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Matemtica MatemticaFernando Guerra Inder Jeet Taneja

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G934m

Guerra, Fernando Matemtica / Fernando Guerra, Inder Jeet Taneja. Florianpolis : SEAD/UFSC, 2006. 389p. Curso de Graduao em Administrao a Distncia Inclui bibliografia

1.

Matemtica Estudo e ensino. 2. Geometria analtica. 3. Clculo diferencial. 4. Clculo integral. I. Taneja, Inder Jeet. II. Ttulo. CDU: 51

Catalogao na publicao por: Onlia Silva Guimares CRB-14/071

PRESIDENTE DA REPBLICA Luiz Incio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAO Fernando Haddad SECRETRIO DE EDUCAO A DISTNCIA Ronaldo Mota DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE POLTICAS EM EDUCAO A DISTNCIA DPEAD Hlio Chaves Filho SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Lcio Jos Botelho Ariovaldo Bolzan Marcos Lafim VICE-REITOR REITOR

PR-REITOR DE EnSInO DE GRADUAO DIRETORA DE EDUCAO A DISTnCIA Araci Hack Catapan DIRETOR CEnTRO SOCIOECOnMICO Maurcio Fernandes Pereira VICE-DIRETOR Altair Borguet

DEPARTAMENTO DE CINCIAS DA ADMINISTRAO CHEFE DO DEPARTAMEnTO Joo Nilo Linhares COORDEnADOR DE CURSO Alexandre Marino Costa Alexandre Marino Costa Joo Nilo Linhares Luiz Salgado Klaes Marcos Baptista Lopez Dalmau Maurcio Fernandes Pereira Raimundo Nonato de Oliveira Lima COMISSO DE PLAnEJAMEnTO, ORGAnIZAO E FUnCIOnAMEnTO Gilberto de Oliveira Moritz

Prof Liane Carli Hermes Zanella Prof. Luis Moretto Neto Prof. Luiz Salgado Klaes Prof. Raimundo Nonato de Oliveira Lima ADAPTAO METODOLGICA PARA EAD Denise Aparecida Bunn Annye Cristiny Tessaro Mariana Lorenzetti Diogo Henrique Ropelato ORGAnIZAO DE COnTEDO Fernando Guerra Inder Jeet Taneja DIAGRAMAO PROJETO GRFICO

EQUIPE DE REVISO

APRESENTAOEste livro corresponde disciplina de Matemtica. destinado aos estudantes que, pela primeira vez, estudam matemtica envolvendo a Geometria Analtica, o Clculo Diferencial e Integral de Funes, de uma ou vrias variveis. O material foi elaborado visando uma aprendizagem autnoma. Aborda temas especialmente selecionados, que se destinam a auxiliar na compreenso dos temas expostos e adota uma linguagem simples e clara, muitas vezes coloquial, o que facilite seu estudo a distncia. Por falar em distncia, isso no significa que voc estar sozinho. No esquea de que sua caminhada nesta disciplina er acompanhada, constantemente, pelo Sistema de Acompnhamento do Programa de EaD do Departamento de Cincias da Administrao da Universidade Federal de Santa Catarina. nossa equipe ter o maior prazer em atende-lo(a), pois sua aprendizagem o nosso principal objetivo. Escrevemos em total, nove captulos, divididos em quatro partes. A primeira parte est destinada ao conhecimento de Geometria Analtica e Matrizes. A segunda parte est dedicada ao Clculo Diferencial. A terceira parte dedica-se ao Clculo Integral. Na ltima parte damos conhecimento de Clculo para Funes de vrias Variveis, incluindo Derivada Parcial e Integral Dupla. Veja a seguir os detalhes por captulo: na Unidade 1, abordaremos conceitos de Geometria Analtica. Inicialmente revisaremos os conjuntos numricos, desigualdades e intervalos. Apresentaremos o Sistema de Coordenadas Cartesianas, Distncia entre dois pontos, a Reta, Parbola, Elipse, Hiprbole e Sees Cnicas. Voc estudar na Unidade 2, os tipos de Matrizes, Operaes com matrizes, matriz inversa, matriz escalonada e resoluo de sistemas de equaes lineares. J na Unidade 3 sero abordados: Funes e Grficos, Funes Elementares, Exponenciais e Logartmicas, Funo Composta e Funes Trigonomtricas e algumas aplicaes de Funes. Na Unidade 4 voc ser apresentando aos temas: Seqncias e a

noo intuitiva de Limite de uma Funo. Neste, voc trabalhar com teoremas sobre Limites, Limites Laterais e Funes Contnuas. Estudaremos na Unidade 5, um dos principais conceitos do Clculo Diferencial e Integral, que o da Derivada de uma Funo, sua interpretao Geomtrica, Clculo de Derivadas, Derivada de uma Funo Composta (ou regra da cadeia), Derivadas Sucessivas, a Diferencial e algumas Funes Marginais. na Unidade 6, apresentaremos algumas aplicaes da Derivada, tais como: a Frmula de Taylor, Regra de LHospital e Mximos e Mnimos de uma Funo. A Unidade 7 trata de uma outra ferramenta de grande importncia no Clculo Diferencial e Integral, que o conceito de Integral. Ser abordado o conceito de Integral Indefinida e Definida, suas propriedades e o Teorema Fundamental do Clculo. Apresentaremos tambm as tcnicas de integrao por substituio e por partes e integrais indefinidas. Na Unidade 8, voc estudar sobre algumas aplicaes da Integral Definida, tais como: Clculo de reas entre duas Curvas, Volume de Slido de Revoluo e Comprimento de Arco. Finalmente, na Unidade 9, apresentaremos algumas noes bsicas de Funes de rias Variveis, Limite e Continuidade de Funes de duas Variveis, Derivadas Parciais, Mximos e Mnimos, e Integrais Duplas. Desejamos a todos um bom estudo. Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja

Objetivos Fornecer elementos conceituais sobre matemtica para administradores; Enumerar, sucintamente, conceitos de matemtica aplicada ao campo da cincia da administrao e suas principais caractersticas; e Definir, identificar e demonstrar ferramentas matemticas como apoio em tomadas de decises administrativas.

SuMRiOuNiDADE 1 - Geometria Analticanmeros Reais ...................................................................................17 Conjuntos numricos .................................................................17 A reta real ..................................................................................19 Desigualdades ............................................................................20 Mdulo ou valor absoluto ..........................................................21 Intervalos ...................................................................................22 O sistema de coordenadas cartesianas .................................................26 Distncia entre dois pontos ........................................................27 A reta ...................................................................................................28 Equao da reta que passa por dois pontos ................................30 ngulo entre duas retas .............................................................32 Distncia de um ponto a uma reta ..............................................33 Interseo entre duas retas .........................................................34 Parbola ...............................................................................................37 Equao reduzida da parbola ...................................................38 Equao geral da parbola .........................................................41 Elipse ...................................................................................................46 Equao da elipse ......................................................................48 Circunferncia ou crculo ....................................................................53 Equao da circunferncia ou crculo ........................................53 Hiprbole .............................................................................................56 Equao reduzida da hiprbole ..................................................57 quao geral da hiprbole ......................................................... 60 Sees cnicas.................................................................................... 64 Resumo................................................................................................66 Respostas .............................................................................................68

uNiDADE 2 - Matrizes e Sistemas de Equaes Linearesnoo de matriz ..................................................................................73 Tipos das matrizes .....................................................................73 Determinante de uma matriz .....................................................79 Operaes matriciais ...........................................................................80 Adio de matrizes ....................................................................81 Multiplicao de uma matriz por escalar ...................................82 Produto de duas matrizes ...........................................................83 Propriedades da transposta da matriz ..................................................86 Operaes elementares ........................................................................88 Clculo do determinante usando operaes elementares ...............................................................91 Matriz inversa......................................................................................94 Propriedades da matriz inversa ..................................................94 Clculo de matriz inversa usando operaes elementares Mtodo de Jordan ................................................96 Matriz escalonada................................................................................99 Matriz cannica ou reduzida ....................................................100 Posto de uma matriz ................................................................102 Sistema de equaes lineares ............................................................104 Tipos de sistemas .....................................................................105 Existncia da soluo ...............................................................105 Resoluo de sistema de equaes lineares..............................106 Sistema de equaes lineares homogneas .............................. 113 Resumo .............................................................................................. 117 Respostas ........................................................................................... 118

uNiDADE 3 - FunesFunes .............................................................................................125 Operaes com funes ...........................................................127 Grfico de uma funo ......................................................................128 Funes elementares..........................................................................132 Funo exponencial e logartmica .....................................................135 Funo exponencial de base a ..................................................135

Funo logaritma ....................................................................137 Funo composta ...............................................................................138 Funes crescentes e decrescentes ....................................................140 Funo inversa ................................................................................... 141 Funes trigonomtricas ...................................................................144 Aplicaes prticas das funes ........................................................ 149 Resumo..............................................................................................157 Respostas ...........................................................................................158

uNiDADE 4 - Seqncias, Limite e ContinuidadeSeqncias .........................................................................................165 Limite de uma seqncia ........................................................ 167 Seqncias montonas crescentes e decrescentes ....................168 Limites de funes ............................................................................ 170 A noo de limite..................................................................... 170 Teoremas sobre limites de funes .......................................... 173 Limites laterais ........................................................................177 Indeterminaes .......................................................................184 Limites infinitos .......................................................................186 Limite de Funo Racional ......................................................188 Funes contnuas .............................................................................190 Resumo..............................................................................................194 Respostas ...........................................................................................195

uNiDADE 5 - DerivadasIncremento e taxa mdia de variao ................................................199 Definio de derivada ........................................................................203 Interpretao geomtrica da derivada................................................209 Clculo das derivadas ........................................................................ 211 Derivada das funes trigonomtricas, exponencial e logartmica ....................................................... 216 Derivada de funo composta (ou regra da cadeia) ...........................220 Aplicaes da regra de derivao de funo composta .................................................................222

Derivada de funo inversa ...............................................................229 Derivadas sucessivas ........................................................................233 A Diferencial .....................................................................................235 Funes marginais.............................................................................239 Funo custo marginal .............................................................239 Funo receita marginal ...........................................................241 Funo produtividade marginal ...............................................243 Tabela: derivadas e identidades trigonomtricas................................246 Resumo ..............................................................................................248 Respostas ...........................................................................................249

uNiDADE 6 - Aplicaes de DerivadasTeorema do Valor Mdio (TVM) .....................................................255 Frmula de Taylor .............................................................................257 Regra de LHospital ...........................................................................261 Mximos e mnimos de uma funo .................................................264 Teste da segunda derivada para extremos relativos ....................................................................268 Exemplos prticos ....................................................................271 Resumo ..............................................................................................275 Respostas ...........................................................................................276

uNiDADE 7 - Clculo integralFuno primitiva ...............................................................................281 Integral indefinida .............................................................................286 Propriedades da integral indefinida .........................................287 Algumas integrais imediatas ....................................................287 Integral definida ................................................................................294 Conceito de rea ......................................................................294 A integral .................................................................................297 Propriedades da integral definida.............................................299 Teorema Fundamental do Clculo (TFC) ............................... 300 Integrao por substituio ................................................................307 Integrao por partes ......................................................................... 310

Integrais imprprias .......................................................................... 314 Resumo..............................................................................................321 Respostas ...........................................................................................322

uNiDADE 8 - Aplicaes da integralClculo de rea de uma regio limitada e fechada ............................327 Volume de slido de revoluo ..........................................................336 Comprimento de arco ........................................................................344 Resumo..............................................................................................347 Respostas ...........................................................................................348

uNiDADE 9 - Funes de Vrias Variveis, Derivadas Parciais e integral DuplaFunes de vrias variveis ............................................................... 351 Grficos de funes de duas variveis .....................................354 Curvas de nvel ........................................................................356 Limite e continuidade de funes de duas variveis..........................356 Derivadas parciais .............................................................................358 Derivadas parciais sucessivas...................................................363 Mximos e mnimos de uma funo de duas variveis .....................365 Condio necessria para existncia de um extremo .........................................................................367 Condio suficiente para existncia de extremos ..............................................................................368 Integral dupla.....................................................................................371 Clculo da integral dupla .........................................................373 Resumo..............................................................................................383 Respostas ...........................................................................................384 Referncias ........................................................................................387 Sites na Internet .................................................................................388

UNIDADE

1

Geometria Analtica Geometria Analtica

ObjetivoNesta unidade voc vai recordar e aplicar conceitos sobre conjuntos numricos e geometria analtica; e identificar e aplicar equaes das curvas, tais como, da parbola, da circunferncia, da elipse e da hiprbole.

