CESE Transmisso Anlise de Sistemas Eltricos1ANLISE DE FLUXO DE
POTNCIA EM REGIMEPERMANENTE DE SISTEMAS ELTRICOS DEPOTNCIA 1
INTRODUOOclculodofluxo de potncia,fluxo de carga,ouem ingls, load
flow, em um SEP consisteessencialmente na determinao do estado de
operao desta rede dada sua topologia e uma certacondio de
carga.Este estado de operao consiste de:! determinao das tenses e
ngulos para todos os barramentos do sistema;! determinao dos f
luxos de potncia ativa e reativa atravs dos ramos do sistema;! det
er
minaodaspotnciasativasereativas,geradas,consumidaseperdidasnosdiversoselementos
do sistema.Estaanlisedef luxodepotnciaumdosestudosmais f requentes
realizados em SEP. Ele por sis pode constituir um estudo prprio ou
f azer parte de um outro estudo mais complexo, por exemplo:! estudo
prprio: planejamento da operao, expanso do sistema, etc;! outros
estudos: parte dos estudos de estabilidade, de otimizao, de conf
iabilidade, etc.Como exemplo de aplicao de simulaes de f luxo de
potncia, pode-se citar:! est udosparaplanejamentodoSEP,verif
icandoasprovidnciasaseremtomadascomocrescimento do sistema;!
avaliao das condies operativas do SEP, ou seja, analisar as condies
operativas da rede emregime normal e de emergncia;! est
udosdeavaliaoedeterminaodemedidascorretivasparaaoperaodosistemaemcondies
de emergncia, como, por exemplo, ajustes de taps de transf
ormadores, condies
dechaveamentodebancosdecapacitores,redespachodegeraodasunidadesdosistema,sincronizao
de unidades f ora de operao, etc;! determinao dos limites de
transmisso de potncia do SEP;! etc.At1930todososclculosdef
luxodepotnciaeramf eitosmo,oqueexigiainmerassimplif
icaeseimpossibilitavaaanlisedegrandessistemas,devidoaquantidadedeclculosmatemticos
necessrios para a obteno de resposta, mesmo para pequenos sistemas.
Entre 1930e1956f
oramusadosanalisadoresderedepararesolverproblemasdef
luxodepotncia.Osanalisadores de rede (Network Calculators -
Westinghouse ou Network Analysers - GE) so
modelosemminiaturadaredeemestudo,ondeocomportamentodosistemaeradeterminadopelamedidadegrandezas
eltricas no modelo. O problema bsico da impreciso e lentido de
clculo continuou CESE Transmisso Anlise de Sistemas
Eltricos2espodesersanadomaismodernamementecomautilizaodecomputadoresdigitais.Aspr
imeirastentativastiveramsucessolimitado,vistoqueosprogramasapenasautomatizavamosclculosdosmtodosmanuais,usandoequaesdelaosedemalhas,enoexplorandoadequadamente
a capacidade do computador.
Em1954,L.A.DunstannoartigoDigitalLoadFlowStudies,apresentouumaprimeiraanliseder
edesutilizandocomputadoresdigitais.Em1956,WardeHaleapresentaramoprimeiroprogramadecomputador,realmentebemsucedido,parasoluodef
luxodepotncia,noartigoDigitalComputerSolutionofPower-FlowProblems.Oprogramaapresentadopor
Ward e Hale utilizava af ormulaonodaldoproblemaeresolvia as equaes
no lineares que descreviam a rede, por ummt
odoiterativodeNewtonmodif
icado.Osprogramasqueimediatamenteseseguiram,utilizaramo mtodo de
Gauss-Seidel. Com o sucesso do mtodo de Ward e Hale um grande nmero
de artigosdeGlimmeStagg,deBrowneTinneyf
orampublicadossugerindomodif
icaesnosalgoritmoseincorporandocaractersticasadicionaisaosprogramascomputacionais.Nadcadade60,comocrescimentodosSEPecomatendnciadeinterligaodosmesmos,atravsdeligaes
em altatenso,f
oiaumentadorapidamenteonmerodeligaesedebarramentosrepresentativosdosistema.AscaractersticasdomtododeGauss-Seidelf
azemcomqueelenoseadaptebemasist emar
epresentadosporumgrandenmerodebarras,def
ormaquesetornounecessrioapesquisa de um outro mtodo de soluo de
problemas de f luxo de potncia. Aps vrios anos de pesquisa
realizados pela Bonneville Power Administration (BPA) f oi
desenvolvidoummtodoextremamentebemsucedido de soluo das equaes de f
luxo de potncia atravs doalgoritmodeNewton-Raphson.Omtodose adaptou
muito bem a grandes sistemas, como tambmobtinha soluo de problemas
em que o mtodo de Gauss-Seidel havia f
alhado.Atualmente,omtododeNewton-Raphson o mais utilizado para a
soluo de problemas de f luxode potncia. Desde sua primeira f
ormulao ele vem sof rendo diversas complementaes no sentidodet
orn-locadavezmaispoderoso.Novosmtodos,utilizandoalgoritmossemelhantesaodeNewton-Raphsontambmvemsendodesenvolvidosa
f im de obter maior rapidez e menor memriacomputacional, como por
exemplo, os mtodos desacoplados. Apesarde todos estes mtodos, a
soluo do problema do f luxo de potncia continua sendo objetodemuit
apesquisaeestudo,visandoodesenvolvimentodemtodosdesoluocadavezmaispoderosos,
rpidos e conf iveis.Deumamaneirageral, o problema do f luxo de
potncia caracteriza-se por ser no linear e portantoso necessrios,
conf orme j comentado e se ver adiante, processos iterativos de
clculo numricopara resoluo do problema (por isso os mtodos diretos
de anlise nodal ou de malhas, usados nat
eoriadecircuitosnopodemserutilizados).Anolinearidadedasequaesdecorredecertascaractersticas
da modelagem de alguns componentes do sistema. Naanlise de f luxo
de potncia interessa-se em obter uma soluo do sistema operando em
regimepermanentesenoidal,por isso a modelagem do sistema esttica, o
que signif ica que as equaese inequaes representativas da rede so
algbricas e no dif erenciais. CESE Transmisso Anlise de Sistemas
Eltricos32 SUPOSIES E APROXIMAESNos clculos de f luxo de potncia
comumente so f eitas as seguintes simplif icaes:! As cargas ativas
e reativas nos barramentos do sistema so supostas constantes.As
cargas embora possam variar signif icativamente dentro de perodos
longos de tempo, o f
azemdemaneiralentaegradual,quaseimperceptveldentrode pequenos
intervalos de tempo.
