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LÓGICA MATEMÁTICA

Prezado (a) Aluno (a),

Seja bem-vinda ao aprendizado da disciplina Lógica Matemática que, por sua

vez, faz parte da grade curricular de várias ciências, como informática,

Engenharia, Matemática, Física etc. Sabe-se que quando há diálogo entre

professor e aluno (vice-versa), o ensino-aprendizado flui tranquilamente, em

decorrência disso, sempre que precisar entre em contato com o seu professor.

O conteúdo desse tópico da matemática objetiva auxiliar o alunado no

desenvolvimento do raciocínio lógico, da compreensão de conceitos básicos e da

verificação formal da linguagem matemática visando disciplinas futuras que

utilizam algoritmo e programação.

Este guia está dividido em cinco unidades, nas quais damos ênfase nos

estudos das tabelas-verdade.

Na primeira unidade utilizamos números binários (transformaçã/operação),

proposição, conectivos e tabela-verdade, que permite uma boa informação teórica

de lógica matemática.

Na segunda unidade apresentamos operações lógicas sobre proposições

visando à construção de tabelas-verdade para proposições compostas.

Na terceira unidade apresentamos teorias e aplicações sobre tautologias,

Contradições, Contingências, Implicação e Equivalência Lógica, dando destaque

as propriedades.

Na quarta unidade exibimos álgebra das proposições e método dedutivo,

dando destaque a demonstração de implicação lógica sem o uso de tabela-

verdade.

Na quinta unidade mostrar-se argumento, regras de inferência e

quantificadores oferecendo destaque ao critério de validade de um argumento e

aos Tipos de quantificadores.

É relevante observar que em todas as unidades são sugeridos ao alunado,

exercícios de aprendizagem objetivando um conhecimento mais tranquilo.

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Sabendo da importância que a lógica matemática tem para a informática e

para outras ciências, como Engenharia, Física etc, espera-se que este trabalho

seja um instrumento a mais para os estudos que você está realizando na área de

informática.

Anicio Bechara Arero.

Introdução

Ao iniciar o estudo sobre Lógica Matemática, o alunado tem a curiosidade de

querer saber o significado de lógica matemática e qual a sua aplicabilidade na

informática. O que podemos responder em relação a essas indagações é que, até

os dias de hoje, a lógica não apresenta uma definição exata. Alguns matemáticos

a definem como “o estudo dos processos válidos que atinge a verdade”, ou

simplesmente “a ciência das leis do pensamento”. Outra citação refere-se a lógica

como sendo o estudo filosófico (estudo de problemas relacionados à existência,

ao conhecimento, à verdade, à mente e à linguagem) do raciocínio válido. É

importante salientar que a Lógica Matemática é estudada em várias disciplinas,

principalmente em Matemática, Ciência da Computação, Filosofia e Semântica

(ocorre sobre palavras, frases, sinais e símbolos).

O primeiro trabalho sobre Lógica está direcionado ao filósofo grego Aristóteles,

nascido na cidade de Estagira (Macedônia), 384 a.C, hoje pertencente a Grécia. A

Lógica Aristotélica foi amplamente aceita em matemática e ciências, sendo

responsável pelos dois princípios da lógica que são a Lei da Não-Contradição

(nenhuma afirmação pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo) e a Lei do

Terceiro Excluído (toda proposição ou é verdadeira ou é falsa). O sistema lógico

de Aristóteles introduziu o silogismo hipotético, lógica modal temporal e lógica

indutiva.

A Lógica Matemática é aplicada na linguagem de programação lógica, onde a

primeira linguagem de programação foi de Planner, em seguida foram

desenvolvidas as linguagens de programação QA-4, Popler, Conniver, e QLISP.

As linguagens de programação Mercury, Visual Prolog, Oz e Frill, foram

desenvolvidas a partir do Prolog. Atualmente existem linguagem de programação

lógica concorrente derivadas do Planner e derivadas de Prolog. É relevante

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observar que o sentido da programação lógica é trazer o estilo da lógica

matemática à programação de computadores. Outra aplicabilidade da Lógica

Matemática está relacionada à Ciência da Computação que abraça o estudo dos

algoritmos, sua aplicação e de sua implementação, na forma de software, para

execução em computadores elétricos. Como foi colocado na apresentação,

distribuiremos nosso estudo sobre Lógica Matemática em 5 unidades que

abrange todo o conteúdo da disciplina.

UNIDADE I – Números Binários, Proposições, Conectivos e Tabela-verdade.

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

- Transformar e operar com números binários.

- Citar os princípios da Lógica Matemática.

- Conceituar proposição.

- Definir valor lógico de uma proposição.

- Identificar os tipos de proposições.

- Definir conectivos.

- Construir tabela-verdade.

- Aplicar as operações lógicas sobre proposições.

Nessa unidade-I, abordaremos as transformações e operações com números

binários, os princípios da Lógica Matemática, os tipos de proposições, os

conectivos, o valor lógico de uma proposição, tabela-verdade e operações lógicas

sobre proposições. Além disso, estão disponibilizados exercícios e atividades

para facilitar o aprendizado.

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LÓGICA COMPUTACIONAL

Sistemas numéricos

Definição: São sistemas de notação usados para representar quantidades abstratas

denominadas números. Um sistema numérico é definido pela base que utiliza. A base é o

número de símbolos diferentes, ou algarismos, necessários para representar um número

qualquer, dos infinitos possíveis no sistema. Por exemplo, o sistema decimal, utilizado

hoje de forma universal, utiliza dez símbolos diferentes ou dígitos para representar um

número e é, portanto, um sistema numérico na base 10.

Valores posicionais

Em um sistema de número posicional, um número é representado por uma seqüência de

dígitos onde cada posição de dígito tem um peso associado. Tomando como exemplo o

sistema decimal, ou base 10, que é sistema numérico que utilizamos diariamente (0, 1, 2,

... 9), o valor D de um número decimal de 4 dígitos d3d2d1d0 é D = d3*103 + d2*102+ d1*101

+ d0*100. Cada dígito di tem um peso de 10i. Por exemplo, o número 3.098.323 (base 10)

é a representação de 3*106 + 0*105 + 9*104 + 8*103 + 3*102 + 2*101 + 3*100.

Sistema Binário

O sistema binário, ou base 2, apresenta unicamente dois dígitos: 0,1. Neste sistema a

contagem é realizada como segue: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, ...

Conversão Binário para Decimal

Sendo binário um sistema de número posicional, o valor B de um número binário de 8

dígitos b7b6b5b4b3b2b1b0 é B = b7*27 + b6*2

6+ b5*25 + b4*2

4 + b3*23 + b2*2

2+ b1*21 + b0*2

0.

Cada dígito bi tem um peso de 2i. Assim o valor binário 10101010b é calculado como

segue 10101010b = 0*20+1*21+0*22+1*23+0*24+1*25+0*26+1*27 = 170d. Esta é a

conversão de um número binário para decimal. Outro exemplo 10011001b =

1+8+16+128=153d.

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Os números com parte fracionária, da mesma forma, podem ser representados,

usando-se potências negativas de dez, na base dez e de dois, na base dois.

Assim, 327,723 significa: 3x102 + 2x101 + 7x100 + 7x10-1 + 2x10-2 + 3x10-3

O número binário 1011,1101 significa, na base dois:

1x23 + 0x22 + 1x21 +1x20 + 1x2-1 +1x2-2 + 0x2-3 + 1x2-4

Sabe-se que, na base dez, para se multiplicar um número pela base, isto é, por

dez, basta deslocar a vírgula uma casa para a direita.

O mesmo ocorre com qualquer base, em particular com a base dois. Para

multiplicar um número por dois, basta deslocar a vírgula uma casa para a direita.

Conversão Decimal para Binário

No sistema decimal, por exemplo, o número 654 corresponde a 4 unidades, 5 dezenas e

6 centenas. Para verificar isto, divide-se o número pela sua base (que é 10):

Para a conversão de decimal para binário utilizamos o mesmo processo. Por exemplo,

para obtermos o correspondente binário do número 200d, dividimos primeiramente este

valor por 2 e anotamos o resto de cada divisão. Em seguida, dividimos novamente o

dividendo da operação anterior por 2 e anotamos novamente o resto da divisão. Isto é

repetido até a última divisão, conforme abaixo:

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O correspondente binário de 200d é obtido unindo-se os restos da divisão por 2 na

ordem inversa, assim 200d=11001000b.

Exemplos:

1) Transformar os números decimais abaixo em binário:

a) 1510 b) 5,310 c) 23,510 d) 1,610 e) 0,910

Solução:

a) 1510 = 101112 (restos da direita para a esquerda)

15/2=7 resto=1, 7/2 = 3 resto = 1, 3/2 = 1 resto = 1, 1/2 = 0 resto=1

b) 5,310 = 101,01001 1...2

Inicialmente transforma-se a parte inteira:

5/2 = 2 resto=1, 2/2 = 1 resto = 0, 1/2 = 0 resto = 1

A parte decimal multiplica-se por dois até zerar (ou ir para o infinito).

0,3x2=0,6 0,6x2=1,2 0,2x2=0,4 0,4x2=0,8 0,8x2=1,6

0,6x2=1,2 0,2x2=....

c) 23,510 = 10111,102

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23/2=11 resto=1, 11/2 = 5 resto = 1, 5/2 = 2 resto = 1, 2/2 = 1

resto=0 1/2=0 resto 1

Parte decimal: 0,5 x 2 = 1,0 0,0x2=00

d) 1,610 = 1,1001...2

1/2 = 0 resto: 1

Parte decimal: 0,6x2=1,2 0,2x2=0,4 0,4x2=0,8 0,8x2=1,6 ...

e) 0,910 = 0,1110...2

0,9x2=1,8 0,8x2=1,6 0,6x2=1,2 0,2x2=0,4....

2) Complete a tabela abaixo:

Notação decimal Notação binária

170 ...

... 1001

35 ...

... 11011

48 ...

... 1011101

89 ...

... 11001

3,6 ...

Sistema Octal

O sistema binário ou base 8 apresenta oito dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Neste

sistema, a contagem é realizada como segue: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13,

14, 15, 16, 17, 20,...

