Upload
rodrigo-carvalho
View
51
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Prof.: Rodrigo Carvalho
LÓGICA
Prof.: Rodrigo Carvalho
É a ciência do raciocínio e da demonstração. Compreende o estudo das proposições.
PROPOSIÇÕES SIMPLES: São frases declarativas afirmativas.
MODIFICAÇÃO NEGAÇÃO (~) Para indicar que uma proposição p está sendo negada, anotamos ~ p (não p).
p ~p
V
F
F
V
Notação: p, q, r, s, etc. Exemplos:p: = 2.q: Feira de Santana é a capital da Bahia.
Toda vez que negamos uma proposição ela muda de valor lógico (se p é verdadeira, então ~p é falsa e vice-versa).
4
CONCEITO
Prof.: Rodrigo Carvalho
ATENÇÃO!
I. ~ (~p) = p, ou seja, uma dupla negação equivale a uma afirmação.
II.
OPERADOR NEGAÇÃO
Prof.: Rodrigo Carvalho
PROPOSIÇÃO COMPOSTA: É uma proposição formada por duas ou mais proposições simples, ligadas entre si por elementos chamados de conectivos.
1. Conjunção: Proposições simples ligadas pelo conectivo “e”, representando simbolicamente pelo sinal “^”.
Exemplo: p: Vou passar em física. q: Vou passar em matemática. p ^ q: Vou passar em física e matemática.
Tabela - Verdade
p q pΛq
V V
V F
F V
F F
~ (pΛq) ~p v ~q
VFFF
Regra: V = V V
Prof.: Rodrigo Carvalho
2. Disjunção: Proposições simples ligadas pelo conectivo “ou” representando simbolicamente pelo sinal “v”.
Exemplo: p: Vou passar em física. q: Vou passar em matemática. p v q: Vou passar em física ou matemática
Tabela - Verdade
p q p v q
V V
V F
F V
F F
~ (p v q) ~ p Λ ~ q VVVF
Regra: F = F F
Prof.: Rodrigo Carvalho
*OBS: Disjunção exclusiva: Proposições simples ligadas pelo conectivo “ou ...ou” representando simbolicamente pelo sinal “v”..
Exemplo: p: Vou passar em física. q: Vou passar em matemática. p v q: Ou vou passar em física ou em matemática .
p q p v q
V V
V F
F V
F F
FVVF
Tabela - Verdade
.
Regra: F = V V ou F F
Prof.: Rodrigo Carvalho
3. Condicional: Proposições simples ligadas pelo conectivo “se...então”, representando simbolicamente pelo sinal “”.
Exemplo: p: O pássaro canta. q: O pássaro está vivo. p → q: Se o pássaro canta, então está vivo.
Tabela - Verdade
p q p → q
V V
V F
F V
F F
~ (p → q) p Λ ~q
FV
VV
Regra: F = V F
Prof.: Rodrigo Carvalho
4. Bicondicional: Proposições simples ligadas pelo conectivo “...se somente se...”, representada simbolicamente pelo sinal “ ↔”.
Exemplo: p: Juarez está vivo. q: Juarez respira. p ↔ q: Juarez está vivo se, somente se, respira.
Tabela - Verdade
p q p↔q
V V
V F
F V
F F
~ (p ↔ q) p ↔ ~ q
ou
~ (p ↔ q) ~ p ↔ q V
V
FF Regra: V = V V ou F F
Prof.: Rodrigo Carvalho
PROPOSIÇÃO COMPOSTA
SIMBOLOGIA SIGNIFICADO REGRA NEGAÇÃO
CONJUNÇÃO Λ “e” V = V V ~ p v ~ q
DISJUNÇÃO V“ou”
F = F F ~ p Λ ~ q
CONDICIONAL → “se..., então” F = V F p Λ ~q
BICONDICIONAL ↔“... se, e somente
se...”
V = V V
ou
V = F F
p ↔ ~ q
ou
~ p ↔ q
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Prof.: Rodrigo Carvalho
OBSERVAÇÕES:
1ª) Quando uma sentença é sempre verdadeira, dizemos que há uma TAUTOLOGIA;
2ª) Quando uma sentença é sempre falsa, dizemos que há uma CONTRADIÇÃO;
3ª) Quando não há uma tautologia nem uma contradição, dizemos que existe uma CONTINGÊNCIA.
Prof.: Rodrigo Carvalho
01) Monte as tabelas–verdades a seguir, e classifique-as em TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO ou CONTINGÊNCIA.
a) (p ^ ~p) (q v p)
p q ~ p p Λ ~ q q v p (p Λ ~ p) → (q v p)
Prof.: Rodrigo Carvalho
b) (p v ~ q) ↔ (~ p Λ q)
p q ~ p ~ q (p v ~ q) (~ p Λ q) (p v ~ q) ↔ (~ p Λ q)
c) (~ q ~ p)
p q ~ p ~ q (~ q ~ p)
Prof.: Rodrigo Carvalho
IMPLICAÇÃO
Quando uma CONDICIONAL é TAUTOLÓGICA, dizemos que há uma IMPLICAÇÃO.
qpEQUIVALÊNCIA
Quando uma BICONDICIONAL é TAUTOLÓGICA, dizemos que há uma EQUIVALÊNCIA.
qp
Prof.: Rodrigo Carvalho
QUESTÕES DE VESTIBULARES
01) (UCS) Sejam as proposições p, q e r, tais que p e q são verdadeiras e r é falsa. Nessas condições, qual entre as proposições seguintes é verdadeira?
a) p ^ rb) ~p v rc) p ~qd) r ↔ qe) ~q p
02) (UFA) Considere as sentenças:
p: 144 é múltiplo de 3q: 7 é divisor de 82
Nessas condições, a sentença.
a) p ^ q é verdadeirab) p v q é falsac) p ↔ ~q é verdadeirad) ~p q é falsae) ~p ^ q é verdadeira
Prof.: Rodrigo Carvalho
03) (FACCEBA) “Se uma função é ímpar, então é injetora.” A negação da proposição anterior é
a) Uma função não é ímpar e é injetora.b) Uma função não é ímpar e não é injetora.c) Se uma função não é ímpar, então não é injetora.d) Uma função é ímpar e não é injetora.e) Se uma função não é injetora, então é ímpar.
