Lei de Potencia

1

BC-0506: Comunicação e BC-0506: Comunicação e RedesRedes

Semana 4: •Semana 4: • Leis de Leis de PotênciaPotência

Santo André, 1T2010

2

Leis de Potência

Distribuições de probabilidade

Leis de potência e escalas logarítmicas

Interpretando as leis de potência

Parte 1: Introdução

4

A lei do 80/20A lei do 80/20

Vilfredo Pareto, importante economista italiano

Durante sua jardinagem:

80% das peras → produzidas por 20% das árvores

Começou a notar o padrão em outras áreas

80% das terras → 20% da população

80% dos lucros → 20% dos funcionários

80% dos problemas → 20% dos clientes

80% das decisões → 20% de uma reunião

80% dos crimes → 20% dos criminosos

5

A lei do 80/20A lei do 80/20

Existem outros cenários em que a lei 80/20 não é diretamente aplicável, mas temos algo próximo:

80% dos hyperlinks → 15% das páginas

80% das citações → 38% dos cientistas

Utilizamos o termo lei de potência para descrever

Duas variáveis onde uma varia de acordo com uma potência da outra

f(x) = a xk + o(xk)

6

Sistemas complexos e leis Sistemas complexos e leis de potênciade potência

Sistemas complexos são compostos por unidades que interagem de forma não-linear.

Frequentemente possuem propriedades aderentes às leis de escala ou leis de potência

Uso de leis de potência

Tentativa de construir um arcabouço teórico para o entendimento destes sistemas

Origem à teorias da física, como a teoria do caos

7

Parte 2: Distribuições de probabilidade

8

9

O Andar do BêbadoO Andar do Bêbado

Descreve como a aleatoriedade afeta as nossas vidas e como as pessoas costumam ignorá-la e mesmo interpretá-la erroneamente (como sorte ou azar, por exemplo)

10

Variável AleatóriaVariável Aleatória

Mapeamento de um evento (resultado de um experimento aleatório) em um número

Exemplos:

X = estado do servidor: 1 ativo, 0 inativo

Y = número de pacotes IP por intervalo de tempo

Z = atraso estabelecimento conexão TELNET

Experimento: lançar um dadoA = valor facial

B = 0 valor 3 1 valor 4

C = 0 valor par 1 valor ímpar

11

Variáveis Discretas e Variáveis Discretas e ContínuasContínuas

Uma variável aleatória é discreta se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado

Variáveis aleatórias discretas são determinadas por uma contagem

Uma variável aleatória é contínua se pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo

O número de resultados possíveis não pode ser listado

Variáveis aleatórias contínuas são determinadas por uma medição

0 1 2-1-2

Número de resultados infinitos

12

Eventos independentesEventos independentes

Dois eventos são independentes a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro

A existência ou não de relação de dependência pode modificar conclusões de uma simulação

Eventos dependentesNúmero de pacotes que chegam em um roteador

Número de pacotes descartados

Eventos independentesNúmero de chamadas que chegam a um central telefônica

Duração das chamadas

13

Distribuição de Distribuição de probabilidadeprobabilidade

Descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores

A soma de todas as probabilidades deve ser 1

Variável discreta

Tabela especificando a probabilidade de que a variável assuma cada um dos valores possíveis

Variável contínua

Função especificando a probabilidade de que a variável assuma um valor em cada um dos intervalos possíveis

14

Determina o comportamento de uma variável aleatória discretadiscreta, atribuindo probabilidades a todos os possíveis valores

Exemplo: variável X (estado do servidor)

P[X=1] = p1

P[X=0] = p2

O conjunto {p1, p2} é a distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta X

Distribuição discreta de Distribuição discreta de probabilidadeprobabilidade

15

Função acumulada e Função acumulada e densidadedensidade

No caso de variáveis contínuas, define-se uma função de distribuição acumulada FX(x) que determinada a probabilidade da variável assumir um valor menor ou igual a um determinado valor x

onde, fX(x) é a função de densidade de probabilidade ou somente densidade

x

XX duufxXPxF )()()(

16

Distribuição de PoissonDistribuição de Poisson

Parâmetro: (média)

Utilização:Número de chegadas em um determinado tempoNúmero de chamadas telefônicas em um tempo t Número de conexões TCP em um tempo t

Exemplo:X = número de conexões FTP por horaEm determinado servidor = 3,5P(X = 2) = 0,185

0,!

