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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP
Lauro de Camargo Júnior
Um estudo sobre a abordagem de Matrizes no Caderno do Professor
do Programa “São Paulo faz Escola”
Mestrado Profissional em Educação Matemática
São Paulo
2010
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP
Lauro de Camargo Júnior
Um estudo sobre a abordagem de Matrizes no Caderno do Professor
do Programa “São Paulo faz Escola”
Trabalho final apresentado à Banca Examinadora como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sob a
orientação da Professora Doutora Silvia Dias
Alcântara Machado.
São Paulo
2010
Banca Examinadora ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data:_____________
Dedico este trabalho aos meus queridos
pais, Lauro e Neide e à minha estimada
amiga professora Cidália.
Agradecimentos
A Deus, por estar sempre presente em minha vida, iluminando os meus
caminhos e dando-me força para superar as dificuldades.
À professora doutora Silvia Dias Alcântara Machado, minha orientadora, pela
dedicação, paciência e confiança. Registro aqui o meu respeito e admiração.
Às professoras doutoras Bárbara Lutaif Bianchini, Carmen Teresa Kaiber e
Renata Rossini, pelas sugestões apresentadas no exame de qualificação que
muito contribuíram para o aprimoramento deste trabalho.
À minha esposa Cristiane, pelo apoio e compreensão.
À minha filha Laura, pelos momentos em que os compromissos fizeram com
que eu não pudesse lhe dar a atenção merecida.
Aos meus pais, Lauro e Neide, pelo carinho, total apoio e encorajamento,
fundamentais para a conclusão desse trabalho.
À minha irmã Roseli, pelo incentivo e carinho em todos os momentos.
Aos colegas do curso e do grupo GPEA, pela colaboração e companheirismo.
Aos colegas de trabalho de todas as escolas que lecionei durante o período do
curso, pelo apoio e incentivo.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, pela concessão da bolsa
de estudo.
Aos funcionários da Delegacia de Ensino de Osasco, em especial à equipe de
supervisores responsável pelo programa Bolsa-Mestrado e equipe do
Protocolo, pela cordialidade, paciência e apoio em todos os momentos em que
deles precisei.
Resumo
O presente trabalho relata uma pesquisa qualitativa cujo objetivo foi de
investigar como o Caderno do Professor de Matemática, material didático
integrante da Proposta Curricular do Estado de São Paulo implantada em 2008,
aborda o conteúdo de Matrizes. Para a coleta de dados, utilizei a metodologia
de análise de conteúdo no sentido de Bardin (2009). O corpus da pesquisa
constou de alguns documentos oficiais que regem o ensino de matemática, os
cadernos do Professor de Matemática de 2008 e 2009 e dois livros didáticos de
matemática para o Ensino Médio. Investiguei o assunto em sua forma explícita
e implícita nos cadernos, relacionando a abordagem apresentada com as
orientações desses documentos oficiais e comparando com a abordagem
apresentada nos livros didáticos escolhidos. O estudo do corpus possibilitou
constatar que a abordagem de matrizes nos cadernos se apresenta de acordo
com as propostas dos documentos oficiais que regem o ensino de matemática
no Ensino Médio; que a abordagem, de modo geral, assemelha-se com aquela
apresentada em um dos livros didáticos aprovados no PNLEM 2006, aquele
que teve uma maior preocupação de seguir as orientações de documentos
oficiais e que o caderno do professor de Matemática de 2009 apresentou
aprimoramentos em relação ao de 2008.
Palavras-Chave: Matrizes; Análise de Conteúdo; Caderno do Professor de
Matemática; Proposta Curricular do Estado de São Paulo 2008, Ensino Médio.
Abstract
This work reports on a qualitative research aiming to investigate how the
Caderno do Professor de Matemática, Mathematics educational material
comprised in the the Proposta Curricular do Estado de São Paulo (Curriculum
Proposal of the Sao Paulo State) launched in 2008, approaches the topic of
Matrices. To collect data for the study I used the content analysis methodology,
as proposed by Bardin (2009). The resulting corpus consists of some official
documents that regulate the teaching of Mathematics in Brazil, the 2008 and the
2009 editions of the aforementioned Caderno, as well as two high school
textbooks of Mathematics. I researched the topic in its explicit and implicit forms
in the Caderno, comparing the observed approach with the guidelines seen in
the official documents, and with the approaches presented by the textbooks.
The analysis of the corpus allowed me to conclude that: i) the approach of the
matrices set forth in the Cadernos is in accordance with the guidelines
proposed by the official documents that regulate the teaching of Mathematics in
Brazilian high school education; ii) such approach, in general, closely resembles
the approach used by one of the textbooks approved by the 2006 edition of the
PNLEM (Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio - Brazilian
Program of High School Textbooks), the one that displayed a greater concern in
following the official recommendations; iii) the 2009 edition of the Cadernos
introduces significant improvements as compared to the previous 2008 edition.
Keywords: Matrices; Content Analysis; Caderno do Professor de Matemática;
Proposta Curricular do Estado de São Paulo 2008; High School Education.
Índice
Introdução....................................................................................................... 12
Capítulo I: Problemática e Objetivo .............................................................. 14
Capítulo II: Escolhas teórico-metodológicas............................................... 19
Capítulo III: Análise do corpus ...................................................................... 24
Análise dos documentos oficiais................................................................... 24
Análise dos livros didáticos........................................................................... 28
Análise do livro Matemática – Ensino Médio, de Smole e Diniz (2003) ........ 29
Análise do livro Matemática – Ciência e Aplicações, de Iezzi et al. (2004) .. 41
Considerações das análises dos livros didáticos.......................................... 51
Capítulo IV: Análise dos Cadernos do Professor de 2008 e 2009.............. 53
Sobre os Cadernos do Professor.................................................................. 53
O conteúdo Matrizes no Caderno do Professor de 2008.............................. 54
O conteúdo Matrizes no Caderno do Professor de 2009.............................. 68
Capítulo V........................................................................................................ 82
Referências..................................................................................................... 87
Anexos ............................................................................................................ 91
Quadros
Quadros referentes ao livro Matemática – Ensino Médio, 2ª série (Smole e Diniz, 2003)
Quadro 1 – Índice da parte 2 – Álgebra..................................................... 30
Quadro 2 – Definição de matriz................................................................. 31
Quadro 3 – Matriz genérica........................................................................ 31
Quadro 4 – Seção “O Elo Matemática”...................................................... 32
Quadro 5 – Seção “Flash matemático”...................................................... 34
Quadro 6 – Problemas e exercícios........................................................... 35
Quadro 7 – Seção “Invente você”............................................................... 36
Quadro 8 – Seção “Invente você................................................................ 37
Quadro 9 – Exercícios com uso de calculadora......................................... 39
Quadros referentes ao livro Matemática – Ciência e aplicação – 2ª série (Iezzi et al., 2004)
Quadro 10 – Sumário do segundo volume Livro de Iezzi et al. ................. 43
Quadro 11 – Tabelas numéricas – exemplos contextualizados................. 44
Quadro 12 – Obtenção de uma matriz por uma regra de formação........... 45
Quadro 13 – Exercício contextualizado...................................................... 45
Quadro 14 – Exercício articulado com o conteúdo trigonometria............... 46
Quadro 15 – Multiplicação de matrizes: abordagem contextualizada......... 47
Quadro 16 – Exercício contextualizado...................................................... 48
Quadro 17 – Conteúdos de matemática do Ensino Médio......................... 55
Quadros referentes ao Caderno do Professor de 2008
Quadro 18 – Unidades do 2° bimestre da 2ª série do Ensino Médio.......... 56
Quadro 19 – Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 1........................... 58
Quadro 20 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 2............................ 60
Quadro 21 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 3............................ 61
Quadro 22 - Situação de Aprendizagem 2 – Atividades 1 e 2.................... 64
Quadro 23 - Situação de Aprendizagem 2 – Atividade 3............................ 65
Quadros referentes ao Caderno do Professor de 2009
Quadro 24 - Conteúdos de matemática do Ensino Médio........................ 70
Quadro 25 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 1 – Problema 1.... 72
Quadro 26 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 1 – Problema 2..... 73
Quadro 27 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 3........................... 74
Quadro 28 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 4........................... 75
Quadro 29 - Situação de Aprendizagem 4 – Atividade 1 – Cálculo da
área de um polígono................................................................................. 77
Quadro 30 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 4 – exemplos........ 78
Quadro 31 - Situação de Aprendizagem 4 – Atividade 1 – Problema 2..... 79
12
Introdução
O interesse em desenvolver uma pesquisa sobre o tema “matrizes”
surgiu após ingressar no curso de Mestrado Profissional em Educação
Matemática da PUC/SP. Ao integrar-me ao Grupo de Pesquisa em Educação
Algébrica – GPEA – que desenvolve o projeto “Qual a álgebra a ser ensinada
na formação de professores?”, me interessei pelo subprojeto “Em busca de
situações propicias para aprendizagem de conceitos básicos de Álgebra
Linear”.
Como professor do Ensino Médio, sempre abordei o conteúdo de
Matrizes segundo o modelo de ensino orientado ao uso de técnicas de
algoritmos, de forma estanque e sem conexão com outros conteúdos, tendo
por referência o livro didático que utilizava em minhas aulas. Considerava esse
conteúdo fácil de ensinar, mas preocupava-me um questionamento feito pelos
alunos do “para que serve?”, demonstrando que esta abordagem não estava
sendo significativa para os alunos.
Por meio de reuniões do grupo GPEA, os membros sugeriram-me
leituras, através das quais pude constatar que a pesquisa de SANCHES (2002)
trazia informações que corroboram minhas impressões iniciais sobre o ensino
de matrizes, além de outras contribuições que vieram a me motivar na
continuidade desse trabalho.
No ano de 2008, enquanto eu definia o meu projeto de pesquisa, a
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo implanta uma nova Proposta
Curricular denominada “São Paulo faz escola”, elaborando um material
endereçado aos professores de sua rede de ensino – os Cadernos do
Professor- destacando nestes a contextualização dos conteúdos e a articulação
dos mesmos.
Decidi, então, orientar esta pesquisa com o objetivo de investigar como
os Cadernos do Professor de Matemática abordam o conteúdo de Matrizes,
buscando verificar as abordagens apresentadas, se estas seguem sugestões
13
dos atuais documentos oficiais que regem o ensino de matemática e se
apresentam inovações em relação aos livros didáticos.
Este trabalho está dividido em cinco capítulos, descritos da seguinte
forma:
• No capítulo I, apresento a problemática e o objetivo que nortearam o
desenvolvimento da pesquisa, evidenciando os motivos que levaram à
escolha por esse tema e a sua importância.
• No capítulo II, apresento a metodologia de pesquisa baseada na Análise
de Conteúdo, segundo Bardin (2009), os procedimentos metodológicos
adotados e o aporte teórico que fundamentou o desenvolvimento desta
pesquisa.
• No capítulo III, apresento as análises dos documentos oficiais e dos
livros didáticos selecionados para esta pesquisa.
• O capítulo IV é destinado à análise do Caderno do Professor de 2008 e
2009 que tratam do ensino de matrizes.
• As considerações finais são expostas no capítulo V, destacando alguns
resultados obtidos na análise dos Cadernos do Professor de 2008 e
2009, dos documentos oficiais e dos livros didáticos. Nesse capítulo,
faço minhas considerações e apresento algumas reflexões.
14
Capítulo I
Problemática e Objetivo
Constantemente o ensino da Matemática no Brasil tem sido noticiado
mediante o baixo desempenho dos alunos nas avaliações institucionais
propostas por diferentes esferas educacionais. Segundo reportagem veiculada
no site do jornal O Estado de São Paulo em 15 de maio de 2008, o IDESP -
Índice de Desenvolvimento da Educação de São Paulo - mostra que as escolas
estaduais paulistas estão longe de alcançar o nível de ensino de países
desenvolvidos, conforme pretendido pela Secretaria da Educação de São
Paulo até 2030. De acordo com dados dessa Secretaria, a pior situação
encontra-se no Ensino Médio, em que o índice é de 1,41 ainda mais baixo que
os do Ensino Fundamental I cujo IDESP é de 3,23 e do Fundamental II de
IDESP 2,541. Em relação ao SARESP - Sistema de Avaliação de Rendimento
Escolar do Estado de São Paulo - aplicado em 2007, o site do jornal Folha
Online, de 13 de março de 2008, noticiou que “71% dos alunos do Ensino
Médio apresentam deficiências em realizar operações básicas”, segundo dados
da Secretaria da Educação.
Diante desse cenário, pesquisadores investigam as causas desse baixo
desempenho dos alunos em Matemática e dentre as muitas pesquisas, há
aquelas que buscam metodologias diferenciadas de ensino para superar essas
dificuldades, tais como as de Ponte, Brocardo, Oliveira (2003) e de Chevallard,
Bosch e Gascon (2001). Para esses e outros pesquisadores, o ensino centrado
em procedimentos mecânicos, sem conexão com outros conceitos
matemáticos ou de outras disciplinas é apontado como uma das causas das
dificuldades enfrentadas na aprendizagem. Nele, o foco da aprendizagem está
na memorização, não se preocupando com a construção de significados dos
1 De acordo com o site do IDESP, o índice pretendido para o Ensino Médio até o ano de 2030 é 5,0, semelhante ao nível de ensino de países desenvolvidos. Para saber mais, consulte http://idesp.edunet.sp.gov.br/Arquivos/NotaTecnicaPQE2008.pdf.
15
conceitos pelo aluno. Contrapondo este fato, percebe-se nas pesquisas que a
educação atual passa por um momento de reflexão acerca das possibilidades
de um ensino mais significativo. Esta reflexão, justamente, está presente nos
documentos oficiais que regem a educação.
Um desses documentos são os Parâmetros Curriculares Nacionais do
Ensino Médio – PCNEM (BRASIL, 2002), que prescrevem no ensino a
prevalência da perspectiva interdisciplinar e a contextualização dos
conhecimentos, visto que a integração dos diferentes conhecimentos pode criar
as condições necessárias para uma “aprendizagem motivadora”. Esta
orientação também está presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais “+” -
PCN+ (BRASIL, 2002), direcionada ao ensino de Matemática:
[…] Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua formação (BRASIL, 2002, p. 92).
