Solução da primeira prova de MA520 - Primeiro semestre de 2012

1. (a) [10 pontos] Definageometria (de incidência)e enuncie o postulado das paralelas.

(b) [10 pontos] Definacírculo, ânguloearco de círculo.

2. Considere a geometria discretaG = (P,R), com pontosP = {A, B,C,D} e cujas retas são todos os subconjuntos com dois pontos.

(a) [15 pontos] Verifique queG satisfaz os três postulados de incidência.

(b) [5 pontos] Verifique queG satisfaz o postulado das paralelas.

3. [20 pontos] Demonstre oTeorema de Pasch: se uma reta intercepta um lado do triângulo e não intercepta nenhum de seus vértices,então ela intercepta também um dos outros dois lados.

4. Considere as seguintes definições deinterior de um ângulo: (i) int ‘AOB=⋃

A′∈[OA)B′∈[OB)

[A′B′] e (ii) int ‘AOB=⋃

C∈[AB][OC).

(a) [5 pontos] Faça uma figura ilustrando cada definição.

(b) [15 pontos] Mostre que (i) e (ii) são equivalentes.Dica: defina conjuntosXi e Xii a priori distintos para cada uma e mostre queXi = Xii .

5. SejaK um corpo.

(a) [5 pontos] Supondo queK é ordenado, mostre que o quadradox2 de qualquer elementox , 0 é positivo.

(b) [5 pontos] Nas condições do item (a), prove que o elemento neutro da multiplicação 1 é positivo.

(c) [5 pontos] Conclua que, se (−1) = x2 para algumx ∈ K, entãoK não pode ser ordenado.

(d) [5 pontos] Dê um exemplo de corpo não ordenado.

6. SejaG uma geometria ordenada que satisfaz oPostulado da régua.

(a) Defina a relação de ordemA_ B_ C para pontos de um círculo emG.

(b) Mostre que esta definição satisfaz os dois primeiros axiomas de ordem (unicidade da ordem e existência de pontos “dentro efora” de um arco).

1. (a) Umageometria (de incidência)é um parG = (P,R) em queP é um conjunto, cujos elementos são denominadospontos, eR é uma família de subconjuntos deP, denominadosretas, satisfazendo os seguintes axiomas:

(I1) DadosA, B ∈ P, A , B, existe` ∈ R tal queA, B ∈ `.(I2) Dada` ∈ R, existem no mínimo dois pontosA , B tais queA, B ∈ `.(I3) Existem no mínimo 3 pontos distintos não-colineares (não contidos em uma mesma reta).

Ademais, pode-se acrescentar o axioma das paralelas a uma geometria de incidência:

(P) Dados ∈ R e A , `, existe uma única reta′ tal queA ∈ `′ e ` ∩ `′ = ∅.

(b) Na vigência do postulado da régua, tem-se:

Circulo: Dados um pontoO e r ∈ R, o círculo de centro O e raio ré o conjunto:

CO,r = {A ∈ P | m[OA] = r} .

Ângulo: SejamA, B,O pontos distintos; então oângulo‘AOBé o par de semi-retas com origem emO:

‘AOB= ([OA), [OB)) .

Arco de circulo: DadosA, B ∈ CO,r , o arco de círculodeterminado porA e B é o conjunto:

AB= CO,r ∩ int ‘AOB com int‘AOB=⋃

A′∈[OA)B′∈[OB)

[A′B′

].

2. Verificamos os postulados da questão 1(a) paraR = {{A, B}, {A,C}, . . . , {C,D}}:

(a) (I1) Pontos distintosP1,P2 ∈ P definem unicamente a reta{P1,P2} ∈ R.

(I2) Toda reta ∈ R é da forma = {P1,P2}, comP1,P2 ∈ P distintos, logoP1,P2 ∈ `.(I3) Válido por vacuidade, pois não há retas com 3 pontos.

(b) (P) Dada a reta = {P1,P2}, o seu conjunto complementarP \ ` = {P3,P4} = `′ ∈ R é também uma reta e, pordefinição do complemento,` ∩ `′ = ∅, isto é` ‖ `′. Dado um pontoP < `, necessariamenteP = P3 ou P = P4,ou sejaP ∈ `′.

3. Sejam ABC um triângulo er ∈ R tal queA, B,C < r e r ∩ [AB] , ∅. EntãoA e B estarão em semiplanosΠA e ΠB

(resp.) opostos em relação ar. ComoC < r, o terceiro axioma de ordem (O3) garante queC pertence aΠA ou aΠB. Suponhamos (s.p.d.g.) queC ∈ ΠB; entãoA e C estão em semiplanos opostos, logo o segmento [AC] intercepta afronteira e [AC] ∩ r , ∅. Analogamente, seC ∈ ΠA, obtemos [AC] ∩ r , ∅.

