LOGARITMOS

QUAL É O TEMPO?

Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer

sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no

entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela

queria comprar um computador.

Mas havia um problema: o computador que ela

queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o

dinheiro que tinha, até conseguir o valor

necessário.

QUAL É O TEMPO?

Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5

% ao mês, capitalizados mensalmente.

Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto

tempo os 1000 reais aplicados se transfor-

mariam nos 1500 reais de que precisava?

Ela havia acabado de aprender a calcular juros

compostos. Fez, então, as suas contas.

VEJA OS CÁLCULOS

Capital aplicado: C = 1 000

Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês

Montante pretendido: M = 1 500,00

M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t

⇒ 1,05t = 1,5

Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.

1,057 ≈ 1,4071,058 ≈ 1,4771,059 ≈ 1,551

QUAL É O EXPOENTE?

Como poderia ser obtido, com uma aproximação

razoável e sem utilizar o método das tentativas,

o valor de t na equação 1,05t = 1,6?

A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas

como esse, que envolve a determinação de um

expoente.

HISTÓRIA

A invenção dos logaritmos ocorreu no início do

século XVII e é creditada ao escocês John Napier

e ao suiço Jobst Burgi.

Inicialmente seu objetivo era simplificar os

cálculos numéricos, principalmente em

problemas ligados à Astronomia e à Navegação.

A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se

mais simples e mais ágeis cálculos de

expressões como

HISTÓRIA

A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se

mais simples e mais ágeis cálculos de

expressões como

2,382,5

5,13,8 . √12,43

O valor dessa expressão equivale ao valor de

102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1

HISTÓRIA

Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 –

1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do

sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso

sistema de numeração utiliza justamente a base

10.

HISTÓRIA

Atualmente, são inúmeras as aplicações

tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por

exemplo, na resolução de problemas que

envolvem desintegração radiotiva, o

crescimento de uma população de animais ou

bactérias, etc.

TRABALHANDO COMPOTÊNCIAS DE BASE 10

A BASE 10

Todo número positivo pode ser escrito como uma

potência de base 10, ou como uma aproximação

dessa potência. Veja os exemplos:

1 = 100 0,1 = 10–1

10 = 101 0,01 = 10–2

100 = 102 0,001 = 10–3

1 000 = 103 0,0001 = 10–4

10 000 = 104 0,00001 = 10–5

A BASE 10

2 = 100,301

3 = 100,477

7 = 100,845

11 = 101,041

13 = 101,114

Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um

número como potência de base 10. Em valores

aproximados apresentamos os exemplos:

EXEMPLOS

Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,

escreva os números 4, 5 e 6 como potência de

base 10.

4 = 22 = (100,301)2 = 100,602

5 = = = 101 – 0,30110

2

10

100,301 = 100,699

6 = 2.3 = 100,301 . 100,477 = 100,301 + 0,477

= 100,778

EXEMPLOS

Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,

escreva o número 60 como potência de base 10.

60 = 2.3.10 = 100,301 . 100,477 . 10

⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1

⇒ 60 = 101,778

EXEMPLOS

Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,

resolva a equação exponencial 2x = 12.

2x = 12 ⇒ 2x = 22.3

⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477

⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477

⇒ 100,301.x = 101,079 ⇒ 0,301.x = 1,079

⇒ x = 1,079

0,301 ⇒ x ≈ 3,585

LOGARITMOCOMO EXPOENTE

LOGARITMO COMO EXPOENTE

O conceito de logaritmo está associado à operação

potenciação: mais precisamente à determinação

do expoente. Veja:

2x = 8 ⇒ x = 3

No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos,

log2 8 = 3

LOGARITMO COMO EXPOENTE

Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente

ao qual se deve elevar a base 2, para obter,

como resultado, a potência 8.

Vale, portanto a equivalência:

log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8

Calcular um logaritmo é obter um expoente.Logaritmo é o mesmo que expoente.

DEFINIÇÃO

Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se

ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base

a (simbolicamente loga b = x).

loga b = x ⇔ ax = b

a é a base; b é o logaritmando ou antilogaritmo;

x é o logaritmo;

EXEMPLOS

log5 √25 = 2/3, porque 52/3 = √252

log2 32 = 5, porque 25 = 32

log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81

log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,001

3 3

De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.

