6. Mtodo Newton-Raphson

A soluo do problema de fluxo de potncia consiste basicamente na determinao das tenses (mdulo e fase) nas diversas barras do sistema, seguido do clculo das potncias geradas nas unidades geradoras, e dos fluxos de potncia nas linhas e transformadores. O mtodo de Newton-Raphson um mtodo eficiente na soluo deste tipo de problema conforme ser apresentado a seguir.

6.1 Introduo Na formulao do problema do fluxo de potncia considera-se as equaes

bsicas do fluxo de potncia desdobradas na forma de duas equaes reais. Conforme visto no capitulo trs, as barras do sistema foram classificadas em trs categorias: barras de carga, de gerao e de referncia. Nas barras de carga so conhecidas as potncias ativa e reativa, as magnitudes e os ngulos de fase das tenses so as variveis a serem determinadas. Nas barras de gerao so especificadas as magnitudes das tenses e as potncias ativa das unidades geradoras, as variveis a serem determinadas so os ngulos de fase das tenses e as potncias reativa geradas nas unidades. Na barra de referncia especifica-se a magnitude e o ngulo de fase da tenso, geralmente igual a zero, e calcula-se as potncias ativa e reativa geradas.

As equaes no lineares associadas ao problema de fluxo de potncia so equaes envolvendo as funes seno e cosseno, alm da funo quadrtica. Para se ter uma ideia, vamos obter as equaes do sistema de duas barras mostrado na figura a seguir. Considere a barra dois (2) uma barra de carga e a barra um (1) deve assumir a barra de referncia.

Figura 6.1 A linha de transmisso possui impedncia srie zsrie = 0.2 + j1.0 (pu) e

admitncia shunt de yshunt = j0.02 (pu). Admitindo-se conhecida a carga na barra dois, onde P2 = 0,3 pu e Q2 = 0,07 pu, e especificando-se a tenso na barra de referncia em

V1 = 1,0 pu, e a fase 1 = 0,0. As variveis do problema so a magnitude e o ngulo da tenso na barra 2 (V2,2), e as equaes do fluxo de potncia sero descritas por:

0,1923(V2)2 0,1923V2cos(2) + 0,9615V2sen(2) + 0,30 = 0

0,9415 (V2)2 0,1923V2sen(2) 0,9615 V2cos(2) + 0,07 = 0

Portanto, o problema do fluxo de potncia se resume na soluo dessas equaes

para V2 e 2, seguido do clculo das potncias ativa e reativa na barra de referncia.

6.2 Soluo de equaes algbricas no lineares via Newton-Raphson

Considere um sistema de duas equaes algbricas no lineares a duas incgnitas:

f1 ( x1, x2) = 0 (6.1a) f2 ( x1, x2) = 0 (6.1b)

onde f1 e f2 representam as funes no lineares, e x1 , x2 as variveis. Fazendo k = 0, e tomando-se,

( x1(k), x2(k) )

como uma estimativa inicial para soluo das equaes no lineares (6.1a) e (6.1b). Define-se as correes ( x1(k), x2(k) ) necessrias para que a soluo estimada

(x1(k), x2(k) ) resolva o sistema de equaes (6.1). Assim, substituindo-se a soluo corrigida, obtm-se:

f1 ( x1(k) + x1(k), x2(k) + x2(k) ) = 0 f2 ( x1(k) + x1(k), x2(k) + x2(k) ) = 0

Expandindo essas equaes numa srie de Taylor, em torno da soluo estimada obtm-se:

f1( x1(k), x2(k)) + x1(k) f1/x1k + x2(k) f1/x2k 0 f2( x1(k), x2 (k)) + x1(k) f2/x1k + x2(k) f2/x2k 0

Essas equaes podem ser reescritas em forma matricial, isto ,

=

+

00

*),(),(

2

1

2212

2111

212

211k

k

kk

kk

x

x

xfxfxfxf

xxfxxf

(6.2)

onde a matriz de derivadas parciais chamada de matriz Jacobiana das funes f1 e f2 . O mtodo de Newton-Raphson consiste de um procedimento iterativo no qual, a

partir de uma soluo estimada x(k), obtm-se uma soluo mais precisa x(k+1) por:

x1(k+1)

= x1(k)

+ x1(k)

x2(k+1)

= x2(k)

+ x2(k)

onde x1(k), x2(k) so calculados resolvendo-se o sistema de equaes lineares (6.2), reescrito como:

=

),(),(

*

212

211

2

1

2212

2111kk

kk

k

k

xxfxxf

x

x

xfxfxfxf

(6.3)

O processo iterativo se repete at que algum critrio de convergncia seja atingido. Geralmente considera-se a norma do resduo, isto , do valor da funo calculada na soluo corrente, como critrio de parada.

