IT744 Eletrônica de Potência para Geração, Transmissão e ...antenor/pdffiles/it744/aula2.pdf · Componentes simétricos OS T OSTU OSTX OS OV OS V U OSX OS OS W OSWU OSWX OS 1920

1

1

Campinas – SP24 Outubro de 2013

IT744 Eletrônica de Potência para

Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica

Tópicos em Teorias de Potência em Condições não Ideais de Operação – Parte II

Helmo K. Morales ParedesGASI - Grupo de Automação e Sistemas Integráveis

UNESP – Univ. Estadual PaulistaCampus Sorocaba

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Aula anterior

Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013

A potência instantânea contém uma parte constante e uma parte oscilatória com o dobro da frequência ();

A parte oscilatória é composta de duas parcelas que oscilam em quadratura: uma parcela oscila com e vale e a

outra parcela oscila com e vale .

Potência ativa “” Potência reativa “”

1. Análise e teoremas clássicos de circuitos elétricosmonofásicos;

Oscilação da potência instantânea (troca de energia entre a carga e fonte)

2

3

Aula anterior


2. Análise e teoremas clássicos de circuitos elétricostrifásicos;

Ao contrário do sistema monofásico, a potência instantânea transferida das fontes para as cargas no sistema trifásico

senoidal balanceado não é oscilatória.

Isso significa que não há potência reativa ?

Da análise fasorial temos que: ∡

4

Aula anterior


2. Análise e teoremas clássicos de circuitos elétricostrifásicos; ∡

Nota-se que essa soma é diferente da soma no domínio do tempo, onde as potências reativas das três fases se cancelavam ao longo do tempo. Nessa soma complexa se apresentam as demandas de

potências ativa e reativa das três fases separadamente, e não como funções temporais.

Discutir sobre a conveniência ou não dessa representação para ocaso trifásico é importante, porque ela esconde o fato de que sepode compensar a demanda instantânea de reativos das fases sema necessidade de elementos armazenadores de reativos, já que asoma instantânea é zero no caso senoidal balanceado.

3

5

Aula anterior


4. Impactos de formas de onda não-senoidais e desequilibradasnos sistemas de energia atuais: instrumentação, medição,tarifação, compensação, etc.

Para a correção do na presença de harmônicas não basta instalar capacitores. É necessário primeiro

eliminar as harmônicas.

O FP diminui pela simples presença de correntes harmônicas ou tensões harmônicas.

Como taxar quem gera harmônicos e tem FP acima do limite mínimo de FP?

Como fica a compensação e a tarifação do circuito elétrico (instalação) na presença de tensões e correntes harmônicas e/ou assimetrias (desequilíbrio/desbalanço)?

6

Ementa 2

1. Técnicas de análise: série de Fourier, método deFortescue, teorema de Blayksley, operadoresmatemáticos, etc;

2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;

3. Considerações sobre a situação atual dos sistemaselétricos;

4. Definição de novas teorias de potência para circuitoselétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados.


4

7Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013

Operadores matemáticos para quantidades de fase

Técnicas de análise

O valor médio de uma grandeza instantânea é definido como:

1 ! "#$

Antes de iniciar o estudo das propostas de teoria de potência maisrelevantes, faz-se necessário uma breve revisão de algunsconceitos matemáticos, os quais foram utilizados por diferentesautores para a definição de diversas parcelas de potência.

e sua norma Euclidiana, é:

, 1 !& "#$ '

onde ' resulta no valor eficaz da variável (

) 1 !*& "#$ ; , 1 ! -& "#

$




O produto interno de duas grandezas periódicas e . édefinido como:

No caso do produto interno de e . resultar igual à zero,tais grandezas serão ditas ortogonais, isto é:

, . 1 ! . "#$ /

, . 1 ! . "#$ 0 /

A ortogonalidade entre duas grandezas, por exemplo, pode se dar:

Para funções senoidais deslocadas em 900;Para componentes harmônicas de ordens diferentes.

1 1 !* - "#$

2 . 3& '& 4&Soma de

quantidades ortogonais

5




Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwartz para o produtointerno temos:, . 5 . '46Série Trigonométrica de Fourier:

7 8$2 : 8;cos ?@$ A;sen ?@$D;EF7 7$ 7F 7& 7G ⋯7;

1 5 ), I

As quatro somas da séria de

Fourier de uma onda quadrada* *$ *F *& *G ⋯*;- -$ -F -& -G ⋯-;


Operadores matemáticos para quantidades vetoriais


Considerando os vetores e . de dimensão “J”, definidos como:

F&⋮L F&⋮L , . .F.&⋮.L .F.&⋮.Lassim por exemplo, a magnitude do vetor é dado por:

∙ :N&LNEF

6




O valor médio do vetor é definido como:

e, consequentemente, a norma do vetor é:

1 ! " #$

F&⋮L

, 1 :!N&"#$

LNEF :'N&L

NEF Oonde O é o valor eficaz coletivo do vetor e 'N o valor eficaz (de

fase) da variável N) : )N&P

NEQ ; , : ,N&PNEQ




O produto escalar instantâneo dos vetores e . é definido como:

e o produto interno destes dois vetores é dado por:

A ortogonalidade entre os vetores e . dá-se quando:

∙ . :N.NLNEF

, . : N , .NLNEF : 1 !N .N "#

$LNEF

, . 0,

R : *N-NPNEQ

1 : 1 !*N -N "#$

PNEQ

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Componentes Simétricas


S TU S T TS V TS WS TX S T TS V TS WS T S T S V S W

Nota-se que, a componente de sequência zero é dado pela soma dostrês fasores “YZ[”. Assim, no caso dos fasores “YZ[” seremequilibrados (simétricos) a sua soma é zero, portanto, o componentede sequência zero também resulta zero;

Assim, em circuitos equilibrados a tensão de sequência zero é nula;

No entanto, em circuitos desequilibrados, existindo tensão desequência zero na tensão de fase, não existirá tensão de sequênciazero entre fases.




sequência positiva

sequência negativa

sequência zero

Sistema original

S TUS VU TS TUS WU TS TUS TXS VX TS TXS WX TS TX

S T S S V S S W S S TS VS W

Portando, os três fasores originais, podem ser analisadosanaliticamente ou de forma gráfica como mostrado a seguir:

S TUS VU

S WUS TX

S VX

S WXS T

S V

S W 1200

1200

1200

1200

1200

1200 S TS V

S W

8




Similarmente podemos decompor os fasores “ABC” da corrente noseus componentes simétricos, como segue:

STU ST TSV TSWSTX ST TSV TSWST ST SV SW

sequência positiva

sequência negativa

sequência zero

SVU TSTUSWU TSTUSVX TSTXSWX TSTXSV STSW ST Em circuitos trifásicos em \ com neutro (retorno) a corrente de

neutro vale o triplo da corrente de sequência zero; Em circuitos trifásicos em ∆ ou em \ sem neutro (retorno), não

existirá corrente de sequência zero nas linhas.




Os circuitos equilibrados (simétricos) possuem apenas acomponente simétrica de sequência positiva;

Os circuitos trifásicos desequilibrados (assimétricos) a três fios(sem condutor de neutro) possuem apenas a componentesimétrica de sequencia negativa;

Os circuitos trifásicos desequilibrados (assimétricos) a quatro fios(com condutor de neutro) possuem a componente simétrica desequencia negativa e zero;

Portanto, os desequilíbrios dos circuitos elétricos são expressospelas componentes de sequências negativa e zero.

9




O nível de desequilíbrio de um circuito trifásico sem condutor deretorno (3 fios), poder ser caracterizado percentualmente pelarelação entre as magnitudes da componente de sequêncianegativa e a sequência positiva:

^X_%a XU ^X_%a XU No caso de circuitos trifásicos desequilibrados com condutor deretorno (4 fios), o nível de desequilíbrio, além dos fatores, ^X e^X, também devera ser caracterizado percentualmente pela raçãoentre as magnitudes das componentes de sequência zero e asequência positiva:

^_%a U ^_%a U




Os componentes simétricos dos valores instantâneos das tensões ecorrentes pode ser obtidos pelo mesmo processo que é utilizadoquando o método é aplicado aos fasores de tensão e corrente.

bTU bT TbV TbWbTX bT TbV TbWbT bT bV bW

cTU cT TcV TcWcTX cT TcV TcWcT cT cV cWcT cV cW c cdbT bV bW b bd

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As componentes simétricas dos valores instantâneos das tensões ecorrentes podem ser obtidas pelo mesmo processo que é utilizadoquando o método é aplicado aos fasores de tensão e corrente.