EXEMPLOS

Calcular log4 8.

log4 8 = x ⇒ 4x = 8 ⇒ (22)x = 23

⇒ 22x = 23 ⇒ x = 3

EXEMPLOS

Calcular log1/3 √9.5

log1/3 √9 = x5 ⇒ 13

x

= √95

⇒ (3–1)x = 32/5 ⇒ 3–x = 32/5

⇒ –x = 2/5

⇒ x = –2/5

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO

Da definição, concluímos que o logaritmo só existe

sob certas condições:

loga b = x ⇔

b > 0

a > 0

a ≠ 1

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Analise quais seriam os significados de log2 (–4),

log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem

definidos.

log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível

log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossível

log7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossível

log1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossível

log0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível

OBSERVAÇÃO

Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis.

Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas

variáveis. Para isso, usamos as condições de

existência do logaritmo.

EXEMPLOS

Resolver a equação logx (2x + 8) = 2.

1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo.

2x + 8 > 0

x > 0

x ≠ 1

⇒

x > –4

x > 0

x ≠ 1

⇒x > 0

x ≠ 1

2o. Usando a definição de logaritmo.

logx (2x + 8) = 2 ⇒ x2 = 2x + 8 ⇒ x2 – 2x – 8 = 0

⇒ x = –2 ou x = 4. ⇒ S = {4}

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Admitindo-se válidas as condições de existência

dos logaritmos, temos os seguintes casos

especiais, que são conseqüências da definição.

loga 1 = 0

loga a = 1

loga ak = k

porque a0 = 1

porque a1 = a

porque ak = ak

EXEMPLOS

log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1

log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0

log3 39 = 9

log10 10–3 = –3

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve

elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a

seguinte igualdade:

loga ka = k

EXEMPLOS

log5 3 5 = 3

1 + log2 6 2 = 21.2 log2 6

= 2.6 = 12

log3 5 9 = (32) log3 5

3 log3 5 2

= = 52 = 25

1 – log15 3 15 = log15 3151

15 =

15

3 = 5

SISTEMA DE LOGARITMOS

SISTEMA DE LOGARITMOS

Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os

logaritmos numa determinada base. Entre os

infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois:

O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10.

No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se

não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que

log10 x.

log x → logaritmo decimal de x (base 10)

EXEMPLOS

log 1000 = log10 1000 = 3

log 0,01 = log10 10–2 = –2

log 1 = log10 1 = 0

log 100 = log10 100 = 2

SISTEMA DE LOGARITMOS

O sistema de logaritmos naturais ou neperianos,

utiliza, como base, o número irracional e.

Esse número foi introduzido por Euler, em meados

do século XVIII. Seu valor aproximado é

e = 2,71828.

O logaritmo natural de um número x pode ser

indicado por Ln x.

Ln x → logaritmo natural de x (base e)

EXEMPLOS

Ln e = loge e = 1

Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3

Ln e3 = loge e3 = 3

OBSERVAÇÃO

Chama-se co-logaritmo de a na base b (em

símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a

na base b.

cologb a = – logb a

colog2 8 = – log2 8 = –3

colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2

LOGARITMOS DECIMAIS

LOGARITMOS DECIMAIS

O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o

matemático inglês Henry Briggs (1561-1631).

Foi ele quem construiu a primeira tábua de

logaritmos decimais.

TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS

n log n n log n n log n n log n

1 0 11 1,041 21 1,322 31 1,491

2 0,301 12 1,079 22 1,342 32 1,505

3 0,477 13 1,114 23 1,362 33 1,519

4 0,602 14 1,146 24 1,380 34 1,531

5 0,699 15 1,176 25 1,398 35 1,544

6 0,778 16 1,204 26 1,415 36 1,556

7 0,845 17 1,230 27 1,431 37 1,568

8 0,903 18 1,255 28 1,447 ... ...