Conversão Octal para Decimal

Sendo o sistema octal um sistema de número posicional, o valor O de um número

octal de 4 dígitos o3o2o1o0 é O = d3*83 + d2*8

2+ d1*81 + d0*8

0. Cada dígito oi tem

um peso de 8i. Assim o valor octal 1758 é calculado como segue 1758 = 5*80+7*81

+1*82 = 12510. Esta é a conversão de um número octal para decimal.

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Conversão Decimal para Octal

Para a conversão de decimal para octal utilizamos o mesmo processo da

conversão do sistema decimal para binário. Por exemplo, para obtermos o

correspondente octal do número 200d, dividimos primeiramente este valor por 8 e

anotamos o resto de cada divisão. Em seguida, dividimos novamente o dividendo

da operação anterior por 8 e anotamos novamente o resto da divisão. Isto é

repetido até a última divisão, conforme abaixo::

200/8= 25 Resto 0

25/8 = 3 Resto 1

3/8 = 0 Resto 3

O correspondente octal de 200d é obtido unindo-se os restos da divisão por 8 na

ordem inversa, assim 200d=310o.

Sistema Hexadecimal

Na base hexadecimal tem-se 16 dígitos que vão de 0 à 9 e da letra A até F. Estas

letras representam os números 10d a 15d. Assim nós contamos os dígitos

hexadecimais da seguinte forma: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11,

12, ..., 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, ...

Conversão Binário para Hexadecimal

A conversão entre números binários e hexadecimais é simples. A primeira coisa a

fazer é dividir o número binário em grupos de 4 bits, começando da direita para a

esquerda, os lugares que faltam são complementados por zeros. Por exemplo, o

número 101011b (1+2+8+32 = 43d), nós dividimos este em grupos de 4 bits e nós

temos 10;1011. Nós completamos o último grupo com zeros: 0010;1011. Após

nós tomamos cada grupo como um número independente e nós convertemos

estes em dígitos decimais:

0010;1011=2;11. Mas desde que nós não podemos representar o número

hexadecimal como 211 porque isto é um erro, nós temos que substituir todos os

números decimais maiores que 9 pelas suas respectivas representações em

9

hexadecimal, com o que nós obtemos: 2Bh. A tabela abaixo pode auxiliar na

conversão de números binário para hexadecimal.

BINÁRIO HEXADECIMAL DECIMAL

0000 00 0

0001 01 1

0010 02 2

0011 03 3

0100 04 4

0101 05 5

0110 06 6

0111 07 7

1000 08 0

1001 09 9

1010 OA 10

1011 OB 11

1100 OC 12

1101 OD 13

1110 OE 14

1111 OF 15

A fim de obter um número hexadecimal em binário deve-se apenas inverter os

passos.

Conversão Hexadecimal em Decimal

Para converter um número hexadecimal em decimal, nós utilizamos a mesma

fórmula utilizada na conversão binário para decimal, sendo que a base 2 é

trocada por 16. Por exemplo, para converter B2Ah em decimal:

B -> 11*162 = 2816d

2 -> 2*161 = 32d

A -> 10*160 = 10d

2858d

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Conversão Decimal para Hexadecimal

Para converter um número decimal em hexadecimal, nós utilizamos a mesma

fórmula utilizada na conversão de um número decimal para binário, dividindo por

16 em vez de 2. Por exemplo, para converter 1069d em hexadecimal:

1069/16= 66 Resto 13d = Dh

66/16 = 4 Resto 2d = 2h

4/16 = 0 Resto 4d = 4h

1069d = 42Dh

EXERCÍCIOS

01) Represente os números na forma decimal:

a) 4.209 b) 25.895 c) 130.654 d) 3.569.345

02) Converter número binário em número decimal:

a) 110 b) 10011 c) 110001 d) 101110011

03) Converter número decimal em número binário:

a) 459d b) 34685d c) 224034d d) 10d

04) Converter número octal em número decimal:

a) 32o b) 137o c) 2456o d) 124653o

05) Converter número decimal em número octal:

a) 120d b) 324d c) 4576d d) 20304d

06) Converter número binário em número hexadecimal:

a) 1001 b) 110101 c) 1001101 d) 11001101

07) Converter número hexadecimal em número decimal:

a) 3AEh b) ADC2h c) 5FE3h d) 5A7Dh

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08) Converter número decimal hexadecimal em número hexadecimal:

a) 135d b) 1432d c) 2567d d) 35564d

09) Transformar os números decimais abaixo em número binário:

a) 2,410 a) 12,510 a) 52,710 a) 36,110

Aritmética Binária

Esta seção apresenta as quatro operações básicas no sistema binário: adição,

subtração, divisão e multiplicação.

Adição

Para somar dois números binários, fazem-se as contas coluna a coluna, da direita

para a esquerda, como de costume, fazendo o transporte de um (<e vai um>)

quando for o caso. Para isto, observe as seguintes operações básicas:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 0 (1 mais 1 é igual a 0 e vai 1)

1 + 1 + 1 = 1(1 mais 1 mais 1 é igual a 1 e vai 1)

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* As operações com números fracionárias segue o mesmo princípio dos números,

sendo necessário, agora, que alinhem-se as “vírgulas”, ou “separadores de casas

decimais” antes de fazer a operação.

10,10012 + 110,012 = X2

10,10012

+ 110,01002

1000,1101 2

Converta para binário e efetue as seguintes operações:

a) 6810 + 4010 b) 9410 + 3210 c) 848 + 388 d) 488 + 298

e) B5D16 + A2C16 f) C4316 + 19516 g) E5D16 + 8F2A16

Subtração

Como o conjunto de símbolos contém apenas 2 dígitos, ao se efetuar a subtração

parcial entre 2 dígitos, um do diminuendo e outro do diminuidor, se o

segundo (diminuidor) exceder o primeiro (diminuendo), subtrai-se uma unidade

ao dígito imediatamente à esquerda no diminuendo (se existir e o seu valor for 1),

convertendo-o a 0. Em seguida, substituímos o diminuendo por 2, que

corresponde à equivalência 1*2, da unidade extraída. Se o dígito imediatamente à

esquerda for 0, procura-se nos dígitos consecutivos.

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A segunda forma de realizar a subtração, por exemplo de a-b, e realizar a soma

de a por -b. Esta subtração é feita pelo chamado método do complemento de

dois. O complemento de dois transforma um número positivo em negativo. Neste

método, o diminuendo (a) é somado com o complemento de dois do diminuidor (-

b). Note que o número de dígito dos operandos devem ser o mesmo: para isto

complemente o operando com menor número de dígitos com zeros a esquerda

(antes do complemento). Para realizar o complemento de dois, basta trocar os

uns pelos zeros e vice-versa e adicionar um ao resultado. Por exemplo, a

subtração de 1110-101 é feita da seguinte maneira:

1 . Completa-se o número de dígitos do diminuidor: 0101

2. Realiza-se o complemento de dois do diminuidor: 1010+1=1011.

3. Soma-se os dois operandos 1110+1011=11001

4. Despreza-se o transporte final, pois, o resultado tem um bit a mais que os dois

operandos: 1001

Uma subtração com números binários baseia-se em uma soma (!) onde o segundo termo é um número negativo. Antes disto, devemos entender o que é o “Complemento de um Número” e “Complemento de 2 de um Número”.

Complemento (ou Complemento de 1) de um Número é a quantidade que falta para este número chegar ao maior valor da atual potência.

Vamos tomar como exemplo o número decimal 4178.

Na atual potência – 103 – o maior valor é 9999. Para que o número 4178 “alcance”

o número 9999, faltam 5821 números, ou seja, 5821 é o complemento de 4178.

Tratando-se de números binários, para encontrarmos o complemento de um

número, basta inverter todos os seus bits.

Tomando o número 101010112 como exemplo:

Invertendo-se todos os seus bits descobrimos que o Complemento de 101010112

é 010101002.

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Complemento de 2 de um Número nada mais é do que a quantidade que falta

para este número chegar à próxima potência, ou seja, é o Complemento do

número +1.

Exemplo para o número 101010112 novamente:

O seu Complemento é 010101002 e o Complemento de 2 é 010101002 + 1

= 010101012

Voltando ao assunto em questão: para se subtrair dois números binários,

somamos o primeiro termo com o oposto do segundo termo, ou seja, com o

Complemento de 2 do termo.

Vale alertar também sobre sinais em números binários. O sinal é definido por um

bit – o primeiro – que, quando ZERO quer dizer que o número é positivo, e,

quando UM, que o número é negativo.

Vejamos alguns exemplos:

2310 – 410 à 101112 – 1002 = X2

Primeiramente, os termos devem ter a mesma quantidade de bits e devemos

achar o C2 do 2º termo, ou seja, seu oposto.

0 101112 – 0 001002 = X2

C2(0 001002) = 111011+1 = 1 111002 Bit de Sinal

0 101112 + 1 111002 10 100112 â Overflow

Em algumas subtrações pode acontecer um “Overflow”, ou seja, ultrapassar o

número de bits da subtração. O que devemos fazer é desconsiderar este bit.

Resultado: 0 100112 = 1910

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Um exemplo que dará resultado negativo:

9010 – 11610 à 0 10110102 – 0 11101002 = X2

C2(0 11101002) = 10001011 + 1 = 00011002

- Como, 10110102 é positivo acrescenta 0 e 00011002 é negativo acrescenta 1.

0 10110102

+ 1 00011002 1 11001102 = -2610 (1 significa negativo e 0 positivo)

Assim como na Soma, podemos fazer subtrações em binário com números não

binários. Para isso, basta convertermos o número para a base binária antes de

fazer a operação.

25,468 - B,4916 = X2

25,468 à 0 10101,1001102

B,4916 à 0 01011,010010012 à C2 = 1 10100,101101112

0 10101,100110002

+ 1 10100,101101112

1 0 01010,010011112

Ex.: Converta para binário e efetue as seguintes operações:

a) 3710 – 3010 b) 8310 – 8210 c) 638 – 348 d) 778 –

118

e) BB16 – AA16 f) C4316 – 19516 g) 9810 – 14010 h) 24510 -

46410

Multiplicação

Deve-se realizar a operação semelhante à multiplicação decimal, exceto pelo fato

da soma final dos produtos se fazer em binário. Para tal, as seguintes igualdades

devem ser respeitadas:

0.0=0; 0.1=0; 1.0=0; 1.1=1

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Exemplos:

- Multiplicar os números 1011 e 1101.