Ao confrontar a situação apontada pelo IDESP e essas sugestões dos
parâmetros com minha experiência profissional, vieram à tona alguns
questionamentos sobre os conteúdos de Matemática do Ensino Médio e a
forma de abordagem dos mesmos. Por exemplo, sempre abordei o conteúdo
de Matrizes segundo o modelo de ensino orientado pelo uso de técnicas de
algoritmos e o apresentava de forma estanque e sem conexão com outros
conteúdos matemáticos ou de outras disciplinas, tendo por referência o apoio
no livro didático que tinha à disposição. Considerava esse conteúdo fácil de
ensinar e motivador do interesse dos alunos. Quando questionado pelos alunos
do “para que serve?”, respondia que aquele conteúdo poderia ajudá-los
futuramente numa graduação na área de Ciências Exatas, já que o havia
estudado na disciplina de Álgebra Linear durante as graduações de Matemática
e Ciência da Computação. Na realidade, essa resposta não convencia nem
mesmo a mim, pois estava claro que alguns métodos de resolução de sistemas
lineares utilizavam a representação matricial, mas, no entanto, haviam outros
métodos para tal que não utilizavam essa representação e, assim, me flagrava
16
questionando a inserção desse conteúdo no currículo de Matemática do Ensino
Médio.
A respeito desse ensino de forma estanque e sem conexão com outras
áreas do conhecimento, MATOS e SERRAZINA (1996) argumentam que:
[...] A Matemática tem de deixar de ser um domínio isolado das outras áreas de conhecimento, ancorada na lógica. A Educação Matemática em especial não se destina a formar matemáticos, mas sim pessoas que possuam uma cultura matemática que lhes permita aplicar a Matemática, nas suas atividades e na sua vida diária (MATOS e SERRAZINA, 1996, p.23)
Ao ingressar no curso de Mestrado Profissional em Educação
Matemática da PUC/SP, beneficiado pelo programa de bolsa de estudo para os
professores da rede da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, tive
condições de poder refletir sobre minha prática ao me aprofundar nos estudos
sobre Educação Matemática. Durante o curso, tive a oportunidade de
apresentar um seminário na disciplina de Geometria com o tema: A Geometria
na Computação Gráfica. A escolha pelo tema proposto ocorreu por uma
curiosidade em relação à articulação entre diferentes conteúdos dos cursos da
minha formação. Ao pesquisar livros de Computação Gráfica utilizados no
Ensino Superior, qual não foi a minha surpresa ao constatar a grande utilização
de matrizes na transformação de imagens no computador. Após a
apresentação deste seminário, senti-me incentivado a continuar a pesquisa
sobre as matrizes com o objetivo não somente de responder a questão dos
alunos acerca do conteúdo, mas aprimorar-me profissionalmente.
Integrei-me ao Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica – GPEA –
onde me interessei principalmente pelo subprojeto “Em busca de situações
propicias para aprendizagem de conceitos básicos de Álgebra Linear”. Dentre
as leituras sugeridas pelos membros do projeto, pude constatar que a pesquisa
de SANCHES (2002) traz informações que corroboravam minhas impressões
iniciais sobre o ensino de matrizes, pois essa autora analisou alguns livros
didáticos do Ensino Médio focando o tema de meu interesse. De acordo com
Sanches, nos livros didáticos
17
[...] os conceitos são apresentados formalizados, a organização do conteúdo é fechada e em sua forma final, os exemplos utilizados são puramente algébricos sem aplicações práticas, seguidos de exercícios de fixação do tipo fechado (SANCHES, 2002, p.102).
Em contraposição a essas conclusões, a autora cita resultados de
pesquisas de Glidden2 (1990) e de Alexander3 (1985) que comprovam uma
melhoria na aprendizagem dos alunos sobre matrizes, quando o assunto é
utilizado como ferramenta na resolução de problemas contextualizados.
Em 2008, na época em que definia meu projeto de pesquisa para o
Trabalho de Conclusão do Mestrado Profissional, a Secretaria de Educação do
Estado de São Paulo4 iniciou a implantação de uma nova Proposta Curricular
(São Paulo, 2008a). O objetivo declarado dessa proposta é de melhorar a
qualidade de ensino e propor uma base comum para toda a sua rede. Para
atingir este objetivo, foi elaborado um material dirigido especialmente aos
professores, organizado em publicações bimestrais, para ser utilizado durante
o ano letivo: os Cadernos do Professor. Neste material, os temas escolhidos
para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre seguiram orientações
contidas na nova proposta e, segundo a Secretaria da Educação, não diferem,
de maneira geral, do que é apresentado nos diversos sistemas de ensino. A
inovação pretendida refere-se à abordagem dos temas que é sugerido nos
Cadernos de cada um dos bimestres, destacando, entre outros elementos, a
contextualização dos conteúdos e a articulação dos mesmos.
O estudo de Matrizes é abordado nos Cadernos do professor, de 2008 e
2009, no segundo bimestre do segundo ano do Ensino Médio, junto com noção
de determinante de uma matriz quadrada e da resolução e discussão de
sistemas lineares.
Ora, com esse material, não só pela relevância da publicação, mas
também como um componente disponível para o exercício de meu trabalho
profissional como professor da rede estadual paulista, surgiu uma oportunidade
de observar de que maneira o tema de matrizes se engajava na disposição de
ensino contextualizado e articulado para o qual acenava a Proposta Curricular
2GLIDDEN, P.L. (1990). From graphics to matrices. Mathematics Teacher. Vol 83, nº 2, p. 127-130 3ALEXANDER, D. C. (1985). A matrix application technique for secondary level mathematics. Mathematics Teacher. Vol 78, nº 4, p. 282-285 4 A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo também será denominado por SEE/SP.
18
e, por consequência, como absorvia as inovações de pesquisas em Educação
Matemática com as quais eu vinha tendo contato. Assim, considerando minhas
indagações iniciais acerca do ensino de matrizes, o material elaborado para a
implantação da nova Proposta Curricular de 2008 do Estado de São Paulo e a
análise de documentos institucionais e pesquisas que abordam o ensino e a
aprendizagem de Matemática em geral e de matrizes em particular, levantei a
seguinte questão:
• Como os Cadernos do Professor de 2008 e 2009 do projeto São Paulo
faz escola abordam Matrizes?
Essa questão se desdobra em outras mais específicas:
• Os Cadernos do Professor de Matemática de 2008 do Ensino Médio
abordam matrizes seguindo as recomendações dos documentos oficiais
atuais sobre o ensino de Matemática?
• A abordagem do conteúdo de Matrizes no Caderno do Professor de
Matemática de 2008 segue a dos livros didáticos sugeridos pelo PNLEM
de 2006?
• Houve mudanças na abordagem do conteúdo de Matrizes dos Cadernos
do Professor de Matemática de 2008 e nos de 2009?
Assim, a partir desses questionamentos, o trabalho de investigação que
ora se apresenta busca provocar reflexões sobre ensino de Matemática em
geral e especificamente sobre o ensino de matrizes no Ensino Médio e que
estas venham a servir de incentivo para outras pesquisas, contribuindo para
um constante aprimoramento.
19
Capítulo II
Escolhas teórico-metodológicas
Neste capítulo apresento a metodologia, as idéias teóricas sobre
abordagem e os procedimentos metodológicos adotados em meus estudos.
Para responder as questões de pesquisa, realizei uma pesquisa
qualitativa do tipo documental baseado na Análise de Conteúdo, conforme
descrito por Bardin (2009). A autora designa sob o termo análise de conteúdo
Um conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter por procedimentos sistemáticos e objectivos de descrição do conteúdo das mensagens indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens (BARDIN, 2009, p.44).
Segundo a autora, as inferências citadas podem responder a dois tipos
de problemas: a) o que é que conduziu a um determinado enunciado? e b)
quais conseqüências um determinado enunciado provavelmente provocará?
Bardin considera que as pesquisas da análise de conteúdo se organizam em
torno de três fases:
• A pré-análise – que tem por objetivo a organização, a qual
corresponde ao período da escolha dos documentos, a
formulação de hipóteses e objetivos e a elaboração de
indicadores que fundamentem a interpretação final. Diz respeito,
especialmente, ao conjunto de documentos selecionados para
serem analisados, o que denominamos de corpus.
• A exploração do material – fase em que ocorre um estudo
aprofundado sobre o corpus, sendo orientado pelos indicadores e
hipóteses estabelecidos na pré-análise.
• O tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação – os
resultados em bruto são tratados de maneira a serem
20
significativos e válidos. Nesta fase o pesquisador pode propor
inferências e adiantar interpretações de acordo com os objetivos
previstos ou que digam respeito a outras descobertas. Os
resultados obtidos, a confrontação sistemática e as inferências
alcançadas podem servir de base para uma nova análise, que se
utilize de uma nova dimensão teórica ou praticada por meio de
uma técnica diferente.
É importante notar que essas fases não são estanques; são articuladas
e, muitas vezes, há necessidade de se retornar a organização preliminar para
incluir um documento, que se fez necessário para melhor compreensão do
assunto.
Passo a seguir a discriminar o que encontrei ao investigar o que existe
na literatura de Educação Matemática sobre o ensino e a aprendizagem de
Matrizes, pois, segundo Umberto Eco, em seu livro “Como se faz uma tese”, o
estudo deve dizer do objeto algo que ainda não foi dito ou rever sob uma óptica
diferente o que já se disse (ECO, 1996 p.22). Nesse sentido, o resultado das
incursões à literatura especializada foi sistematizado na exposição a seguir.
Um sobrevoo sobre pesquisa de Educação Matemática que trataram das matrizes como objeto de ensino
A procura de pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem de matrizes
em sites de Universidades, em revistas científicas, e livros de Educação
Matemática revelou uma escassa produção acerca desse tema. Esse fato pode
ser consequência de vários fatores, dentre eles, o de que os professores de
Matemática não enfrentam dificuldade em lecionar o conteúdo, como era meu
caso, mesmo o fato de que, embora as matrizes façam parte do currículo de
Matemática do Ensino Médio, elas não são consideradas um assunto prioritário
nesse nível de ensino. Desse modo, como resultado dessas fase de
investigação, detalho a seguir três trabalhos que, de alguma forma, tornaram-
se relevantes nesse levantamento bibliográfico. São eles: a dissertação de
21
Sanches (2002) e a tese de Karrer (2006) e o artigo de Carvalho (2009) na
Revista do Professor de Matemática nº 70.
Em sua dissertação, Sanches realizou uma pesquisa empírica com o
objetivo de verificar a eficácia de um método sugerido nas pesquisas de
Glidden(1990) e de Alexander(1985), o qual introduz matrizes por meio de
situações contextualizadas, via resolução de problemas. Interessante notar que
a própria autora, na apresentação, admite que encontrou poucos trabalhos
sobre o ensino e aprendizagem de matrizes, o que foi corroborado por minha
busca conforme já apresentado anteriormente.
A autora apresenta a analise de dois grupos de estudantes, um
experimental e outro de controle, num total de 105 alunos de quatro cursos
técnicos profissionalizantes, com idades variando entre 15 a 18 anos,
matriculados na segunda série do Ensino Médio de uma escola particular do
ABC Paulista. O pré-teste consta de dois instrumentos, um teste formal e outro
não-formal, aplicados simultaneamente durante aulas de Matemática antes da
introdução do estudo de Matrizes. O teste não-formal consta de quadrados
mágicos e de outros problemas que utilizam conhecimento prévio do aluno. O
teste formal consta de problemas contextualizados que envolvem outros
conteúdos, como geometria, análise combinatória e vetores e que cuja
resolução é facilitada pela utilização de matrizes.
Ao grupo controle o conteúdo de Matrizes foi apresentado na forma
tradicional, isto é, definição, o desenvolvimento de fórmulas e exercícios de
fixação. Já os alunos do grupo experimental foram submetidos a uma
intervenção com dinâmicas de grupo, utilização de situações-problemas
elaboradas a partir de conhecimentos anteriores dos alunos e realização de
atividades interdisciplinares. No pós-teste os instrumentos foram novamente
aplicados aos dois grupos. Sanches concluiu que, após a utilização de
estratégias diferenciadas de ensino, os sujeitos do grupo experimental
apresentaram resultados melhores do que os do grupo controle.
De fato, o resultado dessa pesquisa sugere a pertinência de se tentar uma
abordagem diferenciada, via resolução de problemas, por exemplo, para propiciar
uma aprendizagem significativa do estudante quando do estudo de Matrizes.
22
Karrer (2006) teve como objetivo de sua pesquisa o estudo de questões
relativas ao ensino e à aprendizagem de conceitos da Álgebra Linear no Ensino
Superior. Embora a autora não tenha estabelecido como assunto de
investigação o ensino de matrizes, como as mesmas são obrigatoriamente
estudadas em Álgebra Linear, julguei pertinente o estudo de sua tese.
Em seus estudos preliminares, Karrer analisou livros didáticos de
Álgebra Linear, e verificou que os livros mais recentes tratavam de aplicações
da Álgebra Linear em outras áreas, principalmente de aplicações gráficas, o
que naturalmente despertou meu interesse, pois conforme descrevi
anteriormente, as matrizes aparecem muito nessas aplicações.
Inspirado nas constatações da autora sobre os livros didáticos
analisados, empreendi uma investigação em dois dos livros analisados em sua
pesquisa: Esses livros foram: Álgebra Linear e suas Aplicações, de Lay (1997)
e Álgebra Linear com Aplicações, de Anton e Rorres (2001). O estudo desses
livros me levou a perceber que as aplicações envolvendo matrizes são
abrangentes e que algumas destas podem, quando devidamente adaptadas ao
Ensino Médio, ser utilizadas no ensino de matrizes, proporcionando um ensino
de forma integrada e articulada.
Carvalho (2009), em seu artigo “Uma representação matricial para o
algoritmo de Euclides”, dá um exemplo de contextualização da representação
matricial intramatemática, e argumenta que o emprego de matrizes em problemas
interessantes deveria ser encorajado no Ensino Médio, evitando apresentar as
definições e noções do cálculo matricial sem empregá-los em problemas
significativos. Assim, a leitura de Carvalho reafirmou a possibilidade de tratar o
ensino de matrizes de uma forma mais motivadora e significativa para o aluno.
O estudo das pesquisas tanto de Carvalho (2009), como de Sanches
(2002) me convenceram da importância da forma de abordagem no ensino de
matrizes para a obtenção de uma aprendizagem significativa5. Assim, esse
ponto de vista estará dirigindo minhas análises dos Cadernos do Professor.
5 Segundo Ausubel, uma aprendizagem é significativa quando ocorre um relacionamento entre o novo conhecimento e algum aspecto essencial da estrutura cognitiva do sujeito. Na interação entre as estruturas preexistentes e a nova aprendizagem, há influência de conhecimentos já adquiridos, servindo como ponto de ancoragem para o novo conhecimento, que também são modificados em função da nova informação (Ausubel apud Moreira, 2006).
