Lauro Chagas e Sá (org.)biblioteca.ifes.edu.br:8080/pergamumweb/vinculos/000011/00001115.pdfEste primeiro volume da Série de Série de Cadernos Pedagógicos Pibid/Ifes Cadernos Pedagógicos

EducaçãoMatemática

Experiências, reflexõese proposições paraa Educação Básica

Lauro Chagas e Sá (org.) Série de Cadernos Pedagógicos Pibid/Ifes Este primeiro volume da Série de

Cadernos Pedagógicos do Pibid/Ifes visa possibilitar a socialização do conheci-mento construído em educação matemá-tica por meio de experiências de sala de aula, no que se refere a práticas de ensino e aprendizagem de matemática na Edu-cação Básica, realizadas nas cidades de Vitória e Cachoeiro de Itapemirim, onde atuam os subprojetos de Matemática do Pibid/Ifes.

Esperamos que os relatos moti-vem professores a experimentar em suas salas de aulas algumas destas propostas que apresentam diferentes experiências.

EducaçãoM

atemática | Experiências, reflexões

e proposições paraa Educação Básica

Instituto Federal do Espírito Santo - Ifes Reitor Denio Rebello Arantes

Pró-Reitoria de Ensino Pró-Reitora Araceli Verónica Flores Nardy Ribeiro

Coordenador Instituc ional do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à DocênciaRodrigo Ferreira Rodrigues

DADOS INTERNACIONAIS DE CIP (CATALOGAÇÃO NA FONTE)

(Biblioteca do Campus Cariacica do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo)

E24 Educação matemática: experiências, reflexões e proposições para a

educação básica / Lauro Chagas e Sá (Org.). -- Vitória: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo, 2016.

129 p. : il. -- (Cadernos Pedagógicos Pibid/Ifes; 1) ISBN: 978-8593308-00-0

1. Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência. 2.

Matemática - Estudo e ensino. 3. Professores de matemática - Formação. 4. Prática de ensino. I. Sá, Lauro Chagas e. II. Instituto Federal do Espírito Santo. III.Título.

CDD 21 - 510.07

COMITÊ CIENTÍFICO

Me. Alexandro José Correia Scopel (Ifes/Aracruz)Dra. Andressa Cesana Biral (Ufes/São Mateus)Ma. Bruna Zution Dalle Prane (Ifes/Serra)Dra. Claudia Alessandra Costa de Araújo Lorenzoni (Ifes/Vitória)Dr. Hélio Roseti Júnior (Ifes/Vitória)Ma. Hellen Castro Almeida Leite (Ufes/Goiabeiras)Dra. Júlia Schaetzle Wrobel (Ufes/Goiabeiras)Dra. Lígia Arantes Sad (Ifes/Cefor)Dr. Luciano Lessa Lorenzoni (Ifes/Vitória)Ma. Mariana dos Santos Cezar (Ifes/Nova Venécia)Ma. Organdi Mongin Rovetta (SEDU-ES)Dr. Rodolfo Chaves (Ifes/Vitória)Ma. Thamires Belo de Jesus (Ifes/Vila Velha)

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO......................................................................................7

PREFÁCIO................................................................................................9

1 | ATIVIDADES SOBRE FRAÇÕES POR MEIO DE JOGO EDUCACIONAL ONLINE...........................................................................................................13

Laira Lamburghini Brandão Ribeiro, Yasmin Giles Santana, Sandra Aparecida Fraga da Silva, Jéssica Schultz Kuster

2 | O JOGO FATORANDO COMO METODOLOGIA PARA O CÁLCULO DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM NO ENSINO FUNDAMENTAL.......................25

Antonio Henrique Pinto, Marcela Santana Santos, Stella Gomes de Souza

3 | O USO DA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA EM SALA DE AULA: DESCOBRINDO A PROGRESSÃO ARITMÉTICA...........................................37

Pollyana dos Santos, Jorge Henrique Gualandi, Diana dos Santos Machado, Raphael Stafanato Boeno, Tatiana Delesposte

4 | É EM FUNÇÃO DE QUÊ?: O BINGO DE FUNÇÕES NO ENSINO DE MATEMÁTICA..............................................................................................49

Thiarla Xavier Dal-Cin Zanon, Maria Laucinéia Carari, Diana dos Santos Machado, Raphael Stafanato Boeno, Tatiana Delesposte

5 | O JOGO “ONDE ESTÁ O ERRO?” NO ENSINO DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES: UMA ANÁLISE A PARTIR DA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA....................................................................61

Lauro Chagas e Sá, Stella Gomes de Souza

6 | À VISTA OU A PRAZO: IMPLICAÇÕES DA EDUCAÇÃO FINANCEIRA À COMPREENSÃO DE JUROS COMPOSTOS...................................................75

Thiarla Xavier Dal-Cin Zanon, Maria Laucinéia Carari, Diana dos Santos Machado, Raphael Stafanato Boeno, Ronaldo de Andrade

7 | EXPERIÊNCIA COM O DESENVOLVIMENTO DE UMA AULA SOBRE FIGURAS PLANAS UTILIZANDO O GEOGEBRA........................................89

Antonio Henrique Pinto, Talita Moraes Modolo, Natan Souza Ribeiro

8 | INVESTIGANDO PROPRIEDADESGEOMÉTRICAS POR MEIO DE MAQUETES.........................................................................105

Jorge Henrique Gualandi, Pollyana dos Santos, Michelli Rodrigues Moreira, Mayara Caetano Calabrez, Alba Valéria Mota

9 | ÁREAS DE FIGURAS PLANAS EM SUPERFÍCIES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS............................................................................................115

Fred Augusto Pulz, Erika Isabel Flores, Cátia Aparecida Palmeira, Sandra Aparecida Fraga da Silva

APRESENTAÇÃO

A promoção dos Cadernos Pedagógicos do Pibid/Ifes, pela Coordenação do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência do Instituto Federal do Espírito Santo, acontece na perspectiva de socializar e ampliar debates relacionados ao processo de ensino e aprendizagem, em suas diferentes nuances. As publicações, em forma de caderno pedagógico, se constituem como valioso veículo para partilha de experiências desenvolvidas nos diferentes subprojetos do Pibid da instituição.

Este primeiro volume da série visa possibilitar a socialização do conhecimento construído em educação matemática por meio de vivências de sala de aula, no que se refere a práticas de ensino e aprendizagem na Educação Básica; os capítulos que compõem este livro foram escritos por licenciandos e por professores do Ifes e de escolas parceiras, a partir de experiências realizadas nas cidades de Vitória e Cachoeiro de Itapemirim, onde atuam os subprojetos de Matemática do Pibid/Ifes.

Dos nove textos apresentados neste caderno pedagógico, dois abordam práticas realizadas no Ensino Fundamental e sete tratam de experiências no Ensino Médio. No primeiro bloco de relatos, temos o capítulo um, em que os autores apresentam uma experiência ocorrida em uma escola municipal de ensino fundamental envolvendo o conteúdo de frações com auxílio de um jogo online. Em seguida, no capítulo dois, outro grupo de bolsistas busca estabelecer, com os estudantes da educação básica, relações entre os critérios de divisibilidade e o conceito de números primos aplicados ao cálculo do Mínimo Múltiplo Comum.

Os capítulos de três a nove foram escritos a partir de experiências de Ensino Médio, abordando temas como sequências, progressões, funções polinomiais, sistemas de equações lineares, matemática financeira, geometria plana e espacial. No terceiro capítulo do livro, os autores apresentam um relato de experiência sobre o uso de pressupostos teóricos da investigação matemática para a construção da definição de progressão aritmética e da formalização da expressão do termo geral deste tipo de sequência.

Nas páginas seguintes, os bolsistas do Pibid fazem uso de jogos para abordar conteúdos de álgebra. No capítulo quatro, os autores trazem uma proposta com o objetivo de motivar estudantes e professores a interagirem de forma divertida e sistemática com funções polinomiais do primeiro e do segundo grau, a fim de que retomem e sistematizem conceitos envolvidos. No capítulo cinco, os bolsistas partem das observações nas aulas para propor um jogo que relaciona as representações algébrica, matricial e gráfica de um sistema de equações lineares.

No sexto capítulo, os autores descrevem uma proposta de atividade para o ensino de juros compostos no Ensino Médio. O texto estrutura-se em três seções: uma que trata da temática a partir dos documentos oficiais e de algumas pesquisas, outra em que descrevem

a atividade e uma última em que são apresentadas percepções e reflexões. As três experiências com ensino de geometria completam a coletânea de textos

deste caderno pedagógico. No capítulo sete, os autores trazem uma atividade que permite aos estudantes reconhecerem características de algumas formas geométricas planas a partir da manipulação no software GeoGebra. Dando continuidade às discussões, no capítulo oito temos um relato de experiência sobre o uso de maquetes para investigação e exploração de alguns conceitos e aplicações da geometria plana e espacial. Por fim, o nono capítulo trata de uma oficina em que os bolsistas abordaram o cálculo da área de figuras planas a partir da construção de sólidos geométricos.

Assim, como a primeira publicação da área de Matemática do Pibid/Ifes1, espero que este livro amplie as discussões acerca da Educação Matemática, contribuindo na formação inicial e continuada de professores da área e apresentando proposições para práticas na Educação Básica.

Lauro Chagas e Sá (Org.)

1 Ver SILVA, S. A. F.; PINTO, A. H.; CORRÊA, A. C. A. Iniciação à docência em aulas de Matemática: experiências do Pibid/Ifes Campus Vitória. Vitória: Ifes, 2015.

O Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid) é uma ação nacional com intenção de proporcionar aos estudantes de licenciaturas uma aproximação com a realidade escolar por meio de interações e práticas. Esse programa tem se apresentado como uma das mais importantes políticas atuais voltadas à melhoria na formação inicial de professores em nosso país. Além desse programa, nessa mesma perspectiva merece destaque a inclusão dos Institutos Federais de Educação, Ciência e Tecnologia na formação de professores. Na Lei n° 11.892 de 29/12/2008, que cria esses Institutos, lhes é atribuída, entre outras, a responsabilidade por ofertar “cursos de licenciatura, bem como programas especiais de formação pedagógica, com vistas na formação de professores para a educação básica, sobretudo nas áreas de ciências e matemática, e para a educação profissional”. É na interface dessas duas ações políticas que surgem várias experiências exitosas, algumas delas apresentadas nos textos contidos neste livro.

Particularmente falando do Pibid, inserido no Instituto Federal do Espírito Santo, é importante destacar o papel fundamental que tem sido desempenhado, proporcionando oportunidades formativas com base em três vertentes: (1) a ampliação das possibilidades de formação de futuros professores, estudantes de cursos de licenciaturas, aos quais é proporcionado um espaço único de reflexões sobre práticas, dialogadas a partir de contextos reais, valorizando discussões teóricas feitas com seus professores, com docentes em seu ambiente de trabalho, com seus colegas e outros indivíduos envolvidos; (2) a inserção de professores que estão em ação nas escolas em um processo de reflexão sobre sua prática, portanto se configurando um espaço de formação continuada, e o estabelecimento de possibilidades em que eles possam compartilhar suas vivências com os estudantes das licenciaturas, sendo assim multiplicadores de experiências e, portanto, se pondo também no lugar de formadores; (3) a inserção de professores das licenciaturas em processos dialógicos de formação, oportunizando a esses docentes um espaço adequado de realização de práticas extensionistas, de atividades de ensino e, acima de tudo, desenvolvimento de pesquisas aplicadas em contextos reais.

O Pibid chega, portanto, com a missão de ajudar a superar alguns desafios na formação de professores, entendendo que em qualquer sistema educacional a formação inicial, a formação continuada e a valorização profissional docente são fatores essenciais para que se tenha qualidade nas ações e nos resultados educacionais esperados, isso porque essas ações influenciam diretamente todas as outras. O pesquisador português António Nóvoa, referência importante para reflexões sobre formação de professores, indica que essa ação de formação depende de uma decisão do professor, porém também responsabiliza o local onde ele está inserido, pois, para ele, o aprender contínuo é

PREFÁCIO

essencial e se concentra em dois pilares: a própria pessoa, como agente, e a escola, como lugar de crescimento profissional permanente. Cabe, portanto, a esses dois entes, professor e escola, o papel de propor momentos de ação-reflexão-ação em que todos os envolvidos possam ter momentos em que possam refletir sobre sua própria prática, reelaborando experiências a fim de que evitem o risco de se repetirem práticas malsucedidas e ideias prontas, distantes das realidades locais.

Proporcionar a instauração e a sustentação desses espaços em que a ação-reflexão-ação ocorre, talvez seja a ação mais relevante do Pibid. Os casos apresentados nos textos presentes neste livro trazem excelentes situações em que isso ocorre. São situações em que há uma preocupação em se buscar estratégias que possam superar dificuldades normalmente encontradas por estudantes e professores, acerca de alguns objetos de estudo próprios do ambiente escolar. Há nessas situações elementos em comum, sobretudo a busca por estratégias que possam superar a visão meramente conteudista, em que se elaboram e executam práticas docentes em que o conhecimento pedagógico esteja diretamente associado ao objeto matemático que se pretende ensinar.

Essa relação, presente em todas as experiências aqui contidas, é fortemente defendida por vários pesquisadores, entre eles o estadunidense Lee Shulman, que afirma (em textos em que aponta alguns conhecimentos necessários para o professor) que não basta saber o conteúdo a ser ensinado para que o professor possa realizar seu trabalho de maneira completa. Há uma série de relações necessárias entre aquilo que deve ser aprendido/ensinado, os conhecimentos pedagógicos, currículo, contexto escolar e social dos estudantes, com destaque para o conhecimento pedagógico do conteúdo que possui um valor particular, visto que trata de formas de ensinar específicas para cada área do conhecimento. Relações essas vivenciadas em vários momentos nas interações relatadas.

As atividades aqui registradas mostram um pouco da riqueza do que tem sido produzido no âmbito do Pibid no estado do Espírito Santo, oriundo de ações desenvolvidas por docentes e estudantes dos cursos de licenciatura em Matemática do Ifes e professores e estudantes de escolas públicas de nosso estado. Os tipos de atividades e, sobretudo, o jeito em que elas se articulam com a proposta principal do Programa, envolvendo professores em formação e professores em atuação, tendo como foco a aprendizagem dos estudantes, são traços diferenciais que determinam a especificidade do Pibid. Podem ser observadas nos textos, experiências realizadas no Ensino Fundamental, Anos Finais e no Ensino Médio, foco principal da Licenciatura em Matemática. São propostas em que exposição de temas, possibilidades de observações, debates, aplicações, entre outros, são presentes em consonância com teorias atuais em Educação Matemática, ampliando as possibilidades para que as aprendizagens pretendidas realmente se concretizassem. Há nessas propostas uma preocupação importante com a aprendizagem de todas as partes envolvidas, sejam eles pesquisadores, professores ou estudantes, a partir de parcerias didáticas que se consolidaram. Nelas, são claras as tentativas de se trazerem situações pretensamente contextualizas, oriundas, às vezes, de situações reais ou de dentro da própria matemática, mas sempre significativas, que levam a um real interesse dos estudantes.

São comuns também rupturas com algumas práticas que não propiciam diálogos,colaboração e o trabalho com resolução de problemas, principalmente como abordagem metodológica. Ao se escolher essa abordagem, abrem-se possibilidades não apenas para a valorização daquilo que já foi construído, mas também para a descoberta de novas interligações e possibilidades não antes vislumbradas. Tal abordagem é amplamente

defendida pelo brasileiro Paulo Freire que, em busca de uma maior dialogicidade no contexto escolar, chega a dizer que utilizar a problematização como estratégia didática é também uma forma de libertação, uma vez que o desafio proposto tende a contribuir para as possíveis interligações e, nesse caso, poderá contribuir de forma significativa para a tão desejada ligação entre o conhecimento da vida e o conhecimento acadêmico.

Pode ser notada nas diversas atividades desenvolvidas uma ruptura com o “sistema explicador” como dito pelo filósofo francês Jacques Rancière, avançando em relação a práticas ainda enraizadas na escola, caminhando no sentido de trazer situações problematizadoras reais, possíveis e desejáveis. O que se vê é uma tentativa intencional de modificar o desenvolvimento habitual das aulas, levando os professores envolvidos a pensarem na possibilidade de uma postura diferente em relação aos alunos, voltada para situações que favoreçam a confiança em sua capacidade de aprender.

Entendo que a articulação pensada dessa forma poderá favorecer a aprendizagem dos professores em formação e professores em atuação, ajudando a se pensar em propostas que não façam os estudantes andarem sobre trilhos, com uma direção a seguir, mas que possam ser incentivados a terem iniciativa e liberdade de pelo menos colaborarem para a construção de seu futuro, e que esse possa lhes permitir escolhas ou ao menos consciência das escolhas que foram obrigados a fazer. É por essas, entre outras razões, que a leitura desse livro é essencial para que possamos ampliar as ações voltadas para a formação de professores, seja ela inicial ou continuada e, por meio delas, promover possibilidades de melhorias na Educação Matemática em nosso país. Além disso, e não menos importante, o que se pode ver por aqui é uma conjunção de ações que somente reforçam a importância do Pibid e o quanto é preciso juntar esforços para que tão importante programa continue e se fortaleça para o bem da educação no Brasil.

Vitória – ES, agosto de 2016.Rony C. O. Freitas2

2 Concluiu doutorado em Educação em 2010 e mestrado em Informática em 2004, ambos pela Universidade Federal do Espírito Santo e com pesquisas no campo da Educação Matemática. Atualmente é professor no Instituto Federal do Espírito Santo, atuando no Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática e na Licenciatura em Matemática, e diretor da Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Espírito Santo (SBEM-ES).

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1 | ATIVIDADES SOBRE FRAÇÕES POR MEIO DE JOGO EDUCACIONAL ONLINE

Laira Lamburghini Brandão RibeiroYasmin Giles Santana

Sandra Aparecida Fraga da SilvaJéssica Schultz Kuster

O Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid) é um programa nacional, cujo objetivo principal é dar oportunidade aos alunos de licenciaturas vivenciarem a realidade da sala de aula do ensino regular durante sua formação. O subprojeto de Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) campus Vitória, tem algumas ações específicas para o grupo de alunos bolsistas, como observação em sala de aula; planejamento de aulas e atividades com o professor regente das turmas acompanhadas; elaboração e aplicação de oficinas envolvendo os assuntos estudados pelas turmas; maratona de matemática nas escolas atendidas, entre outras (PINTO; SILVA; CADE, 2015). Nossa proposta neste trabalho é apresentar uma experiência ocorrida numa escola de ensino fundamental municipal envolvendo o tema frações, no qual abordamos em jogo online, refletindo sobre o papel do professor nesta ação. O jogo teve como objetivo revisar o conceito de representação do inteiro por partes, frações equivalentes e comparação de frações.

Ao participarmos de aulas enquanto bolsistas do Pibid em uma turma do 6º ano do ensino fundamental de uma escola pública, percebemos dificuldades de alguns alunos que atendemos quando trabalhavam com frações. Mesmo com as atividades em sala de aula, com uso de material concreto ou auxílio por meio de monitoria, os alunos mostravam-se desinteressados pelo assunto, talvez por não estarem entendendo o conceito. Percebendo esta questão, procuramos planejar uma proposta de atividade com recursos ainda não utilizados que provocasse a motivação deles. Percebemos que o ambiente da sala de aula não estava colaborando com a aprendizagem, verificamos que o calor intenso poderia ser uma causa de desconcentração dos alunos. Portanto, decidimos que a atividade deveria estar em um ambiente climatizado e o laboratório de informática disponibilizado pela escola atenderia nossa expectativa quanto a isso. Além disso, atividades com uso de computadores já atraem os alunos de várias idades.

Em relação às frações, notamos que pesquisas realizadas por Silva (1997), Cyrino et. al (2014) e Bertoni (2009) apontam para a existência de dificuldades em relação ao conceito de fração, tanto do ponto de vista do seu ensino como em relação à sua aprendizagem. Dentre as dificuldades apontamos o entendimento da própria representação, a ideia de número, a comparação de duas frações que representam a mesma parte de um inteiro que são as frações equivalentes, dentre outras. Por estes e outros motivos, “o conteúdo de frações tem sido um dos mais difíceis do ensino fundamental. Avaliações e pesquisas atestam baixo rendimento dos alunos no assunto” (BERTONI, 2009, p.16). Algumas dificuldades estão relacionadas à forma de apresentação das frações, como uma nova maneira de representar um único número. Segundo Nunes e Bryant (1997, p. 191)

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RIBEIRO, Laira | SANTANA, Yasmin SILVA, Sandra | KUSTE, Jéssica

Com as frações, as aparências enganam. Às vezes, as crianças parecem ter uma compreensão completa delas e ainda não a têm. Elas usam os termos corretos, falam sobre frações coerentemente, resolvem alguns problemas, mas diversos aspectos cruciais das frações ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que é possível que alguns alunos passem pela escola sem superar dificuldades relativas às frações sem que ninguém perceba.

A partir disto, percebemos que existem dificuldades encontradas por alunos na compreensão do conceito de números racionais, em especial na sua representação em frações. Reforçando este ponto de vista, os Parâmetros Curriculares Nacionais de 5ª a 8ª série, indicam que

Embora as representações fracionárias e decimais dos números racionais sejam conteúdos desenvolvidos nos ciclos iniciais, o que se constata é que os alunos chegam ao terceiro ciclo sem compreender os diferentes significados associados a esse tipo de número e tampouco os procedimentos de cálculo, em especial, os que envolvem os racionais na forma decimal (BRASIL, 1998, p.10).

Essa dificuldade de compreensão foi percebida por nós nas observações. Pensando em uma forma diferente de abordar o assunto com a classe, nos remetemos aos PCN que sugerem uso de jogos. Segundo este documento, “os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções” (BRASIL, 1998, p. 46). Para isso, utilizamos o jogo educacional “Frações do Professor Sagaz” formado pelo grupo do Instituto de Ciências Matemáticas e Computação (ICMC) – USP. De forma lúdica, queríamos que os alunos conseguissem formar por eles mesmos, algoritmos para a solução de problemas envolvendo, principalmente, equivalência de frações.

Concordamos com Grando (2004, p. 26) quando afirma que “esse elemento [jogo] se apresenta como uma atividade dinâmica e de prazer, desencadeada por um motivo próprio, desafiando e motivando os jogadores à ação”, pois de fato o jogo torna o ambiente mais ativo e o conteúdo mais interessante e incentivador. Grando (2004, p. 14) também afirma que “o professor é o mediador da ação do aluno na atividade de jogo, objetivando resgatar conceitos matemáticos do nível da ação para uma posterior compreensão e sistematização”. Logo é preciso estar atento ao papel do professor no momento em que os alunos estão jogando, utilizando-se de momentos para a formalização dos conteúdos abordados no jogo. Como estamos num programa de iniciação à docência, refletir sobre esse papel a partir de uma ação envolvendo o jogo também contribui para nossa aprendizagem docente.

Ressaltamos que esta oficina não teve caráter totalmente investigativo, pois somente utilizamos essa metodologia por alguns momentos, visto que o jogo serviu de revisão do conteúdo já estudado em sala de aula. Assim, os objetivos da oficina foram possibilitar o entendimento do que é fração, fração equivalente e conseguir comparar frações; revisar o próprio conhecimento e, que no momento da construção do conceito com toda a turma,

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Atividades sobre frações por meio de jogo educacional online

todos fossem capazes de interagir. Ainda ressaltamos que o jogo aborda apenas uma das ideias do conceito de frações, que é o de parte/todo, e sabemos que precisamos abordar as outras ideias, mas não foi o foco nessa ação.

Para que o leitor possa compreender como organizamos a atividade para atingir os objetivos indicados, apresentamos a seguir o plano de aula organizado para a aplicação da mesma.

PLANO DE AULATurma: 6º anoQuantidade de aulas: Três aulas de 50 min.Objetivo geral: Possibilitar o entendimento do que é fração e fração equivalente,

e conseguir comparar frações; revisar o próprio conhecimento e, que no momento da construção do conceito com toda a turma, todos fossem capazes de interagir.

Objetivos específicos:• Relembrar conceitos e propriedades de fração

• Discutir conceitos de representação de fração

• Construir a ideia de frações equivalentes

• Comparar fraçõesMateriais:

• Laboratório de informática (um computador para cada dupla/trio de alunos)

• Lousa e pincel

• Folhas de avaliação

Materiais:

• Laboratório de informática (um computador para cada dupla/trio de alunos)

• Lousa e pincel

• Folhas de avaliação

Metodologia da Aplicação:Iniciamos o jogo com uma conversa introdutória pontuando exemplos

de frações e o que elas representam para os alunos, para não confundi-los na representação utilizada durante o jogo. Depois deve-se introduzir o programa “Frações do professor sagaz”.

O jogo é dividido em 3 partes. O objetivo da primeira parte é que eles entendam a construção de um inteiro com partes iguais.

Na segunda parte os alunos deverão formar metade de um inteiro com as frações que estão disponíveis, assim estarão construindo o conceito de frações equivalentes. No final desta etapa do jogo, eles serão desafiados a encontrar

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em uma lista possíveis frações equivalentes.Na terceira parte, eles comparam duas a duas frações quanto a serem

maiores ou menores.Concluímos a aula no laboratório relembrando com os alunos o que eles

conseguiram aprender com o jogo e relacionando o que a professora já havia lhes ensinado.

Para uma avaliação é lançando um problema proposto em uma folha para resolverem em duplas.

Materiais de apoio:

• Livro didático

• Jogo

Esta oficina foi realizada em dezembro de 2015, numa escola municipal de ensino fundamental em Vitória - ES. Participaram da oficina 23 alunos do 6º ano do ensino fundamental, que foram acompanhados por bolsistas do Pibid durante todo o ano de 2015. O jogo utilizado nesta oficina, foi o “Frações do professor sagaz”, composto por 3 partes: a primeira referente ao conceito de representação do inteiro por partes iguais, a segunda fase sobre frações equivalentes e a terceira fase sobre comparações de frações. Destacamos que o jogo privilegia a utilização de frações unitárias. Este jogo traz manipulações de blocos, que ao se completarem produziam as respostas corretas solicitadas em cada fase. “Frações do professor sagaz”foi desenvolvido pelo grupo do Instituto de Ciências Matemáticas e Computação (ICMC) – USP e está disponibilizado no site http://tsampaio.com/ic/objetos/kit1/index.html.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE

Para a realização desta atividade deslocamos toda a turma para o laboratório de informática e dispusemos os alunos em duplas para cada computador. Iniciamos a atividade com discussões orais a respeito de frações, conceito, equivalência e comparação. Pedimos que os alunos dissessem o que eles entendiam como fração, porém, ninguém respondeu, então adaptamos a pergunta e pedimos que nos dissessem um exemplo de fração. Logo um se dispôs e permitimos que ele escrevesse na lousa o exemplo, que não era uma ação comum entre eles em sala de aula. E pedimos que nos explicassem o que poderia significar aquela fração, que possuía numerador menor que denominador, logo um grupo respondeu que era uma parte da pizza comida. Desenhamos uma pizza na lousa (semelhanteà figura 1) e representamos o que haviam dito e depois dividimos a mesma pizza no dobro de pedaços. Pedimos então para que nos dissessem a nova fração que representaria a porção comida e que eles comparassem com a anterior. Depois de alguns instantes de reflexão pedimos que nos dissessem como poderíamos, a partir da nova fração, alcançar a anterior, e a turma não soube formar a nova fração. Notamos que os alunos não haviam construído corretamente o conceito de fração equivalente e não estava claro naquele momento a

http://tsampaio.com/ic/objetos/kit1/index.html

http://tsampaio.com/ic/objetos/kit1/index.html

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função de representação que a fração havia tomado, o que confirma os problemas antes apontados no texto (CYRINO et al, 2014).

Figura 1 - Representação do desenho feito na lousa

Fonte: Arquivo do subprojeto Pibid/Matemática Vitória, 2015.

Após essa fase inicial, mesmo percebendo que não compreendiam todas as relações, pedimos que começassem a primeira fase (parte), que consistia em identificar frações unitárias e como elas constituem o todo, visto a importância de relembrar desde o início tudo o que eles já estudaram em sala de aula. O jogo aborda dobros, terços, quartos, quintos e sextos, todos para formar o inteiro, como pode ser visto na figura 2 a seguir.

Figura 2 - Jogo Frações do Professor Sagaz Parte 1

Fonte: http://www.tsampaio.com/ic/objetos/kit1/index.html, 2016.

Assim, ao iniciarem a primeira fase do jogo, eles eram convidados a entender o conceito de representação do inteiro por partes, formando os inteiros, agora não com pizzas, mas com blocos. Sempre abordando as frações unitárias. Entendemos que é uma limitação do jogo, mas para iniciar a revisão para quem estava com dúvidas foi importante. Uma parte da turma terminou rapidamente a primeira fase e pedimos que esperassem

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o resto da turma continuar. No começo a turma entendeu, porém com a demora foram ficando ansiosos. Decidimos que não iríamos abrir a discussão a respeito do que foi trabalhado na primeira fase, mesmo com alguns alunos em fase de conclusão. Desafiamos a turma a formar um inteiro com frações representando 1/8 oralmente. Voltamos ao exemplo da pizza que eles haviam criado num primeiro momento e questionamos sobre quantas partes formavam a pizza inteira. Logo a turma respondeu que havia entendido e que no caso de pedaços de 1/8 eram 8/8 que formariam um inteiro. Foi interessante perceber que o jogo tinha ajudado nessa constatação, que a princípio não estava tão claro no início das atividades.