- Multiplicar os números 1001 e 1101.

Ex.: Converta para binário e efetue as seguintes operações:

a) 13610 * 4210 b) 9610 * 8210 c) 638 * 348 d) 748 * 128

e) BB16 * AA16 f) C4316 * 19516 g) 4510 * 910 h) 1208 * 458

Divisão

A operação de divisão de binário pode ser feita de maneira idêntica à divisão

decimal, exceto pelo fato das multiplicações e subtrações internas ao processo

serem feitas em binário.

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Exemplo:

- Dividir 11011 e 101.

- Dividir 1010101 e 101.

A prova é:

Exercícios

Converta para binário (quando necessário) e efetue as seguintes operações:

a) 1010102 / 1102 b) 3710 / 410 c) 110011102 / 11012

d) 1001000112 / 111012 e) 1110000012 / 1010012 f) A3D516 / C16

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ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS.

A álgebra booleana tem apenas três operações básicas: AND (E), OR (OU),

NOT (NÃO). Ela trabalha com duas constantes booleanas: 0(zero) ou 1(um),

sendo a variável booleana representada por letras que pode assumir valor 0 ou 1.

Expressão booleana: é uma expressão matemática envolvendo constantes e/ou

variáveis booleanas e seu resultado assume dois valores 0 ou 1.

Exemplos: a) S = A.B B) S= A + B.C

Existem propriedades da negação (complemento, inversor), multiplicação

(PORTA AND = E) e soma (porta OR = OU), sendo demonstrada cada uma

através de tabelas-verdade, constatando a equivalência lógica.

PROPRIEDADES

Propriedade Complemento Adição Multiplicação

Identidade (A’)’ A + 0 = A

A + 1 = 1

A + A = A

A + A’ = 1

A . 0 = 0

A . 1 = A

A . A = A

A . A’= 0

Comutativa A + B = B + A A . B = B . A

Associativa A+(B+C)=(A+B)+C A.(B.C)=(A.B).C

Distributiva A+(B.C)=(A+B).(A+C) A.(B+C)=(A.B)+(A.C)

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Propriedades

1ª) Absorção:

1.1) A + (A.B) = A 1.2) A . ( A+ B) = A

2ª) Outras Identidades:

2.1) A + Ᾱ . B = A + B 2.2) (A + B) . ( A + C) = A + BC

3ª) Regras de Morgan:

3.1) A negação do produto é igual a soma das negações: (A . B)’ = A’ + B’

3.2) A negação da soma e igual ao produto das negações. (A + B)’ = A´ . B’

Em regra geral, temos:

3.3) (A.B.C. ... .N)’ = A’+B’+C’+ ... + N’

3.4) (A+B+C+ ... +N)’ = A’.B’+C’. ... . N’

Exemplo:

Utilizando transformações algébricas, mostre as identidades:

a) A + A.B =A b) A . (A + B) = A

c) (A+B) . (A + C) = A + B.C d) A.B.C+.A.C’+A.B’ = A

e) A.B.C + (A.B´.C)´= B+A+C´ f) A´B´C´+ A´B´C+A´BC´+ ABC´= AB´+BC´

g) A.)B.C)´+A(C+CB)´=A(B´+C´) h) A(A + B)+B(A + B)´ = A

FORMAS NORMAIS (CANÔNICAS)

Toda expressão booleana pode ser escrita em forma padronizada denominada de

Forma Normal ou Forma Canônica, que se apresentam de duas maneiras:

1ª) Forma Normal Conjuntiva (FNC): Produto de Somas ou Produto de

Maxtermos.

Maxtermos: trabalha-se com as variáveis pertencentes as linhas que apresentam

0 como saída.

20

2ª) Forma Normal Disjuntiva (FND): Soma de Produtos ou Produto de Mintermos.

Mintermos (ou minitermos): trabalha-se com as variáveis pertencentes as linhas

que apresentam 1 como saída.

A B C Maxtermo Mintermo

0 0 0 A + B + C A’ . B’ . C’

0 0 1 A + B + C’ A’ . B’ . C

0 1 0 A + B’ + C A’ . B . C’

0 1 1 A + B’ + C’ A’ . B . C

1 0 0 A’ + B + C A . B’ . C’

1 0 1 A’ + B + C’ A . B’ . C

1 1 0 A’ + B’ + C A . B . C’

1 1 1 A’ + B’ + C’ A . B . C

Obs.: FND só trabalha com saída 1 (soma dos produtos) e FNC só com saída 0

(produto das somas).

PORTAS LÓGICAS

Introdução

As portas lógicas são componentes básicos da eletrônica digital. Elas são usadas

para criar circuitos digitais e até mesmo circuitos integrados complexos. Em

eletrônica digital apenas dois níveis são permitidos, “0” e “1”. Zero representa

tensão de 0 VOLTS, enquanto que “1” representa uma tensão de 5 VOLTS no

padrão TTL.

Assim as portas lógicas são capazes de realizar diversas operações matemáticas, para desenvolvimento da lógica digital.

Portas lógicas Básicas:

Inversor

Como o próprio nome já sugere, o inversor irá inverter o estado da entrada. Se

você entrar o número “0” em um circuito inversor, você obterá na saída o número

“1”, e vice-versa. A porta inversora é mais conhecida como NOT.

21

AND

Uma porta lógica AND realiza uma operação lógica “E”, Ela possui pelo menos

duas entradas. Por isso, se A e B são suas entradas, na saída teremos o

resultado de A x B (também representado como A · B).

OR

A porta lógica OR realiza uma operação lógica “OU”. Ela possui pelo menos duas

entradas. Por isso, se A e B são suas entradas, na saída teremos o resultado de

A + B.

22

Portas Lógicas Derivadas:

NAND:

Esta porta nada mais é do que uma porta AND com um inversor acoplado. Por isso, sua saída é o oposto da AND.

NOR:

NOR é uma porta OR com um inversor acoplado. Por isso, sua saída é o oposto da porta OR. Você.

23

XOR:

XOR significa OU exclusivo. A porta lógica XOR compara dois valores e se eles forem diferentes a saída será “1” e se forem iguais será “0”.,

XNOR:

XNOR significa NOR exclusivo e é uma porta XOR com sua saída invertida. Dessa forma, sua saída será igual a “1” quando suas entradas possuírem o mesmo valor e “0” quando elas forem diferentes.

24

MAPAS DE VEITCH-KARNAUGH

É outro método (grupos de mintermos) de simplificação das expressões

booleanas.

DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS:

1) S = A´B+AB´+AB 2) S = A´B´+A’+B+AB´

25

26

01- PRICÍPIOS DA LÓGICA MATEMÁTICA

A Lógica Matemática é constituída de três princípios, cujo objetivo é de

compreender as relações que se estabelecem entre as proposições. Esses

princípios são:

10) Principio da Identidade: se um enunciado é verdadeiro, então é verdadeiro.

20) Princípio da Não-Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e

falsa ao mesmo tempo.

30) Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto

é, verifica-se um destes casos e nunca um terceiro.

Para compreender melhor esses princípios da Lógica, devemos observar os

seguintes conceitos.

02- Proposição: é o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um

pensamento de sentido completo.

03- Valor Lógico de uma Proposição: é a verdade (V) se a proposição é

verdadeira e a falsidade (F) se a proposição é falsa.

Sobre o conceito do valor lógico de uma proposição, vamos resolver os seguintes

exemplos determinando o valor lógico de cada proposição:

a) Belém é a capital do Estado do Pará.

b) Sen 300 = ½

c) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

d) 9 é primo.

e) < 3,34...

f) (a – b)2 = a2 – b2

g) Log3 81 = 4

27

h) 52/52 = 0

As respostas são:

a) verdade e) verdade

b) verdade f) falsidade

c) verdade g) verdade

d) falsidade h) falsidade

04- PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

4.1- Proposição simples (ou Atômica): apresenta apenas uma proposição,

sendo representada por letras minúsculas denominadas de letras

proposicionais.

Exemplo:

a) p: 3 é um número primo. b) √2 é um número racional.

4.2- Proposição Composta (ou Molecular): é formada por mais de uma

proposição, sendo representada por letras maiúsculas denominadas de

letras proposicionais.

Exemplo:

a) João é rico e José é estudioso.

b) Se Arero é Paysandu, então é feliz.

05- CONECTIVOS: são palavras, expressões ou símbolos usados para formar

novas proposições a partir de outras.

28

Abaixo temos os conectivos na linguagem corrente (usual) e na linguagem

simbólica, respectivamente.

não (~ ou ), e (, , ), ou- inclusive (), ou ... ou...- exclusive, mas não

ambos (), se ... então ... () e, ... se e somente se, ... ()

Exemplo

a) Antonio não é gordo.

b) Paulo é rico e João é vaidoso.

c) Fátima é alegre e não é vaidosa.

d) Adolfo é médico ou José é professor.

- ou inclusive: pode acontecer ao mesmo tempo.

e) Adolfo é paulista ou é mineiro.

- ou exclusive: não pode acontecer ao mesmo tempo.

f) Se Pedro é rico, então é feliz.

g) Log 5 = 0,699, se e somente se, 5 é um número ímpar.

06- TABELA-VERDADE

É um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se um fórmula

é válida.

- Para construir uma tabela-verdade, utilizamos o seguinte procedimento:

1- Número de linhas de uma tabela-verdade (L) é calculado pela fórmula L =

2n, onde n é o número de proposições simples.

2- Colocam-se as proposições simples em colunas da seguinte maneira:

2.1- Tabela-verdade com uma proposição simples.

29

p

V

F

2.2- Tabela-verdade com duas proposições simples (proposição composta).

p q

V V

V F

F V

F F

2.3- Tabela-verdade com três proposições simples (proposição composta).

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

07- Operações Lógicas sobre Proposições.

30

Já estudamos a maneira de construir uma tabela-verdade, a partir de agora

estudaremos as operações lógicas fundamentais. Essas operações obedecem as

seguintes regras do cálculo denominado cálculo proposicional.

