'B'].

3.19. Conseqiiencias.

a ) 0 ingulo externo de A num triingulo A(ABC) e maior que os ingulos B e ?. isto k , um ingulo externo de um triingulo 6 maior que cada um dos dois outros ingulos d o triingulo.

b ) Num tri5ngul0, o lado maior e oposto ao ingulo maior. c ) Dados uma reta g e um ponto P, P 4 g , existe uma reta por P

que n i o intercepts g. d ) Um triingulo com dois ingulos congruentes e isosceles. e ) Dois triingulos fi A(ABC) ,. e A(A1B'C') siio congruentes se [AB] =

[A'B'], 2 - A' e C zi C'. f ) Para cada segmento [AB] existe um ponto medio M , isto e, um

ponto M E [AB], tal que [AM] = [MB]. g ) Para cada ingulo (g, _h) existe uma bissetriz, isto e, se 0 e o ver-

tice d o ingulo (z,_h), existe uma reta g por 0, com as semi-retas g e g* de origem 0, tal que (a, g ) - (g, b), e (a, g*) - (g*. h) .

+ + - - + + 4 4

IV.4. AXIOMA DA PARALELA

4.1. Retas paralelas. Duas retas a e b chamam-se paralelas (a // b ) se elas n io tEm ponto comum ou se a = b.

4.2. Axioma da paralela.

(P) Dados uma reta g e urn ponto P , P E g, existe, no miiximo, uma rcta por P, paralela a g .

a ) 0 Axioma da paralela junto P

com o Teorema 3.19(c), p. 18 1 , signi- - - fica que. dados uma reta I: e um pon- to P, P f j g, existe uma, e uma so. reta [I

por P, paralela a g.

b) A relacgo de paralelismo no conjunto das retas e urna relac20 de equivalencia.

C ) Sejam u e h duas retas paralelas. Toda reta perpendicular a a e tambem perpendicular a h. Todas as retas perpendiculares'comuns a cr e a b s2o paralelas entre si.

4.4. Angu~os correspondentes, lngulos alternos internos e externos. Sejam a e h duas retas e c urna reta transversal. Por u , b e r. s io determinados os lngulos a, b, y, 9, a', b', y' e 9'. 9' 7' indicados na figura do lado.

cl e cl', p 6 /l', y e y' e 9 e 9' chamam-se 8ngulos correspondentes, 9 e /?', y e cc', ingulos alternos internos, e cl e y', P e 9' Cngulos alternos externos.

Sejam u e h duas retas paralelas e c uma retra transversal a a e h. EntGo. os ingulos correspondentes, os 2ngulos alternos internos e os ingulos alternos externos s io congruentes.

Reciprocamente, se u e b sGo duas retas e c urna reta transversal a a e b, tais que os lngulos correspondentes, ou os Bngulos alternos internos, ou os ingulos alternos externos sejam congruentes, entiio a // h.

4.5. Soma de ingulos livres. Sejam a = 3: (a_, 4 ) e P = 4: (r, g ) dois ingulos livres, a, P # 0°, n, e seja 0 o verlice de a. Existe, umi Znica serni- reta c, de origem 0, no s e m ~ ~ l a n o deterrninado pela reta b que niio contem q, tal que (b, :) - ( j , g ) .

+ + 0 ingulo livre y = + (2,~) chama-se soma dos Sngulos livres a e P,

se 5 esth no mesmo semiplano em relacso a reta a como 4 : y = a + p. '-..

Usaremos a seguinte abrevia~rlo:

n 3: (g , 4 ) = 3: (a_, 5 ) + 3: (5, &) + ... + 3: (g. h _ ) (n somatorios).

A soma dos ingulos livres representados pelos tres ingulos de um triingulo 6 igual ao ingulo livre raso.