Logo,oresultadoobtidoemumestudovlidodentrodeumintervalodetemporazovel.Quandoocorre
variaes de cargas muito elevadas basta alterar seu valor e ef etuar
uma nova simulao.Emalgumas situaes especiais pode ser necessrio
modelar algumas caractersticas dinmicasdas cargas. Isto pode
acarretar a necessidade de modelos mais elaborados da mesma, de
outroscomponentesdosistema e tambm de modif icaes no algoritmo de
resoluo das equaes dosistema. Por exemplo:!carga de retif icao (f
brica de alumnio, etc);!carga de metr, trem, etc;!outros (ef eito
corona em linhas de transmisso, etc).Uma outra modelagem de cargas
pode ser f eita atravs de representao por corrente constanteou
impedncia constante.!
Admite-sequearedeoperedemaneiraequilibradaemsuastrsf
asese,portanto,umarepresentao unif ilar suf icienteEsta simplif
icao no af eta de f orma signif icativa a preciso dos
resultados.Caso ocorra situaes de desequilbrio na rede, tais
como:!linhas no transpostas, ou no totalmente transpostas;!cargas
monofsicas ou bif sicas de elevada potncia, tais como, f ornos
eltricos, f errovias, etc,em corrente alternada;! f
altasassimtricasdeummodogeral,taiscomodef eitosf ase-terra,dupla f
ase, dupla f ase-terra, bem como abertura de condutores;!estudos
mais sof isticados de estabilidade e proteo;!etc;ser necessrio a
anlise atravs de um f luxo de potncia trif sico, onde so
representados todasas trs f ases do sistema.! Os elementos passivos
do sistema so representados com parmetros concentradosComisso
evitado a necessidade de equaes dif erenciais para representao dos
elementos.Nopr esent ecurso,aatenoserf ocalizadanof
luxodepotnciaconvencional,ondeastrshipteses acima so consideradas
aceitveis.PkGQkG( k )(k)PkQkC CC(k)Yk CESE Transmisso Anlise de
Sistemas Eltricos43 REPRESENTAO DOS COMPONENTES3-1
GeradoresSorepresentadospelaspotnciasativaereativa(indutivaou
capacitiva) que devem entregar aobarramento que esto conectados,
como mostra a f igura 1.Figura 1 Representao do gerador para
estudos de f luxo de potnciaEstaspotnciaspodemserconhecidas
(especif icadas) ou ento serem obtidas como resultado dof luxo de
potncia.3-2 CargasSo representadas pelas potncias ativa e reativa
consumidas, supostas constantes, como ilustradona f igura 2.Figura
2 Representao da carga, como potncia constante, para estudos de f
luxo de
potnciaComoexemplodecargasdepotnciaconstante,pode-secitar,asparcelasativadosmotoressncronosedeinduo(comrestries)easparcela
reativa dos motores sncronos (sem
grandepreciso).Algumascargaspodemserrepresentadascomoumaimpednciaconstante,ouseja,porumaadmitncia
ligada do barramento ref erncia, como mostra a f igura 3.Figura 3
Representao da carga, como impedncia constante, para estudos de f
luxo de potncia0YCk' ( PCk& j QCk)V2BV2k SB(k)CkI0ICk' (P
Ck&j QCk)VBVE SB0SCk' P Ck%j QCk'0Vk( 0ICk)(' Vk ICke j NkNk'
2k&(k0Y CkP CkVkQCkVkSBVB0ICkNk2k(k CESE Transmisso Anlise de
Sistemas Eltricos5Logo:onde: - admitncia ligada do barramento a ref
erncia (pu); - potncia ativa em MW absorvida pela carga a tenso em
kV; - potncia reativa em MVAr absorvida pela carga a tenso em kV;-
potncia de base em MVA;- tenso de base em kV.Como exemplo de cargas
de impedncia constante, pode-se citar, as parcelas ativa dos
aquecedorese das lmpadas incandescentes (aproximadamente), sendo a
parcela reativa nula.Tambmoutrascargaspodemserrepresentadascomo
cargas que absorvem corrente constante,como mostra a f igura
4.Figura 4 Representao da carga, como corrente constante, para
estudos de f luxo de
potnciaLogo:Nestetipodecargaasgrandezasconsideradasf
ixassoomdulodacorrentequef luipelamesmaeodef
asamentoangulardessacorrenteemrelaoatensodobarramentodealimentao:sendo:onde
e so, respectivamente, os ngulos def ase da tenso e da corrente,
ambos expressosem relao mesma ref
erncia.Comoexemplodecargadecorrenteconstante,pode-secitar,asparcelasativadaslmpadasf
luorescentes e de certos tipos de cargas de retif icao em escala
industrial.Yi0 = j bik2= r + jxZikik ikYk0 = j bik2(i) (k)Yi0Yk0Zik
=BBA - 1=BA - 1=(i) (k)0A ' cosh(0(R)0B '0Zcsenh(0 (R)0Zc'rik% j
xikj bik0 ( ' (rik% j xik) j bikB.BB0A0B0C0D0Zc CESE Transmisso
Anlise de Sistemas Eltricos63-3 Linhas de TransmissoSo
representadas pelo seu circuito equivalente, conf orme ilustrado na
f igura 5.Figura 5 Representao da linha de transmisso para estudos
de f luxo de potnciaNocasodelinhasdetransmissocurtas(
at40km),comumdesprezarassusceptnciascapacitivas no circuito
equivalente.As linhas mdias e longas devem ser representadas pelo
circuito equivalente completo. Nocasodaslinhaslongasosparmetros
devem ser corrigidos (teoria da linha longa) e podem
serobtidosatravsdosparmetros,, e da linha considerada como um
quadripolo como podeser visto na f igura 6.Figura 6 Representao da
linha de transmisso por um quadripoloonde:sendo: - impedncia
caracterstica da linha detransmisso (pu);- constante de propagao