Exerccio 6.1: Resolver, com auxlio do Matlab ou do Scilab, as equaes no lineares a

seguir, para as variveis V2 e 2, f1(V2, 2) = 0,1923(V2)2 0,1923V2cos(2) + 0,9615V2sen(2) + 0,30 f2(V2, 2) = 0,9415 (V2)2 0,1923V2sen(2) 0,9615 V2cos(2) + 0,07

usando o mtodo de Newton-Raphson. Considere uma tolerncia igual a 0.01.

Inicialize V2 com 1.0 pu e 2 com 0.0 rad. Algoritmo:

1 passo: Calcule as funes: f1(V2, 2) e f2(V2, 2) 2 passo: Teste a convergncia:

Se f1(V2, 2) e f2(V2, 2) tolerncia, fim do processo iterativo. Se no:

3 passo: Calcule o Jacobiano de f1 e f2

4 passo: Monte e resolva o sistema linear para ( V2(k), 2(k) ) 5 passo: Atualize as variveis (V2, 2) e retorne ao primeiro passo.

Os resultados esto resumidos na tabela a seguir:

iterao V2(pu) 2(rad) f1 f2 1 1.000 0.000 0.300 0.050 2 0.8854 -0.2891 0.0449 0.0406 3 0.7982 -0.3609 0.0079 0.0060

6.3 Extenso do Mtodo de Newton-Raphson para Problemas de Grande Porte

Considere as n equaes algbricas no lineares, com n variveis, organizadas num vetor de funes F(x) escrito como:

F(x) = f1(x1, x2, ... , xn), f2(x1, x2, ... , xn), ... , fn(x1, x2, ... , xn) t onde fi so funes no lineares e xi as variveis.

Admitindo x(k) = ( x1(k), x2(k), ... , xn(k) ) uma estimativa para soluo de F(x) = 0, e definindo-se x(k) = (x1(k), x2(k), ... , xn(k)) como seno um vetor de correes necessrias para que a soluo estimada resolva o problema. Assim, o problema pode ser reescrito como:

F( x(k) + x(k) ) = 0

Uma aproximao da soluo pode ser obtida fazendo-se a expanso do vetor de funes, numa srie de Taylor, em torno da soluo corrente, isto ,

F( x(k) ) + J(x)(k) x(k) 0

onde J(x)(k) = F(x)/xk a matriz Jacobiana de F(x) cuja estrutura mostrada a seguir:

( )

=

nnnn

n

n

k

xfxfxf

xfxfxfxfxfxf

...

:::

...

...

21

22212

12111

xJ

O valor atual da soluo corrente, isto x(k+1), obtida por:

x(k+1) = x(k) + x(k)

onde x(k) calculado resolvendo-se o sistema linear a seguir:

x(k) = - F(x)(k) [J(x)(k)]-1

O algoritmo a seguir resume, passo a passo, o mtodo de Newton-Raphson para soluo de um sistema de equaes no lineares do tipo F(x) = 0. Faa: k = 0 ; Estimar uma soluo inicial: x(k) = ( x1(k), x2(k), ... , xn(k) )

Enquanto a convergncia no for atingida Calcule F(x)(k)

Teste de convergncia: Se | F(x)(k) | menor que uma tolerncia especificada: O processo convergiu com soluo x(k)

Fim se.

