Mtodos Quantitativos em ContabilidadePrograma de Ps-graduao em Cincias Contbeis

Prof. Dr. Henrique Castrohcastro@usp.br

Universidade de So Paulo

2014

1 of 48

Lecture 1Fundamentos de Probabilidade

2 of 48

SumrioLecture 1: Fundamentos de Probabilidade

Variveis Aleatrias e suas Distribuies de ProbabilidadeVariveis Aleatrias DiscretasVariveis Aleatrias Contnuas

Caractersticas das Distribuies de ProbabilidadeValor EsperadoMedianaMedidas de Variabilidade

Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionaisMedidas de AssociaoVarincia da Soma de Variveis AleatriasEsperana e Varincia Condicionais

A Distribuio Normal e Outras DistribuiesDistribuio NormalDistribuio LognormalDistribuio Qui-quadradoDistribuio t de StudentDistribuio F

3 of 48

Introduo: experimentoLecture 1: Variveis Aleatrias e suas Distribuies de Probabilidade

Suponha que joguemos 10 vezes uma moeda para o alto econtemos o nmero de vezes em que d cara.

Isso pode ser chamado de experimento.

ExperimentoDe forma geral, um experimento qualquer procedimento que possa,pelo menos em teoria, ser repetido indefinidas vezes e tem umconjunto de resultados bem definido.

4 of 48

Introduo: variveis aleatriasLecture 1: Variveis Aleatrias e suas Distribuies de Probabilidade

Uma varivel aleatria aquela que assume valores numricos etem um resultado que determinado por um experimento.

No exemplo da moeda, o nmero de caras que aparecer em dezlances uma varivel aleatria.

Antes de atirarmos a moeda 10 vezes, no sabemos quantas vezesvai dar cara.

Ao lanarmos a moeda dez vezes e contarmos o nmero de caras,obtemos o resultado da varivel aleatria para essa particularrealizao do experimento.

Outra realizao poder produzir um resultado diferente.

5 of 48

Introduo: notaoLecture 1: Variveis Aleatrias e suas Distribuies de Probabilidade

Seguindo as convenes bsicas de probabilidade e estatstica,representaremos as variveis aleatrias com letras maisculas.

Os resultados particulares das variveis aleatrias so representadospelas letras minsculas correspondentes.

Exemplo: Experimento da moeda

Seja X o nmero de vezes que apareceu cara em dez lanamentos. Sabemos que X pode assumir qualquer valor do conjunto{0, 1, 2, . . . , 10}.

Um resultado particular seria, digamos, x = 6.

6 of 48

Variveis aleatrias discretas: definioLecture 1: Variveis Aleatrias e suas Distribuies de Probabilidade

Uma varivel aleatria discreta a que somente assume um nmerofinito ou infinito enumervel de valores.

A definio de infinito enumervel e sua diferena para infinito noenumervel sutil.

Infinito enumervel significa que, embora um nmero infinito de valorespossa ser assumido por uma v.a., esses valores pode ser postos em umacorrespondncia um-a-um com os nmeros inteiros positivos.

Exemplo:Uma v.a. binria (que s assume valores zero e um) o exemplo maissimples de v.a. discreta. Um exemplo de v.a. binria o lanamento de umamoeda.

7 of 48

Variveis aleatrias discretas: descrioLecture 1: Variveis Aleatrias e suas Distribuies de Probabilidade

De forma geral, qualquer v.a. discreta completamente descritalistando seus possveis valores e a probabilidade associada que elaassume para cada valor.

Se X assumir k possveis valores {x1, . . . , xk}, as probabilidadesp1, . . . , pk sero definidas por:

P(X = xj) = pj , j = 1, 2, . . . , k. (L1.1)

Cada pj representa um valor entre zero e um e:

p1 + p2 + + pk = 1. (L1.2)

8 of 48

Funo densidade de probabilidadeLecture 1: Variveis Aleatrias Discretas

A funo densidade de probabilidade (fdp) de X resume asinformaes relativas aos possveis resultados de X e as respectivasprobabilidades.

f (xj) = pj , j = 1, 2, . . . , k. (L1.3)

Para qualquer nmero real x , f (x) ser a probabilidade de avarivel aleatria X assumir o valor particular x .

Quando lidamos com mais de uma varivel aleatria, algumasvezes til subscrever a fdp em questo: fX a fdp de X , fY afdp de Y .

