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2018
Almir Rogério Luppi
Lúcio Souza Fassarella
Material Didático de Matemática Financeira
Matemática Financeira
e Sistema Financeiro Nacional
2
01/01/2018
3
Sumário
1 AS AVENTURAS DE BIA E CAIO EM: ....................................................... 5
1.1 CONHECENDO O SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL ...................... 5
2 BREVE HISTÓRICO DOS PLANOS ECONÔMICOS DO BRASIL DE 1980
ATÉ O PLANO REAL. ...................................................................................... 54
2.1. PLANO CRUZADO II ............................................................................. 56
2.2. PLANO BRESSER PEREIRA ................................................................ 56
2.3. PLANO VERÃO ..................................................................................... 56
2.4 PLANO COLLOR .................................................................................... 57
2.5. PLANO REAL ........................................................................................ 58
3 TAXAS DE JUROS E JURO SIMPLES ..................................................... 60
3.1 Conceito de Taxa de juros .................................................................. 60
3.1.1 Características da Taxa de Juro ................................................... 61
3.2 JURO SIMPLES .................................................................................. 63
4 FATOR DE AUMENTO e FATOR DE REDUÇÃO .................................... 70
4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .............................................................. 70
4.2 FATOR DE AUMENTO, REDUÇÃO e JUROS COMPOSTOS ........... 70
4.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS .............................................................. 81
5 JURO COMPOSTO E TAXAS EFETIVAS ................................................ 90
5.1 JURO COMPOSTO DEFINIÇÕES ...................................................... 90
5.1.1 GENERALIZANDO ....................................................................... 92
5.1.2 CÁLCULO DO VALOR FUTURO – FV ......................................... 92
5.1.3 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE – PV .................................... 93
5.1.4 NOTAÇÕES.................................................................................. 94
5.1.5 EXEMPLOS RESOLVIDOS ALGEBRICAMENTE ........................ 94
4
5.1.6 EXEMPLOS COMENTADOS ( HP-12C) .................................... 100
5.2 TAXAS: NOMINAL, EFETIVA, REAL e EQUIVALENTE. .................. 107
5.2.1 Taxa de Juro Nominal ................................................................. 107
5.2.2 Taxa de Juro Efetiva ................................................................... 107
5.2.3 Exemplos, sobre Taxa Efetiva, Resolvidos ................................. 108
5.2.4 Taxa Real ................................................................................... 111
5.2.5 Taxas de Juros Equivalentes ...................................................... 114
5.2.6 Exemplos, sobre Taxas Equivalentes, Resolvidos ..................... 114
5.2.7 ATIVIDADES DE JUROS COMPOSTOS (COM O USO DA HP –
12C) 116
6 SÉRIE DE PAGAMENTOS ..................................................................... 120
6.1 SÉRIES UNIFORMES ....................................................................... 121
6.1.1 ATIVIDADES SOBRE SÉRIE DE PAGAMENTOS ..................... 139
6.1.2 DIAGNÓSTICO DA ATIVIDADE ................................................. 140
7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ............................................................. 141
7.1 Sistema de Amortização Constante (SAC). ...................................... 141
7.2 SAC com carência............................................................................. 144
7.3 Tabela price ...................................................................................... 145
Séries Antecipadas ........................................................................... 146
7.3.1 SAC e PRICE ............................................................................. 152
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1 AS AVENTURAS DE BIA E CAIO EM:
1.1 CONHECENDO O SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL
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2 BREVE HISTÓRICO DOS PLANOS ECONÔMICOS DO BRASIL DE 1980 ATÉ O PLANO REAL.
A década de 1980 foi marcada por profundas transformações sobretudo na
política com a transição do regime militar para a implantação de eleições
diretas para presidente num movimento conhecido como “ Diretas Já”. O ápice
dessa transição se deu ao final desta década. Mais especificamente, no ano de
1985 no dia 15 de janeiro reuniu-se o chamado ”Colégio Eleitoral” e elegeu,
numa eleição indireta para presidente, o então governador do Estado de Minas
Gerais, Tancredo de Almeida Neves para um mandato de 6 anos. Entretanto,
Tancredo não conseguiu tomar posse devido ao seu falecimento ocorrido no
dia 21 de abril daquele mesmo ano, assumindo em seu lugar o vice presidente
José Sarney. Do ponto de vista econômico, o Brasil herdou altos índices de
endividamento, contraídos nos dos planos de desenvolvimento de décadas
anteriores. Com medidas econômicas ortodoxas que cortavam custos do
governo e aumentavam a arrecadação através de impostos. Foi no governo do
presidente empossado José Sarney, que as políticas econômicas passaram a
ser heterodoxas em contradição às defendidas pelo Fundo Monetário
Internacional (FMI) que propunha para o Brasil de então regras severas de
austeridade econômica com corte de gastos públicos, investimentos em todos
os setores da economia e a não implementação de programas sociais. A
economia Brasileira de então estava estagnada. Não haviam investimentos
internacionais no Brasil, o mercado brasileiro de então estava fechado tanto
para exportações quanto para importações fato este que impedia o crescimento
econômico do País. Outro forte agravante para o Brasil da década de 1980
eram os altos índices inflacionários e na tentativa do governo de derrubar
esses índices e colocar o País no rumo do crescimento econômico e social
foram criados vários planos econômicos. O primeiro foi o Plano Cruzado criado
no dia 29 de fevereiro de 1986 com base no decreto lei nº 2.283 de 27 de
fevereiro daquele mesmo ano, o presidente José Sarney coloca em prática o
primeiro e maior plano econômico nacional de larga escala pós ditadura militar.
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Segundo (LEITÃO, 2011) as principais medidas econômicas contidas no “
Plano Cruzado” eram:
Congelamento do preços dos bens e serviços a partir e com os valores
do dia 27 de fevereiro de 1986.
Congelamento da taxa cambial, durante o período de 1 ano, no valor de
Cz$ 13,84 valendo 1 dolar.
Mudança de unidade monetária de Cruzeiro (Cr$) para Cruzado (Cz$)
cujo valor era de um mil cruzeiros isto é (1 Cz$ = 1000 Cr$).
Reforma nos títulos da dívida pública federal substituindo a atual
Obrigação Reajustável do Tesouro Nacional (ORTN) instituído no ano de
1964 pela Obrigação do Tesouro Nacional (OTN) cujo valor foi fixado
em: 1OTN igual a Cz$ 106,40 e fixadas por um ano.
Congelamento dos salários. Congelamento dos salário pela média dos
últimos 6 meses e do salário mínimo em Cz$ 804,00 o que correspondia
a US$ 67,00.
A desindexação da economia ou seja o governo passa a utilizar uma
tabela para converter o valor das dívidas contraídas no Brasil tendo
como parâmetro a economia de um país com índices inflacionários
praticamente nulos.
Criação de um seguro para os trabalhadores dispensados sem justa
causa em virtude do fechamento da empresa em que trabalham;
Os reajustes salariais passaram a ser realizados por um dispositivo
legali chamado “gatilho salarial” ii.
Além disso, a população passou a realizar uma verdadeira cruzada contra os aumentos de preços. Surgiram os denominados “fiscais do Sarney” que percorriam os supermercados e estabelecimentos comerciais com suas tabelas em mão e anotavam os preços dos produtos da cesta básica, vestuário dentre outros a fim de controlar e manter baixo os índices inflacionários. Mas o sucesso desse plano de ação durou pouco tempo, cerca de nove meses e o Brasil voltou a enfrentar nova crise e até desabastecimento. Com essa nova crise, o governo criou no dia 28 de fevereiro de 1986 um novo plano econômico: o chamado plano cruzado II.
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2.1. PLANO CRUZADO II
Este plano foi uma tentativa do governo de melhorar o plano cruzado e suas principais propostas eram:
Liberar de forma parcial os preços tanto das mercadorias, quanto dos produtos e serviços.
A inflação passaria a ser calculada com base nos gastos de famílias que ganhassem até 5 salários mínimos mensais.
Estabeleceu a liberdade de negociação dos preços de alugueis entre proprietários de imóveis e seu inquilinos.
Aumento dos impostos sobre bebidas e cigarros;
Aumento de tarifas e serviços públicos;
Aumento da carga fiscal;
A economia brasileira voltou a ser indexada;
Essas medidas prolongaram a utilização do “gatilho salarial” a fim de coibir a alta dos índices de inflação mas no ano de 1987 o gatilho foi disparado uma vez que a população sofreu com vários aumentos de preços nos produtos e serviços. Os aumentos eram tão frequentes que num só dia o Brasil enfrentou 60% no preço da gasolina, 120% no preço dos telefones e energia, 100% nos preços das bebidas e 80% nos preços dos automóveis. Mas logo o governo perdeu o controle dos preços em janeiro de 1987 a inflação já chegava a 16,8%. O “Plano Cruzado II” teve vida curta: novembro de 1986 a junho de 1987. O fracasso de mais esse plano econômico fez com que o então Ministro da Fazenda Dílson Funaro fosse substituído por Luis Carlos Bresser Pereira.
2.2. PLANO BRESSER PEREIRA
Este plano foi criado no dia 12 de junho de 1987 através dos Decretos-Lei nº 2335/87, 2336/87 e 2337/87 foi o sucessor do “Plano Cruzado II”. O “Plano Bresser” congelou por 90 dias os preços, os salários e o câmbio. Foram estabelecidos cortes de gastos e investimentos públicos, fim de subsídios, demissão de servidores públicos. A credibilidade do Brasil no exterior que já era ruim ficou ainda pior. Em todo o Brasil as greves de trabalhadores ecoavam, sobretudo, nas indústrias automobilísticas e nas metalúrgicas. Essas medidas só fizeram agravar a situação da economia do país com o aumento dos índices de inflação, criação de desemprego e culminou com a queda do Ministro Bresser Pereira e a nomeação de Maílson da Nóbrega para assumir o Ministério da Fazenda.
2.3. PLANO VERÃO
Criado no dia 15 de janeiro de 1989 o plano verão foi estabelecido através da Medida Provisória (MP) nº 32 e posteriormente foi convertida na lei nº 7.730 durante o restante do governo de José Sarney. Foi implementado pelo então Ministro da Fazenda Maílson da Ferreira da Nóbrega. Sucessor do Plano Bresser, este foi o quarto plano de estabilização da economia brasileira no
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governo Sarney também tinha como meta principal o controle da inflação. Para que isso fosse possível foram tomadas algumas medidas econômicas.
Aumento dos juros a fim de frear o consumo e a tomada de empréstimos nos bancos;
Redução drástica dos gastos públicos;
Mais um congelamento de preços só que agora, por prazo indeterminado;
Reforma monetária com a criação do NCz$ (Cruzado novo) que valeria mil cruzados ou seja: 1 NCz$ = 1000 Cz$;
Os contratos financeiros passaram a ser subindexados a fim de reduzir o valor real da dívida pública;
Este também foi um plano de curta duração onde o Brasil enfrentou um dois mais altos níveis de inflação de sua história ficando acima de 80% ao mês antes da posse do novo presidente, eleito diretamente pelo povo, Fernando Collor de Mello.
2.4 PLANO COLLOR
Antes de falar sobre o Plano Collor, vamos entender como se deu o contexto desse Plano. Em novembro de 1989 os brasileiros puderam escolher seu presidente, numa eleição direta entre dois candidatos: Fernando Collor de Mello do PRN e Luis Inácio Lula da Silva do PT. Ao tomar posse no dia 15 de março de 1990 o então presidente eleito Fernando Collor implementou uma série de Medidas de Modernização administrativa e fortalecimento do economia brasileira até então esfacelada pelos altos índices de inflação e desgastada pelo excesso de planos econômicos fracassados. Sem um planejamento estratégico para estabilizar a economia, o Presidente Collor anuncia mais um plano econômico o “Plano Collor I”. Este plano implanta as seguintes medidas:
Volta do Cruzeiro como Moeda Oficial;
Congelamento de preços e salários;
Demissão de servidores públicos e redução dos órgãos públicos;
Mas a medida de maior impacto do Governo Collor foi o confisco de todos os depósitos em contas correntes e poupança por 18 meses. Essa medida causou um caos na economia e na população brasileira. Muitos poupadores se viram em situação de probreza extrema, outros faliram seus negócios, o desespero tomou conta do povo brasileiro ao ver as suas economias confiscadas. Todo o dinheiro confiscado pelo governo foi recolhido pelo Banco Central com a promessa de devolução do mesmo aos seus respectivos donos após 18 meses parcelados em 12 vezes. O resultado de tais medidas foram aumento do desemprego, recessão econômica e diminuição drástica da popularidade do Presidente. Foram bloqueados, em moeda nacional, o equivalente a 80 bilhões de dólares. Outras medidas para conter o consumo e os gastos públicos, foram as privatizações de estatais, redução das tarifas alfandegárias abrindo o mercado brasileiro para os produtos importados, forçando com isso a indústria nacional a se modernizar. Neste mesmo ano de 1990, seis meses após o “Plano Collor I”, foi criado o “Plano Collor II” cuja meta era o combate a inflação
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e a redução de gastos públicos. Entretanto, esse novo plano econômico do governo Collor só fez aumentar a insatisfação da população fazendo com que a então Ministra da Economia, Zélia Cardoso de Mello fosse destituída do cargo passando-o para embaixador do Brasil nos Estados Unidos, Marcílio Marques Moreira. Mas as medidas adotadas pelo novo Ministro surtiram poucos efeitos em um governo já desgastado pelas denúncias de corrupção envolvendo o presidente eleito Fernando Collor de Mello que após instaurada a Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI) em que foi provado sua participação em esquemas de corrupção, o povo vai às ruas pedir o impeachment do presidente, o que acontece no dia 29 de setembro de 1992 por uma votação expressiva a favor do afastamento do presidente. Foram 411 votos a favor e apenas 38 contra o impeachment. Após isso, assumiu no dia 29 de dezembro de 1992 o seu Vice Itamar Franco.
2.5. PLANO REAL
Na vigência do mandato do presidente Itamar Franco, a economia do Brasil ganha novos rumos com a criação do Plano Real pelo então Ministro da Fazenda Fernando Henrique Cardoso que conseguiu a façanha de controlar os níveis altíssimos de inflação das herdados das administrações anteriores.
[...] O professor Salomão Quadros, da FGV, calculou. De julho de 1964 a julho de 1994, data do Plano Real, a inflação acumulada, medida pelo IGP-DI, foi de 1.302.442.989.947.180,00%. Para simplificar: 1 quatrilhão e 302 trilhões. Por isso o nome deste livro é Saga. O Brasil superou o que parecia insuperável (LEITÃO, 2011, p. 19).
A implantação do Plano Real tinha ainda outras finalidades como:
Aumento dos impostos e redução dos gastos públicos para o controle das contas do governo. Antes, a economia era toda indexada nos índices de inflação, mas em 1994 foi criada a Unidade Real de Valor (URV) e toda a economia brasileira passou a utilizar esse indexador para substituir os índices de inflação. A URV fez a transição da cruzado novo para o Plano Real em 1994. Em 1994 foi criada, finalmente, uma nova moeda forte: o Real (R$).
Aumento das taxas de juros e aumentos dos compulsórios (dinheiro que os bancos devem recolher junto ao Banco Central). Essas medidas tinham como objetivo reduzir o consumo e provocar a queda da inflação. Redução dos impostos de importação para aumentar a concorrência com os produtos nacionais, provocando a redução dos preços. Controle cambial, mantendo o Real valorizado diante ao Dólar. Esta medida visava estimular a importação e aumentar a concorrência interna, controlando o aumento dos preços dos produtos nacionais.
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O Plano Real foi bem-sucedido. A inflação passou a ser controlada e diminuiu significativamente com o passar dos anos. Até hoje o Brasil colhe os frutos deste plano econômico, pois temos a inflação perto de 5% ao ano. Com a criação do Plano Real em 1994, o Brasil voltou a crescer, a economia se estabilizou, o capital estrangeiro passou a ver no Brasil um grande potencial de investimento. Com a estabilidade da moeda surgiram novos investimentos internos como a criação de novas indústrias e a modernização daquelas já consolidadas no Mercado. Surgiram novos Mercados e as pessoas passaram a sentir mais segurança em investir seus recursos tanto em títulos do governo quanto guardar dinheiro nas contas poupanças do bancos comerciais. O País passou a ser visto com otimismo pelo Mercado internacional o que permitiu ao Brasil ter credibilidade frente ás agências de avaliação dos mercados internacionais. Desde então, o Brasil não mais enfrentou os tempos difíceis da hiperinflação das décadas de 1970 e 1980 e novas gerações surgiram sem conhecer este monstro que corrói o valor do dinheiro, empobrece uma nação e a torna obsoleta.
60
3 TAXAS DE JUROS E JURO SIMPLES
3.1 CONCEITO DE TAXA DE JUROS
As taxas de juros são fundamentais para o estudo da matemática financeira
pois são elas que corrigem o valor do dinheiro à medida que o tempo passa.
Segundo (NETO, 2007) uma taxa nada mais é do que o coeficiente que
determina o valor do juro. Entendemos por juro um “aluguel” que o devedor
paga ao credor por este deixar de dispor de determinada quantia, que poderia
ser aplicada em algum tipo de investimento, por um determinado período de
tempo.
Exemplo: imagine que você empreste R$ 1000,00 a um amigo, que lhe
devolverá, após um mês, o valor de R$ 1.100,00. Esses R$ 100,00 a mais
representam o juro que você cobrou do seu amigo, por deixar de dispor da
quantia emprestada por um mês.
No problema ilustrado acima, temos a incidência de dois valores: R$ 1.000,00 e
R$ 100,00 respectivamente. O valor de R$ 1.000,00, representam neste
problema, o capital (C) emprestado enquanto que o valor de R$ 100,00 os juros
(J). Como podemos conhecer a taxa (i) envolvida nesta operação? Segundo
Morgado (1999) taxa de juro é a razão entre o valor do juro e o capital (i = J/C)
neste caso i = 100/1000 = 0,1 = 1%.
Para que esta taxa seja eficiente, torna-se necessário levar em conta o período
de tempo em que a mesma será aplicada a este capital. Assim, ao
multiplicarmos o capital (C) pela taxa obteremos o valor do juro (J) em um
determinado número de períodos (n).