Calcule a matriz jacobiana J(x)(k)

Resolva o sistema linear para (x)(k)

J(x)(k) x(k) = - F(x)(k)

Atualize a soluo corrente:

x(k+1) = x(k) + x(k)

Faa k = k + 1 ; Fim enquanto

6.4 Soluo do fluxo de potncia via Newton-Raphson

Considera as equaes bsicas do fluxo de carga conforme a seguir:

j

N

jijiii VYVjQPS i

=

==

1

**

(6.4)

Onde ijY so os elementos da matriz admitncias de barra. Esses elementos

podem ser expressos na forma retangular como:

( )( )ijijijijn

jjii

ijijijij

n

jjii

BGVVQ

BGVVP

cossen

sencos

1

1

=

+=

=

=

ijijijijij jBGYY +== || (6.5) onde G uma matriz de condutncias, e B uma matriz de susceptncias.

A equao (6.4) pode assumir duas componentes reais: uma expressa a potncia ativa, isto a parte real, e a outra expressa a potncia reativa ou parte imaginria da equao. Com esta separao, obtm-se duas equaes reais para cada uma das barras do sistema, conforma a seguir:

( )( )ijijijijn

jjii

ijijijij

n

jjii

BsenGVVQ

senBGVVP

cos

cos

1

1

=

+=

=

=

onde ij refere-se a diferena angular entre barras adjacentes, isto , ( i - j ). Generalizando para um sistema com N barras, e considerando que so definidas

duas equaes para cada barra, teremos que resolver 2N equaes reais e no lineares. Essas equaes so chamadas de equaes fluxo de potncia.

Deve ser observado que para cada barra foram definidas quatro variveis, entretanto s foram definidas duas equaes. Para viabilizar a resoluo do sistema de 2N equaes contendo 4N variveis, ser necessria a especificao de duas das quatro variveis, ficando as outras duas restantes a serem determinadas. Esse o clssico

problema de fluxo de potncia. A utilizao do mtodo de Newton-Raphson requer as equaes do fluxo de

potncia expressas na forma de duas equaes reais, definidas para cada barra, uma para potncia ativa outra para reativa, isto ,

(6.6a)

(6.6b)

onde n o nmero de barras do sistema. Considerando npq e npv o nmero de barras de carga e de gerao

respectivamente, e adicionando-se uma barra de referncia, o nmero de equaes ser: N = npq + npv + 1

A soluo das N equaes pode ser obtida em duas etapas distintas: 1) Calcula-se a magnitude e o ngulo da tenso em todas as barras PQ juntamente com o ngulo de tenso nas barras PV. Neste subproblema resolve-se um sistema com (2*npq) + npv equaes no lineares, com o mesmo nmero de variveis. 2) Aps a resoluo do subproblema formulado na primeira etapa, as variveis magnitude e o ngulo da tenso so conhecidas em todas as barras do sistema. Calcula-se ento a potncia ativa e reativa geradas na barra de referncia, assim com a potncia reativa em todas as barras de gerao.

As variveis do problema descrito na primeira etapa podem ser agrupadas num vetor de variveis dado por:

=

V

x

onde o subvetor formado pelos ngulos de fase possui dimenso (npq + npv), e o subvetor de mdulo da tenso V possui dimenso (npq). As equaes das potncias ativa e reativa podem ser reescritas como:

P = P

esp P (V, ) (para barras PV e PQ)

Q = Q

esp Q(V, ) (para barras PQ)

onde P esp o vetor de injees de potncia ativa especificado nas barras PQ e PV ,e Q esp

o vetor de injeo de potncia reativa especificado nas barras PQ. As quantidades P(V,) e Q(V,) so calculadas a partir das equaes bsicas do fluxo de potncia.

A matriz Jacobiana possui dimenso (2npq + npv , 2npq + npv), e expressa como:

=

VQQ

VPP

J

Considerando-se as expresses de P e Q com P

esp e Q

esp constantes a matriz

assume a expresso:

=

VQQVPP

J (6.7)

As submatrizes que compem a matriz Jacobiana J so normalmente representadas pelas letras H, N, M e L onde

H = P/, N = Q/ , M = P/V e L = Q/V

Exerccio 6.2: Considere o sistema de cinco barras mostrado no diagrama unifilar da figura 6.2.