9 of 48

ExemploLecture 1: Variveis Aleatrias Discretas

Suponha que X seja o nmero de pontosfeitos por um jogador de basquete a cadadois lances livres, de forma que X podeassumir trs valores: {0, 1, 2}.

Assumas que a fdp de X seja dada por:f (0) = 0.20, f (1) = 0.44, f (2) = 0.36.

A soma das trs probabilidades igual aum, como deveria ser.

A probabilidade de que o jogadorconverta pelo menos um lance livre :P(X 1) = P(X = 1) + P(X = 2) =0.44+ 0.36 = 0.80.

0 0.5 1 1.5 2Pontos

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Proba

bili

dade

10 of 48

IntroduoLecture 1: Variveis Aleatrias Contnuas

Uma varivel X ser uma varivel aleatria contnua se assumirqualquer valor real dentro de um certo intervalo.

A quantidade de valores que ela pode assumir infinita, uma vezque h infinitos nmeros reais dentro de um certo intervalo.

Assim, dizemos que ela assume qualquer valor real comprobabilidade zero, embora ela assuma algum valor.

A sutileza da afirmao anterior reside no fato de que se hinfinitos valores que ela pode assumir, a probabilidade de elaassumir um em especial to nfima que zero.

11 of 48

Funo densidade de probabilidadeLecture 1: Variveis Aleatrias Contnuas

A fdp da v.a. contnua tambm dinformaes sobre seus provveisresultados.

Porm, como no faz sentido discutir aprobabilidade de uma v.a. contnuaassumir um valor em particular, usamos afdp de uma v.a. contnua somente paracomputar eventos envolvendo intervalosde valores.

Por exemplo, se a e b forem constantes,tal que a < b, a probabilidade de X estarentre os nmeros a e b, P(a X b),ser a rea sob a fdp entre os pontos a eb.

A integral da funo f entre os pontos ae b fornece a rea hachurada.

a bx

fHxL

a bx

fHxL

12 of 48

Funo de distribuio cumulativaLecture 1: Variveis Aleatrias Contnuas

Ao computar probabilidades para v.a.contnuas, mais fcil trabalhar coma funo de distribuio cumulativa(fdc).

Se X for qualquer v.a., sua fdc serdefinida por qualquer nmero x realpela equao:

F (x) P(X x). (L1.4)

Para uma v.a. contnua, F (x) ser area sob a fdp esquerda do ponto x .

Como F(x) tambm umaprobabilidade, ela estar sempre entre0 e 1.

A FDC uma funo no-descrescente. Se x1 < x2, ento

P(X x1) P(X x2), ou seja,F (x1) F (x2).

2 4 6 8x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FHxL

13 of 48

Propriedades da fdcLecture 1: Variveis Aleatrias Contnuas

Propriedade 1Para qualquer nmero c,

P(X > c) = 1 F (c). (L1.5)

Propriedade 2Para quaisquer nmeros a < b,

P(a < X b) = F (b) F (a). (L1.6)

14 of 48

IntroduoLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

Na maioria das vezes, estaremos interessados apenas em algumascaractersticas das distribuies.

Estas caractersticas podem ser divididas em categorias: medidas de tendncia central, medidas de variabilidade ou disperso, medidas de associao entre duas variveis.

15 of 48

Valor esperado de v.a. discretaLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

Em probabilidade, um dos mais importantes conceitos o de valoresperado.

Se X for uma v.a., o valor esperado ou esperana de X , representadopor E(X ) ou X , a mdia ponderada de todos os possveis valores de X .

Os pesos para a ponderao so determinados pela funo densidade deprobabilidade.

No caso discreto, o valor esperado de X dado por:

E(X ) = x1f (x1) + x2f (x2) + + xk f (xk) kj=1

xj f (xj). (L1.7)

16 of 48

Valor esperado: exemploLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

Suponha que X assuma os valores 1, 0 e 2 com probabilidades1/8, 1/2 e 3/8.

Ao calcular E(X ), temos 0.625. Ao calcular E(X 2), temos 1.625. Notar que E(X 2) 6= [E(X )]2.

17 of 48

Valor esperado de v.a. contnuaLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

Se X for uma v.a. contnua, ento E(X ) ser definida como umaintegral:

E(X ) =

x f (x)dx . (L1.8)

18 of 48

Propriedades dos valores esperadosLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

As principais propriedades so:Propriedade 1Para qualquer constante c, E(c) = c.