Mdulo 2

Geometria Analtica

Nmeros ReaisFaremos, neste captulo, uma rpida apresentao dos nmeros reais e suas propriedades, mas no sentido de recordar o que voc, meu caro estudante, j aprendeu no ensino fundamental e no ensino mdio.

Conjuntos Numricos Nmeros naturais O conjunto = 1,2,3,... denominado conjunto dos nmeros naturais.

{

}

Nmeros inteiros O conjunto = ...,3,2,1,0,1,2,3,... dos nmeros inteiros.

{

}

denominado conjunto

Nmeros racionais So todos os nmeros fracionrios, que tm o numerador e o denominador (diferente de zero) pertencentes ao conjunto . Simbolicamente p = ; p, q e q 0 . q

17

Curso de Graduao em Administrao a Distncia

Nmeros irracionais So os nmeros que no so racionais, mas podem ser encontrados na reta. Por exemplo: 2 = 1,41421 ... , = 3,14159 ... , e = 2,718282 ... Denotaremos por c , o conjunto dos nmeros irracionais. Nmeros reais a unio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais, que ser denotada por , ou seja, = c . Como a matemtica elementar envolve nmeros reais, devemos estar familiarizados com algumas propriedades fundamentais do sistema de nmeros reais. Observe, atentamente, cada uma dessas propriedades dadas a seguir: P1. Fechamento: Se a , b , ento existe um e somente um nmero real denotado por a + b , chamado soma de a e b e existe um e somente um nmero real, denotado por a b chamado produto de a por b .

P2. Comutatividade: Se a , b ento: a +b = b+a e a b = ba. P3. Associatividade: Se a, b, c ento: a + (b + c) = (a + b) + c e a (b c) = (a b) c . P4. P5. Distributividade: Se a, b, c ento: a (b + c) = a b + a c . Existncia de elementos neutros: Existem 0 e 1 tais que: a + 0 = a e a 1 = a , a .

P6. Existncia de simtricos: Todo a tem um simtrico, denotado por a , tal que: a + (a) = 0 .18

Mdulo 2

P7.

Existncia de inversos: Todo a , a 0 , tem um inverso, de1 notado por , tal que: a 1 a = 1. a

Usando as propriedades P6 e P7 podemos definir a subtrao e a diviso de nmeros reais. P8. Subtrao: Se a , b , a diferena entre a e b , denotada por a b , definida por: a b = a + (b) . P9. Diviso: Se a , b e b 0 , o quociente de a por b definido por: a 1 =a . b b importante observar que sempre que falarmos em nmero, sem qualquer qualificao, entenderemos tratar-se de um nmero real.

A reta realO uso dos nmeros reais para medio, tais como comprimento, rea, volume, posio, tempo e velocidade, se reflete no costume bastante conveniente, de representar esses nmeros graficamente por meio de pontos numa reta horizontal, chamada reta real.2 3

3

2

1

0

1

2

3

Figura 1.1

Observe que essa representao comea com a escolha de um ponto arbitrrio, denominado origem ou ponto zero, e um outro ponto arbitrrio a sua direita, o ponto 1. A distncia entre esses pontos (distncia unitria) serve como escala, por meio da qual possvel associar pontos da reta a nmeros inteiros positivos ou negativos, como ilustrado na figura 1.1. Todos os nmeros positivos esto direta do Zero, no sentido positivo, e todos os nmeros negativos esto sua esquerda.19


DesigualdadesA sucesso de pontos na reta real, da esquerda para a direita, corresponde a uma parte importante da lgebra dos nmeros reais, a que trata das desigualdades. O significado geomtrico da desigualdade a a (leia-se b maior que a ) significa que b est direta de a . Um nmero a positivo ou negativo conforme a > 0 ou a < 0 . Se voc quer dizer que a positivo ou igual a zero, escreve-se a 0 e l-se a maior ou igual a zero. Do mesmo modo, a b significa que a > b ou a = b . Assim, 5 3 e 5 5 so desigualdades verdadeiras. Assim como o conjunto dos nmeros Reais, as Desigualdades tambm apresentam propriedades fundamentais, dadas a seguir. Propriedades das desigualdades Para quaisquer nmeros reais a, b, c e d, valem as propriedades: P1. P2. P3. P4. P5. P6. a 0 4 3 < 6 3. a b c . Por exemplo, 4 < 6 e 3 < 0 4 (3) > 6 (3) . 0 < a 0 a = 0, se a = 0 a, se a < 0 Por exemplo, (i) 4 = 4 ; (ii) 3 3 3 = ( ) = ; 4 4 4

(iii) 4 = (4) = 4 ; (iv) 0 = 0 ; (v) 1 1 = . 3 3

Podemos observar que(a) para qualquer nmero real a tem-se a 0 e a =0 a = 0; (b) a = a para qualquer real a ; (c) geometricamente, o valor absoluto de um nmero real a , distncia de a at zero; (d) para qualquer nmero real a tem-se: a 2 = a , a raiz quadrada de qualquer nmero real, quando existe, 2 maior ou igual a zero. Logo, a = a 2 = (a)2 .

21


Propriedades do Valor Absoluto P1. P2. P3. P4. P5. P6. P7. Valem as seguintes propriedades do valor absoluto: x a se e somente se, x a ou x a ; x > a se e somente se, x < a ou x > a ; x a se e somente se, a x a (a > 0) ; x < a se e somente se, a < x < a, (a > 0) ; x y = x y para quaisquer x e y ; x x = , para x e y , (y 0) . y y Para quaisquer x e y vale a desigualdade triangular: x+y x + y .

intervalosUm conjunto I de nmeros reais denominado intervalo quando, dados a,b I com a < b , valer a implicao a < x < b x I . Os intervalos podem ser limitados ou ilimitados. Intervalos limitados (i) Fechado: (ii) Aberto: (iii) Semi-abertos: a,b = x | a x b

{

}

( a,b ) = {x | a < x < b} ( a,b = {x | a < x b} e a,b = x | a x a} e ( ,b ) = {x | x < b}

(iii) Aberto e fechado: (,+) = . Veja a representao de intervalos na reta real:(-1,4) -3

-2

-1 (

0

1

2

3

4 )

5

Figura 1.2(1,2] -3 -2 -1 0 1 ( 2 ] 3 4 5

Figura 1.3[0,+) -3 -2 -1 0 [ 1 2 3 4 5

Figura 1.4

Resolver uma desigualdade consiste em determinar o conjunto dos nmeros reais que tornam verdadeira a desigualdade proposta. Para isto, voc usa as propriedades das desigualdades (e do mdulo quando este estiver envolvido). Exemplo 1.1 Resolver a desigualdade x + 4 7 .

A partir de agora voc ir acompanhar a resoluo de alguns exerccios. nosso intuito que voc compreenda a resoluo de exerccios sobre desigualdades, e potencialize seu entendimento para os exerccios e/ou desafios propostos posteriormente.

Resoluo: Pela propriedade P3, do mdulo, temos: 7 x + 4 7 , ou seja, 7 x + 4 e x+47 7 4 x e x74 11 x e x 3. Portanto, 11 x 3 ou ainda 11,3 . Exemplo 1.2 Resolver a desigualdade x 5 8 .

23


Resoluo: Pela propriedade P1, do mdulo, temos x 5 8 ou x58 x 8 + 5 ou x 8+5 x 3 ou x 13. Portanto, x 3 ou x 13. Exemplo 1.3 Resolver a desigualdade 5 x 9 . Resoluo: Pela propriedade P3, do mdulo, temos 9 5 x 9 , ou seja, 9 5 x e 5 x 9 9 5 x e x 9 5 14 x e x 4 . Agora, pela propriedade P5, da desigualdade, vem 14 x ou x 14 e x 4 ou 4 x . Portanto, 4 x 14 ou seja, x 4,14 . Exemplo 1.4 Resolver a desigualdade 7 5x 3 < 17 . Resoluo: Resolvendo simultaneamente, vem: 7 5 x 3 < 17 ou 7 + 3 5x 3 + 3 < 17 + 3 (P1 da desigualdade) 10 5x < 20 , ou seja, 2 x < 4 . O conjunto soluo, S, da desigualdade proposta S = x | 2 x < 4 = [2,4) .

{

}

Exemplo 1.5 Determine todos os nmeros reais que satisfazem a equao 3x 5 = 4 . Para resolver este exemplo, use os seguintes passos.

24

Mdulo 2

Passo 1: Pela definio de mdulo voc tem: 5 3 x 5 = 3 x 5 se 3x 5 0 ou 3x 5 ou x . 3 5 Admita ento x neste passo. Logo, 3x 5 = 4 3 3x 5 = 4 que resolvendo tem-se x = 3. 5 Como neste passo x , x = 3 uma soluo da equao dada. 3 Passo 2: Ainda pela definio de mdulo, vem: 5 3x 5 = (3x 5) = 3x + 5 se 3x 5 < 0 ou x < . 3

1 Logo, 3x 5 = 4 3x + 5 = 4 que resolvendo tem-se x = . 3 1 5 1 Como < , x = tambm, soluo da equao dada. 3 3 3 1 Portanto, o conjunto soluo de 3x 5 = 4 S = ,3 . 3

Vamos conferir se voc est acompanhando tudo at aqui! Para saber, procure, ento, resolver os exerccios propostos a seguir, caso tenha dvidas faa uma releitura cuidadosa dos conceitos ou resultados ainda no bem entendidos.

Exerccios propostos - 1

1)

Determinar todos os nmeros reais que satisfazem as desigualdades abaixo. a) x 3. b) 5x 1 < 2. 3

c) 3x 2 < 0 . d) 3 x 7 .

25


2)

Determinar todos os nmeros reais que satisfazem a equao: 4x 3 = 15 .

Geometria analtica, tambm chamada geometria de coordenadas o estudo da geometria atravs dos princpios da lgebra. Em geral, usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equaes para planos, retas, curvas e crculos, geralmente em duas dimenses, tambm em trs ou mais dimenses. Fonte: http://pt.wikipedia. org/wiki

O sistema de coordenadas cartesianasO sistema de coordenadas cartesianas constitudo de duas retas perpendiculares ao plano. Uma escolhida como sendo horizontal e a outra como vertical. Essas retas interceptam num ponto 0 , chamado de origem. A reta horizontal chamada eixo x , e a reta vertical chamada eixo y . Uma escala numrica colocada ao longo dos eixos x e y . Um ponto no plano pode ser representado de modo nico no sistema de coordenadas por um par ordenado ( x, y ), onde x o primeiro nmero e y o segundo.y

Eixo y

0

Eixo x

x

Figura 1.5 - O sistema de coordenadas cartesianas.

O primeiro nmero representado no eixo x e o segundo no eixo y . no par ordenado (x, y), o x chamado de abscissa ou coordenada x , o y chamado de ordenada ou coordenada de y , x e y conjuntamente so chamados de coordenadas do ponto P . Veja os grficos a seguir:

26

Mdulo 2

y

y

P (x,y)

0

x

x

Figura 1.6 - Um par ordenado ( x, y ). y

B (2,1) 3 2 C (3,2)

2 1 1 2 4

A (3,2)

3

x

D (1,4)

Figura 1.7 Vrios pontos do plano cartesiano.