][

x

xexP

17

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonHistogram of y

y

De

nsi

ty

0 5 10 15 20 25

0.0

00

.05

0.1

00

.15

0.2

00

.25

= 10

Geração: R

(http://www.r-project.org)

18

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

Parâmetros: a e b (limite inferir e superior)

Utilização:Variável limitada sem informação adicional

Direção de movimentação de um usuário em um rede celular

Distância entre fonte e destino em uma rede

Probabilidade de um pacote conter um erro

casosoutros

bxaab

xf X

,0

,1

)(

19

Distribuição UniformeDistribuição UniformeHistogram of y

y

De

nsi

ty

0 2 4 6 8 10

0.0

00

.02

0.0

40

.06

0.0

80

.10

a = 0

b = 10

20

Distribuição ExponencialDistribuição Exponencial

Parâmetro: (média)

Utilização:

Tempos entre eventos sucessivos

Tempo entre chamadas telefônicas

Tempo entre requisições a um servidor TELNET

Tempo entre falhas de um equipamento

casosoutros

xexf xX

,0

0,0,)(

21

Distribuição ExponencialDistribuição ExponencialHistogram of y

y

Den

sity

0 20 40 60 80 100 120

0.0

00.

02

0.0

40.

06

0.0

8

= 10

22

Distribuição Normal Distribuição Normal (Gaussiana)(Gaussiana)

Parâmetros: , (média e desvio padrão)

Utilização:

Aleatoriedade causada por várias fontes independentes agindo em conjunto

Erros em medições

0,2

1)(

22 2/

xexf

23

Distribuição Normal Distribuição Normal (Gaussiana)(Gaussiana)

Histogram of y

y

De

nsity

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Normal Padrão = 0 = 1

24

Média ou valor esperadoMédia ou valor esperado

A média denota o valor esperado de uma variável aleatória

Média distribucional

Média amostral (estimador)

dxxxfxpXE X

n

iii )()(

1

n

i ixn

x1

1

25

Variância e desvio padrãoVariância e desvio padrão

A média não dá informação sobre dispersão

Ex: conjuntos {5,10,15} e {0,10,20}, com média 10

Variância e desvio padrão medem a dispersão dos dados em relação à média

Variância amostral (estimador)

Desvio padrão =

n

i i xxn 1

22 )(1

26

Distribuições gaussianas

Quando um estatístico estuda certos dados, ele utiliza uma ferramenta indispensável: um gráfico em forma de sino que representa a distribuição gaussiana ou normal dos dados

27

Distribuições gaussianas

As distribuições gaussianas são definidas a partir de uma função densidade de probabilidades que se escreve da seguinte forma:

onde x é a variável aleatória,

é a média da distribuição, e

denomina-se desvio-padrão.

28

ExemploExemplo

Desejamos medir o comprimento de uma mesa, que será nossa variável aleatória x.

Ao realizarmos N medidas sucessivas obtemos uma estimativa do valor médio por

tende ao valor de a medida que N tende ao infinito

Dessa forma temos que:

Onde k é uma constante

Ou seja, o desvio-padrão nos dá uma boa aproximação do erro cometido na estimação da média

29

Teorema Central do LimiteTeorema Central do Limite

Distribuições gaussianas são, supostamente, a norma da natureza, cuja larga aplicabilidade resulta do teorema central do limite :

Temos um grande número de eventos aleatórios independentes, com mesmo valor esperado μ e desvio padrão σ

O conjunto de suas contribuições se aproxima da distribuição normal, com média μ e variância σ2

30

Exemplo: Passeio aleatórioExemplo: Passeio aleatórioCompostos por uma variável xi pode assumir aleatoriamente os valores ± s. Por exemplo:

Bêbado tentando ficar em pé (1D)

O caminho de um animal em sua caçada (2D)

Trajetórias de moléculasde um gás (3D)

No caso unidimensional,após N passos, a posiçãodo bêbado será dada por:

31

Exemplo: Passeio aleatórioExemplo: Passeio aleatórioPelo teorema do limite central, como os passos xi:

são independentes

possuem desvio-padrão finito

a função densidade de probabilidade dada por:

será gaussiana à medida que N → ∞, mesmo que cada xi não obedeça à distribuição normal

32

Parte 3: Leis de potência e escalas logarítmicas

33

Leis de PotênciaLeis de PotênciaUma lei de potência é um tipo especial de relação matemática entre duas quantidades

