Profº. Marcus Vinicius

Limite trigonométrico fundamental Seja a função *

:f →ℝ ℝ , definida por ( ) .sen x

f xx

= Considerando 0

lim ,x

senx

x→ vamos

tomar alguns valores para x e calcular ( ) .sen x

f xx

=

x

Sen x ( ) .

sen xf x

x=

- 0,04 - 0,039989 0,999733 -0,03 -0,029995 0,999850 -0,02 -0,019998 0,999993 -0,01 -0,009999 0,999983 -0,001 -0,000999 0,999999 0,04 0,039989 0,999733 0,03 0,029995 0,999850 0,02 0,019998 0,999933 0,01 0,009999 0,999983

0,0001 0,000999 0,999999

Observando a tabela, notamos que, para valores cada vez mais próximos de 0, obtemos valores

de ( ) .sen x

f xx

= cada vez mais próximos de 1. Assim temos: 0

lim 1x

senx

x→=

Demonstração:

Para , temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

Invertendo, temos:

Mas:

•

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• g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então,

. Logo,

Relações trigonométricas:

xx

cos1

sec = senx

x1

seccos = x

senxtgx

cos=

senx

xgx

coscot =

1cos22 =+ xxsen xxsen 22 cos1−=

xsenx 22 1cos −=

Exemplos:

a) 12lim

2

==→

ππ

sensenxx

b) 02

coscoslim2

==→

ππ

xx

c) 111

0cos1

cos1

sec limlim00

====→→ x

xxx

d) 212

.1

211

6

11seccos limlim

66

=====→→

πππ sensenxx

xx

e) 312

.23

2123

3cos

3coslimlim

33

=====→→

π

π

ππ

sen

x

senxtgx

xx

f) 122

22

2

2.

2

2

22

22

4

4coscos

cot limlim44

======→→

π

π

ππ sensenx

xgx

xx

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EXERCÍCIOS

1) Resolva os limites de funções trigonométricas:

a) 2

3

limx

sen xπ→

=

f) =→

xx

coslimπ

b) 2

3

coslimx

xπ→

=

g)

3

seclimx

xπ→

=

c)

4

limx

sen xπ→

=

h)

3

cosseclimx

xπ→

=

d)

4

coslimx

xπ→

= i)

6

limx

tg xπ→

=

e) limx

sen xπ→

=

j) 3

4

limx

tg xπ→

=