Distncia entre dois pontosDefinido um sistema de eixos coordenados, cada ponto do plano est associado a um par ordenado. Dados dois pontos1 x1 , y1 P2 x2 , y2 . Ento, P e a distncia entre esses dois pontos pode ser calculada mediante o uso da seguinte frmula: A distncia d entre dois pontos P x1 , y1 e P2 x2 , y2 no plano 1

(

) ( (

)

dada por d=

(

)

)

(x

2

x1

) + (y

2

2

y1

)

2

(1)27


Veja a figura abaixo:

y P (x , y )2 2 2 d

P (x , y )1 1 1

x

Figura 1.8

Exemplo 1.6 Encontre a distncia entre os pontos P 3,4 e P2 2,5 . 1

(

)

(

)

Resoluo: Temos x1 = 3, y1 = 4 , x2 = 2 e y2 = 5. Pela frmula (1), temos: d= = =

(x

) + (y y ) ( 2 ( 3)) + (( 5) 4) (5) + ( 9)2

x1

2

2

2

1

2

2

2

2

= 25 + 81 = 106

A retaJ vimos anteriormente que a reta o conjunto de pontos que seguem

a mesma direo, ou seja, numa linha conhecida como reta. Veja como encontrar agora a equao da reta. Vamos considerar uma reta que faa um ngulo a (radianos) com28

Mdulo 2

o eixo x (abscissa) e que passa pelo ponto P0 x0 , y0 . Denotamos por m = tg, que conhecida como inclinao da reta. Seja x, y qualquer ponto a da reta (Figura 1.5). Aplicando, a trigonometria, podemos facilmente obter:

(

( )

)

m=

y y0 y = y0 + m x x0 x x0

(

) )

y y0 = m(x x0 ) y = y0 + m(x x0 ) y = mx + y0 mx0 . Portanto, a equao da reta que passa pelo pontos P0 x0 , y0 e tem inclinao m dada por:

(

(

)

m = tg = ou seja,

PA y y0 = , P0 A x x0

y = mx + b , onde m = tg a e b = m x0 + y0 uma constante. y

(2)

P (x,y) P (x , y )0 0 0

yy A

0

xx

x

0

Figura 1.9

Exemplo 1.7 Calcular a equao da reta que passa pelo ponto (2,1) e tem inclinao m = 2 . Resoluo: dado que m = 2 e P0 x0 , y0 = 2,1 . Substituindo esses valores na equao (2), obteremos:

(

) ( )

29


1 = 2 2 + b b = 3. Logo, a equao da reta : y = 2x 3.

Equao da reta que passa por dois pontosSejam P x1 , y1 e P2 x2 , y2 dois pontos de uma reta dada. A 1 seguir obtemos a equao de uma reta que passa por esses pontos.

(

)

(

)

y

y-y2

P (x,y)1

P (x , y )2 2 2

a

y-y

1

a P (x , y )1 1 1

x-x2

x

x-x2

1

Figura 1.10

Da figura 1.10, obtemos: m = tga = y y1 y2 y1 = , x x1 x2 x1 y y1 y2 y1 = , obtemos x x1 x2 x1 (4) (3)

Agora simplificando a expresso y y1 y y1 = 2 x x1 x2 x1

(

)

que representa a equao da reta que passa pelos pontos P x1 , y1 e 1 P2 x2 , y2 .

(

)

(

)

Observao (i) Pela expresso 3 podemos observar que: y y1 m= 2 , x2 x1 30

()

Mdulo 2

ou seja, podemos sempre obter o valor da inclinao ou declividade atravs dos pontos dados. (ii) Sejam m1 e m2 declividade de duas retas, ento: (a) As retas so paralelas quando m1 = m2 . (b) As retas so perpendiculares quando m1 m2 = 1. (iii) A equao geral da reta da forma ax + by + c = 0 , onde a , b e c so constantes e a e b so no nulos. Entre a e b, pelo menos um dos dois deve ser no nulo (iv) A equao de uma reta uma equao linear, reciprocamente, toda equao linear representa uma reta. Exemplo 1.8 Determine a equao da reta que passa pelos pontos 1,2 e 3,4 . Encontre tambm a inclinao da reta.

(

)

( )

Resoluo: Pela frmula (4), temos: 4 2 x 1 31 6 y2= x 1 2 y 2 = 3 x 1 y2=

(

)

( (

) )

y = 3x + 3 + 2 y = 3x + 5. A inclinao obtida pela frmula (3), ou seja m = tg a = y2 y1 4 2 6 = = = 3 . x2 x1 31 2

31


ngulo entre duas retasSejam L1 : y = m1x + b1 e L2 : y = m2 x + b2 duas retas dadas.y L 1

L

2

2

1

x

Figura 1.11

Seja o ngulo formado entre duas retas L1 e L2 . Ento, a=a1 a 2 tg a= tg a1 a 2 =

(

) ( pela trigonometria )m1 m2 1. (5)

tg a1 tg a 2 1 + tg a1 tg a 2 m1 m2 , 1 + m1 m2

tg a =

Logo, o ngulo entre duas retas L1 e L2 dado por m= m1 m2 , 1 + m1 m2 m1 m2 1.

Observao J explicamos anteriormente que, quando m1m2 = 1, ento as duas retas so perpendiculares. Exemplo 1.9 Determine o ngulo entre as retas y = 2x 3 e y = 3x + 4 .

32

Mdulo 2

Resoluo: Sabemos que m1 = 2 e m2 = 3 . Logo, o ngulo dado por: m= m1 m2 1 + m1 m2

m=

( ) = 5 = 5 = 1. 1 + ( 2 ) ( 3) 1 6 52 3

m = tg a= 1. a= arc tg(1). Exemplo 1.10 Calcular a equao da reta que seja ortogonal (perpendicular) reta y = 3x + 2 e que passa pelo ponto (2,4) . Resoluo: Sabemos que se duas retas so perpendiculares ento m1 m2 = 1. dado que: m1 = 3 m2 = 1 1 1 m2 = m2 = . m1 3 3

( )

Aplicando a frmula (2), temos 1 y = mx + b y = x + b . 3 1 Como a reta y = x + b passa pelo ponto (2,4) , ento: 3 1 2 14 4 = 2 + b 4 = b b = . 3 3 3

()

Logo, a equao da reta : 1 14 y= x 3y = x 14 . 3 3

Distncia de um ponto a uma retaDada a reta y = mx + b e o ponto P0 x0 , y0 que no passa pela reta. Precisamos encontrar a distncia do ponto P0 x0 , y0 reta y = mx + b . Veja figura 1.12.

(

)

(

)

33


y

P (x , y )0 0 0

d Q L

x

y=mx+b

Figura 1.12

A distncia do ponto P0 x0 , y0 at reta L , dada por

(

)

d P0 ,L =

(

)

y0 m x0 b 1 + m2

.

(6)

Exemplo 1.11 Calcular a distncia do ponto P 3,2 a reta y = 4x + 1.

(

)

Resoluo: Temos que m = 4 , x0 = 3 e y0 = 2 . Logo, d P,L =

(

)

2 4 3 12

( ) 1 + ( 4 )

=

2 + 12 1 17

=

9 17

.

interseo entre duas retasSejam L1 : y = m1x + b1 e L2 : y = m2 x + b2 duas retas com m1 m2 . Vamos supor que estas retas interceptam-se no ponto Q .

34

Mdulo 2

y L:y=mx+b1 1 1

Q

0

x

L:y=mx+b2 2

2

Figura 1.13

Para encontrar as coordenadas do ponto Q , simplesmente precisamos resolver as equaes: y = m1x + b1 y = m2 x + b2 . Veja o exemplo a seguir: Exemplo 1.12 Encontrar os pontos de interseo das retas y = 3x + 4 y = 2x 1. Resoluo: Veja o grfico abaixo:y y = 2x 1

(1,1) x

y = 3x + 4 Figura 1.1435


Resolvendo as equaes dadas obteremos 3x + 4 = 2x 1 5x = 5 x = 1. Agora, y = 2x 1 y = 2 1 1 y = 1. Logo, o ponto de interseo dado por (1,1).

()

Exerccios propostos 2

1)

Determine a equao da reta usando os seguintes dados: a) que passa pelo ponto 2,1 e tem inclinao de 2. b) que passa pelo ponto 3,2 e tem inclinao de 3. c) que passa pelos pontos 3,4 e 2,3 . d) que passa pelos pontos 2,3 e 1,5 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) )

2)

Encontre a distncia entre ponto e reta: a) y = 4x 3 ; ponto 2,3 . b) y = 2x + 5 ; ponto 4,2 . c) y 2x + 1 = 0 ; ponto 2,4 .

( (

( )

3)

Encontre a inclinao das seguintes retas: a) 2y + 4x + 3 = 0 . b) 4x 3y + 2 = 0 . Calcule o ngulo entre as duas retas: a) y = 4x + 3 e y = 3x . b) y = 2x + 1 e y = x + 3 . Encontre os pontos de interseo das seguintes retas: a) 2x 3y + 1 = 0 e y = 3x + 5 . b) 3x 2y 3 = 0 e 4x 2y + 1 = 0 .

4)

5)

36

Mdulo 2

Parbola

Parbola o conjunto de todos os pontos de um plano, eqidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano.

Consideremos uma reta L e um ponto F no pertencente a reta L. Qualquer ponto P pertencente parbola, se e somente se d(P, F ) = d(P,P ') , onde P o p da perpendicular baixada de P sobre a reta L.l

F V A

P

P

L

Figura 1.15

Elementos da Parbola Conforme a figura 1.15, temos os seguintes elementos da parbola: Foco: o ponto F. Diretriz: a reta L. Eixo: a reta que passa por F e perpendicular a L. fcil ver, pela prpria definio de parbola, que esta curva simtrica em relao ao seu eixo. Vrtice: o ponto V de interseo da parbola com o seu eixo.

37


Equao reduzida da parbolaSeja F o foco e L = NM a diretriz da parbola. Traar FN perpendicular de F sobre a diretriz. Considere FN, o eixo da parbola como sendo eixo x. Seja V o ponto mdio de NF. Como NV = VF, pela definio V pertence a parbola. Considere V como origem e a linha VY perpendicular a NF como sendo eixo de y.y M P

N

F (a, 0) K V a a x

L Figura 1.16

Seja NF = 2a, logo VF = a e F = (a, 0), e a equao de diretriz NM x = a. Seja P(x, y) um ponto de parbola. Ento PM = NK = NV + VK = a + x. Pela definio, MP = PF MP 2 = PF 2 = FK 2 + PK 2 (a + x)2 = (x a)2 + (y 0)2 a 2 + x 2 + 2ax = x 2 + a 2 2ax + y 2 y 2 = 4ax Logo, y 2 = 4ax a equao da parbola, onde38

Mdulo 2

(0,0) vrtice e (a,0) o foco da parbola; x = a a equao da diretriz da parbola; o eixo dos x sendo eixo da parbola. Quando o eixo da parbola o eixo dos y , temos a seguinte figura:y

a

F

P x P y = -a

aV A

Figura 1.17

Sendo P x, y um ponto qualquer da parbola de foco F 0,a e diretriz y = a obteremos, de forma anloga ao caso anterior, a equao reduzida da parbola x 2 = 4ay .

( )

( )

Observao (i) O nmero real a 0 nas equaes reduzidas da parbola chamado parmetro da parbola. (ii) Da equao y 2 = 4ax podemos observar que a x 0 , o parmetro a e x abscissa de P tem sinais iguais ( a x = 0 se x = 0 ) e conseqentemente, se a > 0 a parbola tem abertura ao lado direito e se a < 0 a parbola tem abertura ao lado esquerdo. Veja as figuras abaixo.