bTU bT TbV TbWbTX bT TbV TbWbT bT bV bW

cTU cT TcV TcWcTX cT TcV TcWcT cT cV cWcT cV cW c cdbT bV bW b bd

20

Ementa 2






11


Considerações sobre a história de algumas teorias de potência

1865(James Clerk Maxwell)

fenômeno de defasagem

1888(Oliver B. Shallenberger)

fenômenos de oscilação da potência



1894(Edwin J. Houston e Arthur E. Kenenlly)

Primeiros trabalhos que utilizam o termo harmônicofenômeno de distorção

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Charles Proteus Steinmetz

1892Carga não linear produz

correntes não ativas sem alterar o ângulo de fase

1893fenômeno de ressonância

1897fenômeno de desbalanço

(desequilíbrio) e



1893, 1897, ...C. P. Steinmetz

“Nenhuma outra ferramenta matemática teve tanto impacto no

estudo de circuitos elétricos”

1910 ...Campos, Lupi e Niethammer

“Iniciaram debater problemas relacionados com a assimetria de

tensões e correntes”

Potência aparente vetorial

Potência aparente aritmética

, , e ∅gh

Teoria de números complexos para análise de circuitos

elétricos

, , , Y, , , Y

13



1913, 1918 ...Charles Legeyt Fortescue

“Primeira técnica para analisar os circuitos elétricos assimétricos

(desequilibrados) e é a mais utilizada atualmente”

Componentes simétricosOS T OS TU OS TX OS OV OS VU OS VX OS OS W OS WU OS WX OS 1920 ...W. V. Lyon

“Circuitos trifásicos desequilibrados”e “Potência reativa em circuitos

desequilibrados”



1920 ...AIEE – American Institute of

Electrical Engineers

“Primeiro encontro para discutir as definições de fator de potência em

circuitos polifásicos”

, , , Y, , , Y

, , , ∅ , ij∅ , kl∅

1922 ...F. Buchholz

“Potência aparente em circuitos polifásicos”

definição de valores coletivos

m, m , m

14



1932, 1933 ...Fryze

“Decomposição da corrente instantaneamente e definição de

termos par circuitos monofásicos”novo termo – corrente ativa

S, P, QB, DB, FPB

(domínio da frequência)

1927Budeanu

“Definição de termos de potência em condições não senoidais para

circuitos monofásicos”novo termo – potência de distorção

S, P, QF, FPF ia(t)(domínio no tempo)



1935AIEE - Harvey e Francis

“Com base nas discussões de 1920 e 1933, foram dados conceitos e definições fundamentais para

circuitos monofásicos e trifásicos”

1933AIEE - American Institute of

Electrical Engineers“Segundo encontro para discutir as

definições de potência reativa e fator de potência em circuitos polifásicos”

Lyon e GoodhueP, S: são interpretados em função da potência

máxima transferida

Y Y

Conceitos e definições relacionados com P, S em:

Circuitos monofásicos:senoidais e não-senoidais;

Circuitos polifásicos:balanceados e desbalanceados em condições senoidais e não-senoidais

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1941Definições de potência foram

normalizadas

IEEE STD Dictionary(porém continuaram as discussões)



1950 Buchholz

1962 Depenbrock

1982 Akagi, Kanazawa e Nabae

1971 Kimbark

1972 Shepherd e Zakikhani

1973 Sharon

1980 Kuster e Moore

1980 Page

1988 Czarnecki

Outros ...

16



Nos anos 90 se iniciaram as principais discussões de propostas com

especialistas de grandes grupos de estudo:

O grupo de estudo do IEEE para situações não senoidais; I – VII International Workshop on Power Definitions and

Measurements under Non-sinusoidal Conditions; ISNCC – International School on Nosinosoidal Currents and

Compensation.

onde foi publicada uma quantidade expressiva de artigos sobre o tema e

foram apresentadas propostas de metodologias e definições para o cálculo

e decomposições de parcelas de corrente e potência em sistemas

monofásicos e polifásicos.

32

Ementa 2






17


Motivações para o estudo das teorias de potência:

Sistemas de potência tradicionais e sistemas de potência modernos (Smart Grids);

O papel da eletrônica de potência nos sistemas modernos;

Otimização local e global do desempenho do sistemas de potência;

Princípio do controle cooperativo distribuído de Processadores Eletrônicos de Potência.

Considerações e Problema atual


Sistema de Potência Tradicional

Pequeno número de usinasde energia de grande porte;

Usinas localizadas em locaisestratégicos;

Rede Forte (fontesde tensão quase ideal);

Controle centralizado;

Fluxo de potência unidirecional;

Os clientes não participam para o equilíbrio da potência.

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Sistemas de distribuiçãoa escala local;

Fontes de energiadistribuída (FED);

A rede fraca (fontesde tensão não ideal);

Interfaces eletrônicasinteligentes entre fontesde energia e rede;

Fluxo de potência bidirecional;

Participação multilateral para o equilíbrio da potência.

Sistema de Potência ModernoSmart Grids


Benefícios das Redes ModernasSmart Grids

Recursos renováveis distribuídos;

Menor emissão;Redução de custos da energia.

Redução das perdas de transmissão e distribuição;

Fontes de energia perto das cargas.

Melhor utilização das fontes de energia convencionais;

Menos potência ativa, reativa, desbalanço e distorção.

Suporte para tensão;

Injeção de potência reativa distribuída.

Incremento na capacidade de potência da rede;

Sem investimento em infraestrutura de rede.

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Desafios das Redes ModernasSmart Grids

Fluxo de potência bidirecional;

Novo controle e estratégia de proteção.Estabilização dos perfis de tensão.

Rede fraca;

Compensação de tensões distorcidas devido a cargas não lineares;

Compensação de tensões assimétricas devido a cargas desbalanceadas e unidades monofásicas de FED (PV, baterias, …)

Injeção irregular de potência por fontes de energia renováveis;

instalação e controle de dispositivos de armazenamento de energia


Necessidade de uma revisãodos termos de potência

Smart Grids (smart micro-grids)

Em uma situação típica onde:

A rede pode ser fraca;

Frequência pode mudar;

As tensões são assimétricas;

As distorções afetam tensões e correntes.

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1. As definições existentes para potência reativa, desbalanço e distorção são realmente válidas?

2. Qual é o significado físico desses termos?

3. Estes termos são úteis para tarifação e compensação?

4. Até que ponto as medições de potência são afetadas pelas formas de ondas não ideais?

5. É possível a discriminação de responsabilidades entre a fonte e a carga sob condições de distorção e assimetria?

Necessidade de uma revisãodos termos de potência

Smart Grids


Objetivos das teorias de potênciaSmart Grids

Análise da transferência de potência na presença de tensões e correntes distorcidas e/ou assimétricas;

Identificação das fontes de distorção e assimetria da rede;

Compensação de reativos, assimetrias e harmônicas;

Definição de métodos de medição adequados para a correta assinação de responsabilidades (tarifação).

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Definições de algumas teorias de potência

No domínio da frequência

Constantin I Budeanu (1927) Leszek Czarnecki (1984 ... ) IEEE STD 1459 (2000 ...)

No domínio do tempo

Stanislaw Fryze (1931/1932) F. Buchholz (1922/1950) Manfred Depenbrock (1962/1993) Akagi & Nabae (1983 ... ) Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003 ... 2010 ...)

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Ementa 2

1. Técnicas de análise: série de Fourier, método de Fortescue,teorema de Blayksley, operadores matemáticos, etc;


3. Considerações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;4. Definição de novas teorias de potência para circuitos

elétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados. Budeanu (1927); Fryze (1931); Buchholz (1950); Depenbrock (1962 ... 1993); Akagi et al (1983 ... 2007); Czarnecki (1984 ...); IEEE std 1459 (2000 ..., 2010); Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003, ..., 2010, ...);


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Constantin I. Budeanu (1927)

Abordagem no domínio da frequência

A tensão e a corrente são expressas mediante séries deFourier. Portanto, o valor eficaz de tais variáveis pode sercalculado como:

n ∞) :);&D

;EF )F& )&& ⋯ )pXF& )p&

, : ,;&D;EF ,F& ,&& ⋯ ,pXF& ,p&


A partir da análise matemática da interação entre acorrente e a tensão, a potência aparente resulta:


I& )&,& )F& ⋯)pXF& )p& ,F& ⋯ ,pXF& ,p&Por outro lado, o valor eficaz ao quadrado da correnteharmônica poder ser expressa como:

Substituindo a equação anterior e aplicando a identidade

de Lagrange na expressão da potência aparente obtemosas três potências (P, QB e DB) definidas por Budeanu.

,p& ,p cos ∅p & ,p sen∅p &

n ∞

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Portanto a potência aparente resulta:


I& :);,;p;EF cos∅; & :);,;p

;EF sen∅; & : : );,L & )L,; & q 2);)L,;,L cos ∅; q ∅Lp

LE;UFpXF;EF

I& 1& rs& ts&

n ∞



O primeiro termo é:

1 :);,;p;EF cos ∅; Potência ativa total

P corresponde aos produtos das tensões (eficazes) pelascomponentes em fase das correntes (eficazes) de mesmasfrequências.