dalinha de transmisso (rad).Se a linha possuir reatores, comum
represent-los nos barramentos terminais da mesma, como sef ossem
reatores de barra, como mostra a f igura 7.QkRiQR(i)(k)Zik(i)(k)(i)
(k)Zi kp: pi k(i)(k)i0Y Yk0YikB0Zik CESE Transmisso Anlise de
Sistemas Eltricos7Figura 7 Representao da linha de transmisso com
reatores em seus extremosEsteprocedimentoevitatornarassimtrico o
circuito equivalente da linha, o que iria ocorrer casoosreatoresf
oremdif
erentesnasduasextremidadesdalinha(ousexistissememumadelas)efossem
incorporados susceptncia shunt da linha, e f acilita a obteno do f
luxo reativo consumidopelos reatores (o que no ocorre caso os
reatores sejam incorporados linha).3-4 Transformadores de 2
enrolamentosNormalmente, so representados pela sua impedncia de
disperso.Seotransf ormadornoapresentataps,coloca-sesimplesmentea
impedncia de disperso entreos barramentos terminais do transf
ormador, como mostrado na f igura 8, onde sua impednciade disperso
em pu ref erida potncia de base.Figura 8 Representao do transf
ormador para estudos de f luxo de potnciaSeotransf
ormadorapresentasomentetapsvariveisemf
ase,arepresentaodomesmoestapresentado na f igura 9, sendo seu
modelo mostrado na f igura 10.Figura 9 Representao do transf
ormador com taps para estudos de f luxo de potnciaFigura 10 Modelo
do transf ormador com taps em f ase0Yik'1pi pk0Zik0Yi0'0Yikpk&
pipi0Yk0'0Yikpi& pkpkpi'VtapiVBipk'VtapkVBk1: p + jq
Zik(i)(k)0Ii0Ik'10Zik&p& j qp2% q210Zik&p% j qp2%
q210Zik1p2% q210Zik0Vi0Vk0ZikVtapiVtapkVBiVBkB CESE Transmisso
Anlise de Sistemas Eltricos8sendo:onde:- impedncia de disperso
dotransf ormador em pu ref erida potncia de base; - tenso nominal
do enrolamento (tap) do lado i; - tenso nominal do enrolamento
(tap) do lado k;- tenso de base do barramento (i);- tenso de base
do barramento (k).Pode-seobservarnomodeloacima que ao se elevar o
tap do transf ormador do lado k(p> 1),
porkexemplo,paraaumentaratenso deste barramento, acarretar que a
susceptncia do
barramento(k)paraaterraresultaemumvalorpositivo(capacitivo)edobarramento
(i) para a terra um
valornegativo(indutivo),tendendoaaumentaratensodobarramento(k)ea
diminuir a do barramento(i), o que est de acordo com o esperado.A
figura 11 mostra o transf ormador com taps variveis em f ase e
quadratura (ou s em quadratura).Figura 11 Representao do transf
ormador com taps em f ase e quadratura,para estudos de f luxo de
potnciaNestecasonopossveladeterminaodeumcircuitoequivalente,sendootransf
ormadorrepresentado na f orma matricial:(i) (k)(j)( fic )ZZZi-fic
k-ficj-fic0Zi&fic'12( 0 zik%0 zji&0 zkj)0Zj&fic'12( 0
zji%0 zkj&0 zik)0Zk&fic'12( 0 zkj%0 zik&0 zji)0Zik0
zik0 zkj0 zji0 zik0 zkj0 zji CESE Transmisso Anlise de Sistemas
Eltricos9onde:-impedncia de disperso do transf ormador em pu ref
erida potncia de base;p-tap em f ase do transf ormador do
enrolamento do lado k;q -tap em quadratura do transf ormador do
enrolamento do lado k.3-5 Transformador de 3 enrolamentosOstransf
ormadoresde3enrolamentos podem ser representados por seu
equivalente em tringuloou em estrela. Ar epr
esentaopeloequivalenteemestrelaacarretaoaparecimentodeumnf
ictcioentreosbarramentos terminais do transf ormador, como pode ser
visto na f igura 12.Figura 12 Representao do transf ormador de 3
enrolamentos, em estrela, para estudos de f luxo de
potnciasendo:onde: - impedncia i-k do transf ormador ref erida
potncia de base (pu); - impedncia k-j do transf ormador ref erida
potncia de base (pu); - impedncia j-i do transf ormador ref erida
potncia de base (pu).Asimpedncias , e
soobtidasdeensaiosdecurto-circuitorealizadosnostrsenr
olamentosdotransf ormador.Todasaimpednciasdevemestarempuouentoref
eridasaomesmo lado do transf ormador.Nesta representao o transf
ormador de trs enrolamentos representado por trs transf
ormadoresdedoisenrolamentoseseomesmoapresentartapsvariveiselespodemserrepresentadosdamaneira
vista na seo precedente.Umaoutramaneiraderepresentarotransf
ormadordetrsenrolamentosatravs de um circuitoZikjiZ
Zkj(j)(i)(k)0Zik'0Zi&fic.0Zk&fic%0Zi&fic.0Zj&fic%0Zj&fic.0Zk&fic0Zj&fic0Zkj'0Zi&fic.0Zk&fic%0Zi&fic.0Zj&fic%0Zj&fic.0Zk&fic0Zi&fic0Zji'0Zi&fic.0Zk&fic%0Zi&fic.0Zj&fic%0Zj&fic.0Zk&fic0Zk&fic(i)
(k)Yk0ikYYkjYji12Yi01Yi032j0Yj0Y3Yk0(j) CESE Transmisso Anlise de
Sistemas
Eltricos10ligadoemtringulo.Nestarepresentaononecessrioacriaodo
barramento f ictcio, comopode ser observado na f igura 13.Figura 13
Representao do transf ormador de 3 enrolamentos, em tringulo, para
estudos de f luxo de potnciaAs impedncias entre os barramentos
terminais do transf ormador podem ser obtidas dos valores
darepresentao em estrela:deve-se observar que estas admitncias so
dif erentes das obtidas no ensaio do transf ormador.Se o transf
ormador apresentar taps variveis em f ase, tem-se o equivalente
mostrado na f igura 14.Figura 14 Representao do transf ormador de 3
enrolamentos, em tringulo, com taps variveis em f ase0Yik'1pi.