Propriedade 2Para quaisquer constantes a e b, E(aX + b) = aE(X ) + b.

Propriedade 3Se {X1,X2, . . . ,Xn} forem v.a., ento

E(X1 + X2 + + Xn) = E(X1) + E(X2) + + E(Xn)

E

( ni=1

Xi

)=

ni=1

E(Xi). (L1.9)

19 of 48

MedianaLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

O valor esperado somente uma possibilidade para definir atendncia central de uma v.a.

Outra medida a mediana. Se X for uma v.a. contnua, a mediana de X , m, ser um valor talque metade da rea de uma fdp est esquerda de m e a outrametade est direita de m.

Quando X for uma v.a. discreta, a mediana a observao docentro obtida ao ordenar todos os seus possveis valores.

A mediana no necessariamente ser igual esperana, exceto nocaso em que a distribuio for simtrica em torno da mdia.

20 of 48

Varincia e desvio-padroLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

Embora a medida de tendncia central seja valiosa, ela no nos diz tudoo que queremos saber sobre a distribuio de uma v.a.

Compare as seguintes distribuies. O que possvel dizer sobre suasvarincias?

X,Y

fdp

fY

fx

21 of 48

VarinciaLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

Para uma v.a. X com = E(X ), queremos medir o quanto X estdistante de seu valor esperado.

A varincia nos informa essa distncia, e pode ser calculada como:

V(X ) E[(X )2]. (L1.10) A varincia algumas vezes representada por 2X . A varincia uma medida sempre no-negativa. possvel mostrar que 2X = E(X 2) 2.

22 of 48

Propriedades da varinciaLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

Propriedade 1V(c) = 0, tal que c uma constante.

Propriedade 2Para quaisquer constantes a e b, V(aX + b) = a2V(X ).Isto significa que a adio de uma constante a uma v.a. no alterasua varincia, mas a multiplicao de uma v.a. por uma constanteaumenta a varincia por um fator igual ao quadrado daquelaconstante.

23 of 48

Propriedades do desvio-padroLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

O desvio-padro de uma v.a. X , X , a raiz quadrada positivada varincia.

Propriedade 1Para qualquer constante c, c = 0.

Propriedade 2Para quaisquer constantes a e b, aX+b = |a|X .

24 of 48

Padronizando uma varivel aleatriaLecture 1: Caractersticas das Distribuies de Probabilidade

Suponha que, dada uma v.a. X , definamos uma nova v.a. subtraindo suamdia X e dividindo o resultado por seu desvio-padro X :

Z X XX

= 1X

X XX

. (L1.11)

Se pensarmos em Z como Z = aX + b, temos que a = 1/X e b = X/X .

Exerccio

E[Z ] = E[aX + b] = aE[X ] + b = 1XX X

X= 0.

V[Z ] = V[aX + b] = a2V[X ] = 12X2X = 1.

25 of 48

Medidas de associaoLecture 1: Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionais

Embora a fdp conjunta de duas v.a. descreva completamente arelao entre elas, til ter medidas resumidas de como, emmdia, duas v.a. variam entre si.

Como acontece com o valor esperado e a varincia, isso umaforma de usar um nico nmero para resumir alguma coisa de umadistribuio inteira.

Nesse caso, deseja-se descrever a forma como as duas v.a. serelacionam.

26 of 48

CovarinciaLecture 1: Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionais

Seja X = E(X ) e Y = E(Y ) e considere a v.a. (X X )(Y Y ). A covarincia entre duas v.a. X e Y definida como o valor esperado

do produto (X X )(Y Y ):

C(X ,Y ) E[(X X )(Y Y )]. (L1.12)

A covarincia muitas vezes representada por XY . Se XY > 0, ento, em mdia, quando X estiver acima de sua mdia, Y

tambm estar (ou ambos esto abaixo de suas mdias). Se XY < 0, ento, em mdia, quando X estiver acima de sua mdia, Y

estar abaixo (ou vice-versa). fcil mostrar que C(X ,Y ) = E(XY ) Xy .27 of 48

CovarinciaLecture 1: Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionais

A covarincia mede o grau de dependncia linear entre duas v.a. Uma covarincia positiva indica que as duas v.a. se movem namesma direo, enquanto que uma covarincia negativa indica queelas se movem em direes opostas.

Interpretar a magnitude de uma covarincia pode ser um poucodifcil.