Quando o número ou frequência de um objeto ou evento varia conforme a potência de algum atributo do objeto (ex.: o tamanho), diz-se que esse número ou tamanho segue uma lei de potência

Exemplo:

O número de cidades que tem uma certa população varia conforme uma potência do tamanho da população

34

Lei de PotênciasLei de PotênciasDiversas distribuições, tanto de fenômenos naturais quanto humanos, são compostos por:

Um grande número de fenômenos comuns

Um pequeno número de fenômenos raros

Estes fenômenos frequentemente apresentam regularidades nas quais:

O tamanho P(x) de um evento pode ser associado a alguma propriedade x do evento através de uma simples escala, do tipo:

P(x) = a xk + o(xk)

35

Aplicações da Regra 80-20Aplicações da Regra 80-2080-20 é uma regra de ouro nos negócios; por exemplo, "80% de suas vendas vêm de 20% de seus clientes"

Matematicamente, quando algo é compartilhado entre um conjunto suficientemente grande de participantes deve haver um número k entre 50 e 100%, tal que k% desse conjunto é utilizado por (100 - k)% dos participantes

k pode variar de 50 (no caso da distribuição uniforme) para cerca de 100 (quando um pequeno número de participantes é responsável por quase todos os recursos)

Não há nada especial sobre o número de 80% matemati-camente, mas muitos sistemas reais terão esse número k em algum lugar onde haverá desequilíbrio na distribuição

36

Regra 80-20 e Leis de PotênciaRegra 80-20 e Leis de Potência

O Princípio de Pareto (80-20) é uma ilustração de uma relação de leis de potência, o que também ocorre em fenômenos como incêndios florestais e terremotos

Por ser auto-similar ao longo de um vasto leque de magnitudes, produz resultados completamente diferentes dos fenômenos de distribuição gaussianos

Este fato explica as frequentes quebras de sofisticados instrumentos financeiros

São modelados no pressuposto de que uma relação gaussiana é adequado para, por exemplo, tamanhos de movimento de mercado (ações)

37

Leis de potência - exemplos

Um terremoto duas vezes maior é quatro vezes mais raro. Se esse padrão vale para terremotos de todos os tamanhos

Dizemos que a distribuição "escala"

Leis de potência também descrever outros tipos de relacionamentos, tais como:

A taxa metabólica de uma espécie e a sua massa corporal (chamada lei Kleiber)

O tamanho de uma cidade e o número de patentes que produz

O que isto significa é que na relação não existe tamanho típico no sentido convencional

Leis de potência são encontrados nos mundos naturais e artificiais, e é uma área ativa de investigação científica

38

DefiniçãoA lei de potência é uma relação polinomial que exibe a propriedade de invariância de escala. As leis de potência mais comuns relacionam duas variáveis e têm a forma

onde

a e k são constantes

e o(xk) é uma função assintoticamente pequena

k normalmente é chamado o expoente de escala

39

Escalando a funçãoEscalando a função

O reescalonamento do argumento da função muda a constante de proporcionalidade, mas preserva a forma da função

log(f(x)) = k.log(x) + log (a)Esta expressão tem uma relação linear com a inclinação k

Esta linha reta é denominada assinatura da lei de potência

O reescalonamento de x produz apenas um deslocamento da função para cima ou para baixo

40

Frequência de palavras (Zipf Frequência de palavras (Zipf Law)Law) f(x) = xk

log( f(x) ) = k. log(x)

Frequencia x Rank de palavras doBrown’s English dictionary

41

Frequência de palavras (Zipf Law)

42

Propriedade: Propriedade: Invariância à EscalaA principal propriedade das leis de potência que as tornam interessantes é a sua invariância à escala

Dada a relação f(x) = a.xk, escalonando o argumento x por um fator constante causa apenas um escalonamento proporcional da própria função. Isto é:

Um exemplo de invariância à escala são os fractais

Eles permanecem iguais não importando quanto nos aproximamos ou distanciamos do grafo

43

Invariância à Escala (Fractais)

46

AplicaçõesAplicações

Leis de potência é um tema de pesquisa ativa em muitos campos da ciência, incluindo:

Física

Ciência da computação

Lingüística

Geofísica

Sociologia

Economia e muito mais.