Ainda segundo (NETO 2007) esses juros, e também as taxas, precisam ser
eficientes pois uma determinada quantia não pagará no futuro, em países com
altos índices de inflação, o mesmo que consegue pagar no presente. A perda
do poder de compra gerada pela inflação é segundo (NETO 2007) um dos
fatores que justificam a cobrança de juros por parte do credor uma vez que o
fenômeno inflacionário “corrói” o capital e faz com que o mesmo montante
consiga pagar cada vez menos no futuro se compararmos com o que consegue
pagar no presente. Ao emprestar seu dinheiro a outrem, o credor (dono do
dinheiro) deixa de aplica-lo em investimentos mais rentáveis e que poderiam
61
lhe trazer maior retorno financeiro. Por esse motivo, é justo que se cobre juros
do devedor.
3.1.1 Características da Taxa de Juro
As taxas de juros podem ser representadas na forma unitária e na forma
porcentual. O tempo da taxa para efeito de cálculos, deverá sempre coincidir
com o tempo do capital aplicado sob esta taxa. Quanto ao tempo, uma taxa de
juro pode ser: diária, semanal, quinzenal, mensal, bimestral, trimestral,
quadrimestral, semestral, anual etc.
Em Matemática Financeira, a taxa de juro, por convenção, é grafada com a
letra i (minúscula) do alfabeto latino. A letra i é proveniente da palavra inglesa
(Interest) que quer dizer taxa. Em todo este material didático, utilizaremos a
letra i para denotar a taxa de juros.
Como dissemos acima, a taxa de juros divide-se em taxa percentual e taxa
unitária. A taxa percentual informa-nos o valor dos juros para cada centésima
parte do capital. Por exemplo para um capital de R$ 1000,00 podemos separar
30% deste. O capital de R$ 1000,00 é formado por 10 centos. Em efeitos
práticos: 10 x 100, logo desses 10 centos disponíveis tomaremos 3 centos e
portanto R$ 300,00.
A taxa unitária busca tomar a unidade do capital, ou seja, ela reflete o
rendimento que cada unidade do capital possui. Assim uma taxa de 30% indica
que temos que dividir 30 por cada uma das cem partes disponíveis ou seja
30/100 e isso é igual a 0,30. Concluímos que cada parte do capital rende 0,30.
No caso em questão, para sabermos quanto vale 30% de 1000 em termos de
taxa unitária, precisamos saber quanto rende cada parte do capital (no caso R$
1000,00) para isto basta dividir o capital por 100 (100% deste) e logo após
multiplicarmos esse resultado por 30. Se dividirmos o capital de R$ 1.000,00
em 100 partes iguais encontraremos o valor de cada unidade deste. Neste
caso R$ 10. Logo, ao multiplicarmos esta unidade por 30 encontraremos a taxa
por unidade do capital ou a taxa unitária. Para transformar a taxa percentual
em taxa unitária, basta dividi-la por 100 isto é para transformar 30% em taxa
unitária basta dividir 30 por 100 e encontrar o resultado 0,30. Esse resultado é
o rendimento de cada uma das unidades que formam a capital 100. Para
62
passar de taxa unitária para taxa centesimal basta multiplicar a quantia por 100
ou seja: 0,30 x 100 = 30 ou 30%.
63
3.2 JURO SIMPLES
O regime de capitalização simples é pouco utilizado no Brasil. Neste regime, os
juros incidentes em um empréstimo ou financiamento, são sempre calculados
sobre o valor inicial da operação financeira. Isso faz com que tais juros
cresçam de forma linear ao longo do tempo. Em alguns casos, o juro simples é
utilizado nas operações financeiras de curto e curtíssimo prazo (no máximo em
30 dias). Alguns países europeus utilizam este sistema devido aos seus baixos
índices inflacionários. Para ilustrar o conceito de Juro Simples, analisaremos o
exemplo a seguir:
Exemplo 1 – Você depositou no dia 02 de janeiro de 2016 o valor de R$
200,00 na sua caderneta de poupança. Suponhamos que tal investimento
remunerou o investidor neste ano, à taxa fixa de 10% ao mês (a.m.). Com base
nessas informações, responda aos itens a seguir:
a) Qual o valor do juro mensal?
b) Qual o valor do montante acumulado após um ano?
Solução
Item a)
64
Veja que os valores do saldo desta conta poupança, crescem de maneira
uniforme com o tempo sempre de R$ 20,00. Isto acontece porque o juro é
calculado sempre sobre o valor inicial, neste caso, R$ 200,00. Pois 200 x
10% = 200 X 0,10 = 20 ou seja R$ 20,00.
Item b)
Para conhecer o valor do montante acumulado na conta após 12 meses de
rendimentos, basta lembrarmos que trata-se de somar 12 parcelas de R$
20,00. Ou como são 12 parcelas iguais de R$ 20,00 podemos efetuar o
produto 12 x 20 = 440. A este resultado, somaremos R$ 200,00. Logo o
Montante acumulado após 1 ano foi de 200 + 12 x 20 = 440 ou R$ 440,00.
Figura 1 – Eixo das setas indicando as prestações ao longo do tempo
Fonte: Computador Pessoal
3.2.1. Generalizando o conceito de Juro Simples
65
Figura 2 – Generalizando o Juro Simples através do eixo das setas
Fonte: Computador Pessoal
Um capital V0 (valor inicial) aplicado em uma poupança, ou outra forma de
investimento financeiro, por um período de tempo n acumulará após esse
período o montante M = V0 + n. V0.i ou M = V0 (1 + n.i) .
Exemplo 2 – Você dispõe de R$ 100.000,00. Faz um contrato com certa
instituição para receber durante um ano onde serão creditados em sua conta
trimestralmente os juros simples calculados com base nas seguintes taxas:
Qual o juro simples total ao fim do prazo de aplicação?
Solução
Figura 3 – Calculando o Montante através do eixo das setas
Fonte: Computador Pessoal
Trimestre Taxa de Juros
(em percentual)
1º 10%
2º 12%
3º 15%
4º 18%
66
Assim, os juro simples acumulado ao longo dos quatro trimestres foi de:
J = J1 + J2 + J3 + J4 J = 10.000 + 12.000 + 15.000 + 18.000 = 55.000,00
Exemplo 3 – Sugestão de Atividade lúdica intitulada “Trabalhando como Caixa de Banco” . Atividade extraída da dissertação de Mestrado de Soares, Fernando José. Uma Proposta de Atividades para o Ensino da Matemática Financeira na educação Básica / Fernando José Soares. – 2016. a) A atividade. Para a realização da atividade, é solicitado aos alunos utilizem a calculadora científica de seus celulares e além disso tragam: contas de telefone, faturas de cartão de crédito e boletos bancários pagos ou não. No dia da aplicação, o professor solicita que a sala seja dividida em grupos. A atividade constitui-se em uma ótima aplicação de juros simples e seu objetivo é mostrar como são feitos os cálculos de multa e juros em boletos bancários. É preciso, inicialmente, explicar ao aluno que, quando o vencimento do boleto cai num sábado, domingo ou feriado, o mesmo pode ser pago no próximo dia útil sem nenhum acréscimo. Mas, se o boleto estiver vencido, os juros diários são cobrados, inclusive dos sábados, domingos e feriados. Sugerimos que o professor, inicialmente resolva um ou mais exemplos, após a aplicação desses exemplos, o professor sugere aos grupos elaborarem atividades atividades com as contas trazidas de casa.
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Daremos um exemplo a título de ilustração: (Extraído da Dissertação de Fernando José Soares e devidamente adaptada para este Material Didático). Um boleto de R$1000,00 deve ser pago no dia 20/05/2015. Por um descuido, ele foi pago no dia 30/05/2015. O boleto trazia as seguintes informações: ‘Após vencimento, cobrar multa de 2%; após vencimento, cobrar mora de 3% ao mês. ’Qual foi o valor pago no dia 30/05/2015?
Solução: Para calcular a multa, basta calcular 2% do valor total do boleto. Para calcular a multa, não pode ser incluído os juros pelo atraso. 1000 × 2% = 20, 00 Para calcular a mora de 3% ao mês, devemos apurar a quantidade de dias em atraso, incluindo sábados, domingos e feriados, no caso 10 dias, e efetuar o cálculo de juros simples. Lembrete: o mês comercial é tratado como 30 dias para calcular os juros diários. 3% ao mês =0,1% ao dia 1000 × 0, 1% × 10 = 10, 00 Logo, o valor cobrado será: 1000,00 + 20,00 + 10,00= R$ 1.030,00. b) Os boletos
Boleto 1:
Um boleto bancário com vencimento em 08/01/2016 no valor de R$2500,00 foi pago com atraso no dia 26/01/2016. Sabendo-se que a multa por atraso de pagamento é de 2%, e os juros de mora são de 4,5% ao mês; calcule o valor total pago por esse boleto no dia 26/01/2016. Solução
O valor a pagar será de R$ 2500,00 mais a multa e os juros pelo atraso. Então, a multa será de 2% de 2500. Como foram 18 dias de atraso, os juros são de 4,5% ao mês, correspondem a 0,15% ao dia. Então, temos o valor a pagar de: 2500 + 2500 × 0, 02 + 2500 × 0, 0015 × 18 = 2500 + 50 + 67, 5 = 2617, 50. O valor pago por esse boleto no dia 26/01/2016 será de R$2.617,50. Boleto 2: Uma conta de telefone da empresa Telemar com vencimento no dia 10/01/2016, no valor de R$125,00, foi paga no dia 18/01/2016. Sabendo-se
68
que a multa por atraso é de 2% e juros são de 1% ao mês; calcule o valor que virá acrescido na próxima conta de telefone. Solução O valor que virá acrescido na próxima conta, será a multa e os juros pelo atraso. Então, a multa será dada por 2% de 125. Como foram 8 dias de atraso, temos os juros de: 1% ao mês correspondentes a 0,033333% ao dia. Então, o valor a pagar pelo atraso será de: 125 × 0, 02 + 125 × 0, 00033333 × 8 = 2, 50 + 0, 33 = 2, 83 O valor acrescido na próxima conta será de R$ 2,83. Boleto 3
Uma fatura de cartão de crédito com vencimento no dia 09/01/2016, continha as seguintes informações: pagamento total R$ 4768,32; pagamento mínimo R$ 715,25; multa de 2% por atraso e juros de financiamento da fatura de 16,38% ao mês. Ela foi paga no dia 15/01/2016. Responda: a) Qual o valor a pagar de multa e juros na próxima fatura, se ela foi paga integralmente no dia 15/01/2016? b) Qual o valor a pagar de multa e juros na próxima fatura, se foi pago o valor mínimo no dia 15/01/2016? Solução Item a) Este problema envolvendo fatura de cartão de crédito, foi justamente elaborado para conscientizar a todos sobre o uso do mesmo. O cartão de crédito é uma ótima ferramenta financeira, que possibilita ao usuário parcelar suas compras, comprar alguma coisa emergencial, quando acaba o dinheiro. Mas quando uma pessoa deixa de pagar o total da fatura, a dívida aumenta de forma exponencial. Para resolver o primeiro item, devemos calcular a multa e os juros pelos seis dias em atraso e, em seguida, somá-los. Como a quantidade de dias é um valor menor do que 30 dias, o cálculo dos juros seguirá o regime de juros simples, ou seja, para achar a taxa de juros diária, basta dividi-la por 30.
69
Cálculo da Multa: 4768, 32 × 0, 02 = 95, 37. Cálculo dos Juros: 4768, 32 × 0,1638/30 × 6 = 156, 21 Valor a pagar pela multa e os juros na próxima fatura será de: 95, 37 + 156, 21 = R$ 251, 58.
Item b) Vamos, agora, calcular a multa, os juros pelos 6 dias em atraso e os juros do restante da fatura até o próximo dia de vencimento, no caso, 09/02/2016, e em seguida, somá-los. Cálculo da Multa: 4768, 32 × 0, 02 = 95, 37 Cálculo dos Juros devido ao atraso de 6 dias: 4768, 32 × 0,1638/30 × 6. Esse cálculo terá o valor de R$ 156, 21como resultado do juro a ser pago. Juros do restante da fatura até o novo vencimento: (4768, 32 − 715, 25) × 0, 1638/30 × 25 = 553, 24. Valor a pagar pela multa e os juros na próxima fatura serão de: 95, 37 + 156, 21 + 553, 24 = R$ 804, 82. Observe que ao optar por pagar o valor mínimo, o cliente incorreu em um
erro uma vez que no mês seguinte precisou pagar um valor ainda maior, no
caso R$ 804,82, que o mínimo pago no mês anterior mais o valor total da
fatura acrescida de juros sobre o montante não pago.
70
4 FATOR DE AUMENTO E FATOR DE REDUÇÃO
4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Em uma economia que sofre a influência direta dos índices de inflação, é
comum reajustes (aumento ou reduções) periódicos de preços a fim de evitar
prejuízo para os comerciantes, perda do poder de compra do salário mínimo e
a desvalorização da moeda. Às vezes é necessário aumentar o preço de um
produto multiplicando-o pelo fator de aumento (1 + i)1 mas também pode
acontecer de o preço desse produto reduzir e neste caso, é preciso que o
mesmo seja multiplicado pelo fator de redução (1 – i). Entretanto poderão,
ainda, acontecer: aumentos e reduções sucessivas, reduções sucessivas e
aumentos sucessivos.
4.2 FATOR DE AUMENTO, REDUÇÃO E JUROS COMPOSTOS
Ao aplicar o fator de aumento ou o fator de redução sobre o preço de uma
mercadoria produto ou serviço estamos na realidade, utilizando juros
compostos.
Exemplo 1 - Considere que uma mercadoria de R$ 100,00 passou por três
aumentos sucessivos de 2%, 3% e 4% respectivamente, dentro de um mesmo
mês. Calcule os aumentos sucessivos no preço dessa Mercadoria conforme
essas taxas.
Solução
Isso significa que para calcular o valor do primeiro aumento, basta
multiplicar o preço inicial (R$ 100,00) desta mercadoria pelo primeiro
percentual de aumento que, neste caso, será de 2% ou seja, ela passará a
custar R$ 102,00. Em seguida, multiplicaremos o novo preço (R$ 102,00)
1 O número 1 no fator (1 + i) ou (1 – i) significa tão somente que o novo valor será formado de
100% do valor antigo mais (menos) uma porcentagem daquele valor .
71
pelo segundo percentual de aumento estabelecido, neste caso, 3% e
teremos, portanto, o segundo aumento e consequentemente o novo preço
desta mercadoria que passará a custar R$ 105,06. Finalmente o terceiro
percentual de aumento nos levará ao preço final desta mercadoria dentro do
mês. Tal preço, após o aumento de 4% será de R$ 109,26. Como esses
preços foram calculados? Para responder a essa pergunta, denotaremos os
três preços por P1 (Preço 1), P2 (Preço 2) e P3 (Preço 3). Onde
P1 = R$ 100 . (1 + 2%) = R$ 100 . (1 + 0,02) = R$ 100 . 1,02 = R$ 102,00.
P2 = R$ 102 . (1 + 3%) = R$ 102 . (1 + 0,03) = R$ 102 . 1,03 = R$ 105,06.
P3 = R$ 105.06 . (1 + 4%) = R$ 105,06 . (1 + 0,04) = R$ 105,06 . 1,04
= R$ 109,26.
Concluímos, portanto, que P3 = P2 . 1,04 e P2 = P1 . 1,03
Exemplo 2 – O salário de Maria era, em agosto de 2009, de R$ 620,00e, após
muita luta, recebeu um reajuste de 8% no mês de setembro de 2009. Qual o
valor do salário que Maria passou a receber a partir de setembro de 2009?
Solução
Em agosto, a professora Maria recebia 100% de seu salário, certo? A partir
de setembro (inclusive) ela passou a receber 8% a mais. Podemos dizer que
ela passará a receber 108% de salário atual. Vale lembrar que 108% é a
forma percentual. Mas para efeitos de cálculo precisaremos da forma
unitária. Isto é 108% = 108/100 = 1,08 (forma unitária).
Logo o novo salário será:
620 x 1,08 = 669,60
Também poderíamos ter feito:
100% x 620 + 8% x 620
100/100 x 620 + 8/100 x 620
620 + 49,60
72
669,60
Resposta: o salário bruto que Maria passou a perceber a partir de
Setembro/2009 foi de R$ 660,60.
Vale lembrar que em matemática financeira, neste caso, dizemos que:
A taxa de aumento percentual do salário foi de 8%;
A taxa unitária (i) desse aumento foi de 8/100 = 0,08;
O Fator de Aumento do salário foi de 1,08 = (1 + i);
Exemplo 3 – Durante uma liquidação, na loja “KOBRA KARO”, foi colocado um
cartaz anunciando descontos de 15% para todas as mercadorias. Quanto
passará a custar uma calça jeans que, antes da promoção, custava R$ 58,40?
Solução
Sabemos que o valor antes da promoção era de R$ 58,40. Após aplicarmos o
desconto de 15% o novo valor passará a ser de:
100% do preço anterior + 15% daquele preço
100% de 58,40 - 15% de 58,40
100/100 x 58,40 - 15/100 x 58,40
1 x 58,40 - 0,15 x 58,40
58,40 - 8,76
49,64
Entretanto, poderíamos ter feito esse cálculo diretamente da seguinte
forma:
58,40 x (1 – i)
58,40 x (1 – 0,15)
58,40 x 0,85
49,64
Resposta: após o desconto de 15% o novo valor da calça jeans passou a ser
R$ 49,64.
73
A taxa de redução percentual do salário foi de 15%;
A taxa unitária (i) dessa redução foi de 15/100 = 0,15;
O Fator de Redução do salário foi de 0,85 = (1 - i);
Exemplo 4 – Uma mercadoria sofreu dois reajustes consecutivos, de 3% e de
4%, respectivamente. Qual será o novo valor da mercadoria após estes
reajustes e qual será o aumento percentual correspondente a essas duas
correções?
Solução
Para resolver esse exercício, vamos considerar o valor do produto em
questão como sendo de R$ 100,00 para facilitar nossos cálculos.
Primeiro reajuste 3%
O novo valor após esse reajuste será 100% do valor anterior mais 3%
daquele mesmo valor. Ou seja:
100% de 100 + 3% de 100
100/100 x 100 + 3/100 x 100
1 x 100 + 0,03 x 100
100 x (1 + 0,03)
100 x 1,03 = 103,00
Logo, após o reajuste de 3% o novo valor da mercadoria passou a ser de R$
103,00.