23
Por sua vez, a leitura da tese de Karrer (2006), especialmente da análise
dos livros didáticos de Álgebra Linear, me sugeriu a verificação de como os livros
didáticos de Matemática do Ensino Médio tratavam de aplicações de matrizes. De
alguma forma, pareceu-me que tal investigação contribuiria sensivelmente para a
análise dos Cadernos do Professor, permitindo uma comparação da apresentação
do conteúdo de Matrizes nos Cadernos e nos livros didáticos.
Procedimentos metodológicos
Nesta seção, aponto os procedimentos metodológicos utilizados para
responder as questões de minha pesquisa.
Na fase da pré-análise, fiz um levantamento e seleção de documentos
oficiais atuais para me inteirar sobre propostas e tendências regentes no
Ensino Médio. Além desse material oficial, selecionei alguns livros didáticos de
matemática do Ensino Médio e bem como os Cadernos do Professor
distribuídos na rede estadual de São Paulo durante todo o ano de 2008 e 2009.
Assim o corpus desta análise documental se constitui dos Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM (BRASIL, 1999); dos PCN+
(BRASIL, 2002), das Orientações Curriculares para o Ensino Médio – OCEM
(BRASIL, 2006), da Proposta Curricular do Estado de São Paulo – Matemática
(SÃO PAULO, 2008a) e dos Cadernos do Professor de Matemática do Ensino
Médio distribuídos no ano de 2008 e 2009, além de dois livros didáticos do
Ensino Médio.
Ao mesmo tempo a participação no GPEA me proporcionou a
oportunidade de coletar outras informações relevantes ao tema de pesquisa,
contribuindo para a formulação de hipóteses e delimitar os objetivos do trabalho,
além de propiciar a maturação da pesquisa e da trajetória de investigação.
No capítulo seguinte, passei para a fase de exploração do material, onde realizei uma leitura criteriosa de todo o corpus, orientado por minhas
questões de pesquisa.
24
Capítulo III
Análise do corpus
A análise do corpus foi dividida em dois capítulos. Neste capítulo,
exponho a análise dos documentos oficiais selecionados, bem como a análise
de livros didáticos do Ensino Médio. No 4° capítulo, apresento a análise dos
Cadernos do Professor de Matemática de 2008 e 2009, a fim de dedicar
especial atenção ao vínculo dessa análise com minhas questões de pesquisa.
Análise dos documentos oficiais
Inicialmente, na análise desses documentos, decidi situar a organização
do Ensino Médio atual no Brasil, o que, em decorrência, leva a procura de
referenciais sobre a perspectiva do ensino da Matemática no que se refere à
abordagem de ensino e seleção dos conteúdos. Dado o objeto de pesquisa,
esse material selecionado foi investigado no sentido de buscar evidências do
ensino de Matrizes nesses documentos.
Assim, analisei os seguintes documentos oficiais: os “Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio” – PCNEM (BRASIL, 1999), “PCN+”
(BRASIL, 2002), “Orientações Curriculares para o Ensino Médio” (BRASIL,
2006) e a “Proposta Curricular do Estado de São Paulo – Matemática – Ensino
Fundamental e Médio” – PCESP (SÃO PAULO, 2008a). Cumpre ressaltar que,
embora seja citada, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei
9.394/96), doravante denominada LDB, não pertence ao corpus desta
pesquisa, e portanto, não mereceu uma análise em profundidade.
De acordo com os PCN+, a LDB, propiciou uma reformulação do
currículo do Ensino Médio, conferindo-lhe uma nova identidade. Na perspectiva
da nova Lei, o Ensino Médio, como parte da educação escolar, deverá vincular-
se ao mundo do trabalho e à prática social. A finalidade do Ensino Médio é
determinada no Art. 35 dessa Lei:
25
Art. 35. “O ensino médio, etapa final da educação básica, com duração mínima de três anos, terá como finalidades: I - a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; II - a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; III - o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico; IV - a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prática no ensino de cada disciplina.” (BRASIL, 2002, p. 33).
Segundo os PCNEM (1999), a concepção da preparação para o trabalho
descrita na LDB (Art. 35) destacará a relação da teoria com a prática e a
compreensão dos processos produtivos enquanto aplicações das ciências, em
todos os conteúdos curriculares, não estando vinculada a nenhum componente
curricular em particular. Tal relação, por conseguinte, é reafirmada na PCESP
(2008), citando novamente a LDB, que determina que essa relação se dê em
cada disciplina do currículo, uma vez que boa parte dos problemas de
qualidade do ensino decorre da dificuldade dos alunos em destacar a dimensão
prática do conhecimento, tornando-o verbalista e abstrato. Enfim, a relação
teoria e prática é mencionada em todos os documentos analisados.
Os PCNEM apontam como um dos pressupostos da organização
curricular do Ensino Médio a
[...] abertura e sensibilidade para identificar as relações que existem entre os conteúdos do ensino e das situações de aprendizagem e os muitos contextos de vida social e pessoal, de modo a estabelecer uma relação ativa entre o aluno e o objeto do conhecimento e a desenvolver a capacidade de relacionar o aprendido com o observado, a teoria com suas conseqüências e aplicações práticas (BRASIL, 1999, p.74).
Ainda no aspecto curricular, os PCNEM citam que o Art. 26 da LDB
determina a obrigatoriedade do estudo de Matemática e outros conhecimentos,
apontando, porém, para um planejamento ou desenvolvimento curricular de
forma a superar a organização por disciplinas estanques e destacar a
integração e articulação dos conhecimentos (BRASIL, 1999, p.17).
26
De acordo com os PCN+ (2002), no Ensino Médio, a Matemática deve
ser compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para
a formação de todos os jovens, que contribui para a construção de uma visão
de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades
que deles serão exigidas ao longo da vida social e profissional (BRASIL, 2002,
p. 92). O seu ensino, no entanto, não deve ter um enfoque meramente
disciplinar, segmentado, compartimentizado. Segundo os PCNEM (1999), a
atual proposta de reforma curricular estabelece que no ensino prevaleça a
perspectiva interdisciplinar e a contextualização dos conhecimentos,
contribuindo para que, gradativamente se supere o tratamento estanque que
caracteriza o conhecimento escolar.
Os estudos realizados permitem concluir que os documentos oficiais de
âmbito nacional propõem uma articulação no ensino da Matemática no Ensino
Médio com temas atuais da ciência e tecnologia e um esforço na superação do
ensino de forma estanque e segmentado utilizando uma perspectiva
interdisciplinar. Além disso, esses documentos sugerem que os estudos nessa
área devem levar em conta que a Matemática é uma linguagem de expressão e
comunicação para diversas ciências e que permitem compreender os princípios
científicos presentes nas tecnologias e associá-las aos problemas que se
propõe solucionar aplicando aqueles princípios científicos a situações reais ou
simuladas.
Segundo os PCNEM (1999), esta visão atende às duas dimensões do
Ensino Médio determinadas pela LDB e exemplificam que ao operar um
algoritmo, o estudante precisa entender que está diante de uma sentença da
linguagem matemática que representa uma leitura e escrita da realidade ou de
uma situação desta e que esta possibilita o desenvolvimento de competências
básicas, características da dimensão de preparação para prosseguimento de
estudos. Por outro lado, aponta que o mesmo algoritmo seja um instrumento
que possibilite a solução de um problema concreto, que pode auxiliar na etapa
de planejamento, gestão ou produção de um bem, competências
características da dimensão de preparação para o trabalho (BRASIL, 1999, p.
16-17).
27
No que tange à estruturação curricular, os documentos analisados
organizam o ensino da Matemática em diferentes temas ou blocos. Nos PCN+
(2002), os conteúdos matemáticos podem ser sistematizados em três eixos ou
temas estruturadores, sendo orientado o desenvolvimento dos mesmos de
forma concomitante e articulada nas três séries do ensino médio. Nas OCNEM
(2006), os conteúdos estão organizados em blocos, o que segundo as
orientações desse documento não significa que os conteúdos ali presentes
devam ser trabalhados de forma estanque, mas, ao contrário, deve-se também
desenvolvê-los de forma articulada constantemente (BRASIL, 2006, p.70).
Quanto aos conteúdos específicos, os PCN+ (2002) não fazem
nenhuma referência ao estudo de Matrizes. Existe uma citação implícita
quando o documento aborda o estudo de equações polinomiais e de sistemas
lineares, sugerindo estender os conhecimentos que os alunos possuem sobre a
resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas para sistemas
lineares 3 por 3, aplicando esse estudo à resolução de problemas simples de
outras áreas do conhecimento (BRASIL, 2002, p.122).
Ainda no estudo de sistemas lineares, as OCEM (2006) sugerem o
abandono da regra de Crammer na resolução de sistemas de equação 3x3,
alegando ser um procedimento custoso (no geral, apresentado sem
demonstração, e, portanto de pouco significado para o aluno), limitado (só
permite resolver os sistemas lineares quadrados com solução única) e também
dispensam o estudo de determinantes (BRASIL, 2006, p.78).
A PCESP (2008) justifica a inclusão do estudo das matrizes pela ampla
utilização na programação de computadores e salienta que esse conteúdo seja
realizado dentro do componente Tratamento da Informação, eixo que completa
a atualização curricular proposta (SÃO PAULO, 2008a, p. 47). Interessante
observar que apesar de todas as restrições mencionadas ao ensino de
determinantes e à regra de Crammer pelas OCEM, o estudo de Matrizes não é
citado nessa lista. Ao contrário, este é um dos poucos temas mencionados na
atual proposta estadual, ainda que de forma superficial e sendo justificada a
sua inclusão pela articulação deste conteúdo com aplicações da tecnologia.
Ao término dessa análise, descrevendo um percurso que partiu de uma
visão global para chegar a uma específica, é possivel afirmar que esses
28
documentos propõem uma abordagem de ensino pautada: na contextualização,
na interdisciplinaridade, no ensino através de situações-problema e na relação
teoria-prática (aplicabilidade).
Análise dos livros didáticos
Apesar de Sanches (2002) ter realizado uma análise de livros didáticos
em sua pesquisa, considerei necessária uma nova análise e explicito por quais
razões: primeiro, porque os livros analisados pela autora provavelmente
encontram-se defasados em relação às orientações dos documentos oficiais
atuais, que foram publicados posteriormente à publicação dos livros
analisados. Segundo, para verificar se o conteúdo de estudo apresentado em
recentes publicações seguiu orientações desses documentos. E terceiro,
porque julguei pertinente um exame cuidadoso para fins de comparação
posterior com o material apostilado da SEE/SP, isto é, os Cadernos do
Professor.
O critério para a seleção dos livros baseou-se na relação dos livros
aprovados na avaliação do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio -
PNLEM/2006; isto é, a escolha partiu de uma lista consagrada oficialmente e
que precede à implementação dos Cadernos do Professor. O PNLEM é um
programa, implantado em 2004, que prevê a distribuição de livros didáticos
para os alunos do Ensino Médio de todo o país, sendo essas obras escolhidas
pelos professores nas escolas através de um catálogo impresso, enviado pelo
Ministério da Educação (MEC). De acordo com o site do MEC, a distribuição
desses livros ocorre de forma progressiva aos alunos do Ensino Médio de todo
o Brasil, e o intervalo para uma nova escolha é de três anos. Em 2006, ocorreu
a primeira participação do estado de São Paulo na distribuição dos livros
aprovados pelo PNLEM, sendo que as coleções escolhidas permaneceram a
mesma até 2008, havendo, nesse período, somente reposição dos livros
escolhidos.
No ano de 2006 foram propostas 11 coleções de livros didáticos de
Matemática, das quais duas foram selecionadas por cada escola da rede
estadual de São Paulo (cf. Anexo 2).
29
Para efeito de análise, selecionei os dois livros escolhidos pela escola
estadual em que lecionava em 2006. São eles:
• SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática - Ensino Médio. 4. ed. ref. São
Paulo: Editora Saraiva, 2003. v. 2, 476 p.
• IEZZI, G. et al. Matemática - Ciência e Aplicações, 2ª série. 2. ed. São
Paulo: Atual Editora, 2004. 544 p.
O objetivo desta análise é levantar dados referentes à abordagem do
conteúdo de Matrizes para subsidiar a análise dos Cadernos do Professor de
Matemática de 2008 e 2009. Para tanto, apresento a descrição e análise
desses livros didáticos considerando: a) apresentação e descrição da coleção
e, em especial, do segundo volume no qual aborda-se o conteúdo de Matrizes;
b) a abordagem específica de Matrizes.
Análise do livro Matemática – Ensino Médio, de Smole e Diniz (2003)
A primeira coleção analisada foi a de Smole e Diniz (2003). Trata-se de
uma coleção composta por três volumes, cada um relativo a uma série do
Ensino Médio.
Segundo os dados da publicação, esta é sua quarta reformulação (2004)
e na apresentação é relatado que o objetivo da obra é complementar os
conhecimentos sobre números, operações, álgebra e geometria, focando em
dois aspectos da Matemática: como linguagem das ciências a serviço de outras
áreas e como ciência, com a sua forma de organizar os conceitos e as
técnicas.
O 2º volume tem 476 páginas e é composto de quatro Partes6. Parte 1:
Estatística, Contagem e Probabilidade; Parte 2: Álgebra; Parte 3: Geometria
espacial ; Parte 4: Trigonometria. Cada uma dessas partes é composta por
unidades. Cada unidade é subdividida em itens os quais por sua vez possuem
diversos tópicos.
Os tópicos em geral são desenvolvidos, em sua maioria, com a
explanação e definição dos conceitos, exemplos e exercícios resolvidos e os 6 Partes: denominação dada pelas autoras.
30
exercícios, denominados na obra como Problemas e exercícios. Cada unidade
é composta, ainda, pelas seções: “O Elo matemático”, que aborda a relação
teoria e prática, “Flash matemático”, apresentando tópicos da história da
Matemática relativo ao conteúdo estudado ou informações complementares,
como a articulação com outros conteúdos e “Invente você”, que sugere ao
aluno a elaboração de problemas de acordo com uma situação apresentada na
forma numérica, algébrica, geométrica, figural e outras.
O Quadro 1 mostra o índice da parte 2 referente a Álgebra, que possui 3
unidades: a Unidade 4 – Sistemas Lineares -; a Unidade 5 - Matrizes - e a
Unidade 6 - Determinantes. Os itens 7, da Unidade 5, e itens 5 e 6, da Unidade
6, aparecem com uma flecha vermelha ao lado, indicando que são optativos.
Quadro 1 – Índice da parte 2 - Álgebra7 (Smole e Diniz, 2003)
7 Segundo as autoras, os itens do índice assinalados com a seta vermelha podem ser desenvolvidos em caráter opcional, pela não relevância para a formação do aluno no Ensino Médio.
