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7/30/2019 Lista Otimizacao Com Gabarito
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Lista de exerccios - Clculo Diferencial e Integral I
Problemas de Otimizao
1) De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer
uma calha dobrando as bordas perpendicularmente folha. Quantos
centmetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha
capacidade mxima?
2) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina
de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da
cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes.
Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de
volume mximo.
3) Um recipiente cilndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375 cm3.
O custo do material usado para a base do recipiente de 15 centavos o cm2 e
o custo do material usado para a parte curva de 5 centavos por cm2. Se no
h perda de material, determine as dimenses que minimizem o custo do
material.
4) Determine o volume mximo de um cilindro circular reto que pode ser
inscrito em um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do
cilindro e do cone coincidem.
5) Deve-se construir um tanque para armazenamento de gs propano em
forma de cilindro circular reto com dois hemisfrios nas extremidades. O custo
de metro quadrado dos hemisfrios o dobro do custo da parte cilndrica. Se a
capacidade do tanque deve ser de 10 cm3, que dimenses minimizar o custo
da construo?
6) Uma bateria de voltagem fixa V e resistncia interna fixa r est ligada a um
circuito de resistncia varivel R. Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito I
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=)rR(
V
+. Se a fora resultante dada por P = I2.R, mostre que a fora
mxima ocorre quando R = r.
7) Um projtil lanado verticalmente para cima com uma velocidade de 120
m/s. Pela fsica sabemos que sua distncia acima do solo aps t segundos s(t)
= - 4,9t2 + 120t.
a) Determine em que instante e com que velocidade o projtil atinge o
solo.
b) Determine a altura mxima alcanada pelo projtil.
c) Determine a acelerao em um instante t arbitrrio.
8) Um fabricante de mveis estima que o custo semanal da fabricao de x
reprodues (manuais) de uma mesa colonial dado por C(x) = x
3
3x
2
80x+ 500. Cada mesa vendida por R$ 2800,00. Que produo semanal
maximizar o lucro? Qual o mximo lucro semanal possvel?
9) Uma lata cilndrica fechada pode conter 1 litro (1000 cm3) de lquido. Como
poderamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na
confeco da lata?
10) O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma rea de
piquenique para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve
ser retangular, com uma rea de 5000 metros quadrados, e dever ser
cercada nos trs lados no-adjacentes estrada. Qual a menor quantidade
de cerca que ser necessria para completar o trabalho?
11) No projeto de avies, uma caracterstica importante o chamado fator de
arraste, isto , a fora de freagem exercida pelo ar sobre o avio. Um modelo
mede o arraste por uma funo da forma F(v) = Av2 +2v
B, onde A e B so
constantes positivas. Descobre-se experimentalmente que o arraste
minimizado quando v = 160 mph. Use esta informao para encontrar a razo
A
B.
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Sugestes para a resoluo e gabarito
1) x = 7,5 cm
2) V = x(40 2x)(52 2x)x = 7,47 cm
3) V = 375 cm3V = r2h = 375
h =2r
375
Custo = 15(r2) + 5(2rh)
C = 15(r2) + 5(2r2r
375 )
C = 15r2 + 3750r -1
C(r) = 0
30r - 3750r -2 = 0
r = 5 cm
h = 15 cm
4) Fazendo semelhana de tringulos
4
12
r4
h=
h = 3(4 r)
V = r2h = r2(3)(4 r)
r =3
8
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5)r = 3152
1m
h = 3152 m
6) I =rR
V
+
P = I2 R
P = RrR
V2
+
P(R) = 0
R = r
7)a) 4,9t2 + 120t = 0t = 0 ou t = 24,5
O projtil atinge o solo aps 24,5 segundos
v(t) = s(t) = 9,8 + 120
s(24,5) = 120,1 m/s
v(24,5) = 120,1 m/s
b) v(t) = 0
t = 12,24 s
c) a(t) = s(t) = 9,8 m/s2
8)Lucro = L(x)Receita = R(x)
Custo = C(x)
L(x) = R(x) C(x)
L(x) = 2800x (x3 3x2 80x + 500)
L(x) = 0
Resposta: x = 32 mesas
L(32) = 61 964 unidades monetrias
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9) V = 1000 cm3V = r2h = 1000
h =2r
1000
Material = 2r2 + 2rh
M(r) = 2r2 + 2r2r
1000
M(r) = 0
r = 3500
5,42 cm
h = 10,84 cm = 2r
10) A = 5000 m2A = xy = 5000
y =x
5000
Cerca = 2x + y
C(x) = 2x +x
5000
C(x) = 0
x = 50m
y = 100m
11) F(v) = Av2 +2v
B
F(v) = 0
A
B= (160)4