MAE229 – Introdução à Probabilidade e Estatística II Ciências Atuariais - 1o sem de 2015

Lista de exercícios 2 – C A S A

http://www.ime.usp.br/~fmachado/MAE229

Resolva  os  exercícios  a  seguir  manualmente,  apresentando  todos  os  cálculos.      1. O  conteúdo  (em  litros)  de  garrafas  de  leite  segue  distribuição  normal,  com  média  0,99L  e  desvio  padrão  0,02L.  Nestas  condições,  qual  a  probabilidade  de:    

(a) O  conteúdo  médio  de  16  garrafas  (𝑋!")  selecionadas  ao  acaso  para  inspeção  ser  superior  a  1L?  (b) Numa  amostra  de  100  garrafas,  o  conteúdo  médio  (𝑋!"")  ser  inferior  a  0,985L?  (c) Que  tamanho  deve  ter  a  amostra  para  que  𝑃 0,98608 ≤ 𝑋! ≤ 0,99392 = 0,95  .  

 2. Considere  a  seguinte  variável  X  que  representa  o  número  de  idas  ao  médico  por  ano  de  um  determinado   indivíduo  selecionado  ao  acaso  (admite-­‐se  que  o  número  máximo  de  visitas  é  4).  Suponha  que  se  conhece  a  função  de  probabilidade  de  X,  dada  pela  seguinte  tabela    

X   0   1   2   3   4  f(x)   0,15   0,25   0,30   0,20   0,10  

 (a) Calcule  a  média  e  a  variância  populacionais  de  X.  (b) Calcule  a  probabilidade  de  se  obter  a  amostra  (3;1),  i.e.  o  primeiro  indivíduo  foi  3  vezes  

ao  médico,  por  ano,  e  o  segundo  uma  vez  no  ano.    (c) Recolhe-­‐se   uma   amostra   aleatória   de   2   indivíduos,   (X1,   X2).   Determine   a   distribuição  

conjunta  da  amostra  (X1,  X2)  e  represente-­‐a  por  uma  tabela.  (d) Se   se   tivesse   recolhido   uma   amostra   de   10   indivíduos,   qual   a   probabilidade   de   se  

obterem  os  valores  (1;3;0;0;2;3;0;2;4;1)?  (e) Calcule  o  valor  da  estatística  𝑋  associado  a  todas  as  possíveis  amostras  de  dimensão  2.    

(f) Obtenha  a  distribuição  amostral  de  𝑋    e  comprove  que  𝐸 𝑋 = 𝜇  e  𝑉𝐴𝑅 𝑋 = !!

!.  

 3. Suponha  que  uma   indústria   farmacêutica  deseja   saber  a  quantos  voluntários   se  deva  aplicar  uma  vacina,  de  modo  que  a  proporção  amostral  de  indivíduos  imunizados  difira  de  menos  de  2%  da  proporção  populacional  de  imunizados,  com  probabilidade  90%.    

 (a) Qual  o  tamanho  da  amostra  a  recolher?  (b) Suponha   que   a   indústria   farmacêutica   recolheu   informação   adicional   e   apurou   que   a  

proporção  de  imunizados  pela  vacina  é  p≥  0,8.  Qual  o  novo  tamanho  da  amostra  a  escolher?  Houve  redução?    

4. Com  base  numa  população  normal,  qual  deverá  ser  o  tamanho  da  amostra  ,  para  que   seja   de   pelo  menos   0,95   a   probabilidade   de   que   a  média   amostral   (𝑋)   não   se   afaste   da  média  populacional  (𝜇)  por  mais  que  0,5𝜎?