31
Observa-se, por esse índice, que a Unidade 4 começa com uma revisão
de assuntos já tratados no Ensino Fundamental, tais como as equações
lineares. Embora desenvolva a noção de sistemas lineares 2x2 e 3x3, deixa a
discussão da solução dos sistemas para a Unidade 6 - Determinantes.
Passo agora a descrever e analisar a abordagem específica que essa
obra dedica ao tema Matrizes.
O conteúdo de Matrizes é iniciado com considerações sobre 3 situações
que podem ser organizadas em tabelas numéricas; neste caso, na última, a
tabela é apresentada no Programa Excel. Em seguida, é apresentado o
seguinte Quadro:
Quadro 2 – definição de matriz (Smole e Diniz, 2003, p. 143)
De fato, com esse percurso, as autoras demonstram uma preocupação
em contextualizar, via situações do cotidiano, antes de apresentar a definição
de Matriz. É interessante observar que a definição traz nota explicando como
se lê m x n.
Após a definição, seguem-se exemplos, com diferentes formas de
representar matrizes do tipo 3x5 e 2x4, colocando os dados da tabela entre
parênteses ou colchetes. Só então, a obra apresenta uma matriz genérica com
uma notação abreviada a ser adotada, conforme mostra o Quadro 3:
Quadro 3 – matriz genérica (Smole e Diniz, 2003, p. 144)
Na sequência, as autoras destacam algumas matrizes com
características especiais. Na primeira delas, matriz quadrada, ressalta suas
diferentes denominações - matriz quadrada de ordem n, matriz quadrada n x n,
ou simplesmente, matriz n x n. Também aborda a definição dos elementos que
constituem as diagonais principal e secundária, sendo estes representados
numa matriz genérica. Os outros tipos de matrizes (matriz linha, matriz coluna e
32
matriz transposta) são apresentados de forma sintética: explanação e
exemplos. O item “igualdade e desigualdade de matrizes” é apresentado de
forma semelhante, seguido de dois exercícios resolvidos, sendo que no
primeiro é abordada a igualdade matricial e no segundo, a obtenção de uma
matriz transposta a partir de uma fórmula matemática. Os dois exercícios
trabalham com a manipulação dos elementos que constituem as matrizes.
Apesar do uso do termo “desigualdade”, a obra não faz nenhuma referência ao
mesmo, quer explicando quer utilizando exemplos.
Nas páginas 147 e 149, temos duas seções denominadas: “O Elo
Matemática” e “Flash Matemático”, que abordam aplicações de matrizes.
A primeira seção refere-se às conexões de voos entre quatro cidades
representadas em uma figura, conforme se observa no Quadro 4. Através de regras
estabelecidas, essas conexões são associadas a uma matriz, estabelecendo se há
ou não voos entre as cidades. De acordo com o texto, a figura pode parecer mais
simples que a matriz, mas numa situação de se representar conexões de 200 ou
mais cidades, as matrizes possibilitariam consultas mais fáceis, sobretudo se elas
estiverem armazenadas em computadores.
33
Quadro 4 – seção “O Elo Matemática” (Smole e Diniz, 2003, p. 147)
Na outra seção, há mais um exemplo de matrizes como modelo
descrevendo uma situação real. Trata-se de um modelo que representa três
conjuntos de semáforos de um cruzamento, em que as matrizes indicam o
tempo, em minutos em que os semáforos se mantêm simultaneamente abertos,
segundo uma seqüência dada. Interessante notar que as matrizes
representantes da situação são obtidas de um estudo das vias desse
cruzamento, ainda que este seja implícito, sendo mencionado que numa
situação de engarrafamento, o problema pode ser solucionado alterando
valores nessas matrizes. Para isto, são efetuados cálculos com essas matrizes
– multiplicação de um número real por uma matriz – ainda que este item não
tenha sido apresentado ao aluno no livro, ocorrendo no tópico seguinte.
34
Quadro 5 – seção “Flash Matemático” (Smole e Diniz, 2003, p. 149-150)
A partir dessas análises, é possível dizer que as duas seções descritas
acima apresentam situações contextualizadas com o foco na aplicabilidade, que,
35
apesar da apresentação já finalizada, evidencia uma preocupação das autoras
pelas sugestões de abordagens de ensino presentes nos documentos oficiais.
No tópico “Problemas e Exercícios” (p.148), são apresentadas nove
questões, sendo sete referentes aos assuntos estudados até então. Dois dos
exercícios (Exercícios 8 e 9) tratam de matriz simétrica, sendo que a
explanação ocorre na própria questão (exercício 8). O item apresenta um
exercício contextualizado (exercício 6) e três em que as matrizes são obtidas
por figuras e regras estabelecidas (Exercícios 3, 4 e 5).
Quadro 6 – Problemas e exercícios (Smole e Diniz, 2003, p. 148)
O tópico “Invente você” (p. 149), por sua vez, apresenta três questões
interessantes, posto que exigem do aluno a observação e criatividade,
conforme se vê no Quadro 5. Isso, segundo os PCNEM (1999), tira o aluno da
36
condição de expectador passivo na aprendizagem, favorecendo a construção
de significados pelos alunos e possibilitando a identificação das relações
existentes entre os conteúdos do ensino e os muitos contextos de vida social e
pessoal (BRASIL, 1999, p.74).
Quadro 7 – seção “Invente você” (Smole e Diniz, 2003, p. 147)
A análise cuidadosa desse material revelou que, ao abordar as
operações definidas no conjunto de matrizes, as autoras inicialmente propõem
situações contextualizadas para somente depois sistematizá-las. No entanto,
no que se refere às noções, o mesmo percurso não é desenvolvido.
Por exemplo, o item “adição de matrizes” é iniciado pela proposta de
uma situação prática de produção de automóveis, sendo possível a sua
resolução pelos próprios alunos, ainda que não tenham “conhecimentos
formais” do tópico para, na sequência, ser apresentada a definição de adição
de matrizes. Após esta sistematização, as definições de outras noções
relacionadas como matriz nula, matriz oposta, propriedades da adição e
subtração de matrizes são apresentados de forma sintética: explanação e
exemplos.
O capítulo prossegue, de todo modo, apresentando dois “Exercícios
Resolvidos” meramente como exemplos do uso da técnica, e em sua
37
sequência, propõem três exercícios (seção “Problemas e Exercícios”, p.154),
exigindo do aluno somente uma reprodução dos exemplos.
A abordagem contextualizada seguida das definições e exemplos ocorre
também com a “multiplicação de matrizes”, apresentando uma situação que
pode ser resolvida de forma intuitiva pelos alunos, sem conhecimentos formais
de definições e procedimentos. Na apresentação de “Exercícios Resolvidos”
(p.157), aparece um problema contextualizado envolvendo a produção de
componentes de uma indústria e dois com uma abordagem pelo uso da
técnica.
Em “Problemas e Exercícios”, a obra apresenta cinco exercícios
(numerados de 13 a 18), sendo dois contextualizados. Nesses dois exercícios,
é interessante notar que as questões propostas envolvem cálculos com os
dados fornecidos diretamente nas tabelas e em projeções futuras, quando o
aluno deve primeiro obter uma matriz que corresponda a essa situação futura
para, só então, responder a questão através de cálculos matriciais.
No tópico “Invente você” solicita-se ao aluno que elabore um problema
com base em tabelas dadas, conforme mostra o Quadro 8.
Quadro 8 – seção “Invente você” (Smole e Diniz, 2003, p. 160)
A partir do tópico “Matriz identidade ou matriz unidade”, a obra não
apresenta mais situações contextualizadas, vindo na sequência o item 7 -
“propriedades das operações com matrizes” - (a ser desenvolvido em caráter
opcional, segundo as autoras) no qual também é tratada a questão de matriz
38
inversível. Os exercícios (numerados de 19 a 27) seguem reproduzindo os
exemplos e exercícios resolvidos.
Na seção “Flash matemático”, o livro em análise apresenta um quadro
biográfico “tradicional” de Carl Friedrich Gauss, parecido ao de vários livros
didáticos antigos. De acordo com as OCEM (2006), a utilização da história da
Matemática em sala de aula pode ser vista como um elemento importante no
processo de atribuição de significados aos conceitos matemáticos, no entanto
elas alertam que esse recurso não deve ficar limitado à apresentação de
biografias. Nesse caso, a única razão para a inclusão dessa biografia no livro
aparenta ser o fato de que as autoras tratam do método de Gauss no item
seguinte. De fato, não é possível perceber qualquer outro efeito da biografia
sobre o aluno-leitor como o de motivá-lo, ou de apresentar o processo histórico
de construção de conhecimentos matemáticos.
No item 8 - Matrizes e resolução de sistemas - último dessa unidade, a
resolução de sistemas lineares é proposta pelo método de eliminação de
Gauss, também conhecido por escalonamento. Para esse tópico, a obra dedica
um número considerável de páginas na explanação detalhada e
exemplificação. Talvez isso se dê em função da complexidade do assunto e
pelo longo procedimento do método. A discussão e a determinação do conjunto
solução de sistemas lineares também são abordadas nesse item.
A unidade é encerrada com uma situação contextualizada orientada ao
uso da calculadora, conforme segue:
39
Quadro 9 – exercício com uso de calculadora (Smole e Diniz, 2003, p. 169-170)
O fato de se deixar essa atividade para o final da unidade, como se
fosse um adendo, pode parecer ao professor ou ao aluno que ela tem menor
importância. Considero inadequada a localização dessa atividade como última
da unidade, visto que o trabalho com calculadora constitui um eficiente
instrumento de ensino, contemplado nos atuais documentos oficiais.
A Unidade seis, contrariando a sugestão das OCEM (2006), desenvolve
o estudo de determinantes.
Essa unidade - Estudo de determinantes - tem a representação matricial
como base em seus tópicos. O conteúdo é quase todo apresentado de uma
forma tradicional (teoria, exemplo, exercício), repleta de regras, apresentando
somente três dos exercícios (enumerados de 13 a 15, p.179), com situações de
aprendizagem contextualizadas.
Nessa unidade, a resolução de sistemas lineares do tipo n x n volta a ser
discutida (antes fora discutida na Unidade quatro). Mas, agora, com o uso de
determinantes e, por consequência, usando a representação matricial. Sua
utilização, no entanto, é restrita àqueles sistemas em que o número de
equações é o mesmo que o número de incógnitas. Cumpre ressaltar que, dada
esta restrição, as OCEM (2006) sugerem o abandono da regra de Crammer na
resolução de sistemas de equação 3 X 3, alegando ser um procedimento
40
custoso, limitado (só permitindo resolver os sistemas quadrados com solução
única) e de pouco significado para o aluno.
Os tópicos abordados nesta unidade são: o cálculo de determinante de
ordem 2x2 e 3x3 pela regra de Sarrus, a resolução de sistemas pela regra de
Cramer e análise de sistemas por determinantes. Também inclui o estudo dos
sistemas lineares homogêneos, determinante de matriz quadrada de ordem n
utilizando o teorema de Laplace e inversão de matrizes.
No final do livro há uma seção de testes de vestibulares com oito
questões sobre o conteúdo, sendo quatro abordando resoluções teóricas e
quatro práticas contextualizadas. Trata-se dos testes 38 a 45 (p. 423-425).
Ao final dessa análise, é possível dizer que as autoras Smole e Diniz
tiveram a preocupação de focar a Matemática como ciência e como linguagem
a serviço de outras áreas. Considero que esses dois aspectos, de forma geral,
foram utilizados em equilíbrio no desenvolvimento da obra.
A abordagem dada pelas autoras utiliza um número considerável de
exemplos e exercícios interessantes do ponto de vista da contextualização na
Unidade 5 (Matrizes).
No entanto, na Unidade 6 (Determinantes), que utiliza matrizes como
ferramenta para o desenvolvimento de determinantes, o conteúdo, em sua
maior parte, é apresentado numa linguagem formal-matemática com exercícios
de reprodução de método dos exercícios resolvidos, o que não atende as
orientações dos documentos oficiais. Desse modo é possível concluir que a
Unidade 6 é apresentada de uma forma a não facilitar que o leitor dê
significado aos conhecimentos ali tratados, contrariando as recomendações
das OCEM (2006).
É preciso, contudo, ponderar o fato de que o professor não é obrigado a
percorrer todas as unidades com seus alunos e, se esse professor refletir nas
sugestões das OCEM e concordar com elas, poderá “pular” essa unidade sem
prejuízo ao aprendizado do aluno.
De forma geral, a obra apresenta o conteúdo de Matrizes
adequadamente na Unidade 5, utilizando em grande parte dos itens de estudo
estratégias diferenciadas para chegar a definição dos mesmos, como por
41
exemplo, situações do cotidiano vinculadas à Matemática e outras articuladas
com outros conhecimentos. A abordagem interdisciplinar aparece na utilização
de tabelas de dupla entrada, utilizadas em Estatística e a relação teoria-prática
também é abordada (seção “O Elo Matemática”).
Há de se destacar, também, as atividades com o uso da calculadora,
bem como a elaboração/criação de exercícios, que estimulam a criatividade e
autonomia dos alunos, favorecendo a compreensão dos conteúdos. Isso vem
de encontro às orientações dos PCN+ (2002) que preconizam
[...] O aspecto desafiador das atividades deve estar presente todo o tempo, permitindo o engajamento e a continuidade desses alunos no processo de aprender (PCN+, 2002, p. 129).
Análise do livro Matemática – Ciência e Aplicações, de Iezzi et al. (2004)
A segunda coleção analisada foi “Matemática – Ciências e aplicações”
de Iezzi, G.; Dolce, O.; Degenszajn,D.; Périgo, R.; Almeida, N. (2004).
Trata-se de uma coleção composta de três volumes, cada um relativo a
uma serie do Ensino Médio e que, pelo que se afirma na apresentação, não
sofreu nenhuma reformulação desde a sua primeira impressão. Segundo o
manual do professor que acompanha o livro, os objetivos gerais dessa obra
são: contribuir para a integração do aluno na sociedade em que vive,
desenvolver no aluno competências e habilidades que lhe possibilitem competir
no mercado de trabalho, possibilitar o reconhecimento das inter-relações entre
os vários campos da Matemática e desta com outras áreas do conhecimento e
proporcionar conhecimentos básicos que lhe permitam a continuidade dos
estudos.
Segundo os autores, a obra apresenta muitos exemplos de aplicação
matemática às outras ciências e à realidade dos alunos, inclusive relacionando-
os com os temas transversais. Afirmam, além disso, ter-se optado por uma
introdução intuitiva dos assuntos estudados, utilizando uma linguagem mais
coloquial e na formalização dos conceitos, uma linguagem precisa, rigorosa.