47

A teoria Black SwanA teoria Black Swan

Inventando por Nassim Taleb, é usada para explicar a existência e ocorrência de eventos raros tem altíssimo impacto e são dificílimos de prever, de modo que caem fora do que nós podemos esperar

Algumas pessoas tentam usar um modelo gaussiano para lidar com problemas tipicamente Black Swan e por isso não conseguem prevê-los

48

Parte 4: Interpretando as leis de potência em redes

e grafos

49

Distribuição de lei de Distribuição de lei de potênciapotência

Veremos através de uma comparação de características entre uma mapa rodoviário e um mapa de rotas aéreas

50


No mapa rodoviário as cidades são os nós e as auto-estradas conectando elas são as arestas

Esta é uma rede razoavelmente uniforme: cada grande cidade possui pelo menos uma conexão com o sistema se auto-estradas, e não há cidades servidas por centenas de estradas. A maioria dos nós são similares, grosseiramente com o mesmo número de conexões

No mapa de rotas aéreas os nós são aeroportos conectados entre si por vôos diretos entre si

Existem alguns “hubs”, de onde vôos partem para quase todos os demais aeroportos. A grande maioria dos aeroportos são pequenos, aparecendo como nós com no máximo poucos vôos conectando-os com um ou mais “hubs”. Portanto, poucos “hubs” se conectam com muitos pequenos aeroportos

51


Leis de potência formulam matematicamente o fato que em redes reais a maioria dos nós possuem apenas poucos links e que estes numerosos pequenos nós coexistem com poucos grandes “hubs” – nós com grande número de links

Nesse caso, não há nós com número de links próximo da média, como visto nas redes aleatórias. Essa distribuição pelos extremos de um gráfico estatístico, com relação ao número de links, leva ao conceito de redes sem-escala.

52


A distribuição de uma rede aleatória segue curva tipo Sino, onde a maioria dos nós possui o mesmo número de links

A distribuição de lei de potência das redes sem-escala prediz que a maioria dos nós tem poucos links mantidos juntos com “hub” altamente conectados.

53

Rede de Alcançe MundialRede de Alcançe Mundial

World Wide Web (WWW)

A Web forma uma rede de informação, funcionando como um serviço da Internet

Páginas contém links para outras páginas

Algumas páginas são extremamente mais referenciadas do que outras (grandes portais, por exemplo)

Algumas páginas referenciam uma quantidade enorme de outras páginas (mecanismos de busca, como o Google)

54

Distribuição - WWWDistribuição - WWW

Exemplo de Variável Aleatória

Número de links (referências) de cada Página Web para outras Páginas Web

Segue distribuição de uma lei de potência

55

Redes de Citações de Artigos

Artigos citam outros artigos

Estrutura: alguns pesquisadores publicam muito mais e são muitos mais citados do que outros

Ex. de variável aleatória: número de citações, recebidas ou realizadas por cada artigo (ou autor); numero de vértices; etc.distribuição de lei de potência

56


Redes de Citações são aciclicas pois os artigos somente podem citar outros artigos que já tenham sido escritos, mas não aqueles que ainda não foram escritos.

Um estudo quantitativo de Alfred Lotka’s, de 1926, discobriu-se o que foi conhecido como Lei da Produtividade Cientifica:

A distribuição do número de artigos escritos por cientistas seguem uma lei de potência.

Isto é, o número de cientistas que tenham escritos k artigos tem decaimento de k−, sendo constante.

57


A rede formada por citações foi discutida num artigo de Price [1965], em que entre outras coisas, o autor aponta pela primeira vez que ambas distribuições (in-degree e out-degree) da rede, seguem as leis de potência

Muitos outros estudos de redes de citações foram realizadas desde então, inclusive usando os recursos cada vez melhores disponibilizadas em bancos de dados de citações

58

Conceituação: Grau da Rede - Degree

Grau da Rede - Degree: é o número de arestas conectadas a um vértice

Note que o grau não é necessariamente igual ao número de vértices adjacentes a um vértice, pois podem haver mais de uma aresta entre dois vértices quaisquer

Um grafo direcionado possui ambos tipos de grau: um in-degree (grau de entradas) e um out-degree (grau de saídas) para cada vértice, que denotam o número de arestas entrando e saindo, respectivamente.