28 of 48

Propriedades da covarinciaLecture 1: Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionais

Propriedade 1Se X e Y forem independentes, ento C(X ,Y ) = 0.No entanto, a afirmao inversa no necessariamente verdadeira.

Propriedade 2Para quaisquer constantes a1, b1, a2 e b2,

C(a1X + b1, a2Y + b2) = a1a2C(X ,Y ). (L1.13)

Propriedade 3Desigualdade de Cauchy-Schwartz: o valor absoluto da covarincia est limitadopelo produto de seus desvios-padro:

|C(X ,Y )| XY .

29 of 48

Coeficiente de correlaoLecture 1: Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionais

Como a covarincia um nmero que depende fortemente dasunidades em que so medidas as variveis, precisamos encontraruma outra forma de resumir o grau de associao entre duasvariveis.

Esta deficincia compensada pelo coeficiente de correlao. Sejam duas v.a. X e Y , seu coeficiente de correlao :

(XY ) C(X ,Y )XY

. (L1.14)

Como os desvios-padro so sempre positivos, o sinal docoeficiente de correlao depender do sinal da covarincia.

30 of 48

Coeficiente de correlao: propriedadesLecture 1: Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionais

Propriedade 11 (XY ) 1.Se (XY ) = 1, a relao entre as duas v.a. positiva e perfeita.Se (XY ) = 1, a relao entre as duas v.a. negativa e perfeita.Se (XY ) = 0, no h relao linear.

Propriedade 2Para quaisquer constantes a1, b1, a2 e b2, com a1a2 > 0,

(a1X + b1, a2Y + b2) = (XY ).

Se a1a2 < 0,

(a1X + b1, a2Y + b2) = (XY ).

31 of 48

Varincia da soma de v.a.Lecture 1: Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionais

Agora que j definimos covarincia e correlao, podemos completar arelao das principais propriedades da varincia.Propriedade 3Para as constantes a e b,

V(aX + bY ) = a2V(X ) + b2V(Y ) + 2abC(X ,Y ). (L1.15)

Se X e Y forem no-correlacionados e a = b = 1, ento

V(X + Y ) = V(X ) + V(Y ). (L1.16)

Se X e Y forem no-correlacionados e a = b = 1, ento

V(X Y ) = V(X ) + V(Y ). (L1.17)

32 of 48

Esperana condicionalLecture 1: Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionais

Muitas vezes queremos explicar uma varivel em funo de outra. Exemplo: Y salrio e X a quantidade de anos de educao.

E[Y |X = x ] = E[sal |educ = 12 anos]. (L1.18)

33 of 48

Propriedades da esperana condicionalLecture 1: Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionais

Propriedade 1Funes de X so como constantes: E[c(X )|X ] = c(X ).Propriedade 2E[a(X )Y + b(X )|X ] = a(X )E[Y |X ] + b(X ).Propriedade 3Se X e Y forem independentes, E[Y |X ] = E[Y ].Propriedade 4Se E(Y |X ) = E[Y ], ento C[X ,Y ] = 0.

34 of 48

Varincia condicionalLecture 1: Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionais

Sejam duas variveis aleatrias X e Y , a varincia de Ycondicional em X = x :

V[Y |X = x ] = E[Y 2|X = x ] (E[Y |X = x ])2 (L1.19)

Propriedade 1Se X e Y forem independentes, V[Y |X ] = V[Y ].

35 of 48

Distribuio normalLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

A distribuio normal e as derivadas dela so as mais amplamenteusadas em mtodos quantitativos.

Uma v.a. normalmente distribuda pode assumir qualquer valorreal no intervalo [,+].

A fdp de uma normal tem a seguinte expresso:

f (x) = 12pi

exp[(x )2

22

], < x < +. (L1.20)

Dizemos que X tem uma distribuio normal com valor esperado e varincia 2: X N(,2).

36 of 48

Distribuio normal padroLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

Um caso especial da distribuio normal ocorre quando a mdia forzero e a varincia for 1.

Se uma v.a. Z N(0,1), dizemos que ela tem uma distribuionormal padro.