Segundo reajuste
O novo valor da mercadoria, passou a ser de R$ 103,00. Esse valor passará
por novo reajuste, agora o de 4% e o seu novo valor será:
100% de 103 + 4% de 103
100/100 x 103 + 4/100 x103
1 x 103 + 4/100 x 103
103 x (1 + 0,04)
74
103 x 1,04
107,12
Portanto o valor da mercadoria após o segundo reajuste passa a ser de R$
107,12
Levando em conta os dois reajustes consecutivos esse cálculo poderia ser
resolvido assim:
100 x (1 + i1) x (1 + i2) Logo, o reajuste total foi de
7,12% e não o de 7%
100 x (1 + 0,03) x (1 + 0,04) se houvéssemos somado 3% com
4%.
100 x 1,03 x 1,04
100 x 1,0712
107,12
Exemplo 5 – Qual a variação acumulada, gerada por dois aumentos
sucessivos de 15%?
Solução
Dois aumentos sucessivos de 15% são calculados da seguinte forma:
(1 + 15%) x (1 + 15%)
(1 + 15/100) x (1 + 15/100)
(1 + 0,15) x (1 + 0,15)
1,15 x 1,15
1,3225
Podemos, a titulo de exemplo, considerar o preço de um produto que custa
inicialmente R$ 100,00 e que passe por dois aumentos sucessivos de 15%.
Assim, estaremos diante da seguinte situação:
100 x 1,15 = 115,00
75
115 x 1,15 = 132,25
Mas também poderíamos ter feito:
100 x 1,3225 = 132,25.
Na realidade, estaremos diante da sequência:
(100, 115, 132,25)
Tal sequencia trata-se de uma progressão geométrica de razão q = 1,15 o
que corresponde a uma variação percentual fixa de 15%.
Exemplo 6 – O remédio que o Sr. João toma diariamente para pressão alta
custava R$ 40,00 no mês de abril de 2004 e passou a custar R$ 49,00 no mês
seguinte. Qual foi o fator de correção e o aumento percentual correspondente?
Solução
Sabemos que ao multiplicar o valor inicial pelo fator de correção, teremos o
valor final. No caso, o preço do remédio após a correção passou a custar R$
49,00. Para calcular o valor da taxa percentual que elevou o preço desse
medicamento procedemos da seguinte maneira:
40 x (1 + i) = 49
1 + i = 49/40
1 + i = 1,2250
i = 1,2250 – 1
i = 0,2250
i = 22,5%
Portanto, o medicamento que o Sr João toma toma diariamente sofreu um
reajuste de 22,5%.
Exemplo 7 – Bia, que recebe um salário de R$ 840,00 por mês, verificou em
seu contracheque que, após todos os descontos sofridos por ela em um
76
determinado mês, recebeu apenas R$ 739,20. Você saberia determinar o
percentual do desconto a que foi submetido o salário de Bia?
Solução
Vamos, inicialmente, calcular o fator de redução no salário de Bia. Foi dado
que o salário bruto de Bia era de R$ 840,00. Logo para saber qual foi o
percentual de descontos no salário de Bia, faremos o seguinte cálculo:
840 x (1 – i) = 739,20
(1 – i) = 739,20/840
1 – i = 0,8800
-i = 0,8800 – 1
i = 1 – 0,88
i = 0,12
i = 12%
A taxa de descontos no salário de Bia foi de 12%.
Exemplo 8 – Na ilustração abaixo temos a indicação dos índices de inflação
medidos pelo IPCA e divulgados pelo Banco Central (BACEN). O Salário de
Bia era de R$ 3.000,00 em Janeiro de 2017 mas foi reajustado, com um
aumento, em dezembro daquele mesmo ano pelo índice IPCA (%) divulgado no
site do BACEN. Outro reajuste no salário de Bia será feito no ano de 2018
quando em dezembro daquele ano, seu salário também será corrigido por esse
mesmo índice. Desse modo, qual será o valor do Salário de Bia no dia 1º de
Janeiro de 2019?
77
Figura 4 – índices de Inflação medidos pelo IPCA (anos 2017 e 2018)
Fonte: site do banco central: www.bcb.gov.br
Solução
Foram nos dadas as seguintes informações:
Salário de Bia ao longo de 2017 era de R$ 3.000,00
Salário de Bia após o primeiro reajuste.
3000 x (1 + 3,29%)
3000 x (1 + 0,0329)
3000 x 1,0329
3 098,70
Portanto, em janeiro de 2017 o salário de Bia passou a ser de R$ 3.098,70.
Salário de Bia após o segundo reajuste.
3 098,70 x (1 + 4,20%)
3 098,70 x (1 + 0,0420)
3 098,70 x 1,0420
3.228,85
Assim, em janeiro de 2019 o salário de Bia passará a ser de R$ 3.228,85.
Exemplo 9 – Caio tem disponível em sua conta corrente, no banco 13 da lista
disponibilizada pelo BACEN (veja tabela de tarifas de cheque especial abaixo),
R$ 4000,00 de limite de Cheque Especial. Se ele utilizar R$ 2000,00 desse
limite no dia 30/06/2017 e só pagar no dia 30/09/2017, considere que o banco
manterá fixa a tarifa do Cheque Especial até o dia 01/10/2017, quanto Caio
pagará de juros sobre a utilização deste limite na data informada acima?
78
Figura 5 – Limites de cheque especial dos bancos 13, 14 e 15
Fonte: site do banco central: www.bcb.gov.br
Solução
Caio utilizou R$ 2.000,00 do seu limite no dia 30/06/2017.
Após 3 meses ele pagará:
2.000 x (1 + 8,28%)3
2.000 x (1 + 0,0828)3
2.000 x 1,08283
2.000 x 1,2695
2.539,07
Assim, após deixar de pagar o limite utilizado durante 3 meses, Caio pagou
R$ em 30/09/2017.
Exemplo 10 – O Índice Geral de Preços de Mercado (IGP-M) é calculado pela
Fundação Getulio Vargas e é utilizado para reajustar operações financeiras de
médio e longo prazo como Financiamento Habitacional por exemplo e também
o preço dos aluguéis. Na tabela abaixo, temos tanto a variação do IGP-M
mensal para os anos de abril/2015 a março/2016 quanto uma metodologia para
calcular o índice acumulado no período. Diante do exposto e de acordo com a
79
tabela 7 qual foi o IGP-M acumulado nos quatro primeiros meses do ano de
2015 ? Um aluguel de R$ 300,00 em abril/2015, passaria a custar quanto em
julho/2015 ?
Figura 6 – Índice Geral de Preços de Mercado – IGP-M (anos 2015 e 2016).
Fonte: site do banco central: www.bcb.gov.br
Solução
O índice de inflação acumulada pelo IGP-M acumulado no período de abril
de 2015 a março de 2016 foi de:
(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) x (1 + i4) x (1 + i5) x (1 + i6) x (1 + i7) x (1 + i8) x (1 +
i9) x (1 + i10) x (1 + i11) x (1 + i12)
(1 + 1,17%) x (1 + 0,41%) x (1 + 0,67%) x (1 + 0,69%) x (1 + 0,28%) x (1 +
0,95%) x (1 + 1,89%) x (1 + 1,52%) x (1 + 0,49%) x (1 + 1,14%) x (1 + 1,29%) x
(1 + 0,51%)
(1 + 0,0117) x (1 +0,0041) x (1 +0,0067) x (1 + 0, 0069) x (1 + 0,028) x (1 +
0,095) x (1 + 0,0189) x (1 + 0,0152) x (1 + 0,049) x (1 + 0,0114) x (1 +0,0129)
x (1 + 0,051)
1,0117 x 1,0041 x 1,0067 x 1,0069 x 1,028 x 1,0095 x 1,0189 x 1,0152 x
1,0049 x 1,0114 x 1,0129 x 1,0051
1,1156824
Logo a inflação acumulada no período foi de 11,57%.
O aluguel que em abril de 2015 era de R$ 300,00 passou a ser de
300 (1,17%) x (1 + 0,41%) x (1 + 0,67%) x (1 + 0,69%)
300 x (1,0117) x (1,0041) x (1,0067) x (1,0069)
308,91
80
O valor do aluguel passou a ser de R$ 308,91 em julho de 2015.
81
4.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01 – Na ilustração abaixo temos a indicação dos índices de inflação medidos
pelo IPCA e divulgados pelo Banco Central (BACEN). O Salário de Bia é de R$
2.500,00 em 2017 mas será reajustado, com um aumento, em dezembro pelo
índice IPCA (%) divulgado no site do BACEN. O mesmo será feito no ano de
2018 quando em dezembro, seu salário também será corrigido por esse
mesmo índice. Desse modo, qual será o valor do Salário de Bia no dia 1º de
Janeiro de 2019?
Fonte: http://www.bcb.gov.br/pt-br/#!/home site consultado em 18/07/17 às 23:17:00 .
02 – Caio tem disponível em sua conta corrente no banco 13 da lista
disponibilizada pelo BACEN (veja tabela de tarifas de cheque especial abaixo)
R$ 14.000,00 de limite de Cheque Especial. Se ele utilizar R$ 7000,00 desse
limite no dia 30/06/2017 e só pagar no dia 30/09/2017, considere que o banco
manterá fixa a tarifa do Cheque Especial até o dia 01/10/2017, quanto Caio
pagará de juros sobre a utilização deste limite na data informada acima?
82
Fonte: http://www.bcb.gov.br/pt-br/#!/home site consultado em 19/07/17 às 00:40:00
03 – O Índice Geral de Preços de Mercado (IGP-M) é calculado pela Fundação
Getulio Vargas e é utilizado para reajustar operações financeiras de médio e
longo prazo como Financiamento Habitacional por exemplo e também o preço
dos aluguéis. Na tabela abaixo, temos tanto a variação do IGP-M mensal para
os anos de abril/2015 a março/2016 quanto uma metodologia para calcular o
índice acumulado no período. Diante do exposto acima e de acordo com a
tabela 7 abaixo, qual foi o IGP-M acumulado nos quatro primeiros meses do
ano de 2015 ? Um aluguel de R$ 300,00 em abril/2015, passaria a custar
quanto em julho/2015 ?
Fonte: http://www.bcb.gov.br/conteudo/home-ptbr/FAQs/FAQ%2002-
%C3%8Dndices%20de%20Pre%C3%A7os%20no%20Brasil.pdf consulta em 19/07/17 às 01:37:00
04) Um vestido que custa hoje R$ 600,00 passou por dois reajustes sucessivos
de preço: dia 01 de julho de 2017 teve uma redução de 7% e no dia 15/07/2017
teve uma redução de 5%. Qual era o preço desse vestido no dia 29 de junho de
2017 (antes do reajuste) ?
83
3.4. ATIVIDADES EXTRAS (PARA CASA)
A Seguir, você terá a oportunidade de exercitar os conhecimentos adquiridos
nas seções anteriores. Por isso, elaboramos esta lista de atividades.
1 - (VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual – Sec da Fazenda – SP
2002) A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$ 1,15 para R$
1,40. O aumento em porcentagem foi de aproximadamente:
a) 28%
b) 25%
c) 22%
d) 20%
e) 18%
2 - (FCC – Escriturário – Banco do Brasil/2011) Em dezembro de 2007, um
investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-
se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%;
em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no
ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em
2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o
rendimento percentual do investimento foi de:
a) 20%
b) 18,4%
c) 18%
d) 15,2%
e) 15%
3 – (FGV – Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da
Administração – AP/2010) As ações de certa empresa em crise
desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização
total nesses três meses foi de:
a) 60%
b) 56,6%
c) 53,4%
d) 51,2%
84
e) 48,8%
4 – (ESAF – Técnico de Finanças e Controle – Controladoria Geral da
União/2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um
aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preços
no biênio considerado?
a) 8%
b) 8,8%
c) 10,8%
d) 18%
e) 18,8%
5 – (FGV – Auditor da Receita do Estado – Secretaria de Estado da
Administração – AP/2010) – O dono de uma loja aumenta os preços durante a
noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos os
produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do
dia anterior é de:
a) 10%
b) 12%
c) 14%
d) 16%
e) 18%
6 – (FCC – Analista Judiciário _ Área Judiciária – Especialidade: Execução
de Mandados – TRT – 1ª Região/2013) Um investidor comprou um
apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa transação.
Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o
por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Considerando o
dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o
apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido
na venda do apartamento X foi de
a) 10%
b) 12%
c) 15%
d) 18%
e) 21%
7 – (FCC – Agente de Defensoria Pública – Área Administrador de Banco
de Dados – Defensoria Pública – SP/2013) Um comerciante comprou uma
85
mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda desse produto
em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente para dar
30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir lucro de 20%
sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve
vender essa mercadoria é igual a
a) R$ 620,00
b) R$ 580,00
c) R$ 600,00
d) R$ 590,00
e) R$ 610,00
8 – (FGV – Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria da Fazenda –
RJ/2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em um
ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se
dizer que a evolução do PIB per capita foi:
a) Inferior a 2,0%
b) Igual a 2,0%
c) Entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos.
d) Igual a 3,0%
e) Superior a 3,0%
9 - (FGV – Auditor do Estado – Área Controlador – Controladoria Geral do
Estado-MA/2014) O prefeito de certo município exerceu seu mandato nos
anos de 2009 a 2012. Em cada um dos anos de 2010, 2011 e 2012 as
despesas de custeio da administração municipal aumentaram em 20% em
relação ao ano anterior. Então, as despesas em 2012 superaram as de 2009
em, aproximadamente,
a) 60%
b) 68%
c) 73%
d) 80%
e) 107%
10 – (FCC – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Área Economia –
Metrô-SP/2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado
produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende
aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda
seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A. O
aumento que a loja B deve realizar é de
a) 56%
86
b) 15%
c) 50%
d) 30%
e) 44%
11 – (FCC – Técnico em Gestão de Informática – Companhia de
Saneamento Básico de São Paulo/2014) Dois lojistas concorrem vendendo o
produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P em
10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores
desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo vender,
resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o lojista R
diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compraram na loja de R. Isso
se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do que na loja de Q em
aproximadamente,
a) 3%
b) 10%
c) 15%
d) 1%
e) 5%
12 – (FCC – Analista Legislativo – Assembléia Legistlativa – RN/2013) O
preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse
preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um determinado
mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias, o mesmo
comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar ao limite
permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo comerciante é de
aproximadamente
a) 15%
b) 12%
c) 19%
d) 13%
e) 14%
13 – (FCC – Analista Legislativo – Assembleia Legislativa – RN/2013) O
preço de um produto era de R$ 15, 00 ao final de um mês. No final do mês
seguinte, o preço era de R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do
mesmo produto era de R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da
porcentagem de aumento do preço nesses dois intervalos foi de:
a) Mais 15%
87
b) Menos 10%
c) Menos 20%
d) Mais 25%
e) Mais 20%
14 – (FCC – Analista Judiciário – Área Judiciária – Especialidade
Execução de Mandados – TRT – 1ª Região/2013) A etiqueta de um produto
indica que seu preço é de R$ 160,00. No sistema da loja, porém, um de seus
três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da
etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no
máximo
a) 5.
b) 5,2
c) 19
d) 500
e) 600
15 - (FGV – Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da
Administração – AP/2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas
economias em ações de uma empresa e, no final do ano Alberto declarou:
“Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano”. Isto significa que,
no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em:
a) 60%
b) 66%
c) 70%
d) 75%
e) 100%
16 – Uma loja finalizou a liquidação de 70% de desconto sobro os produtos.
Para Retornar aos preços originais, qual deve ser o aumento percentual?
a) 30%
b) 75%
c) 333%
d) 70%
e) 233,33%
88
17 – (UERJ) No dia 5 de dezembro, uma loja aumenta os preços de seus
produtos em 60%. Na liquidação após o Ano Novo, os mesmos produtos
sofrem um desconto de 27,5%, em relação aso preços reajustados de 5 de
dezembro. Após essa liquidação, podemos constatar que os preços dos
produtos, em relação aos preços do dia 4 de dezembro, sofreram uma variação
percentual de:
a) 16,0%
b) 29,0%
c) 32,5%
d) 44,0%
e) 22,0%
18 – (Magistério – Estado de São Paulo) Um lojista comprou de seu
fornecedor um artigo pro p reais (preço de custo) e o revende com lucro de
40%. A seguir, ao fazer uma liquidação, ele dá aos compradores um desconto
de 30% sobre o preço de venda desse artigo. Pode-se afirmar que esse
comerciante tem, sobre p:
a) Prejuízo de 2%
b) Prejuízo de 10%
c) Lucro de 10%
d) Lucro de 12%
e) Lucro de 82%
19 – (UFMG) Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em
150%. Como a venda não estava satisfatória, voltou aos preços
praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados o percentual
de redução foi de:
a) 0%
b) 60%
c) 75%
d) 100%
e) 150%
20 – (Magistério – SP) Para não se ter prejuízo, o preço de venda de um
computador deve ser, no mínimo, 44% superior ao preço de custo. Se ele for
colocado à venda acrescentando-se 80% ao preço de custo, o maior desconto
que pode ser concedido ao cliente sobre o preço de venda de modo a não ter
prejuízo é de:
a) 36%
89
b) 30%
c) 25%
d) 22%
e) 20%
90
5 JURO COMPOSTO E TAXAS EFETIVAS
5.1 JURO COMPOSTO DEFINIÇÕES
O Sistema de Juro Composto é largamente utilizado no Brasil entre as
instituições comerciais, financeiras e industriais. Esse sistema de juro
distingue-se do Sistema de Juro Simples pelo fato de que a cada período, a
partir do primeiro, o juro é incorporado ao capital e também passa a render
juros. Para ilustrar esse fato analisemos a seguinte situação:
Exemplo 1 - Lúcio depositou em sua caderneta de poupança R$ 100,00, em
uma instituição financeira, a uma taxa de juro de 2% ao mês. O dinheiro ficará
depositado por 04 meses e será sacado por ele após esse prazo. Quais serão,
respectivamente, o valor do Montante e do Juro acumulado após esse período?
Solução:
São dados:
Depósito inicial: R$ 100,00
Taxa de juro (i): 2% ao mês
Tempo em que o dinheiro ficou depositado: 4 meses
O montante será obtido da seguinte forma:
Hoje: 100
Final do primeiro mês: 100 x (1,02) = 102
Final do segundo mês: 102 x (1,01) = 104,04
Final do terceiro mês: 104,04 x (1,02) = 106,12
Final do quarto mês: 106,12 x 1,02 = 108,24.
Logo, o montante após 4 meses foi de R$ 108,24 e o Juro acumulado nesse
período foi de R$ 108,24 – R$ 100,00 = R$ 8,24.
