Lucimar Donizete GusmãoRenata Cristina Lopes

Equipe de MatemáticaDEB/SEED/PR

debmatematica@gmail.com

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MINICURSO

Folhas/Ensino Médio: Vivemos em um planeta semelhante a uma esfera!!!

Conteúdo Estruturante: Geometrias

Conteúdo Básico: Geometria Espacial

Conteúdo específico: Esfera

Relação interdisciplinar: Geografia

Seria possível definir qual o formato do nosso planeta Terra???

Se tivermos a curiosidade de observar melhor o nosso planeta, talvez tenhamos uma

possibilidade de perceber o seu formato e ao que ele mais se assemelha.

Desde a Grécia Antiga, no tempo de Pitágoras (582-500 a.C.) começou-se a considerar que a forma do planeta Terra poderia ser esférica, por

se assemelhar aos corpos celestes e mais perceptível aos olhos de quem os observa.

Nesse sentido, o Planeta Terra que é representado por um modelo, o

“globo terrestre” poderia ser considerado então uma esfera?

Encaminhamentos...

- Considerando o globo terrestre como um objeto de aprendizagem, levantar questões que façam os alunos refletirem sobre a representação do

planeta Terra, por esse modelo, e expressarem as características que eles recordam sobre a

esfera.

Observe o globo terrestre...

Quais características você percebe neste modelo???

Localize e caracterize o Equador???

A “esfera” é um sólido geométrico estudado desde a antiguidade, como fez

Arquimedes, filho de um astrônomo, que nasceu por volta de 287 a.C. e morreu por

volta de 212 a.C. Arquimedes dedicou parte de seus estudos a geometria e

especialmente sobre o estudo da esfera, que possui como uma de suas

características, a forma arredondada, lhe permitindo rolar, e ser considerada desta

forma um corpo redondo.

A intencionalidade da utilização do globo terrestre é para evidenciar que,

historicamente, a humanidade sempre procurou esclarecer os mistérios do meio

em que vive, seja pelas suas observações, pelas conjecturas que faz a partir dessas observações, formalizando conceitos e

modelos matemáticos.

Observe a imagem...

Considerando que...

Centro: é o ponto O; Diâmetro: cordas que passam pelo ponto O; Raio: são segmentos de reta com um extremo em O (centro) e outro na superfície da esfera.

Obs. Em uma superfície esférica, uma corda que não passa pelo ponto O, tem medida menor que o diâmetro.

Não devemos confundir ESFERA com SUPERFÍCIE ESFÉRICA...

- Um exemplo de Esfera ???

- E de Superfície Esférica ???

Meridianos, Paralelos e Pólos

Considerando o modelo de globo terrestre que representa o planeta Terra, outros elementos

estão presentes no estudo da esfera: Meridianos, Paralelos e Pólos – Termos utilizado pela

disciplina de Geografia. Para a localização de um determinado ponto na superfície terrestre utilizamos as “coordenadas geográficas” achando o valor do Meridiano e

Paralelo, que passa sobre o ponto, ou seja, sua Latitude e Longitude.

Convencionou-se a divisão da Terra em hemisférios – Norte/Sul, a partir da

Linha do Equador - Latitude e Leste/Oeste, a partir do Meridiano de Greenwich -

Longitude.

Analisando...

Utilizando o globo terrestre analise e responda...

a) Qual a variação da latitude terrestre, que é uma medida angular entre a Linha do Equador e qualquer ponto situado na superfície da Terra?

b) Qual a variação angular entre o Meridiano de Greenwich e qualquer ponto na superfície terrestre?

Video:

Informações Adicionais:

Um jovem náufrago recorre a conceitos geométricos simples para determinar sua latitude e longitude e

assim mandar o sinal de socorro.

Este vídeo tem por objetivos: revisar o conceito de ângulos e suas subdivisões; revisar o conceito de

retas paralelas e ângulos alternos internos; trabalhar a trigonometria do triângulo retângulo e; iniciar o

conceito de inversas das funções trigonométricas.

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22599

Observe o Mapa do Estado do Paraná.

Observe o mapa

De acordo com as coordenadas geográficas determinadas no mapa do

Paraná, temos a localização de um ponto central que representa o município de Pitanga.

Fazendo uma leitura do mapa e observando ascoordenadas geográficas de Latitude/Longitude

referente ao município dePitanga, você saberia dizer como foram

determinadas essas coordenadas?

Primeiramente devemos determinar no mapa uma “quadrícula” Observando o mapa temos a

quadrícula formada pelos Paralelos de 22º e 28º e os Meridianos de 45º e 57º.

Exemplo: Para calcular a Latitude é preciso considerar a

diferença entre as Latitudes, que será correspondente à medida entre os dois Paralelos.

AB = 28º - 22º = 6º

É preciso entender que na superfície terrestre,

esta medida, corresponde aum arco de circunferência.