O conteúdo de Matrizes é abordado no segundo volume, composto de
544 páginas, e que entre outros conteúdos, apresenta funções trigonométricas,
42
geometria do espaço, determinantes e sistemas lineares, análise combinatória,
binômio e probabilidades. Esse volume é dividido em 12 capítulos, sendo o
sexto capítulo o objeto de nossa análise. Os capítulos apresentam ainda, as
seções “Testes de vestibulares”, “Desafios8” e “Matemática no tempo”, como
mostra o sumário do segundo volume no Quadro 10.
8 A seção Desafios não é discriminada no sumário. Porém, é apresentada em todos os capítulos após a seção Testes de vestibulares.
43
Quadro 10 – Sumário do segundo volume (Iezzi et al, 2004)
A sequência da apresentação dos tópicos de matrizes é semelhante a
do livro anterior, de Smole e Diniz (2003), analisado anteriormente. Inicia-se
44
apresentando tabelas com informações numéricas relacionadas a situações
cotidianas dos alunos, tal qual se pode observar no Quadro 11.
Quadro 11 – Tabelas numéricas: exemplos contextualizados (Iezzi et al, 2004, p.140)
Em seguida, os autores apresentam a definição de matrizes seguidas de
exemplos e da definição genérica no tópico dois (representação de uma
matriz). As definições de matrizes são iguais àquelas encontradas no livro de
Smole e Diniz (cf. Quadro 2 e 3 da p. 31). Em um dos exemplos, uma matriz é
45
obtida utilizando uma “regra de formação” dos elementos da matriz solicitada,
manipulando, assim, os elementos formadores desta matriz.
Quadro 12 – Obtenção de uma matriz por uma regra de formação (Iezzi et al.,2004, p.143)
Seguindo conforme a ordem de apresentação do livro em análise, verifica-
se que do tópico três – “matrizes especiais” – até o seis – “multiplicação de um
número real por uma matriz”, o conteúdo é abordado de uma forma sistematizada,
pronta, permeado de exemplos e sequências de exercícios que reproduzem as
técnicas apresentadas nos exemplos. O tópico três, especificamente, abrange:
matriz coluna, matriz linha e matriz quadrada.
Na sequência, aparecem dois exercícios contextualizados (Exercícios 9 e
10), num total de 10 propostos, sendo um deles mostrado no Quadro 13.
Quadro 13 – Exercício contextualizado (Iezzi et al, 2004, p.145)
46
Nos exercícios do tópico quatro – “Igualdade de matrizes”, temos uma
situação interessante de cálculo matricial envolvendo razões trigonométricas,
retomando um estudo do capítulo anterior. Essa situação pode ser observada
no Quadro 14:
Quadro 14 – Exercício articulado com o conteúdo trigonometria (Iezzi et al, 2004, p.147)
A articulação com outros conhecimentos, como apresentada no
exercício acima, é proposta pelos PCNEM (1999) e pela PCESP (2008), que
sugerem que esta ocorra entre inúmeras formas possíveis, num processo
permanente de interdisciplinaridade.
Dando sequência à análise, no tópico seis, a obra apresenta mais dois
exercícios diferenciados em que novos conceitos foram incorporados nos
próprios enunciados (Exercícios 33 e 37), abordando matriz transposta e matriz
simétrica.
No tópico sete – “Multiplicação de matrizes” – a abordagem é
contextualizada, utilizando uma situação do cotidiano para, a partir dela,
estimular a construção dos conceitos envolvidos e seus significados. Observe o
Quadro 15.
47
Quadro 15 – Multiplicação de matrizes – abordagem contextualizada (Iezzi et al, 2004, p.154-155)
48
Após a definição do conceito, a obra apresenta quatro exemplos
utilizando a técnica da multiplicação. Além disso, nos 23 exercícios da
sequência, encontram-se apenas três exercícios contextualizados (Exercícios
51, 54 e 61), sendo dois semelhantes ao utilizado na introdução do tópico e o
último semelhante a uma situação apresentada no livro de Smole e Diniz
(2003) na seção “O elo matemática” (cf. Quadro 4 da p. 27), com exceção da
falta da representação da situação por meio de uma figura. Este exercício é
reproduzido no Quadro 16.
Quadro 16 – Exercício contextualizado (Iezzi et al, 2004, p.164)
Aparece, nessa mesma sequência, mais um exercício articulado com o
conteúdo trigonometria (Exercício 60).
Os tópicos finais, oito e nove, e os exercícios seguintes (Exercícios 63 a
75) seguem a mesma estrutura já descrita no tópico três: definição, exemplos e
exercícios.
O capítulo oferece ainda testes de vestibulares, com 26 questões sendo
uma contextualizada e uma articulada com outros conhecimentos matemáticos
(logaritmo, potenciação e radiciação), os Desafios, apresentando seis questões
semelhantes as dos vestibulares, tendo uma questão abrangendo trigonometria
e duas contextualizadas semelhantes àquelas já apresentadas no livro. O
49
capítulo finaliza com um quadro chamado “Matemática no tempo”, por meio do
qual se aborda a vida de Arthur Cayley e a origem das matrizes.
A utilização da história da Matemática é interessante no ensino da
matemática, já que para muitos essa disciplina é transmitida como se fosse um
conhecimento pronto e acabado e não um conhecimento historicamente
construído e em permanente evolução. Dessa forma, os autores procuram não
incorrer no erro apontado por D’Ambrósio (1996), de apresentar a Matemática
como uma coisa acabada, morta e absolutamente fora do contexto que faz com
que se torne difícil motivar os alunos para uma ciência cristalizada.
Apesar do elevado número de exercícios propostos no capítulo – 75
exercícios, 25 testes de vestibular e 6 desafios - encontramos somente oito
exercícios contextualizados e quatro relacionando conhecimentos matemáticos.
O capítulo sete, que vem na sequência, estuda o conteúdo
“determinante”, relacionando aos tópicos: definições e regra prática (Sarrus),
cofator, Teorema de Laplace, propriedades e abaixamento de ordem de um
determinante. Neste capítulo, todos os 44 exercícios presentes exigem do
aluno somente o uso das técnicas de cálculo apresentadas.
O capítulo oito contempla o estudo de Matrizes em três tópicos: sistema
linear (representação matricial), regra de Cramer e discussão de um sistema.
Assim como na obra de Smole e Diniz (2003), nenhum método de resolução de
sistemas lineares é priorizado. A esse respeito, importa salientar que, segundo
as orientações do manual do professor desta coleção, o método de
escalonamento é apresentado como a forma mais importante na resolução de
um sistema linear, o que não se verifica na análise do capítulo. Neste capítulo,
os autores utilizam situações contextualizadas na introdução do estudo e em
14 exercícios propostos num total de 81.
Em geral, os exercícios dessa obra reproduzem os exemplos dados,
sendo repetitivos e enfatizando o aspecto teórico desse conteúdo. De acordo
com os PCN+ (2002), quando o professor propõe apenas exercícios de
aplicação dos conceitos e técnicas matemáticas, o aluno não desenvolve as
competências almejadas, visto que o aluno busca na memória um exercício
semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação. Os PCN+,
porém, salientam que:
50
[...] Isso não significa que os exercícios do tipo “calcule...”, “resolva...” devam ser eliminados, pois eles cumprem a função do aprendizado de técnicas e propriedades, mas de forma alguma são suficientes para preparar os alunos tanto para que possam continuar aprendendo, como para que construam visões de mundo abrangentes ou, ainda, para que se realizem no mundo social ou do trabalho (PCN+, 2002, p.113).
O predomínio do padrão definição-exemplos-exercícios mostra, assim, a
preservação da concepção de aprendizagem tradicional “bourbakista”9
contrária à concepção construtivista. Essa abordagem tradicional não
corresponde às orientações dos documentos oficiais atuais e nem contempla
resultados de pesquisa da Educação Matemática. Além disso, podem
influenciar a abordagem que os professores adotam, pois, muitas vezes, o livro
didático exerce o papel de única referência ao professor sobre o saber a ser
ensinado, sendo visto como um substituto de orientações curriculares e não
com o um recurso a mais (BRASIL, 2006). De acordo com Lopes (2000), em
meio a muitos problemas enfrentados pelos professores, o livro didático torna-
se solução, já que é ele que decide e apresenta o conteúdo a ser trabalhado,
formula os exercícios e os problemas a serem resolvidos e orienta os
professores através do manual do professor. Isso me chamou a atenção
quanto a escolha do segundo livro analisado pelos professores.
Penso que a escolha dessa coleção pela maioria dos professores da
escola deveu-se ao fato de que os docentes ainda consideram interessantes
obras que privilegiam as listas de exercícios de reprodução, por razões de
formação, ensinando do mesmo modo que aprenderam.
9 Segundo Ambrósio (1996), Bourbaki é um personagem fictício, adotado por um grupo de jovens matemáticos franceses em 1928, para propor e discutir avanços da matemática. Sua obra teve grande repercussão na Educação Matemática em todo o mundo por intermédio do que ficou conhecido por Matemática Moderna.
51
Considerações das análises dos livros didáticos
Considerando a escolha e a análise criteriosa das obras de Smole e
Diniz (2003) e Iezzi et al. (2004), podemos traçar uma comparação. A primeira
obra busca constantemente seguir as orientações dos documentos oficiais
atuais, propondo várias situações contextualizadas, interdisciplinares,
atividades com o uso da calculadora e elaboração de atividades pelos próprios
alunos. Já em Iezzi et al. (2004), predomina a abordagem tradicional,
apresentando poucas situações contextualizadas e um número excessivo de
exercícios reproduzindo exemplos, contrariando, pelo menos no que se refere
ao ensino de matrizes, a informação dos autores de que a obra apresenta
muitos exemplos de aplicação matemática às outras ciências e à realidade do
aluno. A obra sequer apresenta atividades com o uso da calculadora, sendo
esse fato considerado como desfavorável ao ensino, segundo orientações das
atuais propostas. A articulação com outros conceitos da Matemática e de
outras ciências, enfim, está presente nas duas obras, porém em menor ênfase
na segunda.
Outro aspecto que distingue as duas obras relaciona-se à história da
Matemática. No livro de Smole e Diniz (2003), considerei inadequada a
abordagem da história da Matemática, já que as autoras apresentaram
somente um quadro sobre a biografia de um matemático, sem relacionar essa
personalidade à construção do conhecimento matemático em questão. Isso
difere do livro de Iezzi et al. (2004), que destaca essa relação.
As duas obras, porém, apresentam alguns aspectos comuns. É o caso
da utilização da abordagem contextualizada na introdução do conteúdo de
Matrizes, na multiplicação de matrizes e em sistemas lineares que, apesar de
inicialmente serem escritos através de equações lineares, nos dois livros
podem ser resolvidos ou discutidos por métodos matriciais. Por sua vez, os
determinantes não apresentam situações contextualizadas em nenhuma obra.
Esse fato me leva a pensar que o uso ou não de situações contextualizadas
ocorre pela facilidade/dificuldade de representar/elaborar situações reais e
significativas para o ensino de um conteúdo.
52
A relação dos tópicos abordados também é semelhante nas duas obras
quando se refere ao ensino de Matrizes e Determinantes.
Quanto à sequência de estudo, as obras apresentam diferenças. O
estudo de Sistemas Lineares é realizado na unidade anterior às matrizes na
obra de Smole e Diniz (2003), sendo retomado dentro do estudo de Matrizes e
Determinantes enquanto que na obra de Iezzi et al. (2004) este estudo ocorre
posteriormente à Determinantes. Cumpre assinalar que os métodos de
resolução de sistemas lineares apresentados são: escalonamento, regra de
Sarrus e Teorema de Laplace. Nenhum deles, contudo, é priorizado nas duas
obras.
53
Capítulo IV
Análise dos Cadernos do Professor de 2008 e 2009
Neste capítulo, apresento a descrição e a análise dos Cadernos do
Professor de 2008 e 2009. A opção de analisar este material nas duas
publicações foi de verificar as eventuais alterações ocorridas de um ano para
outro. Os Cadernos que abordam o assunto Matrizes, tanto no de 2008 quanto
no de 2009, são os do segundo bimestre do 2º ano do Ensino Médio.
Sobre os Cadernos do Professor
A Secretaria de Educação do Estado de São Paulo providenciou a
elaboração dos Cadernos do professor para integrar sua Proposta Curricular
para o Ensino Fundamental e Médio, denominada de “São Paulo Faz Escola”,
proposta essa divulgada e implantada em 2008 em toda rede de ensino público
paulista.
Neste material, tanto os conhecimentos disciplinares quanto as
habilidades e competências foram identificados e organizados por séries e
bimestres. Segundo a “Orientação Geral sobre os Cadernos”, encontrada no
Caderno do Professor Matemática10:
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses temas, que é sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do currículo atual, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas- especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática (SÃO PAULO, 2008b, p.8).
10 O Caderno do Professor de Matemática também será denominado pelas suas iniciais: CPM
54
Assim, os temas estão organizados em oito unidades, a serem
desenvolvidas em aproximadamente oito semanas, de acordo com cada
professor. O professor é orientado a contemplar as oito unidades juntas, o que
se justifica pelo fato de que estas “compõem um panorama do conteúdo do
bimestre e, muitas vezes, uma unidade contribui para a compreensão de
outras” (SÃO PAULO, 2008b, p.8).
Cada Caderno apresenta quatro diferentes “Situações de
Aprendizagem”, independentes, que pretendem, segundo a orientação, ilustrar
a forma de abordagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação
em sala de aula (SÃO PAULO, 2008b, p.8). Afirma-se, ainda, que a exploração
de cada assunto, com maior ou menor intensidade, fica a critério do professor,
que deverá agir segundo o seu interesse, o perfil de seus alunos e do número
de aulas disponíveis por semana.
Em razão da limitação de espaço dos Cadernos, as Situações de
Aprendizagem não contemplam todas as unidades, mas a expectativa relatada
na Orientação Geral sobre os Cadernos é que a forma de abordagem dos
temas seja explicitada naquelas que são oferecidas.
Todo Caderno compõe-se de: considerações sobre a avaliação; o
conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
almejadas; a apresentação de materiais de acordo com a forma de abordagem
proposta que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de
suas aulas e um quadro com o conteúdo bimestral do referido Caderno e os
demais conteúdos matemáticos de outras séries/bimestres dentro do mesmo
nível de escolaridade (Ensino Fundamental ou Médio), sendo também
assinaladas as conexões com o conteúdo trabalhado no bimestre.
O conteúdo Matrizes no Caderno do Professor de 200811
No Caderno do Professor, CPM, relativo ao segundo bimestre de 2008
da segunda série do Ensino Médio, o conteúdo tratado é Matrizes,
Determinantes e Sistemas Lineares. O Quadro 17 permite a visualização do
assunto na proposta do Ensino Médio.