1 R 1 !* -"#$

P corresponde também ao valor médio da função R *-, ou seja:

n ∞

24



rs :);,;p;EF sen ∅;

o segundo termo é:

Potência reativa

QB corresponde aos produtos das tensões (eficazes) pelascomponentes em quadratura das correntes (eficazes) demesmas frequências.

QB foi definida de forma que resulte uma forma análoga a P

porém em quadratura.

Portanto as definições de P, QB para regime distorcido derivam da definição clássica de regime sinusoidal

n ∞



ts : : );,L & )L,; & q 2);)L,;,L cos ∅; q ∅LpLE;UF

pXF;EF

e o terceiro termo é:

Potência de Distorção

Outro método usual para o cálculo de DB é através de:

ts I& q 1& qrs&n ∞

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P

S

QB

DB Z vZ

Decomposição da potência aparente segundo a proposta de Budeanu


Esse modelo não permite concluir nada sobre valoresinstantâneos das potências;

Observa-se que nenhum tipo de corrente é associado àsparcelas de potência, portanto não há como verificar aortogonalidade entre as parcelas de potência.



Exemplo # 1 b

Z :wwxwE ∅w L = ? C = ?

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Exemplo # 1 b

)F 100 [V])G 25 [V]@F 1 [yz| ]BF -F~[S]

3257 _Ha 4932 _Fac q ,F 25 [A],G 100 [A]



Exemplo # 1

Z q:wwxwE ∅w qZ q Z

Há oscilação de energia, apesar da potência reativa de Budeanu ser nula

(Z )!

vZ 10,625 [kVA]

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Exemplo # 2

Lb

i(t)

+v(t)–

Y.

Cb

Ca

vZ : : w w q ww ∅w q ∅xEwU

xXwE

Ca = ? Cb = ? e Lb=?

b :wwDwE



Exemplo # 2

)F 100 [V])G 50 [V]@F 1 [yz| ]BF BG 1 [S]L 1_Ha

Cz 12 _FaC 13 _Fa

Lb

i(t)

+v(t)–

Y.

Cb

Ca

b

c ,F 100 [A],G 50 [A]

28



Exemplo # 2

vZ : : w S w q S xEwU

xXwE

A potência de distorção é nula (vZ ) mesmo

na presença de correntes harmônicas

na carga!

Z q, _la



[ , puZ , pu

Exemplo # 3 Compensação?

b _ , ac[ _ q , a @F 1 [yz| ]

CargaFonte

c[ b q

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Exemplo # 3.1 Compensação?

b _ , ac[ _ q , aCargaFonte

c[ c b qCompensador

c Considerando que o compensadorentregue a corrente:c _, a

A corrente no lado da fonte será:c c[ q c _ q a

@F 1 [yz| ]




Potência reativa e corrente da carga sem compensaçãoZ , pu [ , pu

Potência reativa e corrente no lado da fonte após da

compensação:Z , pu , pu

b _ , ac _ q a @F 1 [yz| ]

c[ _ q , a

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b _ , ac[ _ q , a @F 1 [yz| ]

Compensador

CargaFonte

c[ c

c b q Considerando que o compensador

entregue a corrente:c _, aA corrente no lado da fonte será:c c[ q c _ q a




Potência reativa e corrente da carga sem compensaçãoZ , pu [ , pu

Potência reativa e corrente no lado da fonte após da

compensação Z , pu , pu

b _ , ac _ q a @F 1 [yz| ]

c[ _ q , a

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A potência reativa (Z) definida por Budeanau não temuma correlação com a troca de energia entre a carga e osistema (fonte);

A definição de potência reativa (Z) não pode ser utilizadapara compensação;

A potência de distorção (vZ) não está relacionada com asdistorções de tensão e corrente.

62

Ementa 2






32


Stanislaw Fryze (1931/1932)

Abordagem no domínio do tempo

Fryze parte da definição de valor eficaz (rms) para tensão ecorrente:

) 1 !*& "#$

, 1 ! -& "#$

Formas de onda gerais, porém periódicas, com período T.



Fryze define a potência aparente como sendo o produto dos valores eficazes: I ),e define também potência ativa como sendo a média temporal noperíodo T :

1 1 !R "#$ 1 !* -"#

$

33


Com base na desigualdade de Schwartz entre duas funções, Fryze

mostrou que: I 1 ),onde

1I 5 1é o fator de potência.



A igualdade de Schwartz só ocorre se a relaçãob/cfor constante, ou seja se as duas funçõesforem proporcionais.

Isso significa que S é igual a P apenas no caso em que acorrente tenha a mesma forma de onda que a tensão(carga resistiva) e a relação b/c se mantiverconstante no período:

Essa condição corresponde a uma resistência invariante.

*- cte


34


Portanto, a potência aparente ( ) de um resistorinvariante coincide com a potência ativa (), qualquer queseja a forma de onda ( ).

Assim o fator de potência alcança seu valor máximo( ) se e somente se a corrente instantânea forproporcional à tensão instantânea.

Em qualquer outro caso


68

-Q 1)& * Q*



Corrente ativa

T = Condutância equivalentecT corresponde à parcela que, efetivamente, transfere potência para a carga e possui a mesma forma de onda da tensão.

,Q 1) ⇒ 1 ),Q Q)&

Fryze foi quem deu base para a decomposição da corrente i(t)

em duas componentes instantâneas ortogonais, ativa (cT) e nãoativa (cdT) da forma:

35



E a parte restante é:

-¢Q - q -Q Corrente não ativa

-Q , -¢Q 1 ! -Q-¢Q"#$ 0

- -Q -¢Q ⇒,& ,Q& ,¢Q&

A relação de ortogonalidade entre ambas as componentesinstantâneas implica que::

Portanto a corrente pode ser decomposta::


Similarmente à corrente, a tensão pode ser decomposta em duasparcelas ortogonais:


* *Q *¢Q ⇒)& )Q& )¢Q&*Q 1,& - - tensão ativa

*¢Q * q *Q tensão não ativa

)Q 1, ⇒ 1 )Q, ,&

onde:

*Q , *¢Q 0

36


Sendo assim, os valores quadráticos médios (rms) valem:

)& )Q& )¢Q&,& ,Q& ,¢Q&e, portanto:


)&,& )&,Q& )&,¢Q& ,&)Q& ,&)¢Q&Como 1 ),Q )Q,

rg ),£ )£,por analogia Fryze definiu que:


Resultando a decomposição da potência aparente em potênciaativa e reativa:

I 1& rg&Essa expressão é similar à obtida para ondas senoidais, e, noentanto, foi deduzida para qualquer forma de onda periódica!

Falta diferenciar entre potência reativa convencional e potênciareativa distorcida.


37



circuitos (modelos) equivalentes sériee paralelo da carga para ondas

periódicas quaisquer.

Decomposição da tensão Decomposição da corrente



Exemplo # 1-A b @F 1 [

yz| ] ¤ 1 [Ω]

¦S 1 q § ¦S 1 §@F¤ q 1@F¤ q13@F¤ q 13@F¤ 1 ¤ 12 _Ha¤ 23 _Fa

Considerando:

queremos:

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Exemplo # 1-A

b

Circuito “A”

)F 100 [V])G 100 [V] ¨ ⇒ ) 141,42_)a

-¤ 2 ,FX¤sen @F ©4 ,GX¤sen3@F q ©4,FX¤ 70,7 [A],GX¤ 70,7 [A] ¨ ⇒ ,¤ 100_ªa

@F 1 [yz| ]



Exemplo # 1.A

Circuito “A”

)F 100 [V])G 100 [V] ) 141,42_Va,FX¤ 70,7 [A],GX¤ 70,7 [A] ,¤ 100_Aa

A potência ativa resulta:

1¤ 1 !* -¤ "#$ 10_kWa

A potência ativa é também igual à potência dissipada no resistor:1¤ 1¤X¯ ,¤&¤ 10_kWa

* 2 )Fsen@F )Gsen3@F-¤ 2 ,FX¤sen @F ©4 ,GX¤sen3@F q ©4

A potência aparente resulta:I¤ ),¤ 14,14_kVAa

@F 1 [yz| ]

39



Exemplo # 1.A

Circuito “A”

Assim, a potência reativa é:

1¤ 10_kWaI¤ 14,14_kVAa

A potência ativa

A potência aparente

rgX¤ 14,14& 10& 10_kVAra¤ 1014,14 0,707

)F 100 [V])G 100 [V] ) 141,42_Va,FX¤ 70,7 [A],GX¤ 70,7 [A] ,¤ 100_Aa

e o fator de potência resultam:



Exemplo # 1.A

Circuito “A”

A corrente ativa :

-QX¤ 2 ,QFX¤sen @F ,QGX¤sen3@F,QFX¤ 50 [A],QGX¤ 50 [A] ¨ ⇒ ,QX¤ 70,7_Aa

1)& 0,5 S ⇒ ,QX¤ ) 70,7_Aa

A corrente não ativa :-¢QX¤ -¤ q -QX¤ ,¢QX¤ ,¤& q ,QX¤& 100& q 70,7& 70,7_ªa

Agora, se mudarmos apenas os elementos reativos, de modo a obter o mesmo valor eficaz da corrente total, todos

os valores das potências permanecem inalterados!

