Universidade Tecnologica Federal do ParanaCurso: Engenharias

Disciplina: Calculo Diferencial e Integral IProfessora: Marcia Regina Piovesan

Atividade Pratica Supervisionada

1. A populacao de uma colonia de bacterias e dada por

P (t) =24t + 10

t2 + 1

mil t horas apos a introducao de uma toxina. Use os metodos do calculo para determinar oinstante em que a populacao e maxima e determine qual e a populacao nesse instante.

2. Um estudo mostra que o efeito dos gastos em controle da poluicao varia de acordo com aquantidade investida. Quando o gasto e de x milhoes de reais, a porcentgem de decrescimoda poluicao e dada por

P (x) =100

x

0, 03x2 + 9.

Use os metodos do calculo para determinar qual e o investimento para o qual o decrescimopercentual da populacao e maximo. Qual e esse decrescimo percentual?

3. Um corpo se move em linha reta de tal forma que apos t minutos a distancia percorrida eD(t) = 10t + 5

t1 5 metros. Qual a velocidade do corpo apos 4 minutos? Qual a distanciapercorrida pelo corpo durante o quinto minuto?

4. Calcula-se que daqui a t anos, a populacao de certo municpio sera P (t) = 20 6t+1 mil

pessoas. Qual sera a taxa de aumento da populacao daqui a 1 ano? Qual sera o aumento dapopulacao durante o segundo ano?

5. A areia esta escapando de um saco furado de tal forma que apos t segundos, existem

S(t) = 50(1 t2

15)3

quilos de areia no saco.

(a) Qual a taxa de variacao da quantidade de areia no saco apos 1 segundo?

(b) Quanto tempo o saco leva para ficar totalmente vazio? Qual a taxa de variacao daquantidade de areia no instante em que o saco fica totalmente vazio?

6. Uma doenca esta se espalhando de tal forma que apos t semanas, o numero de pessoasinfectadas e dado por N(t) = 5, 175 t3(t 8), 0 t 8

(a) Qual a taxa de disseminacao da epidemia apos 3 semanas?

(b) Suponha que as autoridades declarem que uma doenca atingiu proporcoes epidemicasquando a taxa de disseminacao percentual e maior ou igual a 25% . Durante que perodode tempo esse criterio e satisfeito no caso em questao?

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7. Um estudo ambiental realizado em um certo bairro revela que daqui a t anos a cocnentracaode monoxido de carbono no ar sera Q(t) = 0, 05t2 + 0, 1t + 3, 4 partes por milhao.

(a) Qual sera a taxa de variacao da concentracao de monoxido de carbono com o tempodaqui a 1 ano?

(b) Qual sera a variacao da concentracao de monoxido de carbono durante o primeiro ano?

8. Um estudo realizado em um acerta fabrica mostra que os operarios do turno da manha, quechegam para trabalhar a`s 8h, terao montado em media f(x) x3 + 6x2 + 15x receptores deradio x horas mais tarde.

(a) quantos receptores por hora os operarios estarao montando a`s 9h?

(b) Qunatos receptores entre 9h e 10h?

9. A receita bruta anual de uma certa empresa era A(t) = 0, 1t2+10t+20 mil reais t anos depoisque a companhia foi fundada. Qual a taxa de variacao da receita bruta anual da empresa noinicio de 2002?

10. Do alto de um edifcio de 34 metros de altura, uma pessoa lanca uma bola verticalmentepara cima com uma velocidade inicial de 29m/s.

(a) Determine a altura e velocidade da bola no instante t.

(b) Em que instante a bola chega ao chao e qual a velocidade no momento do impacto?

(c) Em que momento a velocidade e nula? O que acontece nesse momento?

(d) Qual e a distancia total percorrida pela bola?

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11. A resitencia mecanica de uma viga retangular e proporcional ao produto da largura peloquadrado da altura. Determine a dimensoes da viga mais resistente que pode ser feita comuma tora de madeira de 15 centmetros de diametro.

12. Um fio de comprimento l e cortado em dois pedacos. Comn um deles se fara um crculo ecom o outro um quadrado.

(a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas areas compreendidas pelasfiguras seja mnima?

13. Estima-se que o custo para construir um edificio de escritorios de n andares e C(n) = 2n2 +500n + 600 mil reais. Quantos andares deve ter o edifcio para que o custo por andar seja omenor possvel?

14. Um funcionario dos correios passa 4 horas toda manha separando a correspondencia. Duranteesse perodo, o funcionario e capaz de separar, em media, f(t) = t3 + 7t2 + 200t cartas emt horas. Em que instante o funcionario esta trabalhando com maior eficiencia?