1ª) Negação (~): é uma proposição p representada por “não p” cujo valor lógico

é a verdade quando p é falsa e a falsidade quando p é verdadeira.

Nota: A negação deve aparecer na frente do verbo.

p ~p

V F

F V

~V = F e ~F = V

V(~p) = ~V(p)

Exemplos:

a) p: a derivada primeira da função do espaço representa a função velocidade (V).

~p: a derivada primeira da função espaço não representa a função velocidade (F).

V(~p) = ~V(p) = ~V = F

b) p: Log 1000 = 10 (F) e ~p: Log 1000 ≠ 10 (V)

V(~p) = ~V(p) = ~F = V

2a) Conjunção (): conjunção de duas proposições p e q é a proposição

representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as

proposições são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos.

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

31

V V = V, V F = F, F V = F e F F = F

3a) Disjunção (): disjunção de duas proposições p e q é a proposição

representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos

uma das proposições é verdadeiras e a falsidade (F) quando ambas são falsas.

p q pq

V V V

V F V

F V V

F F F

V V = V, V F = V, F V = V e F F = F

4a) Disjunção Exclusiva (): disjunção exclusiva de duas proposições p e q é a

proposição representada simbolicamente por p q, que se lê: “ou p ou q”, cujo

valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira,

mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade quando p e q são

ambas verdadeiras ou ambas falsas.

p q pq

V V F

V F V

F V V

F F F

V V = F, V F = V, F V = V e F F = F

5a) Condicional (): é a proposição representada por “se p então q”, cujo valor

lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade nos

demais caos.

p q pq

V V V

V F F

F V V

F F V

32

V V = V, V F = F, F V = V e F F = V

6a) Bicondicional (): é a proposição representada por “p se e somente se q”,

cujo valor lógico é a verdade (V) quando ambas são verdadeiras ou ambas falsas,

e a falsidade nos demais caso.

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F V

VV = V, VF = F, FV = F e FF = V

Exercícios:

01- Sejam as proposições p: Diogo é estudioso e q: Igor é trabalhador. Traduzir

para a linguagem corrente as seguintes proposições:

a) ~p q b) p q c) ~q p d) p q

02- Sejam as proposições p: Laura é forte e q: Laura é bonita. Traduzir para a

linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Laura é forte e bonita

b) Não é verdade que Laura é forte ou bonita

c) Laura é forte ou é fraca e bonita.

SÍNTESE DA UNIDADE

33

Nesta unidade, você aprendeu os princípios da Lógica Matemática; verificou

o que é proporção; calculou o valor lógico de uma proposição; identificou os tipos

de proposições, definiu os conectivos, construiu tabela-verdade, identificou as

operações lógicas. Logo, a partir desse momento você está capaz de iniciar a II

unidade.

UNIDADE II – CONSTRTUÇÃO DE TABELAS-VERDADE

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

- Construir tabela-verdade de uma proposição composta.

- Calcular o valor lógico de uma proposição composta.

- Usar parêntesis na simbolização das proposições.

Nessa unidade-II, abordaremos a construção de tabelas-verdade utilizando

proposição composta, o valor lógico de uma proposição composta e o uso de

parêntesis nas proposições. É importante salientar que estão disponibilizados,

nessa unidade, exercícios e atividades para promover o aprendizado.

01) CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE

1.1- Tabela-Verdade de uma Proposição Composta.

- Para construir uma proposição composta devemos ajustar duas ou mais

proposições simples pelos conectivos visto anteriormente. Por exemplo, P(p,q) =

p (q ~p).

1.2- Número de linhas de uma tabela-verdade (L).

- É calculado pela fórmula L = 2n, onde n é o número de proposições simples.

1.3- Construção de tabela-verdade de uma proposição composta.

- Para construir uma tabela-verdade, inicialmente calcula-se o número de linhas,

colocam-se as proposições simples em colunas e, em seguida, assentam-se, em

colunas, as operações, como os exemplos abaixo:

1) Construir a tabela verdade da proposição p (q ~p).

L = 2n = 22 = 4 linhas.

p q ~p (q ~p) p (q ~p)

34

V V F F F

V F F F F

F V V V V

F F V F V P(VV) = F, P(VF) = F, P(F,V) = V , P(FF) = V

P(p,q) : U {V, F}

VV P

U VF F

FV V

FF

2) P(p,q,r) = (p ~q) (~p r)

L = 2n = 23 = 8 linhas

p q r ~p ~q (p ~q) (~p r) (p ~q) (~p r)

V V V F F V F F

V V F F F V F F

V F V F V V F F

V F F F V V F F

F V V V F F V F

F V F V F F F V

F F V V V V V V

F F F V V V F F

P(VVV) = F, P(VVF) = F, P(VF,V) = F , P(VFF) = F, P(FVV) = F, P(FVF) = V, P(FF,V) = V , P(FFF) = F

P(p,q,R) : U {V, F}

02- Valor lógico de uma proposição composta.

- É sempre possível conhecer o valor lógico de uma proposição composta P(p, q,

r, ...), quando é conhecido o valor de cada proposição simples p, q, r, .... Observe

os exemplos:

1) Sendo verdade o valor lógico de p e a falsidade o valor lógico de q, determine

o valor lógico de P(p,q) = (p ~q) (~p q).

Solução:

P(p,q) = (p ~q)(~p q) = (V ~F)(~V F) = (V V)(F F) = VF = F

35

2) Dadas as proposições simples p:

3

63

92

x

x

xLim

e q: Log 2 64 = 5. Encontre o

valor lógico da proposição composta P(p,q) = ~(p q) (p ~q).

Solução:

P(p,q) = ~(p q) (p ~q) = ~(V F) (V~F) = ~F(VV) = VV = V

03- Uso do Parêntesis.

Observe a expressão p q ~p. Ao acrescentar parêntesis, podemos

transformar numa conjunção ou numa condicional, da seguinte maneira:

a) p (q ~p) b) (p q) ~p

Em a, temos uma proposição composta onde, o conectivo principal é e, em

b) Temos uma proposição composta em que, o conectivo principal é . É

relevante entender que essas duas proposições não têm o mesmo significado.

Agora vamos identificar as proposições que podem surgir da expressão

colocando parêntesis:

p q r s

a) ((p q) r) s Bicondicional

b) p ((q r) s) Condicional

c) (p (q r)) s Bicondicional

d) p (q (r s)) Condicional

e) (p q) (r s) Conjunção

Para encontrar o valor lógico das proposições identificadas acima, devemos

agir da seguinte maneira:

a) ((p q) r) s

Resolve-se na ordem a condicional, a conjunção e a bicondicional.

36

b) p ((q r) s)

Resolve-se na ordem a conjunção, a bicondicional e a condicional.

c) (p (q r)) s

Resolve-se na ordem a conjunção, a condicional e a bicondicional.

d) p (q (r s))

Resolve-se na ordem a bicondicional, a conjunção e a condicional.

e) (p q) (r s)

Resolve-se a condicional e a bicondicional e, em seguida, a conjunção.

Como podemos acrescentar parêntesis a uma expressão, também podemos

suprimi-los, a fim de simplificar as proposições simbolizadas.

A supressão dos parêntesis nas proposições é feita através de convenções,

e entre elas destacam-se duas:

1a) Utiliza-se os conectivos numa ordem que vai do mais fraco ao mais forte da

seguinte maneira:

Negação (~); Conjunção (); Disjunção (); Condicional ();

Bicondicional ()

Observe, por exemplo, a proposição:

p q r s

é uma bicondicional, pois, é o conectivo mais forte.

Para resolver essa proposição, devemos partir do conectivo mais fraco para

o mais forte, isto é, resolve-se primeiramente a conjunção, depois a condicional

e por último a bicondicional.

Usando parêntesis, temos: (p (q r)) s.

Para transformá-la numa condicional ou numa conjunção, utiliza-se

parêntesis.

p (( q r) s) ou (p q) (r s)

37

2a) Suprimem-se os parêntesis da proposição quando um mesmo conectivo

aparece sucessivamente repetido, realizando-se a associação a partir da

esquerda.

Note, por exemplo, a proposição:

((~(~(p q))) (~q))

Podemos escrevê-la mais simples do seguinte modo:

~~(p q) ~q

Exercícios:

1- Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:

a) (p q) ~p b) (~p q) q c) p ~q p q

d) (~p q) q q e) (p q) q r f) ((p q) r) ((p q) ~r)

g) ~(p v ~q) h) ~(p ~q) i) p ^ q p v q

j) ~p (q p) k) (p q) p ^ q l) ~p ^ r q v ~r

m) p r q v ~r n) p (p ~r) q v r 0) (p ^ q r) v (~p q v ~r)

2) Dada a proposição P(p,q) = (p ~q) ((~p q) q), determine:

a) P(VV) b) P(VF)

c) P(FV) d) P(FF)

3) Determinar P (VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:

a) P(p, q) = ~(~q p) b) P(p, q) = ~p v ~q p c) P(p, q) = (p v q) ~(p q)

d) P(p, q) = (p v ~q) v (~p v q) e) P(p, q) = ~((p v q) (p v ~q)

4) Determine P(VFV) em cada caso:

a) P(p,q,r) = (p q) (r ~p) b) P(p, q, r) = ~p v (q ~r)

c) P(p, q, r) = (p v q) (p v r) d) P(p, q, r) = (p v ~r) (q v r) (r ~p)

38

5) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p, q e r são

respectivamente V, V e F, determine o valor lógico da proposição composta

P(p,q,r) = ((p q) r) (p ~r).

6) Sabendo que a proposição P(p,q) = ~p q ~q r ~r é uma bicondicional.

Converta-a, usando parênteses, em:

5.1) Condicional.

5.2) Disjunção.

5.3) Conjunção.

7) Transformar a proposição P(p,q)=(((~p) q) (~q)) numa proposição mais

simples (subtrair parêntesis).

8) Dadas as proposições: p: 2 .(5 – 4) = 2, q: 2 . 5 – 4 = 6 e r: 5 – 4 . 2 = 2.