39


y

y

x >0 a >0 x

x 0 a >0 x

y b (ou a 2 > b 2 ) , para saber se a elipse tem seu eixo maior sobre Ox ou sobre Oy, basta observar onde est o maior denominador ( a 2 ) na sua equao reduzida. Se esse for denominador de x 2 , ou eixo maior est sobre Ox, caso contrrio, estar sobre Oy. (ii) Considere uma elipse de centro, fora da posio padro, isto , C = (x0 , y0 ) . Neste caso, a equao geral da elipse dada por (x x0 )2 a2 + (y y0 )2 b2 = 1,

onde os eixos da elipse so paralelos os eixos x e y .y y P A y y0

y F1

1

A x F2

2

O = C

x

0 x x0

x

Figura 1.30

(iii) Qualquer elipse cujos eixos esto sobre os eixos coordenados ou so paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equao geral, dada por ax 2 + by 2 + cx + dy + f = 0 , com a e b de mesmo sinal.

50

Mdulo 2

Exemplo 1.17 Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (2,0) e a medida do eixo maior 6. Determinar a sua equao. Resoluo: Como foco dado no eixo dos x e C(0,0) , ento a equao desta elipse da forma: x2 y2 + = 1. a 2 b2 dada a medida do eixo maior: 6 = 2a a = 3 . Tambm dado que c = 2 . Agora, a 2 = b 2 + c 2 implica que 9 = b 2 + 4 , ou seja, b= 5. Logo, x2 y2 + =1 9 5 a equao desejada da elipse. Veja figura a seguir.y

-3

0 -5

3

x

Figura 1.31

Exemplo 1.18 Determinar o centro, os vrtices e os focos da elipse de equao 9x 2 + 16y 2 36x + 96y + 36 = 0 .

51


Resoluo: Agora, 9x 2 + 16y 2 36x + 96y + 36 = 0 9 x 2 4x + 4 4 + 16 y 2 + 6y + 9 9 + 36 = 0 9 x 2 36 + 16 y + 3 144 + 36 = 0 2 2 2 2

(

)

(

)

( ) ( ) 9 ( x 2 ) + 16 ( y + 3) = 144 9 ( x 2 ) + 16 ( y + 3) = 12 ( x 2) + ( y + 3) = 1,2 2 2

2

2

16

9

que a forma padro da elipse do eixo maior paralelo ao eixo dos x .y

B

1

x

A

1

C

A

2

B Figura 1.32

2

Isto implica que o centro da elipse ( 2,-3 ), a 2 = 16 a = 4 e b 2 = 9 b = 3. Agora, a 2 = b 2 + c 2 16 = 9 + c 2 c 2 = 7 c = 7. Da conclumos que os focos da elipse so F1 4 7,3 e F2 4 + 7,3 . Exemplo 1.19 Encontre a equao da elipse com semi eixos, a = 3 e b = 2 com centro no ponto 1,2 .

(

) (

)

( )

52

Mdulo 2

Resoluo: A equao da elipse com centro em x0 , y0 dada por

(

)

(x x ) + ( y y )0 0

2

2

a2

b2

=1

=1 32 22 x 2 2x + 1 y 2 4y + 4 + =1 9 4 4 x 2 2x + 1 + 9 y 2 4y + 4 = 36

( x 1) + ( y 2)

2

2

(

) (

)

4x 2 + 9y 2 8x 36y + 4 + 36 = 36 4x 2 + 9y 2 8x 36y + 4 = 0 a equao da elipse.

Circunferncia ou crculo

Circunferncia o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distncia a um ponto fixo desse plano constante. Esse ponto fixo chamado, centro, e a distncia fixa chamada, raio da circunferncia.

Circunferncia um caso particular da elipse. Quando a = b , todas as equaes da elipse passam ser equaes da circunferncia.

Equao da circunferncia ou crculo Centro na origem: C(0,0) , a = b = r Neste caso a equao da circunferncia dada por x2 + y2 = r2 .53


y

r (0, 0) x

Figura 1.33

Centro da circunferncia: C(x0 , y0 ) , a = b = r Neste caso a equao da circunferncia dada por (x x0 )2 + (y y0 )2 = r 2 .y

r (x , y )0 0

x

Figura 1.34

Observao Aps simplificao, a equao dada acima pode ser escrita da seguinte forma: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 , que a equao geral da circunferncia ou crculo.

54

Mdulo 2

Exemplo 1.20 Determinar a equao do crculo com centro no ponto de interseo das retas y = 2x 1 e y = x + 1 e raio r = 2 . Resoluo: Inicialmente, precisamos encontrar o ponto de interseo das retas dadas y = 2x 1 y = x + 1 ou seja, 2x 1 = x + 1 x = 2 . y = 2x 1 y = 2 2 1 y = 3.

()

Logo, o centro do crculo o ponto de interseo das retas, ou seja, C 2,3 . Sabemos que a equao da circunferncia no centro x0 , y0 e raio r dada por

( )

(

)

(x x ) + ( y y ) = r ( x 2) + ( y 3) = 20 0 2 2 2

2

2

2

x 2 4x + 4 + y 2 6y + 9 = 4 x 2 + y 2 4x 6y + 9 = 0 que a equao do crculo.


1)

Determinar a equao do crculo com centro no ponto 1,2 e raio igual a r = 3.

( )

2)

Determinar os pontos de interseo entre as seguintes curvas: a) A reta y = 2x e o crculo x 2 + y 2 = 4 . b) A parbola x 2 = 4y e o crculo x 2 + y 2 = 9 . Encontrar a equao do crculo com centro no ponto de interseo das retas y = x + 2 e y = 2x + 1 e raio r = 2 .55

3)


4)

Encontre a equao do crculo que passa pelos pontos 1,2 , 2,1 e 1,3 .

( )

( ) ( )

5)

Esboar o grfico das seguintes curvas e determinar os vrtices e os focos: x2 y2 a) + = 1. 16 9 b) 9x 2 + 4y 2 = 36 . c) x 2 + 4y 2 = 4 .

6)

Determinar uma equao da elipse que satisfaa as condies dadas. Esboar o grfico: a) Focos F1 3,0 e F2 3,0 , eixo maior igual a 8. b) Focos F1 0,2 e F2 0,2 , eixo menor igual a 6. c) Focos F 0, 2 e vrtices A 0, 3 . d) Vrtices A 0, 4 e passando pelo ponto P 1,2 .

( ( (

(

) ) )

( ) ( )

)

(

)

( )

7)

Determinar a equao reduzida, o centro, os vrtices A1 e A2 , os focos. Esboar o grfico. a) 9x 2 + 4y 2 54x + 16y + 61 = 0 . b) 16x 2 + y 2 + 64x 4y + 52 = 0 . c) 4x 2 + 9y 2 8x 36y + 4 = 0 .

HiprboleHiprbole o conjunto de todos os pontos do plano cuja diferena das distncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano constante. Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 , tal que a distncia d(F1 , F2 ) = 2c e um nmero real positivo a , de modo que, 2a < 2c .56

Mdulo 2

P

F1

CA1

A 2a 2c

F2 2

Figura 1.35

Chamamos de 2a a constante de definio, um ponto P pertence hiprbole se, e somente se, d(P, F1 ) d(P, F2 ) = 2a (7)

Como se v, a hiprbole uma curva com dois ramos. Na verdade, pela equao (7), um ponto P est na hiprbole se, e somente se, d(P, F1 ) d(P, F2 ) = 2a . Elementos da hiprbole Focos: Distncia focal: Centro: Vrtices: so os pontos F1 e F2 . a distncia 2c entre os focos. o ponto mdio C do segmento F1F2 . so os pontos A1 e A2 . (8)

Equao reduzida da hiprboleSeja a hiprbole de centro C(0,0) . Consideremos dois casos: 1o Caso. O eixo real est sobre o eixo dos x Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hiprbole de focos

F1 (c,0) e F2 (c,0) . Pela definio 1.4, tem-se | d(P, F 1 ) d(P, F2 ) | = 2a , ou, em coordenadas

(x + c)2 + (y 0)2 (x c)2 + (y 0)2 = 2a .

57


y

P (x, y)

F (c, 0)1

A

1

O a c

A

2

F (c, 0)2

x

Figura 1.36

Vamos encontrar agora a equao da hiprbole. Usando a frmula da distncia entre dois pontos, temos que F1P =

(x + c )2

2

+ y 2 e F2 P =

(x c )2 2

2

+ y2 .

Substituindo estes valores em (8), obtemos

(x + c ) + y (x + c ) + y2 2

2

2

( x c ) + y = 2a = 2a + ( x c ) + y .2 2

Elevando ao quadrado os termos anteriores, temos que

(x + c )

+ y 2 = 4a 2 4a

(x c )2

2

+ y2 + x c + y2 .

(

)

2

x 2 + c 2 + 2xc + y 2 = 4a 2 4a2

(

x c + y 2 + x 2 + c 2 2xc + y 2

4xc = 4a 4a c x a 2 = a

(x c )2

)

2

.

+ y2 .

(x c )

+ y2 .

Elevando novamente ao quadrado cada termo da identidade acima, obtemos58

Mdulo 2

c 2 x 2 2a 2cx + a 4 = a 2 x c + a 2 y 2 = a 2 x 2 2a 2 xc + a 2c 2 + a 2 y 2

(

)

2

(c

2

a 2 x2 a 2 y2 = a 2 c 2 a 22

)

(

)

x y 2 = 1. 2 a c a2 2c > F1Q F2Q = 2a

2

Observamos atravs da figura 1.36, que c>a b tal que b 2 = c 2 a 2 , ou seja, a 2 + b 2 = c 2 . Portanto, a equao da hiprbole dada por x2 y2 = 1. a 2 b2 que a equao reduzida para este caso. 2o Caso. O eixo real est sobre o eixo dos yy

F2 (0, c) A2 a O A1 F (0, c) 1

c x

Figura 1.37

59


Observando a figura acima, com procedimento anlogo ao 1o caso, obtemos a equao reduzida y2 x2 = 1. a 2 b2

Equao geral da hiprboleQuando o centro da hiprbole C no origem, ou seja, C = (x0 , y0 ) (0,0) , neste caso a equao geral da hiprbole pode ser representada de duas formas. 1o Caso. O eixo real paralelo ao eixo dos x (x x0 )2 a2 (y y0 )2 b2 = 1.

2o Caso. O eixo real paralelo ao eixo dos y (y y0 )2 a2 (x x0 )2 b2 = 1.

Simplificando e ajustando os coeficientes, nas equaes dadas acima, podemos ter a equao geral da hiprbole dada por ax 2 + by 2 + cx + dy + f = 0 , onde a , b , c , d e f so constantes, com a e b de sinais contrrios. A seguir, apresentaremos alguns exemplos relacionados com hiprbole. Exemplo 1.21 Obter a equao reduzida resultante de uma translao de eixos, classificar os elementos e esboar o grfico da equao 9x 2 4y 2 18x 16y 43 = 0 .

60

Mdulo 2

Resoluo: Temos que 9x 2 4y 2 18x 16y 43 = 0 9 x 2 2x + 1 1 4 y 2 + 4y + 4 4 43 = 0 9 x 1 9 4 y + 2 + 16 43 = 0 2 2

(

) (2

)

( ) ( ) 9 ( x 1) 4 ( y + 2 ) = 36 ( x 1) ( y + 2) = 1.2

2

2

4

9

Assim, temos: Centro: C 1,2 a 2 = 4 a = 2 (valor positivo) b 2 = 9 b = 3 (valor positivo) c 2 = a 2 + b 2 c 2 = 4 + 9 = 13 c = 13 . F 1 13,2

(

)

Focos:

(

)

Vrtices: A1 (1,2), A2 (3,2)y

x A (-1, -2)1

A (3, -2)2

C (1,-2)

Figura 1.38

Exemplo 1.22 Determinar a equao da hiprbole de vrtice A1 2,3 e A2 6,3 , sabendo que F 8,3 um de seus focos.