15. Suponha que a area total de um tambor cilndrico sem tampa deva ser 3pim2. Determine oraio da base a altura do mesmo para que sua capacidade seja a maior possvel. Qual e essacapacidade?

16. Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado a, deseja-se construir uma caixa sem tampa,cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante.Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixaseja o maior possvel.

17. Suponha que uma caixa dagua (sem tampa) deva ter o formato de um paraleleppedo retoretangulo, ter altura igual a` largura e que a soma das areas de suas paredes (incluindo ofundo) seja 6m2. Determinar suas dimensoes para que sua capacidade seja a maior possvel.

18. Utilizando 50 metros de cerca (reta) ja existente, deseja-se cercar um retangulo de 10.000metros quadrados de area. Quais devem ser as dimensoes deste retangulo para minimizar acerca a ser feita?

19. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento decada caixa seja 2m e o volume 3m3. Para gastar a menor quantidade de material possvel nafabricacao das caixas, quais devem ser suas dimensoes?

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20. Voce foi contratado por uma fabrica de papel para projetar e construir um tanque retangurarde aco, com base quadrada, sem tampa e com 500pes2 de capacidade. O tanque sera con-strudo soldando-se chapas de aco umas a`s outras ao lango das bordas. Como engenheiro, suatarefa e determinar as dimensoes para a base e a altura que farao o tanque pesar o mnimopossvel.

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21. Depois que os freios sao aplicados, um carro perde velocidade a` taxa constante de 6 metrospor segundo por segundo. Se o carro esta a 65 quilometros por hora quando o motorista pisano freio, que distancia o carro percorre ate parar?

22. Estima-se que daqui a x meses a populacao de certa cidade estara aumentando a` razao de2 + 6

x habitantes por mes. A populacao atual e de 5000 pessoas. Qual sera a populacao

daqui a 9 meses?

23. Um corpo esta se movendo de tal forma que sua velocidade apos t minutos e v(t) = 1+4t+3t2

metros por minuto. Que distancia o corpo percorre no terceiro minuto?

24. Uma cadeia de supermercados recebe uma remessa de 12.000 latas de oleo de soja que deveraoser vendidas a` taxa constante de 300 latas por semana. Se o custo para armazenar as latase 0, 2 centavos por lata por semana, quanto a cadeia de supermercados tera que pagar emcustos de armazenamento durante as proximas 40 semanas?

25. Um estudo ambiental realizado em certa ciade revela que aqui a t anos o ndice de monoxidode carbono no ar estara aumentando a` razao de 0, 1t + 0, 1 partes por milhao por ano. Se oindice atual de monoxido de carbono no ar e 3, 4 partes por milhao, que sera o indice daquia 3 anos?

26. Um fabricante estima que o custo marginal seja 6q + 1 reais por unidade quando q unidadessao fabricadas. O custo total para produzir a primeira unidade e R$130, 00. Qual e o custopara produzir as primeiras 10 unidades?

27. O lucro marginal (a derivada do lucro) de uma certa companhia e 100 2q reais por unidadequando q unidades sao fabricadas. Se o lucro da companhia e R$700, 00 quando 10 unidadessao fabricadas, qual e o maior lucro possvel da companhia?

28. Um botanico descobre que certo tipo de arvore cresce de tal forma que sua altura h(t) apos

t anos esta variando a uma taxa de: h(t) = 0, 06t2

3 + 0, 3t1

2 metros/ano. Se a arvore tinha60cm de altura quando foi plantada, que altura tea apos 27 anos?

29. Uma toxina e introduzida em uma colonia de bacterias; t horas depois, a taxa de variacaoda populacao da colonia e dada pela expressao dP

dt= (ln3)34t. Se existiam 1 milhao de

bacterias na colonia no instante em que a toxina foi introduzida, qual e a expressao de P (t)?

30. Um carro viajando a 20m/s desacelera a` taxa constante de 7m/s2 quando os freios saoaplicados. Determine a velocidade v(t) do carro t segundos apos os freios serem aplicados ea distancia s(t) percorrida a partir do ponto em que os freios foram aplicados.

31. Uma arvore foi transplantada e x anos depois esta crescendo a` razao de 1 + 1(x+1)2 metros

por ano. Apos 2 anos, atingiu uma altura de 5 metros. Qual era a altura da arvore quandofoi transplantada?

32. Estima-se que daqui a t anos a populacao de certo pas estara aumentando a` razao de e0,02t

milhoes de habitantes por ano. Se a populacao atual e de 50 milhoes de habitantes, qual seraa populacao daqui a 10 anos?

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