Demos início à parte 2, que introduziria o conceito de fração equivalente com valores diferentes do inteiro, que era o assunto que estava sendo tratado pela professora em sala de aula. Durante as aulas notamos que os alunos estavam apresentando dificuldades ao executar atividades de frações equivalentes e a princípio, também tiveram dificuldades com o jogo. Assim, os alunos precisavam mover peças tais como, metades, terços, quartos, e fazer ajustes para que formem o ½. Alguns alunos erraram por tentarem repetir a parte 1 do jogo, logo completando um inteiro com os blocos soltos, como observamos na figura 3.



Conforme comentamos, durante esta parte tivemos alguns problemas para que completassem ½ com outros blocos. A maioria dos alunos tentava utilizar a mesma relação com o inteiro, como na parte anterior, e deixamos que, por eles mesmos, descobrissem o que estava acontecendo e porque estavam errando. Aqui começa a estabelecer a relação com as equivalências, e não é qualquer fração unitária que consegue representar o ½, como por exemplo, frações de 1/5. Vale ressaltar que no jogo, quando o aluno erra,

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aparece uma mensagem que o questiona sobre sua resposta, solicitando que pense mais, mas não diz que está errado. Aqui agimos como Grando (2004) destaca sobre o papel do professor: instigamos, mas não demos a resposta.

Ao alcançarem um momento específico do jogo (figuras 4 e 5), tivemos que dar atenção especial, pois muitos não estavam conseguindo avançar por não conseguirem realizar multiplicações sem o auxílio da tabuada e começaram a se sentir desmotivados por não encontrarem as frações equivalentes. Isso retrata algumas dificuldades observadas em sala de aula anteriormente.

Figura 4 – Aluna tentando resolver o problema de encontrar frações equivalentes


Figura 5 - Alunos com dúvidas na fase 2


Após todos terminarem a parte 2, revisamos o que foi aprendido, deixando que eles falassem como encontrar frações equivalentes. Essa ação também é indicada por Grando (2004) quanto ao papel do professor. Precisamos retomar ações desenvolvidas para sistematizar o conteúdo trabalhado. Cabe destacar que os alunos conseguiram entender o algoritmo de como se obter frações equivalentes, pois quando voltamos a discutir o exemplo inicial (figura 1), da pizza, ao questionar como poderíamos voltar da fração 24

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para 12, os alunos responderam que “é só dividir o número de cima e o de baixo por dois”. Aproveitamos o momento para relembrar a nomenclatura (numerador e denominador). Cabe destacar que poderíamos instigar outras questões como “será que só podemos fazer desta maneira?”, mas preferimos continuar com o jogo.

Iniciando a parte 3, os alunos eram convidados a compararem frações e entenderem que quando há um mesmo numerador, a relação é inversamente proporcional à relação dos denominadores (figura 6).



Nesta fase, queríamos que o aluno fosse capaz de criar uma relação entre as comparações feitas, ora os números eram os numeradores, ora eles eram denominadores das frações (figura 7). A princípio não falamos sobre a relação de inversamente proporcional, porque a professora iria abordar esse assunto posteriormente.

Figura 7 - Comparando frações


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Encerramos o jogo utilizando alguns exemplos de frações, para oralmente compararmos as frações. Observamos que os alunos, baseando-se no que realizaram durante o jogo, se sentiram satisfeitos por conseguirem realizar todo o jogo proposto, alcançando todos os níveis. Confirmamos nossa hipótese de que o jogo no computador motivaria esses adolescentes. Temos ciência das limitações do jogo e da necessidade de realizar outras atividades, com frações diferentes das unitárias e com outras ideias das frações, mas atingimos o objetivo proposto para a ação.

No dia seguinte a esta oficina, desenvolvemos uma atividade escrita e em dupla na sala de aula. Foi uma atividade avaliativa para verificar se a turma havia compreendido o que seria uma fração equivalente e se conseguiram unir o que já sabiam ao que propomos a eles pelo jogo. Pedimos para que resolvessem o problema (figura 8 e 9) e que escrevessem como fizeram para descobrir a solução. A maioria da turma se empenhou em fazer a atividade proposta e solucionou baseada no que o jogo apresentou a eles. Houve um pouco de dificuldade em entender o enunciado quanto a pintar a parte correspondente na pizza, talvez fosse interessante usar os blocos do jogo, mas não pensamos nisso anteriormente. Houve alguns casos de alunos que ao tentarem descobrir quantos pedaços João havia comido, não conseguiam resolver nem percebendo que não havia nada a ser feito. Quando eles nos questionavam se estavam corretos, pedíamos que contassem quantos pedaços de pizza foram comidos e quantos pedaços foram comprados, e logo eles percebiam onde eles haviam cometido o engano e repensavam a forma de descobrir a quantidade certa (figura 10).

Figura 8 - Problema proposto para avaliação


Figura 9 - Explicação da solução do problema proposto


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Figura 10 - A soma dos pedaços é maior que o total de pedaços descrito no enunciado


Este jogo tornou o conteúdo mais atrativo e, consequentemente, ficou mais fácil de entenderem. Conseguiram nos informar suas dúvidas de forma mais clara e até mesmo por meio da reflexão, encontraram seu erro sem ajuda. Notamos que os momentos de sistematização foram fundamentais para que contribuíssem com esse aprendizado.

CONCLUSÕES

Este jogo nos permitiu trazer a atenção da maioria dos alunos para o que realmente queríamos que eles entendessem, de forma agradável e estimuladora. Possibilitou a visualização que somente o livro didático disponível à turma não foi suficiente, pois ao deslocarem os blocos e montarem as comparações solicitadas, foi possível favorecer o entendimento do conceito e não somente operações. Contudo, o jogo sozinho não se realiza, pois os alunos precisam de auxílio durante o jogo, isso confirma o que Grando (2004) aponta quanto ao papel do professor de mediador. Utilizamos então essa proposta como uma ferramenta, que nos possibilitou explicar e ver os pontos em que os alunos necessitavam de ajuda. Ao discutirmos oralmente com toda a turma e sistematizarmos os conceitos abordados durante o jogo, foi possível reiterar o que eles aprenderam, mesmo os alunos estando um pouco tímidos.

Pelas atividades avaliativas do segundo dia, percebemos que a maioria da turma conseguiu desenvolver a atividade proposta. Concluímos que é necessária a utilização de outras ferramentas que venham a aumentar a curiosidade do aluno e que ele se sinta motivado para aprender. É importante, para nós como futuros professores e para todos os professores, respeitar a criatividade dos nossos alunos e permitir que eles possam se

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desenvolver com ferramentas que nós oferecemos e considerar o ambiente em que estão inclusos.

Como docentes, somos chamados à atenção de nos preocupar com o desenvolvimento de nossos alunos, devendo nos esforçar a procurar maneiras de maximizar a aprendizagem e a visão crítica deles. Nos demanda trabalho a mais, mas é compensador quando toda a turma consegue entender a essência do conteúdo.

REFERÊNCIAS

ALMEIDA, Maria Elizabeth Bianconcini de. Informática e formação de professores. Coleção Informática Aplicada na Educação. São Paulo: MEC/SEED/PROInfo, 1999.

BERTONI, N. E. Educação e Linguagem Matemática IV: Frações e Números Fracionários. Brasília: Universidade de Brasília, 2009.

BRASIL. MEC. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental. Brasília: MEC, 1998.

CYRINO, M. T.; GARCIA, T. R.; OLIVEIRA, L. P. de; ROCHA, M. R. Formação de professores em Comunidades de prática: frações e raciocínio proporcional. Londrina: UEL, 2014.

GRANDO, Regina Célia. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Paulus, 2004.

NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo Matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.

PINTO, A. H.; SILVA, S. A. F.; CADE, M. B. S. Formando professores de matemática na tessitura do Pibid. In: SILVA, S. A. F.; PINTO, A. H.; CORRÊA, A. C. A. Iniciação à docência em aulas de matemática: experiências do Pibid. Vitória: Editora do Ifes, 2015.

SILVA, M. J. Sobre a introdução do conceito de número fracionário. 1997. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 1997.

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SOBRE OS AUTORES

Laira Lamburghini Brandão RibeiroAluna do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito

Santo, campus Vitória. Bolsista de Iniciação à Docência do Pibid/Ifes de 2015 a 2016. E-mail: [email protected].

Yasmin Giles SantanaAluna do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito


Sandra Aparecida Fraga da SilvaDoutora em Educação pela Universidade Federal do Espírito Santo. Mestre em

Educação e Licenciada em Matemática pela mesma instituição. Professora do Instituto Federal do Espírito Santo – campus Vitória. Coordenadora de área do Pibid/Ifes de 2011 a 2016. E-mail: [email protected].

Jéssica Schultz Kuster Licenciada em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo.

Professora da Rede Municipal de Educação de Vitória. Professora supervisora do Pibid/Ifes de 2015 a 2016. E-mail: [email protected].

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2 | O JOGO FATORANDO COMO METODOLOGIA PARA O CÁLCULO DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM NO ENSINO FUNDAMENTAL

Antonio Henrique PintoMarcela Santana Santos

Stella Gomes de Souza

A aula descrita neste capítulo foi realizada no Laboratório de Ensino de Matemática (LEM), pelas bolsistas do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid) do subprojeto Matemática - campus Vitória. A aula foi desenvolvida no ano de 2015, dando continuidade às práticas que já estávamos vivenciando no cotidiano da escola parceira do Pibid. Dessa maneira, conforme estabelecido pelo programa Pibid, nossa atividade nos proporcionou, como graduandas do curso de licenciatura, almejar os objetivos:

Incentivar a formação de docentes em nível superior para a educação básica; contribuir para a valorização do magistério; elevar a qualidade da formação inicial de professores nos cursos de licenciatura, promovendo a integração entre educação superior e educação básica; inserir os licenciandos no cotidiano de escolas da rede pública de educação, proporcionando-lhes oportunidades de criação e participação em experiências metodológicas, tecnológicas e práticas docentes de caráter inovador e interdisciplinar que busquem a superação de

problemas identificados no processo de ensino-aprendizagem; incentivar escolas públicas de educação básica, mobilizando seus professores como co-formadores dos futuros docentes e tornando-as protagonistas nos processos de formação inicial para o magistério e contribuir para a articulação entre teoria e prática necessárias à formação dos docentes, elevando a

qualidade das ações acadêmicas nos cursos de licenciatura (Capes).

Sendo assim, defendemos a importância do Pibid para a formação docente, tendo em vista suas contribuições para a aprendizagem dos bolsistas, para a escola participante, para o professor supervisor e os alunos beneficiados pela inserção dos bolsistas no ambiente de aprendizagem.

No contexto escolar acompanhado antes do momento da aula em que baseamos a pesquisa, a professora regente da turma do 6º ano ensinou aos alunos como efetuar o cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) pela seguinte técnica: devem listar os múltiplos dos números que se quer encontrar o MMC em quantidade suficiente para encontrar pelo menos

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PINTO, Antonio | SANTOS, MarcelaSOUZA, Stella

um em comum entre eles, marcando-se o menor deles. Os alunos efetuavam os cálculos da maneira ensinada, mas constatamos que grande parte da turma realizava os cálculos de maneira mecânica, apresentando dúvidas relativas ao real conceito de MMC. Assim, a professora sugeriu que o tema de nossa aula de regência abordasse novo método para o cálculo do MMC: o uso da fatoração simultânea para o cálculo, buscando consolidar a compreensão do conteúdo. Nesse contexto, o objetivo geral da atividade foi estabelecer relações entre os critérios de divisibilidade e o conceito de números primos, aplicados ao cálculo do MMC por meio da fatoração simultânea. Para isso, buscamos promover um ambiente de ensino-aprendizagem diferenciado, possibilitado pela mudança do espaço, uma vez que a aula foi realizada no Ifes e foi desenvolvida por meio de uma metodologia de ensino fora do padrão, utilizando material lúdico3 elaborado para essa aula.

PRESSUPOSTOS TEÓRICOS E METODOLÓGICOS

Durante o planejamento da atividade, nos preocupamos em colocá-la em linguagem adequada ao nível de aprendizagem dos alunos, de modo que a aula possibilitasse seu entendimento. Além disso, buscamos adotar uma metodologia de ensino diferenciada, saindo da rotina da classe para despertar o interesse dos alunos envolvidos. Segundo Barbosa e Carvalho,

A introdução de jogos como estratégia de ensino-aprendizagem na sala de aula é um recurso pedagógico que apresenta excelentes resultados, pois cria situações que permitem ao aluno desenvolver métodos de resolução de problemas, estimula a sua criatividade num ambiente desafiador e ao mesmo tempo gerador de motivação, que é um dos grandes desafios ao professor que procura dar significado aos conteúdos desenvolvidos. (BARBOSA; CARVALHO; 2009)

As experiências com jogos matemáticos têm proporcionado resultados significativos, uma vez que contribuem para o desenvolvimento do aluno, aperfeiçoando suas estratégias e o fazendo reavaliar ações ao se deparar com um erro. Além disso, esse desenvolvimento estimula o trabalho em equipe, desperta a criatividade dos alunos, bem como estimula o raciocínio lógico, a curiosidade, a habilidade e confiança. Como aponta SOUZA e col. (2015),

A interação entre os alunos proporciona comunicação construtiva, troca de experiências, ideias e opiniões, gerando uma construção natural de conhecimento. O desenvolvimento de jogos e atividades diferenciadas estimula o aluno a participar da aula, o que implica seu aprendizado por meio desta ação. Essa metodologia de ensino deve focar na qualificação da aprendizagem do aluno, sua dinâmica, crescimento e desenvolvimento individual.

3 Disponibilizado ao Laboratório de Matemática do Ifes campus Vitória no intuito de que seja de utilidade para outras aplicações, como foi para a nossa.

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O jogo fatorando como metodologia para o cálculo do mínimo múltiplo comum no ensino fundamental

DESENVOLVIMENTO

A atividade foi realizada no Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) do Ifes/ campus Vitória em duas aulas, totalizando 110 minutos, com a turma do sexto ano do ensino fundamental. Aplicamos o jogo “Fatorando” (fig.1) (adaptado de MOTOKANE, 2004).

Figura 1 - Jogo Fatorando


Os objetivos específicos da atividade a ser relatada foram: abordar a fatoração simultânea como ferramenta para o cálculo do MMC (fig.2; compreender o conceito de números primos; revisar os critérios de divisibilidade; estabelecer relações entre divisibilidade, fatoração e MMC; estimular a memória; incitar a interação entre os alunos.

Figura 2 - Quadro de exercícios feitos em discussão com os alunos (fatoração simultânea para cálculo do MMC)


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A atividade foi realizada da seguinte maneira. A turma foi organizada em duplas. Cada dupla recebeu o material que nós elaboramos durante planejamento, sendo 1 kit do jogo “Fatorando” (adaptado de MOTOKANE, 2004). Cada kit era composto por um tabuleiro com 28 retângulos interligados. Interligamos os retângulos para enfatizar a regra de que se pode realizar movimentos partindo de uma posição inicial para qualquer direção do tabuleiro (fig.3); 2 cartelas para fatoração (fig.4), 28 retângulos contendo números primos; 1 dado; 2 botões; 9 fichas retangulares com os números a serem fatorados (fig.5).

Figura 3 - Tabuleiro com 28 retângulos interligados


Figura 4- Cartela para fatoração

Fonte: Arquivo do subprojeto 2016.

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Figura 5- Fichas retangulares com os números a serem fatorados


Inicialmente foi explicado o conceito de números primos, prosseguindo para o esclarecimento das regras. Grando (2004, p.23) afirma que “a regra estabelece o movimento a ser conferido ao jogo, isto é, define o que pode e que não pode acontecer nele, limitando a ação de seus adversários”. As regras foram definidas da seguinte forma:

1. É distribuído (pelas bolsistas) o kit;

2. É escolhido, por cada participante, um botão;

3. As peças retangulares que contêm os números primos são embaralhadas pelos estudantes e colocadas sobre o tabuleiro com a face voltada para baixo nos espaços retangulares do tabuleiro (fig.6);

4. Em seguida, são colocadas peças retangulares que contêm os números naturais sobre a mesa (fig 6);

Figura 6 – Decorrer da atividade: Passo 4


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5. É definida a ordem em que cada participante vai jogar. Em seguida, cada jogador deve pegar uma peça retangular e colocar sobre a cartela para cálculos;

6. O jogo é iniciado com um jogador lançando o dado e fazendo seu botão percorrer o número de casas indicado na face superior do dado, em qualquer direção do tabuleiro.

7. O primeiro jogador deverá virar a peça da casa em que parou e verificar se o número sorteado pode ou não dividir o número de sua cartela de cálculos. Se dividir, ele coloca a peça sorteada do tabuleiro sobre a cartela de cálculos, faz a divisão na cartela de cálculos e fica com a peça sorteada, passando a vez para o outro jogador (fig.7). Caso a peça sorteada do tabuleiro não divida o número, o jogador coloca a peça de volta com a face voltada para baixo e passa a vez para o outro jogador.

Figura 7 - Decorrer da atividade: Passo 7


8. O segundo jogador repete o procedimento anterior e o jogo continua assim até que um jogador chegue ao final da fatoração. Nesse momento, pega outra ficha contendo outro número para fatorar.

9. O jogo prossegue até que o tabuleiro esteja sem peças.

O jogador que tiver fatorado corretamente mais fichas, vence (para verificação, pode-se contar o número de peças fatoradas que cada um tem ao final do jogo, vence quem tiver mais). É claro que, para se obter sucesso no início do jogo, a sorte deve estar a seu favor, uma vez que, ao lançar o dado e escolher uma posição, qualquer número pode ser sorteado, inclusive um que não divida o número a ser fatorado. Porém, no decorrer do jogo, para se tornar vencedor, é fundamental que sejam traçadas estratégias, como trabalhar a memória. Quando for virado um número e este não for utilizado, mas devolvido para o tabuleiro, deve-se tentar lembrar desse número que foi mostrado e sua posição, pois ele pode ser útil em uma próxima rodada. Ao mesmo tempo, não adianta, por exemplo, ter que fatorar o número 70, sabendo a posição em que se encontram os números 2 e 3 no tabuleiro, e não saber

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qual deles divide o 70. Por isso, também é importante que os participantes saibam utilizar a matemática a seu favor, efetuando (o mais rápido possível) os cálculos necessários para saber qual número se está buscando encontrar no tabuleiro. Desta forma, o jogo desenvolve o raciocínio rápido, a noção espacial e a memória fotográfica.

Após todas as regras definidas, foram dados exemplos de como dividir números da maneira que seria efetuada no jogo, retomando os critérios de divisibilidade por 2, 3 e 5, sem citar aos alunos que o que estavam fazendo se tratava de fatoração.

Durante o desenvolvimento da atividade, as bolsistas esclareceram as dúvidas a respeito do conteúdo e do jogo, observando o desempenho dos alunos e direcionando a aula da forma planejada (fig. 8). Desse modo, retomamos o pensamento desenvolvido por Grando (2004, p. 14), ao afirmar que “o professor é o mediador da ação do aluno na atividade de jogo, objetivando resgatar conceitos matemáticos do nível da ação para uma posterior compreensão e sistematização”.

Figura 8 - Decorrer da atividade: Esclarecendo dúvidas


No momento da realização dos exercícios, muitos alunos apresentaram dificuldades para realizar a operação de divisão. Exemplificando: ao realizar a operação 70÷5, um dos alunos encontrou como resultado 35 (fig.9). Outro pensou ser possível efetuar a divisão de 343 por 2. Percebemos que os alunos se limitam ao uso do algoritmo, não conseguindo realizar o cálculo mental.

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Figura 9 - Erro na operação de divisão de um aluno


Após a finalização do jogo, foi exposto que a divisão, da maneira que foi efetuada, se tratava de fatoração, uma vez que não se estava efetuando divisão por números quaisquer, mas por números primos. Esclarecemos então o conceito da fatoração como decomposição de números em seus fatores primos. Adentramos nas definições de números primos; primos entre si; métodos de divisibilidade, entre outros conceitos envolvidos. Nesse contexto, abordamos a fatoração simultânea como ferramenta para o cálculo do MMC, trabalhando também suas propriedades e exemplos. Os alunos demonstraram entusiasmo nesse momento da aula, participando e comentando que estavam compreendendo, proporcionando um clima agradável ao ambiente da aula. Além disso, discutimos, realizando uma breve revisão do que foi visto durante a aula para constatar que houve sucesso na aprendizagem. Vale ressaltar que, após a realização do jogo, foi possível perceber que a interação proporcionada aos alunos durante a aula provocou estímulo à sua participação, garantido por meio do uso de uma metodologia diferenciada.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A partir da elaboração, planejamento, desenvolvimento e reflexão acerca da atividade, foi possível inferir que a utilização de jogos e outras metodologias diferenciadas tornam-se interessantes e divertidas para promover a aprendizagem. Além disso, promove aos licenciados a oportunidade de participarem de atividades matemáticas aprendendo metodologias de ensino diferenciadas.

Em relação ao novo conteúdo, verificamos que foi aprendido. Porém, falta base matemática relativa à operação de divisão. O jogo foi um mediador entre o conteúdo e o

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aluno. Baeta (2004) afirma que o uso de jogos no ensino fundamental desenvolve no aluno a iniciativa, o espírito explorador, a criatividade, a confiança e a independência.

Durante a explicação das regras, exemplificamos no quadro algumas situações relativas ao desenvolvimento dos jogos para o reconhecimento delas. Percebemos que nossas intervenções contribuíram para o aprendizado da importância do respeito aos adversários ao longo da atividade. Assim, toma-se consciência de que o aluno precisa de momentos de comunicação, debate, construção de modelos explicativos, linhas de argumentação e verificação de possíveis contradições. Nesse contexto, sintetizamos a importância de oferecer aos alunos, após a dinâmica, um período de discussão, como forma de incentivá-los ou ainda, desafiá-los à participação e questionamento, para exposição de ideias e práticas envolvendo aluno e professor. Esse período de discussão, que em nosso caso ocorreu durante e ao final da atividade, é ideal para relacionar, de maneira eficaz, os conteúdos matemáticos trabalhados. É o momento adequado para o professor buscar enfatizar e esclarecer aos alunos os objetivos do jogo. Durante a nossa experiência, ressaltamos a importância do domínio da tabuada e da operação de multiplicação, por exemplo. Além disso, ao final, consolidamos o que foi aprendido durante a atividade e definimos aquilo que foi feito como decomposição de números em seus fatores primos, deixando claro que não se tratava apenas de um jogo para diversão, mas sim de uma aula diferenciada para incentivo do interesse pela aprendizagem e desenvolvimento desta, que envolveu diversos conteúdos matemáticos.

As regras contribuem para o desenvolvimento cognitivo e das relações sociais dos alunos. Como aponta Leontiev (1988, p. 138), as atividades que envolvem regras desenvolvem traços extremamente importantes de personalidade da criança e, sobretudo, sua habilidade em se submeter a uma regra, mesmo quando um estímulo direto a impele a fazer algo muito diferente. A partir das regras, os alunos aprendem a dominar seu próprio comportamento.

Defendemos que a proposta do jogo deve ser estabelecida para que, de fato, a atividade alcance seus objetivos no processo de ensino e aprendizagem. Após essa aula, verificamos que os alunos puderam compreender as relações entre os critérios de divisibilidade e o conceito de números primos para, então, aplicar tais conhecimentos no cálculo do MMC, por meio da fatoração simultânea.

Ressaltamos a importância de serem estudados posteriormente, com mais atenção, os erros cometidos pelos alunos que envolvem a ausência de domínio de conhecimentos matemáticos básicos e fundamentais, para possibilitar aos alunos que prossigam em seus estudos. Nota-se, nesse caso, a necessidade de retomada das operações básicas de multiplicação e divisão, conceitos de números pares e ímpares, estudo da tabuada, entre outras lacunas que originaram a maior parte dos erros dos alunos durante o desenvolvimento da atividade.

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Os resultados obtidos indicam que conseguimos promover um ambiente de ensino-aprendizagem diferenciado, utilizando o jogo em sala de aula como recurso para o ensino da Matemática e propiciando aos alunos o raciocínio, habilidade e confiança no conteúdo. Além disso, eles demonstraram compreender, de fato, de que se tratava encontrar o Mínimo Múltiplo Comum de um número, entendendo o conteúdo e não realizando procedimentos de forma mecânica. Portanto, nossos objetivos iniciais foram alcançados com sucesso.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos a Capes pela oportunidade que nos foi dada de inserção no ambiente escolar; à coordenação do Pibid do Subprojeto do Pibid/ Matemática/Ifes campus Vitória/; à escola por permitir a realização da aula no Ifes e aos alunos pela participação na atividade.

REFERÊNCIAS

CAPES. Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência. Disponível em: <http://www.capes.gov.br/educacao-basica/capespibid> Acesso em: 11de janeiro de 2016.

MOTOKANE, Luciane Vieira de Paiva. Jogos Matemáticos: o Jogo Fatorando. In: VII Encontro Paulista de Educação Matemática, 2004, São Paulo. VII EPEM Matemática na Escola: Conteúdos e Contextos, 2004.

BARBOSA, Sandra Lucia Piola. CARVALHO, Túlio Oliveira de. Jogos Matemáticos como Metodologia de Ensino Aprendizagem das Operações com Números Inteiros. In: Resultado do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE.

GRANDO, Regina Célia. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Paulus, 2004.

LEONTIEV, A. N. Os princípios psicológicos da brincadeira em idade pré-escolar.In: VIGOTSKI, L. S. Linguagem, desenvolvimento e aprendizagem. São Paulo: Ícone EDUSP, 1988. Tradução: Maria da Penha Villalobos

MARQUES, Monica Baeta. O jogo como alternativa para as aulas de matemática nas séries finais do ensino fundamental. IN:Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática , 2004, Pernambuco. VII ENEM, Educação Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental,2004.

http://www.capes.gov.br/educacao-basica/capespibid

http://www.capes.gov.br/educacao-basica/capespibid

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SOBRE OS AUTORES

Antonio Henrique PintoDoutor em Educação pela Universidade Estadual de Campinas; Mestre em Educação

Pela Universidade Federal do Espírito Santo; Especialista em Informática na Educação pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais e Licenciado em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Professor do Instituto Federal do Espírito Santo, campus Vitória. Coordenador de área do Pibid/Ifes de 2013 a 2016. E-mail: [email protected].

Marcela Santana Santos Aluna do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo,

campus Vitória. Bolsista de iniciação à docência do Pibid/Ifes de 2014 a 2016. E-mail: [email protected].

Stella Gomes de Souza Aluna do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo,

campus Vitória. Bolsista de iniciação à docência do Pibid/Ifes de 2013 a 2016. E-mail: [email protected].

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3 | O USO DA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA EM SALA DE AULA: DESCOBRINDO A PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Pollyana dos SantosJorge Henrique Gualandi

Diana dos Santos MachadoRaphael Stafanato Boeno

Tatiana Delesposte

O presente capítulo tem por objetivo apresentar um relato de experiência sobre o uso de alguns pressupostos da investigação matemática, para a construção da definição e da expressão do termo geral da progressão aritmética. A atividade que será relatada foi realizada em uma turma da 1ª série do Ensino Médio de uma escola estadual do município de Cachoeiro de Itapemirim. Participaram desta intervenção conduzida pelos graduandos bolsistas do Programa de Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (Pibid), a professora supervisora do Pibid da turma e 31 estudantes.

Pode-se afirmar que a investigação matemática em sala de aula se propõe a encontrar respostas ou meios de solução para uma situação-problema posta pelo professor. (PONTE, et.al., 1998; PONTE, BROCARDO, OLIVEIRA, 2006; STRAPASON, BISOGNI, 2010). Para tal, a prática investigativa se apresenta como meio de conduzir essa “busca” ao traçar a metodologia utilizada para a descoberta do saber matemático:

Uma investigação matemática começa com uma situação que precisa de ser compreendida ou um conjunto de dados que precisa de ser organizado e explicado em termos matemáticos. É necessário começar por colocar questões interessantes e produtivas. Depois, é essencial correr o risco de formular conjecturas. O teste e a recolha de mais dados podem fortalecer essas conjecturas ou conduzir à elaboração de outras. Argumentos plausíveis e provas formais podem fornecer argumentos adicionais para confirmar ou rejeitar as nossas conjecturas. Ao longo deste processo, podem também emergir novas questões para investigar. (PONTE, et.al., 1998, p.2)

Trata-se, pois, de um olhar para a produção de conhecimento matemático na escola, que se distancia das concepções tradicionais de ensino e aprendizagem que entendem o conhecimento como um acúmulo de saberes que são transmitidos do professor ao aluno. Por essa razão, as investigações matemáticas em sala de aula demandam outras posturas em relação ao papel do professor e dos estudantes diante do saber, às dinâmicas de sala de aula e ao tempo de produção do conhecimento.