Exemplo 2 - Bia depositou em sua caderneta de poupança R$ 1000,00, em
uma instituição financeira, a uma taxa de juro de 0,5% ao mês. O dinheiro
91
ficará depositado por 05 meses e será sacado por Bia após esse prazo. Qual
será o valor total que Bia irá sacar de sua conta poupança após esse período?
Solução:
Inicialmente iremos calcular o juro de 0,5% sobre os R$ 1000,00. (0,5% de
R$ 1000,00 = 0,005 x 1000 = 5,00). Ao final dos primeiros trinta dias a
instituição financeira calcula o primeiro juro da seguinte forma: R$
1.000,00 x 0,005 = R$ 5,00. Esses R$ 5,00 são os primeiros juros, ou seja,
os juros calculados diretamente sobre o capital inicial de R$ 1000,00. Esses
juros serão incorporados isto é passarão a fazer parte constituindo um novo
capital de R$ 1005,00 (R$ 1000,00 + R$ 5,00).
Esse é o capital que constará na conta poupança de Bia durante todo o
segundo mês, se ela não sacar ou fizer algum depósito. Ao final do segundo
mês a instituição financeira calculará novamente o juro, sempre no último
dia útil, a fim de formar os juros para o terceiro mês da seguinte forma:
A instituição calculará 0,5% de R$ 1005,00. Entretanto poderemos efetuar:
0,005 x R$ 1.005,00 = R$ 5,03. O novo capital passará a ser R$ 1.010,03
(R$ 1.005,00 + R$ 5,05) e será a base para o cálculo do juro do quarto mês.
Vale lembrar que este valor (R$ 1.010,03) ficará disponível na conta de Bia
durante todo o terceiro mês e será utilizado para calcular os juros do
quarto mês
Durante todo o terceiro mês o valor na Conta de Bia será de R$ 1.010,03
somente no último dia do terceiro mês será calculado novo juro pela
instituição financeira. Assim: 0,5% de R$ 1 010,03 = 0,005 x R$ 1 010,03 =
R$ 5,05. Esse valor de R$ 5,05 somaremos ao valor de R$ 1 010,03
produzindo o valor que estará disponível na conta de Bia durante todo o
quarto mês (R$ 1 010,03 + R$ 5,05 = R$ 1.015,08.
Finalmente o valor do juro disponível para o quinto mês será calculado sobre
o valor de R$ 1.015,08 (R$ 1.010,03 + R$ 5,05). Esse valor estará disponível
92
durante todo o quarto mês na conta poupança de Bia se ela não fizer nenhum
saque ou depósito. Logo no último dia útil do quarto mês a instituição
financeira calculará o quinto juro que será incorporado, imediatamente ao
capital ou seja: 0,5% de 1.015,08 = 0,005 x R$ 1.015,08 = 5,08 logo esses
juros serão somados ao capital de R$ 1.015,08 (R$ 1.015,08 + R$ 5,08) = R$
1.020,16.
5.1.1 GENERALIZANDO
Para generalizar o estudo do Juro Composto, utilizaremos o Método Visual
desenvolvido por (NOVAES, 2009). Este método além de muito prático,
estimula o entendimento do conceito de Juro Composto evitando que você
apenas “decore” a fórmula para cálculo do valor presente, futuro, taxa, e nº de
períodos.
5.1.2 CÁLCULO DO VALOR FUTURO – FV
Em muitos textos de Matemática, o Valor Futuro é também chamado de
Montante (M). neste material, utilizaremos a notação FV para Montante por
designar um valor a ser conhecido no futuro e também por entendermos ser
compatível com a notação utilizada nas teclas da maioria das calculadoras
financeiras.
Fig 01 - Lei para cálculo do valor futuro: FV = PV . (1 + i)n
93
Figura 7 – Expressão geral para o Juro Composto por meio do eixo de setas
Fonte: arquivos do autor
5.1.3 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE – PV
Às vezes é necessário realizar o pagamento antes da data final. Se for uma
dívida, o cliente sentirá a necessidade de quitá-la antes do seu vencimento, se
tiver recursos disponíveis para isso. Neste caso, é preciso conhecer o valor
atual ou Valor Presente da operação a fim de obter um desconto que por lei é
devido ao cliente por seu pagamento antecipado.
Fig 02 - Lei para cálculo do valor futuro: PV = FV / (1 + i)n
Figura 8 – Entendendo a expressão geral para o Juro Composto por meio do
eixo de setas.
Fonte: arquivos do autor
94
5.1.4 NOTAÇÕES
PV significa (Valor Presente) e deriva do inglês Present Value. Em alguns
textos ao invés de PV utiliza-se Capital Inicial C0 ou simplesmente Capital C.
FV significa (Valor Futuro) e deriva do inglês Future Value. Outros textos
trazem a nomenclatura de Montante (M).
i do Inglês: interest (taxa de juro)
n é o número de períodos (tempo)
(1 + i) é o Fator de Aumento
(1 – i) é o Fator de Redução
5.1.5 EXEMPLOS RESOLVIDOS ALGEBRICAMENTE
Exemplo 3 – O limite de cheque especial é um modelo de empréstimo a juro
composto com capitalização diária. Por se tratar de uma maneira rápida, fácil e
sem destinação específica, os bancos cobram caro de quem utiliza essa
modalidade de empréstimo. Desse modo, orientamos cautela em sua
utilização. Caio está pensando em abrir uma conta corrente para isso, ele
acessou site do Banco Central a fim de verificar o valor das taxas de juros
cobradas pelos bancos cinco maiores bancos brasileiros, indicados na tabela
fornecida pelo BACEN pelos números 16, 18, 21, 24, 25 e dentre esses
bancos, ele se interessou por aqueles que cobram as menores taxas. Ele
simulou a utilização de R$ 2.500,00 por 30 dias a fim de verificar qual geraria
um montante menor. Após efetuar os cálculos, qual banco representa uma boa
opção para caio abrir sua conta?
95
Figura 9: Pessoa Física – Cheque Especial, classificados por ordem
crescente de taxa. Período: 09/07/2018 a 13/07/2018
Fonte: BANCO CENTRAL DO BRASIL (Brasil) (Org.). Limite de Cheque
Especial. 2018. Disponível em: <http://www.bcb.gov.br/pt-
br#!/r/txjuros/?path=conteudo/txcred/Reports/TaxasCredito-Consolidadas-porTaxasAnuais.rdl&nome=Pessoa Física - Cheque
especial¶metros='tipopessoa:1;modalidade:216;encargo:101'>. Acesso em: 29 juL. 2018 às 19:50h.
Solução
Simulação 1: Banco 16.
Dados:
PV = R$ 2.500,00
n = 30 dias (1 mês)
i = 11,44% a.m. 11,44 ÷ 30 = 0,381% a.d.
FV é o que queremos
Simulação 2: Banco 18..
Dados:
PV = R$ 2.500,00
n = 30 dias (1 mês)
i = 11,85% a.m. 11,85 ÷ 30 = 0,395% a.d.
FV é o que queremos
Resposta: O banco 16 representa a melhor opção dentre os grandes bancos brasileiros.
Exemplo 4 – A fatura do cartão de crédito de Bia vence todo dia 20 de cada mês. O melhor dia para que ela efetue uma compra em seu cartão é o dia 11 pois desse modo o prazo máximo para pagamento da fatura é de 40 dias. Em contrapartida, o dia 10 é o pior dia uma vez que desse modo ela cairá no prazo mínimo de apenas 10 dias. A fatura referente ao mês de novembro de 2017 do cartão de crédito de Bia tinha um valor nominal de R$ 1.450,00 e pagamento
FV = PV . (1 + i)n
FV = 2.500 . (1 + 0,381)30
FV = 2.500 . 1,38130
FV = 2.500 . 1,606
PV = 4.015,60
FV = PV . (1 + i)n
FV = 2.500 . (1 + 0,395)30
FV = 2.500 . 1,39530
FV = 2.500 . 2,174
FV = 5.434,58
96
mínimo2 de R$ 217,50. Como não tinha dinheiro suficiente para pagar todo o valor da fatura Bia pagou, no dia 20 de novembro de 2017, apenas o valor mínimo. De acordo com a tabela de tarifas disponível no site do BACEN (http://www.bcb.gov.br) a taxa de juros do rotativo do cartão de crédito cobrada pelo banco, em Bia é que correntista, é de 11,15% ao mês. Diante do fato exposto, qual foi o valor nominal da fatura do cartão de crédito de Bia referente ao dia 20 de dezembro de 2017, sabendo que sobre esse valor incidirá alíquota de IOF3 diário no valor de 0,0082% e adicional de 0,38%, e que ela não efetuou mais nenhuma compra com o cartão desde o último pagamento?
Solução
Dados:
PV = R$ 1.232,50 (R$ 1450 – R$ 217,50)
n = 30 dias (1 mês)
i = 11,15% a.m. 11,15 ÷ 30 = 0,372% a.d.
IOF diário = 0,0082% IOF adicional = 0,38% a.m.
FV é o que queremos
Calculando o valor total do IOF. IOFTOTAL = IOFdiário + IOFadicional
IOFTOTAL = R$ 1.232,50 x 0,000082 X 30 + R$ 1.232,50 x 0,0038
2 O pagamento mínimo da fatura de um cartão de crédito corresponde a 15% de seu valor
nominal, No dia 25 de novembro de 2015 esse percentual para mínimo foi elevado de 10%
para 15%.de acordo com a Resolução do Conselho Monetário Nacional nº 3.919 que tomou essa medida devido ao fato de as que taxas médias de juros de mercado costumam passar dos 10% ao mês. Fonte: http://www.bcb.gov.br/pre/normativos/res/2010/pdf/res_3919_v4_P.pdf acessado em 02/06/2018 às 00:05.
3 O Imposto sobre Operações Financeiras – IOF foi estabelecido pelo decreto 6.306, de 14
de dezembro de 2007. Esse imposto incide sobre operações de crédito como empréstimos,
apólices de seguros, operações de câmbio, operações com ouro e com títulos e valores
mobiliários.
Fonte: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2007-2010/2007/decreto/d6306.htm
acessado em 02/06/2018 às 00:20h.
FV = PV . (1 + i)n
FV = 1.232,50 (1+0,372)30
FV = 1.232,50 . 1,37230
FV = 1.232,50 . 1,320
FV = 1.627,09
FV = 5.964,52
97
IOFTOTAL = R$ 3,40 + R$ 4.68 IOFTOTAL = R$ 8,08
Valor nominal da fatura de dezembro/2017: R$ 1627,09 + R$ 8,08 = R$ 1.635,17
Caso ela volte a pagar o valor mínimo (15% de R$ 1635,17 = R$ 245,28) o saldo para o mês de janeiro será de R$ 1635,17 – R$ 245,28 = R$ 1.389,89 sobre o qual incidirão novos juros e cobrança de IOF.
Exemplo 5 – Caio deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano. Quanto ele
deverá depositar hoje numa poupança que rende 1,7% de juro mês?
Solução
Dados:
FV = R$ 27.500,00
n = 1 ano (12 meses)
i = 1,7% (0,017) a.m.
PV é o que queremos
Exemplo 6 – Bia resgatou um investimento de R$ 12.000,00 que pagava 3,5%
ao mês de juro. Sabendo que seu dinheiro ficou aplicado neste investimento
durante 8 meses, quanto ela resgatou?
Solução
Dados:
FV = é o que
queremos
n = 8 meses
i = 3,5% (0,035) a.m.
PV = R$ 12.000,00
FV = PV . (1 + i)n
27.500 = PV . (1 + 0,017)12
27.500 = PV . 1,01712
1,01712 . PV = 27.500
PV = 27.500/1,01712
PV = 27.500/1,2241
PV = 22.465,48
FV = PV . (1 + i)n
FV = 12.000 . (1 + 0,035)8
FV = 12.000 . 1,0358
FV = 12.000 . 1,3168
FV = 15.801,06
98
FV = PV . (1 + i)n
26.596,40 = 22.000 . (1 + 0,024)n
26.596,40 = 22.000 . (1,024)n
22.000 . (1,024)n = 26.596,40
(1,024)n = 26.596,40/22.000
(1,024)n = 1,2089
log (1,024)n = log 1,2089
n. log (1,024) = log 1,2089
n. 0,010 = 0,082
n = 0,082/0,010
n = 8
Exemplo 7 – Gauss depositou R$ 40.000,00 em uma aplicação. Ao final de
quatro meses, resgatou R$
43.894,63. Qual a taxa mensal
paga por esta aplicação?
Solução
Dados:
FV = R$ 43.894,63
n = 4 meses
i = é o que queremos (
a.m.)
PV = R$ 40.000,00
OBS. Fazer o fluxo de Caixa
Exemplo 8 – Você fez no dia 02 de maio deste mês uma aplicação financeira
no valor de R$ 22.000,00 no banco ALFA S/A. A taxa paga ao banco para esta
aplicação financeira foi de 2.4% ao mês. Após o vencimento do prazo
estabelecido no contrato da aplicação, você resgatou R$ 26.596,40. Com base
nas informações deste problema responda: qual o prazo desta aplicação?
Solução
Dados:
FV = R$ 26.596,40
n = é o que queremos saber
i = 2,4% (0,024) a.m.
PV = R$ 22.000,00
FV = PV . (1 + i)n
43.894,63 = 40.000 . (1 + i)4
40.000 . (1 + i)4 = 43.894,63
(1 + i)4 = 43.894,63/40.000
(1 + i)4 = 1,0973
(1 + i) = 1,09731/4
(1 + i) = 1,0234
i = 1,0234-1
i = 0,0234 = 2,34% a.m.
99
Exemplo 9 - (Questão extraída da dissertação de Mestrado de Primon, Sandro Marcio (adaptada)). A Prefeitura Municipal de Fraiburgo-SC efetua cobrança do IPTU 2017 (Imposto Predial e Territorial Urbano) oferecendo ao cidadão três opções de pagamento diferentes: Opção 1 - Para pagamento em cota única até 10 de abril, desconto de 20%; Opção 2 - Para pagamento em cota única até 10 de maio, desconto de 10%; Opção 3 - Para pagamento em 6 prestações mensais iguais, começando em 10 de maio, não há desconto. Supondo que o titular do carnê da Figura 6 tenha recursos para pagar em qualquer uma das opções, qual é a mais viável economicamente, se seu dinheiro está aplicado com rendimento de 1% ao mês? Figura 10 – IPTU 2017 de Fraiburgo Fonte: Carnê do Contribuinte
Solução Para comparar as opções, deve-se levar esses valores ao mesmo período (será considerado o mês de maio). Opção 1: Em abril o valor a ser pago é R$ 346,40, com desconto de 20%, que dá R$277,12. Como seu dinheiro vale 1% ao mês, em maio tem-se acréscimo de R$ 2,77, resultando em R$ 279,89.
100
Opção 2:
Em maio o valor a ser pago é R$ 346,40, com desconto de 10%, que dá R$ 311,76. Opção 3: Em maio o valor a ser pago é R$ 346,40 dividido por 6, o que dá R$ 57,73. Para resolver esse problema, traremos cada parcela dos próximos meses para o mês de maio, utilizando a expressão PV = FV/(1 + i)n e em seguida efetuaremos a soma dessas parcelas da seguinte forma: 57, 73 + 57, 73/1, 01 + 57, 73/1, 012 + 57, 73/1, 013 + 57, 73/1, 014 + 57, 73/1, 015 = = 57, 73 + 57, 16 + 56, 59 + 56, 03 + 55, 48 + 54, 93 = R$ 337, 92.
Comparando os resultados, conclui-se que a Opção 1 representa uma economia considerável em relação às outras duas, e portanto é a mais vantajosa. 5.1.6 EXEMPLOS COMENTADOS ( HP-12C)
Exemplo 10 - Bia depositou no dia 02/01/2016 a quantia de R$ 20.000,00 na
sua conta poupança. Depois desse dia, não fez mais nenhum depósito nesta
conta. Ela precisou sacar esse dinheiro no dia 02/08/2016. A taxa de juro da
poupança neste período foi de 1% ao mês mais 0,0542 de Taxa Referencial de
Juros (TRJ) também creditada na conta todo mês junto com os juros. Qual foi o
valor sacado por Bia no dia 02 de agosto de 2016 sabendo que a poupança
paga juros compostos.
Solução
Utilizando a calculadora financeira HP – 12C para resolver este problema
temos:
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
101
Digite f CLx para limpar os registradores.
Antes de efetuarmos qualquer cálculo com a HP-12C precisamos prepará-la
para trabalhar com Juro Composto. Para isso, pressionamos as teclas STO
(Story) seguida da tecla EEX. Aparecerá no visor da calculadora a letra C
(maiúscula) indicando que agora a calculadora está pronta para trabalhar no
regime de Juro Composto.
Agora, pressionaremos as teclas f e CLx para limparmos todos os
registradores das memórias da calculadora.
Feito os dois procedimentos acima, a calculadora está pronta para efetuar
os cálculos de Juro Composto.
Valor Tecla
Digite R$ 20.000 tecle enter e armazene o resultado na tecla PV.
Digite 1 (1%) e armazene este resultado na tecla i.
Para saber quanto tempo o dinheiro ficará aplicado digitamos 02.012016
(ENTER) em seguida 02.082016 mais as teclas g e ∆DYS. Neste caso
obtivemos o resultado 213 dias que foi prontamente dividido por 30 dias
onde apareceu no visor 7,10 meses ou seja: 7 meses inteiros mais 10% de 1
mês (30 dias). O número efetivo de dias é portanto 7 meses e 3 dias.
Utilizaremos n = 7,1 meses e armazene este valor na tecla n4
E finalmente pressionaremos a tecla:
FV (É o dado que buscamos conhecer neste problema).
4
Para calcular o período de tempo (n) na HP-12C, inicialmente limpamos todos os
registradores da calculadora pressionando as f e CLx em seguida a programamos para que
reconheça o padrão de datas utilizado pelos países que não falam a língua inglesa. O padrão
nesses países são Mês Dia e Ano (Mother, Day Year) enquanto que nos demais países o
padrão é (Dia, Mês e Ano) (Day, Mother Year) deste modo, para que a calculadora trabalhe
com este segundo padrão (Day, Mother Year) pressionaremos a tecla azul (g) e em seguida a
tecla com número 4 onde abaixo em azul está a função a ser acionada (D, M Y). ao
realizarmos procedimento descrito, aparecerá no visor da calculadora D, MY indicando que ela
está no padrão brasileiro.