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4. DefinindoX1 =⋃

A′∈[OA)B′∈[OB)

[A′B′] e X2 =⋃

C∈[AB][OC), vamos mostrar queX1 = X2.

(⊂) SejaP ∈ X1 um ponto arbitrário, tal queP ∈ [A′B′] para fixosA′ ∈ [OA) e B′ ∈ [OB). Devemos mostrar queP ∈ X2,ou seja, que existe um pontoC ∈ [AB] tal queP ∈ [OC). Denotando = (OP), tem-se por hipótese queA′ e B′

estão em semi-planos distintos com respeito a`, poisA′ − P− B′; chamemos estes semi-planos resp.ΠA′ eΠB′ .Afirmo queA ∈ ΠA′ : comoA,A′ ∈ [OA), o primeiro axioma de ordem (O1) implica que só pode ocorrer

O− A− A′ ou O− A′ − A.

Em ambos os casos, [AA′] = O = [OA) ∩ `, logoA ∈ ΠA′ .Analogamente,B ∈ ΠB′ . ComoΠA′ , ΠB′ , tem-se que separaA e B; seja entãoC = [AB] ∩ `.

(⊃) Seja agoraP ∈ [OC) ⊂ X2, para algum pontoC ∈ [AB]; devemos mostrar queP ∈ X1, ou seja, que existemA′ ∈ [OA)e B′ ∈ [OB) tais queP ∈ [A′B′].Seja`′ a (única) paralela a (AB) pelo pontoP, garantida pelo postulado (P). Como o paralelismo é uma relação deequivalência, ′ também intercepta as retas (OA) e (OB); sejam então

A′ = `′ ∩ (OA) e B′ = `′ ∩ (OB).

Por fim, verificamos queA′ ∈ [OA) e B′ ∈ [OB) considerando a reta′′ paralela a (e `′) pelo vérticeO. Como`′ ‖ `′′, temos queA′, B′,P ∈ `′ estão no mesmo semi-plano relativamente a`′′, que por sua vez é o mesmosemi-plano deA, B,C ∈ (AB). Isto conclui a prova.

5. Relembre os axiomas de ordem total:

(OT1) a > b ec ≥ d⇒ a+ c ≥ b+ d.

(OT2) a > b ec ≥ 0⇒ a.c ≥ b.c.

(a) Vamos precisar dos seguintes resultados preliminares:

Lema 1. x < 0⇒ −x > 0.

Demonstração.Aplicando (OT1) e a propriedade do inverso aditivo, temos:

x < 0 = x+ (−x) ⇒ (−x) + x < (−x) + x+ (−x)

⇒ 0 < 0+ (−x) = −x. �

Lema 2. (−1)2 = 1.

Demonstração.Aplicando (OT2) e a distributividade, para alguma , 0, temos:

(−1)2.a+ (−a) = (−1).(−a) + (−1).a = (−1)((−a) + a) = (−1).0 = 0

⇒ (−1)2.a = a

⇒ (−1)2 = 1. �

Aplicando (OT2), se valerx > 0 entãox2 = x.x > 0. Por outro lado, sex < 0, então, pelo Lema 1, tem-se−x > 0,logo (−x)2 > 0. Entretanto, por comutatividade e o Lema 2, tem-se

(−x)2 = (−x).(−x) = (−1)2.x2 = x2

e portanto também nesse casox2 > 0.

(b) Por definição do elemento neutro, 1= 1.1 = 12 e o item (a) implica que 1> 0.

(c) Do item (b) temos que 1> 0, donde (−1) < 0 pelo Lema 1. Se (−1) = x2 for o quadrado de algumx ∈ K, entãox2 < 0 e estaremos em violação de (a). Portanto, tal não pode ocorrer em um corpo ordenado.

(d) O corpoC dos complexos admite um elementoi ∈ C tal quei2 = −1, logo, pelo item (c), o corpoC não é ordenado.

6. (a) DadosA, B,C pontos de um círculoC, definimosA_ C_ B⇔ C ∈ AB [cf. questão 1(b)].

(b) SejaO o centro do círculo er o raio; a partir da definição de interior de um ângulo (vide questão 4, definição (ii)),temos que a cada pontoC tal queA−C − B corresponde uma semi-reta [OC) ⊂ int ‘AOB. Pelo postulado da régua,existe um pontoC′ ∈ [OC) tal quem[OC′] = r, logoC′ ∈ CO,r . Inversamente, se começarmos comA_ C′ _ B, asemi-reta [OC) corta o intervalo [AB] em um único pontoC. Assim, temos uma correspondência biunívoca:

A_ C′ _ B ⇔ A−C − B.

Analogamente, considerando pontosD′ ∈ CO,r “fora” de ABe D ∈ (AB) “fora” de [AB], obtemos:

A_ B_ D′ ⇔ A− B− D.

Assim, os axiomas de ordem (O1) e (O2) para segmentos induzem as propriedades análogas para arcos.

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