04) (MEDICINA – ABC) A negação de “O gato mia e o rato chia”é:
a) “O gato não mia e o rato chia”.b) “O gato mia ou o rato chia”.c) “O gato não mia ou o rato não chia”.d) “O gato e o rato não chiam nem miam”.e) “O gato chia e o rato mia”.
Prof.: Rodrigo Carvalho
SENTENÇA ABERTA: São sentenças que não possuem valor lógico definido.
Exs.: a) “x é um número par.” b) “x + 2 = 5.”
c) “O homem se chama Pedro.”
QUANTIFICADORES: São símbolos utilizados para estabelecermos valores lógicos às sentenças abertas.
Quantificador Universal ( ) : Esse símbolo pode ser lido das seguintes formas: “Para todo”, “Para qualquer”, “Qualquer que seja”, “Todo”, etc.
Exs.: a) par. número um éx R;x b) Todo homem se chama Pedro.
Prof.: Rodrigo Carvalho
Quantificador Existencial ( ) : Esse símbolo pode ser lido das formas: “Existe”, “Existe algum”, “Há”, etc.
Exs.: a) 5.2xZ;x
b) Existem homens que se chamam Pedro.
*OBS.: Derivam ainda do quantificador existencial:
- “Existe apenas um”, ”Existe um único”, etc.
- “Não existe”.
Exs.: a) 5.7xN;x
b) 9.xZ; x 2
Prof.: Rodrigo Carvalho
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS Para negar uma proposição quantificada, devemos trocar o quantificador universal pelo existencial(ou vice-versa) e negar a sentença. p: Todo homem se chama Pedro.
~ p: Existe homem que não se chama Pedro.
5.2xZ;x 5.2xZ;x
r:
~ r:
*OBS.: Também podemos negar uma sentença quantificada negando o quantificador e conservando a sentença.
p: Todo homem se chama Pedro.~ p: Nem todo homem se chama Pedro.
5.2xZ;x r:5.2xZ;x ~ r:
Prof.: Rodrigo Carvalho
05) (FDC) A negação da implicação: “Se um quadrilátero tem todos os lados iguais, então é um quadrado”é:
a) Se um quadrilátero não é um quadrado, então não tem todos os lados iguais.b) Se um quadrilátero não tem todos os lados iguais, então não é um quadrado.c) Um quadrilátero não tem todos os lados iguais, e não é um quadrado.d) Um quadrilátero tem todos os lados iguais e não é um quadrado.e) Um quadrilátero tem todos os lados iguais, ou não é um quadrado.
06) (FDPL) A negação de “Todo aluno estudioso é aprovado no vestibular “ é
a) Existe aluno estudioso que não é aprovado no vestibular.b) Todo aluno estudioso não é aprovado no vestibular.c) Todo aluno aprovado no vestibular é estudioso.d) Existe aluno estudioso que é aprovado no vestibular.e) Existe aluno aprovado no vestibular que é estudioso.
Prof.: Rodrigo Carvalho
ARGUMENTOS Denomina-se argumento à relação que associa um
conjunto de proposições P1, P2, P3, ..., Pn, chamadas de premissas do argumento, a uma proposição C, chamada de conclusão do argumento.
*OBS.: Os argumentos que só possuem duas premissas são chamados de silogismos.
Ex.: P1: Todos os artistas são apaixonados. P2: Todos os apaixonados gostam de flores. C: Todos os artistas gostam de flores.
NOTAÇÃO: P1, P2, P3, ..., Pn Q
Prof.: Rodrigo Carvalho
ARGUMENTO VÁLIDO Dizemos que um argumento é válido quando sua conclusão é consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.
No processo de verificação da validade de um argumento, adotaremos os seguintes critérios:
a) Admitiremos suas premissas como verdadeiras;
b)Não adotaremos previamente que a conclusão seja verdadeira. Não estamos interessados em analisar a veracidade da conlusão, e sim se ela decorre de suas premissas;
c)O argumento será válido se, através da Lógica ou das propriedades de conjuntos, for possível concluirmos que a conclusão decorre das suas premissas.
Prof.: Rodrigo Carvalho
Observe que, se um argumento
P1, P2, P3, ..., Pn Q
é válido, então temos a implicação
. QP...PPP n321
*OBS.: Dizemos que um argumento é inválido, também chamado de falácia ou sofisma, quando a verdade das premissas é insuficiente para garantir a verdade da conlusão.
Prof.: Rodrigo Carvalho
Exercícios de aplicação
Julgue os argumentos a seguir em válido ou inválido.
a) P1: Todos os rapazes adoram xadrez. P2: Nenhum enxadrista gosta de óperas. C: Nenhum rapaz gosta de óperas.
b) P1: Todos os alunos do curso passaram. P2: Maria não é aluna do curso. C: Maria não passou.