11 O sumário deste caderno se encontra anexo.
55
Quadro 17 – Conteúdos de Matemática do Ensino Médio. 2ª série. 2º bimestre (SÃO PAULO, 2008b, p. 32)
Esse quadro de Conteúdos de Matemática por série/bimestre do CPM-
2008 evidencia que não será retomado o assunto de matrizes em qualquer
outro bimestre, o que parece contrariar a ideia da Proposta Curricular sobre a
56
importância da interconexão de conteúdos do Ensino Médio, como a Geometria
Analítica e a Estatística, por exemplo.
As “orientações específicas” desse Caderno indicam o trabalho com
diferentes significados dos conteúdos de Matrizes, Determinantes e Sistemas
Lineares e sugerem que sejam estimuladas algumas das várias conexões entre
os mesmos. Além disso, criticam a prioridade aos aspectos meramente
algébricos, dada em geral pelos livros didáticos, que colocam em segundo
plano as importantes e atuais aplicações do assunto, como também uma sólida
base que deveria ser formada com vistas à continuidade dos estudos
matemáticos (SÃO PAULO, 2008b, p.9). É ressaltado, então, que o Caderno
apresenta situações propícias para a construção de alguns desses diferentes
significados de cada um dos conteúdos, atendendo aos dois aspectos
apontados – aplicabilidade e formação conceitual. Como exemplo desses dois
aspectos mencionados, as orientações referem-se às imagens na tela de
aparelhos digitais (câmeras fotográficas, televisores, etc) e ao campo de estudo
da Álgebra Linear.
A sugestão da distribuição das unidades do bimestre é reproduzida no
Quadro 18:
Unidade 1: Unidade 2: Unidade 3: Unidade 4: Unidade 5: Unidade 6: Unidade 7: Unidade 8:
Matrizes – apresentação, tipos, igualdade e operações (adição, subtração e multiplicação por uma constante Matrizes – diferentes significados; multiplicação entre duas matrizes Matrizes – operações e equações matriciais Determinantes – um nº associado a uma matriz quadrada; método de Sarrus Determinantes – método de Laplace Sistemas Lineares – resolução por escalonamento Sistemas Lineares – discussão de parâmetros Problemas resolvíveis por intermédio de sistemas lineares
Quadro 18 – Unidades do 2º bimestre da 2ª série do Ensino Médio (SÃO PAULO, 2008b, p.11)
57
Embora sejam 8 unidades, no mesmo Caderno, que devem
corresponder a mais ou menos 8 aulas, o CPM as distribui em 4 “Situações de
Aprendizagem”.
Para cada “Situação de aprendizagem” o Caderno apresenta um quadro
contendo: o tempo previsto; conteúdo/temas; competências/habilidades; e
estratégias. As duas primeiras Situações de Aprendizagem, das quatro que
compõem o CPM, tratam especificamente de matrizes.
A Situação de Aprendizagem 1, denominada “Matrizes: diferentes
significados”, ressalta alguns significados associados à utilização de matrizes
em diferentes contextos, conforme sugerido constantemente nas orientações
do CPM. São abordado três aspectos, que serão relatados mais adiante na
análise das três atividades apresentadas nessa Situação de Aprendizagem .
Ainda, segindo as orientações da atividade, interpretar corretamente os dados
numéricos registrados em uma matriz é o objetivo principal da proposta dessa
Situação de Aprendizagem. O tempo previsto para a realização das atividades
é de uma semana. A seguir, analiso cada uma delas.
A atividade 1 – Multiplicação entre duas matrizes – enfoca um tópico
do conteúdo em que os alunos apresentam dificuldade, sobretudo quando ele é
apresentado sem uma associação de significado, enfatizando, por exemplo, as
regras de cálculo. É sugerido que a situação-problema proposta seja
apresentada ao aluno sem qualquer comentário sobre o cálculo a ser realizado
e que as conclusões sobre os resultados da situação sejam utilizadas para a
introdução do conceito. Observe a Atividade 1 no Quadro 19:
58
Quadro 19 – Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 1 (SÃO PAULO, 2008b, p. 12-13)
Essa atividade do CPM 2008 é semelhante às situações apresentadas
nos dois livros didáticos analisados anteriormente quando abordam a
multiplicação de matrizes, conforme observado, por exemplo, no Quadro 15 (p.
41), referente ao livro de Iezzi et al (2004).
A situação proposta é apresentada em uma tabela de dupla entrada, em
que os seus elementos guardam posições dadas pelas coordenadas de suas
linhas e colunas para, então, ser representada por uma matriz.
Apesar das orientações do Caderno sugerirem que as conclusões sobre
os resultados dessa situação sejam utilizadas na definição dessa operação, o
59
que mostra um consenso na abordagem desse tópico com os autores dos
livros didáticos analisados, o CPM não apresenta essa definição, ficando esta
apresentação implicitamente a cargo do professor.
Infelizmente, a situação apresenta uma resolução não correta para a
questão d; ao invés de sugerir (327,50-316,00) + (346,00-336,00) = 21,50,
sugere-se um outro valor que resulta em erro. Isto reforça a necessidade do
professor conhecer previamente o material, pois, se o professor não tiver
estudado antes, poderá repassá-la aos alunos conforme consta e causar uma
incompreensão, ou seja, exatamente o contrário do que se deseja.
A atividade 2 – Matriz de compensação – apresenta a ideia de que
cada elemento de uma matriz pode representar explicitamente a frequência de
um evento e, implicitamente, revelar a frequência de outro evento
complementar utilizando as “matrizes de compensação”. É dado, então, como
exemplo, uma situação representada por uma tabela com o percentual de
vitorias de dois jogadores. A seguir é proposta uma situação-problema:
60
Quadro 20 – Sit. Aprendizagem 1 – Atividade 2 (SÃO PAULO, 2008b, p.14) A atividade apresenta uma situação de armazenagem de dados em uma
tabela e revela uma interconexão com a Estatística e Probabilidade. Apesar de
específica, a situação apresentada é interessante ao propiciar o estudo de
eventos complementares de forma explícita e implícita e suas diferentes
representações. Nesse sentido, a atividade vai de encontro aos PCNEM
(1999), para o qual a integração dos diferentes conhecimentos pode criar as
condições necessárias para uma aprendizagem motivadora, devendo
prevalecer no ensino a perspectiva interdisciplinar e a contextualização dos
conhecimentos.
Na atividade 3 – Resolução de imagens: os pixels - o aspecto
abordado refere-se á resolução de imagens em aparelhos digitais, associando
61
a idéia de matriz à imagem fotografada. Para ampliar a rede de significados
associados às matrizes, sugere-se que os alunos investiguem a formação das
imagens nos aparelhos de TV digital. A atividade se constitui de três questões,
iniciando com um texto informativo sobre o conceito de pixel, associando, em
seguida, uma fotografia digital à uma matriz de n elementos em que cada um
deles é um pixel da imagem. Relaciona, também, a ordem da matriz com o
tamanho da imagem e sua resolução (qualidade). A atividade é apresentada no
Quadro 21.
Quadro 21 – Sit. Aprendizagem 1 – Atividade 3 (SÃO PAULO, 2008b, p.16)
62
Com efeito, essa atividade apresenta uma aplicação tecnológica do
conteúdo Matrizes: a representação matricial de imagens em aparelhos digitais.
Nela, os alunos verificarão a composição de um elemento de uma matriz (cor)
de acordo com o posicionamento desse elemento (pixel) e as informações do
enunciado.
Nota-se que, para a realização da atividade, o CPM aborda a estrutura
dos elementos de uma matriz (aij e bij) e a associação dos elementos da matriz
por uma sentença matemática (bij = 2i – j) a um código proposto na atividade
(se 200 < bij ≤ 320 → Tonalidade 2), destacando o uso de inequações. Desse
modo, verifica-se que o Caderno apresenta a parte conceitual implicitamente,
utilizando-a na resolução da atividade.
Observo que esta apresentação não acontece de forma sistematizada
em cada atividade, mostrando uma maior preocupação com o significado das
atividades do que com as definições. Considerando que a utilização do CPM
não dispensa o uso do livro didático pelo professor em sala de aula, e que
nestes as definições são apresentadas sistematicamente em decorrência até
da própria estrutura em tópicos, considero favorável a ênfase dada nas
atividades pelo CPM.
Apesar de a atividade estar de acordo com o que é proposto nas
orientações do Caderno, ou seja, a associação dessas imagens com a
representação matricial, acredito que a sugestão de outras atividades
contribuiriam ainda mais para a atribuição de significado de matrizes pelo
aluno. Por exemplo, nenhuma matriz representando uma imagem foi
manipulada por cálculos matriciais, o que possibilitaria ao aluno relacionar o
conteúdo com as transformações de imagens ocorridas na Computação
Gráfica 12, considerando, assim, a articulação do conteúdo com um tema atual
no que se refere ao cotidiano do aluno e aplicação tecnológica.
O ensino de Matemática no Ensino Médio deve propor essa articulação,
levando em conta que a Matemática é um instrumento formal de expressão e
comunicação para diversas ciências e permite compreender os princípios
científicos presentes nas tecnologias. De acordo com os PCNEM (1999), essa
articulação permite
12 Vide Anexo 1 – Aplicações em Álgebra Linear que usam cálculo matricial.
63
[...] estabelecer uma relação ativa entre o aluno e o objeto do conhecimento e a desenvolver a capacidade de relacionar o aprendido com o observado, a teoria com suas conseqüências e aplicações práticas (BRASIL, 1999, p.74).
Ainda, quando os PCN+ (2002) se referem à LDB, art. 35 sobre as
finalidades do Ensino Médio, propõem [...] a compreensão dos fundamentos
científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a
prática no ensino de cada disciplina (BRASIL, 2002, p. 33).
Ainda assim, conforme descrito anteriormente, a atividade envolve uma
situação contextualizada, com ênfase na aplicabilidade do conteúdo e, que de
acordo com os estudos até aqui realizados, permite um ensino com significado
aos alunos, contrapondo o ensino voltado para aplicação de regras e uso de
algoritmos.
A Situação de Aprendizagem 2 – Matriz de Codificação: Desenhando
com Matrizes – aborda a formação de imagem a partir de uma sequência de
ligação entre pontos do plano de acordo com regras matemáticas
estabelecidas pelos elementos de uma matriz. Segundo as Orientações do
CPM, a atividade é uma adaptação da Teoria dos Grafos, com a qual muitos
alunos se defrontarão na continuidade dos estudos. Ressalto que a informação
acima só faz sentido para aqueles que continuarem os seus estudos na área
de Exatas.
Após dois exemplos da construção de uma matriz na forma de “quadro”,
a partir de uma fórmula algébrica (aij =...) e outro exemplo sobre a construção
de uma figura a partir de pontos num plano e dos dados de uma matriz, são
propostas as seguintes atividades, conforme observadas no Quadro 22:
64
Quadro 22 – Sit. Aprendizagem 2 – Atividade 1 e 2 (SÃO PAULO, 2008b, p.19)
Na atividade 1, é proposto que os alunos construam uma figura a partir
do código registrado em uma matriz, reproduzindo, assim, o exemplo anterior.
Na atividade 2 propõe-se o procedimento inverso, ou seja, o aluno deve
representar um desenho por meio de uma matriz.
Essa forma de elaboração de atividades proposta no CPM vem ao
encontro da ideia da importância da conversão entre diferentes registros de
representação semiótica (DUVAL in Machado,2003)13, o que supera a
abordagem proposta por Smole e Diniz (2003)14, a qual se restringe a
13 Segundo Duval, a compreensão matemática está ligada ao fato do aluno dispor de ao menos dois diferentes tipos de registros de representações, como converter a escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica (Duval in Machado, 2003, p.22). 14 Ver quadro 6 (p.28).
65
transformação da representação de uma figura em matriz. Cabe informar que
para a realização dessas atividades, as orientações do CPM salientam a
necessidade dos alunos já terem vivenciado o estudo de Matrizes associado à
condições matemáticas. Isto já ocorreu na Situação de Aprendizagem 1 -
atividade 3, porém, somente nesta atividade o CPM apresenta exemplos da
obtenção dessas matrizes, ainda que nas atividades esta não seja realizada a
partir de uma fórmula algébrica e sim, a partir de figuras.
Quanto à atividade 3 dessa Situação de Aprendizagem, a sugestão do
CPM é a de que alunos crirem seus próprios desenhos para serem codificados
por outros alunos da classe:
Quadro 23 – Sit. Aprendizagem 2 – Atividade 3 (SÃO PAULO, 2008b, p.20) Segundo as orientações do CPM, o desenvolvimento dessa atividade
favorece o envolvimento dos alunos na criação de desenhos e de diferentes
codificações, segundo a experiência de aplicação de questões semelhantes às
propostas. Importa salientar que uma atividade semelhante foi encontrada no
livro de Smole e Diniz (2003), na seção “Invente você” (cf. Quadro 7 da p.36).
Essa forma de atividade exige do aluno a observação e criatividade na
elaboração e resolução da mesma, que de acordo com os PCNEM, tira o aluno
da condição de expectador passivo na aprendizagem e possibilita a
identificação das relações existentes entre os conteúdos do ensino e os muitos
contextos sociais e pessoais.
A Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas lineares em situações-
problema - não aborda diretamente o conteúdo de Matrizes. Porém, é ressaltar
a orientação do CPM aos professores para que estes priorizem a resolução dos
sistemas lineares com base no método do escalonamento, em detrimento do
Método de Cramer. Além disso, o CPM recomenda a apresentação aos seus
66
alunos de situações envolvendo sistemas “não quadrados”, em que o número
de equações e de incógnitas não seja igual, e situações de contexto em que
conduzam à elaboração e a resolução de sistemas indeterminados. Estas
orientações estão de acordo com as OCEM (2006), que indicam que a
resolução de sistemas lineares deve ser feita pelo processo de escalonamento,
com discussão das diferentes situações: sistemas com uma solução, com
infinitas soluções e sem solução.
Na Situação de aprendizagem 4, que aborda sistemas lineares, as
matrizes são pouco utilizadas. O objetivo é o estudo da resolução de sistemas
lineares pelo método do escalonamento e de Cramer, comparando os
diferentes métodos e apontando a vantagens do método de escalonamento. O
estudo de Determinantes ocorre, assim, de maneira superficial nessa Situação
de Aprendizagem. Ressaltamos que a ênfase na utilização do método de
escalonamento não é proposta nos livros didáticos analisados anteriormente.