pk.0Zik0Yi01'0Yik pk& pipi0Yk01'&0Yi01pipk0Ykj'1pk.
pj.0Zkj0Yk02'0Ykj pj& pkpk0Yj02'&0Yk02pkpj0Yji'1pj.
pi.0Zji0Yj03'0Yji pi&
pjpj0Yi03'&0Yi03pjpipi'VtapiVBipj'VtapjVBjpk'VtapkVBkVtapiVtapkVtapjVBiVBkVBj
CESE Transmisso Anlise de Sistemas Eltricos11sendo:onde:-tenso
nominal do enrolamento (tap) do lado i;-tenso nominal do
enrolamento (tap) do lado k;-tenso nominal do enrolamento (tap) do
lado j;-tenso de base do barramento (i); -tenso de base do
barramento (k);-tenso de base do barramento (j);3-6 Compensadores
SncronosSo representados como geradores sncronos com a potncia
ativa zerada, como indicado na f igura15.QkS0.0(k)S0S Sk' j
QSk(k)MAXMINIMAX MINQIMINBBMAXLIMITEDECORRENTEVVMINVIMAXQ FAIXA
DECONTROLEVREFS SkQSk CESE Transmisso Anlise de Sistemas
Eltricos12Figura 15 Representao da carga, como impedncia constante,
para estudos de f luxo de potnciaTem-se:onde: - potncia complexa em
MVA (ou pu) gerada; - potncia reativa em MVAr (ou pu) gerada.3-7
Compensadores EstticosExistem vrios tipos de compensadores
estticos, como por exemplo:! capacitores e reatores chaveveis
mecanicamente;! reatores saturveis;! capacitores e reatores
controlados (tiristores);!etc. Ummodelobsicosimplif
icadodeumcompensadorestticoedesuacaractersticaestoapresentados na f
igura 16.Figura 16 Representao do compensador esttico para estudos
de f luxo de potnciaQuando o compensador esttico est f uncionando
dentro de sua f aixa de controle ele representadopor umar eatncia(X
)alocadaentreobarramentodosistemanoqualocompensadorestCEconectado e
um barramento auxiliar com tenso f ixa no valor a ser controlado. A
reatncia XvariaCEtipicamente entre 0 e 5% e pode ser obtida das
caractersticas dos componentes e da f aixa de ajuste. CEjXCEV(k)REF
MAXMINjBVI = jB SE >IMAX= jB SE IMAXY B' BMIN'QMAXV2MAXVCE
max' 0.1 MW/MVAr '0.1100' 0.001 pu0YN CESE Transmisso Anlise de
Sistemas Eltricos54Adotando numerao para os barramentos do sistema
apresentado acima e adotando como potnciade base 100 MVA, pode-se
montar o seguinte diagrama unif ilar em pu apresentado na f igura
41. Figura 41 Diagrama unif ilar com os dados do SEPCom os dados
acima pode-se montar a matriz:Admitindo a barra (1) como barra
oscilante, no ser necessrio realizar nenhuma iterao para estabarra.
