Juros Simples

MATEMÁTICA FINANCEIRA

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

MATEMÁTICA FINANCEIRA – 1/2016 Página 2

UNIDADE DE INTERAÇÃO E APRENDIZAGEM 1 | UIA 1

REGIME SIMPLES

Aula 01 | Juro Simples

Aula 02 | Juro Exato e Comercial

Aula 03 | Desconto Simples

Aula 04 | Equivalência Simples de Capitais

INTRODUÇÃO

Nos preços de vendas de produtos expostos em lojas, geralmente se observam cartazes com dizeres do tipo:

R$ 2.400,00 à vista ou em 6 prestações de R$ 520,00.

O comprador já sabe que a prazo o preço aumenta. Para o vendedor é como se ele estivesse emprestando R$

2.400,00 ao comprador, que os devolverá com um acréscimo referente ao seu aluguel. Esse acréscimo é

chamado de juro.

Definição - Juro é a remuneração (compensação) em dinheiro do capital empregado durante um determinado

período de tempo, a uma taxa previamente combinada. O mesmo ocorre nos empréstimos pessoais em bancos

ou financiamentos de quaisquer bens.

HISTÓRIA

Documentos históricos redigidos pela civilização Suméria, por volta de 3000 a.C., revelam que o mundo antigo

desenvolveu um sistema formalizado de crédito baseado em dois principais produtos, o grão e a prata. Antes de

existirem as moedas, o empréstimo de metal era feito baseado em seu peso. Arqueólogos descobriram pedaços

de metais que foram usados no comércio nas civilizações de Tróia, Babilônia, Egito e Pérsia. Antes do

empréstimo de dinheiro ser desenvolvido, o empréstimo de cereal e de prata facilitava a dinâmica do comércio.

O problema econômico decore da escassez, ou seja, do fato de que as necessidades das pessoas são satisfeitas

por bens e serviços cuja oferta é limitada. Ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades, o

problema de satisfazer as necessidades foi solucionado através da especialização e através do processo de troca

de um bem por outro. Mais tarde surgiu um bem intermediário para este processo de trocas que é a moeda.

Assim, o preço passou a ser o denominador comum de medida para valor dos bens e a moeda um meio para

acumular valor e constituir riqueza ou capital.

Constatou-se que os bens poderiam ser consumidos ou guardados para consumo futuro. Caso o bem fosse

consumido ele desapareceria e, caso houvesse acumulação, o estoque de bens poderia servir para gerar novos

bens e/ou riqueza através do processo produtivo.

TEORIAS QUE EXPLICAM O FENÔMENO DOS JUROS

Existem diversas teorias que tentam explicar porque os juros existem. Uma delas é a teoria da escola austríaca,

primeiramente desenvolvida por Eugen von Boehm-Bawerk. Ela afirma que os juros existem por causa da

manifestação das preferências temporais dos consumidores, já que as pessoas preferem consumir no presente do

que no futuro. Juro é uma remuneração ou taxa cobrada sobre algum recurso emprestado. Em outras palavras,

havendo uma preferência temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência. Este

prêmio para que não haja consumo é o juro. Ele pode ser cobrado de duas formas: simples e composta.

AULA 01 | JUROS SIMPLES

AULA 02 | JURO EXATO E COMERCIAL


Regime Processo de funcionamento

Simples Somente o principal rende juros.

Compostos

Após cada período, os juros são incorporados ao Capital,

proporcionando juros sobre juros.

1 JURO SIMPLES

O juro envolvido em certa operação financeira é chamado de juro simples quando sua geração, em cada período

a que se refere a taxa, durante todo o seu prazo de aplicação, for feita exclusivamente com base no capital

inicial. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.

TAXA DE JURO

Em geral os juros são calculados ao final de um dia, de um mês, de um ano ou de qualquer outro período pré-

fixado por ocasião do investimento ou empréstimo.

O juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. Tal coeficiente

corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa. Assim, por

exemplo, taxa de juros de 12% ao ano significa que se empregarmos certo capital àquela taxa, por um ano,

obteremos 12% do capital.

3% a.m - (ao mês)

8 % a.a. - (ao ano).

5 % a.t. - (ao trimestre).

12% a.s – (ao semester)

TAXA PROPORCIONAL

Duas taxas são proporcionais se mantiverem entre sim a mesma razão entre as taxas e os períodos a que se

referem.

Exemplo 1: 24% a.a = 2% a.m

Ou seja, é a mudança da taxa de um determinado período para outro. É aplicado apenas no regime de

capitalização simples.

Par encontrar a taxa proporcional multiplica-se ou dividi-se a taxa de juros pelo tempo total do período ao qual

queremos a proporção. No exemplo acima, dividimos 24 por 12, já que o ano tem 12 meses.