,¤ 100_Aa-QX¤ *

40



Exemplo # 1.B b

Circuito “B”

¤ 1 Ω¤ 12 _Ha¤ 23 _Fa

Circuito “A”

13SFX¤ & 13SGX¤ & 13SFXs & 13SGXs &13SFX¤ & 13SGX¤ & 1

¤ s 1_Ωa

11 'FXs& 11 'GXs& 1Porém, sabemos que:

Assim, temos:

RB

LB

+

v(t)

–

iB(t)

CB



Exemplo # 1.B b

Circuito “B”

¤ 1 Ω¤ 12 _Ha¤ 23 _Fa

Circuito “A”

Agora vamos escolher:'FXs q3 Ω 'GXs FG Ω@Fs q 1@Fs q3

3@Fs q 13@Fs 13s 1 Ωs 12 _Has 27 _Fa

Circuito “B”

2/7 [F]

1 [Ω]

1/2 [H]

+

v(t)

–

iB(t)

41



Exemplo # 1.A e 1.B b

Circuito “A” Circuito “B”

Estas duas cargas não podem ser distinguidas pelos termos de potência definidos por Fryze. Eles diferem quanto à possibilidade

da sua compensação

2/7 [F]

1 [Ω]

1/2 [H]

+

v(t)

–

iB(t)



Exemplo # 1.A b Circuito “A”

iS(t)

LC CC

iC(t)

Carga ACompensador

4S¤ 1¤ §'¤ ¤ q §'¤¤& '¤& ¤ §²¤4SFX¤ 12 § 12 4SGX¤ 12 q § 12

Para a compensação reativa escolhemos:²FX³ q²FX¤ ²GX³ q²GX¤@Fs q 1@Fs q123@Fs q 13@Fs 12 ³ 43 _Ha³ 14 _FaY _a XY _´a Y

42



Exemplo # 1.A b Circuito “B” 4Ss 1s §'s s q §'ss& 's& s §²s

4SFXs 110 § 310 4SGXs 910 q § 310Para a compensação reativa escolhemos:²FX³ q²FXs ²GX³ q²GXs@Fs q 1@Fs q 3103@Fs q 13@Fs 310 ³ 209 _Ha

³ 320 _FaZ _a XZ µ_´a Z , µCarga BCompensador

RB

LB

+

v(t)

–

iB(t)

CB

84

A teoria de Fryze não permite caracterizar a carga de formaeficiente;

Não permite a compensação mediante componentespassivos;

Não permite o aprofundamento dos estudos sobre cadatipo de fenômeno físico envolvido na transferência deenergia;

Não permite a monitoração para fins de tarifação oucompensação “seletiva” de determinadas parcelas decorrente e potência.



43

85

Ementa 2







F. Buchholz (1922/1950)

Em 1950, F. Buchholz estendeu o trabalho de Fryze paracircuitos (sistemas) polifásicos.

Para isto Buchholz considera que o circuito polifásico podeser representado mediante um circuito homogêneo ondenenhum dos condutores é tratado como especial.

Assim, o condutor de neutro (retorno) é tratado como umcondutor de fase. Ou seja, as variáveis associadas aocondutor de retorno (tensão e corrente) são medidas.

44


F. Buchholz (1922/1950)

CARGA

a,b,...,m

ic

ib

. . . vm*vc*vb*

*

b

m

c

iaa

im

inn

va*vn*

Sistema de medição proposto por Buchholz para circuitospolifásicos:

Ponto de referência externo ao

circuito


F. Buchholz (1922/1950)

Neste circuito, a potência instantânea coletiva das “J” fases do sistema polifásico é dada por:

R¶ :*N∗-NLNEF

Portanto, a potência ativa coletiva resulta:

1¶ 1 ! :*N∗-NLNEF "#

$ 1 ! R¶"#$

1¶[ 1 ! *Q∗-Q *¸∗-¸ *P∗-P"#$ 1 ! RQ R¸ RP"#

$1¶[ 1 ! *Q∗-Q *¸∗-¸ *P∗-P *¢∗-¢"#

$ 1 ! RQ R¸ RP R¢"#$

assim, por exemplo, num sistema trifásico com e sem condutor deretorno, a potência ativa coletiva resulta:

45


F. Buchholz (1922/1950)

Assim, os valores eficazes coletivos de tensão e corrente resultam:

¶ 1 ! : -N&"LNEF

#$ ¶ 1 ! :*N∗& "L

NEF#$

b¹ :*N∗&LNEF c¹ : -N&L

NEF

Para tratar este sistema polifásico como um todo, Buchholz

introduziu o conceito de valores coletivos (instantâneos):


F. Buchholz (1922/1950)

I¶ ¶¶Potência aparente coletiva:

1922

º1» 1»I»e o fator de potência coletiva resulta:

I¶[ )Q∗& ) ∗& )P∗& ,Q& ,& ,P&I¶[ )Q∗& ) ∗& )P∗& )¢∗& ,Q& ,& ,P& ,¢&

Assim, por exemplo, num sistema trifásico com e semcondutor de retorno, a potência aparente coletiva resulta:

46


F. Buchholz (1922/1950)

-QN 1¶¶& *N∗ Q*N∗

A partir da definição dos valores coletivos, Buchholz estabeleceuda mesma forma que Fryze, que as correntes -N poderiam ser

decompostas em duas componentes instantâneas uma ativa eoutra não ativa:

Correntes ativas

tal que T representa a condutância equivalente por fase (idênticapara todas as fases) de uma carga polifásica.

-N -QN -¢QNonde o primeiro termo é:


F. Buchholz (1922/1950)

e cdT¼ não contribui na potência ativa coletiva (1¶).

1¶ ¶&Q Q¶&

-¢QN -N q -QN Correntes não ativas

o segundo termo é:

Considerando que pelos condutores circulam apenas correntesativas (-QN) a potencia R¶ seria:

R¶z :*N∗-QNLNEF Qb¶&

47


F. Buchholz (1922/1950)

Finalmente, Buchholz utilizando a Desigualdade de Schwartz,mostrou que:

A potência mT, só será constante se b¹ também forconstante;

O conjunto de correntes ativas ( cT¼ ) apresenta

permanentemente o mínimo valor coletivo ( c¹ ) parafornecer a potência instantânea (mT);

Para qualquer valor eficaz coletivo de tensão (¹ ), oconjunto de correntes ativas (cT¼) conduz o mínimo valor

eficaz coletivo de corrente ativa (mT) que seja capaz defornecer a potência ativa (¹).


F. Buchholz (1922/1950)

Esta teoria, por ser apenas uma expansão da teoria deFryze, também não permite:

Caracterizar de forma eficiente a carga; Aprofundamento dos estudos sobre cada tipo de

fenômeno físico;

Buchoolz emprega magnitudes instantâneas de umsistema polifásico com um número genérico de fases, nãodistingue condutores de fase e de neutro para o cálculo dapotência aparente coletiva;

Uma grande contribuição de Buchholz foi a introdução dosvalores coletivos de tensão e corrente para o cálculo dapotência aparente.

48


Sistemas 3φφφφ 3 condutores

Exemplo # 1: Carga R Balanceada

∆P [kW] P [kW] SA [kVA] SV [kVA] SΣΣΣΣ [kVA] FPA FPV FPΣΣΣΣ

5 100 100 100 100 1,00 1,00 1,00

FASE V [V] I [A]

A 209,5 159,1

B 209,5 159,1

C 209,5 159,1

FONTE [V] LINHA _½Ωa CARGA _Ωa*Q 220∡00*¸ 220∡ q 1200*P 220∡1200¿Q 65,9¿¸ 65,9¿P 65,9 1,317

Todas aspotências aparentessão aguais!



Exemplo # 2: Carga R Desbalanceada


11,2 100 119 100 149,4 0,84 1,00 0,67

FASE V [V] I [A]

A 203,6 292,0

B 220 0

C 203,6 292,0

FONTE [V] LINHA _½Ωa CARGA _Ωa*Q 220∡00*¸ 220∡ q 1200*P 220∡1200¿Q 65,9¿¸ 65,9¿P 65,9 QP 1,173

Todas aspotências aparentessão diferentes!