Nesse sentido, a proposta de trabalhar os conteúdos de matemática a partir das investigações matemáticas vem ao encontro das orientações trazidas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCN+) de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias e pelas Orientações Metodológicas para o Ensino Médio. Esses

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SANTOS, Pollyana | GUALANDI, Jorge MACHADO, Diana | BOENO, RaphaelDELESPOSTE, Tatiana

documentos sugerem uma mudança de enfoque quanto à produção do conhecimento no Ensino Médio e apontam para a necessidade de pensar a aprendizagem do conteúdo escolar a partir da apropriação das linguagens e métodos da investigação científica. Dentre as competências estabelecidas como metas para essa etapa da Educação Básica tem-se a compreensão e a investigação. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCN+) de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias:

O conjunto das competências de investigação e compreensão é relativamente mais amplo, também constituído por: identificação de dados e informações relevantes em situações-problema para estabelecer estratégias de solução; utilização de instrumentos e procedimentos apropriados para medir, quantificar, fazer estimativas e cálculos; interpretação e utilização de modelos explicativos das diferentes ciências; identificação e relação de fenômenos e conceitos em um dado campo de conhecimento científico; articulação entre os conhecimentos das várias ciências e outros campos do saber. (BRASIL, 2002, p.29)

Essas competências retomam a discussão sobre a aproximação do estudante com o fazer científico, ou seja, com a produção do conhecimento por meio do método de investigação científica. Bento de Jesus Caraça (apud PONTE, BROCARDO, OLIVEIRA, 2006, p.16) propõe uma interessante reflexão sobre os conhecimentos científicos sistematizados, posteriormente, em conteúdos escolares:

A Ciência pode ser encarada sob dois aspectos diferentes. Ou se olha para ela tal como vem exposta nos livros de ensino, como coisa criada, e o aspecto é de um todo harmonioso, onde os capítulos se encadeiam em ordem, sem contradições. Ou se procura acompanha-la no seu desenvolvimento progressivo, assistir à maneira como foi sendo elaborada, e o aspecto é totalmente diferente – descobrem-se hesitações dúvidas, contradições, que só um longo trabalho de reflexão e apuramento consegue eliminar, para que logo surjam outras contradições […].

Pensada dessa forma, as investigações matemáticas em sala de aula propõem o reconhecimento dos conteúdos e saberes matemáticos como frutos da experiência humana e instigam estudantes (e também professores) a fazer uso de outras estratégias para se acercar daquilo que “não sabem” além da convencionalmente conhecida. A atividade desenvolvida e relatada neste trabalho se orientou pelos procedimentos da investigação matemática propostos pelos autores acima citados, a saber: 1) exploração e formulação de questões; 2) formulação de conjecturas; 3) testes e reformulação e, 4) justificação e avaliação.

Na primeira etapa, exploração e formulação de questões, estimulou-se a compreensão da problemática proposta e a exploração dessa problemática por meio de formulação de novas questões que ajudarão a “destrinchar” o problema; na segunda etapa, deu-se a formulação de conjecturas, ou seja, a partir da organização dos dados, estimulou-se o desenvolvimento de “uma afirmação que responde a uma determinada pergunta e que se considera ser verdadeira, podendo-se referir a um único objeto ou a toda uma classe de objetos” (PONTE, et. al., 1998, p5); na terceira etapa, testes e reformulação, foram postas

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O uso da investigação matemática em sala de aula: descobrindo a progressão aritmética

“à prova” as conjecturas formuladas pelos estudantes. Em seguida, na quarta e última etapa, justificação e avaliação, foi preciso apresentar à classe a conjectura desenvolvida e submeter a uma avaliação do raciocínio utilizado.

A seguir, serão apresentados o plano de aula com o detalhamento da atividade desenvolvida com uma turma da 1ª série do Ensino Médio; as considerações e reflexões a respeito da experiência vivenciada tendo como pontos de análise: o papel de professores e estudantes na construção do saber matemático, as dinâmicas em sala de aula e o tempo da aprendizagem nessa perspectiva. E ao final, encontram-se as considerações finais deste capítulo que não pretendem ser conclusivas, mas, por outro lado, apresentar os desafios percebidos durante o desenvolvimento das investigações matemáticas em sala de aula e proposições para aqueles que se interessarem em enveredarem-se por essa metodologia de trabalho.

O PLANEJAMENTO DE AULA

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OS DESAFIOS DA PRÁTICA INVESTIGATIVA: APLICANDO PRESSUPOSTOS TEÓRICOS PARA DESCOBRIR A PROGRESSÃO ARITMÉTICA.

Neste momento serão descritos a condução da investigação matemática, os caminhos percorridos e a reação dos estudantes à proposta de aula. Como mencionado anteriormente, o relato da experiência será dividido de acordo com as etapas de elaboração da investigação matemática formulada por Ponte, Brocardo e Oliveira (2006): 1) exploração e formulação de questões; 2) formulação de conjecturas; 3) testes e reformulação e, 4) justificação e avaliação.

A PROPOSIÇÃO DE UMA PROBLEMÁTICA: EXPLORAÇÃO E FORMULAÇÃO DE QUESTÕES

Para o início das atividades, foram distribuídas folhas de papel quadriculado para todos os estudantes e outra folha contendo os seguintes comandos:

1- Escolha dois números quaisquer.

1° número: _____

2° número: _____

2- Pinte-os no papel quadriculado conforme explicações dadas pelos professores.

3- Escreva na frente da linha a quantidade de quadradinhos pintados.

Os dois números quaisquer escolhidos representariam o primeiro temo da P.A. e o outro a razão. É importante ressaltar que esses termos só serão formalizados após a institucionalização. A partir desses comandos, os estudantes começaram a construir os primeiros elementos da P.A. no papel quadriculado. Os alunos demonstraram uma grande curiosidade a respeito da atividade que seria desenvolvida, pois eles estavam pouco familiarizados com as ideias do conteúdo em questão. Logo no início, eles ficaram um pouco confusos sobre como seguir o comando que havia sido entregue. Por esse motivo, realizou-se uma simulação no quadro para uma melhor compreensão dos alunos. Conforme o exemplo abaixo, foram escolhidos os números 1 e 2 como base, representando, respectivamente, o primeiro termo e a razão da progressão aritmética.

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Quadro 01: Exemplo de atividade

Fonte: Material produzido pelos bolsistas de iniciação à docência, acervo Pibid, 2016.

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Terminada a simulação feita pelos bolsistas, cada aluno elaborou a sua própria sequência no papel quadriculado, utilizando para isso lápis de cor e tomando como base outros números como primeiro termo e razão. Posteriormente, por meio da observação do registro dos elementos no papel quadriculado, os alunos deveriam escrever na frente de cada linha a quantidade de quadradinhos pintados, refletir e responder aos seguintes questionamentos: a) observando a sequência que você construiu, quantos quadradinhos pintados teriam na próxima linha? Como você explicaria a conclusão a que você chegou?; b) Escreva a sequência dos números que representam os quadradinhos pintados de cada linha; c) observando essa sequência, quantos quadradinhos seriam pintados na 15ª linha? Como você explicaria esse procedimento?

A FORMULAÇÃO DE CONJECTURAS

A partir das respostas dadas pelos alunos aos questionamentos, deu-se a proposta de formular as conjecturas. Foi possível constatar, nesse momento, que os alunos entenderam a relação existente entre as figuras. Eles observaram que a sequência possuía uma ordem, sendo um mesmo número somado em todas as figuras, a partir da segunda. Alguns afirmavam que não era preciso nem ter feito a sequência dos quadradinhos no papel, era só colocar os números e somá-los. Com isso, os alunos, os bolsistas e a professora supervisora, institucionalizaram que uma progressão aritmética é toda sequência de números na qual o primeiro termo é somado com um número para formar o segundo termo. O segundo termo é somado com o mesmo número para formar o terceiro termo, e assim sucessivamente. Logo, o número que é sempre somado é chamado de constante.

Em seguida, para orientar os alunos a encontrarem uma expressão que permitisse a determinação do termo geral da progressão aritmética, propôs-se aos estudantes que completassem a seguinte tabela:

Tabela 01- Registro das sequências encontradas no papel quadriculado


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Verificou-se que durante o preenchimento da tabela os alunos levantaram algumas dúvidas sobre como deveriam completar a última linha. Com o intuito de auxiliá-los a encontrar as respostas, foi necessária uma intervenção dos bolsistas e da professora supervisora. Vale ressaltar que o momento mais difícil da atividade foi a construção da tabela pelos alunos. O “saber intervir” se tornou algo muito importante, pois a intenção não era dar a resposta aos discentes, e sim investigar uma resposta que atendesse a expressão 2n – 1, para n� N.

OS TESTES E AS REFORMULAÇÕES DAS CONJECTURAS

Assim que os estudantes finalizaram seus registros, foram apresentadas as diferentes resoluções, ocorrendo, portanto, a institucionalização do desenvolvimento da atividade. Após o preenchimento da tabela, iniciou-se a formalização da linguagem, explorando o que cada termo significava e, a partir de então, solicitou-se aos alunos que escrevessem com suas palavras o significado de cada termo. Logo após, formalizou-se a linguagem matemática.

Como havia progressões distintas, haja vista que os alunos podiam escolher o primeiro termo e a razão, ao institucionalizar chegou-se à conclusão de que o mais importante para a compreensão de um padrão é o processo de síntese, ou seja, chegar à expressão que define a sequência.

A JUSTIFICAÇÃO E A VALIDAÇÃO DAS CONJECTURAS

Esta etapa tinha o objetivo de justificar e validar as proposições feitas até o momento e generalizar uma expressão para o termo geral de uma progressão aritmética. A partir dos registros realizados no quadro, foram desenvolvidos alguns cálculos para validar a expressão encontrada perante os alunos, tomando como base os exemplos construídos pelos bolsistas de iniciação à docência e outras progressões elaboradas pelos estudantes.

Isso foi imprescindível para explicar a importância da referida expressão (2n-1, para n ≥ 1). Em diálogo com os alunos, percebeu-se que dependendo da progressão aritmética e do termo que se deseja descobrir, torna-se inviável construir a sequência. Os próprios alunos perceberam isso a partir de algumas perguntas dirigidas a eles sobre como saber quantos quadradinhos coloridos teriam na 50ª linha no quadro preenchido.

Ao final da atividade foram levantados alguns questionamentos para os alunos a respeito dessa experiência de investigar. Perguntou-se se eles haviam gostado de desenvolvê-la ou não. Boa parte dos alunos disse ter gostado por se tratar de uma abordagem distinta das características de uma aula convencional e que tal atividade era boa para exercitar o raciocínio, além de acharem interessante, pois, se tratava de uma maneira diferente de aprender.

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A EXPERIÊNCIA DE CONDUZIR UMA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA EM SALA DE AULA: ALGUMAS REFLEXÕES POSSÍVEIS

A utilização de atividades investigativas em sala de aula se tornou algo atraente para os alunos. Isso porque estimulou o raciocínio, desconstruindo a representação negativa da matemática como sendo algo mecanizado. Por meio dessa atividade os alunos foram provocados a raciocinarem um pouco mais sobre a questão proposta e dessa forma eles não só sintetizaram a expressão do termo geral de uma P.A, como compreenderam o seu desenvolvimento, apresentando, assim, uma construção para o conhecimento matemático.

Do ponto de vista da produção desse saber, foi interessante observar alguns aspectos durante a condução da atividade em sala de aula. A princípio, notou-se que os estudantes se sentiram estimulados a participarem da aula, uma vez que estaria proposto “pôr a mão na massa” para descobrir o que seria uma progressão aritmética. Assim, a ideia de construir um saber por meio de uma investigação, ou seja, seguindo os princípios do método científico, aguçou uma curiosidade e certo interesse em se pôr “disposto a aprender” (CHARLOT, 2000).

Ao longo da atividade, entretanto, algumas dificuldades foram surgindo, como por exemplo, a formulação das conjecturas. Talvez, o principal desafio fosse formular definições e explicações tomando como referência a própria linguagem matemática. As pesquisas realizadas por Ponte (et.al., 1998) e Strapason e Bisogni (2010) também apontaram esses desafios durante uma aula conduzida pela investigação matemática. Segundo os autores, durante a formulação das conjecturas, os estudantes encontram muita dificuldade em se expressar de forma adequada e compreensível e a causa de tal embaraço se encontra na pouca desenvoltura em fazer o uso correto dos termos e da linguagem matemática. Ponte (et.al., 1998) alerta para o cuidado que se deve ter nesse momento do processo de investigação, pois o professor ao mesmo tempo em que precisa estimular o uso correto dos termos, precisa saber dosar essa “exigência” para que ela não se torne um aspecto inibidor para o aluno:

O professor debate-se constantemente com a tarefa de procurar promover nos alunos o uso de uma linguagem matemática adequada. Mas isto conduz a dilemas: impor a utilização de linguagem correcta cedo demais ou de forma abrupta, pode quebrar a autoconfiança e fluência no trabalho dos alunos; deixá-los usar por muito tempo uma linguagem incorrecta pode tornar mais difícil o processo de adopção de uma linguagem apropriada. O professor precisa portanto, de ter uma razoável tolerância para o uso de termos inadequados, mas tem de saber quando intervir (PONTE, et.al., 1998, p.2).

Ainda sobre as conjecturas, tal qual observado por Ponte (et. al., 1998), pode-se perceber que os estudantes tendem a tomá-las como as conclusões, sem, no entanto, pô-las à prova, ou sem testá-las a validade. Desse modo, tem-se a necessidade de propor outras questões para que os alunos sejam instigados a testar a afirmação feita, a fim de perceber se ela se aplica como padrão ou regra em quaisquer situações.

Outro aspecto relevante percebido na experiência de executar um planejamento de aula, com base em pressupostos da investigação matemática, foi a relação professor e estudante na construção do conhecimento em sala de aula e as dinâmicas de sala de aula decorrentes dela. Uma vez claramente definido o papel do estudante como um sujeito ativo

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e consciente do seu processo de aprendizagem, tem-se o professor como um mediador ou como um orientador da construção do conhecimento, o que põe ao docente um novo desafio: pensar-se em outro lugar diante da sala de aula e do próprio conhecimento que ele possui, e que tradicionalmente tem-se que deveria ser transmitido:

[O método de inquirição] envolve também uma mudança no poder do professor que deixa de ter o controlo sobre as respostas, sobre os métodos aplicados pelos alunos e sobre a escolha de conteúdos de cada aula. Os alunos ganham controlo sobre os métodos de solução que aplicam e, finalmente, sobre o próprio conteúdo. A mudança para uma abordagem mais orientada para a inquirição envolve uma maior autonomia e auto-regulação do aluno e se se pretende que o clima da aula seja consistente, é necessário um maior poder d aluno sobre a dinâmica da aula, a interação e o acesso a recursos (ERNEST, 1996, p.31).

Nesse ínterim, pode-se falar em produção de “sentidos” para o saber que se aprende na escola. A “produção de um sentido” não se dá na “concretude” de um saber, mas na relação que esse conhecimento passa a estabelecer com a história dos saberes importantes produzidos pela humanidade e que, por isso, são compartilhados como conteúdos escolares às gerações mais jovens. Ao trabalhar diretamente com a construção de um conhecimento, o estudante estabelece conexões entre ele e sua existência, torna-se sujeito ativo do processo de aprendizagem e passa a compreender os “por quês?”, como nos propõe a refletir Miller (2011, p.9):

Enfatizamos, entretanto, que o aluno inserido em sua atividade de estudo, a exemplo do trabalhador inserido em seu trabalho, só vê sentido em realizá-la quando essa atividade se mostra por inteiro a ele, ou seja, quando as ações que ele realiza estão direcionadas pelo motivo que gerou a atividade como um todo e que dá ao aluno a oportunidade de ver-se no produto dela decorrente. Caso isso não ocorra, e as ações de estudo sejam pontualmente realizadas, sem que formem uma cadeia direcionada pelo motivo de uma atividade cuja finalidade corresponda a esse motivo que a gerou, o produto dessas ações pode parecer ao aluno como algo fora de si, externo a ela, alienado. Isso causa nele um estranhamento com relação ao produto de sua ação, e, com isso, o sentido que esse produto tem para sua vida se perde.

Outro aspecto relevante a se pensar, e nesse momento tem-se a grande contribuição do Pibid para professores da Educação Básica, refere-se às dinâmicas de sala de aula e às condições objetivas de produção do trabalho docente. Pensar essa perspectiva que irrompe o cotidiano escolar, principalmente no que tange ao tempo necessário para produzir conhecimento, se faz possível porque o professor regente encontra apoio entre os bolsistas de iniciação à docência para desempenhar uma tarefa que demanda uma maior proximidade entre educador e educando e a subversão do tempo de construção do saber que não se enquadra no tempo cronológico em que se organizam as atividades escolares.

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Assim como foi demonstrado neste relato de experiência e nas pesquisas que fundamentaram a elaboração, execução e reflexão das práticas desenvolvidas no Pibid, pode-se afirmar que o emprego das atividades de investigação matemática em sala de aula contribuem para: 1) a forma de perceber e conceber o conhecimento matemático (que, para este caso, tratou-se da progressão aritmética); 2) o aguçamento do senso crítico e investigador por meio da observação, do questionamento e de formulação de respostas; 3) a apropriação adequada da linguagem matemática ao formular as conjecturas, ou seja, as afirmações que trazem as respostas às questões e que, após sintetizadas, podem ser validadas; 4) a produção de significados e a construção de sentidos para os conteúdos de matemática.

É importante ressaltar que a atividade realizada precisou ser adaptada às dimensões do currículo e do tempo de aula. Reconhece-se que a investigação matemática propõe e demanda uma revisão dos modos de se organizar o tempo e os ritmos de aprendizagem assumidos pelos sistemas de ensino, pois, envolvem outros processos subjetivos de percepção e assimilação do conteúdo. Exige, assim, um acompanhamento mais próximo do professor com os educandos, desprovido de padrões de resposta e uniformização dos meios utilizados pelos discentes para aprender.

Como proposta para quem deseja se enveredar pelos caminhos da investigação matemática, sugere-se que esta e outras atividades sejam desenvolvidas para introduzir conteúdos escolares, assim os estudantes não se sentiriam induzidos a confirmarem tais conteúdos e se proporiam a “descobrir algo que não se sabe ainda”.

REFERÊNCIAS

BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Vol.2. Brasília, DF: MEC/SEB, 2006.

BRASIL. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN+: Ensino Médio – orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC, 2002.

CHARLOT, Bernard. Da relação com o saber: elementos para uma teoria. Trad. Bruno Magne. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.

ERNEST, P. Investigações, Resolução de Problemas e Pedagogia. In: ABRANTES, P; LEAL, L.C.; PONTE, J.P. (Eds.). Investigar para aprender matemática. Lisboa: ProjectoMPT e APM, 1996.

MILLER, Stela. Relações significado-sentido nos processos de ensino e de aprendizagem, 2011. Disponível em: http://www.5ebem.ufsc.br/trabalhos/eixo_05/e05g_t006.pdf. Acesso em: 16/02/2014.

http://www.5ebem.ufsc.br/trabalhos/eixo_05/e05g_t006.pdf

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PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

PONTE, J. P. (Et. al.). Investigando as Aulas de Investigações Matemáticas. Publicado originalmente em inglês com o título Investigating mathematical investigations, incluído no livro de P. Abrantes, J. Porfirio, & M. Baía (Orgs.). (1998). Les interactions dans la classe de mathématiques: Proceedings of the CIEAEM 49 (pp. 3-14). Setúbal: ESE de Setúbal. Disponível em: http://www.prof2000.pt/users/j.pinto/textos/texto12.PDF. Acesso em: 07/04/2016.

STRAPASON, L. P.; BISOGNI, V. Investigação matemática na sala de aula: experiência com alunos do ensino médio sobre sucessões numéricas, 2010. Disponível em: http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/ENEM10/artigos/RE/T21_RE297.pdf. Acesso em: 07/04/2016.

http://www.prof2000.pt/users/j.pinto/textos/texto12.PDF

http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/ENEM10/artigos/RE/T21_RE297.pdf

http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/ENEM10/artigos/RE/T21_RE297.pdf

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SOBRE OS AUTORES

Pollyana dos SantosDoutora em Educação pela Universidade Federal de Santa Catarina. Mestre em

Educação pela Universidade Federal do Espírito Santo. Graduada em Pedagogia pela Universidade Federal do Espírito Santo. Professora do Instituto Federal do Espírito Santo, campus Cachoeiro de Itapemirim/Coordenadoria de Matemática. Coordenadora de área do Subprojeto de Matemática campus Cachoeiro de Itapemirim Pibid/Ifes de 2015 a 2016. E-mail: [email protected].

Jorge Henrique GualandiDoutorando em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de

São Paulo. Mestre em Ensino de Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras e em Metodologia do Ensino da Matemática pela AVM-Faculdades Integradas. Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado de Minas Gerais. Professor do Instituto Federal do Espírito Santo, campus Cachoeiro de Itapemirim. Coordenador de área do Pibid/Ifes de 2012 a 2014. E-mail: [email protected].

Diana dos Santos MachadoLicenciada em Matemática pelo Instituto Federal do Espírito Santo, campus

Cachoeiro de Itapemirim. Bolsista de Iniciação à Docência do Pibid/Ifes de 2013 a 2015. E-mail: [email protected].

Raphael Stafanato BoenoLicenciado em Matemática pelo Instituto Federal do Espírito Santo, campus


Tatiana DelesposteEspecialista em Matemática e em Novas Tecnologias Educacionais pela Faculdade

Integrada de Jacarépaguá. Licenciada em Matemática pelo Centro Universitário São Camilo – Espírito Santo. Professora da rede estadual de ensino do Espírito Santo/Centro Estadual Interescolar “Áttila de Almeida Miranda”, Cachoeiro de Itapemirim. Supervisora Pibid/Ifes de 2011 a 2016. E-mail: [email protected].

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4| É EM FUNÇÃO DE QUÊ?: O BINGO DE FUNÇÕES NO ENSINO DE MATEMÁTICA

Thiarla Xavier Dal-Cin ZanonMaria Laucinéia Carari


Tatiana Delesposte

Nos últimos anos, temos observado o desenvolvimento de diversos recursos didáticos para auxiliar professores de matemática em aulas na educação básica e assessorar alunos quanto à aprendizagem de conceitos matemáticos. Tal fato decorre da dificuldade de alunos em compreender alguns tópicos de matemática e de professores em elaborar metodologias de ensino como possibilidade de aprendizagem para os mesmos. Nessa perspectiva, a educação matemática enquanto área de conhecimento permite desvelar e dialogar com as relações entre ensino, aprendizagem, avaliação e conhecimento matemático com vistas a assegurar ao aluno condições necessárias para que ele possa se inserir e participar da sociedade. Para Fiorentini e Lorenzato (2007, p. 5) a educação matemática é caracterizada

[…] como uma práxis que envolve o domínio do conteúdo específico (a matemática) e o domínio de ideias e processos pedagógicos relativos à transmissão/assimilação e/ou à aproximação/construção do saber matemático escolar.

As investigações nesta área possuem objetivos de natureza pragmática e de cunho científico. Assim sendo, e entendendo a escola como um espaço no qual o aluno vivencia diversas situações de aprendizagem, descrevemos uma proposta de trabalho acerca do ensino de funções. Tal proposta, de natureza pragmática, “tem em vista a melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem de matemática” (p. 10). Dessa forma é que utilizamos o jogo “Bingo de Funções”. Enquanto jogo, se destaca como uma tendência de ensino de matemática e tem a finalidade de auxiliar professores em exercício e futuros professores de matemática em prática de sala de aula. A proposta de ensino foi realizada sob a ótica da educação matemática no espaço escolar, sendo desenvolvida em quatro turmas de 1a série de ensino médio de uma escola estadual parceira do Pibid, vinculada a Licenciatura em Matemática do Ifes, campus Cachoeiro de Itapemirim.

Buscamos também dialogar com a literatura em educação matemática e com alguns estudos acadêmicos. Em seguida, descrevemos o jogo enfatizando aspectos como o planejamento e o desenvolvimento. Mencionamos também algumas reflexões dos coordenadores de área/orientadores, supervisores e bolsistas de iniciação. Ao final, trazemos alguns comentários na tentativa de evidenciar algumas aprendizagens e motivar professores e futuros professores a desenvolver outras possibilidades para ensino do conteúdo.

Na perspectiva da educação matemática, o jogo como abordagem metodológica e tendência para o ensino se apresenta como uma proposta alternativa à ação pedagógica tradicional. Entendemos jogo “como um suporte metodológico, que tenha utilidade

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ZANON, Thiarla | CARARI, MariaMACHADO, Diana | BOENO, RaphaelDELESPOSTE, Tatiana

em todos os níveis de ensino” (GRANDO, 2000, p. 29). Enquanto atividade lúdica, o jogo se configura como possibilidade de aprendizagem em sala de aula, pois auxilia o “desenvolvimento do pensar matemático, da criatividade e da autonomia dos alunos” (SILVA, 2014). Auxilia ainda na concentração e no desenvolvimento cognitivo. Por outro lado, os jogos

[...] são ferramentas auxiliares que permitem à criança organizar imagens visuais, que se transformam em imagens mentais, as quais são fundamentais para a formação e para a organização do pensamento lógico-abstrato necessário ao desenvolvimento das ideias matemáticas e científicas (KALEFF; REI; GARCIA, 2005, p. 16).

Moura (1992b) ressalta que ao decidir usar um jogo como estratégia de ensino, o professor tem a intenção de propiciar a aprendizagem. Destaca que o jogo para ensinar matemática tem

[...] o papel de auxiliar no ensino do conteúdo, propiciar a aquisição de habilidades, permitir o desenvolvimento operatório do sujeito e, mais, estar perfeitamente localizado no processo que leva [...] do conhecimento primeiro ao conhecimento elaborado (p. 47).

Grando (1995) defende que o jogo no contexto da educação matemática envolve o conteúdo matemático e desencadeia aprendizagens a partir de situações desafiadoras para o aluno. Menciona que “é necessário jogar e refletir sobre suas jogadas, sendo que, ao fazê-lo, constrói o conteúdo envolvido” (p. 29). Ao classificar os jogos, a autora considera aspectos didáticos e metodológicos dos mesmos. Assim, os classifica em jogos de: azar, quebra-cabeças, estratégias, fixação de conceitos, computacionais e pedagógicos. Dentre estes, o “Bingo de Funções” pode ser classificado como um jogo pedagógico. De acordo com Grando (1995), este tipo de jogo é desenvolvido com a finalidade de contribuir para o processo de ensino e de aprendizagem. Nele, alguns conceitos matemáticos necessários à aprendizagem de função aparecem nas regras. E à medida que o bingo acontece, é possível desenvolver ou rememorar tais conceitos. Nesta perspectiva, como proposta metodológica, usamos os momentos do jogo conforme propõe Grando (2000). A autora destaca que os momentos do jogo são: 1) familiarização com o material do jogo; 2) reconhecimento das regras; 3) jogar para garantir regras; 4) Intervenção pedagógica verbal; 5) Registro do jogo; 6) Intervenção escrita; 7) Jogar com “competência”.

Do ponto de vista dos documentos oficiais, dialogamos com o PCN (BRASIL, 1998), com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), com o Currículo Básico Comum da Rede Estadual de Ensino do Espírito Santo – CBC (2009) e com o PCN+ (BRASIL, 2002). No PCN (BRASIL, 1998) vê-se que as atividades de jogos possibilitam aos professores analisar e avaliar aspectos como:

Compreensão: se refere a “facilidade para entender o processo do jogo assim como o autocontrole e o respeito a si próprio”;

Facilidade: diz respeito à “possibilidade de construir uma estratégia vencedora”;

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É em função de quê?: O bingo de funções no ensino de matemática

Possibilidade de descrição: se caracteriza pela “capacidade de comunicar o procedimento seguido e da maneira de atuar”; e

Estratégia utilizada: se refere à “capacidade de comparar com as previsões ou hipóteses” (p. 47).

Nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) e nos PCN+ (BRASIL, 2002), os jogos aparecem como valiosos para apropriação do conhecimento; possibilitam o desenvolvimento de competências tais como de comunicação e relações interpessoais, entre outras; estimulam o desenvolvimento espontâneo e criativo dos alunos; permitem ao professor ampliar seu conhecimento acerca de metodologias de ensino; e, uma maneira dinâmica do aluno se relacionar com o conteúdo escolar, o que pode possibilitar maior aprendizagem. Ambos os documentos enfatizam que usar o jogo como possibilidade de ensino de matemática é uma forma de estimular a criação de jogos pelos alunos. A nosso ver, essa dinâmica de produção do conhecimento matemático pode ser evidenciada pelos alunos tanto ao construir o jogo quanto ao elaborar regras e procedimentos de jogadas. Isto amplia as possibilidades metodológicas dos mesmos e não se limita ao uso de jogos prontos, com regras e procedimentos já definidos.

No Currículo Básico Comum da Rede Estadual de Ensino do Espírito Santo – CBC (2009), o jogo aparece como uma das principais alternativas metodológicas que possui efeito positivo no processo de ensino e de aprendizagem de matemática. Assim, auxilia na abstração dos conceitos estudados e subjacentes ao jogo. O documento ressalta que “no âmbito pedagógico, é fundamental o aspecto interativo propiciado pela experiência com jogos matemáticos” (p. 79), uma vez que os alunos participam ativamente na resolução de situações matemáticas propostas.

