Universidade Federal de São Carlos – Departamento de Computação Estruturas Discretas – 2º. Sem. 2010 – Profa. Heloisa

Teoria dos Conjuntos – Exercícios comentados

Esta lista contém alguns exercícios resolvidos com comentários. Alguns exercícios são os mesmos da lista de exercícios, mas não necessariamente com a mesma numeração. 1) Descreva cada um dos conjuntos a seguir listando seus elementos:

a) { x | x ∈ N, x é par e x < 20} {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} b) { x | x é um dos estados da região nordeste} {Alagoas, Bahia, Ceará, Maranhão, Paraíba, Piauí, Pernambuco, Rio Grande do Norte, Sergipe} c) { x | x é uma das disciplinas que você está cursando neste semestre} (as respostas podem variar...) d) { x | x ∈ R, x2 = -1} Não existe nenhum número que elevado ao quadrado seja negativo. Logo o conjunto é vazio. A reposta pode ser { } ou ∅

2) Descreva cada um dos conjuntos a seguir dando uma propriedade que caracterize seus elementos: a) {1, 2, 3, 4, 5} Resp.: A={ x | x é inteiro positivo, 1 ≤ x ≤ 5 } b) {1, 3, 5, 7, 9, ...} Resp.: B={ x | x é inteiro positivo, x é ímpar } c) {10, 20, 30, 40, 50, ......} Resp.: C={x | x é inteiro positivo, x é múltiplo de 10} d) {São Carlos, Sorocaba, Araras} D={x | x é uma cidade que possui campos da UFSCar}.

3) Mostre que A = {2, 3, 4, 5} não é um subconjunto de B = {x | x ∈ N, x é par}.

Para A ser subconjunto de B seria necessário que todos os elementos de A também pertencessem a B. Assim, A não é subconjunto de B pois: 3 ∈ A, mas 3 não é par, logo 3 ∉B.

4) Considere o conjunto universo U = {1, 2, ..., 9} e os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {5, 6, 7, 8, 9}, E = {2, 4, 6, 8} B = {4, 5, 6, 7} D = {1, 3, 5, 7, 9}, F = {1, 5, 9} Determine

a) A ∩(B∪C) Resp.: {4,5} b) (A\E)´

Resp.: {2,4,6,7,8,9} c) (A∩D) \ E Resp.: {1,3,5} d) (B∩F)∪( C∩E) Resp.: {5,6,8}

5) Qual a cardinalidade de cada um dos conjuntos a seguir: a) A = {1, {1}, {1, 2}} Resp.: |A| = 3 b) A = {∅} Resp.: |A| = 1 c) A = {1, ∅, {∅}} Resp.: |A| = 3 d) A = {z, {{z}}} Resp.: |A| = 2

6) Considere a classe de conjuntos A = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}}. Determine se cada

uma das afirmativas seguintes é verdadeira ou falsa e explique cada uma delas. a) 1 ∈ A Falso. O número 1 não é elemento de A. b) {1, 2, 3} ⊆ A Falso. {1, 2, 3} é elemento de A, e não subconjunto de A. c) {6, 7, 8}∈ A Verdadeiro, pois {6, 7, 8} é elemento de A. d) {{4, 5}} ⊆ A Verdadeiro. {{4, 5}} está contido em A porque {4, 5} é um elemento de A. e) ∅ ∈ A Falso. O conjunto vazio não é um elemento de A. f) ∅ ⊆ A Verdadeiro, pois o conjunto vazio é subconjunto de

qualquer conjunto.

7) Seja S = {vermelho, azul, verde, amarelo}. Determine quais das seguintes classes são partições de S e quais não são, explicando porque em todos os casos: P1={{vermelho}, {azul, verde}} Resp.: Não é, pois o elemento não aparece em nenhum subconjunto. P2={{vermelho, azul, verde, amarelo}} Resp.: Sim, pois todos os elementos pertencem ao conjunto S P3={∅, {vermelho, azul}, {verde, amarelo}} Resp.: Não é, pois a partição não pode ter um conjunto vazio. P4={{azul}, {vermelho, amarelo, verde}} Resp.:Sim, os conjuntos da partição são não vazios, disjuntos e todos os elementos de S aparecem em algum conjunto.

8) Ache todas as partições de A = {1, 2, 3}. Resp.: P1={{1},{2},{3}}, P2={{1},{2,3}}, P3={{1,2},{3}}, P4={{1,3},{2}}, P5={{1,2,3}}

9) Escreva a equação dual de cada uma das equações: a) A ∪ B = (B´ ∩A´) Resp.: A ∩B = (B´ ∪A´)

b) A = (B´ ∩ A) ∪ (A ∩ B) Resp.: A = (B´ ∪ A) ∩ (A ∪ B) c) A ∪ (A ∩ B) = A Resp.: A ∩ (A ∪ B) = A d) (A ∩ B) ∪ (A´ ∩ B) ∪ (A ∩ B´) ∪ (A´ ∩ B´) = U Resp.: (A ∪ B) ∩ (A´ ∪ B) ∩ (A ∪ B´) ∩ (A´∪B´) = ∅

10) Complete cada expressão a seguir escrevendo ∈ ou ⊆ no lugar de Ο. a) 2 Ο {1, 2, 3} Resp.: ∈ b) {2} Ο {1, 2, 3} Resp.: ⊆ c) {2} Ο {{1}, {2}, {3}} Resp.: ∈ d) ∅ Ο {1, 2, 3} Resp.: ⊆ e) N Ο Z Resp.: ⊆ f) {2} Ο Z Resp.: ⊆ g) {2} Ο 2Z Resp.: ∈

11) Sejam A = {x | x ∈ Z e -3 <|x| < 20}

B = { x | x ∈ R e -3 <|x| < 20}

C = { x | x ∈ N e -3 < x < 20}

D = { {a}, b, c, d}

Quais das seguintes afirmações são verdadeiras, quais não são e por quê?

Vejam que

A = {-19, -18, -17, ....,-2, -1, 0, 1, 2, ..., 17, 18, 19}

Exemplo: se x = -2, |-2| = 2 e -3 <2 < 20. Logo, x = -2 satisfaz a condição para pertencer ao conjunto A.

B = (-20,20) intervalo aberto dos reais entre -20 e 20.

C = {0, 1, 2, 3, ..., 19}

a) A ⊆ B Verdadeiro. Todos os elementos de A também pertencem a B. b) C ⊆ B Verdadeiro. Todos os elementos de C também pertencem a B. c) A ⊆ C Resp.: (F), existem elementos de A que não pertencem a C. d) ∅ ∈ A Resp.: (F), Ø não é elemento de A. e) ∅ ∈ D Resp.: (F), Ø não é elemento de D.

f) a ∈ D Resp.: (F), a não é elemento de D. g) {b, c} ⊆ D Verdadeiro, pois tanto b quanto c são elementos de D. h) {-2, -1, 0} ⊆ B Resp.: É verdadeira, pois todos os elementos de {-2, -1, 0} também pertencem a B.

12) Dê exemplo de um objeto x que torne verdadeira a sentença x ⊆ {x}. Para x=∅ temos ∅ ⊆{∅}. Essa expressão é verdadeira porque o conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos.  

13) Para os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, calcule: a) A ∪ B Resp.:{1,2,3,4,5,6,7} A ∩ B Resp.:{4,5} A – B Resp.:{1,2,3} B – A Resp.:{6,7} A ⊕ B Resp.:{1,2,3,6,7}

14) Encontre 2S, para S = {a} Resp.:{∅,{a}}

15) Encontre 2S, para S = {1, 2, 3} Resp.:{ ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}