A tolerncia especif icada corresponde a:V01' 1.040/0.0E pu (barra
V2)V02' 1.035/0.0E pu (barra PV)V03' 1.000/0.0Epu (barra PQ)V04'
1.000/0.0Epu (barra PQ)V05' 1.000/0.0Epu (barra PQ)V06'
1.000/0.0Epu (barra PQ))P2' PI2& V2V2G22% V6(G26cos226%
B26sen226) '' 1.5& 0.0& 1.035[1.035 0.0000% 1.000 0.0000]'
1.5 pu)P3' PI3& V3V3G33% V4(G34cos234% B34sen234)%V6(G36cos236%
B36sen236) '' 0.0& 2.2& 1.000[1.000 5.0143% 1.000
(&3.2295)%% 1.0000 (&1.7848)]'&2.2 pu)P4' PI4&
V4V1(G41cos241% B41sen241) % V3(G43cos243% B43sen243)%V4G44%
V5(G45cos245% B45sen245) '' 0.0& 1.000[1.040 0.0000% 1.000
(&3.2295)%% 1.0000 4.6452 % 1.0000 (&1.4156)]' 0.0)P5'
PI5& V5V4(G54cos254% B54sen254) % V5G55%V6(G56cos256%
B56sen256) '' 0.0& 1.25& 1.000[1.000 (&1.4156)% 1.000
2.4268%% 1.000 (&1.0112)]'&1.25 pu)P6' PI6&
V6V2(G62cos262% B62sen262) % V3(G63cos263% B63sen263)%V5(G65cos265%
B65sen265)% V6G66'' 0.0& 1.000[1.035 0.0000% 1.000
(&1.7848)%% 1.000 (&1.0112)% 1.000 2.7959]' 0.0[ )P0k] [
)Q0k] CESE Transmisso Anlise de Sistemas Eltricos55Adotando como
condio inicial para as tenses das barras os seguintes
valores:pode-seobterosvaloresdoselementosdosvetorese, a f im de
verif icar o erro depotncia:)Q3' QI3& V3(&V3B33%
V4(G34sen234& B34cos234) %V6(G36sen236& B36cos236) ''
0.0& 0.9& 1.000[&1.000 (&24.6092)& 1.000
16.1477&& 1.000 8.9238]'&0.4377 pu)Q4' QI4&
V4V1(G41sen241& B41cos241) % V3(G43sen243&
B43cos243)&V4B44% V5(G45sen245& B45cos245) '' 0.0&
1.000[&1.040 16.6667& 1.000 16.1477&& 1.000
(&43.9909)& 1.000 11.5825]' 1.0727 pu)Q5' QI5&
V5V4(G54sen254& B54cos254) & V5B55%V6(G56sen256&
B56cos256) '' 0.0& 0.5& 1.000[&1.000 11.5825& 1.000
(&19.6452)&& 1.000 8.2732]'&0.2895 pu)Q6' QI6&
V6V2(G62sen262& B62cos262) % V3(G63sen263&
B63cos263)%V5(G65sen265& B65cos265)& V6B66'' 0.0&
1.000[&1.035 16.6667& 1.000 8.9238&& 1.000
8.2732& 1.000 (&33.5968)]' 0.8502 pu* )P03 * ' 2.2 >
0.001 pu)Pn)Qnfngn CESE Transmisso Anlise de Sistemas
Eltricos56Comparando o maior valor do erro de potncia encontrado
acima com o erro tolerado, tem-se:Comissooprocessoiterativoinicia.O
primeiro passo montar a matriz jacobiana. Para isto maisf cilmontar
inicialmente as quatro submatrizes [H], [N], [M] e [L],
comoindicado a seguir, onde erepresentam as f unes e do erro de
potncia. ! Submatriz [H]:[H]'M )P2M22M )P2M 23M)P2M 24M )P2M 25M
)P2M 26M )P3M22M )P3M 23M)P3M 24M )P3M 25M )P3M 26M )P4M22M )P4M
23M)P4M 24M )P4M 25M )P4M 26M )P5M22M )P5M 23M)P5M 24M )P5M 25M
)P5M 26M )P6M22M )P6M 23M)P6M 24M )P6M 25M )P6M 26(2) (3) (4) (5)
(6)H0'&17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 17.25000.0000 &25.0715
16.1477 0.0000 8.92380.0000 16.1477 &45.0636 11.5825
0.00000.0000 0.0000 11.5825 &19.8557 8.273217.2500 8.9238
0.0000 8.2732 &34.4470(2)(3)(4)(5)(6)[M]'M )Q3M 22M )Q3M
23M)Q3M24M )Q3M 25M )Q3M 26M )Q4M 22M )Q4M 23M)Q4M24M )Q4M 25M )Q4M
26M )Q5M 22M )Q5M 23M)Q5M24M )Q5M 25M )Q5M 26M )Q6M 22M )Q6M
23M)Q6M24M )Q6M 25M )Q6M 26(2) (3) (4) (5) (6)M0'0.0000 5.0143
&3.2295 0.0000 &1.78480.0000 &3.2295 4.6452 &1.4156
0.00000.0000 0.0000 &1.4156 2.4268 &1.01120.0000
&1.7848 0.0000 &1.0112 2.7959(3)(4)(5)(6) CESE Transmisso
Anlise de Sistemas Eltricos57Substituindo os valores (iterao 0),
obtm-se:! Submatriz [M]: Substituindo os valores (iterao 0),
obtm-se:[N]'V3M )P2MV3V4M )P2M V4V5 M )P2M V5V6 M )P2M V6V3M
)P3MV3V4M )P3M V4V5 M )P3M V5V6 M )P3M V6V3M )P4MV3V4M )P4M V4V5 M
)P4M V5V6 M )P4M V6V3M )P5MV3V4M )P5M V4V5 M )P5M V5V6 M )P5M V6V3M
)P6MV3V4M )P6M V4V5 M )P6M V5V6 M )P6M V6(3) (4) (5) (6)N0'0.0000
0.0000 0.0000 0.0000&5.0143 3.2295 0.0000 1.78483.2295
&4.6452 1.4156 0.00000.0000 1.4156&2.4268 1.01121.7848
0.0000 1.0112 &2.7959(2)(3)(4)(5)(6)[L ]'V3M )Q3M V3V4M )Q3M
V4V5M)Q3M V5V6M )Q3M V6V3M )Q4M V3V4 M )Q4M V4V5M)Q4M V5V6M )Q4M
V6V3M )Q5M V3V4 M )Q5M V4V5M)Q5M V5V6M )Q5M V6V3M )Q6M V3V4 M )Q6M
V4V5M)Q6M V5V6M )Q6M V6(3) (4) (5) (6)L0'&24.1469 16.1477
0.0000 8.923816.1477 &42.9182 11.5825 0.00000.0000 11.5825
&19.4347 8.27328.9238 0.0000 8.2732 &32.7466(3)(4)(5)(6)