(

)

(

)

(

)

Resoluo: Colocando os pontos dados no plano, teremos a seguinte figura:

61


y

2 0

4

6

8 x

3

A

1

C

A

2

F

Figura 1.39

Agora, e Logo, 2c = 8 c = 4 2a = 4 a = 2 16 = a 2 + b 2 16 = 4 + b 2 12 = b 2 b = 12. Tambm podemos verificar, facilmente, que o centro C(4,3) .

Sabemos que a equao da hiprbole dada por

(x x ) ( y y )0 0

2

2

a2

b2

= 1.

62

Mdulo 2

Substituindo os valores correspondentes, obtidos atravs da figura na equao acima, obtemos

( x 4) ( y + 3)4

2

2

( 12 )

2

=1

( x 4) ( y + 3)

2

2

(

=1 4 12 x 2 8x + 16 3 y 2 6y + 9 = 12

) (

)

3x 2 24x + 48 y 2 + 6y 9 = 12 3x 2 y 2 24x + 6y + 27 = 0. Portanto, a equao da hiprbole dada por 3x 2 y 2 24x + 6y + 27 = 0.


1)

Determine os focos, os vrtices e esboce as hiprboles cujas equaes so: a) b) c) d) x2 y2 = 1. 25 9 x2 y2 = 1. 9 25 4x 2 9y 2 + 36 = 0 x2 y2 = 1 .

2)

Determine uma equao da hiprbole: a) Focos: F1 (3,0) e F2 (3,0) e vrtices: A1 (2,0) e A2 (2,0) . b) Focos: F1 (2,2) e F2 (2,2) e vrtices: A1 (1,2) e A2 (1,2) . Determine centro, os vrtices e os focos das hiprboles dadas:

3)

a) 7x 2 9y 2 + 28x + 54y 116 = 0 . b) x 2 4y 2 + 6x + 24y 31 = 0 . c) 16x 2 9y 2 64x 18y + 199 = 0 .

63


Sees cnicasSejam duas retas r e s concorrentes em O (origem) e no perpendiculares. Consideremos fixa a reta e faamos s girar 360o graus em torno de r mantendo constante o ngulo entre estas retas. nestas condies, a reta s gera uma superfcie cnica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vrtice O (Figura 1.40). A reta s chamada geratriz da superfcie. Chama-se seo cnica, ou simplesmente cnica, ao conjunto de pontos que formam a interseo de um plano com a superfcie cnica.r s

O

Figura 1.40

Vamos seccionar a superfcie cnica atravs de um plano . Obtemos vrias curvas planas conforme figura 1.41 abaixo: O O O O

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 1.4164

Mdulo 2

importante observar que as cnicas* so curvas planas e, portanto, tudo o que dizemos sobre parbola, elipse, circunferncia e hiprbole se passa num plano.

Vale destacar...Quando uma superfcie cnica secionada por um plano qualquer que no passa pelo vrtice O, a cnica ser: a) uma parbola, se paralelo a uma geratriz da superfcie (Figura 1.41 (a)); b) uma elipse, se no for paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das folhas da superfcie (Figura 1.41(b)); c) uma hiprbole, se no paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superfcie (Figura 1.41(c)). A hiprbole deve ser vista como uma curva s, constituda de dois ramos, um em cada folha da superfcie. d) uma circunferncia, se for perpendicular ao eixo vertical (Figura 1.41(d))

Cnicas* so curvas geradas pela interseco de um plano com um cone. Fonte: http://pt.wikipedia. org/wiki

Observamos acima, que seccionando uma cnica atravs de um plano obtemos diversas curvas padres. A seguir, obteremos essas curvas e/ou reta atravs da nica equao dada por ax 2 + by 2 + cx + dy + f = 0 , onde a, b, c, d e f so constantes reais. A seguir analisamos a equao dada acima, considerando diversas possibilidades das constantes a e b . (9)

65


(i) Quando a = b = 0 em (9) obtemos cx + dy + f = 0 , a qual uma equao da reta dependendo dos coeficientes c, d e f. (ii) Quando a = 0, b 0 ou a 0, b = 0 em (9) obtemos by 2 + cx + dy + f = 0 ou ax 2 + cx + dy + f = 0 , que uma equao geral da parbola. (iii) Quando a = b 0 em (9) temos ax 2 + ay 2 + cx + dx + f = 0 , a qual uma equao geral da circunferncia. (iv) Quando a b 0 e a e b tem omesmo sinal, ou seja, as duas constantes so positivas ou so negativas, ou seja, ab > 0 , ento a equao (9) representa uma equao geral da elipse. (v) Quando a b 0 e a e b tem sinais diferentes, ou seja, ab < 0 , ento a equao (9) representa uma equao geral da hiprbole.

Saiba Mais...Para aprofundar mais os temas estudados neste captulo consulte: STEInBRUCH, A.; P. WInTERLE. Geometria Analtica. So Paulo: Makron Books,1987.

66

Mdulo 2

RESuMONesta Unidade voc acaba de estudar os conjuntos numricos e as operaes no conjunto dos nmeros Reais. Foram citadas as propriedades das desigualdades e as propriedades do mdulo, ou valor absoluto, de um nmero real e intervalos. Voc estudou a noo de sistema de coordenadas cartesianas, aprendeu em detalhes as principais curvas: a reta, a circunferncia, parbola, elipse, hiprbole e viu tambm as equaes de cada uma dessas curvas.

67


RESPOStAS Exerccios propostos 1 1) a) x 3 ou x 3 . 1 7 b) < x < . 3 15 c) (conjunto vazio). d) x 4 ou x 10 . 9 2) S = 3, 2 Exerccios propostos 2 1) 2) a) c) a) c) 3) 4) 5) a) a) a) b) d) b)

y = 2x + 5. y = 7x 17 . 8 17 1 5 . .

y = 3x 11. 2 y = x+5 3 15 . 5

m = 2 . m= 1 . 13 b) b)

b) m = 3.

m=

4 . 3

(2,1) .

15 4, 2 .

Exerccios propostos 3 1) a) b) c) d)68

Foco: F (0,1) , diretriz: y = 1 . Foco: F (0,2) , diretriz: y = 2 . Foco: F (2,0) , diretriz: x = 2 . 1 1 Foco: F ,0 , diretriz: x = . 4 4

Mdulo 2

2)

a) b) c) d)

x 2 = 4y . y 2 6y 4x + 1 = 0 . y 2 6y + 10x + 54 = 0 . x 2 6x + 4y + 9 = 0 .

3)

a) Vrtice:V (2,1) , Foco: F (2,2) , diretriz: x = 0 5 1 9 b) Vrtice:V ,8 , Foco: F ,8 , diretriz: y = . 2 2 2 5 14 4 c) Vrtice:V 0, , Foco: F 0, , diretriz: y = . 3 3 3 1 1 d) Vrtice:V (1,0) , Foco: F 1, , diretriz: y = . 8 8

Exerccios propostos 4 1) 2) x 2 + y 2 2x 4y 4 = 0 . a) b) 3) 4) 5) 2 4 2 4 P , , P , . 1 1 5 5 5 5 P 2 2 + 13,2 + 13 , P 2 2 + 13,2 + 13 1 1

x 2 + y 2 2x 6y + 6 = 0 . x 2 + y 2 5x 5y + 10 = 0 a) b) c)

( ) Vrtices: A(0, 3) , Focos: F ( 0, 5 ) . Vrtices: A(2,0) , Focos: F ( 3,0 ) .x2 y2 + = 1. 16 7 x2 y2 + =1 5 9 b) d)

Vrtices: A(4,0) , Focos: F 7,0 .

6)

a) c)

x2 y2 + = 1. 5 9

3x 2 y 2 + =1 4 16

69


7)

a)

Centro: (3,2) , Vrtices: A1 (3,5), A2 (3,1) , Focos: F 3,2 5 .

( (

)

b)

Centro: (2,2) , Vrtices: A1 (2,2), A2 (2,6) , Focos: F 2,2 15 .

)

c)

Centro: (1,2) , Vrtices: A1 (2,2), A2 (4,2) , Focos: F 1 5,2 .

(

)

Exerccios propostos 5 1) a) b) c) d) 2) a) b) 3) Focos: 34,0 , vrtices (5,0) e (5,0) .

( ) Focos: ( 0, 34 ) , vrtices (3,0) e (3,0) . Focos: ( 0, 13 ) , vrtices (0,2) e (0,2) . Focos: ( 2,0 ) , vrtices (1,0) e (1,0) .x2 y2 = 1. 4 5 3x 2 y 2 4y = 7 .

a) C(2,3), A1 (5,3), A2 (1,3), F1 (6,3), F2 (2,3) . b) C(3,3), A1 (5,3), A2 (1,3), F 3 5, 3 . c) C(2,1), A1 (2,5), A2 (2,3), F1 (2,6), F2 (2,4) .

(

)

70

2Matrizes Sistemas de Matrizes e e Sistemas de Equaes Lineares Equaes Lineares

UNIDADE

ObjetivoNesta unidade voc vai, identificar os diferentes tipos e operaes de matrizes; e empregar os diferentes tipos de matrizes na resoluo de sistemas de equaes lineares.

Mdulo 2

Matrizes e Sistema de Equaes Lineares

Noo de matrizUma matriz A , m n (m por n) um quadro de mn nmeros dispostos em m linhas e n colunas a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= . am1 am2 amn

A partir de agora faremos uma viagem atravs de matrizes e sistemas de equaes lineares que lhe ajudaro, no futuro, a compreender melhor os modelos econmicos.

Usamos a notao A = (aij ) m n , i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., m . Por exemplo, 2 1 5 A= a matriz 2 3 e 3 4 9 23 2 4 5 B = 1 3 7 a matriz 3 3. 3 9 2 33

Tipos das matrizesSeja A = (aij ) m n , i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., m uma matriz dada. A seguir apresentaremos alguns tipos especiais de matrizes. Matriz linha A , : uma matriz que possui uma linha s. A i sima linha da matriz

lgebra linear um ramo da Matemtica que estuda vetores, espaos vetoriais, transformaes lineares, sistemas de equaes lineares e matrizes. no obstante o fato de a lgebra Linear ser um campo abstrato da Matemtica, ela tem um grande nmero de aplicaes dentro e fora da Matemtica. Fonte: http://pt.wikipedia. org/wiki/73


ai1 ai 2 ... ain , i = 1,2,..., m . i n Por exemplo, A = 2 3 4 9 1 4 . Matriz coluna uma matriz que possui uma coluna s. A j-sima coluna de A a1 j a2 j . . amj para j = 1,2,..., n , por exemplo 2 3 A= 7 . 8 5 51 Matriz nula uma matriz na qual todos os elementos so iguais a zero. Por exemplo, 0 0 A = 0 0 , 0 0 3 2 uma matriz nula. Matriz quadrada Se m = n na matriz A, dizemos que A uma matriz quadrada de ordem n. Ou seja, uma matriz quadrada tem o nmero de linhas e colunas iguais. Dizemos tambm que os elementos a11, a22, ..., ann formam a diagonal principal. Por exemplo,74

,

m j

Mdulo 2

3 0 (a) A = , A matriz quadrada de ordem 2; 2 1 2x 2 3 1 9 (b) B = 2 2 3 , B uma matriz quadrada de ordem 3. 4 5 2 3x3 A matriz quadrada tem algumas caratersticas particulares, dadas a seguir: Triangular superior: o tringulo da matriz quadrada onde aij = 0 para todo i > j . Por exemplo: 4 3 0 A = 0 3 1 . 0 0 2 Triangular inferior: o tringulo da matriz quadrada onde aij = 0 para todo i < j . Por exemplo: 2 0 0 A = 1 3 0 . 4 5 0 Matriz diagonal: a matriz quadrada onde aij = 0 para i j . Por exemplo: 2 0 0 A = 0 3 0 . 0 0 1 Matriz identidade: a matriz quadrada, onde aij = 0 para i j e aij = 1 para i = j , ou seja 0, i j aij = . 1, i = j Por exemplo: 1 0 0 I3 = 0 1 0 . 0 0 1 75


Matriz transposta A transposta de uma matriz A = (aij ) m n definida pela matriz B = (bij ) m n obtida trocando-se as linhas pelas colunas, ou seja, b ji = aij , i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n . Escrevemos a matriz transposta como: B = At , Isto , At obtida transformando-se ordenadamente cada linha de A em colunas. Por exemplo, 1 2 1 3 3 t (a) Se A = , ento sua transposta A = 3 5 ; 2 5 4 3 4 2 3 1 2 5 3 t (b) Se A = 5 2 1 , ento sua transposta A = 3 2 2 . 3 2 0 1 1 0 Matriz simtrica Uma matriz A simtrica quando At = A , ou seja, a matriz e sua transposta so iguais. Por exemplo, se 2 3 1 A = 3 4 9 , 1 9 4 ento, 2 3 1 A = 3 4 9 , 1 9 4 t

isto , A = At A matriz A simtrica. Matriz anti-simtrica Uma matriz A anti-simtrica, quando At = A . Por exemplo, se 0 1 2 A = 1 0 3 , 2 3 0 76

Mdulo 2

ento, 0 1 2 A = 1 0 3 , 2 3 0 t

isto ,

At = A A matriz A anti-simtrica.

