Departamento de Informtica Universidade Federal da Paraba

Sinais e Sistemas Dinmicos 2015.1

prof. Hugo Leonardo Davi de Souza Cavalcante

Problemas recomendados Lista 01: Nmeros complexos, transformaes do tempo, integrais, equaes diferenciais, sries.

Notao: j=1 .

1 Calcule cada uma das expresses seguintes para o nmero complexo z=12e j /4 .

(a) e {z } (parte real de z).

(b) m{ z} (parte imaginria de z).

(c) z (mdulo ou valor absoluto de z).

(d) { z } (ngulo, ou argumento de fase de z no plano complexo).

(e) z (* representa complexo-conjugado).

(f) z+z.

2 Seja z um nmero complexo arbitrrio.

(a) Mostre que

e {z }= z+z

2.

(b) Mostre que

j m{ z }= zz

2.

3 Usando a frmula de Euler, e j=cos+ j sen , demonstre as seguintes relaes:

(a) cos= ej+e j

2.

(b) sen= eje j

2j.

4 Seja z=r e j . Expresse as seguintes funes de z na forma polar, ou seja, determine o ngulo de fase e a

magnitude das expresses complexas abaixo:

(a) z. (b) z2 .

1/2

(c) jz .

(d) z z.(e)

zz

.

(f) 1z

.

5 Para cada item da questo anterior, desenhe o vetor no plano complexo correspondendo sua resposta, com

valores r=23,=/6 .

6 Mostre que (1ej ) = 2sen(2 )e j [()/2 ] .

7 Para x (t ) indicado na figura, faa um esboo de:

(a) x (t) .

(b) x (t+2).

(c) x (2t+2) .

(d) x (13t ).

8 - Calcule as seguintes integrais definidas:

(a) 0ae2t dt .

(b) 2e3t dt .

9 Encontre a soluo geral x (t ) das equaes abaixo, se possvel satisfazendo x (0)= x0 e dx (0)dt

=v0 .

(a) dxdt=k (xa).

(b) d2 xdt 2

=k x .

(c) d2 xdt 2

=k xa dxdt

.

10 A progresso geomtrica a0 , a1 , a2 , ... , tem razo q. Calcule as seguintes somas, e discuta em que condies

elas convergem:

(a) k=0

ak (b) k=n

m

ak , m > n

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