Quanto ao ensino das funções, vemos, em livros didáticos e propostas curriculares, que ele aparece no 9o ano do ensino fundamental. No entanto, tradicionalmente, seu ensino de maneira mais aprofundada se dá na 1a série do ensino médio, com o desenvolvimento de funções lineares, quadráticas, exponenciais e logarítmicas. Esse conteúdo tem continuidade nos anos seguintes, sendo muitos conteúdos ministrados como tópicos independentes, dissociados da ideia de função e sem relação alguma com as aplicações.

O documento de Orientação Curricular Nacional (BRASIL, 2006) indica que o ensino dos conteúdos seja articulado, priorizando a compreensão das ideias que estão por trás das definições. O PCN (BRASIL, 2002) apresenta uma preocupação quanto à disposição dos conteúdos na matriz curricular e traz algumas sugestões em relação ao tratamento desses conteúdos. A proposta é que os conteúdos matemáticos sejam divididos em três grupos: Álgebra: números e funções, Geometria e medidas, e Análise de dados. O conceito de funções, contemplado no primeiro grupo, aparece vinculado com a álgebra, enfatizando no estudo das diferentes funções o conceito, suas propriedades, interpretação de seus gráficos, suas aplicações e não apenas manipulações algébricas na linguagem formal. A importância do estudo de funções para a matemática e outros campos do conhecimento também é ressaltada nesses documentos. Vê-se que

O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e

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permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. (BRASIL, 2006, p.121).

Após apresentarmos brevemente nosso entendimento sobre jogos e o ensino de funções com base em algumas pesquisas e documentos oficiais curriculares, passamos a discorrer sobre o planejamento e o desenvolvimento do Bingo de Funções. Posteriormente, trazemos algumas reflexões.

O BINGO DE FUNÇÕES: PLANEJAMENTO E DESENVOLVIMENTO

Identificação: Bingo de FunçõesObjetivo Geral: Proporcionar um ambiente de aprendizagem mais atrativo a alunos

e professores, motivando-os a interagirem de forma divertida e sistemática com funções do primeiro e do segundo grau, a fim de que rememorem e sistematizem os conceitos envolvidos.

Turmas nas quais o jogo pode ser desenvolvido: O “Bingo de Funções” pode ser aplicado, preferencialmente, no 9º ano do ensino fundamental e na 1ª série do ensino médio. Caso considere necessário, o professor pode utilizá-lo nas outras séries do ensino médio.

Número de aulas previstas, tempo de cada aula e tarefas desenvolvidas em cada aula: Com o intuito de não interromper a atividade e aproveitar o clima do jogo, deve acontecer em uma aula de 50 minutos. Sendo o tempo insuficiente, a atividade poderá ser finalizada em outra aula.

Construção do jogo: Para a realização desse jogo, foram confeccionadas cartelas feitas de papel cartão. Inicialmente definimos as funções do primeiro e do segundo grau que seriam usadas na atividade. Em seguida, determinamos os domínios (valores de x) a serem utilizados no jogo. Usamos vinte números, a saber: -5, - 4, - 3, - 2, - 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20. Os escolhemos de modo que não houvesse números com mesmo módulo. Isso para evitar que, nas funções do segundo grau, domínios diferentes gerassem imagens iguais.

Posteriormente, cada valor do domínio foi substituído nas funções pré-determinadas. De posse das possíveis imagens encontradas de cada função, selecionamos apenas 12 para comporem cada cartela, fazendo a escolha com o intuito de que duas duplas não completassem o preenchimento das cartelas ao mesmo tempo. A seguir é possível verificar a forma como as cartelas foram elaboradas. Apresentamos um exemplo envolvendo funções de primeiro e segundo grau.

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Figura 1 - Cartela de uma função do primeiro grau.

Fonte: Acervo do subprojeto de Matemática/Cachoeiro de Itapemirim, 2016.

Figura 2 - Cartela de uma função do segundo grau.


Os vinte números a serem sorteados foram impressos e colados, cada um deles, em um papel cartolina (2 cm x 2 cm). Em seguida, os colocamos em uma sacola plástica preta, a fim de mantermos total sigilo sobre eles. Este jogo foi elaborado tendo como base as seguintes regras:

- Será realizado em duplas. Definidas pelos próprios alunos sem interferência do professor regente ou dos bolsistas de iniciação à docência.

- Se o total de alunos for ímpar, um deles se juntará a uma dupla.- Cada dupla receberá apenas uma cartela, contendo uma função e 12 números,

possíveis imagens. - Todas as funções serão distintas. Entre elas haverá funções do primeiro e do segundo

grau. Como por exemplo: f(x) = 2x - 6, f(x) = - x + 4, f(x) = 3x - 6, f(x) = x² - 5 e f(x) = x² + 8.Elaboramos o jogo considerando que não haveria empate. - A quantidade total de cartelas a ser utilizada no jogo será definida levando em

consideração o número máximo de alunos de cada turma.- O jogo começa quando o professor sortear o primeiro número.- Sabendo o número sorteado, os dois alunos de cada dupla deverão substituí-lo na

função de sua cartela, registrando o cálculo em seus cadernos, num tempo máximo de 2 minutos. Nesse momento, ao efetuar os registros no caderno, é oportunizado aos alunos rever o estudo das relações entre grandezas, quando as variáveis representam valores do domínio de uma função, ou números que dependem de outros números, trazendo a noção de variáveis dependente e independente, além de apenas resolver cálculos algébricos. Atingindo o tempo estabelecido, haverá o sorteio de outro número.

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- Não será permitida a utilização de livro, calculadora e telefone celular. Somente o caderno poderá ser consultado.

- A dupla que completar primeiro o preenchimento da cartela deverá gritar a palavra FUNÇÃO.

- Cada dupla que se manifestar como possível vencedora deverá mostrar os cálculos registrados no caderno. Estando corretos, a dupla será considerada vencedora.

- Se constatados cálculos incorretos ou se um aluno da dupla não houver feito os registros no caderno, o jogo continua, sendo a referida dupla orientada em seus cálculos e registros para prosseguir na disputa.

Durante o desenvolvimento do jogo, sentimos a necessidade de acrescentar a seguinte regra:

- Caso exista duas ou mais duplas vencedoras, o desempate seria determinado levando em consideração a ordem decrescente das 12 imagens encontradas pelas duplas, isto é, a dupla que tivesse o registro do maior valor da imagem ganharia o jogo. E se ainda persistisse o empate, consideraríamos o valor da segunda maior imagem, e assim por diante, valorizando os registros dos cadernos.

Acompanhamento e desenvolvimento do jogo: A atividade referente ao jogo Bingo de Funções foi dividida em 6 etapas e planejada para uma aula de 50 minutos. Acreditamos que tal divisão possa proporcionar uma organização à ação pedagógica do professor, bem como segurança para mediar à aula. A seguir estão apresentadas as etapas, bem como o tempo estimado em cada uma delas, a partir da segunda.

1ª Etapa: Planejamento - definição das regras do jogo, elaboração das cartelas e confecção dos números do sorteio. Isto aconteceu na escola, nos momentos de planejamento com a professora supervisora do Pibid;

2ª Etapa: Dividir a turma em duplas e entregar as cartelas do bingo (3 minutos). Decidimos que a escolha das duplas ficaria a critério dos alunos.

3ª Etapa: Explicar as regras do jogo para os alunos, rememorando-os sobre a definição de função, domínio e imagem (5 minutos);

4ª Etapa: O professor regente sorteará um número a cada 2 minutos (por 12 vezes) e o anunciará para a turma. Ao anunciá-lo, os dois alunos de cada dupla deverão, de acordo com a lei de formação da função de sua cartela, determinar a imagem do número sorteado (26 minutos ao todo).

Por exemplo, caso o aluno receba uma cartela contendo a função F(x) = 4x - 2, e se o número sorteado for 5, temos F(5) = 4.5 - 2 = 18. Portanto, F(5) = 18. Neste caso, o número 5 representa um elemento do domínio (x) e o número 18 corresponde a um elemento da imagem (y) da encimada função. Tendo o resultado 18 em sua cartela, o aluno deverá marcá-lo.

5ª Etapa: Conferir se todos os resultados marcados na cartela foram obtidos corretamente pela dupla que gritar a palavra FUNÇÃO (4 minutos).

6ª Etapa: Terminado o jogo, após a definição dos vencedores, o professor fará um diálogo sobre os possíveis erros matemáticos observados nos cadernos dos alunos, no decorrer da atividade. Para não expor nenhum participante, o professor poderá simular no quadro algumas situações parecidas, a fim de mostrar os equívocos percebidos e como efetuar os cálculos corretamente (12 minutos).

Para a referida atividade, não foi feito um pré-teste. Contudo, após encerramento do

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jogo, verificamos a importância de fazê-lo. Isso pode propiciar a descoberta de falhas em algum ponto do planejamento ou a percepção de que algo possa ser aperfeiçoado. Quanto à avaliação dos alunos, sugerimos aos professores que a façam durante a realização da atividade, por meio da observação do empenho de cada participante no jogo, bem como pelos cálculos registrados nos cadernos.

COMENTÁRIOS FINAIS: ALGUMAS REFLEXÕES E APRENDIZAGENS

Inicialmente, quando informamos que não passaríamos exercícios no quadro, os alunos ficaram animados e curiosos para saber qual atividade seria desenvolvida. Quando mencionamos que se tratava de um bingo, muitos alunos fizeram alusão à forma tradicional desse tipo de jogo, o que já era esperado. Entretanto, foram informados de que tal jogo estava associado às funções do primeiro e do segundo grau. Percebemos que a animação diminuiu. Contudo, aos poucos, eles foram se interessando pela atividade. Dialogamos com eles sobre as regras do jogo, e sobre o papel que deveriam assumir em relação ao comportamento de jogadores, afinal de contas, era um jogo, e todos almejavam vencê-lo. Neste momento, acreditamos ter efetivado o “reconhecimento das regras do jogo” conforme propõe Grando (2000).

Terminada a distribuição das cartelas percebemos, pela reação dos alunos ao manusearem o material, que ainda tinham dúvidas sobre como fazer a marcação dos números. Aqui, com base em Grando (2000) estaria a “familiarização com o material”. Muitos estavam certos de que o número sorteado deveria ser marcado na tabela. Com base nessa percepção, escrevemos uma função no quadro, diferente das 15 escolhidas para o jogo, fizemos um sorteio, substituímos o valor na função e explicamos que o valor obtido deveria ser marcado na cartela, e não o número sorteado. Assim, se efetivaria um momento de “intervenção pedagógica verbal” (GRANDO, 2000).

Logo no início do jogo, os alunos, interagindo uns com os outro, descobriram que nenhuma dupla possuía funções iguais e que em algumas cartelas havia funções do primeiro grau, e em outras, do segundo. Portanto, não teria sentido compartilhar informações do tipo “cola” entre as duplas. Ainda em relação a essas descobertas chamou-nos a atenção uma aluna, que disse: “Quem pegar uma função do primeiro vai ser mais fácil ganhar”. Percebemos, por meio dessa afirmação que a aluna não havia entendido, de fato, a ideia do jogo. Provavelmente ela disse isso por considerar ou apresentar dificuldades com funções do segundo grau.

Ambas as funções, do primeiro e do segundo grau, foram lecionadas pela professora supervisora anteriormente e por isso, pensamos que elas não eram novidade para eles. Então, acreditávamos que cada dupla tinha condições de realizar os devidos cálculos, independente da cartela recebida. Para nós, esse seria o momento que Grando (2000) denomina de “jogar com competência”. Seria favorecida a dupla que tivesse sorte em relação aos números sorteados, pois em nosso entendimento, o tempo de 2 minutos era suficiente para realizar as devidas operações matemáticas.

No decorrer da atividade, foi possível perceber, por meio dos registros no caderno dos alunos, certos erros cometidos por eles ao substituir os valores de x na função, seja

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ela do primeiro ou do segundo grau. Alguns alunos se esqueceram de fazer a regra de sinais ao realizar uma multiplicação, ou não conseguiram encontrar um resultado correto ao somar números positivos com negativos. Erros de alunos ao elevar um determinado número ao quadrado também foram observados, como por exemplo, multiplicar a base com o expoente. Vale destacar que em um caso isolado, um aluno se equivocou ao substituir o valor do domínio (x) no lugar da imagem (y). Entretanto, também observamos diversos cálculos efetuados corretamente, bem como percepção de que a atividade em dupla contribuiu para estabelecer relação interpessoal e diálogos sobre como proceder para obter a resposta correta.

Os momentos de interação promoveram o senso de colaboração, pois os alunos que tinham mais conhecimento do assunto auxiliaram aqueles com dificuldades. Até porque, para vencer o jogo, os dois alunos da dupla deveriam ter os registros no caderno. Não podemos precisar se em todas as duplas houve esse senso de colaboração. Um aluno pode ter apenas copiado a atividade do seu colega sem compreender o que estava fazendo. Ou talvez, existisse duplas sem que os dois componentes tivessem o conhecimento adequado sobre os conteúdos abordados no jogo. No geral, notamos que alguns alunos reconheceram que era necessário estudar matemática com cuidado para compreender conceitos como, por exemplo, os envolvidos neste jogo.

Durante a atividade, percebemos que o tempo máximo de 2 minutos para a resolução da função não era suficiente para todas as duplas. Algumas consideraram o tempo curto, e reclamaram por isso. Percebemos ainda que isto estava associado a dois fatores: (1) dificuldades dos alunos ao efetuarem as operações matemáticas necessárias, e (2) incerteza se o cálculo obtido era correto ou não. Algumas duplas, por não encontrarem na cartela o resultado obtido, acreditaram que haviam errado a resolução e assim gastaram tempo para encontrar um possível erro. Em três das quatro turmas em que foi desenvolvida a atividade, houve apenas um ganhador. Após conferirmos os registros nos cadernos de cada integrante da dupla e verificarmos todos os cálculos, comunicamos aos presentes, o término do jogo. Havia um vencedor. Esta etapa se relaciona ao “registro do jogo” descrita por Grando (2000).

No entanto, em uma das turmas, duas duplas se manifestaram como possíveis ganhadoras. E isso não estava em nosso planejamento. Pensamos o jogo e elaboramos as cartelas acreditando que não haveria empate. Nosso intuito, ao selecionarmos os números de cada cartela, era o de que os doze domínios sorteados (valores de x) não gerassem, simultaneamente, doze imagens (valores de y) em cartelas diferentes. Dessa forma, somente uma dupla concluiria a marcação da cartela. Ambas as duplas haviam marcado todos os números na cartela que possuíam, realizando os cálculos corretamente. Assim, decidimos utilizar a ideia da regra dos bingos tradicionais para esse tipo de situação, porém, do seguinte modo: o desempate seria determinado levando em consideração a ordem decrescente das doze imagens encontradas pelas duplas. Isto é, a dupla que tivesse o registro do maior valor da imagem ganharia o jogo. E se ainda persistisse o empate, consideraríamos o valor da segunda maior imagem, e assim por diante, valorizando os registros dos cadernos.

Certamente, tal imprevisto foi enriquecedor para nossa formação inicial enquanto bolsistas de iniciação à docência. Compreendemos a importância do docente considerar a possibilidade de ocorrência de imprevistos em sua ação pedagógica, e buscar refletir, desde

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o planejamento. É importante pensar nas possíveis situações desfavoráveis que podem surgir durante a sua ação docente e nas prováveis formas de solucioná-las. Encerrado o jogo, após conhecer os vencedores, realizamos, em cada turma, uma discussão sobre os erros matemáticos mais comuns verificados nos registros dos alunos no decorrer da atividade. Preservando a identidade dos alunos, simulamos, no quadro, algumas situações semelhantes às observadas em alguns cadernos, a fim de mostrar os equívocos percebidos e como efetuar os cálculos corretamente. Isto, nos dizeres de Grando (2000) seria a “intervenção escrita”.

Para nós, o bingo de funções, além de fomentar a participação dos integrantes da turma, possibilitou aos alunos a sistematização de conceitos e definições. Oportunizou diálogos entre os colegas de dupla, o senso de colaboração e a oportunidade de aprender como realizar as operações adequadamente. Desenvolver esta metodologia alternativa para o ensino de função é algo que requer certo tempo de quem o planeja. Para o jogo em questão, precisamos pensar e elaborar as regras, da maneira como achávamos adequada e sem possibilidade de haver algum tipo de falha; efetuamos e registramos os cálculos dos domínios que pensamos utilizar substituindo-os em cada função. Com isso, selecionamos os doze números de cada cartela. Consideramos essa seleção a parte mais trabalhosa de toda a atividade.

Depois de concluídas todas as etapas, verificamos a importância dos momentos vivenciados. Significativas reflexões surgiram, algumas até já mencionadas. Nós bolsistas, antes de aplicarmos a atividade, a considerávamos bem simples para os alunos, haja vista que, as funções não eram difíceis ao nosso olhar. Entretanto, constatamos diversas dúvidas e inseguranças sobre como efetuar os cálculos envolvendo as operações de soma, subtração e multiplicação, comprometendo dessa forma, em nosso entendimento, o aprendizado deles ao estudar funções. Isso nos fez refletir sobre a necessidade de pesarmos acerca da diversidade encontrada em uma sala de aula. As turmas não se caracterizam como homogêneas. Os alunos apresentam raciocínios e atitudes diferentes. Talvez o tempo de 2 minutos e as funções diferenciadas tenham dificultado o desempenho de alunos com conhecimentos mais superficiais sobre o assunto. Às vezes, nos equivocamos ao considerar que um aluno terá o mesmo raciocínio e agilidade que outro aluno ou que o professor.

Entretanto, acreditamos que, vivenciar essas situações de jogo em sala de aula, pode ser uma maneira de prepará-los para enfrentar futuros desafios da vida com mais segurança. No Exame Nacional do Ensino Médio - Enem ou em um concurso, os discentes disputarão as vagas disponíveis com outros candidatos, e principalmente contra o tempo. Outro ponto interessante se refere à formação das duplas. Nós bolsistas não interferimos nisso. Porém, verificamos duplas compostas por dois alunos com menos dificuldades em matemática e outras com aqueles que demonstravam maiores problemas com a disciplina. Um possível sorteio das duplas poderia gerar resultados mais satisfatórios em termos de aprendizagem entre os distintos alunos. É claro que isso, e todas as regras abordadas aqui, ficam a critério de cada professor, caso utilizem o jogo em questão, como uma possibilidade para o ensino de funções.

Para nós, ficou evidente a importância do curso de formação inicial, enquanto lócus de sistematização dos conhecimentos de um professor de matemática. Dizemos isto por acreditar que mesmo passando pela escolarização básica, é nesses cursos que se tem disciplinas acadêmicas de formação específica, tanto de matemática quanto as de prática

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de ensino. Para a professora supervisora, esses momentos de interação se constituem em formação continuada, visto que está constantemente em interação com os bolsistas de iniciação e com os professores coordenadores de área. Para os professores formadores, coordenadores de área, ressaltamos a importância dos conhecimentos docentes desenvolvidos na licenciatura em matemática.

Shulman (2005) menciona que esses conhecimentos se referem ao conteúdo a ser ensinado, ao conhecimento pedagógico geral, ao conhecimento pedagógico de conteúdo, ao conhecimento do currículo, aos conhecimentos dos alunos e suas características, ao conhecimento dos contextos educacionais, e dos objetivos, metas e valores educacionais, e seus fundamentos filosóficos e históricos. Para nós, eles se imbricaram durante todo o processo e nossa reflexão acerca deles nos permite pensar a relação entre os processos formativos e as práticas que são desenvolvidas em aulas da educação básica e do ensino superior.

Nessa perspectiva, sugerimos que este jogo possa ser adaptado por outros professores explorando a construção de regras em parceria com os alunos, pensar em variações envolvendo e explorando possíveis erros e utilizar a ideia do jogo para adaptá-lo em outro conteúdo matemático, que não seja necessariamente função.

REFERÊNCIAS

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_______. Ministério da Educação e da Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (PCN+). Brasília: MEC/SEMT, 2002.

_______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.

ESPÍRITO SANTO (Estado). Currículo Básico Comum. Secretaria da Educação. Ensino fundamental: anos finais: área de Ciências da natureza: Matemática/ Secretaria da Educação. Vitória: SEDU, 2009.

FIORENTI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. 2a ed. ver. Campinas, SP: Autores Associados, 2007.

GRANDO, R. C. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula. 2013. 224 f. Tese (Doutorado em Educação) - Programa Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Estadual de Campinas, SP, 2000.

_______. O jogo e suas possibilidades metodológicas no processo ensino aprendizagem da matemática. 1995. 175 f. Dissertação (Mestrado em Educação). Faculdade de Educação, UNICAMP, Campinas, 1995.

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KALEFF, A. M. M. R.; REI, D. M.; GARCIA, S. dos S. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. 3. ed. (1a reimp.). Niterói: EdUFF, em convênio com a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, 2005.

MOURA, M. O. O jogo e a construção do conhecimento matemático. São Paulo: FDE, 1992b. (Série Ideias 10).

SHULMAN, L. S. Conocimiento y enseñanza: fundamentos de lanueva reforma. Profesorado: Revista de currículum y formación del profesorado. Granada-España, a.9, n.2, p.1-30, 2005b. Disponível em: http://www.ugr.es/~recfpro/rev92ART1.pdf . Acesso em: 23 nov. 2013.

SILVA, J. C. T. da. Reflexões sobre conhecimentos evidenciados por licenciandos em matemática por meio da elaboração de um jogo sobre análise combinatória. 2014. 130f. Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática, Ifes, Vitória/ES.

http://www.ugr.es/~recfpro/rev92ART1.pdf

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SOBRE OS AUTORES

Thiarla Xavier Dal-Cin ZanonDoutoranda em Educação pela Universidade Federal do Espírito Santo. Mestre

em Educação pela mesma instituição. Especialista em Matemática pela Faculdades Integradas de Jacarepaguá, em Educação Infantil pela Universidade Castelo Branco e em Gestão Escolar Integradora pelo Instituto Brasileiro de Educação. Licenciada em Matemática pelo Centro Universitário São Camilo Espírito Santo e em Pedagogia pela Universidade de Uberaba. Professora do Instituto Federal do Espírito Santo – campus Cachoeiro de Itapemirim. Coordenadora de área do Pibid/Ifes de 2014 a 2015. E-mail: [email protected].

Maria Laucinéia CarariMestre em Estatística pela Universidade Federal de Lavras. Graduada em

Matemática pela Universidade Federal de Viçosa. Professora do Instituto Federal do Espírito Santo – campus Cachoeiro de Itapemirim. Coordenadora de área do Pibid/Ifes de 2014 a 2016. E-mail: [email protected].





Tatiana DelesposteEspecialista em Matemática e em Novas Tecnologias Educacionais pela

Faculdades Integradas de Jacarepaguá. Graduada em Licenciatura em Matemática pelo Centro Universitário São Camilo - Espírito Santo. Professora da rede estadual de ensino do Espírito Santo/Centro Estadual Interescolar “Áttila de Almeida Miranda”, Cachoeiro de Itapemirim. Supervisora Pibid/Ifes de 2011 a 2016. E-mail: [email protected].

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5 | O JOGO “ONDE ESTÁ O ERRO?” NO ENSINO DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES: UMA ANÁLISE A PARTIR DA TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

Lauro Chagas e SáStella Gomes de Souza

Neste capítulo, compartilhamos uma experiência realizada no ano de 2013 em turmas de segundo ano de Ensino Médio, em uma Escola da Rede Estadual, situada em Vitória/ES. Na ocasião, a equipe do Pibid que atuava nesta unidade escolar era composta pela professora supervisora, uma professora colaboradora e cinco bolsistas de iniciação à docência, que atuavam no turno matutino. A partir das observações nas aulas de Matemática do segundo ano, foi possível identificar dificuldades dos alunos em relação ao conteúdo sistemas de equações lineares. Observamos que os estudantes apresentavam dificuldades em relacionar as representações algébrica, matricial e gráfica. A partir desta constatação, propusemos a utilização do jogo “Onde está o erro?”, já validado em uma experiência anterior, para revisão de conceitos relacionados a funções (MODOLO; SÁ; PALMEIRA, 2012; PEREIRA; SÁ; SOUZA, 2012).

No que tange o aspecto curricular, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) recomendam colocar a Álgebra sob o olhar da Geometria durante estudo de sistemas de equações. Segundo o documento, a resolução de um sistema de duas equações e duas variáveis deve ser associada ao estudo da posição relativa de duas retas no plano. A resolução de sistemas popularmente chamados 2×2 ou 3×3 também deve ser feita via operações elementares do método de eliminação de Gauss (o processo de escalonamento), com discussão das diferentes situações: sistemas com uma única solução, com infinitas soluções e sem solução. Quanto à resolução de sistemas de equações com três equações e três incógnitas, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio recomendam que a Regra de Cramer seja abandonada, “pois é um procedimento custoso (no geral, apresentado sem demonstração, e, portanto, de pouco significado para o aluno), que só permite resolver os sistemas quadrados com solução única” (BRASIL, 2006, p. 78).

O erro – tema central de nossa proposta – é visto pelos alunos como um grande inimigo para seu desempenho escolar, principalmente porque muitos professores não o abordam em sala de aula, limitando-se a exaltá-lo apenas em instrumentos avaliativos, como provas e testes somativos. Muitos caem em desânimo ao se deparar com um erro cometido, passando a desacreditar em suas possibilidades de avanço na aprendizagem da Matemática. Como aponta Grando (2000), o acerto é muito valorizado, em detrimento dos erros ocorridos no processo de obtenção da resposta. Nessa perspectiva, cabe a reflexão de que o conhecimento não é produzido como algo pronto e acabado. A partir dos erros cometidos durante a constatação de um processo, se pode repensar, reformular e avançar até que se chegue ao acerto. Nesse sentido, salientamos a importância de que o professor

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SÁ , Lauro SOUZA, Stella

crie um ambiente em sala de aula em que os alunos se sintam à vontade frente ao erro. No contexto de aplicação de jogos, o professor deve compreender e tratar o erro como sendo “útil enquanto fonte de informações acerca dos procedimentos utilizados pelos sujeitos e recurso para a reflexão sobre como as estratégias de jogo são definidas, a partir da análise de tais erros” (GRANDO, 2000, p. 42).

A seguir, apresentamos o planejamento da aula, contendo, de forma sistemática, tema da aula, conteúdos abordados, objetivos – geral e específicos, tempo estimado de realização, recursos necessários e avaliação da aprendizagem.

PRESSUPOSTOS TEÓRICOS E METODOLÓGICOS

Os estudos de Raymond Duval são adotados em pesquisas que concebem o educando como sujeito ativo no processo de sua aprendizagem, que constrói conhecimentos a partir da interação entre os vários elementos que compõem o ato pedagógico – o professor, o meio, a linguagem, o aluno, o saber matemático e suas representações semióticas (COLOMBO, FLORES, MORETTI, 2008). Para Duval (2012), não se deve confundir um objeto e sua representação. A distinção entre objeto e representação é um ponto estratégico à compreensão da Matemática: é o objeto representado que importa e não as suas diversas representações semióticas possíveis (DELEDIEQ; LASSAVEL, 19794 apud DUVAL, 2012). Além disso, Duval (2012) indica que todo objeto matemático precisa ser reconhecido em cada uma de suas representações possíveis.

4 DELEDICQ, A.; LASSAVE, C. Faire des mathématiques, 4ème. Paris: Cédic, 1979.

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O jogo “onde está o erro?” No ensino de sistema de equações lineares: uma análise a partir da teoria dos registros de representação semiótica

A partir da Teoria dos Registros de Representação Semiótica, só é possível conhecer, compreender e aprender matemática por meio da utilização das representações semióticas do objeto matemático. Segundo Duval (2012), a compreensão de um conteúdo conceitual repousa sobre a coordenação de ao menos dois registros de representação e é no trânsito entre esses diversos registros de representação que está o problema (e a solução) para a aprendizagem em Matemática. Para o pesquisador, as dificuldades dos alunos em compreender Matemática surgem por conta da diversidade e complexidade das transformações de representações em outras semióticas (DUVAL, 2012).

No quadro a seguir, apresentamos possíveis formas de representação de um sistema linear. Além dos registros semióticos apresentados, existem outros possíveis para representar o objeto matemático, entre os quais destacamos a linguagem natural, frequentemente empregada nos enunciados de problemas. Ainda assim, destacaremos as representações algébrica, geométrica e matricial, que são abordadas no jogo “Onde está o erro?”.

Quadro 1 - Registros de representação de um Sistema Linear

REGISTRO SEMIÓTICO

TIPO DE REPRESENTAÇÃO Algébrica Geométrica Matricial

SISTEMA SEMIÓTICO Simbólico Figural Simbólico

Fonte: Elaborado pelos autores, 2013.

Pantoja, Campos e Salcedos (2013) destacam que o processo de resolução de um sistema de equações lineares pode ser desenvolvido pelo emprego de diferentes métodos e cada um corresponde a um tipo de representação. Por exemplo, o sistema linear na representação algébrica pode ser resolvido pelo método da substituição simples ou por eliminação de Gauss (escalonamento); na representação geométrica, pela interpretação gráfica; na representação matricial, pela Regra de Cramer. Com efeito, concluímos que cada representação propicia olhares e compreensões distintas, sendo mais ou menos conveniente para apreensão do objeto matemático Sistema Linear.