Matrizes em blocos Seja A = (aij ) m n , i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., m , uma matriz dada. Eliminando algumas linhas ou colunas, obtemos uma outra matriz B da menor ordem. B chamada submatriz de A . Por exemplo, se 3 7 5 A = 3 2 8 , 1 3 4 3 7 ento B = pode ser uma das suas submatrizes, onde eliminamos 3 2 a terceira linha e a terceira coluna. A seguir explicaremos o que so matrizes em bloco. A matriz a11 a12 a a A = 21 22 a31 a32 a13 a23 a33 a14 a24 , a34

pode ser particionada como A A = 11 A21 A12 , A22

onde A11 , A12 , A21 e A22 , so submatrizes de A, conforme separadores indicados na matriz A. Tambm podemos particionar a matriz A,

77


a11 a12 a a21 A = 21 a31 a32

a13 a14 a23 a24 A11 = A31 a33 a34

A12 A32

A13 , A33

o que nos d uma outra subdiviso de A. Matrizes subdivididas so chamadas de matrizes em blocos. Matriz aumentada Sejam A e B duas matrizes com mesmo nmero de linhas, ou a11 a12 a1n b11 b12 b1k a21 a22 a2n b21 b22 b2k A= eB = . am1 am2 amn bm1 bm2 bmk m n m k

seja,

A matriz aumentada a matriz A : B obtida colocando lado a lado, as matrizes A e B, de modo a se constiturem numa matriz de ordem m (n + k) . Ento a11 a12 a1n a a22 a2n A : B = 21 am1 am2 amn b11 b21 b12 b22 b1k b2k bmk .m ( n + k )

bm1 bm2

A matriz aumentada, geralmente, utilizada no clculo da inversa de uma matriz, na resoluo de sistema de equaes lineares, etc.

Determinante de uma matrizDeterminante de uma matriz um valor numrico, e obtido somente quando a matriz quadrada. Seu clculo segue no exemplo a seguir:

78

Mdulo 2

Seja

2 2 1 A = 5 2 3 , 2 0 1

ento, 2 2 1 2 3 5 3 5 2 det(A) = 5 2 3 = 2 2 +1 0 1 2 1 2 0 2 0 1 = 2(2 0) 2(5 6) + 1(0 + 4) = 2. Propriedades do determinante Seja A uma matriz quadrada. O determinante da matriz quadrada A, det(A) =| A | satisfaz algumas propriedades. Veja a seguir: (i) O determinante de A e de sua transposta At so iguais, ou seja, | A |=| At | ; (ii) Se uma matriz B obtida de uma matriz A trocando-se duas linhas (ou colunas) de A, ento det(B) = det(A) ; (iii) Se uma matriz B obtida de A multiplicando-se uma linha (ou coluna) de A por um nmero real c, ento det(B) = c det(A) ; (iv) Se B = [bij ] obtida de A = [aij ] somando-se a cada elemento da rsima linha (respectivamente, coluna) de A uma constante c, vezes o elemento correspondente a ssima linha (respectivamente, coluna) de A, r s , ento det(B) = det(A) ; (v) Se uma matriz A = [aij ] uma matriz triangular superior (ou inferior), ento det(A) igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, o determinante de uma matriz triangular igual ao produto dos elementos da diagonal principal; (vi) O determinante de um produto de matrizes igual ao produto de seus determinantes, isto , det(AB) = det(A) det(B) . nesse caso necessrio que as matrizes sejam quadradas;79


(vii) Se A tem uma linha (ou coluna) de zeros, ento | A | = 0 ; (viii) Se A tem duas linhas (ou colunas) idnticas, ento | A | = 0 ; (ix) Se A triangular, isto , A tem zeros acima ou abaixo da diagonal principal, ento, o valor do determinante de A o produto dos elementos diagonais. Assim, em particular | I |= 1, onde I a matriz identidade.

Operaes matriciaisApresentaremos a seguir trs tipos de operaes em matrizes. Adio de matrizes, multiplicao de uma matriz por escalar e multiplicao de duas matrizes.

Adio de matrizesA soma ou adio de duas matrizes do mesmo tamanho A = (aij ) m n e B = (bij ) m n , i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n definida como sendo a matriz C = (cij ) m n , obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B , ou seja, cij = aij + bij , para i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n . Escrevemos C = A+ B.

(a) Se

Por exemplo, 2 4 3 2 A= eB = , 3 5 2 2 4 1 2 2

80

Mdulo 2

ento, 2 3 4 2 1 2 A+ B = = . 3 + 4 5 + 1 2 2 7 6 2 2 (b) Se 3 2 5 7 A = 5 4 e B = 9 3 , 9 3 2 1 3 2 3 2 3 + 5 2 + 7 8 9 A + B = 5 + 9 4 + 3 = 14 7 . 9 + 2 3 1 3 2 11 2 3 2

ento,

Propriedades da operao de adio Sejam A , B , C e D matrizes da ordem da mesma ordem, m n . Ento valem as seguintes propriedades: (i) Comutativa: A + B = B + A ; (ii) Associativa: A + (B + C ) = (A + B) + C ; (iii) Existncia do elemento neutro: Existe uma nica matriz m n O tal que A + O = A , para todas as matrizes A, m n . A matriz O chamada de matriz nula ou elemento neutro para a soma de matrizes de ordem m n ; (iv) Existncia do inverso aditivo: Para cada matriz A existe uma nica matriz da mesma ordem D, tal que: A + D = O . Denotamos D por A, ento podemos escrever A + (A) = O . A matriz A chamada de matriz inversa aditiva ou negativa de A.

81


Multiplicao de uma matriz por escalar

A multiplicao de uma matriz A = (aij ) m n por um escalar a definida pela matriz B = (bij ) m n , obtida multiplicando-se cada elemento da matriz pelo escalar a, ou seja, bij = aij , i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n . Ento, escrevemos B = aA.

2 5 Por exemplo, o produto da matriz A = 3 7 pelo escalar 1 5 2 dada por 3 2 2 5 4 10 (2)A = (2) 3 7 = 6 14 . 1 5 3 2 2 10 3 2 Propriedades da multiplicao de uma matriz por escalar Sejam A e B duas matrizes da mesma ordem. Se r e s so nmeros reais, ento valem as seguintes propriedades: (i) r(sA) = (rs)A ; (ii) (iii) (r + s)A = rA + sA ; r(A + B) = rA + rB .

2 3 5 1 2 4 Por exemplo, se A = , B= e r = 2 , 2 1 6 3 7 2 ento temos 2 10 2 2(A + B) = 10 12 8 2 10 2 e 2A 2B = , 10 12 8

o que verifica a propriedade (iii).

82

Mdulo 2

Produto de duas matrizesO produto de duas matrizes s possvel se o nmero de colunas da primeira matriz for igual ao nmero de linhas da segunda. Ou seja, o produto de A = (aij ) m n e B = (b jk ) n p definido pela matriz C = (cik )i p e obtido da seguinte forma: cik = ai1b1k + ai 2b2k + ... + ainbnk = aij b jk ,j =1 n

para todo i = 1,2,..., m; k = 1,2,...., p . Ento, escrevemos C = AB . 3 2 0 1 2 3 Por exemplo, se A = e B = 4 5 3 , ento 5 3 0 23 1 2 2 33 o produto de duas matrizes A e B dado por 1.3 + 2.4 + 3(1) 1.2 + 2.5 + 3.2 1.0 + 2(3) + 3(2) AB = 5.3 + (3)4 + 0(1) 5.2 + (3)5 + 0.2 5.0 + (3)(3) + 0(2) 23 8 18 12 = . 3 5 9 23 Observe que neste caso o produto BA no est definido. Entretanto, mesmo quando est definido, BA no ser necessariamente igual a AB. Propriedades da operao da multiplicao A seguir, apresentaremos algumas propriedades da multiplicao entre matrizes. (i) Sejam A , B e C trs matrizes da ordem m n , n k e k p respectivamente, ento A(BC ) = (AB)C . (ii) Sejam A , B e C trs matrizes da ordem m n , n k e n k respectivamente, ento A(B + C ) = AB + AC . (iii) Sejam A , B e C trs matrizes da ordem m n , m n e n k83


respectivamente, ento (A + B)C = AC + BC . (iv) Sejam A e B duas matrizes da ordem m n e n k respectivamente. Seja r um nmero real, ento A(rB) = r(AB) = (rA)B . Observaes (i) A propriedade (a) conhecida como associativa, propriedades (b) e (c) so conhecidas como distributivas. A propriedade (d) para multiplicao por escalar. (ii) Nas propriedades acima, as ordens das matrizes so escolhidas de maneira que seja possvel a operao de multiplicao e/ou adio. (iii) No caso de adio de matrizes, sabemos que a operao comutativa para matrizes da mesma ordem. Mas isso no acontece com a operao de multiplicao, ou seja, nem sempre AB igual BA , mesmo se os produtos existem. Veja a seguir um exemplo para observao(iii): 1 2 2 5 Se A = eB = , ento 2 0 3 1 2 + 6 5 + 2 8 3 AB = = , 10 4 10 4 2 + 10 4 12 4 BA = = . 3 2 6 1 6 AB BA

e

Logo,

84

Mdulo 2

Exemplo 2.1 (a) Sejam 2 1 3 A= , 1 5 7 trs matrizes. Ento,

1 2 5 2 5 2 1 5 3 4 B = 2 2 3 4 e C = 4 2 1 1 3 5 1 2 1 9

4 108 76 4 108 76 A(BC ) = e (AB)C = , 35 76 137 35 76 137 o que verifica a propriedades (i). (b) Sejam

5 2 2 5 1 2 3 A= , B = 2 3 e C = 5 3 2 2 1 3 5 1 8

trs matrizes. Ento, 3 6 3 6 A(B + C ) = e AC + BC = , 10 3 10 3 o que verifica a propriedade (ii). (c) Sejam

2 1 3 2 1 A= e B = 2 4 5 2 1 1 0

duas matrizes. Seja r = 3 , ento 9 33 9 33 A(3B) = e (3)(AB) = , 15 39 15 39 o que verifica a propriedade (iv).