49



Exemplo # 3: Carga RL Balanceada


11,2 100 149,4 149,4 149,4 0,67 0,67 0,67

FONTE [V] LINHA _½Ωa CARGA _Ωa*Q 220∡00*¸ 220∡ q 1200*P 220∡1200¿Q 65,9¿¸ 65,9¿P 65,9 0,6529' 0,5885FASE V [V] I [A]

A 209,2 238,0

B 209,2 238,0

C 209,2 238,0

Todas aspotências aparentessão iguais!



Exemplo # 1, 2 e 3

Carga ∆P [kW] P [kW] SA [kVA] SV [kVA] SΣΣΣΣ [kVA] FPA FPV FPΣΣΣΣ

I 5 100 100 100 100 1,00 1,00 1,00

II 11,2 100 119 100 149,4 0,84 1,00 0,67

III 11,2 100 149,4 149,4 149,4 0,67 0,67 0,67

I Carga R BalanceadaII Carga R DesbalanceadaIII Carga RL BalanceadaI¶[ ¶¶ )Q∗& ) ∗& )P∗& ,Q& ,& ,P&

¶ )Q∗& ) ∗& )P∗& ¶ ,Q& ,& ,P&

50

99

Ementa 2







M. Depenbrock (1962/1993)

Depenbrock, baseando-se nos trabalhos de Fryze e Buchholz,apresentou a teoria denominada de método FBD “Fryze-Buchholz-

Depenbrock”

Os trabalhos de Depenbrock baseiam-se em alguns pontosfundamentais, tais como:

A única componente de corrente que possui uma definição livrede contradições, é a corrente ativa;

A decomposição da corrente não-ativa pode ser de extremaimportância em determinadas aplicações (tarifação,compensação, etc) e o número de parcelas a serem calculadasvaria de acordo com a aplicação.

51



CARGA

a,b,...,m

ic

ib

. . . vm*vc*vb*

*

b

m

c

iaa

im

inn

va*vn*

Depenbrock, similarmente a Buchholz, utiliza a referência externapara a medida das tensões

ponto de referência

virtual



:*N∗LNEF 0

: -NLNEF 0

Depenbrock demonstrou que as “ ” tensões e correntessatisfazem as leis de tensões e correntes de Kirchhoff:

- -Q-⋮-¢⋮-L

*∗ *Q∗*¸∗⋮*¢∗⋮*L∗

52


M. Depenbrock (1962/1993)Valores Coletivos (Buchholz):

¶ 1 ! : -N&"LNEF

#$ ¶ 1 ! :*N∗& "L

NEF#$

b¹ :*N∗&LNEF c¹ : -N&L

NEF

“m” indica o número de condutores (fios) conectados ao pontode referência virtual (nó), independentemente se sãocondutores de fase ou retorno (neutro) de um circuito.

O símbolo “ * ” significa que as tensões do circuito devem sermedidas entre cada condutor e um “ponto de referência virtual”e não em relação a outro condutor do circuito.



1¶ 1 ! :*N∗-NLNEF "#

$ 1 ! R¶"#$

Potências coletivas ativa, aparente e fator de potência:

I¶ ¶¶ º1» 1»I»Similarmente a Buchholz, Depenbrok utiliza:

Valores coletivos eficazes (RMS);Considera a potência no condutor de retorno (neutro).

53



Depenbrock também definiu as correntes chamadas “zero power

currents” ou correntes de potência zero:

-ÂN -N q -ÃN-ÂN, não contribuem para transferência de energia, ou seja:

R¶Â :*N∗-ÂNLNEF 0

Estas correntes poderiam ser compensadas sem a necessidade dearmazenadores de energia.



Uma vez que c¼ não coincide com a corrente ativa (cT¼) de Fryze,

expandida por Buchholz, torna-se então necessário a identificaçãode algumas outras parcelas

-QN 1¶¶& *N∗ Q*N∗ Correntes ativas

-¢QN -N q -QN Correntes não ativas

cT¼, é responsável pela transferência de energia média para a

carga;

Nota-se que, diferentemente de , a condutância equivalente T sempre é constante no tempo;

cdT¼, não transfere energia média para a carga.

54



Finalmente, a parcela de corrente que relaciona as correntes depotência (c¼) com as correntes ativas (cT¼) é denominada de

“variation currents” ou correntes de variação (cb¼) e pode ser

calculada por:

Tais componentes de corrente só resultam zero quando T.

Em outras condições são responsáveis pelas oscilações da potênciainstantânea (¹ Ä ¹).

-ÅN -ÃN q -QN R»*»& *N∗ q 1¶¶& *N∗ -¢QN q -ÂN.



Havendo a necessidade (tarifação) ou desejo (monitoração) em seidentificar as componentes da potência não-ativa e sabendo quetal tarefa pode ser realizada no domínio do tempo, mas nãoinstantaneamente, Depenbrock propõe a sub-divisão da “potênciaaparente” de Buchholz em:

»& »&»& »&»Q& »&»¢Q& »&»Q& »&»Å& »&»Â&onde : 1Q ¶»Q 1¶1¢Q ¶»¢Q1Å ¶»Å1Â ¶»Â

Potência coletiva ativa

Potência coletiva não ativa

Potência coletiva de variação

Potência coletiva nula

55



Depenbrock tem contribuído para divulgar a definição depotência aparente de Buchholz, bem como sobre a necessidadede escolher um “ponto de referência virtual” para as medidasdas grandezas elétricas;

Sugere o cálculo de parcelas de potência relacionadas com ossinais de corrente decompostos;

Permite o projeto de compensadores passivos ou ativos, com ousem armazenadores de energia;

Permite o cálculo instantâneo da corrente cÇ¼, a qual representa

a parte da corrente não-ativa que poderia ser compensada semarmazenadores de energia.



As definições de cb¼ e cÇ¼ propostas por Depenbrock, são

semelhantes às correntes ativa e reativa de Akagi et al. (teoriapq), apesar de realizadas de forma completamente distinta;

Também tem colaborado para desmistificar e generalizar as chamadas “teorias de potências instantâneas” [Akagi, Furuhashi, Peng, Kim, etc];

O ponto estrela virtual pode ser bastante interessante emalgumas aplicações onde não há componentes homopolares (3φφφφa 3 condutores). No entanto, na presença de componenteshomopolares, as medidas das tensões para o ponto estrelavirtual podem não representar os valores eficazes ou os valoresinstantâneos das tensões sobre os terminais da carga.

56

111

Ementa 2







Akagi et al (1983 ... )

A Teoria pq baseia-se num conjunto de definições de potênciasinstantâneas no domínio do tempo para circuitos trifásicos;

Pode ser aplicado em sistemas trifásicos, com ou sem condutor deneutro;

Os trabalhos apresentados por Akagi et al. trazem provavelmenteas maiores contribuições feitas na área de filtragem ativa nosúltimos 30 anos;

Utiliza uma transformação de eixos do sistema trifásicoconvencional (abc), para um sistema ortogonal (αβ0).

57


Akagi et al (1983 ... )

A transformação Clarke:

Transformação abc para αααα,ββββ,0:

Transformação α α α α,ββββ,0 para abc:

*Q*¸*P 23 1 2È 1 01 2È q1 2È 3 2È1 2È q1 2È q 3 2È

*$*É*Ê

*$*É*Ê 23 1 2È 1 2È 1 2È1 q1 2È q1 2È0 3 2È q 3 2È

*Q*¸*P


Akagi et al (1983 ... )

A potência trifásica instantânea:

As potências instantâneas da Teoria pq

: potência instantânea de sequência zero (ativa) : potência instantânea real (ativa)Ë : potência instantânea imaginaria (não ativa)

R$RÌ *$ 0 00 *É *Ê0 *Ê q*É

-$-É-Ê

RGÍ *Q-Q *¸-¸ *P-P *É-É *Ê-ÊÃ *$-$ÎÃÏ

Ì *Ê-É q *É-Ê

58


Akagi et al (1983 ... )

As correntes αβαβαβαβ podem ser calculadas como funçõesdas tensões αβαβαβαβ e as potências reais e imaginárias e Ë:

onde:

-É-Ê 1*ÉÊ& *É *Ê*Ê q*É RÌ

*ÉÊ& *É& *Ê&


Akagi et al (1983 ... )

As correntes αβαβαβαβ podem ser decompostas em:

cα ÅÐÅÐÑÒ R : corrente ativa instantânea no eixo–ααααcαË ÅÑÅÐÑÒ Ì : corrente reativa instantânea no eixo–ααααcβ ÅÑÅÐÑÒ R : corrente ativa instantânea no eixo–ββββcβË q ÅÐÅÐÑÒ Ì: corrente reativa instantânea no eixo–ββββ

-É-Ê 1*ÉÊ& *É *Ê*Ê q*É R0 1*ÉÊ& *É *Ê*Ê q*É

0Ì -ÉÃ-ÊÃ -ÉÓ-ÊÓ

59


Akagi et al (1983 ... )

A potência instantânea nas coordenadas αααα e ββββRÉRÊ *É-É*Ê-Ê *É-ÉÃ*Ê-ÊÃ *É-ÉÓ*Ê-ÊÓR RÉ RÊ *É-ÉÃ *Ê-ÊÃ *É-ÉÓ *Ê-ÊÓ

R *É&*É& *Ê& R *Ê&*É& *Ê& R *É*Ê*É& *Ê& Ì q*É*Ê*É& *Ê& Ì*É-ÉÃ *Ê-ÊÃ RÉÃ RÊÃ R*É-ÉÓ *Ê-ÊÓ RÉÓ RÊÓ 0 Elas se anulam


Akagi et al (1983 ... )

A potência instantânea reativa no eixo αααα (ÔË) é sempre canceladopela potência instantânea reativa no eixo ββββ (ÕË):

RÉÓ *É-ÉÓ

*É*Ê*É& *Ê& ÌRÊÓ *Ê-ÊÓ q *É*Ê*É& *Ê& Ì

Eventual compensação da potência imaginária "Ë" nãoexige elemento armazenar energia.