Percebemos que a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, descrita até aqui, evidencia a necessidade do uso das representações semióticas no processo de estudo dos objetos matemáticos, mas como isso pode ser feito no ambiente de sala de aula? Para responder a essa pergunta, Colombo, Flores e Moretti (2008) analisaram trinta pesquisas brasileiras no período de 1990 a 2005. Os autores mapearam como esses estudos foram articulados, em diferentes cursos de pós-graduação, por pesquisadores em Educação Matemática, com o intuito de traçar um panorama da pesquisa brasileira acerca das representações semióticas. Ao final do estudo, concluíram que, ao pensarem as sequências

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de ensino, a maioria dos pesquisadores investiu na história dos conteúdos e, pela própria característica da noção teórica utilizada, buscaram mapear os registros de representação possíveis para um mesmo conteúdo matemático, assim como a articulação entre eles.

Diferente dos resultados apresentados em Colombo, Flores e Moretti (2008), propomos neste capítulo o emprego da Teoria dos Registros de Representação Semiótica em uma dinâmica com utilização do jogo “Onde está o erro?”. Adotamos esta metodologia por entendermos que o jogo é um recurso didático que em oportuniza um estreitamento na relação entre alunos e que permite avanços cognitivos, uma vez que os participantes podem estabelecer estratégias, agir e reavaliar suas ações a cada momento.

Para realização do jogo “Onde está o erro?”, a turma precisa ser organizada em duplas para que cada uma receba uma ficha, contendo um sistema linear de duas incógnitas em suas representações algébrica, gráfica, matricial, juntamente com a solução do sistema. Dentre essas informações apresentadas, há uma errada, que precisa ser identificada pela dupla. Com isso, validamos as proposições de Duval (2012), quando defende que quando as representações são convertidas umas nas outras conduzem ao aprendizado dos objetos estudados. É determinado um tempo para os alunos encontrarem o erro em cada uma das fichas, justificando-o no verso da folha.

Figura 1 – Alunos participando da atividade

Fonte: Acervo pessoal dos pesquisadores, 2013

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Figura 2 – Alunos participando da atividade.

Fonte: Acervo pessoal dos pesquisadores, 2013.

Após a localização do erro, segue a etapa de discussão para verificar onde está o erro. A realização de momentos como esse é defendida também nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), que enfatizam que a prática do debate possibilita o exercício da argumentação e a organização do pensamento, o que garante a retomada de conteúdos e uma reflexão sobre temas abordados em sala. Além disso, vamos ao encontro do que Grando (2008) expõe, no sentido que a argumentação faz com que o jogo possa a ser mais útil a aprendizagem.

Quando são propostas atividades com jogos para os alunos a reação mais comum é de alegria e prazer pela atividade a ser desenvolvida: “– Oba! Que legal!”. O interesse pelo material no jogo, pelas regras ou pelo proposto envolve o aluno, estimulando-o a ação. [...]. É necessário fazer mais do que simplesmente jogar um determinado jogo. O interesse está garantido pelo prazer que esta atividade lúdica proporciona, entretanto, é necessário o processo de intervenção pedagógica a fim de que o jogo possa a ser útil a aprendizagem (GRANDO, 2008, p. 24).

Na próxima seção, apresentamos cinco fichas utilizadas em de julho de 2013 em duas turmas de segundo ano do Ensino Médio, compostas por 18 e 24 alunos. Apresentamos o aproveitamento da turma e os erros mais comuns, em diálogo com a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. As fichas foram produzidas a partir de discussões realizadas em planejamento, não sendo consultado nenhum material específico sobre o tema.

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REFLEXÕES SOBRE A PRÁTICA

Ficha 1, com erro na representação matricial

Iniciamos a dinâmica com uma ficha que contém o erro na representação matricial. Na forma A2x2 . X1x2 = B1x2, a multiplicação das matrizes não está definida, pois só há produto entre Maxb e Ncxd se, e somente se, b = c. Na primeira turma, 25% da quantidade dos grupos localizaram corretamente o erro, enquanto na segunda turma, o aproveitamento não chegou a 23%. Observamos que em ambas as turmas o erro foi majoritariamente associado ao gráfico, uma vez que grande parte dos alunos ainda possui dificuldades em representar graficamente um sistema linear (SAUNERS; DEBLASSIO, 1995) e acaba se sentindo insegura em relação a esse registro. Aproximadamente 59% da turma A e 34% da turma B cometeram este equívoco.

Figura 3 - Primeira ficha aplicada, com erro na representação matricial


É possível relacionar diretamente os números que compõem a representação matricial aos números que compõe a representação por chaves, o que acreditamos ter causado o erro da maioria dos alunos, que não se atentou à definição de multiplicação de matrizes. A esse contexto, podemos relacionar a ideia trazida por Duval (2012) a respeito da congruência semântica. O autor aponta que a substituição de uma formulação por outra, referencialmente equivalente, é essencial para o pensamento matemático, porém, ainda que seja para formulação equivalente, uma simples mudança na escrita é suficiente para exibir propriedades diferentes do objeto, o que pode confundir os estudantes. O princípio de substituição está estreitamente ligado à distinção entre sentido e referência, uma vez que – mesmo mantendo a referência – ao realizar a substituição, o sentido pode ser mudado para o leitor. Isto inviabiliza, cognitivamente, a substituição entre duas expressões referencialmente equivalentes.

Destacamos que uma substituição, ainda que correta referencialmente, pode configurar-se como um salto entre duas redes semânticas, de tal forma que os estudantes

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não acompanhem a equivalência das mesmas. Quando ocorre esse salto, é gerada uma possível “confusão” de sentidos. Então, dizemos que se trata de uma não congruência semântica das expressões a serem substituídas, como explica Duval. Nesse sentido, no momento da resolução do problema, o aluno, ao enxergar possibilidade de associação direta entre as duas representações citadas, já considerou correta aquela informação (representação matricial), por enxergar uma coerência semântica entre as informações. Entretanto, faltou um conhecimento mais consolidado em relação ao conteúdo de operações de matrizes.

Ficha 2, com erro na representação gráfica

A segunda ficha utilizada possui o erro na representação gráfica. Cerca de 84% dos grupos da turma A e 78% dos grupos da turma B identificaram esta incorreção. Das estratégias utilizadas pelos alunos, destacamos a comparação entre a solução do sistema obtida pelo gráfico e a solução apresentada na ficha, já observada em outros trabalhos, como em Thaeler (1995). Os alunos, a partir de resolução do sistema de chaves, chegaram à solução que estava corretamente apresentada na ficha. Porém, ao compará-la com o gráfico, rapidamente, perceberam que as coordenadas do ponto de interseção entre as retas não definem a solução do sistema.

Figura 4 – Segunda ficha aplicada, com erro na representação gráfica


Entre os alunos que erraram, metade apontou erro na solução do sistema, por considerar que o gráfico estava correto. A partir da Teoria dos Registros de Representação Semiótica, temos que a apreensão das representações semióticas supõe a discriminação das unidades significantes no registro ou onde a representação é produzida. Para Duval (2012), o único modo de discriminar as unidades significantes de uma representação é realizar a observação das variações de representações sistematicamente efetuadas em um registro e das variações concomitantes de representação em outro registro, ou seja, seria necessário mais que comparar solução-gráfico.

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Ficha 3, com erro na solução do sistema

Ao contrário do que os bolsistas esperavam, apenas 59% dos grupos da turma A e 78% dos grupos da turma B identificaram que o erro da terceira ficha estava na solução do sistema, que apresentava as coordenadas na posição trocada.

Figura 5 – Terceira ficha aplicada, com erro na solução do sistema


Verificamos que as primeiras associações realizadas pelos grupos foram entre a solução e o sistema com chave ou entre a solução e o gráfico. Por isso, os grupos que erraram nas duas turmas disseram que o erro estava no gráfico ou no sistema. Cabia a esse último grupo fazer a verificação entre o sistema com chave e a representação matricial, pois assim seria possível notar que a representação com chave está correta. Com isso, é possível perceber que esses erros citados acima, decorrem da dificuldade de converter e transitar entre uma e outra representação, que seria imprescindível para a compreensão dos objetos matemáticos no ensino da matemática. Isto possibilitaria que fosse consolidada a diferenciação entre o objeto e sua representação, como aponta Flores (2006) a respeito das ideias de Duval.

Ficha 4, com erro na representação algébrica

A quarta ficha utilizada apresenta o erro na representação algébrica. Seguindo a estratégia já comentada, os alunos procuraram o erro na ficha por meio de associação de pares. Isto permitiu que os alunos identificassem que a representação com chave não estava de acordo com a representação matricial, sendo uma dessas duas a opção de 95% dos grupos. Os alunos que substituíram a solução na representação algébrica perceberam a incorreção na segunda equação e, portanto, localizaram o erro. Aproximadamente 58% da turma A e 66% da turma B obtiveram êxito na localização do erro nesta ficha.

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Figura 6 – Quarta ficha aplicada, com erro na representação algébrica


Geralmente os alunos pensam que apenas saber representar de duas formas um objeto, basta. Porém, no caso dessa proposta de jogo, não bastava saber “aos pares” como eles estavam acostumados a pensar. Assim, ressaltamos a importância da compreensão de várias representações semióticas, para que se possa compreender, de fato, o objeto ao qual se está fazendo referência e dominar as implicações das substituições no âmbito cognitivo.

Ficha 5, com erro na representação gráfica

A quinta ficha foi elaborada para dificultar a associação aos pares, tão frequentemente utilizada pelos alunos. Ao fazer associação entre o gráfico e a solução, entre a representação algébrica e a solução e entre a representação algébrica e a representação matricial, os alunos não encontram inconsistências. Com efeito, durante a realização da dinâmica, muitos alunos questionaram os bolsistas sobre a possibilidade de todas as informações estarem corretas. Após analisarem as informações, 58% da turma A e 55% da turma B encontraram onde estava o erro.

Figura 7 – Quinta ficha aplicada, com erro na representação gráfica.


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Partindo das diversas possibilidades para representar um sistema de equações linear, Duval (2002) nos traz as noções de tratamento e de conversão como “operações cognitivas diretamente envolvidas no processo de apreensão do conhecimento matemático ou, em outras palavras, na construção dos conceitos” (COLOMBO; FLORES; MORETTI, 2008, p. 46). Até a quarta ficha, os alunos precisaram realizar apenas indícios de conversão de uma representação, ou seja, realizaram pequenas operações em que um registro inicial era parcialmente transformado em outro (observando características pontuais, como ponto de interseção da reta). Com a utilização dessa quinta ficha, a conversão precisou ser completa para que, de fato, o erro pudesse ser encontrado. Além disso, observamos com mais frequência ações de tratamento de uma representação, que se referem a operações dentro de um mesmo registro de representação, como resolução por substituição simples de um sistema em sua representação algébrica.

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES

A utilização da primeira ficha possibilitou a retomada das condições necessárias para haver multiplicação entre matrizes, de forma a ressaltar que não basta apenas que os números que as compõem estejam relacionados à representação algébrica. Por meio das quatro fichas restantes, pudemos relacionar as outras três informações (gráfico, sistema de equações e solução), abordando todos os dados fornecidos. Analisando a avaliação do desempenho dos alunos, percebem-se dois extremos: a maioria dos alunos teve dificuldade para identificar o erro na primeira ficha, já que provavelmente não se empenharam tanto no estudo de operações matriciais; grande parte deles acertou a identificação do erro na segunda ficha, pois seu primeiro impulso é pensar no gráfico e, nessa ficha, o erro se apresentava nele. Notamos ainda que os alunos tiveram dificuldades em compreender o objeto matemático estudado como um todo, pois se limitaram a relacionar aquelas duplas de representações com as quais se sentiam mais à vontade para trabalhar.

No decorrer da atividade, ao serem marcados os pontos em um placar no quadro, os alunos ficavam cada vez mais incentivados a acertar as respostas para não ficarem para trás no placar. Mesmo assim, o clima competitivo não superou da ludicidade da proposta. As duplas ficaram motivadas a participar da atividade. Um ponto positivo foi que, ao apresentarem respostas erradas, os alunos não desanimaram. As dúvidas serviram para despertar sua curiosidade em entender o motivo que os levava a errar, atingindo o objetivo inicial da atividade e criando um clima muito agradável em sala de aula.

O momento de interação entre os alunos, possibilitada pelo uso de jogos como metodologia, proporcionou comunicação e troca de experiências, ideias e opiniões, gerando uma construção natural do conhecimento matemático. A utilização de jogos e atividades diferenciadas deve se focar na qualificação da aprendizagem do aluno, sua dinâmica, crescimento e desenvolvimento individual. Essa metodologia de ensino estimula o aluno a participar da aula, o que implica seu aprendizado por meio desta ação. Com isso, percebemos que a utilização do jogo “Onde está o erro?” possibilitou a exposição dos pensamentos dos alunos e abriu espaço para que bolsistas e professora analisassem tais ideias e demonstrassem interesse por sua origem, de modo que o aluno sentisse liberdade de prosseguir e chegar ao conhecimento.

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AGRADECIMENTOS

Agradecemos à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ensino Superior (Capes) por oportunizar a realização de investigações em sala de aula por meio do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência. Agradecemos também à escola participante do Pibid, por abrir espaço para o desenvolvimento de trabalhos dessa natureza, e aos educandos envolvidos na experiência, por viabilizarem seu desenvolvimento.

REFERÊNCIAS

BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

________. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/SEB, 2006.

COLOMBO, J. A. A.; FLORES, C. R.; MORETTI, M. T. Registros de representação semiótica nas pesquisas brasileiras em Educação Matemática: pontuando tendências. Zetetiké, v. 16, n. 29, jan./jun. 2008.

DUVAL, R. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo do pensamento. Trad. Méricles Thadeu Moretti. Revemat, v. 07, n. 2, p.266-297, 2012.

FLORES, C. R. Registros de representação semiótica em matemática: história, epistemologia, aprendizagem. Bolema – Boletim de Educação Matemática, vol. 19, n. 26, 2006, pp. 1-22.

GRANDO, R. C.. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação. Campinas, 2000.

GRANDO, R. C.. O jogo e a Matemática no contexto da sala de aula. 3. ed. São Paulo: Paulus, 2008.

MODOLO, T. M.; SÁ, L. C.; PALMEIRA, C. A.. Jogos “Onde está o erro” e “Formando pares” para revisão de conceitos de funções no Ensino Médio. In: III Encontro Nacional das Licenciaturas e III Seminário Nacional do Pibid, Caderno de Resumos, São Luís – MA, 2012.

PANTOJA, L. F. L.; CAMPOS, N. F. da S. C.; SALCEDOS, R. R. C.. A teoria dos registros de representações semióticas e o estudo de sistemas de equações algébricas lineares. In: Congresso Internacional de Ensino da Matemática, VI. Anais. ULBRA, Canoas/RS, 2013.

PEREIRA, L. L.; SÁ, L. C.; SOUZA, T. P. F.. Exercitando conhecimentos de funções em uma atividade em grupos no ensino Médio. In: III Jornada de Iniciação à Docência, Anais,

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Vitória-ES, 2012.

SAUNDERS, J.; DeBLASSIO, J. Relacionando funções com seus gráficos. In: COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, p. 178-181, 1995.

SÓRIO, P. S..; SOUZA, S. G. de.; RIBEIRO, V. B.. Constituindo relações entre funções do 2º grau por meio da dinâmica “Onde está o erro?”. In: SILVA, S. A. F. da; PINTO, A. H.; CORRÊA, A. C. A. (Org.). Iniciação à docência em aulas de Matemática: experiências do Pibid/Ifes campus Vitória. 1ed. Vitória: Ifes, 2015, v. 1, p. 157-168.

THAELER, J. S. Transformação de entradas e de saídas em gráficos básicos: um método para traçar gráficos de funções. In: COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As ideias da álgebra.

São Paulo: Atual, 1995, p. 263-277.

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SOBRE OS AUTORES

Lauro Chagas e SáMestre em Educação em Ciências e Matemática pelo Instituto Federal do Espírito

Santo, campus Vitória; especialista em Tecnologia Educacional pelo Instituto Superior de Educação de Afonso Cláudio; licenciado em Matemática pelo Instituto Federal do Espírito Santo, campus Vitória. Professor do Instituto Federal do Espírito Santo, campus Viana. Bolsista de iniciação à docência do Pibid/Ifes de 2011 a 2014 e coordenador de Gestão de Processos Educacionais do Pibid/Ifes de 2015 a 2016. E-mail: [email protected].

Stella Gomes de SouzaAluna do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo,

campus Vitória. Bolsista de iniciação à docência do Pibid Ifes de 2012 a 2016. E-mail: [email protected].

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6 | À VISTA OU A PRAZO: IMPLICAÇÕES DA EDUCAÇÃO FINANCEIRA À COMPREENSÃO DE JUROS COMPOSTOS

Thiarla Xavier Dal-Cin ZanonMaria Laucinéia Carari


Ronaldo de Andrade

Dada à Matemática Financeira considerável relevância por suas relações e aplicações no cotidiano, buscamos uma forma de integrar conteúdos de Matemática com a realidade do aluno, relacionando-o ao contexto no qual está inserido. Questões de finanças são, muitas vezes, o centro da vida de qualquer pessoa. Estar atento à economia de cada época é importante para que decisões, como a de adquirir um patrimônio ou um bem, inspirem alguns cuidados. Nessa perspectiva, a educação escolar, sobretudo a disciplina de Matemática, pode ser fundamental para proporcionar ao aluno saberes variados e importantes que demonstrem a relação estreita entre a Matemática ensinada na escola e o cotidiano. Na ótica do ambiente escolar, sobretudo no ensino médio, a disciplina de Matemática tem uma importância fundamental, podendo contribuir com o aluno nas relações que estabelece com o meio econômico, social e cultural, dentre outras formas, por meio da educação financeira.

Assim, no presente capítulo, descrevemos uma proposta de atividade para o ensino de juros compostos no Ensino Médio. Foi desenvolvida em uma turma de 2ª série de Ensino Médio de uma escola estadual, parceira do Pibid (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência), vinculada à Licenciatura em Matemática do Ifes, campus Cachoeiro de Itapemirim, com base na metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas.

Pretendemos contribuir para a compreensão dos conhecimentos teóricos e práticos de Matemática, em especial da Matemática Financeira. Interessamo-nos em auxiliar professores e futuros professores de Matemática na prática de sala de aula. Pretendemos também auxiliar alunos na construção do conhecimento matemático e na relação que estabelecem entre este e o mundo contemporâneo.

O texto estrutura-se em três seções. Na primeira, tratamos a temática a partir dos documentos oficiais e de algumas pesquisas e estudos. Na segunda, descrevemos a atividade que deu origem a este artigo. A atividade tem por base a Resolução de Problemas como uma tendência de ensino de Matemática e fundamenta-se no formato de aula em três fases (VAN DE WALLE, 2009). E, finalmente, na terceira seção, apresentamos algumas percepções e reflexões.

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EDUCAÇÃO FINANCEIRA: O QUE DIZEM OS DOCUMENTOS OFICIAIS E ALGUNS ESTUDOS?

O Banco Central do Brasil, com o intuito de que os usuários do sistema financeiro saibam manejá-lo de maneira adequada publicou o “Caderno de Educação Financeira – Gestão de Finanças Pessoais”. Nele discute, dentre outras coisas, alguns conhecimentos e comportamentos básicos que devem ser desenvolvidos pelos usuários. Atentamo-nos para o primeiro deles, que menciona a necessidade de “entender o funcionamento do mercado e o modo como os juros influenciam a vida financeira do cidadão (a favor e contra)” (BCB, 2013, p.7).

A escola, através dos métodos e das estratégias de ensino desenvolvidas e utilizadas por professores, poderá auxiliar no entendimento do sistema financeiro pelo aluno. Isso se dará pela educação financeira desenvolvida com os pressupostos da educação matemática. Assim, relacionará o conhecimento matemático, as formas de ensino e de aprendizagem da matemática ao cotidiano dos envolvidos.

Em conformidade com o Banco Central do Brasil (BCB), a escola, através da Educação Financeira, pode ajudar a melhorar a qualidade da vida financeira de alunos e demais colaboradores do sistema de ensino. Nessa perspectiva, cumpre-se o disposto na LDB, Lei No 9394/96, quando no artigo 22, ressalta que uma das finalidades da educação básica é oferecer ao aluno uma formação que o permita atuar como cidadão. No Parâmetro Curricular Nacional – PCN – de Matemática (BRASIL, 1998) e no Currículo Básico Comum – CBC – da rede estadual do Espírito Santo (ESPÍRITO SANTO, 2009), temos preconizado que o ensino de Matemática deve contribuir para o exercício da cidadania. Isto mostra que a Educação Financeira está relacionada ao exercício da cidadania.

Dessa forma, os processos financeiros podem ser evidenciados na Educação Básica através da Matemática Financeira, contextualizando a Matemática, a partir de caráter socioeconômico, e mesmo socioambiental, de maneira que seja relevante à vida do aluno e que o mesmo, ao se tornar ou agir como um consumidor, possa ser ao menos consciente. Desse modo, ao utilizarmos situações do cotidiano do aluno para o estudo e aplicação de juros compostos, objetivamos trazer a realidade do aluno para a sala de aula, partindo do que ele já conhece e, portanto, contextualizar com o seu cotidiano. Assim, ao inserir uma atividade visando orientar o aluno a conhecer a melhor forma de adquirir uma motocicleta, por exemplo, conciliam-se os juros compostos ao cotidiano, podendo proporcionar maior interesse por parte do aluno no aprendizado.

Pesquisas (NOVAES, 2009; TEIXEIRA, 2015) e estudos (CAMPOS, TEIXEIRA, COUTINHO, 2015; KISTEMANN JUNIOR, LINS, 2014) mostram que a Educação Financeira não é desenvolvida adequadamente no Ensino Médio e que os professores para a lecionarem precisam possuir letramento financeiro a fim de que contribuam para o processo de ensino e de aprendizagem desse tópico. No contexto da Educação Financeira, a atividade que descrevemos a seguir, trata de uma situação hipotética envolvendo juros compostos. Sobre isto, os PCN (BRASIL, 1998) mencionam que seu estudo na escola é importante para “compreender, avaliar e decidir sobre algumas situações da vida cotidiana, como qual a melhor forma de pagar uma compra, de escolher um financiamento etc.” (p.85). Diz ainda que o processo deve acontecer através de situações problemas. Assim sendo, descrevemos a seguir a atividade que deu origem a este artigo.

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À vista ou a prazo: implicações da educação financeira à compreensão de juros compostos

A ATIVIDADE: A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS, O FORMATO DE AULA EM TRÊS FASES, O PLANEJAMENTO E O DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE

A atividade que ora apresentamos, foi estruturada na perspectiva da Resolução de Problemas (BRASIL, 1998, 2002, 2006; SANTOS-WAGNER, 2008; ONUCHIC, ALLEVATO, 2011, 2004; ONUCHIC, 1999; ZANON, 2011) como uma tendência de ensino de Matemática e desenvolvida seguindo o formato de aula em três fases proposto por Van de Walle (2009).

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O FORMATO DE AULA EM TRÊS FASES

O PCN (BRASIL, 1998) destaca que “as situações de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas” (p.63). As orientações presentes nos PCN+ (2002) e nas Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (2006) nos fazem perceber que a Resolução de Problemas é uma peça primordial para o ensino de Matemática, pois proporciona ao aluno a oportunidade de construir estratégias de resolução e argumentação de desafios reais, presentes em seu cotidiano. Assim, a aprendizagem assume um papel mais significativo na vida do aluno.

A partir dos estudos de Onuchic e Allevato (2011; 2004) e Onuchic (1999) trazemos para esta atividade uma situação-problema e a idealizamos como uma possível promotora de conhecimento matemático. Pretendemos que o aluno, ao buscar uma possibilidade de resolver a situação proposta, explore o problema e conceitos, ideias e métodos, neste caso, em especial, àquelas relacionadas aos juros compostos. Santos-Wagner (2008) ressalta que “as experiências com resolução de problemas desenvolvidas em sala de aula têm [...] mostrado o potencial desta abordagem instrucional para auxiliar os processos de ensinar, aprender e avaliar a matemática escolar” (p.53). A autora menciona ainda que a Resolução de Problemas envolve diferentes visões de educação, escolaridade, Matemática “e de porque se deve ensinar matemática em geral e em particular resolução de problemas” (p. 53). Para Zanon (2011) as atividades de resolução de problemas

[...] devem proporcionar a vivência de situações, a compreensão de ideias matemáticas e os diferentes tipos de problemas para que os alunos possam compreender as situações e os conceitos matemáticos. Ao propor atividades de resolução de problemas, o professor possibilitará a articulação e o desenvolvimento do pensamento reflexivo dos alunos e a reflexão acerca de seus próprios conhecimentos (p.87).

Ainda nessa perspectiva, Van de Walle (2009) menciona que um problema voltado à aprendizagem Matemática deve: (1) começar onde os alunos estão em termos de

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conhecimento matemático, motivação, entre outros. Os estudantes devem considerar a tarefa algo que faça sentido e devem se envolver nela; (2) o assunto de matemática envolvido no problema deve estar relacionado à matemática que os alunos vão aprender; e a (3) aprendizagem deve requerer justificativas e respostas/explicações para os métodos usados na resolução.

Para o desenvolvimento das atividades, planejamos as aulas seguindo o formato de aula em três fases: antes, durante e depois da lição. Esta estratégia de ensino é proposta por Van de Walle (2009) e tínhamos o interesse em testá-la concretamente em sala de aula de Matemática. Cada uma dessas fases tem “uma agenda de trabalho ou objetivos específicos” (p. 61), os quais são descritos no quadro a seguir. Adaptamos as ideias do autor incluindo informações que consideramos relevantes para o desenvolvimento deste tipo de aula.

Quadro 1 - Estrutura da aula em três fases.

FASES AGENDA DE TRABALHO PARA O PROFESSOR E OBJETIVOS

ANTES

Preparando os alunos- Verificar se os alunos compreenderam a tarefa;- Ativar os saberes prévios dos alunos preparando-os

mentalmente para a tarefa;- Estabelecer expectativas claras para os resultados

informando aos alunos como irão trabalhar e como preparar a discussão para apresentar os resultados aos demais alunos.

DURANTE

Alunos trabalhando- Analisar como os alunos produzem seus respectivos

conhecimentos, permitindo que trabalhem sem sua interferência, evitando antecipações e intervenções desnecessárias;

- Escutar cuidadosamente, se preocupando em compreender, com os alunos ou grupos de alunos, o que estão pensando e registrando ideias e conceitos matemáticos;

- Fornecer sugestões apenas baseadas nas ideias dos estudantes;

- Observar e avaliar encorajando-os a verificar suas hipóteses de resolução e estratégias exitosas ou não para possíveis e posteriores intervenções.

DEPOIS

Alunos debatendo- Encorajar a formação de uma comunidade de estudantes

envolvendo a turma toda na discussão e na sistematização do conhecimento matemático em questão;

- Escutar/aceitar soluções dos estudantes sem julgá-las, questionando-os a respeito delas;

- Sintetizar as principais ideias e registrá-las;- Identificar futuros problemas quanto à realização de

outras tarefas desse tipo.Fonte: Adaptado de Van de Walle (2009, p.62)

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O PLANEJAMENTO E O DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE

Identificação: À vista ou a prazo: implicações da Educação Financeira na compreensão de juros compostos.

Objetivo geral: Propiciar o ensino e a aprendizagem de juros compostos em sala de aula, a partir de uma simulação de compra de um bem relacionado ao cotidiano dos alunos, como uma forma de motivá-los à aprendizagem do conceito matemático envolvido.

Turmas nas quais o jogo pode ser desenvolvido: a atividade pode ser desenvolvida, preferencialmente, na 2ª série do Ensino Médio. Caso julgue necessário, o professor poderá utilizá-la em outras séries do Ensino Médio.

Número de aulas previstas, tempo de cada aula e tarefas desenvolvidas em cada aula: sugerimos duas aulas de 50 minutos cada.

Materiais utilizados: computador notebook e de mesa, Datashow, calculadora, caderno, lápis e borracha.

Acompanhamento e desenvolvimento da atividade: A atividade foi impulsionada pelo fato de um dos bolsistas de iniciação à docência pensar em adquirir uma motocicleta. Aliado a este, o fato da professora regente iniciar com a turma o conteúdo de juros compostos proposto no currículo estadual. Assim, planejamos junto com a professora regente uma situação hipotética de simulação de compra deste bem. Ressaltamos o conhecimento matemático que pretendíamos que fosse produzido, alinhamos a proposta curricular, pensamos nos saberes prévios dos alunos e elaboramos a tarefa em si.

Na primeira aula, preparamos os alunos para o desenvolvimento da tarefa. Propusemos um diálogo com eles sobre a importância de conhecimentos financeiros para a vida de todo cidadão. Informamos sobre o tema da atividade e sobre a proposta de trabalho a ser realizada pela turma. Assim, ativamos os saberes prévios, os preparando mentalmente para tarefa (VAN DE WALLE, 2009). Posteriormente, apresentamos a situação problema geral que simulava a aquisição da motocicleta. Dissemos aos alunos “Raphael precisa adquirir uma motocicleta, pois precisa se deslocar de sua casa para esta escola parceira do Pibid e para o Ifes, uma vez que os horários de ônibus não são compatíveis com as atividades de Raphael”. Os alunos riram. Os questionamos se conheciam modelos de motocicletas, marcas, lojas, preços, formas de pagamento, quais marcas e modelos apareciam mais no mercado, e qual a forma de pagamento, à vista ou a prazo, seria mais vantajosa para adquirir um modelo de motocicleta de alguma marca.