Exemplo 2 - Calcule a taxa de juros trimestral proporcional à taxa de juros de 18% a.a..

Como a ano tem 4 trimestres, dividimos 18 por 4 5,44

18 % a.t

Ou seja, 18% a.a é proporcional a 4,5% a.t.

Exemplo 3 - Calcular as taxas mensais, trimestrais e semestrais proporcionais à taxa de 12% aa.

Mensais 112

12 % a.m

Trimestrais 34

12 % a.t

Semestrais 62

12 % a.s

Os quadros abaixo resumem a conversão de uma taxa em um determinado período para outro.


Quadro 1 - Conversão da taxa para anos

Taxa ao dia para anos Multiplica por 360 i 360

Taxa ao mês para anos Multiplica por 12 i 12

Taxa ao bimestre para anos Multiplica por 6 i 6

Taxa ao trimestre para anos Multiplica por 4 i 4

Taxa ao semestre para anos Multiplica por 2 i 2

Quadro 2 - Conversão da taxa para anos

Taxa ao ano para dias Divide por 360 i 360

Taxa ao ano para mês Divide por 12 i 12

Taxa ao ano para bimestre Divide por 6 i 6

Taxa ao ano para trimestre Divide por 4 i 4

Taxa ao ano para semestre Divide por 2 i 2

Quadro 3 - Conversão do período para dias

Tempo ao mês para dias Multiplica por 30 n x 30

Tempo ao ano para dias Multiplica por 360 n x 360

Tempo ao bimestre para dias Multiplica por 60 n x 60

Tempo ao trimestre para dias Multiplica por 90 n x 90

Tempo ao semestre para dias Multiplica por 180 n x 180

Quadro 4 - Conversão do período dia

Tempo ao dia para mês Divide por 30 n 30

Tempo ao dia para ano Divide por 360 n 360

Tempo ao dia para bimestre Divide por 60 n 60

Tempo ao dia para trimestre Divide por 90 n 90

Tempo ao dia para semestre Divide por 180 n 180

OBSERVAÇÃO - Os juros simples podem ser de duas formas:

Exatos - Trabalha-se com o calendário civil, onde o ano tem 365 ou 366 dias e os meses 30, 31, 29 ou

28 dias.

Ordinários - Trabalha-se com o calendário comercial onde o ano tem 360 dias e o mês tem 30 dias.

As instituições financeiras trabalham com o calendário comercial.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas:

compras a médio e longo prazo,

compras com cartão de crédito,

empréstimos bancários,

as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança

e aplicações em fundos de renda fixa, etc.

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do

processo de desconto simples de duplicatas.

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias

geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia.

Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.

DEFINIÇÃO - De modo geral, os juros simples (J), resultantes da aplicação de um capital (C) (ou principal) a

uma taxa de juros (i), durante um período de tempo (n), podem ser calculados pela fórmula:


Esta fórmula é básica para o cálculo de juros em um regime simples de capitalização.

OBSERVAÇÕES

1- A taxa i e o período n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo, se a taxa i for mensal, o período n

também será em mês.

2- A taxa de juros deve ser expressa em fração decimal e não em porcentagem.

Exemplo 4 - Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros

simples e devemos pagá-la em 2 meses. Quanto pagaremos de juros?

-Solução-

DADOS: J = ? C = 1000 i = 8% a.m n = 2 meses

J = C. i. n

J = 1000 . 0,08 . 2

J = 160

Portanto, pagaremos de juros R$160,00

Exemplo 5 - Os juros simples obtidos por um capital de R$ 1.250,00 durante 4 anos foi de R$700,00. Qual foi

a taxa de juro simples aplicada?

-Solução-

DADOS: J = 700 C = 1.250 n = 4 anos i = ?

J = C. i. n

700 = 1.250 . i . 4

700 = 5000 . i

i = 14,05000

700

i = 14% a.a

Portanto, a taxa aplicada foi de 14% a. a.

2 MONTANTE SIMPLES

Há problemas em que é necessário trabalhar com a soma do capital mais os juros. O Montante, ou valor

acumulado, relativo à aplicação de um capital C, é definido como o capital C acrescido de seu respectivo juro J.

O resultante dessa soma recebe o nome de montante.

Nessa expressão, M é o montante, C é o capital e J os juros.

Observe que, como J = C . i . n, podemos reescrever a expressão acima da seguinte maneira:

M = C + C . i . n

M = C + J

J = C . i . n


Colocando C em “evidência”, temos:

Esta fórmula relaciona o montante com o capital, com a taxa e com o período de tempo.

Aqui podemos definir a taxa proporcional, mencionada anteriormente, como

Duas ou mais taxas são proporcionais quando, ao serem aplicadas sobre um mesmo Capital, durante um

mesmo prazo produzem um mesmo Montante, no regime de Juro Simples.