102
Aparecerá no visor da calculadora o valor R$ 21.464,05 que é o montante
acumulado no período de 02/01/2016 a 02/08/2016. A este valor,
somaremos a TR conforme anunciado no problema ou seja:
R$ 21.464,05 + 7 x TR
R$ 21.464,05 + 7 X 0,0542 = R$ 21.464,43.
Exemplo 11 - No dia 03 de janeiro de 2017, Caio precisou utilizar o limite de
cheque especial de usa conta corrente que, naquela época, era de R$
2.000,00. A taxa de juros compostos cobrados pela utilização do cheque
especial não teve alteração no 1º semestre de 2017. O valor dessa taxa é de
10% ao mês. Somente agora no dia 09 de agosto de 2017 Caio conseguiu
parar o limite utilizado em janeiro. Baseado nas informações do problema
acima, responda aos itens a seguir:
a) Qual o valor total pago por Caio no dia 09 de agosto de 2017?
Solução
Valor Tecla
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
Digite f CLx para limpar os registradores.
Digite R$ 2.0000 e armazene na tecla PV
Digite 10% e armazene na tecla i
Digite 03.012017 (ENTER) e em seguida digite 09.082017 g ∆DYS.
Aparecerá no visor da calculadora o resultado 218 dias que deverá ser
dividido por 30 dias afim de encontrar o tempo em meses. Deste modo
faremos: 218 (ENTER) 30 ÷ o resultado será 7,27 (7 meses mais 27% de 30
dias (1 mês) ) e por tanto 7 meses e 8 dias aproximadamente.
Consideraremos, então, n = 7,27 meses.
103
Digite a tecla FV = ? (É o valor que desejamos encontrar neste problema) e
o valor que aparece no visor é o resultado procurado. Isto é R$ 3.999,03
b) Quantos reais ele pagou de juro?
Solução
Para saber quanto Caio pagou de juro pelo uso do limite do cheque especial,
faremos na HP-12C o seguinte cálculo:
Digitaremos R$ 3.999,03 (ENTER) e em seguida R$ 2.000.00 seguido da
tecla (- ) aparecerá no visor o seguinte resultado: R$ 1.999,03 que é o valor
do juro pago por Caio no período informado no problema.
Exemplo 12 - No dia 02 de janeiro de 2017 você resolveu pagar somente o
valor mínimo da fatura do seu cartão de crédito. O valor da fatura era de R$
1.200,00 mas você só pagou R$ 180,00. A taxa de juro do cartão de crédito é
de 16% ao mês. No dia 02 de agosto de 2017 você ligou para a operadora do
seu cartão a fim de liquidar sua dívida que deixou de ser paga desde janeiro.
Com base nas informações e sabendo que a operadora cobra juros compostos,
responda aos itens que se seguem:
a) Qual o total da dívida acumulada informada pela operadora do seu cartão?
Solução
Na calculadora HP-12C digite a sequência de teclas a seguir:
Digite f seguido da tecla CLx para limpar todos os registradores.
Digite o valor R$ 1.200,00 (ENTER) e R$ 180,00 (-). Aparecerá no visor da
calculadora R$ 1020,00 .
Armazene o resultado (R$ 1.020,00) na tecla PV.
Digite 16 (16%) e armazene o resultado na tecla i .
104
Digite 02.012017 (ENTER) em seguida digite 02.082017 e pressione as
teclas g ∆DYS. Aparecerá no visor da calculadora o resultado 212 dias que
deverá ser dividido por 30 dias. Aparecerá no visor da calculadora o
resultado 7,07 (7,07 representa 7 meses mais 7% de 30 dias (1 mês) que
corresponde a 7 meses e 2 dias aproximadamente.) armazene o resultado
7.07 na tecla n.
Finalmente, digite FV que é o valor que procuramos neste problema. O
resultado encontrado é R$ 2.912,85.
O total da dívida acumulada no período foi de R$ 2.912,85.
b) Quantos reais foram pagos de juros pelo atraso ao longo de 7 meses?
Solução
Para saber quantos reais de juros foram pagos ao longo desses 7 meses,
faremos: R$ 2.912,85 (ENTER) R$ 1.020,00 (-). Aparecerá no visor R$
1.892,85 que representa o total do juro pago.
Exemplo 13 - Uma aplicação de R$ 8.000,00 gerou um montante de R$
10.240,68 numa certa data. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros
considerada, calcular o prazo de aplicação.
Solução
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
Digite f CLx para limpar os registradores.
Digite R$ 8.000,00 e em seguida armazene este resultado na tecla PV.
Digite 2,5 (2,5%) e em seguida armazene este resultado na tecla i
Digite R$ 10.240,68, a tecla (CHS) e armazene este resultado na tecla FV .
Finalmente, digite a tecla n que aparecerá no visor o resultado 10 que
significa que esta aplicação de R$ 8.000 ficou aplicada durante 10 meses.
105
Exemplo 14 - Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que
paga 3% a. m. Após certo período, ele recebeu R$ 35.644,02. Quanto tempo o
dinheiro ficou aplicado nesta instituição?
Solução
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
Digite f CLx para limpar os registradores.
Digite R$ 25.000,00 e em seguida armazene este resultado na tecla PV.
Digite 3 (3%) e em seguida armazene este resultado na tecla i
Digite R$ 35.644,02, tecla (CHS) e armazene este resultado na tecla FV .
Finalmente, digite a tecla n que aparecerá no visor o resultado 12 que
significa que esta aplicação de R$ 25.000,00 ficou aplicada durante 12
meses.
Exemplo 15 - Uma pessoa investiu R$ 15.000,00 à taxa de 30% a.a. e após
certo tempo recebeu o montante de R$ 30.195,36. Quanto tempo o capital ficou
aplicado?
Solução
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
Digite f CLx para limpar os registradores.
Digite R$ 15.000,00 e em seguida armazene este resultado na tecla PV.
Digite 30 (30%) e em seguida armazene este resultado na tecla i
Digite R$ 30.195,36, tecla (CHS) e armazene este resultado na tecla FV .
Finalmente, digite a tecla n que aparecerá no visor o resultado 3 que
significa que esta aplicação de R$ 15.000,00 ficou aplicada durante 3 anos.
106
Exemplo 16 - Quanto deve uma pessoa depositar em um banco numa
aplicação financeira que paga 24% ao ano com capitalizações bimestrais, para
que ao fim de 5 anos possua R$ 200.000,00?
Solução
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
Digite f CLx para limpar os registradores.
Digite 24 (24%) e em seguida armazene este resultado na tecla i
Digite R$ 200.000,00, tecla (CHS) e armazene este resultado na tecla FV .
Digite 5 e em seguida armazene este resultado na tecla n.
Finalmente, digite a tecla PV que aparecerá no visor o resultado
R$ 68.221,55 que significa que o valor inicial desta aplicação foi
de R$ 68.221,55 .
107
5.2 TAXAS: NOMINAL, EFETIVA, REAL E EQUIVALENTE.
5.2.1 Taxa de Juro Nominal
Quando estudamos taxa de juros, temos que ter sempre em mente que o
objetivo principal desta é manter o poder de compra ou de pagamento do
capital ao longo do tempo. Mais ainda, sempre que houver taxa esta deve estar
atrelada a um capital que atualizará o seu valor ao longo do tempo. E por falar
em tempo da taxa e tempo de capitalização, temos que considerar um fato
muito importante: toda vez que o prazo da taxa for diferente do prazo de
incorporação do juro ao capital diremos que se trata de uma taxa nominal. Por
exemplo. Imagine uma aplicação financeira que remunera à taxa de 2% ao mês
mas que os juros só serão incorporados ao capital após 2 anos. Temos nesta
situação dois prazos distintos: o prazo da taxa, que neste caso, mensal e o
prazo de incorporação dos juros ao capital que neste caso é anual. Quando isto
ocorre, diremos que a taxa de juros é uma taxa nominal. E denotamos: 2%
a.m./ano. Embora seja comum a presença de taxas nominais nos contratos
comerciais e financeiros, esta não tem nenhum efeito na prática, isto é ela não
é utilizada para calcular os juros e atualizar o capital. A taxa nominal é somente
informativa e não deve ser considerada pois ela não mostra o que efetivamente
se paga de juros em transações comerciais ou financeiras. Outros exemplos de
taxa nominal são: uma taxa de 14% ao ano capitalizada mensalmente (14%
a.a/a.m), 10% ao quadrimestre capitalizados semestralmente (10% a.q/a.s) e
muitos outros.
5.2.2 Taxa de Juro Efetiva
Segundo (NETO 2007) a taxa efetiva de juros leva em consideração todo o
prazo de incorporação do juro ao capital. Esta taxa obedece ao regime de juros
compostos e o período de incorporação destes ao capital coincide com o
período da taxa de juros. Por exemplo: uma taxa de 5% ao mês capitalizada
mensalmente que denotaremos por: (5% a.m/m) ou então um investimento
108
rende à taxa de 75% ao ano sendo capitalizados anualmente (75% a.a/anual)
ou ainda uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral (11% a.t/t).
Para efeitos práticos, tome um empréstimo que poderá ser pago de duas
maneiras: mensalmente durante o período de 12 meses ou uma única vez ao
final de um ano comercial decorrido. Sendo assim, chamaremos de i a taxa que
irá corrigir este capital mensalmente e de I à taxa que irá corrigir este mesmo
capital anualmente. Observe que as duas taxas (i e I) deverão incidir sobre o
mesmo capital, mas com prazos de incorporação dos juros à este, distintos. Ao
final dos 12 meses, espera-se que a taxa i produza o mesmo montante que a
taxa I produzirá ao ser aplicada uma única vez sobre este capital inicial. Diante
desse fato temos:
‘
Fig. 01 – Taxa Efetiva de Juros
5.2.3 Exemplos, sobre Taxa Efetiva, Resolvidos
Exemplo 17 – No anuncio de um grande banco brasileiro, está um portifólio
com o valor das taxas efetivas mensal e anual a ser paga pelo cliente quando
da utilização do rotativo do cartão de crédito. Observe que cada modalidade de
cartão tem suas respectivas taxas efetivas.
109
Fonte: http://www.bb.com.br/docs/pub/siteEsp/dicar/dwn/tabjurosVarejo.pdf
Você é um cliente bem informado e gosta de entender tudo sobre operações
financeiras. De que modo, pode-se verificar se as taxas mensais informadas
pelo banco, correspondem, realmente, às respectivas taxas anuais? Será que
esse cálculo efetuado pelo banco está correto ?
Solução
Foi dada a taxa mensal 15,90%. Qual é a sua equivalente anual?
PV. (1 + i)n1 = PV. (1 + I)n
2
(1 + i)n1 = (1 + I)n
2
(1 + i)12 = (1 + I)1
(1 + 0,1590)12 = (1 + I)1
(1,1590)12 = (1 + I)1
5,875 = (1 + I)1
110
(1 + I)1 = 5,875
(1 + I)1 = 5,875 – 1
(1 + I)1 = 5,875
I = 5,875 – 1
I = I = 487,5: %
Resposta: realmente o cálculo efetuado pelo BACEN está correto.
Exemplo 18 – Ainda a fim de comprovar a veracidade das informações
fornecidas pelo banco do exemplo 1, como podemos comprovar que a taxa
anual informada, corresponde à sua respectiva taxa mensal de 16,28%?
Solução
Foi dada a taxa mensal 15,90%. Qual é a sua equivalente anual?
PV. (1 + i)n1 = PV. (1 + I)n
2
(1 + i)n1 = (1 + I)n
2
(1 + i)12 = (1 + I)1
(1 + i)12 = (1 + I)1
(1 + i)12 = (1 + 5,1103)1
(1 + i)12 = 6,1103
(1 + i) = 6,11031/2
1 + i = 1,163
i = 1,163– 1
i = 0,163
i = 16,30%
Resposta: realmente o cálculo efetuado pelo BACEN está correto
111
5.2.4 Taxa Real
Embora a taxa efetiva seja uma maneira eficiente de corrigir o capital ao longo
do tempo, ela não o livra dos efeitos causados pela inflação da economia, ou
seja, ela não mostra se houve ou não um ganho real deste capital no período
de incidência desta taxa. Para que o capital possa se ver livre desses efeitos,
torna-se necessário aplicar a taxa real. Mas o que é a taxa real?
Segundo (SÁ, 2011) “taxa real de correção é aquela em que a inflação do
período foi “desencaixada”, ou seja, representa uma variação (ganho ou perda)
sobre a inflação”. Podemos afirmar que a taxa real também é uma taxa efetiva,
só que corrigida pelo índice de inflação do período. Para conhecermos a taxa
real de um investimento ou qualquer outro tipo de negócio que demande prazo
e taxas de juros, precisamos relacionar a taxa efetiva com a taxa real. E isso se
dá da seguinte forma:
1 + ief = (1 + ir)(1 + iinf) onde
ief é a taxa efetiva;
ir é a taxa real já descontada a inflação do período;
iinf é a taxa de inflação do período;
5.5. Exemplos comentados sobre taxa real
Exemplo 19 – A inflação de um determinado mês foi de 25% e nesse mês o
quilo do café subiu de preço em 50%. O aumento real do preço do café, isto é,
o aumento além da inflação foi de:
Solução
1 + ief = (1 + ir)(1 + iinf)
1 + 0,5 = (1 + ir)(1 + 0,25)
1,5 = (1 + ir)(1,25)
(1 + ir) = 1,5 / 1,25
112
1 + ir = 1,20
ir = 1,20 – 1
ir = 0,20 ou ir = 20%.
Onde :
50% é a taxa efetiva ief;
25% é a taxa de inflação iinf do período;
ir é a taxa real de juro no período.
Resposta: o aumento real no preço do café foi de 20% no período.
Exemplo 20 – Você investiu seu dinheiro em uma aplicação financeira que
remunera 6% ao ano. Neste mesmo ano, a inflação calculada pelo IBGE e
divulgada pelo Banco Central (BACEN) foi de 4,9%. Qual foi o ganho real
desse investimento?
Solução
1 + ief = (1 + ir)(1 + iinf)
1 + 0,06 = (1 + ir)(1 + 0,049)
1,06 = (1 + ir)(1,049)
(1 + ir) = 1,06 / 1,049
1 + ir = 1,010
ir = 1,010 – 1
ir = 0,01 ou ir = 1%.
Onde :
6% é a taxa efetiva ief;
113
4,9% é a taxa de inflação iinf do período;
ir é a taxa real de juro no período.
Resposta: o ganho real do investimento foi de 1% no período.
Exemplo 21 – Certa categoria profissional obteve um reajuste salarial de 7%
ao ano. Sabendo que a inflação no período (medido pelo IPCA) foi de 10%,
determine o valor do reajuste salarial e interprete o resultado.
Solução
1 + ief = (1 + ir)(1 + iinf)
1 + 0,07 = (1 + ir)(1 + 0,10)
1,07 = (1 + ir)(1,10)
(1 + ir) = 1,07 / 1,10
1 + ir = 0,973
ir = 0,973 – 1
ir = - 0,027 ou ir = - 2,7%.
Onde :
7% é a taxa efetiva ief;
10% é a taxa de inflação iinf do período;
ir é a taxa real de juro no período.
Resposta: concluímos que não houve ganho real para esta
categoria profissional e sim uma perda representada pelo índice ir
= - 2,7% ou seja reajuste abaixo do índice inflacionário.
114
5.2.5 Taxas de Juros Equivalentes
Duas taxas de juros, quando expressas em unidades de tempos distintas,
serão equivalentes quando aplicadas durante o mesmo período sobre o mesmo
capital (C), produzem o mesmo valor futuro (montante) no regime de
capitalização composto.
5.2.6 Exemplos, sobre Taxas Equivalentes, Resolvidos
Exemplo 22 – Caio aplicou seu capital R$ 20.000,00 da seguinte maneira:
a) R$ 10.000,00 no Banco Poupa Sempre que lhe pagará juros mensais à
taxa de 2%;
b) R$ 10.000,00 no Banco Crédito Fácil que lhe pagará juro anual à taxa de
26,82%;
Após 1 ano, qual o valor do montante acumulado nestes dois bancos? E o
que isso significa comente?
Solução
Ao resolvermos o problema, constatamos que as taxas de 2% a. m. e 26,82%
a. a. produziram após 12 meses (1 ano) o mesmo valor futuro (montante). Por
se tratar de taxas de juros compostos, dizemos, então, que elas são taxas
equivalentes.
Exemplo 23 – Qual a taxa equivalente composta mensal de 10,386% ao
semestre?
Banco Poupa Sempre
FV = PV. (1 + i)n
FV = 10.000 (1 + 0,02)12
FV = 10.000 (1,02)12
FV = 10.000 1,268
FV = 12.682,42
Banco Crédito Fácil
FV = PV. (1 + i)n
FV = 10.000 (1 + 0,2682)1
FV = 10.000 (1,2682)12
FV = 10.000 1,2682
FV = 12.682,42
115
Solução:
Sabemos que a taxa equivalente pode ser descoberta pela lei:
In = (1 +i)1/n – 1 sendo assim, temos
I6 = (1 + 0,103826)1/6 – 1
I6 = 1,0166 – 1
I6 = 0,0166 ou 1,66%.
Assim, para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente
(equivalente) rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre.
Exemplo 24 – Usando os dados do exemplo anterior, verifique quanto produz
um capital de R$ 100.000,00. aplicado por dois anos.
Solução:
Para a taxa i = 1,66% a.m. (2 tem 24 meses) temos: FV = PV.(1 + I)n daí segue
que: FV = 100.000,00 . (1 + 0,0166)24 = 148.457,63
Para a taxa i = 10,3826% a.s. (2 anos tem 4 semestres) temos: FV =
100.000,00 (1 + 0,103826)4 = 148.457,63
Exemplo 25 – Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral
equivalentes a 25% ao ano?
a) Taxa de juro equivalente mensal Dados: i = 25% a.a.
b) Taxa de juro equivalente trimestral Dados: q = 1 ano (4 trimestres)
Solução:
Taxa de juro equivalente mensal Dados: i = 25% a.a.
n = 1 ano (12 meses)
i12 = (1 + 0,25)1/12 – 1
i12 = 1,877% a.m.
116
Taxa de juro equivalente trimestral Dados: q = 1 ano (4 trimestres)
I4 = (1 + 0,25)4 – 1
I4 = 5,737 a.t.
Exemplo 26 – Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à
taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano.