Pela análise realizada, pode-se dizer que o CPM aborda determinantes
contrariando as orientações das OCEM (2006), que sugerem o abandono da
regra de Crammer e também o estudo de determinantes. Há de se ponderar,
contudo, que a abordagem superficial de determinantes e da regra de Cramer
foi dirigida mais para convencer o professor da vantagem do método de
escalonamento, chamado de “combinações lineares” do que para introduzir o
estudo de determinantes conforme proposto na maioria dos livros didáticos
inclusive nas duas coleções analisadas anteriormente.
Enfim, o CPM-2008 foi elaborado como um material de apoio ao
professor e, segundo as orientações, as inovações apresentadas referem-se à
abordagem dos conteúdos, propondo situações contextualizadas, entre outros
princípios. As orientações específicas do CPM-2008 relativo ao segundo
bimestre da segunda série do Ensino Médio, indicam o trabalho com diferentes
significados dos conteúdos de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares,
priorizando tanto as importantes e atuais aplicações do assunto, como também
uma sólida base que deve ser formada com vistas à continuidade dos estudos
matemáticos.
De acordo com os propósitos apresentados, considero que o CPM
atingiu os objetivos, apresentando atividades contextualizadas através de
67
situações-problema, conexões implícitas com outros conteúdos matemáticos e
situações que exigem a participação dos alunos na elaboração e resolução das
atividades. Segundo os documentos oficiais analisados, estas perspectivas
devem prevalecer no ensino da Matemática, já que a integração de diferentes
conhecimentos, o ensino de forma contextualizada, entre outros, pode criar as
condições necessárias para uma aprendizagem motivadora.
As situações contextualizadas, de modo geral, se assemelham àquelas
apresentadas nos livros didáticos, como as matrizes representando tabelas de
dupla entrada, a multiplicação de matrizes e os sistemas lineares e muitas
vezes as ultrapassam. As atividades de aplicações são elaboradas e
apresentadas em situações-problema que possibilitam a construção do
conhecimento pelo aluno sobre o tema estudado e não apenas como exemplos
de “utilidade” do assunto estudado.
Chamo a atenção para a Situação de Aprendizagem 2, uma adaptação
da Teoria dos Grafos, segundo as orientações do Caderno. Essa teoria é
relatada no Anexo 1 como uma das várias aplicações com o uso de matrizes
em Álgebra Linear e, assim como essa foi adaptada para o nível de ensino
proposta, considero que outras também possam ser, como por exemplo, as
transformações de imagens ocorridas na Computação Gráfica, contribuindo
ainda mais para a rede de significados proposta pelo Caderno.
Na comparação com os livros didáticos analisados, o Caderno apresenta
poucos exercícios práticos, aqueles reproduzindo exemplos, enquanto que nos
livros os mesmos são encontrados em um número elevado, principalmente no
de Iezzi et al. (2004). Constantemente, porém, as orientações do Caderno
solicitam ao professor que complemente as atividades propostas, nem sempre
explicitando a abordagem pretendida, o que poderá levar o professor a utilizar
o livro didático e aplicar esses exercícios práticos por consequência.
Outra conclusão é que muitos tópicos não foram abordados no Caderno,
sendo estes justamente aqueles que nas obras analisadas não foram
apresentados de forma contextualizada como, por exemplo, matriz transposta,
igualdade de matrizes, matriz oposta, matriz identidade. Por outro lado, se o
CPM abordou um número menor de tópicos de Matrizes, esses foram
abordados com maior aprofundamento, o que vem ao encontro com as
68
recomendações do PCN+ (2002) de que é importante evitar detalhamentos
excessivos no estudo de um conteúdo (Brasil, 2002, p.120), devendo
prevalecer o estudo de tópicos que possibilitem uma aprendizagem mais
significativa. Sendo o Caderno um material de apoio ao professor, não
prescindindo o livro didático, fica subentendido que o ensino dos tópicos não
abordados pelo Caderno poderá ficar a cargo do professor.
Apesar da preocupação em apresentar as atividades seguindo
inovações referentes à abordagem dos conteúdos, não se observou a presença
de atividades com o uso da calculadora e a utilização da história da
Matemática, estando, neste caso, em desacordo com as orientações dos atuais
documentos oficiais.
Cabe ressaltar que a conexão do conteúdo de Matrizes em outros
Cadernos ocorre no CPM-2008 da 3ª série/4ºbimestre, no estudo de
Estatística. As matrizes, no entanto, são utilizadas somente como tabelas, não
sendo referenciadas em nenhum momento no Caderno .
O conteúdo Matrizes no Caderno do Professor de 2009
Para o ano de 2009, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
– SEE/SP apresentou uma versão revista do CPM-2008. Conforme mensagem
da coordenadora geral do Projeto São Paulo Faz Escola dirigida ao
professor(a) constante nos CPMs de 2009:
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental-ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta (SÃO PAULO, 2009, p.5).
Segundo informação obtida no site15 da SEE/SP, em 2008 foram abertas
pesquisas bimestrais envolvendo o uso dos CPMs em sala de aula. Foram
realizadas, também, consulta aos professores e equipes pedagógicas das
escolas do Ensino Fundamental e Médio com o objetivo de compartilhar
15http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/EnsinoMédio/Notícias2009/tabid/1099/Default.aspx (acesso em 12/05/2009)
69
experiências positivas em salas de aula a partir da nova proposta curricular e
aprimorar esse trabalho. Dessa forma, a SEE/SP creditou o refinamento do
CPMs aos professores da rede estadual, o que pode refletir numa maior
aceitação do professorado à Proposta em caso.
Em relação aos CPM-2008 e CPM-2009 dedicados ao 2º bimestre da 2ª
série do Ensino Médio pude observar algumas modificações, as quais passo a
detalhar.
Já considero significativo iniciar a análise comparativa dizendo que o
CPM-2008 tinha 32 páginas ao passo que o CPM-2009 tem 56 páginas. Todas
as atividades do conteúdo de Matrizes do CPM-2008 se repetem no CPM-
2009, outras, porém, foram acrescentadas neste processo de revisão e
aperfeiçoamento.
No CPM-2009 não consta mais o número de aulas semanais previstas
para cada atividade, nem o número de aulas do bimestre. O sumário do CPM-
2009 encontra-se no Anexo 4.
O quadro de Conteúdos de Matemática por série/bimestre do CPM-2009
apresenta interconexões com o conteúdo de outros bimestres, como a
Geometria Analítica e as Funções, diferente do quadro apresentado no CPM-
2008 em que o ensino de matrizes é apresentado de forma isolada. O Quadro
24 permite a visualização da alteraçõe mencionada:
70
Quadro 24 – Conteúdos de Matemática do Ensino Médio. 2ª série. 2º bimestre (SÃO
PAULO, 2009, p. 54)
A primeira Situação de Aprendizagem do CPM-2009 aborda quatro
aspectos, um aspecto a mais do que no CPM-2008, cada um apresentado em
uma atividade sob um enfoque específico.
71
A atividade 1 apresenta o mesmo enfoque nos dois Cadernos, ou seja, a
associação de significados atribuídos à utilização de matrizes. Agora, porém, a
atividade é subdividida em cinco problemas ao invés de um único, como no ano
anterior, que no CPM-2009 é apresentado no Problema 4.
O CPM-2009 destaca os Problemas 1 e 2, que abordam a translação de
polígonos representados no plano cartesiano por meio de adições entre
matrizes e atribuem um significado pouco usual à representação e às
operações matriciais (cf. Quadros 26 e 27 adiante). É sugerido ao professor
criar outras situações de natureza semelhante utilizando outras figuras
geométricas e que os valores relativos às quantidades não sejam expressos
somente por números naturais para que o contexto proposto se aproxime o
máximo possível do real.
O ensino de matemática utilizando conjuntos numéricos diversificados é
proposto em vários estudos em Educação Matemática. SILVA JUNIOR (2009),
por exemplo, em sua dissertação, afirma que propostas como esta não faz com
que o aluno, ao se deparar com problemas do cotidiano que não apresentam
quantidades ou medidas expressas nesse conjunto numérico, tenha dificuldade
em resolver e/ou pense que os resultados estejam errados, pois escapam de
sua experiência escolar.
As orientações do Caderno sugerem também que o professor, a seu
critério, permita a utilização de calculadora para que o foco do conteúdo não se
perca. Havendo possibilidade do uso de recursos de informática, as
orientações sugerem, ainda, que a atividade seja auxiliada por planilhas de
cálculo.
72
Quadro 25 – Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 1 – Problema 1 (SÃO PAULO, 2009,
p.13-14)
73
Quadro 26 – Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 1 – Problema 2 (SÃO PAULO, 2009,
p.14-15)
Com a inclusão dos problemas acima no CPM-2009, as operações
matriciais, antes restritas à multiplicação de duas matrizes no CPM-2008,
passam a abranger, também, a adição de matrizes, apresentando assim um
número maior de operações tratadas de forma contextualizada.
74
Os Problemas 3 e 5 abordam a multiplicação de duas matrizes através
de situações-problema, ou seja, de forma semelhante ao Problema 4, presente
no CPM-2008 (cf. Quadro 19 da p. 58). Na publicação atual, também foi
corrigido um erro de cálculo apresentado na publicação anterior (cf. mais uma
vez o Quadro 19).
Na Atividade 3 foi acrescentada uma figura ao texto que já constava no
CPM-2008, que exemplifica a relação entre a quantidade de elementos de uma
matriz (pixels) e a resolução de uma fotografia, conforme se observa no
Quadro 27.
Quadro 27 – Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 3 (SÃO PAULO, 2009, p. 20)
A primeira Situação de Aprendizagem encerra-se com a Atividade 4.
Utilizando como recurso o funcionamento da técnica da tomografia
computadorizada, a atividade propõe-se a ampliar o estudo do pixel, discutido
na atividade anterior, simulando outras situações-problema envolvendo
matrizes. A atividade é subdividida em seis problemas, apresentados após
exemplos no texto, que associam a reconstituição de imagens a uma matriz (cf.
Quadro 28 da p.67).
75
Quadro 28 – Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 4 (SÃO PAULO, 2009, p.24)
A Situação de Aprendizagem 2 apresentada no CPM-2009 é idêntica à
do Caderno do ano anterior, salvo a ordem das figuras da primeira questão
proposta. Houve também uma mudança na denominação das questões, que no
ano de 2008 eram tratados como “Atividade” e que no Caderno atual são
denominados “Problema”.
76
Conforme já mencionado na análise do CPM-2008, a Situação de
Aprendizagem 3 não aborda o conteúdo matrizes. Ainda assim, considero
relevante tecer algumas considerações.
Foi acrescentado mais um problema no CPM-2009, sendo a Situação de
Aprendizagem agora composta de seis problemas. Em cada um deles, foi
acrescentado comentários da resolução para auxíliar o professor. O roteiro
para aplicação sugere que o professor estimule os alunos a utilizar os métodos
de resolução de sistemas lineares estudados no Ensino Fundamental ou por
escalonamento, diferente de 2008, em que era sugerido somente o método do
escalonamento. Nos dois Cadernos, os métodos são sugeridos em detrimento
do método de Cramer.
A Situação de aprendizagem 4 acrescenta o uso de determinantes em
outras situações que não envolvem a resolução de sistemas lineares. A
situação abordada, denominada Atividade 1, é o cálculo de áreas de polígonos
representados no plano cartesiano, quando conhecidas as coordenadas dos
seus vértices. São apresentados exemplos de cálculos de área por composição
e decomposição de figuras, baseando-se no princípio de que um polígono pode
ser dividido em vários triângulos. O método sugerido é o de Sarrus.
Em um dos exemplos da página 42, aparece um erro de digitação no
cálculo da área do polígono ABCD, em que, a soma de duas frações com o
mesmo denominador (2) resulta uma fração com denominador 5. No resultado
final, porém o valor está correto (7,5 u.a.). Num outro exemplo, na sequência, é
apresentada outra maneira de se calcular a área de um polígono, utilizando
uma extensão da regra de Sarrus, conforme mostra o Quadro 29.
77
Quadro 29 – Situação de Aprendizagem 4 – Atividade 1 – Cálculo da área de um polígono
(SÃO PAULO, 2009, p.43)
Em seguida, o CPM mostra um exemplo utilizando a expressão acima:
78
Quadro 30 – Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 4 – exemplo (SÃO PAULO, 2009, p.43-44)
Por fim nesta atividade, é proposta aos alunos a resolução de dois
problemas relacionados ao cálculo da área de polígonos (cf. Quadro 31 da p.
79). A abordagem interdisciplinar que se verifica nssta atividade é sugerida
pelo PCNEM (2002), a fim de superar o tratamento estanque e segmentado de
ensino. Essa abordagem já ocorre nos livros didáticos no estudo de Geometria
Analítica, que utiliza o cálculo de determinante para encontrar a área de um
triângulo sendo conhecidas as coordenadas dos vértices no plano cartesiano.
79
No entanto, a atividade proposta no CPM-2009 é mais abrangente, estendendo
este estudo ao cálculo da área de outros polígonos.
Quadro 31 – Situação de Aprendizagem 4 – Atividade 1 – Problema 2 (SÃO PAULO, 2009, p.45)
Na atividade 2, resolução de sistema lineares determinados e
indeterminados, foram acrescentados quatro problemas, totalizando sete,
sendo três contextualizados. O uso de situações contextualizadas é comum no
estudo de resolução de sistemas lineares, como já analisados nos livros
didáticos, creio que em razão de uma maior facilidade de representar/elaborar
situações reais e significativas sobre esse tópico.
Outros avanços são constatados nesse CPM-2009 em relação à versão
anterior. Em relação aos conteúdos matemáticos do Ensino Médio, o Caderno
80
apresenta conexões com outros conteúdos (cf. Quadro 24 da p.64), que não se
verificavam no CPM-2008. As atividades incluídas apresentam-se de acordo
com a proposta da Secretaria no que tange à abordagem contextualizada
utilizando situações-problema.
Os problemas 1 e 2 da Situação de Aprendizagem 1, conforme
mencionado anteriormente, abordam a adição de matrizes por meio da
translação de polígonos no plano cartesiano. Tomando por base as atividades
da Situação de Aprendizagem 2, encontradas nos Cadernos de 2008 e 2009 e
a informação de que essas são adaptações da Teoria dos Grafos, pode-se
dizer que os problemas 1 e 2 também são adaptações do uso de matrizes nas
transformações geométricas na Computação Gráfica (cf. as aplicações de
matrizes no Anexo 1). Apesar de interessante a inclusão dessa transformação,
considero que outras poderiam ser propostas, como a reflexão, a escala, a
rotação e o uso de coordenadas homogêneas, que permitem, por exemplo, que
a translação ocorra por multiplicação de matrizes ao invés de soma,
uniformizando as transformações geométricas pelo cálculo matricial
(multiplicação) e otimizando a aplicação dessas operações pelos computadores
na manipulação de imagens (Azevedo e Conci, 2003, p.51-52).