Exemplo 6: 12% a.a. 6% a.s. 3% a.t. 1% a.m.

Exemplo 7 - Que Montante um aplicador receberá, tendo investido R$ 3.000,00, a juros simples, nas seguintes

condições:

Taxa de Juros Prazo

(a) 30% a.a. 5 anos

(b) 27% a.a. 1 ano e 4 meses

(c) 3% a.m. 48 dias

(a) M = ? C = 3000 i = 30% a.a = 0,30 n = 5 anos

M = C(1 + i.n)

M = 3000.(1 + 0,30 . 5)

M = 3000.(1 + 0,125)

M = 3000 . 1,125

M = 3.375,00

(b) Observe que a taxa e o tempo estão em unidades distintas. Temos que trabalhar com a mesma unidade.

Vamos transformar para meses.

i = 27% a.a 27/12 = 2,25% a. m = 0,0225

n = 1 ano e 4 meses = 12 m + 4 m = 16 meses

M = C(1 + i.n)

M = 3000.(1 + 0,0225 . 16)

M = 3000.(1 + 0,36)

M = 3000 . 1,36

M = 4.080,00

(c) i = 3% a.m = 0,03 n = 48 dias 48/30 = 1,6 meses

M = C(1 + i.n)

M = 3000.(1 + 0,03 . 1,6)

M = 3000.(1 + 0,048)

M = 3000 . 1,048

M = 3.144,00

EXERCÍCIOS - Respostas no fim

1 - Qual é o juro simples que um capital de R$ 30.000,00 produz quando aplicado durante 5 meses a uma taxa

de 3,5% ao mês?

2 - Um capital de R$ 10.000,00, investido a juros simples de 13% ao ano, foi sacado após 3 meses e 10 dias a

contar da data inicial do investimento.

M = C(1 + i . n)


(A) Qual foi o juro obtido? (considere o mês com 30 dias e o ano com 360 dias).

(B) Qual o montante?

3 - Qual é a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital de R$ 5.000,00 para que esse, em

quatro meses e meio, renda de juros R$ 720,00? Qual foi o montante?

4 - Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$ 29.800,00 à taxa de 1,2% ao mês durante 6 meses?

5 - Coloquei certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei, depois de 4 anos, R$ 928,00. Quanto recebi de

juros, sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples?

6 - Um capitalista investe R$ 50.000,00 em letras de câmbio, com vencimento para 180 dias e renda fixada em

5% ao mês de juros simples. Calcule o montante do título.

7 - A que taxa anual certo capital deve ser aplicado para que, num prazo de 2 anos, triplique de valor?

8 - Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$ 29.800,00, à taxa de 1,2 % a.m., durante 6 meses?

9- Encontrar o montante simples obtido na aplicação de um capital de R$ 10 000,00, à taxa de 5% a.m, pelo

prazo de 8 meses.

10 - Um capital, aplicado por 5 meses, foi elevado a R$ 42 000,00. Caso esse capital tivesse sido aplicado por

10 meses, à mesma taxa simples, teria se elevado a R$ 54 000,00. Encontre esse capital e essa taxa.

11 - Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a 3/2 de si próprio. Qual foi a taxa de juro simples

considerada?

12 – Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao

final do empréstimo paguei R$ 4.300,00. Só de juros paguei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m.

(a) Por quantos anos pagarei pelo empréstimo?

(b) Qual o preço do computador sem os juros?

13 - Depositei a quantia de R$ 72.000,00 em um banco que remunera seus clientes à taxa de 36% a.a. Depois de

certo tempo, verifiquei que meu saldo nesse banco era de R$ 73.800,00. Por quantos dias deu-se essa

aplicação?

14- Calcule a taxa mensal equivalente a 30% ao ano.

15- Calcule a taxa mensal equivalente a 0,08% ao dia.

16- Calcule a taxa anual equivalente a 8% ao trimestre.

17- Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para:

(a) 7 dias (b) 29 dias (c) 1 mês (d) 32 dias (e) 1 trimestre

(f) 45 dias (g) 1 semestre (h) 73 dias (i) 1 ano (j) 365 dias

RESPOSTAS

1 - R.: R$ 5250 2 - R.: R$ 361,11 3 - R.: 3,2% ao mês 4 - R.: R$ 31.945,60

5 - R.: R$ 300,97

6 - R.: R$ 65.000,00

7 - R.: o capital deve ser aplicado a uma taxa anual de 100%

8 - R.: R$ 31.945,60


9- R.: R$ 14 000,00

10 - R.: R$ 30 000,00

11 - R.: i = 25 % a.m

12 – (a) R.: 2 anos

(b) R.: R$ 2500

13 - R.: 25 dias

14- R.: 2,5% ao mês

15- R.: 2,4% ao mês

16- R.: 32% ao ano

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