7/30/2019 MA 11 Lista U3 e U4

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Exerccios Resolvidos de MA 11

Unidade 3

Exerccios Recomendados

2. Suponhamos que g1 : Y X e g2 : Y X sao duas funcoes inversas dafuncao f: X Y. Tome y Y. Temos que

g1(y) = g1(f(g2(y)) = g2(y).

Logo, g1 e g2 sao iguais.

3. Suponhamos X e Y nao vazios. Seja f: X Y uma funcao.

(a) Vamos mostrar que f e sobrejetiva se, e somente se, existe uma funcaog : Y X tal que f(g(y)) = y para todo y Y.

Suponhamos que f e sobrejetiva. Entao, para cada y Y, f1({y}) = .Tome um elemento de f1({y}) e o denote por xy (Observemos que f

1({y})pode conter mais de um elemento, pois f nao e necessariamente injetiva).Defina a funcao g : Y X da seguinte forma:

g(y) = xy (y Y).

Note que, para cada y Y, temos que f(g(y)) = f(xy) = y. Reciprocamente,suponhamos que existe uma funcao g : Y X tal que f(g(y)) = y paratodo y Y. Para mostrarmos que f e sobrejetiva, devemos mostrar queY f(X). Tome, entao, y Y. Escreva x = g(y). Entao x X ey = f(g(y)) = f(x), mostrando que y f(X).

(b) Vamos mostrar que f e injetiva se, e somente se, existe uma funcao

g : Y X tal que g(f(x)) = x para todo x X.

Suponhamos que f e injetiva. Entao, para cada y f(X), existe umunico x X tal que f(x) = y. Considere x0 um elemento de X. Defina afuncao g : Y X da seguinte forma:

g(y) = x, se y f(X) e g(y) = x0, se y Y \ f(X).

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Note que, para cada x X, g(f(x)) = g(y) = x. Reciprocamente, supo-

nhamos que existe uma funcao g : Y X tal que g(f(x)) = x para todox X. Tome x1 e x2 em X tais que f(x1) = f(x2). Entao, x1 = g(f(x1)) =g(f(x2)) = x2. Isto mostra a injetividade de f.

8. Suponhamos A e B subconjuntos nao vazios de X e Y nao vazio.

(a) Tome y f(A B). Entao, existe x A B tal que f(x) = y. Da,f(x) = y para x A e f(x) = y para x B, ou seja, y f(A) e y f(B),mostrando que y f(A) f(B).

(b) Nao. Se f: X Y e uma funcao nao injetiva, entao existem A e Bsubconjuntos de X tais que f(A) f(B) nao esta contido em f(A B). De

fato, pela nao injetividade de f, existem x1 e x2 distintos em X tais quef(x1) = f(x2). Coloquemos A = {x1} e B = {x2}. Como AB = , temosf(A B) = . Entretanto, f(A) f(B) = {f(x1)} que nao e o conjuntovazio.

(c) Vamos provar que se f: X Y e injetiva, entao f(A)f(B) f(AB)para quaisquer A e B em X. A inclusao e clara se A = ou B = .Suponhamos, entao, A e B ambos nao vazios. Tome y f(A)f(B). Entao,y f(A) e y f(B). Assim, existem x1 A e x2 B tais que y = f(x1) ey = f(x2). Como f e injetiva, temos x1 = x2 e, portanto, x1 AB. Logo,y = f(x1) f(A B).

Em resumo, a fim de que se tenha f(A)f(B) f(AB) para quaisquerA e B contidos em X, e necessario e suficiente que a funcao f: X Y sejainjetiva.

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