Após esses questionamentos, decidimos que Raphael deveria acessar o site das marcas de motocicletas de sua cidade e escolher o modelo que mais lhe agradava. Raphael, que já havia feito isto em casa, informou aos alunos o modelo e a marca que queria. Nesse momento, informou também que iria ajudá-los a definir qual seria a melhor forma de pagamento da motocicleta. Dessa forma, explicamos aos alunos como aconteceria o desenvolvimento formal da tarefa. Explicamos que a turma seria dividida em 3 grupos com 9 alunos em cada grupo. Cada grupo acessaria o site da empresa de motocicletas “Estrela H Motos”, no qual havia informações a respeito dos preços e das formas de pagamento. Em seguida, procederiam a uma forma de cálculo com base nas seguintes informações:

Grupo 1: Calcularia a compra da motocicleta por meio de um financiamento a prazo com duração de 36 meses.

Grupo 2: Calcularia a mesma compra, porém, por meio de um consórcio, também

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no prazo de 36 meses. Grupo 3: Utilizando as informações do financiamento a prazo, calcularia o

rendimento das parcelas fixas, considerando uma taxa de 0,5% ao mês, depositadas na poupança e apurariam o rendimento ao final do mesmo período de 36 meses. O valor da parcela a prazo seria depositado todo mês na poupança. Deveriam considerar para este caso, a possibilidade deles também comprarem uma motocicleta, visto que ainda não possuíam a maioridade civil.

As situações foram pensadas considerando que Raphael ainda era estudante e não tinha como pagar a motocicleta à vista. Dito isto, verificamos se os alunos haviam compreendido a tarefa e ativamos seus saberes prévios, visto que os alunos já possuíam uma noção de juros compostos anterior ao trabalho que fora desenvolvido pela professora da segunda série do Ensino Médio. Estabelecemos também expectativas claras para os resultados, informando aos alunos como deveriam trabalhar e preparar a discussão para apresentar os resultados para os demais alunos (VAN DE WALLE, 2009). Importante informar que, anteriormente ao desenvolvimento da tarefa, já havíamos reservado e preparado o laboratório de informática, pois queríamos que a tarefa acontecesse neste espaço, visto que seria necessário acessar o site da marca da motocicleta para realização da situação problema proposta.

Os grupos trabalharam simultaneamente. Como já dito, desenvolvemos as tarefas no laboratório de informática, pois os grupos precisavam acessar o site da empresa e nós os conduziríamos acessando simultaneamente e mostrando no Datashow. Neste momento, deixamos os alunos trabalharem sozinhos, sem nossa interferência. Passamos pelos grupos e escutamos os relatos deles sobre procedimentos de cálculo e forma de expor aos demais colegas. Os encorajávamos a testar suas ideias para verificar se eram exitosas ou não. Em alguns momentos, foi necessário oferecer sugestões aos alunos baseados nas próprias ideias deles. Em outros, os auxiliamos quanto ao entendimento da atividade, principalmente os alunos do grupo 3. Inicialmente eles acreditavam que seria necessário apenas um cálculo para determinar o valor do montante final, concluídos os 36 meses de aplicação. Assim, foi necessária uma intervenção nossa para conduzir os primeiros passos da atividade para esse grupo.

Cabe destacar que dos três grupos, apenas ao terceiro foi permitida a utilização da calculadora. Como esses alunos deveriam depositar na poupança a cada mês o valor da prestação de uma possível compra a prazo, o capital sempre seria alterado. Dessa forma, apenas um cálculo utilizando a fórmula M = C.(1 + i)n, não era suficiente para saber o montante ao final de 36 meses. Portanto, os participantes do 3º grupo realizaram 36 operações matemáticas com a referida fórmula, trabalhando com porcentagem e potenciação, até chegar ao último mês da aplicação. Isso justificou a autorização para se fazer o uso da calculadora. Durante este momento em que os alunos estavam trabalhando, acreditamos ter concretizado a fase da aula denominada por Van de Walle (2009) de “durante”.

Na segunda aula buscamos desenvolver a fase “depois” (VAN DE WALLE, 2009). Foi o momento no qual os alunos apresentaram suas ideias, argumentos e registros. Esta aula também aconteceu no laboratório de informática. Procuramos envolver a turma toda na discussão e na sistematização das informações mencionadas pelos alunos. Os alunos mostraram que calcularam as prestações fixas e verificaram, ao final delas, que a melhor

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opção econômica entre a compra a prazo e por meio de consórcio, foi a primeira opção. Porém, considerando a idade dos alunos, 15 anos, e tomando como base os mesmos 36 meses, tempo para que assumam a maioridade civil, o terceiro grupo calculou o rendimento de uma aplicação por meio de poupança bancária, taxa de 0,5% ao mês. Vejamos o registro deste cálculo efetuado por uma aluna.

Figura 1 - Cálculo de rendimento da aplicação


Aplicando o juro composto, os alunos verificaram ao final dos 36 meses, levando em conta o valor futuro da motocicleta, que poderiam adquiri-la pagando à vista e comentaram entre eles que sobraria dinheiro para pagar a autoescola e emissão da carteira de motorista, assim como auxiliar na compra de um capacete. Isto nos mostrou que além de pensarem em questões mais prudentes quanto à forma de pagamento, pensaram também na segurança deles ao mencionarem a carteira de motorista e a compra do capacete. Pareceu-nos assim que os alunos se comportaram como uma comunidade de aprendizes, discutindo as formas de cálculo e pagamento, escutaram os colegas, sintetizaram e registraram conceitos, que são características da fase “depois” conforme informado por Van de Walle (2009). A partir do que foi discutido nesta atividade, percebemos que a educação financeira pode ser uma ferramenta de grande poder para o ensino da Matemática, possibilitando que os professores garantam as competências e as habilidades dos alunos com mais facilidade e que estes possam pensar e planejar sua vida financeira futuramente e até mesmo auxiliar familiares e amigos.

PERCEPÇÕES E REFLEXÕES

A Matemática ainda nos dias atuais causa estranhamento em alguns alunos que a percebem como difícil aprender e a relacionar com o cotidiano. Porém, quando ela é associada a fatores existentes fora do universo educacional, pode despertar no aluno o interesse pelo aprendizado. Desse modo, acredita-se que tal estranhamento, que perdura por anos, diminua consideravelmente. Vale ressaltar que as aulas tradicionais de Matemática são importantes e, como todas as aulas, devem seguir um plano curricular específico, porém, espera-se ainda que as aulas de Matemática sejam cada vez mais estimulantes, atraindo o aluno para a aprendizagem.

Nesse contexto, ao abordarmos o conteúdo de juros compostos de forma diferente

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da utilizada usualmente, foi possível perceber a importância de relacionar o conteúdo ao cotidiano do aluno. Além disso, a resolução de problemas permitiu que o aluno percebesse uma aplicabilidade do conhecimento, verificando a importância do estudo de determinado conteúdo. Assim, proporcionou a construção do seu próprio conhecimento, por meio do qual se tornaram sujeitos ativo na construção do saber matemático, tendo o professor com mediador deste processo.

Percebemos uma significativa interação dos alunos nessa atividade, afinal de contas, muitos deles demonstravam um desejo de adquirir uma motocicleta. Sugeriram que, embora depositar o dinheiro na poupança seja a melhor opção financeira, constatada pelos cálculos, às vezes isso não será viável, pois é melhor ter a posse da motocicleta e pagar a prazo, do que esperar e comprar à vista. Além disso, os alunos do grupo três questionaram se haveria outra forma de determinar o valor do montante final depositado na poupança por 36 meses. Eles consideraram que gastaram muito tempo para encontrar o resultado. Assim, posteriormente a aula, utilizando a mesma fórmula de juros compostos em uma planilha de Excel, mostramos aos alunos como obter os resultados de maneira mais rápida.

Figura 2 - Cálculo efetuado na planilha de Excel.

TOTAL DE MESES

MONTANTE CAPITAL TAXA TOTAL COM JUROS

1 R$ 244,53 R$ 244,53 0,5% R$ 245,75

2 R$ 490,28 R$ 490,28 0,5% R$ 492,73

3 R$ 737,26 R$ 737,26 0,5% R$ 740,95

4 R$ 985,48 R$ 985,48 0,5% R$ 990,41

5 R$ 1.234,94 R$ 1.234,94 0,5% R$ 1.241,11

6 R$ 1.485,64 R$ 1.485,64 0,5% R$ 1.493,07

7 R$ 1.737,60 R$ 1.737,60 0,5% R$ 1.746,29

8 R$ 1.990,82 R$ 1.990,82 0,5% R$ 2.000,77

9 R$ 2.245,30 R$ 2.245,30 0,5% R$ 2.256,53

10 R$ 2.501,06 R$ 2.501,06 0,5% R$ 2.513,56

11 R$ 2.758,09 R$ 2.758,09 0,5% R$ 2.771,89

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12 R$ 3.016,42 R$ 3.016,42 0,5% R$ 3.031,50

13 R$ 3.276,03 R$ 3.276,03 0,5% R$ 3.292,41

14 R$ 3.536,94 R$ 3.536,94 0,5% R$ 3.554,62

15 R$ 3.799,15 R$ 3.799,15 0,5% R$ 3.818,15

16 R$ 4.062,68 R$ 4.062,68 0,5% R$ 4.082,99

17 R$ 4.327,52 R$ 4.327,52 0,5% R$ 4.349,16

18 R$ 4.593,69 R$ 4.593,69 0,5% R$ 4.616,66

19 R$ 4.861,19 R$ 4.861,19 0,5% R$ 4.885,49

20 R$ 5.130,02 R$ 5.130,02 0,5% R$ 5.155,67

21 R$ 5.400,20 R$ 5.400,20 0,5% R$ 5.427,20

22 R$ 5.671,73 R$ 5.671,73 0,5% R$ 5.700,09

23 R$ 5.944,62 R$ 5.944,62 0,5% R$ 5.974,35

24 R$ 6.218,88 R$ 6.218,88 0,5% R$ 6.249,97

25 R$ 6.494,50 R$ 6.494,50 0,5% R$ 6.526,97

26 R$ 6.771,50 R$ 6.771,50 0,5% R$ 6.805,36

27 R$ 7.049,89 R$ 7.049,89 0,5% R$ 7.085,14

28 R$ 7.329,67 R$ 7.329,67 0,5% R$ 7.366,32

29 R$ 7.610,85 R$ 7.610,85 0,5% R$ 7.648,90

30 R$ 7.893,43 R$ 7.893,43 0,5% R$ 7.932,90

31 R$ 8.177,43 R$ 8.177,43 0,5% R$ 8.218,32

32 R$ 8.462,85 R$ 8.462,85 0,5% R$ 8.505,16

33 R$ 8.749,69 R$ 8.749,69 0,5% R$ 8.793,44

34 R$ 9.037,97 R$ 9.037,97 0,5% R$ 9.083,16

35 R$ 9.327,69 R$ 9.327,69 0,5% R$ 9.374,33

36 R$ 9.618,86 R$ 9.618,86 0,5% R$ 9.666,95


Como outra possibilidade, mostramos aos alunos uma fórmula de valor futuro, que também fornece o valor do montante desejado. Não é comum abordar tal fórmula nas séries do ensino médio. Foi também uma novidade para os alunos.

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Figura 3 - Cálculo de valor futuro utilizando Excel.


Percebemos que foi importante ensinar Matemática a partir de um problema gerador (ONUCHIC, ALLEVATO, 2011, 2004; ONUCHIC, 1999), pois estimulou a aprendizagem e a curiosidade dos alunos avançando no conhecimento deles acerca de juros compostos. Também verificamos que em alguns momentos, é necessário o uso de fórmulas e procedimentos de cálculo. No entanto, ressaltamos a necessidade dos alunos explorarem o conhecimento matemático antes do uso delas. E que é necessário que as compreendam, entendendo também se elas funcionam, como e porque funcionam.

Para nós, a situação-problema que desenvolvemos com alunos se caracteriza como um problema de aplicação. De acordo com Santos-Wagner (2008) estes tipos de problemas “fornecem aos alunos a oportunidade de usar uma variedade de habilidades matemáticas, procedimentos, conceitos e fatos para resolver problemas reais. Levam o aluno a perceber a utilidade e a importância da matemática no cotidiano” (p.55). Acreditamos também ter verificado na prática os escritos de Zanon (2011), quando informa que as atividades de resolução de problemas devem possibilitar ao aluno a vivência de situações, o entendimento de ideias matemáticas e os diferentes tipos de problemas. E quando menciona que a situação é considerada um problema quando inicialmente não se há um procedimento matemático inicial para encontrar uma possível solução. Mas que, no entanto, os alunos trabalham para encontrá-la. Ressaltamos que testamos a aula em três fases (VAN DE WALLE, 2009) e para o desenvolvimento da atividade que propomos, ela funcionou e foi exitosa.

Como aprendizagem, ressaltamos que as atividades de resolução de problemas podem ser usadas em momentos distintos, seja para: (1) despertar a curiosidade e o interesse e assim apresentar o conhecimento matemático; (2) explorar estratégias de resolução; (3) como uma situação geradora de conhecimento matemático, quando se quer iniciar o estudo de um novo conceito; e (4) para sistematizar um conceito já estudado. Esses pensamentos se alinham aos do PCN (BRASIL, 1998), Santos-Wagner (2008), Onuchic e Allevato (2011; 2004), Onuchic (1999) e Zanon (2011). Evidenciamos que o professor é quem vai definir o momento e a melhor forma de inserir a resolução de problemas no seu planejamento. Por fim, ressaltamos a importância do professor e do futuro professor de matemática conhecer a literatura sobre o assunto que vai ensinar e ter conhecimentos

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matemáticos bem elaborados para ensiná-los com clareza, pensando num formato de aula conforme o proposto por Van de Walle (2009).

REFERÊNCIAS

BCB, Banco Central do Brasil. Caderno de Educação Financeira – Gestão de Finanças Pessoais. Brasília: BCB, 2013.

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_______. Ministério da Educação e da Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (PCN+). Brasília: MEC/SEMT, 2002.

_______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.

_______. Lei de Diretrizes e Bases da Educação – LDB, Lei No 9394/96. Disponível em http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/Leis/L9394.htm . Acesso em 12 maio 2016.

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KISTEMANN JUNIOR, M. A.; LINS, R. C. Enquanto isso na Sociedade de Consumo Líquido-Moderna: a produção de significados e a tomada de decisão de indivíduos-consumidores. Bolema, Rio Claro (SP), v. 28, n. 50, p. 1303-1326, dez. 2014.

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ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em educação matemática: concepções

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e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999, p. 199-218.

ONUCHIC, L. de la R.; ALLEVATO, N. S. G. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema, Rio Claro, UNESP, v.25, n. 41, p. 71-98, dez. 2011.

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ZANON, T. X. D. Formação continuada de professores que ensinam matemática: o que pensam e sentem sobre ensino, aprendizagem e avaliação. 2011. 300 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Programa de Pós-Graduação em Educação, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória.

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SOBRE OS AUTORES

Thiarla Xavier Dal-Cin ZanonDoutoranda em Educação pela Universidade Federal do Espírito Santo. Mestre em

Educação pela mesma instituição. Especialista em Matemática pelas Faculdades Integradas de Jacarepaguá, em Educação Infantil pela Universidade Castelo Branco e em Gestão Escolar Integradora pelo Instituto Brasileiro de Educação. Licenciada em Matemática pelo Centro Universitário São Camilo Espírito Santo e em Pedagogia pela Universidade de Uberaba. É professora do Instituto Federal do Espírito Santo – campus Cachoeiro de Itapemirim. Coordenadora de área do Pibid/Ifes de 2014 a 2015. E-mail: [email protected].

Maria Laucinéia CarariMestre em Estatística pela Universidade Federal de Lavras. Graduada em Matemática

pela Universidade Federal de Viçosa. Professora do Instituto Federal do Espírito Santo – campus Cachoeiro de Itapemirim. Coordenadora de área do Pibid/Ifes de 2014 a 2016. E-mail: [email protected].





Ronaldo de AndradeLicenciado em Matemática pelo Instituto Federal do Espírito Santo, campus


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7 | EXPERIÊNCIA COM O DESENVOLVIMENTO DE UMA AULA SOBRE FIGURAS PLANAS UTILIZANDO O GEOGEBRA

Antonio Henrique PintoTalita Moraes Modolo

Natan Souza Ribeiro

No Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo – campus Vitória, o Pibid é desenvolvido em parceria com a Secretaria Estadual de Educação e tem por finalidade formar professores reflexivos, aptos a desenvolverem o processo de ensino e aprendizagem de modo dinâmico, contextualizado e/ou interdisciplinar. As atividades do subprojeto Matemática/Vitória/Ensino Médio, na escola em que a ação foi realizada, contam com o apoio de sete alunos de graduação, sendo 6 bolsistas e 1 voluntário. Conta também com o apoio de uma professora supervisora e de um professor colaborador, com quem desenvolvemos a atividade proposta neste trabalho.

Durante o planejamento das atividades com o professor colaborador, nos questionamos sobre como poderíamos abordar o conteúdo de figuras geométricas planas, de modo a iniciarmos os estudos com os alunos para em seguida, ser sequenciado pelo professor com outros estudos ligados ao tema que trabalharíamos. No Currículo Básico Escola Estadual – SEDU para o ensino médio, no módulo de Ciências da Natureza, encontramos como competência/habilidades esperadas dos alunos da educação básica, na disciplina de matemática, que o educando deve, “diante de formas geométricas planas e espaciais, reais ou imaginárias, conhecer suas propriedades, relacionar seus elementos” (ESPIRITO SANTO, 2009, p. 116).

Baseado no exposto, elaboramos uma atividade que permitisse aos alunos reconhecer as características de algumas formas geométricas planas, tendo como principal objetivo promover, junto aos alunos, um processo de reflexão e discussão acerca das características das formas geométricas triangulares e dos quadriláteros, destacando os elementos que caracterizam cada uma dessas figuras planas. Esse conteúdo está em consonância com o que o Currículo Básico Escola Estadual sugere para se trabalhar com turmas de 1º ano do ensino médio no eixo geometria, grandezas e medidas: “realizar construções geométricas de polígonos, sólidos e lugares geométricos, por meio de régua e compasso e geometria dinâmica [...]; saber justificar os processos utilizados nas construções geométricas” (ESPIRITO SANTO, 2009, p. 118). Após algumas reflexões durante o planejamento dessa atividade, acordamos que poderíamos realizar atividades voltadas para as construções e reconhecimento de alguns tipos de triângulos e quadriláteros.

Para a realização dessa atividade, optamos por realizar os estudos utilizando o software GeoGebra, tendo em vista que, nesse tipo de atividade, as máquinas “ganham importância como instrumentos que permitem a abordagem de problemas com dados

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PINTO, Antonio | MODOLO, TalitaRIBEIRO, Natan

reais, ao mesmo tempo em que o aluno pode ter a oportunidade de se familiarizar com as máquinas e com os softwares” (BRASIL, 2002, p.127).

Dessa forma, elaboramos um manual explicativo para orientar aos alunos sobre a utilização de algumas ferramentas do software. Durante a aula, trabalhamos com duas dinâmicas: em uma apresentávamos a forma já construída e identificávamos junto com os alunos um quadro com as características de cada uma delas e, na outra, dizíamos qual seria a forma que eles deveriam construir, porém, chegávamos antes na conclusão do que caracterizaria cada uma delas, para então os alunos realizarem as construções obedecendo as características que definimos juntos previamente.

Na segunda seção, fazemos uma breve discussão a respeito do uso de softwares nas aulas de geometria. Em seguida, na seção de número três apresentamos como se deu o desenvolvimento da aula que está sendo apresentada neste trabalho. Na quarta seção trazemos a avaliação feita pelos alunos da atividade desenvolvida. Na seção cinco apontamos nossas considerações a respeito do desenvolvimento dessa atividade. E, por fim, apresentamos as referências que nos ajudaram no desenvolvimento deste trabalho.

UTILIZAÇÃO DE SOFTWARE NO ENSINO DE GEOMETRIA

Como consta nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1998), a geometria é uma importante disciplina para auxiliar os alunos a organizarem o próprio pensamento a partir do mundo onde vivem, visto que a percepção dos objetos pertencentes ao mundo físico pode gerar conexões com a Matemática. Baseados nesse princípio, vemos a importância de conhecer conceitos fundamentais ligados ao estudo da geometria, uma vez que “[...] mesmo não querendo, lidamos em nosso cotidiano com as ideias de paralelismo, perpendicularismo, congruência, semelhança, proporcionalidade, medição (comprimento, área, volume), simetria: seja pelo visual (formas), seja pelo uso no lazer, na profissão, na comunicação oral, cotidianamente estamos envolvidos com a Geometria” (LORENZATO, 1995, p. 5).

No entanto, para que alcancemos a compreensão desses conceitos, há a necessidade de que sejam pensadas metodologias diferenciadas, como por exemplo, a utilização de softwares educativos que podem auxiliar os alunos na percepção e compreensão de conceitos geométricos. Um exemplo de aplicativo eficiente para esse trabalho é o GeoGebra5, que permite que os alunos construam e explorem objetos geométricos de maneira interativa. Desse modo, é

[...] importante a utilização das tecnologias digitais como ação pedagógica para o ensino e aprendizagem de conteúdos geométricos por meio da elaboração de atividades curriculares matemáticas que possibilitem a produção, a apropriação e o estabelecimento efetivo desse conhecimento. Nessa perspectiva,

5 Software criado por Markus Hohenwarter. É gratuito e foi “desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino [...] e reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente” (NASCIMENTO, 2012, p. 128).

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Experiência com o desenvolvimento de uma aula sobre figuras planas utilizando o geogebra

os alunos tornam-se participantes ativos no processo de construção do conhecimento matemático e geométrico, pois os professores possibilitam que façam matemática por meio da experimentação, interpretação, visualização, indução, elaboração de conjecturas, abstração, generalização e demonstração (PELLI, 2014, p. 33).

O software GeoGebra é uma ferramenta tecnológica dinâmica e interativa para o ensino de conteúdos de geometria e para os estudos das propriedades dos objetos geométricos. Assim, o termo geometria dinâmica, muitas vezes atribuído a esse software, remete a ideia de movimento e as mudanças que ele permite aos alunos visualizarem, facilitando a compreensão das construções realizadas.

DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE

Para a realização dessa sequência dispusemos de duas aulas com cada turma, sendo que cada aula tinha duração de 55 minutos. Devido ao pequeno número de computadores disponíveis para uso no laboratório de informática da escola, precisamos organizar os alunos em duplas e trios. Com relação ao uso do GeoGebra, não demos aula ensinando aos alunos manusearem o software, no entanto, preparamos uma lista com os principais comandos e distribuímos para cada dupla/ trio e sempre que surgia alguma dúvida sobre o uso do software, nós, bolsistas, nos colocávamos a disposição dos alunos. As Figuras 1 e 2 fazem parte da lista de comandos distribuída aos alunos.

Figura 1 - Construção de um ponto.

Fonte: Acervo do subprojeto Pibid/Vitória, 2016.

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Figura 2 - Construção de um segmento de reta.


Nessa lista de comando colocamos o passo a passo sobre como a fazer a construção de ponto, de segmento de reta, de reta perpendicular, de reta paralela e de círculo, sempre tomando o cuidado de trazer a definição de cada um desses elementos. Também colocamos na lista o passo a passo de como ocultar objetos. Ao longo da aula ensinamos alguns outros passos, por exemplo, como apagar os objetos criados, como alterar sua cor e rótulo, e também ensinamos a criarem caixas de textos.

Para a realização da aula, preparamos também algumas formas já construídas para podermos utilizá-las como base para nossas discussões com os alunos. Essas formas foram construídas e disponibilizadas em um arquivo, no próprio GeoGebra, e foram abertas nos computadores de todas as duplas/ trios (Figura 3). Nesse arquivo, os alunos tinham a liberdade de manipular as formas e exibir rótulos para poderem observar suas características.

Figura 3 - Figuras construídas e disponibilizadas aos alunos.


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A atividade foi desenvolvida seguindo a seguinte estrutura e organização didática:

DESENVOLVIMENTO DAS AULAS

1º - Quadrado e Retângulo – 1ª AulaPrimeiro, os alunos se dividem em grupos e depois mostramos o que

esperamos dos alunos nas duas aulas, em seguida, iniciamos a discussão sobre propriedades do retângulo:

O que é um retângulo? Quais as suas propriedades? Quantos lados têm? Existem lados de mesma medida? O que são lados opostos? O que são lados paralelos? Quantos ângulos têm? Quanto mede os ângulos? O que é ângulo reto?

As perguntas acima são exemplos de algumas das indagações que faremos aos alunos e, a partir do que responderem, construímos juntos as propriedades do retângulo. Em seguida, será solicitado a construção do quadrado no software GeoGebra. Os alunos realizarão, de maneira livre, a construção geométrica, trabalhando no software, também, de maneira livre.Enquanto constroem, ao apresentarem dúvidas sobre o uso do GeoGebra ou sobre como construir a figura solicitada, ajudaremos a responder as dúvidas apresentadas, sentando com cada grupo para explicar e rever as propriedades de forma individual. Desse modo, os alunos podem construir e enxergar as propriedades das figuras que antes havíamos discutido.

2º - Demais figuras – 2ª AulaComo os alunos já terão conhecimento melhor do software, nessa segunda

aula esperamos que as construções se desenvolvam mais rápido. Com isso faremos uma discussão semelhante a do retângulo, só que com o losango e pediremos para fazerem a construção do paralelogramo, depois discutiremos o triângulo e as várias classificações dos triângulos de acordo com as medidas dos lados e dos ângulos e, pediremos para fazerem a construção do triângulo retângulo. Por fim, discutiremos sobre o trapézio e as várias classificações de trapézio e pediremos para fazerem a construção do trapézio retângulo. Ao final da aula, reservaremos cerca de cinco minutos para os alunos avaliarem o que acharam da atividade, quais foram os pontos positivos e negativos e quais as sugestões de melhoria. Essa avaliação será feita no próprio software.

Conforme mostrado anteriormente, na primeira aula trabalhamos com as construções e as definições dos quadriláteros retângulos e quadrado e na segunda aula fizemos os estudos do losango, do paralelogramo, dos tipos de triângulo e dos tipos de trapézio. Ao longo dos estudos de cada figura, discutíamos as propriedades que caracterizavam cada uma delas. As conclusões que os alunos chegavam iam sendo discutidas oralmente e, na medida em que entravam em um consenso, eles anotavam na área de trabalho do GeoGrebra as propriedades de cada forma geométrica.

Iniciamos a atividade apresentando o desenho da figura do retângulo e fazendo vários questionamentos aos alunos, para podermos juntos caracterizar esta figura e reconhecer o que significava cada coisa que iam nos falando. Alguns dos questionamentos que fizemos foram: O que é um retângulo? Quais as suas propriedades? Quantos lados ele tem? Existem lados de mesma medida? O que são lados opostos? O que são lados paralelos? Quantos ângulos ele têm? Quanto mede cada ângulo? O que é um ângulo reto? E, desse modo, os alunos observaram as seguintes características e fizeram uma observação pertinente sobre o retângulo:

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• lados opostos paralelos de mesma medida;

• quatro ângulos iguais de 90°;

• quatro lados;

• OBS: quadrado é um retângulo regular, tem quatro lados de mesma medida.

Aproveitando a observação feita por um dos alunos, solicitamos então que os mesmos realizassem a construção de um quadrado, observando e respeitando as características que ele deveria ter. Nessa etapa, os alunos ficaram livres para pensar em como fazer a construção. Alguns foram fazendo tentativas, deixavam bem próximo a medida dos lados e a medida dos ângulos. Outros exibiram a malha quadriculada ao fundo da área de trabalho do GeoGebra e os pontos do plano cartesiano (x, y). Outros tentaram utilizar os recursos que disponibilizamos na lista de comandos. Nas Figuras 4, 5 e 6 podemos ver algumas das construções realizadas pelos alunos.

Figura 4 - Um dos grupos que utilizou a malha quadriculada para facilitar a construção.


Figura 5 - Um dos grupos que construiu os segmentos e foi ajustando até obter os ângulos retos e os lados de mesma medida.


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Figura 6 - Um dos grupos que tentou utilizar a malha quadriculada para facilitar a construção, porém não obteve êxito na construção.

Fonte: Acervo do subprojeto Pibid/Vitória, 2016

A construção do quadrado demandou grande parte da aula, mais até do que havíamos planejado, por esse motivo as demais construções precisaram ser executadas na aula seguinte.

Na segunda aula, os alunos já estavam mais familiarizados com o software. Esperávamos que a aula se desenvolvesse mais rápido. Desse modo, fizemos uma discussão semelhante aà da aula anterior, só que com o losango. Íamos indagando os alunos sobre algumas características para que eles observassem e pedíamos que dissessem o que caracterizaria um losango e obtivemos as respostas abaixo.

• os ângulos não são de 90º;

• ângulos opostos de mesma medida;

• a soma dos ângulos consecutivos é 180º;

• quatro lados iguais ( parece com o quadrado);

• lados opostos paralelos.

