8/16/2019 Lista Prova II - Calculo II

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1) Seja (,,) = 1. Determine:

(a) f  x (x,y,z) (b) f y (x,y,z) (c) f z (x,y,z)(d) f  x (1,y,z) (e) f y (1,2,z) (d) f z (1,2,3)

2) Determine f  x , f y  e f z  para (,,) = ln(cos) 

3) Seja (,,) = 7 . Determine:

(a) f  xy   (b) f yz (c) f  xz (d) f zz  (e) f zyy   (f) f  xxy   (g) f zyx   (h) f  xxyz

4) Em cada parte, mostre que u(x,y) e v(x,y) satisfazem as equações deCouchy – Riemann

=

  =

 

(a)

=

  ; = 2  

(b) = ; = 

(c) = l n( )  ; = 2 −  

5) Suponha que =   , =cos, =. Use a regra da cadeia

para determinar quando =

 

6) Mostre que as superfícies =     e = ( )

 

intersectam em (3,4,5) e tem um plano tangente em comum nesse ponto.

7) Determine ∇ 

(a) = 4 8  

(b) =    

8) Determine o gradiente de f no ponto indicado:

(a) (, ) = ( );(1,1) (b) (, ) = l n( ) ; (3,4) 

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO - UFRRJINSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DEMATLISTA DE CÁLCULO II

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9) Determine a derivada direcional de f em P:

(a) (, ) = (1 ); (3,1); =

√  √   

(b) (, ) = ln(1 ) ; (0,0); =

  (c) (, ,) = ; (1, 2, 0); = 2 2  

10) uma partícula move-se ao longo de uma trajetória C dada pelas

equações = = . Se = , determine  ao longo de C no

instante quando a partícula está no ponto (2,-4).

11) A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela função(,,) = .  Um mosquito localizado em (1,2,1) deseja esfriar-se o mais rápido possível. Em que direção e sentido ele deve voar?

GABARITO

1 ) (a) 2   (b) 4   (c) 3 2(d) 2   (e) 32 1  (f) 438

2)   ,

  ,ln( cos )  

3) (a) 157 2  (b) 354 3  (c) 21 

(d) 42  (e) 140 6  (f) 307 

(g) 105  (h) 210^4 

4) Demonstração

5) | =

=  

6) Demonstração

7) (a) 4 8   (b)

+   +   

8) (a) 3612  (b) 4 4  

9) (a) 6√ 2  (b) √   (c) -3

10)

√ 7 

11) ∇(1,2,1) = (2, 4,2)