60


Akagi et al (1983 ... )

A potência instantânea ativa no eixo αααα (T) quando adicionadoà potência instantânea ativa no eixo ββββ (Õ) resulta a potênciatotal real, .

RÉÃ *É-ÉÃ *É&*É& *Ê& R

RÊÃ *Ê-ÊÃ

*Ê&*É& *Ê& RR RÉÃ RÊÃ


Akagi et al (1983 ... )

*8 2)cos @*A 2)cos @ q 4©3*× 2)cos @ 4©3

-8 2,cos @ Ø-A 2,cos @ q 4©3 Ø-× 2,cos @ 4©3 Ø

A potência instantânea real e imaginária sob tensões e correntes senoidais

Ù*É 3 )cos@Ú*Ê 3 )sen@Ú Ù-É 3 ,cos@ ÛÚ-Ê 3 ,sen@ ÛÚR 3) ,cosÛ 1 Ì q3) ,senÛ r Igual à

teoria convencional!

61


Akagi et al (1983 ... )

p : instantaneous total energy flow per time unit;

q : energy exchanged between the phases without

transferring energy.

ia

p

a

b

c

qq

ib

ic

va

vb

vc

A potência instantânea real e imaginária


Akagi et al (1983 ... )

As potências instantâneas podem ser decompostasainda como:

Potência real

Potência imaginária

Potências médias Potências oscilantes

R R RÜ Ì ÌÝ ÌÜ

62


Akagi et al (1983 ... )

Consequentemente, a corrente instantânea ativatambém pode ser decomposta em componente média eoscilatória como segue:

-ÉÃ *É*É& *Ê& R *É*É& *Ê& RÜ -ÉÃ -ÉÃÜ-ÊÃ *Ê*É& *Ê& R *Ê*É& *Ê& RÜ -ÊÃ -ÊÃÜ


Akagi et al (1983 ... )

Portanto, as correntes instantâneas de sequência zero, ativa ereativa de cada fase podem ser calculadas nas suas coordenadasoriginais, por meio da transformação inversa de Clarke.

-Q$-¸$-P$ 2312 1 012 q12 3212 q12 q 32

-$00 Þ -$00-QÃ-¸Ã-PÃ Þ 0-ÉÃ-ÊÃ-QÓ-¸Ó-PÓ Þ 0-ÉÓ-ÊÓ

63


Akagi et al (1983 ... )

Assim, as correntes trifásicas instantâneas (a, b e c) podem serdecompostas como segue:-Q-¸-P -Q$-¸$-P$ -QÃ-¸Ã-PÃ -QÓ-¸Ó-PÓ-QÃ-¸Ã-PÃ Þ 0-ÉÃ-ÊÃ Þ 0-ÉÃÜ-ÊÃÜ -QÃ-¸Ã-PÃ -QÃÜ-¸ÃÜ-PÃÜ

Correntes ativasmédias

Correntes ativasoscilantes

As correntes ativas instantâneas (a, b e c) podem ser decompostasem componentes médias e oscilatórias:


Akagi et al (1983 ... )

-Q-¸-P -QÃ-¸Ã-PÃ -QÓ-¸Ó-PÓ -Q$-¸$-P$ -QÃ-¸Ã-PÃ -QÃÜ-¸ÃÜ-PÃÜ -QÓ-¸Ó-PÓ -Q$-¸$-P$

Finalmente, as correntes instantâneas de fase resultam:

Corrente instantânea ativa média;

Corrente instantânea ativa oscilatória;

Corrente instantânea reativa;

Corrente instantânea de sequência zero.

64


Akagi et al (1983 ... )

Do ponto de vista de instrumentação para monitoração dedistúrbios na qualidade de energia, esta teoria não permiteseparar e/ou identificar a origem da deterioração quando váriosdistúrbios (fenômenos) estão presentes simultaneamente;

Mesmo que se faça uma escolha correta no momento deprojetar o controle de um compensador, fica quase impossívelter visão e controle “seletivo” dos distúrbios envolvidos, já queforam agrupados nas parcelas αβ;

A teoria pq, é sem dúvida muito interessante e foi uma dasmaiores contribuições dos últimos anos no campo decompensação de distúrbios, mas não pode ser tratada comouma teoria de potências simples e geral.


Akagi et al (1983 ... )

Do ponto de vista de compensação, a teoria pq pode ser aplicadacom dois objetivos principais:

1) Garantir potência constante no PAC;

2) Garantir correntes senoidais e equilibradas no PAC.

Os dois objetivos só podem ser atendidos simultaneamentequando as tensões no PAC forem senoidais e equilibradas. Emquaisquer outras condições de tensão (distorções e/ouassimetrias), os objetivos só podem ser atendidos isoladamente.Isto significa que o resultado final da compensação dependediretamente das tensões do PAC e do objetivo escolhido para umadada aplicação.

65


Caso I: Tensões senoidais simétricas;Caso II: Tensões senoidais assimétricas.

Tensões medidas em relaçãoao ponto estrela virtual

para ambas teorias

CASO I CASO II*Q 127∡00*¸ 127∡ q 1200*P 127∡1200*Q 127∡00*¸ 113∡ q 104,40*P 147,49∡1440

Sistemas 3φφφφ 3 condutoresComparações e discussões

Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada



Caso II: Tensões senoidais assimétricas

Caso I: Tensões senoidais simétricas

0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35

-1

-0.5

0

0.5

1

v P

AC

µµ µµ

&

i P

AC

µµ µµ [

pu

]

0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35

-1

-0.5

0

0.5

1

v P

AC

µµ µµ

&

i P

AC

µµ µµ [

pu

]

b¼∗ na prática, representam

que as tensões são referidasao ponto central da fonte,

ao invés doponto central da carga .

As tensões e correntesnão estão em fase!

Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceadaA ---

B ---

C ---

66



Iguais!Distorcidacb¼Zv c¼Ë

Iguais!SenoidaiscT¼Zv c¼Ë

Iguais!Distorcida

cÇ¼Zv cË¼Ë

0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35

-1-0.5

0

0.51

i P

AC

[p

u]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

0

0.51

i a µµ µµ

[p

u]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

00.5

1

i v

µµ µµ [

pu

]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

00.5

1

i z µµ µµ

Tempo [s]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

0

0.51

i p

- µµ µµ [

pu

]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

00.5

1

i p

~µµ µµ [

pu

]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

00.5

1

Tempo [s]

i q

µµ µµ [

pu

]

Teoria FBD Teoria pq

Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada (Caso I)A ---

B ---

C ---



a b c

01

23

45

67

8910

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase

Harmônicas

i z µµ µµ [

pu

]

a b c

01

23

45

67

89

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase

Harmônicas

i qµµ µµ [

pu

]

a b c

01

23

45

67

8910

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase

Harmônicas

i vµµ µµ [

pu

]

a b c

01

23

45

67

8910

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase

Harmônicas

i p~

µµ µµ [

pu

]

Apresentam conteúdode 3ª harmônica

???

cb¼Zv c¼Ë

cÇ¼Zv cË¼Ë


Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada (Caso I) A ---

B ---

C ---

67



cb¼Zv Ä c¼Ë Diferentes!Distorcida

cÇ¼Zv cË¼Ë Iguais!Distorcida

cT¼Zv Ä c¼ËDiferentes!Senoidais/Distorcida?