85


Propriedades da transposta da matrizVimos a definio da matriz transposta. A partir de agora, apresentaremos algumas propriedades da matriz transposta. Fique atento e certifique-se que entendeu antes de prosseguir.

Sejam A e B duas matrizes e seja r um nmero real, ento a transposta de uma matriz, (definida acima), satisfaz as seguintes propriedades: (i) (At )t = A ; (ii) (A + B)t = At + B t , onde A e B so matrizes da mesma ordem; (iii) (AB)t = B t At , onde A e B so matrizes da ordem m n e n k respectivamente; (iv) (rA)t = rAt .

Exemplo 2.2 2 3 2 3 3 2 (a) Se A = eB = , ento 2 5 3 0 3 1 1 2 1 2 t t (A + B) = 0 8 e A + B = 0 8 , 4 4 4 4 t

3 4 1 2 3 (b) Se A = e B = 0 2 so matrizes, ento 3 2 4 3 0 6 3 t t 6 3 (AB)t = eB A = . 0 8 0 8

86

Mdulo 2


1)

Considerar as seguintes matrizes: 2 5 0 3 3 1 0 A= , B = , C = , 2 1 2 4 0 2 4 3 2 1 D = 2 3 0 e 1 0 4 Se possvel, calcular a) d) AB BA ; B2 A ; b) e) DE ED ; D2 E . c) C D; 5 1 4 E = 2 2 9 . 3 0 11

2)

2 0 2 3 1 3 2 1 A= , B = e C = 1 3 , 2 1 4 0 6 2 5 4 se possvel, determinar: a) a segunda linha da matriz CA; b) a primeira linha da matriz AB; c) a terceira linha da matriz BC; d) a quarta linha da matriz CB. 2 4 2 3 7 5 3 7 Sejam A = , B = 1 3 , C = 1 2 6 , 2 1 5 5 1 3 1 4 1 8 5 5 2 2 3 D= , E = 3 4 5 e F = . 7 3 4 7 7 2 3

Dadas as matrizes

3)

87


Calcule, se possvel a) d) g) j) 4) AB ; AB F ; (AB)D ; (F + D)A . b) e) h) BA ; BA + CE ; A(C + E) ; c) f) i) AC + A ; A(BD) ; AC + AE;

2 3 4 1 Sejam A = eB = . Encontre 1 5 3 2 a) c) e) A2 + 2A; (A + B)2 ; A3 + 3A2 + 3A + 2I 2 ; b) d) f) A2 + B 2 + 2AB ; AB + BA ; 3 B 2B 2 3B + 4I 2 .

5)

2 4 2 5 1 3 2 4 Sejam A = , B = 3 5 , C = 2 3 4 , 5 1 2 1 3 4 0 2 2 5 7 2 5 2 4 D= , E = 4 2 4 e F = . 4 3 0 3 1 3 0 Calcule, se possvel: a) (3D F )t D ; b) c) B t At ; d) At (D + F ) ; (2C )At ;

e)

t (B t + A)A.

Operaes elementaresA seguir, apresentaremos trs tipos de operaes elementares numa matriz A , onde Li , L j etc. representam as linhas da matriz. 1a Operao: Permuta de linha, ou seja, a troca de duas linhas uma pela outra na matriz, isto , Li L j , onde Li , L j etc. representam as linhas da matriz.88

Mdulo 2

Por exemplo, se considerarmos a matriz 2 3 1 0 A = 1 5 3 7 , 3 2 0 1 ento, trocando a linha L1 por L2 , ou vice-versa, obteremos 1 5 3 7 B = 2 3 1 0 . 3 2 0 1 2a Operao: Multiplicao de uma linha por um escalar no nulo. Por exemplo, se considerarmos a matriz 1 0 1 3 A = 2 1 5 8 , 3 3 2 4 ento, multiplicando a segunda linha por 2, isto , 2L2 , obteremos 1 0 1 3 B = 4 2 10 16 . 3 3 2 4 3a Operao: Substituio de uma linha pela soma com outra previamente multiplicada por um escalar no nulo, ou seja, substituio de linha Li por Li + cL j , onde c um escalar no nulo. Por exemplo, se considerarmos a matriz 1 0 1 0 A = 1 2 3 4 , 3 2 0 0 ento, efetuando a operao (1)L1 + L3 , isto , multiplicando a primeira linha por (1) e somando na terceira, obtemos

89


1 0 1 0 B = 1 2 3 4 . 2 2 1 0 As trs operaes dadas acima so fundamentais para definir a equivalncia entre matrizes, dada a seguir.

Matrizes equivalentesSejam A e B duas matrizes de mesma ordem, dizemos que B equivalente a A, se B obtida de A atravs de um nmero finito de operaes elementares entre as linhas. Denotamos por B A .

Observaes (i) As operaes elementares definidas acima em relao s linhas, tambm podem ser definidas em relao s colunas. Mas por uma questo prtica, por exemplo, em clculo de inversa e resoluo de sistema de equaes sempre formamos a matriz aumentada em relao s linhas, por isso sempre utilizamos as operaes elementares em relao s linhas. (ii) Qualquer matriz quadrada A, de ordem n, no singular ( det(A) 0 ), pode ser transformada na matriz equivalente I n , de mesma ordem, por meio de uma sucesso finita de operaes elementares, isto , I n ~ A . Exemplo 2.3 Aplicando as operaes lineares, transforme a matriz quadrada A em matriz identidade equivalente. 3 1 3 A = 2 1 2 , 4 2 5

90

Mdulo 2

Resoluo: Inicialmente, devemos calcular o determinante da matriz, conforme observao acima. neste caso, 3 1 3 det(A) = 2 1 2 = 1 0 . 4 2 5 Logo, podemos efetuar as operaes elementares, a fim de obter a matriz identidade. Aplicando as seguintes operaes elementares sobre a matriz A: 1 L1 L1 ; L2 L2 + 2 L1 ; L3 L3 + 4 L1 ; L2 3L2 ; 3

( )

( )

2 L3 L3 + L2 ; 3 L2 L2 + 12L3 ;

1 L3 1 L3 ; L1 L1 + L2 ; 3

( )

L1 L1 + 5 L3 ,

( )

respectivamente, obtemos a matriz dada por 1 0 I 3 = 0 1 0 0

identidade equivalente, I 3 , 0 0 . 1

Observao Mais detalhes sobre o procedimento de operaes elementares, com alguns exemplos desenvolvidos, passo a passo, esto no material on-line do ambiente.

Clculo do determinante usando operaes elementaresPodemos calcular o valor do determinante de uma matriz quadrada usando operaes elementares, ou seja, transformando a matriz em triangular superior, conforme definido anteriormente. Esse processo conhecido como triangularizao. Dependendo de cada operao, o valor do determinante fica igual ou muda, conforme dado abaixo. Seja B a matriz triangular obtida da matriz A. Aplicando as opera91


es elementares, o valor do determinante A depende do valor do determinante B, nas seguintes situaes: a) Quando trocamos uma linha por outra, ou seja, troca de linhas entre si, ento det(A) = det(B) . b) Quando multiplicamos uma linha por uma constante t no nula, ento 1 det(A) = det(B) t c) Quando multiplicamos uma linha por uma constante no nula e somamos outra, ento o valor do determinante continua sendo o mesmo, isto , det(A) = det(B) . Exemplo 2.4 Encontre o determinante da matriz, pelo mtodo da triangulao 3 2 1 A = 2 3 2 . 3 1 4 Resoluo: Fazendo as seguintes operaes elementares 1 9 L1 L1 ; L2 L2 + (2)L1 ; L3 L3 + 3L1 ; L3 L3 + L2 , 3 13 respectivamente, obtemos 2 1 1 3 3 13 8 B = 0 . 3 3 63 0 0 13 Pela propriedade de determinante (ix), podemos calcular o valor do determinante B, multiplicando apenas os elementos da diagonal principal, pois a matriz B est em forma triangular, ento temos 13 63 63 det(B) = 1 = . 3 3 13 92

Mdulo 2

Agora, pelas colocaes a) e c) dadas acima, temos o valor do determinante A dado por 63 det(A) = 3det(B) = 3 = 63 , 3 pois nesse caso, a aplicao da propriedade b), foi feita somente uma vez e todas as outras operaes foram feitas aplicando a propriedade c). Para ser mais simples temos a seguinte observao. Observao O clculo do determinante acima feito usando as propriedades b) e c). Mas, sempre podemos escrever a matriz dada, numa forma triangular, somente utilizando a terceira operao elementar, ou seja, aplicando a propriedade c). Veja os clculos abaixo. Fazendo as seguintes operaes elementares 2 9 L2 L2 + ( )L1 ; L3 L3 + 3L1 ; L3 L3 + L2 , 3 13 respectivamente, obtemos 3 2 1 13 8 B = 0 , 3 3 63 0 0 13 ou seja, 63 det(A) = 3det(B) = 3 = 63 , 3

pois nesse caso para chegar at a matriz triangular somente as operaes elementares sero utilizandos c).

93


Matriz inversanesta seo, apresentaremos a matriz inversa e seus clculos, usando o processo de operaes elementares e a matriz aumentada.

Dada uma matriz A quadrada de ordem n. Chamamos inversa de A, a matriz B, tal que AB = BA = I n , onde I n a matriz identidade de ordem n. Neste caso, dizemos que A uma matriz inversvel (ou no singular). Denotamos por B = A1 .

Observe que nem toda matriz quadrada sempre inversvel. A seguir apresentaremos um resultado que garante a existncia da inversa da uma matriz. Teorema 2.1 Uma matriz A quadrada inversvel se, e somente se, A no singular (ou det(A) =| A | 0 ). Teorema 2.2 Se a matriz A admite inversa ento esta inversa nica.

Propriedades da matriz inversaA seguir apresentaremos algumas propriedades da matriz inversa. (i) Se A e B so inversveis, ento (AB)1 = B 1A1 . (ii) Se A inversvel, ento

94

Mdulo 2

(A1 )1 = A . (iii) Se A no singular, ento A1 tambm no singular. (iv) Se A inversvel, ento (At )1 = (A1 )t . (v) Se A inversvel, ento A.A-1=In, onde n a ordem da matriz e vice-versa. Exemplo 2.5 Calcular a inversa da matriz 2 1 A= . 3 2 Resoluo: Temos det(A) = det(A) = Sabemos que Seja 2 1 = 4 3 = 1 0 existe a inversa de A. 3 2 AA1 = I . a b A1 = , c d 2 1 a b 1 0 = , 3 2 c d 0 1 2a + c 2b + d 1 0 = 3a + 2c 3b + 2d 0 1

ento

ou,

2a + c = 1 2b + d = 0 3a + 2c = 0 3b + 2d = 1 a = 2, b = 1, c = 3 e 2 1 A1 = . 3 2 95

d=2


Clculo de matriz inversa usando operaes elementares Mtodo de JordanO mtodo para calcular a inversa da matriz A, usando as operaes elementares o seguinte: 1o Passo: Calcular det(A) . Se det(A) 0 , ento existe a inversa da matriz, se det(A) = 0 , ento no existe a inversa. Caso exista a inversa, seguir o prximo passo. 2o Passo: Escrever a matriz aumentada n 2n na forma [AI n ] , onde A a matriz de ordem n e I n a matriz identidade de ordem n, ou seja, colocar lado a lado a matriz A e I n formando uma matriz aumentada. 3o Passo: Transformar a matriz A, escrita no segundo passo, em matriz identidade, usando as operaes elementares nas linhas, e aplicando as mesmas operaes em I n , dadas no segundo passo, nas linhas correspondentes. Assim obtemos [I n A1 ]. Observao A mesma seqncia de operaes que leva a matriz A sua identidade faz com que a identidade chegue inversa, ou seja, formando a matriz aumentada [AI n ] , e aplicando as operaes elementares chegamos a [I n A1 ], isto , [AI n ] ~ ~ ~ ... ~ [I n A1 ]. Exemplo 2.6 Encontrar a inversa da matriz, usando as operaes elementares 1 1 2 A = 2 3 1 . 1 3 5 Resoluo: det(A) = 1 0 . Logo, existe a inversa da matriz A. Vamos escrever a matriz A e a matriz identidade lado a lado na forma de matriz aumentada96