Sabemos que o quadrado pode ser um losango e, por isso, a primeira definição apresentada pelos alunos estava equivocada, no entanto, por descuido nosso, não fizemos essa correção durante a aula, fizemos apenas em aula posterior pedindo desculpa pelo equívoco, porém, como os próprios alunos observaram que algumas características remetiam-se ao quadrado, destacamos que todo quadrado também é um losango. Após a discussão feita a respeito do losango, falamos sobre a diferença entre esta figura e um paralelogramo e solicitamos que cada dupla/ trio realizasse, então, sua construção. Como com o quadrado, os alunos ficaram livres para realizarem esta construção e cada dupla/ trio a fez da maneira que acharam ser mais conveniente, como podemos ver nas Figuras 7, 8 e 9.

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Figura 7 - Grupo que realizou a construção utilizando o recurso de retas paralelas.


Figura 8 - Grupo que realizou a construção utilizando a malha quadriculada.

Fonte: Acervo do subprojeto Pib

Figura 9 - Grupo tentou realizar a construção através dos segmentos, tentando aproximar-se das características do paralelogramo.


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Para a construção do losango os alunos também utilizaram uma quantidade considerável de tempo, e por esse motivo as discussões sobre as características dos tipos de triângulos e dos tipos de trapézios foram mais rápidas e sem anotações, a sistematização das características de cada figura foram apenas oralmente. Apresentamos os tipos de triângulos e suas classificações de acordo com as medidas de seus lados e também suas classificações de acordo com as medidas de seus ângulos, e solicitamos que eles realizassem a construção de um triângulo retângulo. E, como nas construções anteriores, os alunos ficaram livres para construírem da maneira que achassem melhor. Algumas das construções estão representadas pelas Figuras 10, 11 e 12.

Figura 10 - Construção utilizando retas perpendiculares para obter o ângulo reto.


Figura 11 - Construção realizada utilizando segmentos de retas e tentando obter a melhor aproximação que caracterizasse um triângulo retângulo.


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Figura 12 - Construção feita utilizando como base a malha quadriculada.


Pudemos observar que nas construções dos triângulos nenhum grupo de alunos pensou em construir um triângulo retângulo apenas traçando a diagonal do retângulo ou do quadrado. Acreditamos que isso possa ser justificado pelo fato de, apesar dos alunos estarem no ensino médio, ainda não possuem a compreensão de algumas propriedades dos polígonos e, por isso, não estabelecerem relações entre os diferentes tipos de figuras geométricas.

Para realizarmos os estudos sobre trapézios procedemos da mesma forma que fizemos com os triângulos, apresentamos os vários tipos de trapézios e suas classificações e solicitamos que realizassem a construção de um trapézio retângulo. Assim como em todas as figuras anteriores, os alunos foram livres para fazerem a construção da maneira que julgassem melhor, e cada um traçou sua estratégia, como podemos ver nas Figuras 13 e 14.

Figura 13 - Utilizaram a malha quadriculada para realizarem a construção.


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Figura 14 - Utilizaram segmentos e tentaram fazer a aproximação do ângulo para obter a figura solicitada.


De modo geral, percebemos que na maioria dos casos, os alunos não se preocupavam em garantir algumas propriedades dos polígonos durante as construções, como o paralelismo entre os lados opostos dos quadriláteros: retângulo, quadrado, losango e paralelogramo, ou o paralelismo entre as bases do trapézio, ou, ainda, garantir o perpendicularismo para obter o ângulo reto no triângulo retângulo e trapézio retângulo. Notamos que eles se preocupavam em tentar chegar à construção final, sem recorrer aos recursos do software que garantiriam as características de cada forma. Na maioria dos casos, preferiam ficar tentando fazer uma aproximação das características dos polígonos estudados.

Ao final da aula, reservamos cinco minutos para que os alunos pudessem responder a um pequeno questionário sobre o que acharam da atividade, quais foram os pontos positivos e negativos e qual a sugestão para melhorarmos essa aula. As respostas foram dadas pelas duplas/ trios no próprio arquivo do GeoGebra que eles estavam fazendo as construções e serão analisadas na próxima seção.

ANÁLISE DA AVALIAÇÃO DA ATIVIDADE PELOS ALUNOS

Para avaliar a atividade desenvolvida com os alunos do primeiro ano do ensino médio, propomos três perguntas que foram respondidas ao final da aula. As perguntas eram: Quais as contribuições da atividade? Pontos positivos e negativos da atividade? Quais as sugestões para melhorarmos?

Os alunos responderam aos questionamentos no próprio GeoGebra, na área onde realizaram as construções. As respostas dadas foram, no geral, positivas, tiveram apenas três grupos do total de dezesseis que não responderam aos questionamentos feitos. A seguir apresentaremos algumas das respostas dadas pelos alunos.

Com relação à primeira pergunta, os alunos evidenciaram a importância e as contribuições para sua bagagem de conhecimento:

• Ajudou a saber mais sobre as medidas e definições das figuras geométricas.

• A atividade ajudou na percepção do lado geométrico da matemática que será utilizada no futuro.

• Identificar cada polígono, saber a diferença de um para o outro.

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• As contribuições foram: um entendimento maior sobre polígonos, na qual pode ser usado futuramente.

Com relação à segunda pergunta, trouxemos as respostas a seguir, com o objetivo de evidenciarmos a importância de trabalharmos de maneira diferente da tradicional. Os pontos positivos evidenciados nos dão o retorno de como é importante diferenciarmos nossa prática:

• A maneira como aprendemos.

• O ponto positivo é que nos deu mais visão sobre a geometria, um dos pontos negativos é que o programa não era tão fácil de utilizar.

• POSITIVO: A atenção dos professores; a forma de ensino.

Como resposta à terceira pergunta, a maioria alegava não ter nada para melhorar, mas fizemos questão de trazermos a resposta a baixo, que expressa a linguagem muitas vezes utilizada pelos alunos:

• Não há nada a melhorar. “aula responsa. #denovo

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES

Percebemos que a atividade sobre geometria, desenvolvida com o auxílio do software GeoGebra, ajudou os alunos a compreenderem os conceitos abordados, embora a atividade necessite ser repensada para aplicações futuras. Dizemos isso por uma série de pequenos detalhes que podem ser aperfeiçoados, um deles é referente à nossa postura na sala de aula, precisávamos nos sentir mais seguros para encarar uma turma cheia, com alunos que conversam paralelamente durante a explicação. Outro detalhe é a organização da turma, mesmo que fugindo do nosso controle a disponibilidade de computadores da escola, poderíamos ter pensado em outra dinâmica, talvez organizado a sala em dois grupos e cada um se dirigiria ao laboratório de informática em uma aula, assim, tentando evitar tumultos e excesso de alunos em um único computador. Também poderíamos pensar em uma aula inicial, ensinando a utilizar o GeoGebra, como relataram alguns alunos ao alegarem ter achado o software difícil de manipular.

Em relação ao processo de aprendizagem dos alunos, percebemos que na medida em que eles construíam as figuras, iam percebendo diversas propriedades que não haviam identificado em outros momentos. Durante as construções, muitos deles associaram as figuras a objetos e, também, perceberam as diversas relações existentes entre as formas geométricas, como: o quadrado e o retângulo. Notaram semelhanças que permitem classificar todo quadrado como sendo também um retângulo, porém também notaram a diferença das características de cada um desses polígonos, em que, por exemplo, vemos que ambos se caracterizam por possuírem ângulos retos e lados opostos de mesma medida, mas podem se diferenciar, uma vez que no retângulo os lados não são, necessariamente, do mesmo tamanho.

Infelizmente, alguns alunos não conseguiram construir todas as figuras no tempo

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disponibilizado de duas aulas, no entanto, outros conseguiram concluir antes do término das aulas. Alguns dos fatores que podem ter prejudicado alguns alunos durante o processo de construção das formas geométricas, foram as conversas paralelas durante as aulas e, também, o excesso de alunos próximos que dificultou o foco na atividade: em algumas situações ficaram mais de dois trios próximos. No entanto, mesmo com as dificuldades, notamos que a grande maioria dos alunos demonstrou bastante interesse no decorrer da aula e acreditamos terem aprendido com mais facilidade utilizando o software do que apenas vendo as figuras desenhadas no papel ou no quadro.

Em relação ao software GeoGebra, tivemos alguns problemas como, por exemplo, o fato do software ser uma novidade para a maioria dos alunos, no entanto, para amenizar essa situação, já que supomos que isto iria acontecer, criamos uma lista de comandos, com as principais funções do GeoGebra, para auxiliar os alunos a desenvolverem as atividades que estávamos propondo. Ainda assim, a maioria dos alunos não consultou ou consultou poucas vezes o material disponível e optaram por investigar o software por eles mesmos, fato que não foi ruim, uma vez que, depois de certo período de tempo, eles conseguiram dominar boa parte dos recursos necessários para realizarem as atividades.

Mesmo tomando algumas precauções e preparando a aula com antecedência, enfrentamos algumas dificuldades, como, por exemplo, o software travava, alguns computadores não estavam funcionando adequadamente, outros desligavam durante a realização das construções pelos alunos. Vimos também, que faltou mais discussão sobre as figuras que eles estavam construindo e por isso, notamos que duas aulas não foram suficientes para abordar todo o conteúdo planejado.

Apesar das dificuldades e dos vários contratempos, a atividade foi bastante produtiva, percebemos isso ao longo do desenvolvimento da aula e na avaliação da atividade respondida pelos alunos, em que a maioria deles destacou que puderam perceber melhor as propriedades e diferenças de cada figura geométrica plana apresentada e, também, ao relatarem que a dinâmica de uma aula diferente da tradicional auxiliou pra um melhor aprendizado.

Diante de todas estas reflexões, percebemos que ser professor é muito mais do que apenas estar com uma aula bem planejada, precisamos estar preparados para lidar com diversas situações e diferentes dificuldades que possam vir a ocorrer durante a nossa aula.

REFERÊNCIAS

BRASIL. PCN+ Ensino Médio: Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. MEC-SEMTEC: Brasília, 2002.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. Brasília : MEC /SEF, 1998. 148 p.

ESPÍRITO SANTO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Básico Escola Estadual, v. 02. Ensino médio: área de Ciências da Natureza. Secretaria da Educação. Vitória: SEDU,

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2009.128 p.

LORENZATO, S. A. Porque não ensinar Geometria? In: A Educação Matemática em Revista. Blumenau: SBEM, ano III, n. 4, 1995, p. 3-13.

NASCIMENTO, E. G. A. do. Avaliação do uso do software GeoGebra no ensino de geometria: reflexões da prática na escola. In: Actas de La Conferencia Latinoamericana de GeoGebra. Uruguai: ISBN, 2012. p. 125 - 132.

PELLI, D. As contribuições do software GeoGebra como um mediador do processo de aprendizagem da geometria plana na Educação a Distância (EAD) em um curso de Licenciatura em Pedagogia. 2014. 249f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2014.

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SOBRE OS AUTORES

Antonio Henrique PintoDoutor em Educação pela Universidade Estadual de Campinas; Mestre em Educação

Pela Universidade Federal do Espírito Santo; Especialista em Informática na Educação pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais e Licenciado em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Professor do Instituto Federal do Espírito Santo, campus Vitória. Coordenador de área do Pibid/Ifes de 2013 a 2016. E-mail: [email protected].

Talita Moraes ModoloLicenciada em Matemática pelo Instituto Federal do Espírito Santo, campus Vitória.

Bolsista de iniciação à docência do Pibid/Ifes de 2013 a 2016. E-mail: [email protected].

Natan Souza RibeiroAluno do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito

Santo, campus Vitória. Bolsista de iniciação à docência do Pibid/Ifes a partir de 2016. E-mail: [email protected].

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8 | INVESTIGANDO PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS POR MEIO DE MAQUETES

Jorge Henrique GualandiPollyana dos Santos

Michelli Rodrigues Coutinho MoreiraMayara Caetano Calabrez

Alba Valéria Mota

Apresentamos neste capítulo um relato de experiência sobre o uso de maquetes para investigação e exploração de alguns conceitos e aplicações da geometria plana e espacial. A atividade que será relatada foi realizada em uma turma da 1ª série do Ensino Médio de uma escola estadual do município de Cachoeiro de Itapemirim. Participaram desta intervenção dois graduandos bolsistas do Programa de Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (Pibid), a professora supervisora dos bolsistas e 20 estudantes.

Optamos por desenvolver a atividade nos fundamentando em alguns pressupostos da investigação. Segundo Ponte (2006) no processo da investigação matemática é possível distinguir atividades como a definição do objetivo (o que pretendemos saber?), a idealização e realização de experiências (o que acontece neste ou naquele caso específico?), a formulação de conjecturas (que regra geral poderemos propor?) e o teste das conjecturas (quais serão as experiências fundamentais para verificar a validade desta conjectura? Será possível prová-la?).

O desenvolvimento de uma atividade investigativa demanda uma organização que permita aos alunos explorarem as atividades e a partir desta exploração, dar significado às ideias matemáticas que poderão ser desenvolvidas. Dessa forma, conceber representações matemáticas apropriadas, é fundamental para que os alunos realizem as investigações matemáticas (BELL; COSTELLO; KUCHEMAN, 1983; KISSANE, 1988; RIDGWAY, 1988). Entendemos que nem todas as representações de uma situação podem proporcionar a melhor perspectiva da mesma. Uma vez explorando conceitos geométricos a partir de maquetes, a representação por meio das perspectivas é fundamental para observação e abstração dos conceitos.

Para Anderson (1990), algumas perspectivas são mais apropriadas que outras. E é comum que os alunos desenvolvam mais de uma representação, ou que fiquem “flutuando” entre umas e outras. Nesse momento, cabe ao professor fazer a intervenção e discutir com os alunos, qual ou quais perspectivas são mais adequadas naquele momento.

Segundo Brocardo (2002, p.540):

É muito forte nos alunos a ideia que uma tarefa matemática implica a procura de respostas/conclusões e que a evolução para uma postura realmente investigativa em que formulam conjecturas e desenvolvem vários ciclos de confirmação ou refutação destas, é um processo demorado e que tem de ser objecto de um trabalho explícito por parte do professor.

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GUALANDI, Jorge | DOS SANTOS, PollyanaMOREIRA, Michelli | CALABREZ, MayaraMOTA, Alba

As investigações matemáticas são consideradas com frequência como uma boa atividade para explorar inicialmente um conteúdo, pois, por meio delas, os alunos podem construir o conceito das ideias matemáticas apresentadas, fazendo com que o processo de construção do conhecimento seja desenvolvido.

No que se refere à matemática, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) enfatizam que “O Ensino Médio precisa desenvolver o saber matemático científico e tecnológico como condição de cidadania e não como prerrogativa de especialistas” (BRASIL, 1999, p. 210). Ao final desse nível, segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio, espera-se que os alunos saibam usar a matemática para resolver problemas do cotidiano, para modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento, que eles compreendam que a matemática é uma ciência com características próprias, que percebam a matemática como um conhecimento social e historicamente construído, e que saibam apreciar a importância da matemática no desenvolvimento científico e tecnológico (BRASIL, 2006).

Entendemos que o uso de atividades investigativas nas aulas de matemática pode proporcionar aos alunos condições para resolverem problemas e necessariamente, entenderem a importância da matemática no cotidiano.

O USO DA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA NA SALA DE AULA: EXPLORANDO ALGUMAS IDEIAS GEOMÉTRICAS ATRAVÉS DE MAQUETES.

TEMA DA AULA: O Uso da Investigação Matemática na Sala de

Aula: Explorando Conceitos Geométricos com o uso de Maquetes.

CONTEÚDO ABORDADO: Geometria Plana, Geometria Espacial e Proporcionalidade

OBJETIVO GERAL:Investigar e explorar elementos para a construção de

conceitos relacionados à geometria plana e espacial a partir da construção de maquetes.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Construir uma maquete;Identificar as figuras planas nela existentes;Identificar as figuras espaciais nela existentes;Compreender a importância da geometria nas

construções;Elaborar a partir das observações, conceitos

inerentes à geometria plana e espacial, tais como: retas paralelas, concorrentes e reversas, triângulos, quadriláteros, prismas, pirâmides, cilindros, cones, esferas, entre outros.

Construir sólidos geométricos, obedecendo a proporcionalidade entre o objeto real e o representado na maquete.

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Investigando propriedades geométricas por meio de maquetes

TEMPO ESTIMADO: 4 aulas de 50 minutos.

RECURSOS NECESSÁRIOS: Quadro, pincel para quadro branco, papel cartão, cola, régua, esquadro, compasso, transferidor.

AVALIAÇÃO:A avaliação processual e formativa foi realizada

a partir da observação do desempenho dos estudantes, da realização das atividades propostas e das institucionalizações das atividades.

EXPLORANDO CONCEITOS MATEMÁTICOS POR MEIO DE PRÁTICAS INVESTIGATIVAS

Descrevemos neste momento o desenvolvimento da atividade, suas aplicações e caminhos percorridos durante o processo de exploração da mesma. Como mencionado anteriormente, tomamos como base algumas ideias da investigação matemática proposta por Ponte, Brocardo e Oliveira (2006) principalmente no que se refere à metodologia que conduziu a intervenção junto à turma de Ensino Médio.

É importante ressaltar que o que motivou a escolha por esse tema de aula e os caminhos escolhidos para se trabalhar os conceitos pertinentes à geometria plana e espacial foi um diagnóstico que os bolsistas fizeram com os alunos desta classe. Existia entre as turmas de Ensino Médio da escola na qual essa atividade foi desenvolvida, uma representação do conteúdo de geometria como algo difícil e complicado. Por essa razão, foi aplicado um questionário para coletar as impressões dos estudantes daquela classe sobre a geometria e o apreço pela matemática. Os resultados estão expressos no gráfico a seguir:

Gráfico 1: As impressões da turma sobre geometria


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Quando os dados se referiam à apreciação sobre as afinidades com a geometria e a matemática notou-se que a maioria afirmou “não gostar” de ambas. No entanto, quando se tratava de considerar o grau de dificuldade de compreensão da geometria, obtivemos um posicionamento diferente do que pressupúnhamos. Os estudantes afirmaram que esta era de “fácil compreensão” e reconheciam que ela estava presente no nosso dia-a-dia. Diante desse quadro, elaborou-se outra estratégia de aprender os conteúdos relacionados a fim de tentar produzir aulas mais convidativas, que pudessem “quebrar o gelo” da rejeição à matemática e à geometria.

Outro aspecto considerado no planejamento das aulas foi a possibilidade de se conduzir as atividades de investigação em grupos, a fim de tornar a atividade prazerosa e produtiva. Como cita Brunheira e Fonseca (1995, p.17):

As atividades de investigação constituem uma boa oportunidade para os alunos trabalharem em grupo. Deste modo, mais facilmente se conjugam ideias e se ultrapassam dificuldades. O grupo aumenta também a confiança em enfrentar novos problemas e promove a discussão entre alunos. (Grifo nosso)

Portanto, para o desenvolvimento desta atividade, a organizamos em seis momentos, que serão detalhados na tabela 01:

Tabela 01: Detalhamento da atividade

MOMENTOS DESCRIÇÃO DE CADA MOMENTO

1º Organização dos alunos em 5 grupos de 4 elementos cada. Nomeamos os grupos em A, B, C, D e E.

2º Explicação dos objetivos da atividade

3ºProposta e escolha do que seria representado por meio de uma

maquete (cidade, casa, campo de futebol, igreja, sala de aula...). Neste momento cada grupo deverá pensar nas proporcionalidades para a construção das maquetes.

4º

Investigação das ideias geométricas que aparecem nas maquetes (figuras planas, espaciais, ideias de retas paralelas, concorrentes, entre outras) neste momento cada grupo deve investigar e conceituar os elementos geométricos identificados. (paralelismo, triângulos, quadriláteros, prismas, pirâmides, cilindros, cones, esferas, entre outros)

5º Institucionalização das investigações.

6º Exposição das maquetes no pátio da escola, para que alunos de outras turmas também pudessem explorar as construções.


Durante a construção das maquetes, alguns alunos manifestaram dificuldades na

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organização de figuras proporcionais que deveriam estar presentes nas maquetes. Nesse momento, a intervenção dos bolsistas do Pibid e da professora supervisora foi de grande importância, pois os alunos foram encorajados a investigar com maiores propriedades e aplicar o que estava sendo investigado.

A intervenção e interação dos bolsistas e da professora com os grupos, durante o desenvolvimento da atividade, foram fundamentais no sentido de provocar e orientar o processo investigativo que estava sendo construído. Tal fato se evidenciou nas falas dos grupos A, C e D.

Grupo A: “Os bolsistas deram mais atenção para nós na hora da gente fazer a maquete. Deu mais segurança para investigar e construir nossa maquete”.

Grupo C: “A intervenção da professora estimulou o grupo a continuar investigando, para que pudéssemos pensar sobre as questões envolvidas, assim conseguimos nos surpreender com as descobertas realizadas”.

Grupo D: “No nosso grupo, os bolsistas atuaram como se fossem da nossa turma. Assim, os momentos investigativos proporcionados por eles foram de extrema importância para o entendimento de alguns conceitos da geometria”.

De acordo com Fontana (2000, p.22), a mediação e a intervenção do professor são

importantes para o aluno poder, com base em seus conceitos espontâneos, raciocinar, junto com o professor, tentando entender as ideias matemáticas que estão envolvidas na construção de uma maquete. Podemos destacar que durante a institucionalização da atividade, os alunos foram apresentando os resultados da investigação e os bolsistas do Pibid e a professora supervisora, fizeram as intervenções e as mediações necessárias. Este momento é de extrema importância, pois proporciona a validação das ideias investigadas.

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), tal qual na condução do método científico, para que um conhecimento “descoberto” seja validado é preciso que ele seja apresentado à comunidade científica, que fará os questionamentos necessários à comprovação das conjecturas formuladas e já testadas. Assim, ao compartilhar os resultados dos saberes construídos pelo seu grupo durante a confecção das maquetes para os colegas de classe, os alunos vivenciaram esse momento e a turma assumiu a responsabilidade de representar uma comunidade científica.

Ernest (1996, p.37) também aborda essa questão ao afirmar que a proposta de investigação matemática “[…] encoraja o conhecimento ativo e a criação de conhecimento pelos alunos, e legitima esse conhecimento como matemática, pelo menos no contexto escolar”. Podemos evidenciar a importância deste momento, através de alguns relatos.

Grupo A: “Neste momento, percebemos se os conceitos que fizemos durante as atividades estavam de acordo com os conceitos matemáticos que a professora explora durante as aulas”.

Grupo B: “Ao apresentarmos nossas conclusões, percebemos que ficamos mais confiantes, pois havíamos investigado sobre geometria plana e conseguimos expor as relações existentes entre algumas figuras geométricas”.

Grupo C: “Quando começamos a expor nossa atividade, ficamos um pouco nervosos, mas com os direcionamentos dos bolsistas, conseguimos falar sobre os conceitos

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que havíamos investigado”.Grupo D: “É importante falar sobre o que estudamos”.Grupo E: “Estudar matemática dessa maneira é muito bom, pois aos poucos vamos

entendendo e não se decora regras e fórmulas. Falar sobre o que pesquisamos é muito bom”.

Nas tabelas 02 e 03 estão relacionados os conceitos investigados e explorados com a turma e que por meio da socialização das conjecturas foi possível propor o teste e a reformulação das mesmas promovendo a institucionalização da atividade.

Tabela 02: Conceitos investigados da geometria Plana

IDEIA GEOMÉTRICA INVESTIGADA

CONCEITO/ DEFINIÇÃO, INSTITUCIONALIZADOS APÓS AS INVESTIGAÇÕES

RETAS PARALELAS Retas paralelas têm a mesma declividade e nenhum ponto em comum. Estão localizadas no mesmo plano.

RETAS CONCORRENTESQuando duas retas se interceptam, dizemos que

são concorrentes. Neste caso, suas declividades são, necessariamente, diferentes. Estão localizadas no mesmo plano.

TRIÂNGULOSFigura geométrica plana, delimitada por três

segmentos de retas e que possui três ângulos. A soma de seus ângulos internos mede 180º.

QUADRILÁTEROS

Figura geométrica plana, delimitada por quatro segmentos de retas e que possui quatro ângulos. A soma de seus ângulos internos mede 360º. Fazem parte do conjunto dos quadriláteros os quadrados, retângulos, losangos, entre outros.

QUADRADOS Quadriláteros que possuem quatro ângulos retos e quatro lados de mesma medida.

RETÂNGULOS Quadriláteros que possuem quatro ângulos de mesma medida.

LOSANGOS Quadriláteros que possuem quatro lados de mesma medida.

CÍRCULOSÉ uma figura geométrica plana, que possui infinitos

pontos, e estes pontos mantém uma mesma distância de um ponto central. A distância entre cada ponto e o ponto central é denominada de raio.

ÂNGULOSFigura plana, formada por duas semi-retas e que

possuem o mesmo ponto como origem. Este ponto é chamado de vértice.


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Tabela 03: Conceitos investigados da geometria espacial

IDEIA GEOMÉTRICA INVESTIGADA

CONCEITO/ DEFINIÇÃO, INSTITUCIONALIZADOS APÓS AS INVESTIGAÇÕES

RETAS REVERSASDuas retas são reversas quando uma não tem ponto

em comum com a outra, e estão localizadas em planos diferentes.

PRISMASÉ uma figura espacial que possui duas faces

congruentes, chamadas de base, e as faces laterais são paralelogramos.

PIRÂMIDES É uma figura espacial que possui uma base (polígono) e as laterais são triangulares.

CILINDROSÉ uma figura geométrica, espacial, que pode ser

obtida pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados. Possui duas bases circulares, congruentes e paralelas entre si.

CONESÉ uma figura geométrica, espacial, que pode ser

obtida pela rotação de um triângulo em torno de um de seus lados. Possui uma base circular e um único vértice .

ESFERASÉ uma figura geométrica espacial, que possui infinitos

pontos, e estes, possuem a mesma distância de um ponto central. A distância de cada ponto ao ponto central é denominada de raio.


Aprender esses conteúdos com o auxílio de estratégias da investigação matemática contribuiu para “quebrar o gelo” dos estudantes em relação ao não gostar de estudar matemática e geometria. Os estudantes se mostraram interessados em participar da aula e afirmaram ter gostado dessa “alternativa” para aprender conteúdos matemáticos. É importante destacar, como nos propõe Ernerst (1996), que uma prática investigativa traz uma responsabilidade aos alunos quanto ao poder de condução da aula e, portanto, a capacidade de tornarem-se agentes que podem transformar um modo de pensar o ensino de matemática nas escolas – a isto o autor atribui a característica emancipadora da investigação matemática. Talvez, eles possam perceber o quanto podem contribuir para que a geometria se torne interessante e “agradável” de ser aprendida.


Como Freire (1996, p. 47) afirma: “ensinar não é transferir conhecimento, mas criar possibilidades para sua própria produção ou a sua construção”. Percebemos que

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durante o desenvolvimento da atividade, os bolsistas e a professora, através de uma prática investigativa, provocaram os alunos a questionarem e a se apropriarem de saberes, relativos ao trabalho proposto. Dessa forma, contextualizando a geometria, através da investigação matemática, proporcionaram aos alunos oportunidades de investigar, pensar, fazer conjecturas e validar os conceitos investigados.

Nesse sentido, a investigação matemática para construir saberes sobre geometria plana, geometria espacial e proporcionalidade, contribuiu para pensar as dinâmicas de sala de aula. Se por um lado, ressaltamos os aspectos positivos desse processo para os estudantes, em virtude de seu engajamento na descoberta e consolidação da aprendizagem, por outro lado gostaríamos de destacar nestas breves considerações finais a semelhante importância desse mesmo engajamento para a prática dos professores.

Ernest (1996) também promove uma reflexão de extrema importância para pensarmos a experiência relatada no âmbito do Programa de Iniciação à Docência pois incide na formação do professor e na forma como o docente no exercício de sua profissão consolida um “conhecimento educacional”. “Uma pedagogia que dê poder aos alunos agentes epistemológicos depende dos professores operarem também nesse nível” (ERNEST, 1996, p. 47). O docente que se propõe a atuar como um agente reflexivo e investigador o faz não apenas quando constrói conhecimento matemático com seu aluno em uma atividade em sala de aula. O educador está ao mesmo tempo refletindo e investigando sobre sua própria prática, sobre seu fazer e saber docentes. Sendo assim, a proposta de se trabalhar por meio da investigação matemática propicia, em uma mirada ampliada, repensar o próprio lugar do professor da educação básica como sujeito participante de processos de construção de saberes sobre a docência, sobre as metodologias de ensino de matemática e sobre os processos de aprendizagem de seus alunos.

REFERÊNCIAS

ANDERSON, J. Coin-turning: Anatomy of an investigation. Mathematics Teaching, Nºs 131-132, 8-11 and 38-42, 1990.

BELL, A. W.,COSTELLO, J. e KUCHEMAN, D. Research on learning and teaching. Windsor: NFER-Nelson, 1983.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) - Ensino Médio, Brasília-DF: Editora, 1999.

BRASIL, MEC, SEB. Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, SEB, 2006.

BROCARDO, J. As investigações na aula de Matemática: Um projecto curricular no 8º ano (Tese de doutoramento, Univ. Lisboa). Lisboa: APM, 2002

BRUNHEIRA, L., FONSECA, H. (1995). Investigar na aula de Matemática. Educação e Matemática, 1995..