59

Distribuições de Grau da Rede

Definimos “pk“ como sendo a porção de vértices da rede que possuem grau k

Equivalentemente, “pk“ é a probabilidade que um vértice escolhido de maneira aleatória tenha um grau k

Um gráfico de pk para qualquer rede pode ser formado pela construção do histograma dos graus dos vértices da rede

Este histograma é a distribuição de grau da rede

Num grafo aleatório do tipo estudado por Erdos e Renyi [1959, 1960, 1961], cada aresta está presente ou ausente com probabilidades iguais, e portanto a distribuição de grau são do tipo binomial, ou Poisson no limite de grafos de grande tamanho

60

Distribuições de Grau da Rede

Redes do mundo real são na maioria dos casos bem distintos dos grafos aleatórios nas suas distribuições de grau

Longe de possuir uma distribuição de Poisson, os graus de vértices na maior parte das redes são altamente inclinadas para a direita, significando que suas distribuições possuem uma longa cauda para a direita em valores que estão bem acima da média

61

Histograma de Grau

A medição dessa cauda é um pouco complicada. Embora em uma teoria temos apenas que construir um histograma dos graus, na prática raramente tem-se medições suficientes para conseguir boas estatísticas na cauda, e histogramas diretos são geralmente ruidosos

Existem duas formas aceitas para contornar este problema

Uma delas é construir um histograma no qual os tamanhos das faixas aumentam exponencialmente com o grau. Por exemplo, as primeiras faixas podem cobrir graus 1, 2-3, 4-7, 8-15, e assim por diante. O número de amostras em cada faixa é então dividido pela largura da faixa para normalizar a medição

62

Histograma de Grau

Esse método de construção de um histograma é muitas vezes usado quando o histograma será traçado com uma escala logarítmica de grau, de modo que as larguras das faixas vão parecer iguais.

Devido as faixas ficarem mais largas a medida que vamos em direção à cauda, os problemas com as estatísticas são reduzidas, embora eles ainda estejam presentes, numa certa medida, enquanto pk decai mais rápido do que k-1, o que deve acontecer caso a distribuição seja integrada

63

Função distribuição acumulada

Uma maneira alternativa de apresentar os dados dos graus dos vértices é construir um gráfico da função de distribuição acumulada:

que é a probabilidade que o grau seja maior ou igual a k.

64


Tal gráfico possui a vantagem de que todos os dados originais estão sendo representados

Quando construímos um histograma convencional por agrupamento de faixas, as eventuais diferenças entre os valores de pontos de dados que se enquadram na mesma faixa são perdidas

A função distribuição acumulada não sofre deste problema. A distribuição acumulada também reduz o ruído na cauda

65


Na figura da página a seguir, apresentam-se distribuições acumuladas de grau de rede, para várias redes já mencionadas anteriormente.

Conforme mostrado na figura, as distribuições são de fato inclinadas para a direita. Muitas delas seguem as leis de potência nas suas caudas:

pk ~ k− para um expoente constante .

66

Distribuições de Grau Acumuladas [Newman]

.

67

ExercíciosExercícios

Para os grafos dados a seguir:

i) Calcule o grau de todos os vértices do grafo (in-degree e out-degree, para grafos direcionados)

ii) Calcule a média dos graus dos vértices e o desvio padrão

iii) Calcule e esboce um histograma dos graus

iv) Calcule e esboce a distribuição acumulada das probabilidade de grau

68

Grafos do exercícioGrafos do exercício

a) b)

c) d)

69

Exercício a)Exercício a)

i. Graus:

1Gin= 2; 1Gout=1;

2Gin=2; 2Gout=3;

3Gin=1; 3Gout=1;

4Gin=1; 4Gout=2;

5Gin=2; 5Gout=1.

ii. Média:

Gin = 8/5 = 1.6

Gout = 8/5 = 1.6

Calculo do desvio padrao=Sqrt( (Soma(xi-)2)/(N-1) )

Gin:=Sqrt( ( (2-1.6)2+ (2-1.6)2+ (1-1.6)2+ (1-1.6)2)+ (2-1.6)2 ) / 4) = 0.55

in=0.55

Gout:=Sqrt( ( (1-1.6)2+ (3-1.6)2+ (1-1.6)2+ (2-1.6)2)+ (1-1.6)2 ) / 4) = 0.89

out=0.89

70

Exercício a)- iii. histogramaExercício a)- iii. histograma

Número de ocorrências de cada grau

GinGin=0: 0

Gin=1: 2 vezes

Gin=2: 3 vezes

Gin=2: 0

GoutGin=0: 0

Gin=1: 3 vezes

Gin=2: 1 vez

Gin=2: 1 vez

1 1.5 20

1

2

3histograma Gin

1 1.5 2 2.5 30

1

2

3histograma Gout

Gráfico Histograma

71

Exercício a)- iv. distribuição acumuladaExercício a)- iv. distribuição acumulada

calculo das probabilidades

Gin:

p(1) = 2/5 = 0.4

P(2) = 3/5 = 0.6

Gout:

p(1) = 3/5 = 0.6

p(2) = 1/5 = 0.2

p(3) = 1/5 = 0.2

0 1 2 30

0.5

1Dist.Cumulativa Gin

0 1 2 30

0.5

1Dist.Cumulativa Gout

Gráfico Distribuição acumulada

Errata: sempre inicia-se com valor “1”, em p=0.

72

Exercício b)Exercício b)

i. Graus:

S.Gin=0; S.Gout=2;

O.Gin=1; O.Gout=2;

P.Gin=2; P.Gout=1;

Q.Gin=1; Q.Gout=2;

R.Gin=2; R.Gout=1.

T.Gin=2; T.Gout=0

ii. Média:

Gin = 8/5 = 1.6 (=0.87)

Gout = 8/5 = 1.6 (=0.87)

iii.histograma

Gin e Gout:

G=0: 1 vez

G=1: 2 vezes

G=2: 3 vezes

iv. distrib. acumulada

p(0)=1/6

p(1)=2/6

p(2)=3/6

P(k)= {1, 5/6, 3/6, 0 }

73

Referências

Barabasi, A.L., Linked: How Everything Is Connected to Everything Else and What It Means for Business, Science and Everyday Life, Plume, 2003.

Newman, M., The Structure and Function of Complex Networks, Siam Review, Vol. 45, No 2, pp.167–256, 2003.

Clauset, A.; Shalizi, C.R.; Newman, M., Power-law distributions in empirical data, Siam Review, Vol. 51, No 4, pp.661–703, 2009.

74

Apêndices

75

A Regra 80-20A Regra 80-20

O princípio de Pareto, também conhecido como a regra 80-20, entre outros nomes, estabelece que, para muitos eventos, aproximadamente 80% dos efeitos (consequências) são provenientes de 20% das causas. [3]

O economista italiano Vilfredo Pareto, que observou em 1906 que 80% das terras na Italia eram pertencentes à 20% da população, devenvolveu o princípio pela observação de que 20% das vagens de ervilha em seu jardim continham 80% das ervilhas.

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/80-20_rule

76

Aplicações da Regra 80-20Aplicações da Regra 80-20

80-20 é uma regra de ouro nos negócios; por exemplo, "80% de suas vendas vêm de 20% de seus clientes."

Matematicamente, quando algo é compartilhado entre um conjunto suficientemente grande de participantes, deve haver um número k entre 50 e 100% tal que k% desse conjunto é utilizado por (100 - k)% dos participantes.

k pode variar de 50 (no caso da distribuição uniforme) para cerca de 100 (quando um pequeno número de participantes são responsáveis por quase todos os recursos).

Não há nada especial sobre o número de 80% matematicamente, mas muitos sistemas reais terão esse número k em algum lugar onde haverá desequilíbrio na distribuição.

77

Regra 80-20 e Leis de PotênciaRegra 80-20 e Leis de Potência

O Princípio de Pareto é uma ilustração de uma relação de leis de potência, o que também ocorre em fenêmenos como incêndios florestais e terremotos.

Por ser auto-similar ao longo de um vasto leque de magnitudes, produz resultados completamente diferentes dos fenômenos de distribuição gaussianos.

Este fato explica às frequentes quebras de sofisticados instrumentos financeiros, que são modelados no pressuposto de que uma relação gaussiana é adequado para, por exemplo, tamanhos de movimento de mercado (ações).

78

Atividade para Entregar

79

Atividade para EntregaAtividade para EntregaUma rede de informação possui uma topologia representada por um grafo cuja matriz de adjacências é dada a seguir.

Utilizando recursos computacionais, elabore uma programa para calcular: i) os graus in-degree e out-degree de todos os vértices do grafo; ii) a média dos graus dos vértices e o desvio padrão; iii) o histograma dos graus; iv) a distribuição acumulada das probabilidade dos graus. Apresente o resultado na forma de vetor. Esboce o gráfico manualmente do histograma e da distribuição acumulada.

Entregue o programa em arquivo, e os resultados e o grafico impressos.

Obs: Os custos das arestas não são usados.

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