CESE Transmisso Anlise de Sistemas Eltricos58! Submatriz
[N]:Substituindo os valores (iterao 0), obtm-se:! Submatriz
[L]:Substituindo os valores (iterao 0), obtm-se:J0'&17.2500
0.0000 0.0000 0.0000 17.2500 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000
&25.0715 16.1477 0.0000 8.9238 &5.0143 3.2295 0.0000
1.78480.0000 16.1477 &45.0636 11.5825 0.0000 3.2295 &4.6452
1.4156 0.00000.0000 0.0000 11.5825&19.8557 8.2732 0.0000 1.4156
&2.4268 1.011217.2500 8.9238 0.0000 8.2732 &34.4470 1.7848
0.0000 1.0112 &2.79590.0000 5.0143 &3.2295 0.0000
&1.7848 &24.1469 16.1477 0.0000 8.92380.0000 &3.2295
4.6452 &1.4156 0.0000 16.1477 &42.9182 11.5825 0.00000.0000
0.0000 &1.4156 2.4268 &1.0112 0.0000 11.5825&19.4347
8.27320.0000 &1.7848 0.0000 &1.0112 2.7959 8.9238 0.0000
8.2732 &32.7466)P0k)Q0k' &
J0)20k)V0kV0k[0YN])20k)V0kV0k)P0k)Q0k CESE Transmisso Anlise de
Sistemas Eltricos59Nassubmatrizes[H],[M],[N] e [L], pode-se notar o
grau de esparsidade, apesar de ser um
sistemapequeno,emcomparaocomamatrizetambmasimetriaapresentadapelosvaloresnumricos
de seus elementos. ! Matriz jacobiana:A dimenso da matriz jacobiana
ser9 x 9, correspondendo a quatro barras tipo PQ e uma
barratipoPV.Utilizando-sedas submatrizes obtidas pode-se montar a
seguinte matriz jacobiana, paraa primeira iterao:Obtida a matriz
jacobiana pode-se montar a seguinte equao: A equao acima, para
obteno dos vetores incgnitas e, pode ser resolvida devr
iasmaneiras,sendoumadasmaisindicadas,inclusiveparausocomputacional,atravsdatriangularizao
de Gauss da matriz jacobiana e a soluo do sistema resultante por
substituio det r spar af rente.Nopresenteexerccioserf
eitoainversodamatrizjacobiana,vistoquesuadimenso no muito elevada e
em seguida a multiplicao pelo vetor .Invertendo a matriz jacobiana
resulta:J0&1'&0.2088 &0.0908&0.0577 &0.0965
&0.1508 &0.0014 &0.0045 &0.0009 0.0043&0.0908
&0.1078&0.0577 &0.0715 &0.0908 0.0077 &0.0013
&0.0000 0.0018&0.0577 &0.0577&0.0577 &0.0577
&0.0577 0.0000 0.0000 0.0000 &0.0000&0.0965
&0.0715&0.0577 &0.1235 &0.0965 &0.0005
&0.0018 0.0059 0.0019&0.1508 &0.0908&0.0577
&0.0965 &0.1508 &0.0014 &0.0045 &0.0009
0.00430.0014 &0.0077&0.0000 0.0005 0.0014 &0.0778
&0.0398 &0.0369 &0.03110.0045 0.0013&0.0000 0.0018
0.0045 &0.0398 &0.0482 &0.0375 &0.02060.0009
0.0000&0.0000 &0.0059 0.0009 &0.0369 &0.0375
&0.0867 &0.0322&0.0043 &0.0018 0.0000 &0.0019
&0.0043 &0.0311 &0.0206 &0.0322
&0.0469)202)203)204)205)206)V03V03)V04V04)V05V05)V06V06'
&J0
&11.5000&2.20000.0000&1.25000.0000&0.43771.0727&0.28950.8502)20k)V0kV0k
CESE Transmisso Anlise de Sistemas Eltricos60Logo os vetores de
variao ef icam:Resultando
em:)202)203)204)205)206)V03V03)V04V04)V05V05)V06V06'&0.0069&0.1971&0.1125&0.1651&0.09390.00600.03930.01760.0392212'202%)202'
0.0& 0.0069'&0.0069 rad' &0.40E213'203%)203' 0.0&
0.1871'&0.1871 rad'&10.72E214'204%)204' 0.0&
0.1125'&0.1125 rad' &6.45E215'205%)205' 0.0&
0.1651'&0.1651 rad' &9.46E216'206%)206' 0.0&
0.0939'&0.0939 rad' &5.38EV13' V03%)V03' 1.0% 0.0060'
1.0060 puV14' V04%)V04' 1.0% 0.0393' 1.0393 puV15' V05%)V05' 1.0%
0.0176' 1.0176 puV16' V06%)V06' 1.0% 0.0392' 1.0392 pu[ )P1k] [
)Q1k] CESE Transmisso Anlise de Sistemas Eltricos61onde os valores
das correes dos ngulos esto em radianos e os valores das correes de
tensoempu. Comestes valores pode-se obter as tenses e ngulos das
variveis para a primeira
iterao:Comosvaloresacimapode-seobtere,osquaisdevemsercomparadoscom
atolerncia de 0.001 pu. O processo iterativo ir continuar at ser
obtida a convergncia, o qual ocorrecom 3 iteraes. A tabela 3
ilustra os valores encontrados a cada iterao.(2) (3) (4) (5)
(6)[B)] '&16.6667 0.0000 0.0000 0.0000 16.66670.0000
&26.0744 16.7937 0.0000 9.28070.0000 16.7937 &45.2159
11.7556 0.00000.0000 0.0000 11.7556 &20.1524 8.396816.6667
9.2807 0.0000 8.3968 &34.3442(2)(3)(4)(5)(6)(3) (4) (5) (6)[B)]
'&24.6092 16.1477 0.0000 8.923816.1477 &43.9909 11.5825
0.00000.0000 11.5825 &19.6452 8.27328.9238 0.0000 8.2732
&33.5968(3)(4)(5)(6)1.0350/&0.40E 1.0350/&0.74E