Figura 6.2: Diagrama unifilar do sistema de cinco barras.

a) Classifique as barras e identifique as variveis dependentes, independentes e parmetros.

b) Identifique os elementos do vetor resduo, da matriz jacobina e do vetor de correes definidos na formulao do fluxo de potencia via Newton-Raphson ;

c) Monte o sistema linear resultante da aplicao do mtodo de Newton, apresente a dimenso das matrizes.

6.5 Elementos da Matriz Jacobiana As expresses para os elementos das submatrizes H, N, M e L, com a tenso

representada na forma polar, so dadas por:

H(i,j) = ViVj ( G(i,j) cos(i,j) B(i,j) sen(i,j) ) (6.8a) H(i,i) = Qi Vi2 B(i,i) (6.8b) N(i,j) = Vj ( G(i,j) cos(i,j) + B(i,j) sen(i,j) ) (6.8c) N(i,i) = Vi-1 ( Pi Vi2 G(i,i) ) (6.8d) M(i,j) = ViVj ( G(i,j) cos(i,j) + B(i,j) sen(i,j) ) (6.8e) M(i,i) = Pi Vi2 G(i,i) (6.8f) L(i,j) = Vj ( G(i,j) sen(i,j) B(i,j) cos(i,j) ) (6.8g) L(i,i) = Vi-1 ( Qi Vi2 B(i,i) ) (6.8h)

Exerccio 6.3: Considerar o sistema de trs barras e trs linhas cujos dados em p.u., esto tabelados a seguir.

Dados de barra Barra Tipo Tenso Gerao (pu) Carga (pu)

(pu) P Q P Q 1 V 1+j0 - ---- - - 2 PV 0.99 0.05 - - - 3 PQ - - - 0.22 0.06

a) Montar a matriz de admitncia de barra Ybarra; b) Estime valores iniciais para tenso; c) Calcule, para a primeira iterao, o vetor resduo, os elementos da matriz Jacobiana; d) Realize o calculo da primeira iterao do mtodo de Newton.

6.6 Algoritmo para o mtodo de Newton Apresenta-se a seguir o algoritmo para desenvolvimento de um programa de

computador para o clculo de fluxo de potncia pelo mtodo de Newton.

Leitura dos dados do sistema; Montagem da Matriz Ybarra; Estimar uma soluo inicial : Vi(0), (para as barras PQ )

i(0) , (para as barras PQ e PV) k = 0;

Enquanto a convergncia no for atingida Calcule:

P = P

esp P (V, ) (para barras PV e PQ)

Q = Q

esp Q(V, ) (para barras PQ)

Teste de convergncia:

Se | P e Q | menor que uma tolerncia especificada: O processo convergiu

Fim se.

Calcule a matriz jacobiana

=

VQQVPP

J

Resolva o sistema linear para e V

=

V

QP

VQQVPP

Atualize a soluo corrente:

= + V = V + V

Faa k = k + 1 ; Fim enquanto

Calcule:

( )( ) )(cos

)(cos

1

1

PVePQbarrasparaBsenGVVQ

PQbarrasparasenBGVVP

ijijijij

n

jjii

ijijijij

n

jjii

=

+=

=

=

Calcule os fluxos nas linhas:

Exerccio 6.4: Com base no conhecimento adquirido at o momento, voc incentivando a desenvolver um programa Matlab/Scilab para implementar o algoritmo de clculo do fluxo de potncia. Teste seu programa no sistema de seis barras cujos dados so apresentados a seguir.

Figura 6.4: Diagrama unifilar do sistema de seis barras

Dados de barra nmero

da barra

nome da

barra

tenso (pu)

ngulo (rad)

potncia ativa

gerada

potncia reativa gerada

potncia ativa

demandada

potncia reativa

demandada 1 barra-1 1.06 0.00 2 barra-2 1.06 0.00 80.0 3 barra-3 1.00 0.00 55.0 13.0 4 barra-4 1.00 0.00 00.0 00.0 5 barra-5 1.00 0.00 30.0 18.0 6 barra-6 1.00 0.00 50.0 5.0

Dados da rede eltrica Barra

origem Barra

destino Resistncia

(%) Reatncia

(%) 1 4 8.00 37.00 1 6 12.30 51.80 2 3 72.30 105.00 2 5 28.20 64.00 3 4 0.00 13.30 4 6 9.70 40.70 5 6 0.00 30.00