0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35

-1-0.5

0

0.51

i P

AC

[p

u]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

0

0.51

i a µµ µµ

[p

u]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

00.5

1

i v

µµ µµ [

pu

]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

00.5

1

i z µµ µµ

Tempo [s]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

0

0.51

i p

- µµ µµ [

pu

]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

00.5

1

i p

~µµ µµ [

pu

]

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35

-1-0.5

00.5

1

Tempo [s]

i q

µµ µµ [

pu

]


Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada (Caso II)A ---

B ---

C ---



Apresentam conteúdode 3ª e 5ª harmônica ???

cb¼Zv c¼Ë

cÇ¼Zv cË¼Ë

a b c

01

23

45

67

8910

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase

Harmônicas

i vµµ µµ

[p

u]

a b c

01

23

45

67

89

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase

Harmônicas

i p~

µµ µµ [

pu

]

a b c

01

23

45

67

89

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase

Harmônicas

i z µµ µµ [

pu

]

a b c

01

23

45

67

89

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase

Harmônicas

i qµµ µµ

[p

u]



B ---

C ---

68




a b c

01

23

45

67

89

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase

Harmônicas

i aµµ µµ

[p

u]

a b c

01

23

45

67

89

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fase

Harmônicas

i p- µµ µµ

[p

u]

cT¼Zv Ä c¼Ë

hßßÒ Q é constante (condutância equivalente do circuito);

ÃÅÐÒUÅÑÒ não é constante (não representa nenhuma característica do

circuito).


B ---

C ---



FONTE [V]CASO II

LINHA _½Ωa [uH] CASO IILINHA _½Ωa [mH]*Q 127∡00*¸ 127∡ q 1200*P 127∡1200

¿Q 1; ¿Q 10¿¸ 1; ¿¸ 10¿P 1; ¿P 10¿Q 10; ¿Q 2¿¸ 10; ¿¸ 2¿P 10; ¿P 2

Exemplo # 1Carga resistiva desbalanceada

caso I – impedância de linha pequena

Exemplo # 2

Duas cargas não lineares e uma carga linearcaso I – impedância de linha pequena

caso II – impedância de linha alta

69



4 tensões medidasTeoria FBD

” Ponto estrela virtual”

3 tensões medidasTeoria pq

“condutor de retorno(neutro)”

Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada(caso I – impedância de linha pequena)

bd* (FBD) ≅≅≅≅ 0

CARGA _ΩaQ 9,3405¸ 6,2270P 3,1135



Teoria pq

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i [A

]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i p- [

A]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i p~ [

A]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

Time[s]

i q [

A]

Teoria FBD

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i [A

]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i a[A

]

1.97 1.98 1.99 2-60

-30

0

30

60

i z[A

]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

Time[s]

i v[A

]


Iguais!SenoidaiscT¼Zv c¼ËEquivalentes!Distorcida

cÇ¼Zv cË¼Ë c¼Ë

A ---

B ---

C ---

N ---

Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada(caso I – impedância de linha pequena)

3ª harmônica

70



Circuitos para os casos I e II

4 tensões medidasTeoria FBD

“Ponto estrela virtual”

3 tensões medidasTeoria pq

” condutor de retorno”

vn*(FBD) ≅≅≅≅ 0

Exemplo # 2: Duas cargas não lineares e uma carga linear(caso I – impedância de linha pequena)



A ---

B ---

C ---

N ---

Exemplo # 2: Duas cargas não lineares e uma carga linear(caso I – impedância de linha pequena)

Teoria pq

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i [A

]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i p- [

A]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i p~ [

A]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

Time[s]

i q [

A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i [A

]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i a[A

]

1.97 1.98 1.99 2-60

-30

0

30

60

i z[A

]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

Time[s]

i v[A

]

Teoria FBD

n


Iguais!SenoidaiscT¼Zv c¼ËEquivalentes!Distorcida

cÇ¼Zv cË¼Ë c¼ËMistura os efeitos causados pelas não linearidades, desequilibrado e

comportamento reativo.

71



A ---

B ---

C ---

N ---

Exemplo # 2: Duas cargas não lineares e uma carga linear(caso II – impedância de linha alta)

1.97 1.98 1.99 2-200

-100

0

100

200

v [

V]

i [

A]

1.97 1.98 1.99 2-200

-100

0

100

200

Time [s]

v [

v]

ia[A

]

1.97 1.98 1.99 2-200

-100

0

100

200

v [

V]

i [

A]

1.97 1.98 1.99 2-200

-100

0

100

200

Time[s]

v [

V]

ip

- [A

]

Teoria pqTeoria FBD

cT¼Zv Ä c¼Ë

b¼d Ä b¼∗ As tensões

não são iguais

Distorcidasbd∗ Ä !cTdZv Ä !



1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i [A

]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i p- [

A]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i p~ [

A]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

Time[s]

i q [

A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i [A

]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i a[A

]

1.97 1.98 1.99 2-60

-30

0

30

60

i z[A

]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

Time[s]

i v[A

]

cÇ¼Zv Ä cË¼Ë c¼Ë

Diferente!

cb¼Zv Ä c¼Ë Diferente!

cT¼Zv Ä c¼Ë Diferente!

A ---

B ---

C ---

N ---

Exemplo # 2: Duas cargas não lineares e uma carga linear(caso II – impedância de linha alta)

Teoria pqTeoria FBD

72



Como se sabe, a interpretação dos fenômenos físicos não éuma tarefa fácil em circuitos (cargas) lineares nãolinear e/ou desequilibradas com tensões não senoidais.

No entanto, considerando os sistemas de potência modernos,espera-se que uma nova formulação de teoria de potênciadeva ser formalmente adotada nos próximos anos.

Pode ser, certamente uma adaptação de uma das váriaspropostas das últimas décadas, como osdiscutidos anteriormente.

144

Ementa 2






73


Leszek S. Czarnecki (1984 ... )

A abordagem de Czarnecki foi desenvolvida no domínio dafrequência;

O autor utiliza os valores das várias condutâncias ( ),susceptâncias (Z) e admitâncias () dos circuitos elétricos, parapropor uma metodologia de decomposição dos sinais de correntee potência;

Esta proposta utiliza uma abordagem vetorial bastante sofisticadaque busca associar as diferentes parcelas de corrente/potênciacom os fenômenos físicos;

Recentemente o autor denominou sua proposta de Teoria das

Componentes Físicas de Corrente, do inglês, Theory of the

Current's Physical Components (CPC).



S w w Zwbc

Análise da carga é dependente da

frequência

* )$ 2Re:S wâã;äåæD;EF

- $)$ 2Re:S wS wâã;äåæD;EF

No caso de uma carga linear monofásica invariante no tempo:

74



S w w Zw

bcDecomposição proposta:

-Q 1)& * ç* Corrente ativa

Correntedefinida pelo Fryze

-£ 2Re: §²;S wâã;äåæD;EF Corrente reativa

Corrente dispersa

Nova componente de corrente que aparece quando a condutância da carga cambia com frequência.

-è ($ q ç) )$ 2Reé ; q çS wâã;äåæD;EF



Decomposição (ortogonal) da corrente

- -Q -£ -èBalanço da potência:

-Q , -£ 0-£, -è 0-Q , -è 0I& )&,& )&,Q& )&,£& )&,è& 1& r& tè&

Potência reativa:

Potência dispersa:

Potência ativa: 1 ),Qr ),£t ),è I& q 1& qr&

²ç r)&

75



No caso de uma carga não linear monofásica geradora deharmônicasêb conjunto de harmônicas da tensãoêc conjunto de harmônicas da corrente êb ⊂ êc

- -ì -í -ì : -;;∈ïð -í - q -ìcñ : corrente homóloga;cò : corrente gerada (independente).

²ç; r;);&ç; 1;);&Para cada componente de corrente homóloga:

Componentesharmônicas da

corrente que estãopresentes também

na tensão



Assim, a corrente total pode ser expressa como:

- -Q -è -£ -í -ì -í,& ,Q& ,è& ,£& ,í&

como todas as parcelas de corrente decompostas são ortogonais,temos que:

No caso, de circuitos trifásicos (sem condutor de retorno), além das componentes definidas anteriormente (com o mesmo significado),

foi proposta mais uma componente de corrente, a qual leva em conta o desbalanço da carga. Para isto Czarnecki utiliza vetores

multidimensionais e similarmente ao método FBD, as tensões são referidas a um ponto externo do circuito

76



Assim, considerando um circuito trifásico em ∆∆∆∆, são definidas asgrandezas de tensão, corrente e admitância equivalente em termosvetoriais:

- ≜ : -Q;-¸;-P;;∈ï 2Re: ,Q;,¸;,P;;∈ï âã;äåæ ≜ 2Re : ;âã;äåæ;∈ï; ≜ )Q;) ;)P; 4S; ; §²; 4Q¸ 4 P 4PQ

Para o caso de uma carga trifásica desbalanceada, é definida umaadmitância de desbalanço e um vetor com as tensões das fases b ec em sequência invertida:

ª ªâãô q4 P õ4PQ õ∗4Q¸ ;⋕ ≜ )Q;)P;) ;Ô ÷


Leszek S. Czarnecki (1984 ... )Assim, a corrente total:

- ≜ 2ç : ç §²ç ; ª;⋕ âã;äåæ;∈ï .é decomposta em:

-Q 2Re : ç;âã;äåæ;∈ï-£ 2Re : §²;;âã;äåæ;∈ï-ø 2Re : ª;⋕âã;äåæ;∈ï-è 2Re : ç; q ç ;âã;äåæ;ï

Corrente ativa

Corrente reativa

Corrente de desbalaço

Corrente de disperção

77



Assim, a decomposição da corrente total num circuito trifásico semcondutor de retorno, pode ser expressa como:- -Q -è -£ -ø -í -ì -í

& Q& è& £& ø& í&como todas as parcelas de corrente decompostas são ortogonais,temos que:

I& && 1& r& tø& tè& tí&sendo:I : Potência aparente; tø ø: Potência de desbalanço;1 Q: Potência ativa; tè è: Potência dispersa (scattered);r £: Potência reativa; tí í: Potência harmônica gerada (carga).