9 0,954 19 1,279 29 1,462 99 1,996

10 1 20 1,301 30 1,477 100 2

log 13 = 1,114ou

101,114 = 13

log 35 = 1,544ou

101,544 = 35

EXEMPLOS

Calcule os logaritmos decimais

a) log 10

b) log 10 000

c) log 1013

d) log 10–30

e) log 0,000001

EXEMPLOS

Consultando a tábua de logaritmos calcule

a) log 60 + log 31 – log 5

b) 100,903 + 101,505 – 1000,69

c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e

1000y = 15

EXEMPLOS

Em valores aproximados, a tábua de logaritmos

mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A

partir desses valores, sem uso de calculadora,

obtenha os números seguintes.

a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557.

b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300

c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e

13y = 103,342.

MUDANÇA DE BASE

MUDANÇA DE BASE

Observe uma calculadora científica. Ela permite o

cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla

log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln).

Como obter então, numa calculadora, logaritmos

em outras bases?

Será possível achar, por exemplo, os valores de

log3 5 e log7 23?

MUDANÇA DE BASE

Na tábua de logaritmos decimais, encontramos

que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir

deles, determine o valor log7 23.

log10 23 = 1,362 ⇒ 101,362 = 23

log10 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7

log7 23 = x ⇒ 7x = 23

⇒ (100,845)x = 101,362 ⇒ 100,845.x = 101,362

⇒ 0,845.x = 1,3621,362

0,845 ⇒ x = = 1,612

log7 23 = log10 23

log10 7

FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE

De modo geral, podemos calcular logba, utilizando

uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos

o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k

escolhida.

logk a

logk bLogb a =

EXEMPLOS

Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma

calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693.

A partir desses valores, calcular log2 6.

loge 6

loge 2log2 6 =

Ln 6

Ln 2=

1,792

0,693= = 2,586

EXEMPLOS

Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos

decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.

5x = 20 ⇒ x = log5 20

log10 20

log10 5log5 20 =

log 20

log 5=

1,301

0,699= = 1,861

EXEMPLOS

Se logk x = 2, calcular logx (1/k).

logk (1/k)

logk xlogx (1/k) =

–1

2=

EXEMPLOS

Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.

log 3

log 2log2 3 =

0,48

0,30=

1o. Vamos a fórmula de mudança de base.

= 1,6

Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.

EXEMPLOS

Escrevendo os logaritmos numa mesma base,

obtenha o valor mais simples do produto

log2 7 . Log7 13 . Log13 2

log 7

log 2.

1o. Vamos a fórmula de mudança de base.

log 13

log 7. log 2

log 13= 1

1

1

1

1

1

1

CONSEQÜÊNCIA – MUDANÇA DE BASE

Compare os valores dos log5 25 e log25 5.

Compare, também, os valores log2 8 e log8 2.

Que conclusão se pode tirar dessas comparações?

Se logx y = 3/5, calcule logy x.

log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2

log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3

logb a = 1/loga b

logy x = 5/3

GENERALIZANDO

Como conseqüência da fórmula de mudança de

base, temos:

loga a

loga blogb a =

1loga b

logb a =

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele

transforma operações mais complicadas em

operações mais simples.

Com as propriedades dos logaritmos podemos

transformar:

multiplicações em adições;

divisões em subtrações;

potenciações em multiplicações;

radiciações em divisões.

LOGARITMO DO PRODUTO

Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos

valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845.

log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3

log 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7

log 21 = x ⇒ 10x = 21

⇒ 10x = 3.7 ⇒ 10x = 100,477.100,845

⇒ x = 0,477 + 0,845 ⇒ x = 1,322

⇒ 10x = 100,477 + 0,845

log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7

LOGARITMO DO PRODUTO

De modo geral, o logaritmo do produto de dois

números, numa certa base, é a soma dos

logaritmos desses números, na mesma base.

Loga (x.y) = loga x + loga y

Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.