Solução:
Para a identificação da melhor opção apura-se o montante para as duas
taxas e
para um mesmo período. Por exemplo: n = 1 ano.
Para 9,9% a.s.
FV = 60.000,00 . (1 + 0,099)2 = 72.468,00
Para 20,78% a.a.
FV = 60.000,00.(1 + 0,2078)1 = 72.468,00
Produzindo resultados iguais para um mesmo período, diz-se que as taxas
são equivalentes. É indiferente, para um mesmo prazo, e para o regime de
juros compostos aplicar a 9,9% ao semestre ou 20,78% ao ano.
5.2.7 ATIVIDADES DE JUROS COMPOSTOS (COM O USO DA HP – 12C)
01) Bia depositou no dia 02/01/2016 a quantia de R$ 30.000,00 na sua conta
poupança. Depois desse dia, ela não fez mais nenhum depósito nesta conta.
Ela precisou sacar esse dinheiro no dia 02/08/2016. A taxa de juro da
poupança neste período de janeiro a agosto de 2017 foi de 1% ao mês mais
0,0542 de Taxa Referencial de Juros (TRJ) também creditada na conta todo
mês junto com os juros. Qual foi o valor sacado por Bia no dia 02 de agosto de
2016 sabendo que a poupança paga juros compostos?
117
02) No dia 03 de janeiro de 2017, Caio precisou utilizar o limite de cheque
especial de sua conta corrente que, naquela época, era de R$ 2000,00. A taxa
de juros compostos cobrados pela utilização do cheque especial não teve
alteração no 1º semestre de 2017. O valor dessa taxa é de 10% ao mês.
Somente agora no dia 09 de agosto de 2017 Caio coseguiu pagar o limite
utilizado em janeiro. Baseado nas informações do problema acima, responda
aos itens a seguir:
a) Qual o valor total pago por Caio no dia 09 de agosto?
b) Quantos reais de juros ele pagou?
03) No dia 02 de janeiro de 2017 você resolveu pagar somente o valor mínimo
da fatura de seu cartão de crédito. O valor da fatura era de R$ 1.200,00 mas
você só pagou R$ 180,00. No dia 02 de agosto de 2017 você ligou para a
operadora do seu cartão a fim de liquidar sua dívida que deixou de ser paga
desde janeiro. Com base nas informações e sabendo que a operadora cobra
juros compostos responda aos itens a seguir:
a) Qual o total da dívida acumulada informada pela operadora do seu cartão?
b) Quantos reais foram pagos de juros pelo atraso ao longo de 6 meses?
04) Uma aplicação de R$ 8.000,00 gerou um montante de R$ 10.240,68 numa
certa data. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros considerada, calcular o
prazo de aplicação.
05) Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m.
Após certo período de tempo, ele recebeu R$ 35.644,02. Quanto tempo ficou o
dinheiro aplicado?
06) Uma pessoa investiu R$ 15.000,00 á taxa de 30% a.a. e após certo tempo
recebeu o montante de R$ 30.195,36. Quanto tempo o capital ficou aplicado?
07) Quanto deve uma pessoa depositar em um banco que paga 24% a.a. com capitalizações bimestrais, para que ao fim de 5 anos possua R$ 200.000,00?
118
08 - Uma loja vende um gravador por R$ 1.500,00 a vista. A prazo, vende por
R$ 1.800,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o restante após 1 ano. Qual é a
taxa de juros efetiva anual cobrada?
09 - Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja
igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros for de 25% a.a. (nominal) e a
capitalização mensal?
10 - Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m.
Após certo período de tempo, ele recebeu R$ 35.644,02. Quanto tempo ficou o
dinheiro aplicado?
11 - O preço de uma mercadoria é de R$ 2.000,00, sendo financiada em até 3
meses. Caso opte por pagar a vista, a loja oferece um desconto de 10%.
Sabendo-se que a taxa de mercado é de 40% a.a. efetiva, vale a pena comprar
a prazo?
12 - Uma pessoa investiu R$ 15.000,00 á taxa de 30% a.a. e após certo tempo
recebeu o montante de R$ 30.195,36. Quanto tempo o capital ficou aplicado?
13 - Quanto deve uma pessoa depositar em um banco que paga 24% a.a. com
capitalizações bimestrais, para que ao fim de 5 anos possua R$ 200.000,00?
14 –“ Quanto menor os juros, mais o bolso agradece” adaptada da dissertação
de Soares (2016).
Nesta atividade, os alunos serão expostos à seguinte situação: são
apresentadas duas propostas de empréstimos, para escolher uma. Para
resolvê-la é necessário conhecimentos em juros simples e compostos. Caso a
atividade seja executada em sala de aula, o professor dividirá a classe em
grupos com no máximo três alunos cada. Além disso, cada grupo deverá
utilizar uma calculadora financeira ou científica para efetuar os cálculos. Cada
grupo terá 50 minutos para resolver o problema proposto uma vez que não é
suficiente encontrar o resultado correto mas, além disso, justificar sua escolha
por meio dos cálculos. Ao término do tempo, o professor deverá corrigir
119
utilizando as expressões dos juros simples e compostos e, em seguida,
apresentar aos alunos uma nova maneira de resolvê-la por meio da efetiva.
Situação a) Para emprestar R$ 35 500,00 , uma pessoa dispões de duas
ofertas: na primeira ele empresta esse dinheiro a juros simples de 6% ao mês
de seu amigo ou empresta do banco a juros compostos de 4,6% ao mês. Se a
pessoa pagará esse empréstimo ao final de 12 meses, qual será a proposta
mais vantajosa? Justifique.
( ) A proposta de juro simples é mais vantajosa;
( ) A proposta de Juro Composto é mais vantajosa;
( ) As propostas são equivalentes;
Situação b) O preço de um carro à vista é de R$ 86 500,00. Você fará um empréstimo no banco A, que possui uma taxa mensal correspondente a 24% ao ano de juros simples ou no banco B a uma uma taxa de 10% ao semestre de juros compostos, com capitalização semestral. Qual a melhor proposta, se ele pretende pagar o empréstimo após 36 meses? Justifique. ( ) A proposta do banco A é mais vantajosa; ( ) A proposta do banco B é mais vantajosa;
120
6 SÉRIE DE PAGAMENTOS
As séries de pagamentos surgiram da necessidade que as pessoas tem de
comprar a prazo. Diariamente necessitamos de alguns bens essenciais para a
nossa sobrevivência: geladeira, fogão, máquina de lavar roupas, forno de
micro-ondas, dentre outros. Mas para adquiri-los é preciso ter recursos
financeiros disponíveis uma vez que estes eletrodomésticos possuem valor
monetário agregado. E o que acontece quando uma pessoa precisa comprar
uma geladeira, por exemplo, e não dispõe de recursos financeiros para isso?
Deixará de adquirir este bem e não terá sua necessidade suprida? Para
resolver este problema, tanto o Comercio quanto o Sistema Financeiro criaram
uma estratégia muito interessante e, ao mesmo tempo, perigosa se não for
utilizada corretamente. Estamos falando da venda a prazo.
Comprar a prazo é muito comum no Brasil uma vez que vivemos em um país,
inflacionário e a maioria dos salários não recebem correção acima do índice de
inflação e, consequentemente, fazem com que não sejam suficientes para
atender às demandas das famílias tendo em vista que o preço das mercadorias
são reajustados de acordo com este índice. As vendas a prazo são conhecidas
na Matemática como Série de Pagamentos. Neste trabalho trataremos das
Séries de Pagamentos com prestações iguais. Para melhor entender o
funcionamento de uma Série de Pagamento, utilizamos um diagrama de setas
verticais indicando pagamentos e recebimentos conhecido como fluxo de caixa.
Outra situação em que trabalhamos com as Séries de Pagamentos, são
aquelas que tratam dos empréstimos bancários. Neste caso, é necessário
encarar a série sobre o ponto de vista tanto da instituição financeira que
empresta o dinheiro quanto do cliente que toma emprestado.
Fluxo de Caixa do ponto de vista da Instituição Financeira – IF
Quando uma IF empresta dinheiro para um cliente, seu fluxo de caixa inicial é
negativo uma vez que para ela está saindo dinheiro de seu caixa. À medida
que o cliente paga as prestações referentes ao valor emprestado, o dinheiro vai
aos poucos retornando para o caixa e portanto os valores das prestações
121
recebidas pela instituição são positivos que indicamos por + PMT ou
simplesmente PMT.
Fig. Fluxo de Caixa. Ponto de vista da instituição financeira
Quando o cliente toma emprestado o dinheiro de uma IF significa que está
entrando dinheiro em seu bolso e, neste caso, o valor inicial (PV) é positivo e
indicamos por + PV. À medida em que este cliente vai pagando as prestações
referentes à este empréstimo, o dinheiro sai de seu bolso e retorna para a
instituição financeira. E como o dinheiro sai do bolso do cliente teremos
pagamentos que indicamos por - PMT uma vez que para este cliente os
valores serão negativos.
Fig. Fluxo de Caixa. Ponto de vista do cliente
6.1 SÉRIES UNIFORMES
As séries uniformes são aquelas em que os pagamentos (prestações) são
constantes, além disso, o intervalo de tempo que separa os pagamentos
122
também é constante. Esta série representa a soma dos termos de uma
Progressão Geométrica (Sn) de razão q = 1/(1 + i) onde Sn = a1.(1-qn)/(1-q).
Em geral, trabalhamos com a data que é uma unidade de tempo anterior à data
do primeiro pagamento da série. A esta data, denominamos data focal.
123
Fig. Série de Pagamentos: soma dos termos de uma Progressão Geométrica – PG.
No estudo das Séries da Pagamento, além do método algébrico, podemos
efetuar os cálculos com o auxílio da calculadora financeira HP -12C.
Figura xx – Calculadora financeira HP -12C.
Fonte: arquivo pessoal.
No estudo da Série de Pagamentos postecipada, utilizamos as teclas abaixo
para o cálculo do valor presente (PV).
124
Figura xx: Teclas usadas para o cálculo do PV nas Séries de Pagamentos
Fonte: arquivo pessoal.
Exemplo 1 - Caio comprou na loja Passo Certo um tênis no valor de R$
240,00. Mas no momento do pagamento, descobriu que esse calçado poderia
ser pago de três maneiras distintas:
a) à vista com 10% de desconto;
b) pagamento total do tênis após um mês da compra com 5% de desconto;
c) pagamento em três vezes sem juros (0, 30 e 60 dias);
Qual a forma de pagamento mais vantajosa para Caio?
Solução
Exemplo 2 - Um computador é vendido em 12 prestações mensais de R$ 350,00, vencendo a primeira prestação um mês após a compra. Se a taxa de juros é de 7,5% a.m., qual o valor do computador à vista?
Solução
Resolveremos este problema de dois modos distintos; inicialmente faremos a resolução algébrica do mesmo onde utilizaremos a expressão geral e finalmente a solução será realizada com a utilização da calculadora financeira HP-12C.
125
a) SOLUÇÃO ALGÉBRICA. No problema são dados: n = 12 prestações mensais. O valor das prestações é PMT = 350,00: A taxa de juros é i = 7,5% a.m. E pedido: o valor presente - PV
PV = PMT
PV = 350
PV = 350
PV = 350
PV = 350
PV = 350 x 7,721
PV = 2.702,23
b) SOLUÇÃO UTILIZANDO A HP-12C.
A fim de resolver esta questão utilizando a calculadora financeira
HP – 12C executaremos a seguinte sequência de teclas;
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
Digite a tecla f seguida da tecla CLx para limpar os
registradores.
Pressionaremos a tecla 350 seguido das teclas CHS e PMT para
inverter o sinal do valor da prestação.
126
Pressionaremos a tecla 12 seguida da tecla n para o prazo (em
meses).
Pressionaremos a tecla 7,5 seguida da tecla para inserir a taxa
mensal
Finalmente pressionaremos a tecla PV para calcular o valor
presente.
Aparecerá no visor o resultado: R$ 2.707,35. Entretanto ao
compararmos os valores obtidos nas solução algébricas e com o
uso da calculadora, eles são ligeiramente diferentes. Isso se deu
devido aos arredondamentos na execução dos cálculos em ambas
as situações.
Exemplo 3 - A loja Fassarella Eletrodomésticos anuncia: Compre hoje e só comece a pagar daqui a 30 dias. Comprei uma geladeira em 20 prestações de R$ 200,00. Qual o valor da geladeira à vista, se a loja cobra uma taxa de juros de 7% a.m.?
Solução
Resolveremos este problema de dois modos distintos; inicialmente faremos a resolução algébrica do mesmo onde utilizaremos a expressão geral e finalmente a solução será realizada com a utilização da calculadora financeira HP-12C. a) SOLUÇÃO ALGÉBRICA: No problema são dados: n = 20 prestações mensais. O valor das prestações é PMT = 200,00: A taxa de juros é i = 7% a.m. E pedido: o valor presente - PV
127
PV = PMT
PV= 200
PV = 200
PV = 200
PV = 200
PV = 200 x 10,590
PV = 2.118,08
b) SOLUÇÃO UTILIZANDO A HP – 12C.
A fim de resolver esta questão utilizando a calculadora financeira
HP – 12C executaremos a seguinte sequência de teclas;
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
Digite a tecla f seguida da tecla CLx para os registradores.
Pressionaremos a tecla 200 seguido das teclas CHS seguida da
tecla PMT para inverter o sinal do valor da prestação.
Pressionaremos a tecla 20 seguida da tecla n para o prazo (em
meses).
Pressionaremos a tecla 7 seguida da tecla i para inserir a taxa
mensal.
Finalmente pressionaremos a tecla PV para calcular o valor
presente.
Aparecerá no visor o resultado: R$ 2.118,80.
128
Exemplo 4 - Um automóvel custa à vista o valor de R$ 45.600,00 (PV), e pode
ser financiado em 72 (n) parcelas mensais iguais, sem entrada com o primeiro
pagamento podendo ser efetuado 30 dias após a compra mediante à taxa de
2,1% (i) ao mês. Determinar o valor das prestações (PMT).
a) SOLUÇÃO ALGÉBRICA:
PV = PMT
45.600 = PMT
45.600 = PMT
45.600 = PMT
45.600 = PMT
PMT = 45.600
3,47 PMT = 45.600 x 0,094
3,47 PMT = 4.286,40
PMT = 4.286,40/3,47
PMT = 1.235,27
b) SOLUÇÃO UTILIZANDO A HP – 12C.
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
Digite a tecla f seguida da tecla CLx para os registradores.
Digite 45 600 seguido da tecla CHS e PV.
Digite 2,1 e armazene esse valor na tecla i digitando-a.
Digite 72 e armazene na tecla n.
Finalmente pressione a tecla PMT. Aparecerá no visor o valor:
R$ 1.233,94
129
Exemplo 5 - Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante
5 (n) meses, a quantia de R$ 100,00 (PMT). Calcule o montante (FV) da renda,
sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% (i) ao mês,
capitalizados mensalmente.
a) SOLUÇÃO ALGÉBRICA:
FV = PMT
FV = 100
FV = 100
FV = 100
FV = 100
FV = 100
FV = 100
FV = 100 5,204
FV = 520,40
b) SOLUÇÃO UTILIZANDO A HP – 12C.
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
Digite a tecla f seguida da tecla CLx para os registradores.
Digite 100 seguido da tecla PMT.
Digite 2 e armazene esse valor na tecla i digitando-a.
Digite 5 e armazene na tecla n.
Finalmente pressione a tecla CHS seguida da tecla FV. Aparecerá
no visor o valor:
130
R$ 520,40
Exemplo 6 - Lúcio tem um financiamento de sua moradia, com 120 prestações
mensais de R$ 1.000,00 ainda a serem pagas ; com a primeira vencendo-se
daqui a 30 dias. Se a taxa especificada pelo financiador é de 10% a.a., quanto
Pedro tem que pagar, à vista, para liquidar o débito?
Como a taxa mensal equivalente a 10% a.a. é
Imensal = (1 + i)1/12 – 1
Imensal = (1 + 0,1)1/12 – 1
Imensal = (1,1)1/12 – 1
Imensal = (1,1)1/12 – 1
Imensal = 1,008 – 1
Imensal = 0,007974
Imensal = 0,7974% a.m.
PV = PMT
PV = 1000
PV = 1000
PV = 1000
PV = 77.056,72
b) SOLUÇÃO UTILIZANDO A HP – 12C.
Digite na HP-12C a seguinte sequencia de teclas:
Digite a tecla f seguida da tecla CLx para os registradores.
Digite 120 seguido das teclas CHS e PMT.
131
Digite 0,7974 e armazene esse valor na tecla i digitando-a.
Digite 120 e armazene na tecla n.
Finalmente pressione a tecla PV. Aparecerá no visor o valor:
R$ 77.056,72
se o resgate fosse efetuado 1 mês antes do vencimento da primeira prestação
remanescente, seu valor de resgate seria:
Exermplo 7 - Compra de um veículo no valor de R$ 50.000,00 pagos da
seguinte maneira:
a) À vista com 10% de desconto ou aplicar o valor do veículo em um CDB que
paga após 12 meses 120% do CDI (Suponha que o CDI feche o ano de 2017 à
taxa de 14%).
Solução
Na HP-12C vamos efetuar o cálculo do pagamento à vista.
Digite R$ 50.000 (ENTER) em seguida digite .90 (x). aparecerá
no visor o valor de R$ 45.000,00 que representa 90% do valor
original (desconto de 10%). Neste caso, o carro pode ser
comprado, à vista, por R$ 45.000,00.
No segundo caso, o cliente optou por aplicar os R$ 50.000 em um
CDB que rende ao ano 120% da taxa de CDI5.
5 CDI é o nome que damos aos títulos emitidos pelas instituições financeiras e
que são usados nas transações interbancárias (entre bancos). Eles foram estabelecidos por volta dos anos de 1980 e a sigla significa Certificado de Depósito Interbancário. Seu principal papel é transportar os recursos de uma instituição bancária para outra.
Como forma de equilibrar as contas diariamente, as instituições financeiras costumam comprar e vender títulos umas das outras e usam o mercado interbancário para realizar essas transações. Como os bancos precisam zerar o saldo de suas operações com o Banco Central (BC) todos os dias, as instituições financeiras com saldo em excesso emprestam para as com
saldo devedor, usando o CDI.