Ressalto que, apesar da Proposta Curricular de 2008 implantada pela
SEE/SP justificar a inclusão do conteúdo matrizes devido às atuais aplicações
tecnológicas, não é citado que os problemas propostos tratam de aplicação de
matrizes em manipulação de imagens na Computação Gráfica.
A sugestão do uso de calculadora ou de planilha de cálculo, além de que
os valores relativos às quantidades não sejam expressos somente por números
naturais, para que o contexto se aproxime o máximo possível do real é bem
oportuna e vem de encontro às pesquisas na área de Educação Matemática e
orientações de documentos oficiais.
A atividade 4 da Situação de Aprendizagem 1, denominada Matrizes e o
princípio da tomografia apresenta outra aplicação tecnológica de matrizes. A
compreensão dos fundamentos científicos-tecnológicos, relacionando a teoria
com a prática é uma das finalidades do Ensino Médio, segundo a Lei de
Diretrizes e Bases – LDB (PCNEM, 1999, p.18). Os PCNEM ainda
complementam que
81
[...] Os processos produtivos dizem respeito a todos os bens, serviços e conhecimentos com os quais o aluno se relaciona no seu dia-a-dia, bem como àqueles processos com os quais se relacionará mais sistematicamente na sua formação profissional. Para fazer a ponte entre teoria e prática, de modo a entender como a prática (processo produtivo) está ancorada na teoria (fundamentos científico-tecnológicos), é preciso que a escola seja uma experiência permanente de estabelecer relações entre o aprendido e o observado, seja espontaneamente, no cotidiano em geral, seja sistematicamente, no contexto específico de um trabalho e suas tarefas laborais (Brasil, 1999, p. 73).
E finalmente, na situação de Aprendizagem 4, acrescentaram-se
atividades com o uso de determinantes para calcular a área de polígonos no
plano, conferindo um caráter contextualizado e interdisciplinar. O mesmo não
ocorre no ensino de determinantes nos livros didáticos analisados, pois não
apresentam situações contextualizadas em nenhuma das obras. Na atividade
2, foram acrescentados também exercícios contextualizados na resolução de
problemas lineares, mas, conforme visto na análise dos livros didáticos, as
atividades contextualizadas via situações-problema nesse tópico são propícias
de serem representadas num contexto real, ainda que tal estratégia não tenha
sido utilizada no CPM-2008.
A conexão do conteúdo de Matrizes em outros Cadernos ocorre
somente no CPM-2009 do 4º bimestre da 3ª série do Ensino Médio, no estudo
de Estatística. A mesma conexão se apresentava no CPM-2008. No entanto,
cumpre ressaltar que nessas duas publicações (2008 e 2009) as matrizes são
utilizadas somente como tabelas, não aparecendo qualquer citação ou uso da
representação matricial.
82
Capítulo V
Considerações Finais
Esta pesquisa teve por objetivo investigar como o conteúdo de Matrizes
é abordado nos CPM destinados ao Ensino Médio e distribuídos pela
Secretaria de Educação do Estado de São Paulo como parte integrante de sua
Proposta Curricular implantada em 2008.
Para atingir o objetivo desta pesquisa documental, optei em analisar os
CPM relativos ao segundo bimestre da segunda série do Ensino Médio de 2008
e de 2009, orientando-me pelas propostas e tendências prescritas nos
documentos oficiais atuais que regem o Ensino Médio e pelo conteúdo de
Matrizes de livros didáticos. Todos esses “documentos” constituíram o corpus
desta pesquisa. Este direcionamento levou-me a desdobrar a questão geral da
pesquisa em três questões específicas, apresentadas conjuntamente com as
análises e conclusões de cada uma:
• Os Cadernos do Professor de Matemática de 2008 do Ensino Médio
abordam matrizes seguindo as recomendações dos documentos
oficiais atuais sobre o ensino de Matemática?
Para responder a essa questão, remeto à análise dos documentos
oficiais descrita no capítulo III desta pesquisa. Estes documentos enfatizam a
importancia da contextualização, da interdisciplinaridade, do ensino através de
situações-problema e da relação teoria-prática (aplicabilidade) no ensino de
Matemática. Especificamente, o único documento que menciona o ensino de
matrizes é a PCESP (2008) e justifica a sua inclusão pela articulação deste
conteúdo com aplicações da tecnologia.
De acordo com os resultados explicitados no capítulo IV sobre a análise do
CPM-2008, constatei que esse material apresenta atividades contextualizadas
83
através de situações-problema, conexões implícitas com outros conteúdos
matemáticos e situações que exigem a participação dos alunos na elaboração e
resolução das atividades. As atividades de aplicações são, de fato, elaboradas e
apresentadas em situações-problema que possibilitam a construção do
conhecimento pelo próprio aluno sobre o tema estudado.
No entanto, considero que outras atividades poderiam constar no
Caderno, por exemplo, a manipulação de imagens por cálculos matriciais, o
que possibilitaria ao aluno relacionar o conteúdo com as transformações de
imagens ocorridas na Computação Gráfica, contribuindo ainda mais para a
atribuição de significado.
Na resolução de Sistemas Lineares, o CPM enfatiza o uso do método do
escalonamento em detrimento do método de Cramer, conforme sugestão das
OCEM (2006), que também dispensa o estudo de Determinantes. Porém, esse
estudo é apresentado no CPM-2008, ainda que, ao que parece, mais para
justificar a vantagem do uso de método do escalonamento do que para
introduzir o estudo de Determinantes.
Apesar das restrições quanto a uma maior exploração de algumas
atividades e à abordagem de determinantes, concluo que o conteúdo de
Matrizes no CPM é abordado de acordo com as recomendações dos
documentos oficiais atuais que regem o Ensino Médio.
A seguir, explicito minha segunda questão de pesquisa:
• A abordagem do conteúdo de Matrizes no Caderno do Professor de
Matemática de 2008 segue a dos livros didáticos sugeridos pelo
PNLEM de 2006?
Para responder a essa questão, remeto-me à análise das duas obras de
livros didáticos apresentadas no capítulo III e à análise do Caderno do
Professor de 2008 (CPM-2008).
Na comparação com os livros didáticos analisados, o CPM-2008 apresenta
poucos exercícios práticos, reproduzindo exemplos, diferente dos livros, em que é
encontrado em um número elevado, principalmente no de Iezzi et al. (2004).
84
Constatei que alguns conceitos, tais como matriz transposta, igualdade de
matrizes, matriz identidade, entre outros, não foram abordados no CPM-2008,
justamente aqueles que nas obras analisadas foram apresentados de forma
descontextualizada. Nos tópicos abordados, porém, o aprofundamento do CPM foi
maior e mais significativo em relação ao livro didático.
O Caderno em questão e as obras apresentam alguns aspectos comuns:
a abordagem contextualizada nos tópicos multiplicação de matrizes e em
sistemas lineares que, apesar de inicialmente serem escritos através de
equações lineares, podem ser resolvidos ou discutidos por métodos matriciais.
O Caderno, porém, enfatiza o método de resolução por escalonamento, o que
não ocorre nas obras analisadas. O estudo de determinante não apresenta
situações contextualizadas nem nos livros nem no CPM-2008, sendo neste
último tratado de maneira superficial, como já descrito anteriormente.
Dessa forma, concluo que a apresentação do conteúdo de Matrizes no
CPM não difere significativamente daquela apresentada por Smole e Diniz
(2003), que demonstram uma preocupação em aspectos como a
contextualização, a relação teoria e prática e articulações do conteúdo matrizes
com outras áreas do conhecimento. A maior diferença ocorre em relação ao
livro de Iezzi et al. (2004), já que neste, há o predomínio de uma abordagem
teórica do conteúdo seguido de exemplos e um número elevado de exercícios
práticos.
• Houve mudanças na abordagem do conteúdo de Matrizes dos
Cadernos do Professor de Matemática de 2008 e nos de 2009?
Para o ano de 2009, a SEE/SP apresentou uma versão revista do
Caderno do Professor, incluindo aperfeiçoamentos de acordo com as
sugestões e críticas apresentadas em pesquisas com professores da rede
pública estadual durante a primeira fase de implantação da proposta.
Em relação aos conteúdos matemáticos do Ensino Médio, o CPM-2009
apresenta conexões com outros conteúdos, o que não se verificava
explicitamente no CPM-2008. As atividades incluídas apresentam-se de acordo
85
com a proposta da Secretaria no que tange à abordagem contextualizada
utilizando situações-problema.
Uma dessas atividades aborda a adição de matrizes por meio da
translação de polígonos no plano cartesiano, operação matricial não
contemplada no CPM-2008. Apesar de interessante, considero que outras
atividades poderiam ser propostas abordando a manipulação de uma figura por
cálculos matriciais, como a reflexão, a escala e a rotação. Outra atividade
apresentada no CPM-2009 com aplicação tecnológica utilizando matrizes
aborda o princípio da tomografia.
O estudo de Determinante, por sua vez, é apresentado numa atividade
para calcular a área de polígonos no plano, conferindo um caráter
contextualizado e interdisciplinar. O mesmo não ocorre no ensino de
Determinantes no CPM-2008 tampouco nos livros didáticos analisados. Na
atividade referente à resolução de sistemas lineares, foram acrescentados
também exercícios contextualizados. Conforme constatado na análise dos
livros didáticos, as situações contextualizadas contempladas nesse tópico são
propícias de serem representadas num contexto real, ainda que não tenham
sido utilizadas no CPM-2008.
Por fim, concluo que o CPM-2009 apresenta melhorias significativas na
abordagem de outros tópicos do conteúdo de Matrizes, bem como na inclusão
de atividades relacionadas a outras áreas do conhecimento como a
Computação Gráfica, ainda que de forma implícita. Também se verifica o
trabalho com determinantes em conexão com a geometria e sugestões de
acordo com as propostas educacionais atuais e pesquisas na área da
Educação Matemática, como o uso da calculadora e de planilhas de cálculo,
suprindo uma lacuna existente no CPM-2008.
Os resultados obtidos nesta pesquisa, enfim, me permitiram fazer
algumas reflexões sobre ensino de Matemática em geral e especificamente
sobre o ensino de matrizes no Ensino Médio:
• Considerando as poucas pesquisas relativas ao ensino de matrizes e o
CPM elaborado seguindo orientações dos documentos oficiais e
propostas de pesquisas em Educação Matemática, que melhoria
86
apresenta o ensino de matrizes utilizando o CPM em relação a uma
abordagem de ensino tradicional, como a proposta no livro de Iezzi et al.
(2004)?
• A sugestão das OCEM quanto ao abandono do estudo de determinantes,
que utiliza a representação matricial, não estaria equivocada, já que uma
abordagem adequada como a apresentada no CPM-2009 na Situação de
aprendizagem 4, por exemplo, pode proporcionar uma aprendizagem
significativa desse conteúdo aos alunos?
Espero que essas reflexões, e outras que possam surgir dos resultados
deste trabalho, venham servir de incentivo à outras pesquisas que respondam
às questões dessas reflexões e contribuam para o aperfeiçoamento do ensino
de Matemática.
87
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www.rededosaber.sp.gov.br/portais/EnsinoMédio/Notícias2009/tabid/1092/Defa
ult.aspx. Acesso em: 12 mai. 2009.
www.rededosaber.sp.gov.br/portais/EnsinoMédio/Notícias2009/tabid/1099/Defa
ult.aspx. Acesso em: 12 mai. 2009.
www.rededosaber.sp.gov.br/portais/spfe/avaliacao/idesp/tobid/1231/default.asp
x. Acesso em: 14 dez.2009.
91
Anexos
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Anexo 1.
Aplicações em Álgebra Linear que utilizam os cálculos matriciais, segundo os livros didáticos de Álgebra Linear de LAY(1997) e de ANTON e RORRES (2001)
Aplicação Discriminação Pesquisa operacional – alocação de tarefas e recursos
Permite encontrar a melhor distribuição de operários em uma obra, maquinários em locais de construção e rotas de transporte.
Interpolação Spline cúbica
Por pontos específicos de um plano é possível ajustar uma curva. Os parâmetros dessa curva são determinados pela resolução de um sistema linear de equações.
Cadeias de Markov
É um processo de mudança de estado em sistemas físicos e matemáticos em que a ocorrência de um estado pode ser determinada probabilisticamente a partir da observação do estado imediatamente anterior.
Modelos econômicos de Leontieff
Permite fazer a descrição da inter-relação de preços, produção e demanda em sistemas econômicos utilizando a teoria das matrizes.
Computação Gráfica
Utilizando a álgebra matricial, pode-se obter novas imagens de um objetos por meio das transformações geométricas.
Criptografia
É o estudo da codificação e descodificação de mensagens secretas, assunto de interesse crescente devido à necessidade de manter a privacidade em transmissões de dados.
Genética
Permite investigar a propagação de uma característica hereditária em sucessivas gerações por meio de potência de matrizes.
Teoria dos grafos
O uso da aritmética matricial permite analisar as relações entre os elementos de um conjunto finito.
Colheita sustentável de populações animais/ administração de florestas (corte)
Calcula o rendimento sustentável ótimo de uma colheita por modelos matriciais.
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Anexo 2. Sumário do Catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino
Médio – PNLEM / 2006 Matemática - com a relação das obras aprovadas
Catálogo disponível em
<www.fnde.gov.br/index.php/...pnlemguiasmatematica2006/download> Acesso
em: 26 mar. 2008.
94
Anexo 3.
Sumário – Caderno do Professor de 2008. Ensino Médio, 2ª série – 2° bimestre
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Anexo 4.
Sumário – Caderno do Professor de 2009. Ensino Médio, 2ª série – 2° bimestre
![SNPs APLICAÇÕES - ufpel.edu.br fileFebre Reumática Aguda [Berdeli, et al., 2005]; Transplante de fígado [Eid et al., 2007] Infecções bacterianas [Kutukculer et al., 2007] Infecção](https://img.document.onl/doc/110x75/5c5f7eac09d3f2ee488b5f01/snps-aplicacoes-ufpeledu-reumatica-aguda-berdeli-et-al-2005-transplante.jpg)
![Universidade Federal do Rio Grande - FURG Sistemas de ......RG001121868 Fundamentos de matemática elementar / Gelson Iezzi ... [et al.]. - v. 9 4 RG001122290 Geometria analítica](https://img.document.onl/doc/110x75/60d873e019690e1774409b9b/universidade-federal-do-rio-grande-furg-sistemas-de-rg001121868-fundamentos.jpg)