Mdulo 2

1 1 2 1 0 0 2 3 1 0 1 0 1 3 5 0 0 1 O objetivo agora aplicar as operaes elementares nas linhas de A e as mesmas operaes na matriz I 3 . Queremos chegar matriz A como I 3 , e a matriz I 3 transformada passa a ser inversa de A. Veja os passos a seguir. 1 1 2 1 0 0 L2 L2 + (2)L1 2 3 1 0 1 0 L L + L 3 1 1 3 5 0 0 1 3 1 1 2 1 0 0 ~ 0 1 3 2 1 0 L2 (1)L2 0 2 7 1 0 1 1 1 2 1 0 0 ~ 0 1 3 2 1 0 L3 L3 + (2)L2 0 2 7 1 0 1 1 1 2 1 0 0 ~ 0 1 3 2 1 0 L1 L2 + L1 0 0 1 3 2 1 1 0 5 3 1 0 ~ 0 1 3 2 1 0 L2 L2 + (3)L3 0 0 1 3 2 1 1 0 5 3 1 0 ~ 0 1 0 11 7 3 L1 L1 + (5)L3 0 0 1 3 2 1 1 0 0 18 11 5 ~ 0 1 0 11 7 3 0 0 1 3 2 1 Logo,97


18 11 5 A = 11 7 3 . 3 2 1 1

Exemplo 2.7 Determinar a inversa da matriz, usando o mtodo de Jordan. 3 4 1 A = 2 3 7 . 3 7 5 Resoluo: det(A) = 63 0 . Logo, existe a inversa da matriz A. Vamos escrever a matriz A na forma aumentada com a matriz I 3 . 3 4 1 1 0 0 AI 3 = 2 3 7 0 1 0 . 3 7 5 0 0 1 Fazendo as seguintes operaes elementares, na matriz acima, 1 L1 ( )L1 ; L3 L3 + (3)L1 ; L2 L2 + (2)L1 ; L2 3L2 ; 3 1 4 L3 L3 + (3)L2 ; L3 ( )L3 ; L1 L1 + ( )L2 ; 63 3 L2 L2 + 19L3 ; respectivamente, obteremos 64 3 1 0 0 63 7 2 0 1 0 31 63 7 0 0 1 5 1 63 7 25 63 19 . 63 1 63 L1 L1 + (25)L3 ,

98

Mdulo 2

Logo,

64 3 63 7 31 2 1 A = 63 7 5 1 63 7

25 63 19 . 63 1 63

Matriz escalonadanesta seo apresentaremos a noo de matriz escalonada. Tambm apresentaremos a matriz cannica, que caso mais especfico da matriz escalonada. Leia com ateno, resolva os exerccios propostos, anote suas dvidas e busque esclarece-las junto ao Sistema de Acompanhamento.Dizemos que uma matriz escalonada se, e somente se, o nmero de zeros que precedem o primeiro elemento no nulo em cada linha, geralmente conhecido como elemento notvel, aumenta de linha em linha, at que restem apenas linhas com elementos nulos. Podemos dizer que uma matriz A escalonada ou est em forma escalonada, se valem as seguintes condies: (i) todas as linha nulas, se houver, esto no final (ou na base) da matriz; (ii) cada elemento notvel no nulo est direita do elemento notvel da linha precedente.99


Veja alguns exemplos a seguir. 2 1 3 4 (i) A matriz A = 0 1 1 0 escalonada; 0 0 0 3 0 1 (ii)A matriz B = 0 0 escalonada; 0 0 (iii) 0 0 1 A matriz C = 0 1 0 no escalonada; 1 0 0 1 2 3 0 A matriz D = 0 1 0 0 escalonada. 0 0 0 1

(iv)

Matriz cannica ou reduzidaDizemos que uma matriz cannica ou reduzida, quando os elementos notveis forem todos iguais a um e forem os nicos no nulos nas suas respectivas colunas. Mais precisamente, podemos dizer que uma matriz A cannica ou reduzida por linhas, quando (i) o primeiro elemento no nulo de cada linha no nula de A igual a 1; (ii) cada coluna de A, que contm o primeiro elemento no nulo de alguma linha de A, tem todos os outros elementos iguais a zero.

Veja alguns exemplos a seguir: 1 0 0 3 2 (i) A matriz A = 0 3 1 4 0 no cannica; 0 0 1 0 1

100

Mdulo 2

1 (ii) A matriz B = 0 0 0 0 (iii) A matriz C = 0 0

0 3 0 1 1 0 cannica; 0 0 1 1 0 cannica; 0 0

1 0 0 (iv) A matriz D = 0 1 0 cannica. 0 0 1 Observaes (i) Qualquer matriz A equivalente por linhas a uma nica matriz cannica ou reduzida por linhas. (ii) Matriz identidade sempre matriz cannica. (iii) Matriz quadrada equivalente a matriz identidade da mesma ordem, quando det(A) 0 , ou seja, quando existe a sua inversa. Exemplo 2.8 Aplicando as operaes elementares, transforme a matriz dada em matriz cannica. 2 1 4 1 A = 3 0 5 2 4 1 0 3

101


Resoluo: Aplicando as seguintes operaes L1 1 2 L1 ; L2 L2 + 3L1 ; L3 L3 + (4)L1 ; L2 L2 ; 2 3

1 3 L3 L3 + L2 ; L1 L1 + ( )L2 ; L3 ( )L3 ; 2 2 L2 L2 + ( 22 5 )L3 ; L1 L1 + L3 . 3 3

respectivamente, obtemos 1 0 0 14 B = 0 1 0 59 0 0 1 8

Posto de uma matrizSeja A uma matriz e seja B a sua forma escalonada. Definese como posto da matriz A, p(A) , como sendo o nmero de linhas no nulas da matriz B.

no caso dos exemplos dados na seo: matriz cannica ou reduzida, temos: p(A) = 3 , pois a matriz no cannica, mas escalonada, p(B) = 3 , p(C ) = 1 e p(D) = 3 . Observao Atravs do posto da matriz podemos identificar se uma matriz quadrada singular ou no singular, isto , se A uma matriz quadrada de ordem n, ento (i) A singular, se e somente se, p(A) < n ; (ii) A no singular, se e somente se, p(A) = n .

102

Mdulo 2


1)

Aplicando o mtodo de triangulao, calcular o valor do determinante das seguintes matrizes: 1 2 3 A = 4 3 0 ; 1 7 13 2 7 3 C = 1 5 0 . B 0 2 1

2)

Por meio de operaes elementares, transformar as seguintes matrizes quadradas em matrizes identidades equivalentes: 1 2 3 2 7 3 1 3 A = 3 4 0 ; C = B C ; D = 1 5 0 . 3 4 2 6 1 0 2 1

3)

Se possvel, encontrar as inversas das seguintes matrizes: 2 1 2 1 2 5 A = 3 2 4 ; B = 1 2 4 ; 0 1 0 3 11 3 1 2 C= ; 2 4 2 2 1 D = 2 3 1 ; ; 1 1 4 1 2 2 1 1 A1 = eB = , 2 1 3 2

4)

Se

encontrar A, B, (AB)1 e (BA)1 .

5)

Encontre o valor de x nas seguintes equaes: a) x 2 2x 1 4 1 = 1; 2 3 5103


b)

3 2 5 1 x 4 = 2 . x 0 x

6)

Quais das seguintes matrizes esto na forma cannica: 1 0 0 0 2 0 1 0 0 2 A = 0 0 1 0 1 ; B = 0 0 1 0 1 ; 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4 1 3 5 2 1 0 0 0 0 1 0 0 ; C= D = 0 1 0 1 . 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 Transformar as seguintes matrizes em forma cannica: 1 2 0 1 1 1 A = 2 1 3 ; B= ; 2 0 1 1 4 2 1 2 3 F= C . 4 5 6

7)

Sistema de equaes linearesConsidere o sistema linear de m equaes e n incgnitas a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 . S = 21 1 a x + a x + ... + a x = b m2 2 mn n m m1 1 O sistema S pode ser representado pela equao matricial AX = B, onde104

Mdulo 2

a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n x2 e B = b2 , A= , X = am1 am2 amn xn bn sendo A, a matriz dos coeficientes, X a matriz das incgnitas e B, a matriz dos termos independentes.

Tipos de sistemasH dois tipos de sistema de equaes lineares, sendo que um deles conhecido como consistente e o outro, como inconsistente. O sistema inconsistente aquele que no admite solues. O sistema consistente aquele que admite solues. H dois tipos de sistemas consistentes, um deles determinado e o outro indeterminado. O sistema determinado aquele que tem uma nica soluo e o indeterminado aquele que tem mltiplas ou infinitas solues. Veja a figura abaixo:

Existncia da soluoUm sistema linear AX = B de m equaes em n incgnitas consistente, se e somente se p(A) = p AB . neste caso, se con sideramos r o nmero de equaes do sistema na forma escalonada, p(A) = p AB = r . Agora temos dois casos a analisar

(

)

(

)

105


(i) quando r = n , ou seja, o nmero de equaes dadas igual ao nmero de equaes na forma escalonada, nesse caso, o sistema determinado, isto , existe uma nica soluo; (ii) quando r < n , ou seja, o nmero de equaes dadas menor que o nmero de equaes na forma escalonada, nesse caso, o sistema indeterminado, isto , existem infinitas solues; Se p(A) < p AB , ou seja, o posto da matriz A menor que o posto da matriz aumentada, nesse caso, o sistema inconsistente, isto , no existe a soluo do sistema.

(

)

Resoluo de sistema de equaes linearesA seguir, apresentaremos duas formas diferentes de resolver um sistema de equaes lineares. Uma se d com a utilizao de matriz escalonada, que conhecido como processo de eliminao de Gauss-Jordan, e a segunda forma se d com o uso de matriz inversa. Processo de Eliminao de Gauss-Jordan Podemos resolver um sistema de equaes lineares aplicando as operaes elementares dadas anteriormente, pois sabemos que aplicando operaes elementares sobre uma matriz obtemos sempre uma matriz equivalente. nesse caso, as operaes elementares transformam o sistema original em um sistema equivalente. Esse processo conhecido como processo de eliminao de Gauss-Jordan. Seja AX = B o sistema dado. Para resolver esse sistema devemos seguir os seguintes passos: 1o Passo: Formar a matriz aumentada [AB]. 2o Passo: Levar a matriz aumentada [AB] forma escalonada, usando operaes elementares sobre as linhas. Para ver a soluo do sistema, siga as seguintes observaes:106

Mdulo 2

Observaes (i) O sistema que corresponde matriz na forma escalonada obtida acima, tem exatamente as mesmas solues que o sistema linear dado. (ii) Para cada linha no nula da matriz na forma escalonada resolvemos a equao correspondente. (iii) As linhas formadas totalmente por zeros, podem ser desprezadas, pois as equaes correspondentes sero satisfeitas para quaisquer valores das incgnitas. (iv) conveniente, sempre transformar a matriz aumentada na matriz cannica, pois nesse caso a soluo do sistema imediata. Veja a seguir alguns exemplos de resoluo de sistemas lineares. Exemplo 2.9 Resolver o sistema x 2y 2z = 3 2x + 3y + z = 4 3x + 2y z =2 Resoluo: Podemos escrever o sistema de equaes em forma matricial AX = B, isto , 1 2 2 2 3 1 3 2 1 Matriz dos coeficientes x = y z Matriz das incgnita

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