Washington Franco MathiasJosé Maria Gomes

MatemáticaFinanceira

Com + de 600 exercíciosresolvidos e propostos

5ª Edição

Capítulo 1

JUROSSIMPLES

MathiasGomes

Juro e Consumo

• Existe juro porque os recursos são escassos.

• As pessoas têm preferência temporal: preferem consumir a poupar.

• O prêmio para quem poupa é o juro.

MathiasGomes

Juro e Capital

• O Capital também éescasso.

• O Juro é a remuneração pelo uso do capital.

• O Juro é a remuneração pelo custo do crédito.

MathiasGomes

Taxa de Juros

• Juro e tempo andam juntos.

• O juro é determinado através de um coefi-ciente referido a um dado intervalo de tem-po.

• O coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa.Ex.: 12 % ao ano.

MathiasGomes

Taxa de Juros

FORMA PORCENTUALFORMA PORCENTUAL

• Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos docapital.

Ex.: 12% ao ano.

FORMA UNITFORMA UNITÁÁRIARIA

• Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades docapital.

Ex.: 0,12 ao ano.

MathiasGomes

CÁLCULO DO JURO

- Ao valor aplicado;

- Ao tempo de aplicação.

- Ao valor aplicado;

- Ao tempo de aplicação.

JURO SIMPLES

• A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional:

MathiasGomes

CÁLCULO DO JURO

• FÓRMULA BÁSICA:

J = C . i . nJ = C . i . nJ = C . i . n

onde:J = JuroC = Capital inicial (Principal)i = Taxa de Juros (na forma unitária)n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)

EXEMPLO

MathiasGomes

Exemplo

Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valora ser pago como juro ?Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00

Taxa de juros (i) = 10% a.a. Número de períodos (n) = 2 anos

Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, te-mos o juro do primeiro ano como sendo:

J1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00

No segundo ano, teremos:J2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00

MathiasGomes

O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano(J1) mais o juro devido no segundo ano (J2)

J = J1 + J2J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00

Ou então, podemos resolver o problema diretamente:

J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1J = 1.000,00 X 0,10 X 2J = $ 200,00

Exemplo

MathiasGomes

CÁLCULO DO JURO

JURO SIMPLES

• Variações da fórmula básica.

J = C.i.n

inJC =

CnJi =

CiJn =

MathiasGomes

MONTANTE

JURO SIMPLES

• Montante é a soma do juro mais o capitalaplicado.

N = C + Jonde:C= principaln= prazo de aplicaçãoi = taxa de juros

N = C(1 + in)

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploQual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxade 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ?

Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Número de períodos (n) = 2 anos

E sendo:N = C(1+in)

Substituindo-se os valores, tem-se:

N = 1.000(1+0,10 x 2)N = 1.000(1+0,20)N = 1.000 x 1,20N = $ 1.200,00

MathiasGomes

ExemploÉ possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada pormontante:

a) Calculando o juro devido:J = CinJ = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $ 200,00

b) Somando-se o juro com o principal:N = C + JN = 1.000,00 + 2000,00 = $ 1.200,00

MathiasGomes

MONTANTE

N = C(1 + in)

inNC+

=1 n

CN

i1−

=

iC

Nn

1−=

JURO SIMPLES

MathiasGomes

TAXA PROPORCIONAL

JURO SIMPLES

A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao período n2) se:

2

1

2

1

ii

nn

=

ii11.n.n22 = i= i22.n.n11

Ou, do mesmo modo, se:

Ou ainda:

2

2

1

1

ni

ni

=

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploVerificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.

Resolução: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.

i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a.n1 = 3 mesesn2 = 12 meses

Como: 2

1

2

1

nn

ii=

Substituindo-se os valores:123

20,005,0

=

que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios(0,20 x 3) é igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo, as taxas dadas são proporcionais.Mathias

Gomes

ExemploSendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxaproporcional mensal.

Resolução: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.

n1 = 12 mesesi2 = ?n2 = 1 mês

E, como:

2

1

2

1

nn

ii= tem-se:

11224,0

2=

i

0,24 x 1 = i2 x 12 ..02,01224,0

2 mai ==∴ ou i = 2% a.m.

MathiasGomes

TAXA EQUIVALENTE

Duas taxas de juros são equivalentes se:

• aplicadas ao mesmo capital;

• pelo mesmo intervalo de tempo.

=> Ambas produzem o mesmo juro.

No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes.

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploSeja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa-mente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo deaplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.

Resolução:

Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2anos, teremos o juro de:

J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por 2 a-

nos, teremos um juro igual a:J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00

Constatamos que o juro será gerado é igual nas duas hi-póteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.