*

Analogamente a defini~iio anterior, temos:

4.6. Soma de segmentos livres. Sejam d l = [B] e d2 = [El dois segmentos Ijvres, A # B, F f G . Existe, na reta AB um unico ponto C , tal que ( A B C ) e [BC] = [ F q . 0 segmento livre d = [Ac] chama-se soma dos segmentos livres d , e d2 :

[Aq = [AB] + [Bq.

Usaremos a seguinte abreviacrlo :

n [ D ] = [m] + [m] + ... + [m] (n somatorios).

4.7. CircunferCncia, diQmetro, corda. Dado um ponto M, chama-se circunfercncia k, de centro M , ao conjunto dos pontos X E Y 6 . tais que os segmentos [MXJ sejam congruentes. Dois pontos A e B, de k , chamam-se diametrais se A e B s8o alinhados corn M. 0 segmento [AB]

6'

chama-se, nesse caso, digmetro de k . Se A e B siio quaisquer pontos de k , o segmento [AB] C chamado corda de k .

4.8. ConseqiiCncias. 5.1. Axiomas de continuidade.

a ) Consideremos trts pontos niio alinhados A , B e C. Existe, uma, e somente uma, circunferencia que passa por A, B e C.

A intersecqiio de duas circunferencias k , e k2 distintas sera, portan- to, uma das alternativas:

i) dois pontos se k , e k, interceptam-se; i i ) um ponto se k, e k2 tangenciam-se;

i i i ) 0 se k , e k2 n8o ttm ponto comum.

b ) Dois pontos distintos A e B de urna circunfertncia k dividem o conjunto dos pontos de k em dois subconjuntos disjuntos, k , e k, : os arcos de k, determinados pelos pontos A e B.

x3

C ) Seja k , um arc0 da circunfertncia k, determinado pelos pontos A e B. 0 s ingulos A ~ B siio congruentes para todos os pontos X E k , , X f A , B.

d ) Sejam A, B, C e D quatro pontos distintos de urna circunferin- cia k, tais que o quadrilatero A, B, C e D seja convexo. A soma de dois ingulos livres representados por i n - gulos opostos, no quadrilatero e um k

ingulo livre raso. lsto e,

IV.5. AXIOMAS DE CONTINUIDADE

A partir dos axiomas anteriores, podemos mostrar, c o r n vimos, muitas propriedades conhecidas da Geometria Euclidiana. Podernos ate associar a cada ponto um par de coordenadas (x, y), e a cada reta urna equaq8o linear y = ax + b ou x= c, onde x, y, a, b e c n8o s8o necessaria- mente numeros reais, mas numeros racionais. Para poder introduzir urna Geometria Analitica sobre os numeros reais, faltam os seguintes axiornas:

( T , ) Axiomu de Archimedes. Dados dois segmentos livres d l = [AX] e d, = [m], A # B, C # D, existe um numero n E N, tal que

(T,) Axiomu du con~pketividude linear. 0 conjunto dos pontos de uma reta niio pode ser estendido de maneira que continuem a valer todos os Axiomas de incidsncia, ordem, congrusncia e o Axioma (T, ) , em relaqiio a incidencia, ordem e congrusncia ja definidas no conjunto dos pontos antigos.

5.2. ConseqiiCncias

a ) A cada segmento livre podemos associar biunivocamente um numero real d, d 2 0, chamado comprimento do segmento [AB] ou distincia de A e B e indicado por I AB I. A soma de segmentos livres corresponde a soma dos numeros reais correspondentes.

b ) A cada ingulo livre corresponde biunivocamente um numero real h, 0 <h < n.

= c) Num paralelogramo, lados opostos tsm o mesmo comprimento. d ) Sejam u e b duas retas paralelas e g urna reta perpendicular a

a e b que intercepta u e b em pontos A e B, respectivamente. 0 comprimento ( A B ( n8o depende da reta g . Pode-se definir, portanto, I AB ( como distincia das retas u e b.

e) A soma de dois segmentos livres representados por dois lados de um triingulo 6 maior do que o segmento livre representado pelo ter- ceiro lado do triingulo.

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Isometria_Ledergerber_Capitulo3_4