1.0350/&0.76E1.0060/&10.72E 0.9823/&10.83E
0.9819/&10.84E1.0393/&6.45E 1.0191/&6.52E
1.0187/&6.53E1.0176/&9.46E 0.9969/&9.54E
0.9966/&9.54E1.0392/&5.38E 1.0230/&5.62E
1.0229/&5.63E)Pmax MW)Qmax MVAr[B)] [ B))][ B)][0YN)][
B))][0YN] CESE Transmisso Anlise de Sistemas Eltricos62Tabela 3
Valores de cada iterao para o mtodo de Newton-RaphsonIterao 1
Iterao 2 Iterao 3Barra (2)Barra (3)Barra (4)Barra (5)Barra (6)7.271
0.052 0.000Barra (3) (3) (3)23.088 0.443 0.000Barra (4) (4)
(4)PelomtodoDesacopladoRpidonecessriomontarassubmatrizese ao invs
damatrizjacobiana,sendoqueestassomontadassomente uma vez no incio
do processo
iterativo.Amatrizobtidadesprezandooselementosshuntdosistema(nocaso,somenteassusceptncias
das linhas de transmisso) e a resistncia de todos os elementos. Com
isso, montandoa matriz pode-se extrair:Amatrizcomonoexistetransf
ormadores def asadores no sistema, extrada diretamenteda
matriz:)PiVi'& [B)] [)2i]1.45&2.200.00&1.250.00'
&&16.6667 0.0000 0.0000 0.0000 16.66670.0000 &26.0744
16.7937 0.0000 9.28070.0000 16.7937 &45.2159 11.7556
0.00000.0000 0.0000 11.7556 &20.1524 8.396816.6667 9.2807
0.0000 8.3968 &34.3442)202)203)204)205)206)202'&0.0197
rad)203'&0.1997 rad)204'&0.1200 rad)205'&0.1765
rad)206'&0.1067 rad212'202%)202' 0.0000& 0.0197'&0.0197
rad' &1.1E213'203%)203' 0.0000& 0.1997'&0.1997
rad'&11.4E214'204%)204' 0.0000& 0.1200'&0.1200 rad'
&6.9E215'205%)205' 0.0000& 0.1765'&0.1765 rad'
&10.1E216'206%)206' 0.0000& 0.1067'&0.1067 rad'
&6.1E[)P0k][)Q0k] CESE Transmisso Anlise de Sistemas
Eltricos63Os elementos do vetor, nesta primeira iterao, so idnticos
aos j obtidos
anteriormente,devidoamesmaestimativainicialadotadaparaastenses.Comooerroresultousuperiortolerncia
especif icada ser necessrio proceder a correo dos ngulos. No mtodo
desacopladorpido, na primeira "meia" iterao, os novos valores dos
ngulos sero dados por: Tem-se ento:Resolvendo o sistema de equaes
lineares acima, obtm-se:Com isto os novos valores dos ngulos passam
a ser:Oselementosdovetor,utilizandoosvaloresdetenso (mdulo da
iterao anterior engulo j corrigido nesta "meia" iterao), so:)Q3'
QI3& V3(& V3B33% V4(G34sen234&
B34cos234)%V6(G36sen236& B36cos236) '' 0.0& 0.9&
1.000[&1.000 (&24.6092)%% 1.000 (&3.2295 sen(&4.5E)
& 16.1477 cos(&4.5E))%% 1.000 (&1.7848 sen(&5.3E)
& 8.9238 cos(&5.3E))]''&0.9500 pu)Q4' QI4&
V4V1(G41sen241& B41cos241)% V3(G43sen243&
B43cos243)&V4B44% V5(G45sen245& B45cos245) '' 0.0&
1.000[&1.040 16.6667 cos(&6.9E)%% 1.000 (&3.2295
sen(4.5E) & 16.1477 cos(4.5E))&& 1.000 (&43.9909)%%
1.000 (&1.4156 sen(3.2E) & 11.5825 cos(3.2E))]'' 1.2150
pu)Q5' QI5& V5V4(G54sen254& B54cos254)&
V5B55%V6(G56sen256& B56cos256) '' 0.0& 0.5&&
1.000[1.000 (&1.7848 sen(&3.2E)& 11.5825
cos(&3.2E)&& 1.000 (&19.6452)%% 1.000 (&1.0112
sen(&4.0E) & 8.2732 cos(&4.0E))]''&0.4785 pu)Q6'
QI6& V6V2(G62sen262& B62cos262)% V3(G63sen263&
B63cos263)%V5(G65sen265& B65cos265)& V6B66'' 0.0&
1.000[&1.035 16.6667 cos(5.0E)%% 1.000 (&1.7848 sen(5.3E)
& 8.9238 cos(5.3E)%% 1.000 (&1.0112 sen(4.0E) & 8.2732
cos(4.0E)&& 1.000 (&33.5968)]' 0.9626 pu* )Q03 * '
1.215 > 0.001 pu CESE Transmisso Anlise de Sistemas
Eltricos64Comparandoo maior valor do erro de potncia reativa
encontrado com o erro mximo tolerado,
tem-se:Comooerroresultouacimadatolerncia,completa-sea iterao (com a
segunda "meia" iterao))QiVi'&[B))]
[)Vi]&0.95001.2150&0.47850.9626'&&24.6092 16.1477
0.0000 8.923816.1477 &43.9909 11.5825 0.00000.0000 11.5825
&19.6452 8.27328.9238 0.0000 8.2732
&33.5968)V03)V04)V05)V06)V03'&0.0159 pu)V04' 0.0214
pu)V05'&0.0016 pu)V06' 0.0240 puV13' V03%)V03' 1.0000&
0.0159' 0.9841 puV14' V04%)V04' 1.0000% 0.0214' 1.0214 puV15'
V05%)V05' 1.0000& 0.0016' 0.9984 puV16' V06%)V06' 1.0000%
0.0240' 1.0240 pu)Q CESE Transmisso Anlise de Sistemas
Eltricos65corrigindo o mdulo das tenses, atravs da equao: Tem-se
ento:Resolvendo o sistema de equaes lineares acima, obtm-se:Com
isto os novos valores dos mdulos das tenses passam a
ser:completa-se assim a primeira