Se temos:

L = comprimento do arco

α = a medida do ângulo central que determina o arco, que na situaçãoapresentada mede 6º .

R = medida do raio da esfera.

Neste caso utilizamos a medida do raio doplaneta Terra, que é aproximadamente 6.378 km.

Lembrando que...

De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma

regra de três capaz de converter as medidas dos arcos.

Veja:360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28)180º → π radiano (aproximadamente 3,14)90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)

45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

Precisamos determinar a medida do arco da circunferência. Para isso, bastaconsiderar uma regra de três simples.

180º ↔ π Rα ↔ x

No caso considerado, temos:

180º ↔ π 63786º ↔ xº

X= ????

Observando o mapa temos a Latitude para a localização 24° 41' 15''. A quadrícula na figura 6,

se inicia com a Latitude de 22°. Para obtermos o valor do ângulo que determina a

medida do arco AO , temos que considerar a diferença de Latitudes.

Para a transformação das unidades em graus, utilizamos a base sexagesimal.

Então...a diferença é de …2,6875°

Logo a medida do arco será...

6º ↔ 667, 564

2,6875 ↔ x

X = ????

Considerando que a medida do arco AB é aproximadamente 667,564 km e

que a medida do arco AO é aproximadamente 299,013 km, podemos determinar aLatitude do município de Pitanga.

ATIVIDADE

Agora você pode determinar pelo mesmo raciocínio a Longitude.

Para saber mais: No município de Pitanga existe um marco Geodésico querepresenta o centro do Paraná.

Um elemento importante de uma esfera são as circunferências máximas desse sólido geométrico.

Relembrando o conceito de circunferência, esta pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos pertencentes a um mesmo plano que equidistam de um ponto definido como o centro da circunferência.

Lugar geométrico???

Raio???

Circunferência???

p.9

Circunferências máximas de uma esfera - são circunferências que tem o mesmo

centro de uma esfera e como medida de raio a mesma que a medida do raio da

esfera.

Círculo máximo: a região limitada pela circunferência máxima juntamente com a

própria circunferência é chamada de círculo máximo.

Secção..

“Toda secção plana de uma esfera é um círculo.”(Dolce & Pompeu, 2005, p.251)

“Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo

máximo da esfera.”(idem)

Área do Círculo

Informações Adicionais:

Neste vídeo o Professor pode, de forma dinâmica, mostrar aos estudantes a relação entre

o raio do círculo e sua área.

Vídeo

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=9596

Duas circunferências importantes do planeta Terra.

Circunferência Polar

Circunferência Equatorial

A circunferência polar é igual a circunferência do meridiano e mede, aproximadamente 39 942 km. O seu

diâmetro polar mede aproximadamente 12 714 km.

A circunferência equatorial mede aproximadamente 40 074 km. E seu

diâmetro equatorial mede aproximadamente 12 756 km.

Fonte: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/erath.html.

A superfície terrestre é a parte do planeta que permite a existência de seres

vivos. Imagine se você, que mora na superfície deste planeta correspondente à crosta terrestre, tivesse que adquirir uma

parte da área dessa superfície.

Qual seria o procedimento para determinar a área de um terreno ou de uma

propriedade, ou seja, a medida da área dessa superfície?

Para conjecturar...

A superfície da Terra parece plana em áreas limitadas, com por exemplo no quintal da casa. Mas sabemos que ela possui uma curvatura.

Podemos calcular a área de uma região delimitada que será uma área muito próxima à medida de uma área de superfície plana.

Calcular a área de uma superfície esférica é mais uma das necessidades

humanas de sobrevivência neste planeta e foi um desafio para alguns matemáticos,

entre eles, Arquimedes.

ATIVIDADE DE EXPERIMENTAÇAO

Realize e reflita a respeito da atividade abaixo proposta.

Material: cartolina, tesoura, régua, compasso, cola, bola de isopor que tenha

aproximadamente 30 cm como perímetro de sua circunferência máxima, barbante e

Alfinetes.

Procedimento:1) Construa na cartolina um círculo que tenha a medida do raio igual ao da bola

de isopor. Recorte. Cubra a superfície deste círculo com barbante desde o centro

em forma de espiral.

2) Desenrole o barbante do círculo, pegue mais uma medida desse barbante e osenrole na superfície esférica da bola de

isopor.

Compare os comprimentos e asuperfície que foi coberta da bola de isopor.

Qual a conclusão do grupo????

Sabendo que a área de um círculo é πR², logo, a área da superfície esférica é

4πR². Arquimedes repetiu várias vezes o

procedimento para mostrar este cálculo.

Salientamos que esta é uma maneira de mostrar o valor da área de umasuperfície esférica, mas não é uma

demonstração matemática do cálculo desta área.

ATIVIDADE 2

Considerando a tabela a seguir doInmetro, qual seria a economia em cm² de material para fabricar uma bola de futebol

que estivesse 5% fora do padrão considerado máximo na medida da

circunferência?