Construa a tabela verdade da das proposições compostas abaixo:

a) A(p,q): (~p q) (~q p) b) B(p,r): ((~p r) ~r) (p ~r)

c) C(p,q,r): ((p q) (~q r)) ~r d) D(p,q,r): ((~p q) r) (p ~r)

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você aprendeu a Construir tabela-verdade de uma

proposição composta; a calcular o valor lógico de uma proposição composta e

utilizar parêntesis na simbolização das proposições. Logo, a partir desse

momento você está capaz de iniciar a III unidade.

UNIDADE III - TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES, CONTINGÊNCIAS,

IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA:

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

39

- Definir tautologia, contradição e contingência.

- Definir Implicação Lógica.

- Identificar as propriedades da Implicação lógica.

- Definir Equivalência Lógica.

- Identificar as propriedades da Equivalência Lógica.

- Definir proposição associada a uma condicional.

- Definir negação conjunta de duas proposições.

Nessa unidade-III, abordaremos o estudo sobre a existência de tautologia,

contradição ou de contingência numa proposição composta, citaremos as

propriedades da Implicação e Equivalência Lógica, definiremos proposição

associada a uma condicional e negação conjunta de duas proposições. Além

disso, estão disponibilizados exercícios e atividades para facilitar o aprendizado.

Durante a utilização de tabelas-verdade, observamos que essas tabelas

podem apresentar como resultado valor lógico verdade ou valor lógico falsidade

ou ambos. Em decorrência disso, vamos definir Tautologia, Contradição e

Contingência.

01- Tautologia: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da

sua tabela-verdade apenas o valor lógico verdade.

Exemplo:

- Verificar se a proposição P(p,q) = (p q) (p q) é tautológica.

Solução:

p q (p q) (p q (p q) (p q)

V V V V V

V F F F V

F V F V V

40

F F V V V

Observe que a resposta apresenta somente valor lógico verdade, logo, P é uma

tautologia.

02- Contradição: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da

sua tabela-verdade apenas o valor lógico falsidade.

Exemplo:

- Verificar se a proposição P(p,q) = ~p (p ~q) é uma contradição.

Solução:

p q ~p ~q (p ~q) ~p (p ~q)

V V F F F F

V F F V V F

F V V F F F

F F V F F F

Observe que a resposta apresenta somente valor lógico falsidade, logo, P é uma

contradição.

03- Contingência: é toda proposição composta que apresenta na última coluna

da sua tabela-verdade os valore lógicos verdade e falsidade.

Exemplo:

Verificar se a proposição P(p,q) = (p q) (p ~q) é uma contingência.

Solução:

p q ~q (p q) (p ~q) (p q) (p ~q)

V V F V F V

V F V F V V

F V F F F F

41

F F F V F V

Note que o resultado tem valor lógico verdade e falsidade, logo, P é uma

contingência.

Exercício:

- Verificar se as proposições apresentam tautologia, contradição ou contingência.

a) P(p,q) = (p q) (p ~q) b) P(p,q) = (q p) (p q)

c) P(p,q) = ((p q) p) q d) P(p,q) = ((p q) ~p) ~q)

e) P(p,q) = (p q) (p (q r)) f) P(p,q) = (p q) (p q)

04- IMPLICAÇÃO LÓGICA ()

Definição: a proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P → Q

for uma tautologia.

Simbolicamente representamos a implicação lógica por P Q.

Exemplo:

- Dadas as proposições P(p,q): p q, Q(p,q): p q e R(p,q): q v p, verifique se:

a) P Q b) P R c) Q R

- Construir a tabela-verdade das proposições P, Q e R, temos:

P Q R

p q (q p) (p q) (p q) P → Q P → R Q → R

V V V V V V V V

V F F F V V V V

F V F F V V V V

F F F V F V V F

Note que as condicionais P → Q e P → R são tautológicas, logo, a

proposição P implica tanto a proposição Q, como a proposição R (P Q e P

42

R). Contudo, a proposição Q não implica a proposição R (Q R), pois a

condicional Q → R não é tautológica.

Propriedades da Implicação Lógica: Seja P, Q e R proposições compostas:

1a) Reflexiva: P Q

2a) Transitiva: Se P Q e Q R, então P R Exercícios:

1) Dadas as proposições P(p,q) = p q, Q(p,q) = p → q e R = p V q, verificar

se:

a) P Q b) P R c) Q R

2) Verifique se P = (p q) ~p implica Q = q.

05- EQUIVALÊNCIA LÓGICA ()

Definição: Uma proposição composta P é equivalente a uma proposição

composta Q, se as tabelas-verdade de ambas as proposições são idênticas, ou se

a bicondicional P Q é tautológica.

P(p,q, ...) Q(p, q, ...)

Exemplo:

Verifique se as proposições P(p,q): p (p q) e Q(p,q): p q são

equivalentes.

Solução: P Q

p q (p q) p (p q) (p q) P Q

V V V V V V

V F F F F V

F V F V V V

F F V V V V

43

Note que as proposições P e Q além de apresentarem tabelas-verdade

idênticas, a bicondicional entre elas (P Q) é tautológica, logo, estas

proposições são equivalentes.

p (p q) p q

Nota: os símbolos , , e são distintos, onde os dois primeiros fazem

parte de operação lógica, enquanto os dois últimos de relação.

Propriedades da Equivalência Lógica: Seja P, Q e R proposições compostas:

1a) Reflexiva: P Q

2a) Transitiva: Se P Q, então Q P

3a) Simétrica: Se P Q e Q R, então P R

Exercícios:

1) Verifique se P: p (p q) e Q: p p são equivalentes.

2) A condicional P: p q é equivalente a conjunção Q: ~p q?

3) Sabendo que P: p q, Q = (p q) (p q) e R: (p q) (q p), verifique

se:

3.1) P Q 3.2) P R b) R Q

4) Sabendo que k é uma proposição que encerra somente valor lógico falsidade,

P(p,q): (p ~q) k e Q(p,q): p q, verifique se as proposições P e Q são

equivalentes, ou seja, se a bicondicional P Q é tautológica.

5) Construa a tabela da bicondicional (((p q) r) (p (q r))), verificando

se existe equivalência entre as condicionais ((p q) r) e (p (q r)).

06- Proposições Associadas a uma Condicional.

- Denominam-se proposições associadas a condicional p q as três seguintes

proposições condicionais que contêm p e q:

44

1- Proposição recíproca de p q: q p.

2- Proposição contrária de p q: ~p ~q.

3- Proposição contrapositiva de p q: ~q ~p.

Exemplo:

Construindo a tebela-verdade das proposições p q, q p, ~p ~q e ~q ~p,

temos:

p q ~p -q p q q p ~p ~q ~q ~p

V V F F V V V V

V F F V F V V F

F V V F V F F V

F F V V V V V V

- Observe que as condicionais p q e ~q ~p são idênticas, logo, são

equivalentes.

p q ~q ~p

- Também as condicionais q p e ~p ~q são idênticas, logo, são

equivalentes.

p q ~p ~q

Exercícios:

1- Encontre a contrapositiva da condicional p q: Se Paulo é Paysandu, então

é feliz.

A contrapositiva da condicional p q é ~p ~q: Se Paulo é infeliz, então não é

Paysandu.

2- Encontre a contrapositiva de p ~q.

3- Encontre a contrapositiva da recíproca de p q.

07- Negação Conjunta de duas Proposições

- Denomina-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição “não

p e não q”, representada simbolicamente por “~p ~q” ou “p q. Logo:

p q ~p ~q.

p q p q

45

V V F

V F F

F V F

F F V

08- Negação Disjunta de duas Proposições

- Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não

p ou não q”, representada simbolicamente por “~p ~q” ou “p q. Logo:

p q ~p ~q.

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F V

Os símbolos “” e “” são chamados “conectivos de SCHEFFER”.

Exercícios:

1- Verifique as equivalências abaixo utilizando tabela-verdade:

1.1- ~p p p

1.2- p q (p q) (p q)

1.3- p q (p p) (q q)

2- Se o valor lógico da proposição p é a falsidade e os valores lógicos das

proposições q e r são verdades, encontre o valor lógico das seguintes

proposições:

2.1- (p ~q) (q ~r)

46

2.2- (~p ~q) ((q p) (r p))

2.3- (r q) (p ~q)

3- Verifique se a proposição (p (q ~p)) (~q p) é tautológica.

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você definiu Implicação Lógica; Identificou as propriedades da

Implicação lógica, definiu Equivalência Lógica, identificou as propriedades da

Equivalência Lógica, definiu proposição associada a uma condicional e

conceituou negação conjunta de duas proposições. Logo, a partir desse momento

você está capaz de iniciar a IV unidade.

UNIDADE I V – ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

- Citar as propriedades da conjunção, da disjunção e da conjunção e disjunção.

- Negar a condicional e a bicondicional.

- Empregar o método dedutivo.

- Reduzir o número de conectivos.

- Definir forma normal das proposições.

- Conceituar Princípio da Dualidade.

Nessa unidade-IV, abordaremos as propriedades da conjunção, da disjunção

e da conjunção e disjunção utilizando tabelas-verdade, demonstraremos as

implicações e equivalências por meio do método denominado Método Indutivo,

usaremos técnicas para reduzir o número de conectivos e aplicaremos o Princípio

da Dualidade. Além disso, estão disponibilizados exercícios e atividades para

facilitar o aprendizado.

47

01- Álgebra das Proposições

1.1- Propriedades da Conjunção

1a) Idempotente: p p p (p uma proposição simples)

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p pp ppp

V V V

F F V

As tabelas-verdade das proposições p e p q são idênticas, ou seja, a

bicondicional é tautológica, logo, (p q) é equivalente a p.

p q p

Exemplo: a = 7 a = 7 a = 7

2a) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples)

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p q p q q p p q q p

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F F F V

As tabelas-verdade das proposições p q e q p são idênticas, ou seja, a

bicondicional p q q p é tautológica, logo, (p q) é equivalente a (q p).

p q q p

Exemplo: x = 2 + 3 x < 7 x < 7 x = 2 + 3

3a) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples)

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p q r (p q) (p q) r (q r) p (q r) (p q) r p (q r)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F F F F V

V F F F F F F V

48

F V V F F V F V

F V F F F F F V

F F V F F F F V

F F F F F F F V

As tabelas-verdade das proposições (p q) r e p (q r) são idênticas,

ou seja, a bicondicional (p q) r p (q r) é tautológica, logo, (p q) r é

equivalente a p (q r).