Tirando uma média ponderada de todas essas transações obtém-se a taxa DI-over,
que é uma derivada da Selic-over aplicada ao mercado. Lembrando que a Selic é a taxa
132
Após 12 meses o CDB rendeu 120% do CDI ou seja 120% de 14%
logo efetuaremos o produto 120% x 14% = 1,20 x 0,14 = 0,1680
esta taxa iremos multiplicar por R$ 50.000,00. Ou seja R$
50.000 x 0,1680 = R$ 8.400,00 de juro. Neste caso o cliente teve
um rendimento maior do que o desconto concedido pela
concessionária que foi de R$ 5.000,00.
Poderíamos ter efetuado o cálculo direto na HP-12C da seguinte
maneira:
Vamos, inicialmente obter a taxa do CDB anual atrelada ao CDI ou
seja vamos efetuar o produto 120% x 14% na HP-12C.
Para isso digitamos 1,20 (ENTER) seguida de 0,14 (x) aparecerá
no visor o resultado 0,1680 que representa um percentual de
16,8% ou seja o CDB rendeu em 12 meses 100% da taxa CDI mais
20% desta. Esta nova taxa aplicaremos ao capital de R$ 50.000
investido.
Na HP-12C efetuamos:
Digitamos R$ 50.000,00 e armazenamos na tecla PV;
Digitamos 1(um ano) e armazenamos na tecla n;
Digitamos 16,8 (16,8%) e armazenamos na tecla i;
Finalmente digitamos a tecla PV e aparecerá no visor o resultado
de R$ 58.400,00 que é o montante acumulado após 1 ano aplicado
no CDB. Veja que este montante rendeu juro de R$ 8.400,00 após
1 ano. O valor do desconto à vista foi de R$ 5000,00 diferença de
básica de juros da economia, determinada pelo Banco Central (BC). A palavra over representa overnight, justamente porque esse processo todo ocorre em apenas
um dia. Fonte: https://elevenfinancial.com/o-que-e-taxa-cdi-e-como-ela-funciona/?gclid=EAIaIQobChMImr6JjrvU2QIVF1mGCh2RZAL7EAAYASAAEgIEwvD_BwE site visitado em 05/03/18 às 02:40:00 .
133
R$ 3.400,00 a favor do cliente que escolheu investir o dinheiro a
comprar um carro.
b) Pago 30 dias após a compra com 5% de desconto.
Solução
Na HP-12C digitamos
Digitamos as teclas f CLx para limpar os registradores;
Digitamos a tecla STO seguido da tecla EEX para trabalhar com
juro composto;
Digitamos a tecla g seguido da tecla END (tecla com o nº 8) para
que a calculadora possa entender que este é um pagamento
postecipado ou seja a primeira prestação será paga 30 após a
data focal zero.
Digitamos R$ 50.000 e em seguida a tecla CHS e armazenamos na
tecla FV;
Digitamos o valor 1 (neste caso 1 mês) e armazenamos na tecla n;
Digitamos a tecla 5 (5%) para que a calculadora possa conceder o
desconto pois o cliente irá pagar todo o veículo 30 dias após a
compra e, neste caso lhe será concedido um desconto de 5% e
armazenamos esse valor na tecla i;
Digitamos a tecla procurada (PV neste caso) pois estamos
interessados em antecipar o valor do veículo. No visor aparecerá
R$ 47.619,05 este é o valor do veículo já com o desconto de 5%
aproximadamente.
c) Pago com uma entrada e mais 10 prestações mensais fixas à taxa de 5%.
Solução
Digitamos as teclas f CLx para limpar os registradores;
134
Digitamos a tecla STO seguido da tecla EEX para trabalhar com
juro composto;
Vamos, neste caso, calcular o valor das prestações inclusive a
entrada.
A entrada será de 5% de R$ 50.000 ou seja R$ 2.500,00 o
restante, R$ 47.500, serão pagos em 10 prestações iguais com
uma taxa de juro de 5% ao mês pelo parcelamento. Utilizaremos a
HP-12C para calcular o valor destas prestações.
Digitamos as teclas f CLx para limpar os registradores;
Digitamos a tecla STO seguido da tecla EEX para trabalhar com
juro composto;
Digitamos a tecla g seguido da tecla END (tecla com o nº 8) para
que a calculadora possa entender que este é um pagamento
postecipado ou seja a primeira prestação será paga 30 após a
data focal zero.
Digitamos 47.500,00 e em seguida armazenamos na tecla PV;
Digitamos 10 e armazenamos na tecla n;
Digitamos 5 (5%) e armazenamos na tecla i;
Digitamos a tecla PMT (PRESTAÇÃO) e no visor aparecerá - R$
6.151,47 .
Observe o sinal negativo, isto significa que está saindo dinheiro
da sua conta corrente para pagar a prestação do veículo que é de
R$ 6.151,47.
d) Pago sem entrada, parcelado me 10 prestações mensais iguais à taxa de
juros de 5% a.m, com a primeira prestação vencendo 30 dias após a compra.
Solução
135
Digitamos as teclas f CLx para limpar os registradores;
Digitamos a tecla STO seguido da tecla EEX para trabalhar com
juro composto;
Digitamos a tecla g seguido da tecla END (tecla com o nº 8) para
que a calculadora possa entender que este é um pagamento
postecipado ou seja a primeira prestação será paga 30 após a
data focal zero.
Digitamos R$ 50.000,00 e em seguida armazenamos na tecla PV;
Digitamos 10 e armazenamos na tecla n;
Digitamos 5 (5%) e armazenamos na tecla i;
Digitamos a tecla PMT (PRESTAÇÃO) e no visor aparecerá - R$
6.475,23 .
Observe o sinal negativo, isto significa que está saindo dinheiro
da sua conta corrente para pagar a prestação do veículo que é de
R$ 6.475,23.
Exemplo 8 - Um aparelho de TV é vendido à vista pelo preço de R$ 5.000,00
em uma determinada loja ou em 8 pagamentos iguais, sem entrada, e seguidos
a uma taxa de 2,6% a. m. Sendo a primeira prestação para pagamento um
mês após a compra. Neste caso, qual o valor da prestação mensal desta ?
Esse valor de prestação vale a pena?
Solução
Digitamos as teclas f CLx para limpar os registradores;
Digitamos a tecla STO seguido da tecla EEX para trabalhar com
juro composto;
Digitamos a tecla g seguido da tecla END (tecla com o nº 8) para
que a calculadora possa entender que este é um pagamento
136
postecipado ou seja a primeira prestação será paga 30 após a
data focal zero.
Digitamos R$ 5.000,00 e em seguida armazenamos na tecla PV;
Digitamos 8 e armazenamos na tecla n;
Digitamos 2,6 (2,6%) e armazenamos na tecla i;
Digitamos a tecla PMT (PRESTAÇÃO) e no visor aparecerá - R$
700,31 .
Observe o sinal negativo, isto significa que está saindo dinheiro
da sua conta corrente para pagar a prestação do veículo que é de
R$ 700,31.
Se o cliente precisar muito da TV e não dispor de recursos para
comprá-la à vista, compensa esta compra a prazo com este valor
de prestação pois, devido a taxa de juros, o preço total do bem
ficará, após 8 meses, em R$ 5.602,48 o que não é um mal negócio.
Entretanto, o melhor seria comprá-la à vista e negociar um
desconto com a loja.
Exemplo 9 - Você foi ao banco em fez um empréstimo de R$ 30.000,00 para
pagamento em 10 vezes à taxa de juros mensais de 2,5% ao mês. Quanto
você pagará de prestação?
Solução
Digitamos as teclas f CLx para limpar os registradores;
Digitamos a tecla STO seguido da tecla EEX para trabalhar com
juro composto;
Digitamos a tecla g seguido da tecla END (tecla com o nº 8) para
que a calculadora possa entender que este é um pagamento
137
postecipado ou seja a primeira prestação será paga 30 após a
data focal zero.
Digitamos R$ 30.000,00 e em seguida armazenamos na tecla PV;
Digitamos 10 e armazenamos na tecla n;
Digitamos 2,5 (2,5%) e armazenamos na tecla i;
Digitamos a tecla PMT (PRESTAÇÃO) e no visor aparecerá - R$
3.427,76
o sinal negativo, isto significa que está saindo dinheiro da sua
conta corrente para pagar a prestação do veículo que é de R$
3.427,76.
Exemplo 10 - Se você quitar o empréstimo do problema anterior no 5º mês
qual será o valor do desconto e quanto pagará?
Solução
Digitamos as teclas f CLx para limpar os registradores;
Digitamos a tecla STO seguido da tecla EEX para
trabalhar com juro composto;
Digitamos a tecla g seguido da tecla END (tecla com o
nº 8) para que a calculadora possa entender que este é
um pagamento postecipado ou seja a primeira prestação
será paga 30 após a data focal zero.
Digitamos R$ 30.000,00 e em seguida armazenamos na
tecla FV;
Digitamos 10 e armazenamos na tecla n;
Digitamos 2,5 (2,5%) e armazenamos na tecla i;
138
Digitamos a tecla PV e aparecerá no visor o valor de R$
23.435,95 (este é o valor que o cliente irá pagar pela
antecipação).
O valor do desconto será: R$ 30.000,00 (ENTER) em
seguida digite R$ 23.435,95 (-) = R$ 6.564,05.
Na CENA 02, os três clientes foram até a loja comprar
o aparelho de TV anunciado. Entretanto, tentaram ao
máximo negociar com as vendedoras afim de baixar o
valor da TV, valor das prestações e taxa de juro para a
compra a prazo. Um dos clientes representados pelos
alunos, iria efetuar o pagamento à vista e queria um
bom desconto pelo preço do produto. Os outros dois
alunos comprariam a TV a prazo. Houve um grande
debate entre os dois grupos, os ânimos se exaltaram
pois cada um queria defender o seu lado. Neste
momento, parece que a sala de aula se transformou em
um balcão de negociações.
A exemplo do que aconteceu na CENA 02, a CENA 03 também
representou um embate entre os alunos que representaram os
clientes do banco e aqueles que representaram os bancários.
Neste caso, a situação exigiu dos alunos-clientes uma redução da
taxa de juros envolvida na negociação afim de diminuir o valor da
prestação. Também tentaram esquivar-se da oferta dos vários
produtos bancários como seguros e capitalização. Por outro lado
os alunos que representaram o banco tiveram que, além de
agradar aos clientes atendendo suas exigências, fazer o banco
lucrar. O resultado dessas negociações são apresentados a seguir:
139
Inicialmente, vamos apresentar o resultado obtido na CENA 2
onde duas alunas representaram vendedoras em uma loja de
eletrodomésticos. Elas negociaram com os compradores a venda
de uma TV a prazo.
“Foi abaixado 1,6% da taxa cobrada para ajudar o comprador e
conquistar a fidelidade do cliente.” Relado de uma das alunas
componente do grupo das vendedoras.
6.1.1 ATIVIDADES SOBRE SÉRIE DE PAGAMENTOS
1) CENA 01 – COMPRA DE UM VEÍCULO NO VALOR DE R$ 50.000,00
PAGOS DA SEGUINTE MANEIRA:
a) À VISTA COM 10% DE DESCONTO OU APLICAR O VALOR DO VEICULO
EM UM CDB QUE PAGA APÓS 12 MESES 120% DO CDI (Suponha que o
CDI feche o ano de 2017 à taxa de 14%).
b) PAGO 30 DIAS APÓS A COMPRA COM 5% DE DESCONTO
c) COM UMA ENTRADA E MAIS EM 10 PRESTAÇÕES MENSAIS IGUAIS À
TAXA DE 5%.
d) SEM ENTRADA, PARCELADO EM 10 PRESTAÇÕES MENSAIS IGUAIS À
TAXA DE JUROS DE 5% a.m, COM A PRIMEIRA PRESTAÇÃO VENCENDO
30 DIAS APÓS A COMPRA.
2) CENA 02 – Um aparelho de TV é vendida em uma determinada loja em 8
pagamentos iguais e seguidos de R$ 5.000,00 para uma taxa de juros de 2,6%
a.m até que preço compensa adquirir o aparelho a vista.
3)CENA 03 - Você foi ao banco em fez um empréstimo de R$ 30.000,00 para
pagamento em 10 vezes à taxa de juros mensais de 2,5% ao mês. Quanto
você pagará de prestação?
4) CENA 4 - Se você quitar este empréstimo no 5º mês qual será o valor do
desconto e quanto pagará?
140
6.1.2 DIAGNÓSTICO DA ATIVIDADE
1) O que você aprendeu de novo ao resolver estes exercícios? Comente em 4
linhas.
2) Em quais situações da vida prática os conhecimentos adquiridos nesta
atividade serão úteis para você e para as demais pessoas?
3) Se todos os estudantes tivessem contato com esses assuntos na escola isso
faria diferença na vida financeira deles? De que modo?
4) De que modo esses conhecimentos poderiam contribuir para que as famílias
brasileiras evitassem o endividamento? Comente.
141
7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Antes de iniciarmos o estudo dos Sistemas de Amortização, é fundamental
definir alguns termos que serão largamente utilizados nos exercícios e
problemas propostos. Desse modo , segundo Castelo Branco (2002) termos
como Empréstimo, Financiamento, Saldo Devedor e Amortização são
definidos, respectivamente, da seguinte forma:
Empréstimo: Recurso financeiro que, em tese, não precisa ser justificado
quanto à sua finalidade, como, por exemplo: limite de cheque especial, CDC
(Crédito Direto ao Consumidor) e Antecipação de Imposto de Renda dentre
outros.
Financiamento: Recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado
quanto à sua finalidade, por exemplo: compra de um automóvel, financiamento
habitacional dentre outros.
Castelo Branco (2002) cita que no financiamento, existe sempre a aquisição de
um bem ou serviço atrelado à liberação dos recursos financiados, enquanto
que no caso do empréstimo, exige-se apenas uma garantia de devolução dos
recursos financeiros emprestados.
Saldo Devedor: o Saldo Devedor (SD) é o valor nominal do empréstimo ou
financiamento, ou simplesmente o valor presente (PV) na data focal 0 (zero),
que é subtraído da parcela de amortização de cada período.
Amortização: entendemos como Amortização a parcela que é deduzida do
saldo devedor a cada pagamento.
São vários os sistemas utilizados pelas instituições financeiras para amortizar
as dívidas. Entretanto, neste Material, trabalharemos apenas com o Sistema de
Amortização Constante (SAC) e com a tabela Price.
Inicialmente, abordaremos o SAC.
7.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC).
No Sistema de Amortização Constante, como o próprio nome sugere, a
amortização é constante. Temos ainda que o valor das prestações decrescem
uma vez que no SAC o valor das prestações são formados por duas parcelas
142
que são a amortização e o juro. A seguir faremos um esquema para estudar os
sistemas de Amortização:
Prestação (PMT) = Amortização (A) + Juro (J) ou seja PMT = A + J onde o
valor da Amortização (A) não muda com o passar do tempo (constante). O
Saldo Devedor (SD) é corrigido a cada período.
Exemplo 1 – Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10%
ao mês, para ser pago em 5 prestações mensais, sem prazo de carência. Esse
empréstimo foi realizado para o cliente segundo o Sistema de Amortização
Constante. Elabore para o cliente a planilha de financiamento.
Solução
Inicialmente, faremos o cálculo da Amortização (A) que é constante. Desse
modo temos que A =
=
= R$ 2.000,00.
O valor do Juro inicial é obtido efetuando-se o produto da taxa (nesse caso
i = 10% a. m.) sobre o valor do Saldo Devedor inicial: J = 10% de R$
10.000,00 desse modo temos que J = 0,10 x 10.000 = R$ 1000,00.
O valor da prestação a ser paga pelo cliente, é a soma da Amortização com o
Juro. PMT = A + J desse modo PMT1 = 2.000 + 1.000 = R$ 3.000,00.
O novo Saldo Devedor (SD1) é calculado da seguinte maneira: SD1 = SD0 – A
ou seja SD1 = 10.000 – 2.000 = 8.000.
Seguindo esse procedimento ao longo dos cinco meses, temos a seguinte
tabela de amortização no SAC.
n A J PMT SD
0
10.000,00
1 2000 1000 3000 8.000,00
2 2000 800 2800 6.000,00
3 2000 600 2600 4.000,00
4 2000 400 2400 2.000,00
5 2000 200 2200 0,00
TOTAL 10000 3000 13000
143
Exemplo 2 - Uma escola faz um empréstimo de R$ 300.000,00 pelo sistema amortização constante (SAC) em cinco prestações anuais à taxa de 10% a.a.. determine o valor da amortização e obtenha a planilha mostrando os juros, amortização, prestações e o saldo devedor (Exemplo extraído da dissertação de (DANTAS DE OLIVEIRA, 2014, p. 64).
Solução
Inicialmente, faremos o cálculo da Amortização (A) que é constante. Desse
modo temos que A =
=
= R$ 60.000,00.
O valor do Juro inicial é obtido efetuando-se o produto da taxa (nesse caso
i = 10% a. a.) sobre o valor do Saldo Devedor inicial: J = 10% de R$
300.000,00 desse modo temos que J = 0,10 x 300.000 = R$ 30.000,00.
O valor da prestação a ser paga pelo cliente, é a soma da Amortização com o
Juro. PMT = A + J desse modo PMT1 = 60.000 + 30.000 = R$ 90.000,00.
O novo Saldo Devedor (SD1) é calculado da seguinte maneira: SD1 = SD0 – A
ou seja SD1 = 300.000 – 60.000 = 240.000.
Seguindo esse procedimento ao longo dos cinco anos, temos a seguinte
tabela de amortização no SAC.
n A J PMT SD
0 300.000,00
1 60000 30000 90000 240.000,00
2 60000 24000 84000 180.000,00
3 60000 18000 78000 120.000,00
4 60000 12000 72000 60.000,00
5 60000 6000 66000 0,00
TOTAL 3E+05 90000 390000
144
7.2 SAC COM CARÊNCIA
Em muitos empréstimos ou financiamentos, existem um prazo para o cliente
pagar o valor da primeira prestação que é maior do que o primeiro período
após o inicio do contrato. É o que chamamos de carência. Na carência, ao
invés de o cliente pagar o valor da primeira prestação 30 dias após a
assinatura do contrato de empréstimo ou financiamento, esse prazo é
postergado. A carência muitas vezes é concedida par que o cliente se
programe a fim de juntar o capital que necessita para pagar o valor da primeira
prestação. Como exemplo de carência, citamos os contratos de Financiamento
Estudantil (FIES) e o Empréstimo para compra de Material de Construção pela
Caixa Econômica Federal (Construcard). Nesse caso, o cliente pagará apenas
o juro durante o período de carência.