Medidas das bolas - Circunferência (cm)FONTE:

http://www.inmetro.gov.br/consumidor/produtos/futebol.asp

Descrição Valor Exigido

Circunferência (cm) Max = 70Min = 68

Peso (g) Max = 450Min = 410

Pressão (kgf/cm2) Max = 1,1Min = 0,6

ATIVIDADE 3:Observe a figura abaixo:

A secção plana da figura é o círculo máximo da esfera.

Considerando que o diâmetro da secçãomaior do nosso planeta é igual ao diâmetro

equatorial que mede aproximadamente12 756 km.

Com essas informações, qual é a medida da circunferência máxima dessa

secção? E qual a medida da área da superfície esférica, da semi-esfera ou hemisfério

norte?

É possível saber também o volume de uma esfera? Como determinar? Observe as

figuras - Semiesfera e Cone

Áreas e Volumes - 3, 2, 1 - Mistério

Informações Adicionais:

O programa aborda o Princípio de Cavaliere que é utilizado no cálculo de áreas de figuras planas e volumes

de sólidos. A estudante Carol recebe misteriosas instruções para resolver três enigmas. Ela dialoga com a aluna de arquitetura Rita para resolver os enigmas.Este

vídeo tem por objetivos: apresentar o Princípio de Cavalieri para figuras planas; apresentar o Princípio de

Cavalieri para sólidos e; apresentar a relação 3:2:1 entre os volumes do cilindro, da semi-esfera e do cone.

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22600

Observe as figuras: uma representa uma semi-esfera e a outra representa

um cone.

A circunferência da base do cone tem raios cuja medida é a mesma

medida dos raios da semi-esfera.

Se enchermos com algum líquido o cone e despejarmos na semi-esfera,

iremos precisar de duas medidas do cone para encher completamente a semi-

esfera.

Com este procedimento podemos verificar que a capacidade da esfera é de

quatro vezes a capacidade do cone.

Portanto, para calcular o volume da esfera podemos deduzir a seguinte

fórmula:

Volume do cone: 1/3 π R² h

Lembrando que o raio do cone tem a mesma medida da altura,

logo, o volume da esfera é 4 .1/3 πR² h e (altura = raio) então 4/ 3 π R³ .

Atividades 4 e 5

Material Impresso

Discussão

Observe a imagem como se fosse a representação do relevo de um Terreno.

Mas afinal, se uma pessoa comprasse uma propriedade rural, que tem o

formato que revela na imagem a seguir, como ela poderia saber exatamente a

medida da área adquirida? Qual seria a forma de ter um valor mais

aproximadopossível da medida da área da superfície?

Geometria Esférica – As Aventuras de Radix

Informações Adicionais:

O programa aborda a geometria da Esfera, que é um exemplo de geometria não-Euclidiana. Nelson, ao escrever mais uma das aventuras do super-herói Radix, se depara com a seguinte pergunta: Como Radix poderá cumprir a

missão de evitar o desmatamento no Planeta Terra? Para terminar a aventura do Radix, o cartunista Nelson pedirá

ajuda ao seu amigo Mario, que trabalha na área de monitoramento por satélite.

O vídeo é útil para: apresentar a Geometria não-Euclidiana; a Geometria da Esfera e; Diferenciar a Geometria Euclidiana

da não-Euclidiana.

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22456

A melhor forma de medir toda a área dessa propriedade seria com a ajuda

de um profissional, que pode ser um engenheiro agrônomo, um agrimensor ou

um Topógrafo.

Era normal, há algum tempo atrás, que esse profissional dividisse o lote em

formas geométricas como triângulos, retângulos entre outros polígonos, mas nos

dias atuais, é possível utilizar alguns recursos tecnológicos que garantem uma

maior precisão neste cálculo. Um equipamento utilizado é o Sistema de

Posicionamento Global GPS.

DEBATE

Será que apenas pela observação, temos condições de propor algumas

considerações e afirmações, ou é preciso outros conhecimentos e elementos que

possam contribuir para o entendimento do espaço que vivemos?

Referências

DOLCE, O., POMPEO, J. N. Fundamentos da matemática elementar. 6. ed. v. 10,São Paulo: Atual, 2005.DUARTE, Paulo Araújo. Cartografia Básica. Florianópolis: Editora da UFSC, 1986.FILIZOLA, R. Geografia: volume único: ensino médio. 2. ed. São Paulo: IBEP,2005.GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S. Geometria plana e espacial: um estudo axiomático. Maringá: Massoni, 2005.LOPES,Renata Cristina. Viemos em um planeta semelhante a uma Esfera. Disponível em: http://www.diadiaeducação.pr.gov.br/portals/folhas/frm_detalhar/Folhas.php codInscr=4143&PHPSESSID=2010052511380854. Acesso em 21 maio. 2010.

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22600http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22599http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22456http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=17618http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22553http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=22610http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=9596