(p q) r p (q r)

Exemplo: (x = 3 x > 1) x < 5 x = 3 (x > 1 x < 5)

4a) Identidade: (p a) p e (p b) b (a e b proposições simples, onde a

encerra somente a verdade e b a falsidade).

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p a b (p a) (p b) (p a) p (p b) b

V V F V F V V

F V F F F V V

- As proposições a e b são respectivamente elemento neutro e elemento

absorvente da conjunção.

Exemplo: x 2 /x/ ≥ 0 x 2

x 2 /x/ < 0 /x/ < 0

1.2- Propriedades da Disjunção

1a) Idempotente: p p p (p uma proposição simples)

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p p p p p p

V V V

F F V

49

As tabelas-verdade das proposições p e p q são idênticas, ou seja, a

bicondicional é tautológica, logo, (p q) é equivalente a p.

p q p

Ex: 0 < x < 2 0 < x < 2 0 < x < 2

2a) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples)

- Observe a tabela-verdade a seguir:

p q p q q p p q q p

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F F V

As tabelas-verdade das proposições p q e q p são idênticas, ou seja, a

bicondicional p q q p é tautológica, logo, (p q) é equivalente a (q p).

p q q p

Exemplo: a = 4 - 5 a < 2-3 a < 2-3 a = 4 - 5

3a) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples)

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p q r (p q) (p q) r (q r) p (q r) (p q) r p (q r)

V V V V V V V V

V V F V V V V V

V F V V V V V V

V F F V V F V V

F V V V V V V V

F V F V V V V V

F F V F V V V V

F F F F F F F V

50

As tabelas-verdade das proposições (p q) r e p (q r) são idênticas,

ou seja, a bicondicional (p q) r p (q r) é tautológica, logo, (p q) r é

equivalente a p (q r).

(p q) r p (q r)

Exemplo: (x 3 x > 4) x < 6 x 3 (x > 4 x < 6)

4a) Identidade: (p a) a e (p b) p (a e b proposições simples, onde a

encerra somente a verdade e b a falsidade).

- Observe a tabela-verdade abaixo.

p a b (p a) (p b) (p a) a (p b) b

V V F V V V V

F V F V F V V

- Observe que as proposições a e b são respectivamente elemento absorvente e

elemento neutro da disjunção.

Exemplo: x 2 /x/ ≥ 0 /x/ ≥ 0

x 2 /x/ < 0 x 2

1.3- PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO

1a) Distributiva: Dadas as equivalências lógicas abaixo, onde p, q e r são

proposições simples.

1.1- p (q r) (p q) (p r)

1.2- p (q r) (p q) (p r)

- Observe a tabela-verdade da proposição p (q r) (p q) (p r).

51

p q r (qr) p(qr) (pq) (pr) (pq)(pr) p(qr)(pq)(pr)

V V V V V V V V V

V V F V V V F V V

V F V V V F V V V

V F F F F F F F V

F V V V F F F F V

F V F V F F F F V

F F V F F F F F V

F F F F F F F F V

As tabelas-verdade das proposições p (q r) e (p q) (p r) são

idênticas, ou seja, a bicondicional p (q r) (p q) (p r) é tautológica,

logo, p (q r) é equivalente a (p q) (p r).

p (q r) (p q) (p r)

- Note a tabela-verdade da proposição p (q r) (p q) (p r).

p q r (qr) p(qr) (pq) (pr) (pq)(p’r) p(qr)(pq)(pr)

V V V V V V V V V

V V F F V V V V V

V F V F V V V V V

V F F F V V V V V

F V V V V V V V V

F V F F F V F F V

F F V F F F V F V

F F F F F F F F V

As tabelas-verdade das proposições p (q r) e (p q) (p r) são

idênticas, ou seja, a bicondicional p (q r) (p q) (p r) é tautológica,

logo, p (q r) é equivalente a (p q) (p r).

p (q r) (p q) (p r)

Observe que as bicondicionais p (q r) (p q) (p r) e p (q r)

(p q) (p r) são tautológicas, portanto, a equivalência 1.1 explica que a

conjunção é distributiva em relação à disjunção e a equivalência 1.2 explica que a

disjunção é distributiva em relação à conjunção.

52

Exemplo:

1- A proposição “João pratica esporte e Carlos estuda ou passeia” é equivalente a

proposição “João pratica esporte e Carlos estuda” ou “João pratica esporte e

Carlos passeia”.

2- “chove ou faz vento e frio” é equivalente a “chove ou faz vento” e “chove ou faz

frio”

02) Absorção:

2.1- p (p q) p

p q p q p (p q) p (p q) p

V V V V V

V F V V V

F V V F V

F F F F V

Observe que as proporções p (p q) e p apresentam tabelas-verdade

idênticas, ou seja, a bicondicional p (p q) p é tautológica, logo, a

equivalência p (p q) p existe.

2.2- p (p q) p

p q p q p (p q) p (p q) p

V V V V V

V F F V V

F V F F V

F F F F V

Observe que as proporções p (p q) e p apresentam tabelas-verdade

idênticas, ou seja, a bicondicional p (p q) p é tautológica. Logo, a

proposição p (p q) é equivalente a proposição p.

Regras de Morgan:

53

1ª) A negação de uma conjunção entre duas proposições simples é equivalente a

disjunção das negações das proposições.

~(p q) ~p ~q “é inteligente e estuda” é equivalente a não é inteligente ou não estuda”

2ª) A negação de uma disjunção entre duas proposições simples é equivalente a

conjunção das negações das proposições.

~(p q) ~p ~q “é médico ou professor” é equivalente a “não é médico e não é professor”

p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q

V V F F V F F V

V F F V F V V V

F V V F F V V V

F F V V F V V V

Observe que as proporções ~(p q) e ~p q apresentam tabelas-verdade

idênticas, ou seja, a bicondicional ~(p q) ~p ~q é tautológica. Logo, a

proposição (p q) é equivalente a proposição p ~q.

Note que as Regras de Morgan demonstram que a negação transforma a

conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção.

03- Negação da Condicional

Já vimos que a condicional p q é equivalente a (~p q), logo, negando a

condicional temos:

a) p q ~p q

~( p q) ~(~p q) ~~p ~q p ~q

b) ~( p q) p ~q

Observe as tabelas-verdade das proposições (~( p q) e (p ~q))

p q ~q ( p q) ~( p q) p ~q ~( p q) p ~q

54

V V F V F F V

V F V F V V V

F V F V F F V

F F V V F F V

Como as proposições (~( p q)) e (p ~q) são idênticas, ou seja, a

bicondicional (~( p q) (p ~q)) é tautológica, a equivalência lógica (~( p

q) (p ~q)) existe.

04- Negação da Bicondicional

Vimos anteriormente que p q (p q) (q p), logo:

a) p q (p q) (q p)

b) p q (~p q) (~q p)

Negando, temos:

~(p q) ~( (~p q) (~q p)) ~(~p q) ~(~q p) (p ~q) (~p q)

Logo:

c) ~(p q) (p ~q) (~p q)

Observe as tabelas-verdade das proposições ~(pq) e (p~q) (~pq)

p q ~p ~q ( pq) ~(p q)=A p~q (~pq) (p~q)(~pq)=B AB

V V F F V F F F F V

V F F V F V V F V V

F V V F F V F V V V

F F V V V F F F F V

Como as proposições ~(pq) e ((p~q) (~pq)) são idênticas, ou seja, a

bicondicional (~( p q) (p ~q)) é tautológica, a equivalência lógica ~(p q)

(p ~q) (~p q) acontece.

55

Exercício:

- Verificar através de tabela-verdade se existe as equivalências:

a) p q (p ~q) b) p (q r) (p q) r

c) (~p ~q) r (p q) (p r) d) p (p q) q

e) ~(p q r) ~p ~q ~r (Regra de Morgan)

Resposta:

a) não b) sim c) não d) não e) sim

05- MÉTODO DEDUTIVO

Utilizamos até o momento, tabelas-verdade para demonstrar as implicações e

equivalências. A partir de agora, vamos demonstrar essas implicações e

equivalências por meio do método denominado Método Dedutivo.

Inicialmente definimos como Método Dedutivo a modalidade de raciocínio

lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de

determinada(s) premissa(s).

A Dedução é uma espécie de argumento no qual a forma lógica válida garante a

verdade da conclusão se as premissas forem verdadeiras. Por exemplos:

1) A: “Todos os homens são mortais"

B: “João é homem"

Logo,

C: “João é mortal”

Agora apresentemos uma forma lógica válida: x = homem, y = mortal e z = joão.

"TODO x é y.

z é x.

Logo, z é y"

56

Veja que as duas premissas obedecem a uma forma lógica válida. Se a conclusão

for "Logo, Sócrates é mortal (Logo, z é y)", então temos uma dedução.

2) Modus ponens:

"Se P, então Q.

P.

Portanto Q."

Modus tollens:

"Se P, então Q.

Q é falso.

Logo, P é falso." 2

No emprego do Método Dedutivo, as proposições simples p, q, r, s

(apresentam valor lógico verdade) e t, valor lógico falsidade, devem ser

substituídas respectivamente por proposições compostas P, Q, R, S (tautologia) e

T (contradição).

Exemplo

Sabendo que p é uma proposição qualquer e c e t proposições cujos valores

lógicos são respectivamente, F e V.

- Constatar as implicações e equivalências sem a utilização das tabelas-verdade.