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ERNEST, P. Investigações, Resolução de Problemas e Pedagogia. In: ABRANTES, P; LEAL, L.C.; PONTE, J.P. (Eds.). Investigar para aprender matemática. Lisboa: Projecto MPT e APM, 1996.

FONTANA, Roseli A. Mediação pedagógica na sala de aula. 3 ed. Campinas, SP: Autores Associados, 2000. (Coleção Educação Contemporânea).

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 31 ed. São Paulo: Paz e Terra, 1996.

KISSANE, B. Mathematical investigation: Description, rationale and example. Mathematics Teacher, 1988.

PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

Revista Nova Escola. Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/praticapedagogica/medida-certa-428085.shtml. Acesso em setembro de 2014.

RIDGWAY, J. Assessing mathematical attainment. Windsor: NFER-Nelson, 1998.

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/praticapedagogica/medida-certa-428085.shtml

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/praticapedagogica/medida-certa-428085.shtml

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SOBRE OS AUTORES

Jorge Henrique GualandiDoutorando em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de

São Paulo. Mestre em Ensino de Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras e em Metodologia do Ensino da Matemática pela AVM-Faculdades Integradas. Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado de Minas Gerais. Professor do Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Cachoeiro de Itapemirim. Coordenador de área do Pibid/Ifes de 2012 a 2014. E-mail: [email protected].

Pollyana dos SantosDoutora em Educação pela Universidade Federal de Santa Catarina. Mestre em

Educação pela Universidade Federal do Espírito Santo. Graduada em Pedagogia pela mesma instituição. Professora do Instituto Federal do Espírito Santo, campus Cachoeiro de Itapemirim. Coordenadora de área do Pibid/Ifes de 2015 a 2016. E-mail: [email protected].

Michelli Rodrigues Coutinho MoreiraLicenciada em Matemática pelo Instituto Federal do Espírito Santo, campus


Mayara Caetano CalabrezLicenciada em Matemática pelo Instituto Federal do Espírito Santo, campus


Alba Valéria MotaEspecialista em Matemática pela Universidade do Grande Rio e em Planejamento

Educacional pela Universidade Salgado de Oliveira. Licenciada em Matemática pela Universidade Iguaçu. Professora da rede estadual de ensino do Espírito Santo/EEEFM “Presidente Getúlio Vargas”, Cachoeiro de Itapemirim. Supervisora Pibid/Ifes de 2011 a 2016. E-mail: [email protected].

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9 | ÁREAS DE FIGURAS PLANAS EM SUPERFÍCIES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Fred Augusto PulzErika Isabel Flores

Cátia Aparecida PalmeiraSandra Aparecida Fraga da Silva

Em nossa vida cotidiana encontramos exemplos sobre o cálculo de área e perímetro de figuras planas. Esses conceitos costumam ser usados para saber quantos metros quadrados de cerâmica é preciso ao cobrir um determinado piso; calcular quantos metros de vidro será necessário para preencher as janelas de uma sala ou a quantidade de arame para cercar um terreno retangular.

Cabe destacar que os conceitos de área e perímetro são importantes, pois além de permitir que o aluno os utilize em situações do dia-a-dia, tratam-se de conteúdos base para o aprofundamento do estudo da geometria nos anos subsequentes, como por exemplo, nos estudos de geometria espacial para compreensão de sólidos geométricos como cilindros, prismas, pirâmides, dentre outros. Como se menciona nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1998) o estudo da geometria plana e espacial é de suma importância porque se faz presente no cotidiano e promove o raciocínio matemático nos alunos.

A geometria desempenha um papel fundamental no currículo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Também é fato que as questões geométricas costumam despertar o interesse dos adolescentes e jovens de modo natural e espontâneo. Além disso, é um campo fértil de situações-problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para argumentar e construir demonstrações (BRASIL,1998, p. 122).

Área e perímetro são conceitos geométricos que também mantém relações com outras áreas da matemática como a aritmética, a álgebra e a trigonometria. Os alunos começam a estudar os conceitos de área e perímetro, de maneira intuitiva ainda nos anos iniciais. A partir do terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental, ou seja, do 6º ao 9° ano, esses conceitos são apresentados utilizando equivalência, decomposição e composição de figuras ou estimativas. (BRASIL, 1998). Neste sentido, ao trabalhar os conceitos de área e perímetro, o professor oportuniza ao aluno a construir conhecimentos em áreas diferentes da geometria.

Em nossa experiência como bolsistas do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (Pibid) em Matemática, atuando em escolas de ensino médio, observamos que os alunos ingressam neste nível de ensino com alguns conceitos de área e perímetro,

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PULZ, Fred| FLORES, Erika PALMEIRA, Cátia | DA SILVA, Sandra

porém, quando esses assuntos são retomados, surgem dúvidas e dificuldades nos cálculos e mesmo no entendimento do conceito. Analisando o Currículo Básico Escola Estadual do Espírito Santo (ESPÍRITO SANTO, 2009) notamos que esses conceitos devem ser retomados durante o ensino médio, pois, segundo este documento, são competências essenciais para a educação básica:

Visualizar e analisar formas diversas e geométricas;

Diante de formas geométricas planas e espaciais, reais ou imaginárias, conhecer suas propriedades, relacionar seus elementos.

Calcular comprimentos, áreas e volumes e saber aplicar esse conhecimento no cotidiano (ESPÍRITO SANTO, 2009, p. 116).

Neste texto, apresentamos o relato de uma oficina realizada em uma escola de ensino médio, onde atuamos como bolsistas do Pibid – Matemática acompanhando a professora supervisora, do mesmo programa, em turmas de segundos anos e terceiros anos do ensino médio. A oficina foi desenvolvida com os alunos de três turmas de segundo ano, em que abordamos o cálculo da área de figuras planas a partir da construção de sólidos geométricos. Em nossos planejamentos com a professora, identificamos a necessidade de retomar o cálculo de área de figuras planas, de forma mais dinâmica para buscar sanar dúvidas de alunos com relação a esse tema. Além disso, introduziríamos algumas ideias relacionadas aos sólidos geométricos a serem estudados no terceiro ano do ensino médio. Destacamos a importância de relacionar diferentes conteúdos, principalmente no momento de revisões. Assim, os alunos conseguem ao mesmo tempo voltar a conceitos importantes e avançar no estudo de novos conceitos. Essa proposta atende ao que está colocado no Currículo Básico da Escola Estadual sobre os conteúdos específicos para o trabalho com o segundo ano do ensino médio que destaca para a geometria: “retomando o teorema de Pitágoras; geometria: visualização e análise de formas poliédricas; grandezas e medidas: perímetro, área e volume (figuras planas e poliedros)” (ESPÍRITO SANTO, 2009, p. 120).

A construção de sólidos permite aos alunos identificar os polígonos que os constituem e, além disso, compreender a nomenclatura e propriedades de prismas e pirâmides com facilidade. Por exemplo, um prisma que tem como base um triângulo é chamado: prisma triangular e está constituído por três retângulos e um triângulo. Kaleff (2003) destaca que podemos utilizar diferentes materiais para a construção de modelos de sólidos geométricos. Ela separa os modelos em tipo esqueleto, quando só tem as arestas e vértices e tipo casca quando são construídas as faces dos sólidos. Como na nossa oficina queríamos destacar o cálculo de área da superfície, escolhemos criar os modelos tipo cascas de sólidos.

Segundo Vale (2002) o uso de materiais manipuláveis contribui para um envolvimento dos alunos e para uma discussão sobre o assunto. Além disso, o fato de implicar materiais manipuláveis na metodologia permite as seguintes vantagens indicadas por Nunes e Silva (2011), baseando-se em Matos e Serrazina

a) A possibilidade de o aluno construir relações com a Matemática; b) A interação com o material possibilita ao aluno

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Áreas de figuras planas em superfícies de sólidos geométricos

momentos de reflexão, procura por respostas, formulação de soluções e criação de novos questionamentos; c) Um objeto pode ser utilizado para introduzir um conceito ou uma noção, servindo como ponto de apoio 5 para as intervenções do professor; d) A manipulação e a reflexão sobre este materiais podem ajudar os alunos na percepção de seus atributos e no teste de algumas propriedades; e) Os materiais manipuláveis proporcionam situações mais próximas da realidade, permitindo uma melhor compreensão dos problemas e facilitando a busca de soluções (NUNES; SILVA, 2011, p. 3).

Assim, defendemos que o cálculo da área total da superfície do sólido permite retomar o cálculo da área dos polígonos que o constituem. No caso das pirâmides e prismas de base triangular, é possível lembrar inclusive o Teorema de Pitágoras, necessário para determinar a altura dos triângulos equiláteros e isósceles selecionados para a construção, e consequentemente, sua área.

PLANO DE AULA

Turma: Segundo ano do ensino médio Quantidade de aulas: Três aulas de 55 min.Objetivo geral:

• Calcular área da superfície de um prisma ou pirâmide.

Objetivos específicos:

• Discutir conceitos de polígonos e sólidos geométricos, em especial; prismas e pirâmides;

• Desenhar em papel cartão os polígonos que representariam as faces dos prismas ou pirâmides;

• Construir prismas ou pirâmides com as faces recortadas e os elásticos;

Materiais:Papel cartão, elásticos, tesoura, régua, equipamento para preparação e projeção

dos slides e avaliação impressa. Desenvolvimento:

• Pré-aula:

Organizar uma apresentação em slides dos conceitos necessários para a atividade, tais como polígono e seus elementos, classificação e áreas de polígonos, Teorema de Pitágoras, poliedros e seus elementos, classificação dos poliedros em prismas e pirâmides, área total da superfície de um sólido geométrico.

Construir sólidos geométricos com papel cartão e elástico para servirem de modelos na atividade.

• Primeiro momento: (Duração de 55 minutos).

Será feita uma breve apresentação em slides sobre polígonos, poliedros e pirâmides.

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É importante gerar discussões sobre o tema para que minimizem dúvidas sobre o conteúdo.

• Segundo momento: (Duração de 55 minutos).

Será solicitado aos alunos que se dividam em grupos de no máximo quatro pessoas para iniciar a seguinte atividade:

Cada grupo escolherá e fará a construção de um prisma ou uma pirâmide da

seguinte lista, com as medidas indicadas:

SÓLIDO GEOMÉTRICO MEDIDA ARESTA BASE

MEDIDA ARESTA

LATERALPrisma triangular 14 cm 16 cm

Prisma quadrangular 11 cm 16 cm

Pirâmide triangular 14cm 17cm

Pirâmide quadrangular 14cm 18cm

Terceiro momento: (Duração de 55 minutos)

Cada grupo fará o cálculo da Área total da superfície do prisma ou da pirâmide escolhida para logo compartilhar o resultado com os colegas, expressando a área total da superfície com aproximação em duas casas decimais.

Por último será feito a entrega a cada um dos alunos de uma avaliação qualitativa.

Avaliação:Analisaremos a produção dos alunos ao longo da aplicação da oficina, desde

a participação no momento de discussão sobre os conceitos, a interação e integração no grupo e a apresentação final dos resultados. Também será entregue uma avaliação qualitativa para cada um dos alunos, para avaliarem a oficina.

Material teórico:PITOMBEIRA, J. B. (coord.) Multicurso ensino médio: matemática, segunda

série: livro do professor. 3. Ed. Rio de Janeiro: Fundação Roberto Marinho, 2008, p. 144-158.

Materiais de apoio:

• Folha de avaliação da oficina

• Folha de registro

DESENVOLVIMENTO DA OFICINA

Apresentamos a seguir o desenvolvimento da oficina, desde a preparação, a qual chamamos de pré-aula, até a avaliação da mesma. Indicamos nossas ações para a proposta de trabalho mencionando o que produzimos e refletindo sobre o que foi realizado.

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Pré-aula:

Iniciamos o planejamento da oficina no mês de setembro e esta foi realizada com os alunos nos dias 5 e 6 de outubro de 2015. Para a preparação da oficina fizemos reuniões entre os dois primeiros autores e a professora supervisora e, posteriormente, com a coordenadora de área do Pibid. Discutimos informações e conceitos; para que pudéssemos realizar uma oficina de forma a aprimorar conhecimentos dos alunos, conforme indicações do Currículo Básico (ESPÍRITO SANTO, 2009), bem como, atrair a atenção e envolvê-los na atividade.

As primeiras reuniões foram para determinar a atividade a ser realizada com os alunos e o tempo necessário para o desenvolvimento da oficina. Definimos inicialmente, o tempo de duas aulas (55 minutos cada) para cada turma por acreditar que seria o suficiente para a oficina, porém, precisamos de três aulas, conforme indicamos no plano de aula. Tivemos a vantagem de que os horários das aulas de matemática permitissem que a oficina se realizasse em dois dias seguidos da semana, isto ajudaria os alunos a recordarem com mais facilidade o que foi discutido na primeira aula.

No primeiro momento, pensamos na construção de alguns sólidos de revolução e poliedros, com o objetivo de estimular o cálculo de áreas de figuras planas como o círculo, o triângulo, o quadrado e o retângulo. Devido às dificuldades encontradas nas planificações de sólidos de revolução, utilizando o material escolhido (papel cartão e elásticos), optamos pela construção apenas de prismas e pirâmides. Nas reuniões seguintes no Laboratório de Ensino de Matemática – Lem – do Ifes, começamos a fazer construções de alguns sólidos, a saber, prismas e pirâmides de base triangular, quadrangular, pentagonal e hexagonal para ser utilizados no momento da oficina como modelos para os alunos (Figura 1). Ressaltamos que todos os materiais necessários para fazer esses modelos e os criados pelos alunos foram cedidos pelo Pibid e/ou pelo Lem do Ifes/campus Vitória.

Figura 1 – Licenciando construindo os sólidos modelos para a oficina


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Na medida em que fazíamos as construções definimos as medidas padrões a serem adotadas no momento da construção dos sólidos, e estabelecemos uma tabela que os alunos tinham que seguir na hora da elaboração do sólido (tabela indicada no plano de aula). Como o valor da área total iria ser um número irracional, foi pedido aos alunos para expressar o resultado com aproximação de duas casas decimais.

É importante destacar que pensamos em dividir os alunos em grupos de no máximo quatro pessoas para que todos pudessem participar. E, precisávamos pensar nas turmas em que havia dois alunos com deficiência, sendo um com deficiência intelectual e outro visual (baixa visão). Necessitávamos pensar em levar materiais com letras maiores para que o aluno com baixa visão participasse, também em outra atividade alternativa sobre geometria para envolver a aluna com deficiência intelectual. Desta maneira, com o objetivo de incluir a aluna com deficiência intelectual, no momento da oficina, escolhemos o uso do geoplano para representar figuras planas. O mesmo foi cedido pelo Lem/Ifes – campus Vitória.

As definições apresentadas nos slides sobre sólidos geométricos, figuras planas, teorema de Pitágoras, além de estarem concisos, eram exemplificados por muitas imagens, para proporcionar uma maior compreensão da teoria e atenção dos alunos. Ao selecionar as imagens tivemos que ser cautelosos, pois uma figura apresentada de maneira errônea poderia ser adotada como correta pelos alunos e não conseguiriam compreender as propriedades geométricas da mesma. Nos slides foi preciso ter um formato adequado (Figura 2), tais como: tamanho e cores das letras, estrutura e fundo dos slides, para que o aluno com deficiência visual pudesse acompanhar sem dificuldade.

Figura 2 – Slide usado em um dos momentos da oficina

Fonte: Acervo do Pibid subprojeto Matemática/Vitória, 2015.

A intenção de incluir uma apresentação multimídia em nossa oficina foi de ser um instrumento dinamizador da aula, já que este recurso nos permitia criar um ambiente de participação ativa mediante perguntas, discussões e troca de ideias com os alunos. Desta maneira, na medida em que apresentávamos os temas, iniciávamos com perguntas abertas, tais como: o que significa área? E perímetro? Quais polígonos vocês lembram? Que características particulares definem os poliedros? E os prismas e as pirâmides?

Para avaliar nossa oficina fizemos uma avaliação qualitativa (Figura 3), pois

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consideramos que a opinião dos alunos é importante para sabermos o que podemos aprimorar em futuras oficinas. Fizemos a ampliação de uma avaliação para que o aluno com deficiência visual pudesse enxergar sem problemas.

Figura 3 – Avaliação realizada pelos alunos sobre a oficina


Primeiro momento da oficina:

Para termos mais espaço e dar conforto aos alunos, reservamos uma sala climatizada da escola, destinada a atividades diferenciadas (Figuras 4 e 5), já que a sala de aula era insuficiente em espaço e condições para a instalação dos equipamentos para projeção dos slides.

No primeiro dia da oficina, antes dos alunos chegarem, organizamos as cadeiras de quatro em quatro, para evitar desordem e perda de tempo na acomodação dos alunos. Antes de finalizar a primeira aula, perguntamos aos alunos se estavam de acordo em trabalhar no chão para a segunda aula, que seria da construção das cascas dos sólidos, informando que deixaríamos o chão em condições para evitar que eles se sujassem e, eles aceitaram.

Antes de começar, definimos as tarefas de cada um de nós, autores do trabalho, no desenvolvimento da oficina. Assim um tinha o dever de apresentar os slides e outro em realizar observações e tirar fotos de situações consideradas relevantes. Ressaltamos que em toda nossa oficina, além da presença da professora supervisora tivemos a presença de outros dois bolsistas, no qual contribuíram e facilitaram nas observações.

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Figura 4 – Sala organizada para a apresentação dos slides


Figura 5 – Sala organizada para a construção dos prismas e pirâmides


Na primeira aula foi previsto realizar a apresentação dos slides e iniciar a construção dos sólidos, mas a apresentação teórica tomou toda a primeira aula, devido à participação ativa dos alunos, principalmente na apresentação da classificação dos poliedros. Esse fato nos levou a modificar parte de nosso planejamento para a segunda aula. Decidimos então reduzir a construção de dois sólidos geométricos para somente um.

Durante a apresentação dos slides, observamos que ao serem questionados por nós sobre o que significa área e perímetro, os alunos das três turmas tiveram uma resposta similar: “área é fazer base vezes altura”, como se eles compreendessem que área é uma fórmula. Para eles, perímetro “é somar todos os lados”. Sobre o Teorema de Pitágoras e perímetro muitos tiveram dificuldade em lembrar o conceito. Notamos que nossas observações se confirmavam, pois os alunos tinham certo conhecimento sobre os assuntos, mas não tinham os conceitos construídos.

SEGUNDO MOMENTO DA OFICINA

Os alunos foram divididos em grupos de no máximo quatro alunos para começar a atividade, conforme planejado. Na hora de escolher o sólido para ser construído, a maioria dos grupos escolheu construir pirâmides. Acreditamos que suas escolhas, em parte, foram devidas à estrutura da pirâmide ser interessante. Mas eles não pararam para analisar que consistia em fazer mais cálculos na hora de determinar a área total da superfície. E tiveram mais dificuldades em realizar os cálculos solicitados do que os alunos que escolheram os prismas.

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Por uma questão de estética, somente, dois dos grupos decidiram construir sólidos sem usar elásticos, deixando um cm de cada aresta para colar. A maioria dos grupos decidiu fazer com elásticos, seguindo o modelo levado por nós. Vemos as duas opções de montagem na Figura 6 a seguir.

Figura 6 – Prismas feito com colagem e com elásticos


Um momento interessante que gostaríamos de relatar foi a participação da aluna com deficiência intelectual, que além de trabalhar com o geoplano conforme planejado, também interagiu com os colegas durante a apresentação dos slides e na construção dos sólidos (Figura 7). Percebemos que, mesmo realizando a atividade de um modo próprio, concluiu a atividade com os demais alunos. Encontramos apoio em Jesus (2002) quando fala

[...] da possibilidade da criação de situações pedagógicas em que todo aluno possa “entrar no jogo”, a partir de uma pedagogia possível, criando condições de mediações culturais que façam da sala de aula e da escola um verdadeiro espaço-tempo de aprendizagem (p. 215-216).

Figura 7 – Alunos desenvolvendo a atividade junto a aluna com deficiência intelectual


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Logo após a construção dos sólidos, cada grupo recebeu uma folha em branco para registro dos cálculos da área da superfície do sólido escolhido. Em seguida os alunos receberam a ficha avaliativa, e assim terminamos a aula com a entrega da mesma. A falta de tempo não permitiu que os grupos compartilhassem oralmente os resultados de seus cálculos conforme planejamos. Destacamos que os alunos cooperaram com a limpeza da sala depois da atividade.

OBSERVAÇÕES

Na análise dos cálculos apresentados pelos alunos, observamos que eles sabiam o que deviam fazer, mas não sabiam como realizar os cálculos, ou seja, sabiam que deviam calcular a área de cada polígono e somar os resultados para determinar a área total da superfície do sólido. Os grupos que escolheram as pirâmides não sabiam como utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a altura e posteriormente, a área dos triângulos. Isso mostrou que embora o Teorema de Pitágoras tenha sido trabalhado durante a apresentação dos slides, os alunos não conseguiram relacionar, para além da apresentação, sua utilidade para o cálculo da área. Tal situação ficou evidente na hora da escolha do sólido a ser construído, porque acreditamos que se eles soubessem que a pirâmide implicaria fazer uso do teorema, eles escolheriam algum prisma. Esse fato gerou uma necessidade de planejamento de outras ações. Em virtude disso, precisamos de uma aula extra para rever o conceito do Teorema de Pitágoras e suas aplicações. Voltamos assim aos conteúdos indicados no Currículo Básico da Escola Estadual (ESPÍRITO SANTO, 2009), no qual indica uma retomada do teorema de Pitágoras.

Temos que ressaltar que foi pouca a informação obtida por meio dos cálculos entregados pelos alunos, já que eles somente entregaram os resultados com alguns cálculos, mas não o procedimento feito para chegar à área total da superfície do sólido. Refletindo sobre nossa oficina, achamos que é importante ter registro do procedimento feito para identificarmos dificuldades que os alunos apresentaram, seja no raciocínio como nos cálculos. Isso será levado em consideração para uma nova aplicação desta oficina. A seguir, pensamos em um modelo de folha de registro que pode ser apresentados aos alunos para efetuar suas ações:

FOLHA DE REGISTRO DOS CÁLCULOS

• Escreva o procedimento feito para a construção do sólido, indicando o número de polígonos da base e dos polígonos laterais do solido escolhido. Utilize um desenho para representar o sólido escolhido.

• Registre todos os cálculos feitos para determinar a área total da superfície do sólido. Desenhe as faces do prisma ou da pirâmide escolhida.

No momento das construções, alguns dos grupos tiveram dificuldade em determinar o número de polígonos que deviam ser construídos. Assim, por exemplo, na hora de

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construir um prisma de base quadrangular, sabiam que o mesmo estava composto por quadrados e retângulos, mas não sabiam em que quantidade. Por tanto, fomos orientando, direcionando mediante perguntas abertas como: Qual é à base do prisma quadrangular? Se a base do prisma quadrangular é um quadrado e o número de lados deste polígono é quatro, quantos retângulos precisam construir? Desta maneira, eles conseguiram organizar seu pensamento mediante essa explicação e determinaram por si mesmo que deviam construir duas bases.

O cenário apresentado anteriormente confirma o que Kaleff (2003) aponta sobre as possibilidades de aprendizagem quando o aluno constrói os protótipos de sólidos geométricos. Ela afirma que

Assim, uma das características mais interessantes das atividades que envolvem construções de modelos de poliedros é o questionamento que surge ao longo dos processos de construção e que proporciona ao aluno a oportunidade para conjecturar sobre diversas situações geométricas. O constante questionamento sobre o que o aluno constrói e sobre o que ele observa lhe proporciona a oportunidade de descobrir as propriedades geométricas que desejamos enfatizar, tomar consciência delas, ajudando-o a construir o correspondente significado geométrico (KALEFF, 2003, p.21).

Com base nas avaliações, constatamos que a maior parte dos alunos gostou de participar da oficina, porém, gostou mais da construção dos sólidos do que com a realização dos cálculos solicitados. Observamos também que os alunos relataram satisfação em trabalhar e raciocinar em grupos, além de perceberem a importância de incluir os colegas com deficiência. Com relação ao que a oficina acrescentou nos seus conhecimentos, destacamos ênfase na classificação, construção e diferenciação dos sólidos geométricos. Seguem imagens de algumas perguntas das avaliações respondidas por eles (Figura 8).

Figura 8 – Avaliação qualitativa respondida por alunos


Ressaltamos algumas observações que consideramos importantes feitas na avaliação dos alunos sobre a oficina: “fica mais fácil quando se tem a prática”; “uma maneira fácil de aprender conceitos”; “existe formas diferentes de se aprender sem dificuldade”. Quando

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analisamos as respostas, notamos que elas destacam a questão da aula diferente, logo, a questão na manipulação. As respostas indicam que a atuação de materiais manipulativos, como os sólidos geométricos, estreita a relação do aluno com a matemática. Além de evidenciar que um trabalho que associa teoria e prática é visto de forma positiva pelos alunos. Essas respostas confirmam a influência da manipulação para compreensão de propriedades (NUNES; SILVA, 2011; VALE, 2002).


Planejar e desenvolver essa oficina foi um desafio novo para nós, licenciandos, desde a organização das ideias a serem abordadas para os alunos até sua aplicação e avaliação. Com o decorrer da oficina vimos que precisávamos estar preparados para mudar o planejamento de forma a ajudar no percurso da mesma. Os desafios que surgiram no decorrer do planejamento e desenvolvimento da oficina como, o tempo, as modificações no momento da oficina, as perguntas conceituais dos alunos, a organização do espaço, entre outras coisas, resultaram em oportunidades positivas para nosso crescimento enquanto futuros professores e nos levaram a refletir sobre nossa prática, à medida que contribuíram para identificar pontos a serem repensados para uma próxima oficina. Por outra parte, percebemos que os alunos gostaram da oficina por ser uma abordagem diferente do que eles viam tendo. Aplicar ideias criativas e, sobretudo, construir e trabalhar em grupo realizando manipulações dos sólidos geométricos, fez com que se despertasse a curiosidade e interesse dos alunos. Além de ser uma oportunidade de criar momentos de inclusão tal como foi destacado por alguns alunos. O objetivo desta oficina, que implicava reforçar o conteúdo de áreas de figuras planas, foi alcançado pela maioria dos alunos. Temos que destacar que, mediante essa oficina, foi possível identificar outro problema que no momento do planejamento da atividade não foi percebido. O uso e a compreensão do Teorema de Pitágoras na hora de calcular as alturas para as áreas dos triângulos que constituíam as pirâmides foi reforçado em outra aula.

Com essa experiência, ressaltamos a utilidade e as vantagens que possibilitam o planejamento e a realização de uma oficina em nossa formação, porque na medida em que nós ensinávamos, era permitido também aprender o fazer docente a partir das situações que iam se criando. Além disso, notamos que a oficina promoveu a participação e a criatividade dos alunos.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos ao Pibid/Capes pela oportunidade de realização desta ação para nosso crescimento. Agradecemos a professora supervisora, Cátia Aparecida Palmeira, que esteve presente em todo planejamento, ação e escrita deste trabalho e aos alunos que participaram da oficia. Agradecemos a professora Sandra Aparecida Fraga da Silva, coordenadora do Pibid – Matemática/Ifes por suas contribuições para a realização e escrita deste trabalho.

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REFERÊNCIAS

BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, matemática, Brasília, 1998. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf> Acesso em: 17 março 2016.

JESUS, Denise Meirelles de. Educação inclusiva: construindo novos caminhos. Relatório final de estágio de Pós-Doutorado. USP. Vitória: PPGE, 2002.

KALEFF, Ana Maria M.R. Vendo e Entendendo poliedros: do desenho ao cálculo do volume através de quebra-cabeças geométricos e outros materiais concretos. Niterói: Ed. UFF, 2003.

NUNES, Marcello da Silva. SILVA, Valter. Utilização de materiais manipuláveis para a construção de conhecimentos sobre poliedros regulares. In: Anais da XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática, Recife, 2011. Disponível em http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/1776.pdf. Acesso em 18/02/2016.

VALE, Isabel. Materiais manipuláveis. Edição do Laboratório de Educação Matemática. Lisboa, Out. 2002.

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SOBRE OS AUTORES

Fred Augusto PulzAluno do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito


Erika Isabel FloresAluna do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito


Cátia Aparecida PalmeiraMestre em Educação pela Universidade Federal do Espírito Santo. Licenciada

em Matemática pela mesma instituição. Professora da Rede Estadual de Educação do Espírito Santo. Professora supervisora do Pibid/Ifes de 2011 a 2016. E-mail: [email protected].

Sandra Aparecida Fraga da SilvaDoutora em Educação pela Universidade Federal do Espírito Santo. Mestre em

Educação e Licenciada em Matemática pela mesma instituição. Professora do Instituto Federal do Espírito Santo – campus Vitória. Coordenadora de área do Pibid/Ifes de 2011 a 2016. E-mail: [email protected].

Formato

Mancha gráfica

Papel

Fonte

15 x 21 cm

11,7 x 16,9 cm

chamois fine dunas 80g (miolo),supremo 250g (capa)

Candara 17/20,4 (títulos),Optima 09/10,8 (textos)

Impresso em 2017

Documents

Lauro Chagas e Sá (org.)biblioteca.ifes.edu.br:8080/pergamumweb/vinculos/000011/00001115.pdfEste primeiro volume da Série de Série de Cadernos Pedagógicos Pibid/Ifes Cadernos Pedagógicos