EXEMPLOS

A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000.

log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13

log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415

log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000

log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301

EXEMPLOS

Sendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy)

numa soma de logaritmos.

log3 (9xy) = log3 9 + log3 x + log3 y

log3 (9xy) = 2 + log3 x + log3 y

EXEMPLOS

Transformar num único logaritmo e calcular o

valor da expressão log 4 + log 5 + log 50.

log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50)

log 4 + log 5 + log 50 = log 1000 = 3

LOGARITMO DO QUOCIENTE

Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos

valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.

log 2 = 0,301 ⇒ 100,301 = 2

log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3

log (3/2) = x ⇒ 10x = 3/2

⇒ 10x = 32

= 100,477

100,301= 100,477 – 0,301

⇒ x = 0,477 – 0,301 ⇒ x = 0,176

log (3/2) = log 3 – log 2

LOGARITMO DO QUOCIENTE

De modo geral, o logaritmo do quociente de dois

números, numa certa base, é a diferença dos

logaritmos desses números, na mesma base.

Loga = loga x – loga y xy

EXEMPLOS

A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.

log 5 = log 102

= log 10 – log 2 = 1 – 0,301

⇒ log 5 = 0,699

EXEMPLOS

Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas

log2 (x/4y).

log2 x4y

= log2 x – log2 4y

= log2 x – (log2 4 + log2 y)

= log2 x – (2 + log2 y)

= log2 x – 2 – log2 y

= log2 x – log2 y – 2

EXEMPLOS

Compor (transformar num único logaritmo) a

expressão E = log m – log 3 + 2 – log n.

1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo decimal. log 100 = 2.

E = log m – log 3 + log 100 – log n

E = (log m + log 100) – (log 3 + log n)

E = (log 100m) – (log 3n)

E = log 100m3n

LOGARITMO DA POTÊNCIA

Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor

de log 3 = 0,477.

log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3

log 34 = x ⇒ 10x = 34 ⇒ 10x = (100,477)4

⇒ x = 4 . 0,477 ⇒ x = 1,908

log 34 = 4 . log 3

LOGARITMO DA POTÊNCIA

Generalizando, o logaritmo de uma potência, é

igual ao produto do expoente da potência pelo

logaritmo da base.

Loga xk = k . loga x

EXEMPLOS

A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009.

log 0,009 = log 9100

= log 9 – log 100

= log 32 – 2 = 2 . log 3 – 2

= 2 . 0,477 – 2

= 0,954 – 2 = – 1,046

EXEMPLOS

Calcular log , a partir dos valores log 2 =

0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114.

13√34

log 13√34

= log 13 + log √3 – log 4

= log 13 + log 31/2 – log 22

= log 13 + . log 3 – 2 . log 2 1 2

= 1,144 + 0,5.0,477 – 2.0,301

= 1,144 + 0,2385 – 0,601 = 0,7505

EXEMPLOS

Compor e simplificar a expressão

E = 2.log3 12 – log3 8 – 2 1 3

1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo de base 3. (log3 9 = 2).

E = 2.log3 12 – log3 8 + log3 9 1 3

E = log3 122 – log3 81/3 + log3 9

E = log3 144 – log3 2 + log3 9 = log3 144 – log3 (2.9)

E = log3 144 – log3 18 ⇒ E = log3 144 18

= log3 8

UTILIZANDO AS PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS COMPLETE A TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS.

1 + 2A401 + B301 + A20110

B + E39I29G192B9

A + G382A + C28A + 2B183A8

K373B27F17C7

2(A+B)36A + E264A16A + B6

1–A + C352(1 – A)251 + B – A151 – A5

A + F343A + B24A + C142A4

B + D33H23E13B3

5A32A + D222A + B12A2

J31B + C21D1101

log nnlog nnlog nnlog nn

EXEMPLOS (FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos

logaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1 a 10. Ela pode ser usada para resolver a equação exponencial 3x = 24, encontrando-se, aproximadamente,

x Ln x x Ln x

1 0,00 6 1,79

2 0,69 7 1,95

3 1,10 8 2,08

4 1,39 9 2,20

5 1,61 10 2,30

a) 2,1.b) 2,3.c) 2,5.d) 2,7e) 2,9

EXEMPLOS

Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em

função de a e b.

log2 72 = log 72

log 2=

log 23.32

log 2

= log 23 + log 32

log 2=

3.log 2 + 2.log 3

log 2

= 3a + 2b

a