1) c p 2) p t

Observe que

c p ~c p t p t

57

p t ~p t t

2) (p q) ~q ~p (Modus tollens)

(p q)~q(~pq)~q(~p~q)(q~q)(~p~q)T~p~q~p

3) (p q) p q (Modus ponens)

(p q) p p (~p q) (p~p)(pq) T(pq) pq q

4) (p q) ((p ~q) t)

p q ~p q ~p~~q ~(p~q) ~(p~q)t p ~q t

5) p (q r) (q q) r

p(p r)~p(qr)~p(~qr)(~p~q)r~(pq)rpqr

- É relevante notar que tendo três conectivos, podemos traduzir os mesmos em

dois e, todos os conectivos exprimem-se em termos de ou :

a) , e traduz em ~ e .

a1) p q ~~p ~~q ~(~p ~q)

a2) p q ~p q

a3) (p q) (p q) (q p) ~(~(~p q) ~(~q p))

b) , e traduz em ~ e .

b1) p q ~~p ~~q ~(~p ~q)

b2) p q ~p q ~(p ~q)

b3) (p q) (p q) (q p) ~(p ~q) ~(~p q)

c) , e traduz em ~ e .

c1) p q ~(~p ~q) ~(p ~q)

c2) p q ~~p q ~p q

c3) (p q) (p q) (q p) ~((p q) ~(q p))

58

- Qualquer proposição pode ser transformar em uma forma denominada Forma

Normal (FN). Esta forma é identificada quando a proposição contém os

conectivos que representam negação (~), conjunção () e disjunção (). Se a

proposição apresentar conectivo que representa condicional () ou bicondicional

(), decompõe-se as mesma como segue: (p q) por (~p q) e (p q) por (~p

q) (p ~q).

Uma proposição pode se apresentar na forma normal denominada Forma Normal

Conjuntiva (FNC) ou na forma normal denominada Forma Normal Disjuntiva

(FND).

Dizemos que uma proposição encontra-se na FNC quando:

a) É literal: qualquer proposição na formula atômica ou sua negação (p, ~q, r).

b) Apresenta os conetivos ~, e .

c) A negação, não deve incidir nela mesmo (~~) e nem sobre a conjunção ()

e disjunção ().

d) A disjunção não apresenta abrangência sobre a conjunção, ou seja, não

deve ter p (q r).

Exemplos de FNC:

a) p ~q

b) (p q)

c) ((p ~q) ~r)

Não são exemplos de FNC:

a) ~(~p) (não é literal)

b) ((p ~q) ~q) (está havendo repetição da fórmula atômica)

Dizemos que uma proposição encontra-se na FND quando:

a) A proposição é uma conjunção.

b) Contém os conectivos ~, e .

c) A negação, não deve incidir nela mesmo (~~) e nem sobre a conjunção ()

e disjunção ().

59

d) A proposição é uma disjunção de duas ou mais conjunções, onde

nenhuma delas está contida nas outras.

Exemplos de FND:

a) (p q) r

b) ~p

c) (~p q) (~r)

d) (p q) (~p r)

Exercícios:

1o) Determinar a Forma Normal Conjuntiva (FNC) da proposição ~((p q) p).

Solução:

~((p q) p) ~(p q) ~p ~p ~q ~p

- Utilizando tabela-verdade:

p q ~p ~q ( pq) (p q) p ~((p q) p) ~p ~q ~p ~q ~p

V V F F V F F F F

V F F V V V F F F

F V V F V V V F V

F F V V F F V V V

2o) Determinar a Forma Normal Disjuntiva (FND) equivalente a proposição: (~q →

r) ↔ (~p ˄ q).

Solução:

Inicialmente construímos a tabela-verdade que representa a proposição.

p q r ~p ~q ~q → r ~p ˄ q (~q → r) ↔ (~p ˄ q)

V V V F F V F F

V V F F F V F F

V F V F V V F F

V F F F V F F V

F V V V F V V V

F V F V F V V F

F F V V V V F F

F F F V V F F V

A maneira para obter uma forma equivalente a FND é a seguinte:

60

Separa-se as linhas 4, 5 e 8 cujo valor lógico é a verdade (V), e nelas podemos

escrever as formas conjuntivas fundamentais da seguinte maneira:

Linha 4: como p é verdadeira, permanece p, porém, q e r são falsas, logo, ~q e

~r. (p ˄ ~q ˄ ~r)

Linha 5: como p é falsa, utilizamos ~p, porém, q e r são verdadeiras, logo,

permanece q e r. (~p ˄ q ˄ r)

Linha 8: como p, q e r são falsas, escrevemos ~p, ~q e ~r. (~p ˄ ~q ˄ ~r)

Logo, a proposição equivalente é: (p˄~q˄~r) ˅ (~p ˄ q ˄ r) ˅ (~p ˄ ~q ˄ ~r) = T

Agora, vamos verificar se existe a equivalência:

(~q → r) ↔ (~p ˄ q) (p ˄ ~q ˄ ~r) ˅ (~p ˄ q ˄ r) ˅ (~p ˄ ~q ˄ ~r)

p q r ~p ~q ~r p ˄ ~q ˄ ~r (~p ˄ ~q ˄ ~r) T

V V V F F F F F F

V V F F F V F F F

V F V F V F F F F

V F F F V V V F V

F V V V F F F V V

F V F V F V F F F

F F V V V F F F F

F F F V V V F V V

Exercício:

- Utilizando tabela-verdade, encontre uma FND das seguintes proposições:

a) (p → ((q → q) ˅ (p → p)))

b) ~p ↔ ((p → (q ˅ r)

07- PRINCÍPIO DE DUALIDADE

- Uma proposição composta S que apresenta apenas negação, conjunção e

disjunção, se trocarmos conjunção por disjunção e disjunção por conjunção,

temos uma proposição que denominamos de a DUAL de S.

61

Exemplo: a dual de S: ~p ˄ (q ˅ r) é ~p ˅ (q ˄ r)

De posse dessa informação, podemos anunciar o Princípio de Dualidade: se,

duas composições compostas P e Q formadas por apenas negação, conjunção e

disjunção são equivalentes, logo as duais de P e Q também são equivalentes.

Exemplo: a equivalência p (p q) p, pelo Princípio de dualidade, é deduzida

da equivalência p (p q) p.

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você citou as propriedades da conjunção, da disjunção e da

conjunção e disjunção, negou a condicional e a bicondicional, empregou o método

indutivo, reduziu o número de conectivos, definiu forma normal das proposições e

conceituou Princípio da Dualidade. Logo, a partir desse momento você está capaz

de iniciar a V unidade.

UNIDADE V – ARGUMENTOS E REGRAS DE INFERÊNCIA

Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

- Definir argumento.

- Conceituar validade de um argumento.

- Citar o critério de validade de argumento.

- Verificar a associação da condicional a um argumento.

- Citar os argumentos válidos fundamentais.

- Identificar e usar as regras de inferência.

62

- Conceituar quantificador

- Identificar os tipos de quantificadores.

Nessa unidade-V, identificaremos e aplicaremos argumento, usaremos as

regras de inferência e identificaremos os tipos de quantificadores. É relevante

lembrar que nessa unidade estão disponibilizados exercícios e atividades para

gerar, com mais facilidade, o aprendizado.

01- Argumentos

- Denomina-se argumento toda seqüência de proposições (simples ou compostas)

que, no final ocasiona uma proposição Q. Observe:

P1, P2, P3, ..., Pn Ⱶ Q (n ≥ 1)

Onde, P1, P2, P3, ..., Pn são as premissas do argumento e Q a conclusão.

O argumento do tipo P1, P2, P3, ..., Pn Ⱶ Q é lido da seguinte maneira: “P1, P2, P3,

..., Pn ocasionam Q” ou “Q deriva de P1, P2, P3, ..., Pn”

Denomina-se Silogismo a todo argumento que consiste em duas premissas e uma

conclusão.

02- Validade de um Argumento

Considera-se um argumento válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira

todas as vezes que as premissas P1, P2, P3, ..., Pn são verdadeiras.

Quando o argumento não é válido denominamos, o mesmo, de Sofisma

(incorreto)

03- Critério de Validade de um Argumento

- Dizemos que um argumento P1, P2, P3, ..., Pn Ⱶ Q é válido se e somente se a

condicional abaixo é tautológica.

(P1 ˄ P2 ˄ P3 ... ˄ Pn) → Q

63

É relevante notar que numa condicional associada a um argumento,

denominamos de antecedente a conjunção de premissas (P1 ˄ P2 ˄ P3 ... ˄ Pn) e

de conseqüente a conclusão Q (condicional associada ao argumento dado).

Exemplo:

- Dado o argumento (p → q ˅ r), ~s, (q ˅ r → s) Ⱶ (s → p ˄ q). A condicional

associada a esse argumento é representada por (p → q ˅ r) ˄ ~s ˄ (q ˅ r → s) →

(s → p ˄ q).

04- Argumentos Válidos Fundamentais

4.1- Adição (AD):

4.2- p Ⱶ p ˅ q

4.3- p Ⱶ q ˅ p

4.2- Simplificação (SIMP):

4.2.1- p ˄ q Ⱶ p

4.2.2- p ˄ q Ⱶ q

4.3- Conjunção (CONJ):

4.3.1- p, q Ⱶ p ˄ q

4.3.2- p, q Ⱶ q ˄ p

44- Absorção (ABS):

p → q Ⱶ p → (p ˄ q)

4.5- Modus Ponens (MP):

p → q, p Ⱶ q

4.6- Modus Tollens (MT):

p → q, ~q Ⱶ ~p

64

4.7- Silogismo Disjuntivo (SD):

4.7.1- p ˅ q, ~p Ⱶ q

4.7.2- p ˅ q, ~q Ⱶ p

4.8- Silogismo Hipotético (SH):

p → q, q → r Ⱶ p → r

4.9- Dilema Construtivo (DC):

p → q, r→ s, p ˅ r Ⱶ q ˅ s

4.10- Dilema Destrutivo (DD):

p → q, r→ s, ~q ˅ ~s Ⱶ ~p ˅ ~r

05- Regras de Inferência

- Colocam-se as premissas sobre um traço horizontal ew a conclusão sob o

mesmo traço.

1a) Adição (AD): de uma proposição, pode-se deduzir a sua disjunção com

qualquer outra proposição.

1.1- qp

p

1.2-

pq

p

1.3-

rqp

qp

1.4-

32

2

yy

y

2a) Simplificação (SIMP): de uma conjunção de duas proposições dadas, pode-se

deduzir cada uma dessas proposições.

2.1- p

qp 2.2-

q

qp 2.3-

7

75

x

xx 2.4-

q

qp

~

~

3a) Conjunção (CONJ): de duas proposições dadas, pode-se deduzir a sua

conjunção. As duas proposições dadas são as premissas e a conjunção, a

conclusão.