iterao.Oprocessoiterativoircontinuaratserobtidaaconvergncia,oqualocorrena3iterao,
domesmomodoqueno mtodo desacoplado, s que o tempo computacional
gasto f oi menor. A
tabela4ilustraosvaloresencontradosacadaiterao,lembrando que obtido
aps a correo dongulo da tenso.(0SI1)(' 1.040/0.0o(0.0& j
16.6667) 1.040/0.0o%% (0.0% j 16.6667)1.0215/&6.49o''
1.9999& j0.4340 Y0S1' 1.9999% j 0.4340
pu)PmaxMW1.0350/&0.70E 1.0350/&0.71E0.9841/&10.77E
0.9843/&10.78E1.0214/&6.47E
1.0215/&6.49E0.9984/&9.48E
0.9988/&9.49E1.0240/&5.57E 1.0241/&5.58E)Qmax
MVAr0.9843/&10.77E 0.9844/&10.78E1.0215/&6.47E
1.0215/&6.49E0.9988/&9.48E
0.9988/&9.49E1.0241/&5.57E 1.0241/&5.58E CESE
Transmisso Anlise de Sistemas Eltricos66Tabela 4 Valores de cada
iterao para o mtodo Desacoplado RpidoIterao 1 Iterao 2 Iterao
39.626 0.786 0.016Barra (3) (3) (4)Barra
(2)CONVERGNCIAPOTNCIAATIVABarra (3)Barra (4)Barra (5)Barra (6)0.579
0.117 0.007Barra (4) (3) (3)Barra (3)CONVERGNCIAPOTNCIAREATIVABarra
(4)Barra (5)Barra
(6)Comosvaloresdetensoencontrados(mduloengulo)adeterminaodasdemais
grandezaspode ser f eita atravs de clculos diretos, utilizando de f
rmulas j deduzidas no tem anterior. Estesclculos correspondem a 2
etapa de resoluo do f luxo de potncia. Tem-se:! Potncia injetada
pela barra oscilante (1):Pode-se notar que a barra oscilante est f
ornecendo potncia reativa ao sistema.! Potncia reativa injetada
pela barra (2) - PV:QI2' &Im (1.035/&0.71o))((0.0& j
16.6667) 1.035/&0.71o %% (0.0% j16.6667) 1.0241/&5.58o'
0.2511 pu0S14' 1.9999% j0.4334 pu0S26' 1.5017% j0.2511
pu0S34'&0.6610& j0.3058 pu (por LT)0S36'&0.8763&
j0.2895 pu0S41'&1.9999& j0.2011 pu0S45' 0.6535% j0.1180
pu0S43' 0.6723% j0.0420 pu (por LT)0S54'&0.6488& j0.2588
pu0S56'&0.5998& j0.2419 pu0S62'&1.5017& j0.1213
pu0S65' 0.6052% j0.0351 pu0S63' 0.8939% j0.0868 pu)0S14'0S14%0S41'
0.0000% j 0.2323 pu)0S26'0S26%0S62' 0.0000% j 0.1298
pu)0S34'0S34%0S43' 0.0113& j 0.2638 pu (por LT))0S36'0S36%0S63'
0.0176& j 0.2027 pu)0S45'0S45%0S54' 0.0045& j 0.1408
pu)0S56'0S56%0S65' 0.0054& j 0.2068 pu CESE Transmisso Anlise
de Sistemas Eltricos67oquesignif icaqueo gerador da barra (2) tambm
est f ornecendo potncia reativa ao sistema.! Fluxo nas ligaes do
sistema:! Perda de potncia nos ramos do sistema:! A perda ativa
total ser dado pela soma de todas as perdas nos ramos do sistema:)
Ptotal' )P14%) P26% 2) P34%) P36%)P41%) P45%) P56'' 0.0501 pu) PI'
PI1% PI2% PI3% PI5' 1.9999% 1.5& 2.2& 1.25' 0.0499 pu1.
0400.0 o0. 984 -10.8 o65. 428. 9125 MW50 MVArALFA-GERALFA
BETATETA-GERTETAGAMA 220 MW 90 MVAr1.035 -0.7 o0.999 -9.5 o1.024
-5.6 o1.022 -6.5 o200. 043. 425. 1150. 02 x 66. 12 x 30. 611. 83.
587. 660. 58. 789. 42 x 67. 22 x4. 2 CESE Transmisso Anlise de
Sistemas Eltricos68valor este que praticamente coincide com a soma
das potncias injetadas pelas barras:a menos de um pequeno erro
(0.002 pu = 0.2 MW), perf eitamente aceitvel.Os resultados do f
luxo de potncia se encontram plotados na f igura 42.Figura 42
Resultados do f luxo de potncia7 REFERNCIAS 1 - Introduo Teoria de
Sistemas Eltricos de Potncia, Olle I. Elgerd, Mc Graw Hill do
Brasill,1978. 2 - Computer Methods in Power System Analysis, G.W.
Stagg, A..H. El-Abiad, Mc Graw Hill, 1968. 3 - Anlise de Sistemas
de Potncia, J.C. Tibrcio, EFEI. 4 -Elementos de Anlise de Sistemas
de Potncia, Willian D.Stevenson Jr,Mc Graw Hill, 1975. 5 - Si
stemaEltricosdePotncia-RegimePermanente,volume2",D.S.Ramos,E.M.DiasGuanabara
2, 1982. 6 -Electric Power Systems, Syed A. Nasar, Schaums Outline
Series, McGraw Hill, 1990. 7 - Modern Power Systems,
J.R.Neuenswander, International Textbook Company, 1971. 8 - Power
System Analysis, C.A.Gross, John Wiley & Sons, 1979. CESE
Transmisso Anlise de Sistemas Eltricos69 9 - Fluxo de Carga em
Redes de Energia Eltrica, A.Monticelli, Edgard Blcher Ltda, 1983.
10 -
FluxodePotncia-MtododeNewton-Raphson,C.M.V.Tahan,DissertaodeMestrado,EPUSP,
1978. 11 - Aspectos Tericos Relacionados a Soluo de Fluxos de
Potncia, M.A.P.Lef vre, 1978.