Balanço da potência:



A CPC, auxilia na compreensão de fenômenos físicos e pode serimplementado (monitoração da energia e condicionamento deenergia), desde que utilizados sistemas adequados deprocessamento digital de sinais;

Eventuais inter-harmônicos presentes nos sinais de tensão ecorrente, podem não ser interpretados corretamente, destaforma aumentando a complexidade matemática eimplementacional do equacionamento proposto.

Como atribuir responsabilidades ou compensar distúrbios na“tensão” de fornecimento, ou ainda, o que mudaria nasdecomposições propostas se a tensão fundamental do sistemafor assimétrica?

78



Czarnecki tem contribuído para discussões como a necessidade ou não da definição de potência aparente, visto que esta é muito

mais uma interpretacão matemática do que física, bem como para estudos de compensadores ativos ou passivos e ainda para

desmistificar determinadas teorias (Budeanu, Fryze, teoria pq ... ) ou questionar sobre quais deveriam ser os verdadeiros requisitos

para a definição de uma “teoria de potências”

156

Ementa 2






79


IEEE – Std 1459 (2000/2010)

Alexander Emanuel, coordenador do grupo de trabalho “Working

Group” formado pelo IEEE desde início da década de 90, éresponsável pela publicação da Std 1459-2000, e recentementeatualizada, IEEE-1459-2010, e de inúmeros trabalhos envolvendonovas definições relacionadas às quantidades de potência sobcondições não senoidais e desequilibradas

Com a publicação da STD 1459, o IEEE abandonou as definições depotência aparente aritmética e vetorial e passou a utilizar umaderivação das definições de Buchholz, o qual introduziu a notaçãode potência aparente efetiva, tensão e corrente efetiva(equivalente);


IEEE – Std 1459 (2000/2010)

)& )F& )ù&,& ,F& ,ù&

I& )&,& )F,F&úåÒ )F,ù&)ù,F&)ù,ù&úûÒ

Similarmente a Budeanu, os valores eficaz da tensão ecorrente são dadas por: )ù& :);&;üF,ù& : ,;&;üFDas equações anteriores, a potência aparente resulta:

Assim, a potência aparente (I [VA]) é decomposta em duas componentes: fundamental (IF [VA]) e não fundamental (Iï[VA])I& IF& Iï&

Circuito monofásico

80


IEEE – Std 1459 (2000/2010)

IF& )F,F& 1F& rF&Iï& )F,ù&)ù,F&)ù,ù&

sendo IF decomposta em (1F e rF), que são as potência ativa [W] e reativa [VAr] clássica fundamental, respectivamente:1F )F,FcosØF

rF )F,FsenØF

I& IF& Iï&

e Iï é decomposta em:

sendo:tý )F,ù: Potência de distorção de corrente [VAr];tþ )ù,F: Potência de distorção de tensão [VAr];Iù )ù,ù: Potência aparente de distorção [VA].



IEEE – Std 1459 (2000/2010)

IF& 1F& rF&Iï& )F,ù&)ù,F&)ù,ù&

Iï& IF ∙ t ý &Ò

IF ∙ t þ &Ò

IF ∙ t ý ∙ t þ &úÒ

A equação anterior mostra a correspondência entre ê/ e a distorção total de corrente e tensão, onde ê/ poderia ser

utilizado como um indicador matemático do nível de distorção harmônica de um circuito elétrico.

Como, t ý ýýå e t þ þþå a equação anterior resulta:


81


IEEE – Std 1459 (2000/2010)

e Iù, ainda pode ser decomposta em:

Iù& )ù,ù& 1ù& tù&

e 1ù :);,;cosØ;D

;üF

I& )&,& 1& &

Potência de distorção harmônica

Potência ativa harmônica?

Observa-se que, a soma de e resulta na potência ativa total ( )

Finalmente, a potência aparente pode ser então decomposta de forma geral em: potência ativa () e não ativa (ê)

1F )F,FcosØFCircuito monofásico


IEEE – Std 1459 (2000/2010)

º1F cosØF 1FIF

º1 1I

1F 1ùI

O fator de potência da componente fundamental, tambémconhecido por fator de deslocamento, é dado por:

E o fator de potência total seria:

1ù :);,;cosØ;D

;üF

1F )F,FcosØF IF& 1F& rF&I ),


82

163

I


IEEE – Std 1459 (2000/2010)

I1

I

11r1

tý

I

tþ 1ù

tù

Resoluções da Potência Aparente - Circuito Monofásico


IEEE – Std 1459 (2000/2010)Circuito trifásico

A Std, define uma Corrente Efetiva (equivalente) em um circuito trifásico com condutor de retorno como:

,ç 13 ,Q& , & ,P& ,¢& ; d

donde:

d: Resistencia do condutor de retorno (neutro);

: Resistencia do condutor de fase.

,ç ,Q& , & ,P&3

e para um circuito trifásico sem condutor de retorno ( 0) temos:

Buchholz (1922)Std (1996)

Std (2000) 1

83



E a Tensão Efetiva (equivalente) é definida como:

donde: h∆h

G¯¯∆

Para circuitos com condutor de retorno ( = 1) :

)ç 3 )Q¢& ) ¢& )P¢& )Q¸& ) P& )PQ&9 1

Para circuitos sem condutor de retorno ( = 0) :

)ç 3 )Q¢& ) ¢& )P¢& )Q¸& ) P& )PQ&18

)ç )Q¸& ) P& )PQ&9

Buchholz (1922)Std (1996)

Std (2000)



Assim, de forma distinta das definições vetoriais ou aritméticas,foi definido a Potência Aparente Efetiva:

Desta forma, também foi definido o Fator de Potência Efetivo:

A Potência Ativa (P) usada na expressão anterior é um dos poucosconsensos e é dada por:

Iç 3)ç,ç

º1ç 1Iç

1 1n ! *Q-Q *¸-¸ *P-P

æUp

æ",

As perdas no condutor de retorno; Os efeitos devido às cargas desbalanceadas.

84



Similarmente ao caso monofásico, baseado nas grandezasequivalentes, ainda seria possível calcular uma parcela de PotênciaNão Ativa como:

A Std sugerem a divisão da tensão e corrente efetiva em suascomponentes fundamentais e harmônicas, ou seja:

Iç& q 1&

,ç& ,çF& ,çù&)ç& )çF& )çù&

Portanto a potência aparente efetiva poderia ser expressa por:

Iç& )ç&,ç& IçF& Içï&



Iç& IçF& Içï&

IçF 3)çF,çF Içï Iç& q IçF& tçý& tçþ& Içù&

Potência aparente fundamental efetiva

Potência aparentenão-fundamental efetiva

Onde:

tçý 3)çF,çù: Potência proveniente da distorção de corrente;

tçþ 3)çù,çF: Potência proveniente da distorção de tensão;

Içù 3)çù,çù: Potência aparente harmônica.

85



Além disso, para avaliar o desbalanço de uma carga, a Std, sugere adefinição de uma Potência Aparente Fundamental de Desbalanço:

IF IçF& q IFU &

IFU 1FU & rFU &

1FU 3)FU,FU cos ∅FUrFU 3)FU,FU sin∅FU

º1FU 1FUIFU

IçF 3)çF,çF

Potência aparente fundamentalde sequência positiva

Potência ativa e reativa fundamentais, definidas como no caso de circuitos trifásicos equilibrados e com forma de onda senoidais

Assim, define-se também o fator de Potência Fundamental deSequência Positiva:

170

Iç


IEEE – Std 1459 (2000/2010)

Iâ1

Iâ

I1

IFU

tçý

Iâ

tçþ 1çù

tçù

Resoluções da Potência Aparente – Circuito Trifásico (3 e 4 Fios)

1FU

rFU

86

171

Próxima Aula - Ementa 2






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