3.1- qp

q

p

3.2-

pq

q

p

3.3-

)( sqqp

sq

qp

65

4a) Absorção (ABS): de uma condicional de duas proposições dadas, pode-se

deduzir uma outra condicional com o mesmo antecedente, contudo, como

consequente a conjunção das duas proposições pertencentes a premissa.

4.1- qpp

qp

4.2-

033

03

yyy

yy

5a) Modus Ponens (MP): de uma condicional, pode-se deduzir a conclusão q a

partir das premissas p → q e p.

5.1- q

p

qp

5.2- sq

p

sqp

6a) Modus Tollens (MT): tendo como premissas a condicional p→q e a negação

do consequente ~q, pode-se deduzir como conclusão a negação do antecedente

~p.

6.1- p

q

qp

~

~

6.2- 0

0

a

ba

baa

7a) Silogismo Disjuntivo (SD): de uma disjunção de duas proposições p ˅ q e da

negação de uma delas (~p ou ~q), pode-se deduzir como conclusão q ou p.

7.1- q

p

qp

~

7.2- q

q

qp

~

7.3- 2

3

32

a

a

aa

8a) Silogismo Hipotético (SH): das premissas p → q e q → s, pode-se deduzir a

conclusão p → s.

8.1- rp

rq

qp

8.2-

)(

)(

tqqp

tqs

sqp

66

9a) Dilema Construtivo (DC): apresenta como premissas duas condicionais p→q e

r→s e a disjunção de seus antecedentes (p→q) ˅ r e, como conclusão, a

disjunção dos consequentes destas condicionais.

9.1- sq

rp

sr

qp

9.2-

tr

sqp

ts

rqp

~

~

~

10a) Dilema Destrutivo (DD): apresenta como premissas duas condicionais p→q e

r→s e a disjunção da negação dos seus consequentes ~q ˅ ~s e, como

conclusão, a disjunção da negação dos antecedentes destas condicionais.

10.1- rp

sq

sr

qp

~~

~~

10.2- 69

73

76

39

baba

aa

aba

aba

Exercícios:

01) Através da regra do Silogismo disjuntivo, complete:

a) ....................

8

58

ba

bba

b) ....................

~

~

q

qp

02) Arquitetar a condicional associada a cada um dos argumentos:

a) p → q Ⱶ p ˄ ~q b) a = b → a = 4, a = 4 → a < c Ⱶ a = b → a < d

03) Construir o argumento correspondente a cada uma das seguintes condicionais:

a) (p ˅ q) ˄ ~p → q b) (p ˄~q) ˄ (p → q) → t

04) Através da regra Modus Tollens, complete:

67

....................

)(~~

)(~)(

wt

wtqp

06- Validade de um Argumento Mediante Tabelas-Verdade

- Para verificar a validade do argumento P1, P2, P3, ..., Pn Ⱶ Q utilizando tabela-

verdade, deve-se:

1- Construir uma tabela-verdade com uma coluna para cada premissa e uma para

a conclusão.

2- Identificar as linhas onde os valores lógicos das premissas são verdades.

3- O valor lógico da conclusão nessas linhas também tem que ser verdade para

que o argumento seja válido. Se, em alguma dessas linhas o valor lógico da

conclusão for falsidade, dizemos que o argumento não é válido (sofisma).

Outra maneira de verificar se o argumento P1, P2, P3, ..., Pn Ⱶ Q é válido está em

construir a condicional associada (P1 ˄ P2 ˄ P3 ˄ ... ˄ Pn ) → Q, verificando se

essa condicional é tautológica.

Exemplos:

1) Verificar se o argumento p ˅ q, ~p Ⱶ p é válido.

p q ~p p ˅ q

V V F V

V F F V

F V V V

F F V F

Observe que as premissas p ˅ q e ~p apresentam valor lógico verdade na 3a

linha, porém, a conclusão p apresenta valor lógico falsidade, logo, o argumento

não é válido (sofisma).

68

2- Constatar se o argumento p → q, ~p ˅ q Ⱶ p → ~q é válido.

p q ~p ~q p → q ~p ˅ q p → ~q

V V F F V V F

V F F V F F V

F V V F V V V

F F V V V V V

Observe que as premissas p → q e ~p ˅ q apresentam valor lógico verdade nas

linhas 1, 3 e 4, porém, a conclusão p → ~q valor lógico falsidade, logo, o

argumento não é válido (sofisma).

3- Averiguar se o argumento p → r, p ˅ q, ~q Ⱶ r é válido.

p q r ~q p → r p ˅ q

V V V F V V

V V F F F V

V F V V V V

V F F V F V

F V V F V V

F V F F V V

F F V V V F

F F F V V F

Observe que as premissas p → r, p ˅ q e ~q apresentam valor lógico verdade

somente na 3a linha, e a conclusão r também apresenta valor lógico verdade logo,

o argumento é válido.

4- Verificar a validade do argumento:

Se 5 não é primo (~p), então 7 não é ímpar (~q)

mas 5 é primo (p)

logo, 7 é impar (q)

Colocando na forma simbólica: 5 é primo (p), logo, 5 não é primo (~p) e 7 é impar

(q), logo, 7 não é ímpar (~q), temos:

~p → ~q, p Ⱶ q

p q ~p ~q p → q

V V F F V

69

V F F V F

F V V F V

F F V V V

Observe que as premissas p → q e p apresentam valor lógico verdade somente

na 1a linha, e a conclusão q também apresenta valor lógico verdade, logo, o

argumento ~p → ~q, p Ⱶ q é válido.

07- Quantificadores

Note que 2x + 7 = 9 representa uma sentença aberta, logo, não temos condições

de considerar como proposição verdadeira ou falsa, contudo, se atribuídos

valores à variável x, passa-se ter condições de considerar como proposição

verdadeira ou falsa. Observe que quando escrevemos “Para todo valor x, temos

2x + 7 = 9 '' ou “Existe um valor x, tal que 2x + 7 = 9 '', podemos afirmar que a

primeira é uma proposição falsa e a segunda uma proposição verdadeira.

Seja o conjunto Vp = {x| x ϵ A ˄ f(x)}, onde A representa um conjunto não-vazio,

f(x) uma sentença aberta e Vp o conjunto-verdade. Quando Vp = A, podemos

afirmar:

1- “Para todo x de A, f(x)”

2- “Qualquer que seja x de A, f(x)”

Na lógica matemática representa-se este fato da seguinte maneira:

x A, f(x)

Quando temos uma sentença aberta f(x) em um conjunto A, o símbolo , citado à

variável independente (x), representa uma operação lógica que transforma essa

sentença aberta numa proposição que pode apresentar valor lógico verdade ou

falsidade, conforme f(x) exprime ou não uma condição universal no conjunto A.

Esta operação lógica recebe o nome de Quantificação Universal e o símbolo

de Quantificador Universal.

Quando temos um conjunto verdade do tipo Vp = {x| x ϵ A ˄ f(x)} (não-vazio), onde

f(x) representa uma sentença aberta e A um conjunto não-vazio, podemos dizer

70

que pelo menos um elemento do conjunto A satisfaz a sentença f(x), logo,

podemos assegurar:

1- “Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto A tal que f(x) é uma

proposição verdadeira (v)”

2- “Para algum x pertencente ao conjunto A, f(x) é uma proposição verdadeira

(v)”

Na lógica matemática representa-se este fato da seguinte maneira:

x A, f(x)

Quando temos uma sentença aberta f(x) em um conjunto A, o símbolo , citado à

variável independente (x), representa uma operação lógica que transforma essa

sentença aberta numa proposição que pode apresentar valor lógico verdade

quando Vp ou falsidade quando Vp = . Esta operação lógica recebe o nome

de Quantificação Existencial e o símbolo de Quantificador Existencial.

Exemplo:

- Encontre o valor lógico de cada uma das proposições:

a) x Z, x + 3 > 5 (Z conj. dos inteiros)

b) x Z, x + 3 > 5 (Z conj. dos inteiros)

c) x R, x2 - 3x +2 = 0 (R conj. dos reais)

Solução:

a) x = -1 b) x = 4 c) x = 1

-1 + 3 > 5 4 + 3 > 5 12 – 3.1 + 2 = 0

2 > 5 (F) 7 > 5 (V) -2 + 2 = 0

0 = 0 (V)

Exercício:

- Encontre o valor lógico de cada uma das proposições, sendo R o conjunto dos

reais:

a) x R, 3x - 4 = 11

71

b) x R, x2 = 2x

c) x R, x2 = 2x

d) x R, 3x - 4 = 11

Solução:

a) para x = 4 b) para x = -2 c) para x = 2 d) para x = 5

3.4 – 4 = 11 (-2)2 = 2.(-2) 22 = 2.2 3.5 – 4 = 11

12 – 4 = 11 4 = -4 (F) 4 = 4 (V) 15 - 4 = 11

8 = 11 (F) 11 = 11 (V)

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você definiu argumento, conceituou validade de um argumento,

citou o critério de validade de argumento, verificou a associação da condicional a

um argumento, alegou os argumentos válidos fundamentais, identificou e usou as

regras de inferência, conceituou quantificador e identificou os tipos de

quantificadores.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Caros estudantes,

Chegamos ao final do nosso curso sobre Lógica Matemática. Esperamos

que os objetivos da disciplina tenham sido alcançados por vocês. É importante

lembrar que esses assuntos estudados serão de grande importância para a

continuação dos seus estudos.

Anicio Bechara Arero.

BIBLIOGRAFIA

72

FEITOSA, Hércules de Araújo. PAULOVICH, Leonardo. Um Prelúdio à

Lógica. São Paulo: Editora UNESP, 2005.

ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São

Paulo: Nobel, 2008.

GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da

Computação. Ed. LTC, 2004.

ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico. Rio de Jameiro: Editora Campus,

2005.

CASTRUCCI, Benedito, Introdução à Lógica Matemática. São Paulo:

Nobel, 1984.

http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/nocoes-de-

logica/implicacao-logica.html#ixzz3QmLUZqWb

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dedutivo

mecaweb.com.br/eletronica/content/e_porta_logica