A fdp de uma normal padro :

(z) = 12pi

exp[z2/2

], < z < +. (L1.21)

37 of 48

Grficos da normal padroLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

Os grficos das funes densidade de probabilidade e cumulativa daNormal so:

-3 -2 -1 1 2 3z

0.1

0.2

0.3

0.4

HzL

(a) FDP da Normal-3 -2 -1 1 2 3

z

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FHzL

(b) FDC da Normal

38 of 48

Propriedades da normalLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

Propriedade 1Se X N(X ,2X ), ento a v.a. Y = (X X )/X N(0,1).Propriedade 2Se X N(X ,2X ), ento a v.a. Y = aX + b N(aX + b, a22X ).Propriedade 3Se X e Y forem duas v.a. conjuntamente e normalmente distribudas,ento elas sero independentes se, e somente se, C(X ,Y ) = 0.

Propriedade 4Qualquer combinao linear de v.a. independentes e identicamentenormalmente distribudas tem uma distribuio normal.39 of 48

Distribuio lognormalLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

Algumas v.a., como preos, no parecem seguir uma distribuionormal.

Para a grande maioria dos ativos, preos no so simetricamentedistribudos em torno de qualquer valor.

Em alguns casos, uma varivel pode ser transformada para assumirnormalidade.

Uma transformao popular o log, que faz sentido para v.a.positivas.

Se X for uma v.a. positiva, como preos, e Y = logX tiver umadistribuio normal, ento dizemos que X tem uma distribuiolognormal.

40 of 48

Distribuio lognormal: grficoLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

A fdp da distribuio lognormal logN(0,1)

1 2 3 4y

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

fHyL

41 of 48

Distribuio qui-quadradoLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

A distribuio qui-quadrado obtida diretamente das v.a.independentes normais padro.

Sejam Zi , i = 1, 2, . . . , n v.a. independentes, cada uma distribudacomo uma normal padro.

Defina uma nova v.a. como a soma dos quadrados de Zi :

X =n

i=1Z 2i . (L1.22)

A v.a. X ter uma distribuio qui-quadrado com n graus deliberdade: X 2n.

42 of 48

Distribuio qui-quadrado: grficosLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

A distribuio qui-quadrado pode ter vrios graus de liberdade.Seguem alguns exemplos:

2 4 6 8 10 12 14x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5fHxL

gl=8

gl=4

gl=2

43 of 48

Distribuio t de StudentLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

A distribuio t de Student muito usada na estatstica bsica ena anlise de regresso.

Obtemos a distribuio t a partir de uma v.a. normal padro e deuma v.a. qui-quadrado.

Seja Z uma v.a. normal padro e X uma qui-quadrado com ngraus de liberdade.

Suponha que Z e X sejam independentes. Ento, a seguinte v.a.T ter distribuio t com n graus de liberdade, T tn:

T = ZX/n

. (L1.23)

44 of 48

Distribuio t de Student: grficosLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

A fdp da distribuio t de Student tem uma forma semelhante da distribuionormal padro, exceto pelo fato dela ser mais espalhada, e, portanto, ter maisrea nos pontos extremos.

Quanto maior o nmero de graus de liberdade, mais a distribuio t seaproxima da normal padro.

-4 -2 2 4x

0.1

0.2

0.3

0.4fHxL

gl=24

gl=2

gl=1

45 of 48

Distribuio FLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

Outra distribuio importante a distribuio F . Para definir uma v.a. F , sejam X1 2k1 e X2 2k2 e X1 e X2independentes.

Ento, a v.a. F

F = X1/k1X2/k2 Fk1,k2 . (L1.24)

46 of 48

Distribuio F: grficosLecture 1: A Distribuio Normal e Outras Distribuies

A fdp da distribuio F para vrios graus de liberdade, k1,k2 :

1 2 3 4 x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fHxL

gl=H6,20L

gl=H6,8L

gl=H2,8L

47 of 48

FonteLecture 1

Wooldridge, J. (2013) Introductory Econometrics: a modernapproach. International 5th ed. Canada: Cengage.

48 of 48

Variveis Aleatrias e suas Distribuies de ProbabilidadeVariveis Aleatrias DiscretasVariveis Aleatrias Contnuas

Caractersticas das Distribuies de ProbabilidadeValor EsperadoMedianaMedidas de Variabilidade

Caractersticas das distribuies conjuntas e condicionaisMedidas de AssociaoVarincia da Soma de Variveis AleatriasEsperana e Varincia Condicionais

A Distribuio Normal e Outras DistribuiesDistribuio NormalDistribuio LognormalDistribuio Qui-quadradoDistribuio t de StudentDistribuio F