MathiasGomes

PERÍODOS NÃO-INTEIROS

Quando o prazo de aplicação não é um número in-teiro de períodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o seguinte:

I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de pe-ríodos.

II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período queresta e o juro correspondente.

O juro total é a soma do juro referente à parte in-teira com o juro da parte fracionária.

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploQual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que éaplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ?

Resolução:

Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:5 x 2 semestres = 10 semestres9 meses = 1 semestre e 3 mesesOu seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3

meses.

a) Cálculo do juro:1ª etapa:

J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00MathiasGomes

Exemplo2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre:

Portanto: J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00Logo, o total de juros é:

J = J1 + J2J = 1.320,00 + 60,00J = =$ 1.320,00 ====== CORRIGIR

Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente lembran-do-se que 3 meses é igual a 0,5 semestre e, nestas condições,5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres:

..06,0212,0 ta

miim ===

MathiasGomes

ExemploJ = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00

b) Montante:

O montante é:

N = C + JN = 1.000,00 + 1.380,00 N = $ 2.380,00

Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado ra-ciocinando por etapas para obter o montante.

∴

MathiasGomes

JURO EXATO

Juro Exato é aquele em que:

• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.

• é adotada a convenção do ano civil.

365CinJe =

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploQual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicadopor 40 dias e à taxa de 36% a.a. ?

Resolução:

365CinJe =

52,394$365

4036,0000.10==

xxJe

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JURO COMERCIAL

Juro comercial é aquele em que:

• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.

• é adotada a convenção do ano comercial:

360CinJe =

EXEMPLO

MathiasGomes

ExemploCalcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an-terior.

Resolução:

360CinJc =

00,400$360

4036,0000.10==

xxJc

Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer-cial é maior que o juro exato.

MathiasGomes

DIAGRAMAS DE CAPITAL NO TEMPO

• Representam o fluxo de dinheiro no tempo;

• Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de di-nheiro;

• Graficamente:

(PERÍODOS)

Entradas (+)

Saídas (-)

1 20

1000

500

2000

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VALOR NOMINAL

É quanto vale um compromisso na data do seuvencimento.

Exemplo:Uma pessoa aplicou uma quantia hoje evai resgatá-la por 20.000 daqui a 12 me-ses.

20.000 é o valor nominal da aplicação no mês 12.

20.000

120(meses)

MathiasGomes

VALOR ATUAL

É o valor que um compromisso tem em uma dataque antecede ao seu vencimento.

6 120

c

20.000

¨c¨ é o valor atual da aplicação de 20.000, na data 6.=> Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a taxa dejuros.

(meses)

MathiasGomes

VALOR FUTURO

Corresponde ao valor do título em qualquer dataposterior à que estamos considerando no momento.

Exemplo: Uma pessoa possui 10.000 hoje.

60

10.000

c

(meses)

¨c¨é o valor futuro de 10.000 na data 6.=> Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a taxa dejuros.

EXEMPLO

MathiasGomes

Exemplo1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer $ 24.000,00 nomês 12.

a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15.000,00.Então, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplica-ção, do seguinte modo:

Resolução:

N = C (1+in)N = 24.000,00C = 15.000,00i = ?n = 12 meses

MathiasGomes

ExemploNestas condições:

24.000 = 15.000 (1+ i.12)

Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma não se altera:

000.15)12.1(000.15

000.15000.24 i+

=

Logo: 1,6 = 1 + i.12Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se

altera:1,6 -1 = 1 -1 + i.120,6 = i.12

MathiasGomes

ExemploE dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te-mos:

1212.

126,0 i=

Logo: i = 0,05

Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi o“mês”, a taxa também fica referida ao mesmo intervalo de tem-po.Ou seja:

i = 0,05 ao mêsOu, o que dá no mesmo:

i = 5% ao mês.

MathiasGomes

Exemplob) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, masque conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Neste caso podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que correspon-de ao próprio valor aplicado:

N = C (1 + i.n)Onde: N = 24.000,00

C = ?i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa

deve ser colocada na forma unitária)n = 12 meses

Então:24.000 = C (1 + 0,06 x 12)24.000 = C (1 + 0,72)24.000 = C.1,72

MathiasGomes

Exemplo

Ou seja: C = 13.953,49

que é o valor atual na data 0, isto é, quanto a pessoaaplicou hoje.

Logo:

72,172,1.

72,1000.24 C

=

MathiasGomes

Exemplo2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00.Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxade 5% ao mês, daqui a 3 meses ?

Temos: N = C (1 + i.n)Onde: N = ?

C = 10.000,00i = 0,05n = 3 meses

Logo:N = 10.000 (1 + 0,05 x 3)N = 10.000 (1,15)N = 11.500,00

O valor futuro será de $ 11.500,00 daqui a 3 meses.MathiasGomes