Exemplo 3 – Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com a taxa de 5%
ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência,
calculado pelo SAC. Elabore a planilha de financiamento.
Solução
Inicialmente, faremos o cálculo da Amortização (A) que é constante. Desse
modo temos que A =
=
= R$ 2.000,00.
O valor do Juro inicial é obtido efetuando-se o produto da taxa (nesse caso
i = 5% a. m.) sobre o valor do Saldo Devedor inicial: J = 5% de R$ 10.000,00
desse modo temos que J = 0,05 x 10.000 = R$ 500,00. Nesse caso, o cliente
irá pagar apenas o juro durante os dois meses da carência.
O valor da prestação a ser paga pelo cliente, é a soma da Amortização com o
Juro. PMT = A + J desse modo PMT1 = 2.000 + 500 = R$ 1.500,00.
O novo Saldo Devedor (SD1) é calculado da seguinte maneira: SD1 = SD0 – A
ou seja SD1 = 10.000 – 2.000 = 8.000.
Seguindo esse procedimento ao longo dos cinco meses, temos a seguinte
tabela de amortização no SAC.
n A J PMT SD
145
0 0 0 0 10000
1 0 500 0 10000
2 0 500 0 10000
3 2000 500 2500 8.000,00
4 2000 400 2400 6.000,00
5 2000 300 2300 4.000,00
6 2000 200 2200 2.000,00
7 2000 100 2100 0,00
TOTAL 10000 1500 11500
7.3 TABELA PRICE
O Sistema Price foi utilizado pelo Economista e Matemático Francês Richard
Price nos século XVIII para efetuar os cálculos do sistema previdenciário
vigente na Inglaterra nessa época. Entretanto ele foi desenvolvido pelo
Matemático e Físico Belga Simon Stevin no século XVI.
Nesse sistema, as prestações são constantes e periódicas. Para o cálculo das
prestações, a depender do problema a ser solucionado, utilizamos a forma de
cálculo das rendas postecipadas ou antecipadas cujas expressões são:
PMT = PV . [(1 + i)n x i]/[(1 + i)n – 1] para séries postecipadas
PMT = PV . [(1 + i)n x i]/[(1 + i)n – 1] x (1/ (1 + i)) para séries antecipadas.
Ou nas teclas da HP-12C:
Séries Postecipadas
Pressione a tecla f seguida da tecla Clx para limpar os registradores;
Pressione a tecla g seguida da tecla END para que a calculadora efetue
os cálculos em modo de série postecipada;
Pressione a tecla PV para o valor presente;
Pressione a tecla i para a taxa;
Pressione a tecla n para o tempo;
Finalmente pressione a tecla PMT e aparecerá no visor o valor da
prestação pretendido.
146
Séries Antecipadas
Pressione a tecla f seguida da tecla Clx para limpar os registradores;
Pressione a tecla g seguida da tecla BEG para que a calculadora efetue
os cálculos em modo de série antecipada;
Pressione a tecla PV para o valor presente;
Pressione a tecla i para a taxa;
Pressione a tecla n para o tempo;
Finalmente pressione a tecla PMT e aparecerá no visor o valor da
prestação pretendido.
Exemplo 1 – Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00 com a taxa de 12%
ao ano, para ser pago em 7 pagamentos mensais sem prazo de carência,
calculado pelo Sistema Price de Amortização ou Tabela Price. Pede-se:
Elaborar a planilha de financiamento.
Solução
Inicialmente, valor calcular o valor da prestação desse empréstimo uma vez
que o mesmo é constante pelo Sistema Price. Utilizaremos a calculadora
financeira HP – 12C para efetuar esse cálculo. Antes, porém, observe que o
empréstimo não tem carência. Isso significa que a primeira prestação será
paga 30 dias após a assinatura do contrato. Desse modo trata-se de uma
série de 7 pagamentos postecipada. Logo
Pressione a tecla f seguida da tecla Clx para limpar os registradores;
Pressione a tecla g seguida da tecla END para que a calculadora
efetue os cálculos em modo de série postecipada;
Digite o valor R$ 10.000 e armazene-o na tecla PV para o valor
presente de sua calculadora;
Digite 1 de 1% ao mês pois o prazo de capitalização do dinheiro é
mensal (12/12) e armazene-o na tecla i para a taxa;
Digite 0 numero 7 e armazene-o na tecla n para o tempo;
147
Finalmente pressione a tecla PMT e aparecerá no visor o valor da
prestação pretendido (que neste caso será negativo) uma vez que
está saindo o dinheiro da minha conta e entrando na conta do banco.
O resultado obtido foi de R$ - 1.486,28.
Colocamos o valor dessa prestação na tabela Price e o repetimos ao
longo dos 7 meses uma vez que o valor da prestação é constante.
Em seguida, colocamos na tabela o Saldo Devedor inicial (SD0) que
neste caso é R$ 10.000,00.
Calculamos o valor do Juro efetuando o produto i x SD0 (neste caso
0,01 x 10.000) e encontramos R$ 100,00.
De posse do valor da prestação (PMT) e do Juro (J) efetuaremos o
cálculo da amortização do seguinte modo: A = PMT – J e neste caso
temos que A = 1.486,28 – 100 = R$ 1.386,28 .
Em seguida, atualizamos o Saldo Devedor fazendo: SD1 = SD0 – A1
neste caso SD1 = 10.000 – 1.386,28 = 8.613,72. Prosseguimos dessa
maneira até completar toda a tabela Price.
Após esse resultado, construiremos a seguinte tabela:
n A J PMT SD
0 0,00 10.000
1 1.386,28 100 1.486,28 8.613,72
2 1.400,14 86,14 1.486,28 7.213,58
3 1.414,14 72,14 1.486,28 5.799,43
4 1.428,29 57,99 1.486,28 4.371,15
5 1.442,57 43,71 1.486,28 2.928,58
6 1.456,99 29,29 1.486,28 1.471,58
148
7 1.471,56 14,72 1.486,28 0,02
TOTAL 9.999,98 404 10.403,96
Exemplo 2 - Uma escola faz um empréstimo de R$ 300.000,00 pelo sistema Francês (Price) em cinco prestações anuais à uma taxa de 10% a.a.. Qual o valor das prestações e obtenha a planilha mostrando os juros, amortização, prestações e o saldo devedor.
Solução
Inicialmente, valor calcular o valor da prestação desse empréstimo uma vez
que o mesmo é constante pelo Sistema Price. Utilizaremos a calculadora
financeira HP – 12C para efetuar esse cálculo. Antes, porém, observe que o
empréstimo não tem carência. Isso significa que a primeira prestação será
paga 30 dias após a assinatura do contrato. Desse modo trata-se de uma
série de 7 pagamentos postecipada. Logo
Pressione a tecla f seguida da tecla Clx para limpar os registradores;
Pressione a tecla g seguida da tecla END para que a calculadora
efetue os cálculos em modo de série postecipada;
Digite o valor R$ 300.000 e armazene-o na tecla PV para o valor
presente de sua calculadora;
Digite 10 de 10% ao ano pois o prazo de capitalização do dinheiro é
anual e o prazo da taxa também é anual em seguida, armazene-a na
tecla i para a taxa;
Digite 0 numero 5 e armazene-o na tecla n para o tempo;
Finalmente pressione a tecla PMT e aparecerá no visor o valor da
prestação pretendido (que neste caso será negativo) uma vez que
está saindo o dinheiro da minha conta e entrando na conta do banco.
149
O resultado obtido foi de R$ - 79.139,24.
Colocamos o valor dessa prestação na tabela Price e o repetimos ao
longo dos 7 meses uma vez que o valor da prestação é constante.
Em seguida, colocamos na tabela o Saldo Devedor inicial (SD0) que
neste caso é R$ 300.000,00.
Calculamos o valor do Juro efetuando o produto i x SD0 (neste caso
0,10 x 300.000) e encontramos R$ 30.000.
De posse do valor da prestação (PMT) e do Juro (J) efetuaremos o
cálculo da amortização do seguinte modo: A = PMT – J e neste caso
temos que A = 79.139,24 – 30.000 = R$ 49.139,24 .
Em seguida, atualizamos o Saldo Devedor fazendo: SD1 = SD0 – A1
neste caso SD1 = 300.000 – 49.139,24 = 250.860,76. Prosseguimos
dessa maneira até completar toda a tabela Price.
Após esse resultado, construiremos a seguinte tabela:
n A J PMT SD
0 0,00 300.000
1 49.139,24 30000 79.139,24 250.860,76
2 54.053,16 25086,076 79.139,24 196.807,60
3 59.458,48 19680,7596 79.139,24 137.349,12
4 65.404,33 13734,91156 79.139,24 71.944,79
5 71.944,76 7194,478716 79.139,24 0,03
TOTAL 299.999,97 95696,22588 395.696,20
Exemplo 3 - Você comprou um automóvel pelo valor de R$ 30.000,00
financiado à taxa de 4% ao mês por 12 meses. O sistema de amortização
150
utilizado foi o PRICE. Diante dessas informações, construa a tabela deste
financiamento.
Solução
Inicialmente, valor calcular o valor da prestação desse empréstimo uma vez
que o mesmo é constante pelo Sistema Price. Utilizaremos a calculadora
financeira HP – 12C para efetuar esse cálculo. Antes, porém, observe que o
empréstimo não tem carência. Isso significa que a primeira prestação será
paga 30 dias após a assinatura do contrato. Desse modo trata-se de uma
série de 12 pagamentos postecipada. Logo
Pressione a tecla f seguida da tecla Clx para limpar os registradores;
Pressione a tecla g seguida da tecla END para que a calculadora
efetue os cálculos em modo de série postecipada;
Digite o valor R$ 30.000 e armazene-o na tecla PV para o valor
presente de sua calculadora;
Digite 4 de 4% ao mês pois o prazo de capitalização do dinheiro é
mensal e o prazo da taxa também é mensal em seguida, armazene-a
na tecla i para a taxa;
Digite o numero 12 e armazene-o na tecla n para o tempo;
Finalmente pressione a tecla PMT e aparecerá no visor o valor da
prestação pretendido (que neste caso será negativo) uma vez que
está saindo o dinheiro da minha conta e entrando na conta do banco.
O resultado obtido foi de R$ - 3.196,57.
151
Colocamos o valor dessa prestação na tabela Price e o repetimos ao
longo dos 12 meses uma vez que o valor da prestação é constante.
Em seguida, colocamos na tabela o Saldo Devedor inicial (SD0) que
neste caso é R$ 30.000,00.
Calculamos o valor do Juro efetuando o produto i x SD0 (neste caso
0,04 x 30.000) e encontramos R$ 1.200,00.
De posse do valor da prestação (PMT) e do Juro (J) efetuaremos o
cálculo da amortização do seguinte modo: A = PMT – J e neste caso
temos que A = 3.196,57– 1.200 = R$ 1.996,57 .
Em seguida, atualizamos o Saldo Devedor fazendo: SD1 = SD0 – A1
neste caso SD1 = 30.000 – 1.996,57 = 28.003,43. Prosseguimos dessa
maneira até completar toda a tabela Price.
Após esse resultado, construiremos a seguinte tabela:
n A J PMT SD
0 0,00 30.000
1 1.996,57 1.200,00 3.196,57 28.003,43
2 2.076,43 1.120,14 3.196,57 25.927,00
3 2.159,49 1.037,08 3.196,57 23.767,51
4 2.245,87 950,70 3.196,57 21.521,64
5 2.335,70 860,87 3.196,57 19.185,93
6 2.429,13 767,44 3.196,57 16.756,80
7 2.526,30 670,27 3.196,57 14.230,50
8 2.627,35 569,22 3.196,57 11.603,15
9 2.732,44 464,13 3.196,57 8.870,71
10 2.841,74 354,83 3.196,57 6.028,97
11 2.955,41 241,16 3.196,57 3.073,56
12 3.073,63 122,94 3.196,57 -0,07
TOTAL 10.814,07 5168,78 15.982,85
152
7.3.1 SAC e PRICE
Exemplo 1 - Você financiou uma imóvel à taxa de 18% ao ano no valor de R$
80.000,00 e vai pagá-lo em 6 meses pelo sistema SAC. Logo após, construa,
também, a mesma tabela de financiamento, levando em consideração a tabela
PRICE.
Solução
Tabela SAC
n A J PMT SD
0 0 0 0 80.000
1 13333,33 1200,00 14533,33 66666,67
2 13333,33 1000,00 14333,33 53333,33
3 13333,33 800,00 14133,33 40000,00
4 13333,33 600,00 13933,33 26666,67
5 13333,33 400,00 13733,33 13333,33
6 13333,33 200,00 13533,33 0,00
TOTAL 66666,67 4000,00 70666,67
Tabela Price
n A J PMT SD
0 0,00 80.000
1 12.140,33 1200 13.340,33 67.859,67
2 12.322,43 1017,90 13.340,33 55.537,24
3 12.507,27 833,06 13.340,33 43.029,96
4 12.694,88 645,45 13.340,33 30.335,08
5 12.885,30 455,03 13.340,33 17.449,78
153
n AMORTIZAÇÃO (A) JUROS (J) MIP DFI PMT SD PMT EFETIVAMENTE PAGA
0 250.000,00R$
1 18.639,90R$ 5.000,00R$ 46,27R$ 23,14R$ 23.639,90R$ 231.360,10R$ 23.709,31R$
2 19.012,70R$ 4.627,20R$ 42,47R$ 21,23R$ 23.639,90R$ 212.347,40R$ 23.703,60R$
3 19.392,95R$ 4.246,95R$ 38,59R$ 19,30R$ 23.639,90R$ 192.954,45R$ 23.697,79R$
4 19.780,81R$ 3.859,09R$ 34,63R$ 17,32R$ 23.639,90R$ 173.173,64R$ 23.691,85R$
5 20.176,43R$ 3.463,47R$ 30,60R$ 15,30R$ 23.639,90R$ 152.997,21R$ 23.685,80R$
6 20.579,96R$ 3.059,94R$ 26,48R$ 13,24R$ 23.639,90R$ 132.417,26R$ 23.679,63R$
7 20.991,55R$ 2.648,35R$ 22,29R$ 11,14R$ 23.639,90R$ 111.425,70R$ 23.673,33R$
8 21.411,39R$ 2.228,51R$ 18,00R$ 9,00R$ 23.639,90R$ 90.014,32R$ 23.666,90R$
9 21.839,61R$ 1.800,29R$ 13,63R$ 6,82R$ 23.639,90R$ 68.174,70R$ 23.660,35R$
10 22.276,41R$ 1.363,49R$ 9,18R$ 4,59R$ 23.639,90R$ 45.898,30R$ 23.653,67R$
11 22.721,93R$ 917,97R$ 4,64R$ 2,32R$ 23.639,90R$ 23.176,36R$ 23.646,85R$
12 23.176,37R$ 463,53R$ 0,00-R$ 0,00-R$ 23.639,90R$ 0,01-R$ 23.639,90R$
TOTAL 250.000,01R$ 33.678,79R$ 286,79R$ 143,39R$ 283.678,80R$ 1.433.939,42R$ 284.108,98R$
n AMORTIZAÇÃO (A) JUROS (J) MIP DFI PMT SD PMT EFETIVAMENTE PAGA
0 250000
1 20.833,33R$ 5.000,00R$ 45,83R$ 22,92R$ 25.833,33R$ 229.166,67R$ 25.902,08R$
2 20.833,33R$ 4.583,33R$ 41,67R$ 20,83R$ 25.416,67R$ 208.333,33R$ 25.479,17R$
3 20.833,33R$ 4.166,67R$ 37,50R$ 18,75R$ 25.000,00R$ 187.500,00R$ 25.056,25R$
4 20.833,33R$ 3.750,00R$ 33,33R$ 16,67R$ 24.583,33R$ 166.666,67R$ 24.633,33R$
5 20.833,33R$ 3.333,33R$ 29,17R$ 14,58R$ 24.166,67R$ 145.833,33R$ 24.210,42R$
6 20.833,33R$ 2.916,67R$ 25,00R$ 12,50R$ 23.750,00R$ 125.000,00R$ 23.787,50R$
7 20.833,33R$ 2.500,00R$ 20,83R$ 10,42R$ 23.333,33R$ 104.166,67R$ 23.364,58R$
8 20.833,33R$ 2.083,33R$ 16,67R$ 8,33R$ 22.916,67R$ 83.333,33R$ 22.941,67R$
9 20.833,33R$ 1.666,67R$ 12,50R$ 6,25R$ 22.500,00R$ 62.500,00R$ 22.518,75R$
10 20.833,33R$ 1.250,00R$ 8,33R$ 4,17R$ 22.083,33R$ 41.666,67R$ 22.095,83R$
11 20.833,33R$ 833,33R$ 4,17R$ 2,08R$ 21.666,67R$ 20.833,33R$ 21.672,92R$
12 20.833,33R$ 416,67R$ -R$ -R$ 21.250,00R$ -R$ 21.250,00R$
TOTAL 250.000,00R$ 32.500,00R$ 275,00R$ 137,50R$ 282.500,00R$ 250.000,00-R$ 282.912,50R$
6 13.078,58 261,75 13.340,33 4.371,20
TOTAL 62.550,22 4151,43 66.701,65
Exemplo 2 - Antes de comprar um imóvel, Bia fez uma simulação pelos
sistemas SAC e PRICE a fim de ver qual dos dois era mais vantajoso para ela.
O imóvel está à venda por R$ 250.000,00. A taxa de juro para a venda deste
imóvel à prazo é de 24% ao ano e Bia pretende financiá-lo em 12 meses
apenas. Sabendo que as prestações serão acrescidas dos valores dos seguros
MIP 0,02% e DFI 0,01% sobre o saldo devedor atualizado, qual das duas
formas de financiamento é mais vantajosa para Bia? Por que? Comente.
Solução
Tabela SAC
Tabela Price
154
i São leis específicas que os governos utilizam a fim de colocar em prática soluções para
situações de emergência para uma determinada finalidade. A parte do enunciado legal
em que se prevê o efeito de sua incidência.
ii Se a inflação da época atingisse o índice de 20% ao mês, era acionado
automaticamente o que se denominou “gatilho salarial”. Esse gatilho faria com que
todos os salários passassem por uma correção automática em seus valores, utilizando o
índice de inflação vigente obedecendo, é claro, os acordos coletivos das categorias e as
diferenças salariais negociadas por estas.
155
REFERÊNCIAS
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