PROF. NILO

PRODUTO ESCALAR PRODUTO ESCALAR ( OU INTERNO )( OU INTERNO )

Como visto anteriormente, temos que os Como visto anteriormente, temos que os vetores e são dados por :vetores e são dados por :u

v

),,( cbau = ),,( fedv =

E também que E também que os seus os seus módulos são módulos são dados por :dados por :

222 cbau ++=

222 fedv ++=

u

v

vu −

θAplicando a Lei dos Aplicando a Lei dos Cossenos, temos :Cossenos, temos :

Vejamos graficamente Vejamos graficamente a Diferença de Vetores : a Diferença de Vetores :

θcos...2222

vuvuvu −+=−

Temos também que :Temos também que :

),,(),,( fedcbavu −=−

),,( fcebdavu −−−=−

II

),,( fcebdavu −−−=−

222 )()()( fcebdavu −+−+−=−

222 cbau ++=

222 fedv ++=

2222cbau ++=⇒

2222fedv ++=⇒

2222)()()( fcebdavu −+−+−=−

Aplicando de volta na equação I, temos :Aplicando de volta na equação I, temos :

=−+−+− 222 )()()( fcebda222 cba ++ 222 fed +++ θcos...2 vu

−Desenvolvendo as operações indicadas, Desenvolvendo as operações indicadas, temos :temos :

=−−−+++++ cfbeadfedcba 222222222

222 cba ++ 222 fed +++ θcos...2 vu−θcos...2222 vucfbead

−=−−−Dividindo tudo por (Dividindo tudo por (−− 2), 2), temos :temos : θcos..... vufcebda

=++

θcos..... vufcebda=++

Essa soma de produtos das coordenadas dos Essa soma de produtos das coordenadas dos vetores por , chamamos de produto vetores por , chamamos de produto escalar de por .escalar de por .

u

v

u

v

Podemos denotar escalar por .Podemos denotar escalar por .u

v

vu

.

θcos... vuvu =

fcebdavu .... ++=Então :Então :

Logo :Logo :

cfbeaduv .... ++=

θcos... vuvu

=

fcebdavu .... ++=

O produto escalar O produto escalar ( ou interno ), serve ( ou interno ), serve para o cálculo do para o cálculo do ângulo ângulo θθ entre os entre os vetores e .vetores e .

O produto escalar O produto escalar ( ou interno ), serve ( ou interno ), serve para o cálculo do para o cálculo do ângulo ângulo θθ entre os entre os vetores e .vetores e .u

v

O produto escalar é comutativo. O produto escalar é comutativo. O produto escalar é comutativo. O produto escalar é comutativo.

uvvu

.. =PRODUTO PRODUTO ESCALAR ESCALARPRODUTO PRODUTO ESCALAR ESCALAR

u

v

vu −

θ

<=>

0v.u obtuso, é

0v.u reto, é

0v.u agudo, é

θθ

θ

2. então , 0º temos,vu uuuse

=== θ

θcos... vuvu =

fcebdavu .... ++=

Desigualdades :Desigualdades :

CauchyCauchy−− SchwarsSchwarsCauchyCauchy−− SchwarsSchwars vuvu +≤.

θcos... vuvu =

Pelo Produto Escalar, temos que :Pelo Produto Escalar, temos que : Logo :Logo :

vu

vu

.

.cos =θ

Lembrando que :Lembrando que :

⇒≤≤− 1cos1 θvu

vu

.

.cos =θ

⇒≤≤− 1.

.1

vu

vu

vuvu +≤.

yy

OOi

j

k

xx

zz

u

São os cossenos dos São os cossenos dos ângulos que um vetor ângulos que um vetor qualquer forma com os qualquer forma com os eixos coordenados.eixos coordenados.

u

Marcamos inicialmente um vetor Marcamos inicialmente um vetor representante do vetor dado que tenha representante do vetor dado que tenha como ponto origem, a origem do sistema de como ponto origem, a origem do sistema de coordenadas. Os ângulos , e são os coordenadas. Os ângulos , e são os ângulos formados com os ângulos formados com os eixos coordenadoseixos coordenados, , dos quais desejamos calcular os dos quais desejamos calcular os cossenoscossenos ditos ditos diretoresdiretores..

u

u

α β δ

yy

OO

i

j

k

xx

zz

u

u

αβ

δ

Calculando os produtos escalares Calculando os produtos escalares do vetor com os vetores do vetor com os vetores unitários , e , obtemos : unitários , e , obtemos :

i

j

k

=

==

δβα

cos...

cos...

cos...

kuku

juju

iuiu

=

==

δβα

cos...

cos...

cos...

kuku

juju

iuiu

onde :onde :

222 cbau ++=

1=== kji

),,( cbau =

)0,0,1(=i

)0,1,0(=j

)1,0,0(=k

α++= cos.1.cba)0,0,1).(c,b,a( 222

222cos

cba

a

++=α

β++= cos.1.cba)0,1,0).(c,b,a( 222

δ++= cos.1.cba)1,0,0).(c,b,a( 222

222cos

cba

c

++=δ

222cos

cba

b

++=β